余弦定理题目解析

2.余弦定理

类型一

余弦定理的证明

例1已知△A B C ，B C ＝a ，A C ＝b 和角C ，求解c .解

如图，

设＝a ，＝b ，＝c ，由＝－知c

＝a －b ，C B →C A →A B →A B →C B →C A →

则|c |2

＝c ·c ＝(a －b )·(a －b )

＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |c o s C .所以c 2＝a 2＋b 2－2a b c o s C .

跟踪训练1例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？解

如图，以A 为原点，边A B 所在直线为x 轴建立直角坐标系，

则A (0,0)，B (c ,0)，C (b c o s A ，b s i n A )，

∴B C 2＝b 2c o s 2A －2b c c o s A ＋c 2＋b 2s i n 2A ，即a 2＝b 2＋c 2－2b c c o s A .

同理可证：b 2＝c 2＋a 2－2c a c o s B ，c 2＝a 2＋b 2－2a b c o s C .

类型二用余弦定理解三角形

例2在△A B C 中，已知b ＝60c m ，c ＝34c m ，A ＝41°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1c m ).解

根据余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2b c c o s A ＝602＋342

－2×60×34×c o s 41°≈1676.82，

所以a ≈41(c m).由正弦定理得，s i n C ＝

≈≈≈0.5440.c s i n A a 34×s i n 41°4134×0.656

41

因为c 不是三角形中最大的边，所以C 为锐角，利用计算器可得C ≈33°，所以B ＝180°－(A ＋C )≈180°－(41°＋33°)＝106°.

跟踪训练2在△A B C 中，已知a ＝2，b ＝2，C ＝15°，求A .

2

解

由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2

－2a b c o s C ＝8－4，

3所以c ＝－.62由正弦定理得s i n A ＝

＝，a s i n C c 1

2

因为b >a ，所以B >A ，所以A 为锐角，所以A ＝30°.例3在△A B C 中，已知a ＝134.6c m ，b ＝87.8c m ，c ＝161.7c m ，解三角形(角度精确到

1′).

解∵c o s A ＝＝

b 2＋

c 2－a 22b c

87.82＋161.72－134.6

2

2×87.8×161.7≈0.5543，∴A ≈56°20′.

∵c o s B ＝＝

a 2＋c 2－

b 22a

c 134.62＋161.72－87.8

2

2×134.6×161.7

≈0.8398，∴B ≈32°53′.

∴C ＝180°－(A ＋B )≈180°－(56°20′＋32°53′)＝90°47′.

跟踪训练3在△A B C 中，s i n A ∶s i n B ∶s i n C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状.解

因为a ∶b ∶c ＝s i n A ∶s i n B ∶s i n C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0).

c 最大，c o s C ＝<0，

(2k )2＋(4k )2－(5k )

2

2×2k ×4k

所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.类型四

利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形

例4已知△A B C 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求c .解

由余弦定理b 2＝a 2＋c 2

－2a c c o s B ，得72＝82＋c 2

－2×8×c c o s 60°，

整理得c 2－8c ＋15＝0，解得c ＝3或c ＝5.

跟踪训练4在△A B C 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若A ＝，a ＝，b ＝1，则c

π33等于()

A .1

B .2

C .－1

D .33

答案

B 解析由余弦定理得c o s A ＝，

b 2＋

c 2－a

2

2b c

∴＝，∴c 2

－2＝c ，∴c ＝2或c ＝－1(舍).121＋c 2

－32×1×c 类型五

利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式

例5在△A B C 中，有(1)a ＝b c o s C ＋c c o s B ；(2)b ＝c c o s A ＋a c o s C ；(3)c ＝a c o s B ＋b c o s A ；

这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明

方法一

(1)由正弦定理得

b ＝2R s i n B ，

c ＝2R s i n C ，

∴b c o s C ＋c c o s B ＝2R s i n B c o s C ＋2R s i n C c o s B ＝2R (s i n B c o s C ＋c o s B s i n C )＝2R s i n (B ＋C )＝2R s i n A ＝a .即a ＝b c o s C ＋c c o s B .

同理可证(2)b ＝c c o s A ＋a c o s C ；(3)c ＝a c o s B ＋b c o s A .方法二

(1)由余弦定理得

c o s B ＝，c o s C ＝，

a 2＋c 2－

b 22a

c a 2＋b 2－c

2

2a b ∴b c o s C ＋c c o s B ＝b ·＋c ·

a 2＋

b 2－

c 22a b a 2＋c 2－b

2

2a c ＝＋＝＝a .

a 2＋

b 2－

c 22a a 2＋c 2－b 22a 2a 2

2a

∴a ＝b c o s C ＋c c o s B .

同理可证(2)b ＝c c o s A ＋a c o s C ；(3)c ＝a c o s B ＋b c o s A .

跟踪训练5在△A B C 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：＝.

c o s B c o s C c －b c o s A b －c c o s A

证明方法一左边＝

＝

，

a 2＋c 2－b

2

2a c

a 2＋

b 2－

c 22a b

b (a 2＋

c 2－b 2)c (a 2＋b 2－c 2)右边＝

＝

，

c －b ·b 2＋c 2－a 2

2b c

b －

c ·

b 2＋

c 2－a 22b c

b (a 2＋

c 2－b 2

)c (a 2＋b 2－c 2)