生成函数与排列组合

§5 生成函数求解组合问题
例1 解
g( x ) (1 x ... x 5 )(1 x x 2 )(1 x ... x 4 )
是什么数列的生成函数？
展开式的一般项为 x r x r x r x n , 其中 r1 r2 r3 n ,
1 2 3
0 r1 5,0 r2 2,0 r3 4
1 n g( x ) (1 x x 2 ) k C n k 1 x n (1 x ) k k 0
的n 次方系数.
S {n1 a1 , n2 a2 , , nk ak }， 的n 组合数对应 g( x ) (1 x x )(1 x x ) (1 x x )
所以 h2 1, h3 2, h4 5, h5 8, ......
例5
解
某单位有8男5女，从中选出一个小组。要 求男士为偶数，女士至少2人，有多少种组 合方式？ 请注意：每个人是有区别的！
设 a n 表示从8男士中选出偶数的组合数。
0 2 4 6 8 A( x ) C 8 C 8 x 2 C 8 x 4 C 8 x 6 C 8 x 8
例2
1 排列数： Pn0 , Pn , Pn2 ,, Pnn
x x2 xn Ge ( x ) Pn0 Pn1 Pn2 ... Pnn (1 x )n 1! 2! n!
例3
等比数列： 1, a1 , a 2 , a 3 ,
x x2 xn Ge ( x ) 1 a 1 a 2 ... a n e ax 1! 2! n!
1 28x 2 70x 4 28x 6 x 8
设 bn 表示从5女士中至少选出 人的组合数。 2 B( x ) (1 x )5 1 5 x 10x 2 10x 3 5 x 4 x 5
设 cn 表示满足要求的男女n 组合数。生成函数为 C ( x ) A( x ) B( x ) 10x 2 10x 3 285x 4 281x 5 840x 6 728x 7 630x 8 350x 9 150x 10 38x 11 5 x 12 x 13
x x x3 r g b , r 2 g 2 b2 , r 3 g 3 b3 令 1! 2! 3! 4! 4! x 4 4! 4 3 前式中的4次项化为： 3 2!2! 1!3! 1!1!2! 4!
x x2 x3 x x2 x x2 x3 Ge ( x ) 1 1! 2! 3! 1 1! 2! 1 1! 2! 3! 3 2 4 8
例1 解
S ={2a,b,2c}, 求S 的所有 r 排列数
x x 2 x x x2 1 1 令Ge ( x ) 1 1! 2! 1! 1! 2!
5 4 1 5 1 3x 4x 3x x x 4 4
4! 4! 4! S的4排列共有 4 3 3 70 1!3! 2!2! 1!1!2!
（4）考虑指数生成函数
x2 2 x2 x2 x2 4! x 4 若令 r 2 ,g , 则 r 2 g2 2! 2! 2! 2! 2!2! 4! x4 的系数恰为组合r 2 g 2的排列数。 4! 2
例8
我们有1，5，10，25，50等硬币。50分硬 币只有1个，25分硬币有只有3个，其它硬 币有很多。用这些硬币恰好组成n分钱，共 有多少种方法？
设共有 hn 种方法。 hn 是方程 r1 5r2 10r3 25r4 50r5 n 0 r4 3, 0 r5 1 的非负整数解的个数。 其生成函数为
S的 r 排列数为pr , 其指数生成函数为




n1 n2 2 2 x x x x x x 1 Ge ( x ) 1 1! 2! n1 ! 1! 2! n2 ! x x2 x nk 1 1! 2! nk ! r x 的系数即为S 的r 排列数 pr。 r!
（2）求出Байду номын сангаас体的组合成分 —— 三元展开式：
1 r r
2
r
3
1 g g 1 b b
2
2
b
3

所有2组合 所有3组合
1 ( r g b) ( r 2 g 2 b 2 rg rb gb )
( r 3 r 2 g rg 2 r 2b rgb g 2b rb 2 gb 2 b 3 ) ( rb 3 gb 3 r 2b 2 rbg2 b 2 g 2 r 3 g r 2 gb rg 2b r 3b r 2b 2 )
x n的系数 hn 恰为上述方程的非负整 数解的个数 .
所以，g ( x )是 上述方程的非负整数解 的个数 hn 的生成函数。
这是过去没有解决的组合问题！
k S {a1 , a2 , an }， 组合数C n 对应
g( x ) (1 x )n 中k 次方的系数
S {a1 , a2 , ak }， 的n 组合数对应
2 3
x x2 x3 5 x4 1 x5 1 3 1! 4 2! 3 3! 4! 5! 1! 2! 3! 4 4! 4 5!
p1 3 1! 3, p2 4 2! 8, p3 3 3! 18, p4 30, p5 30
解
g( x ) (1 x ...)(1 x ...)(1 x ...)
5 10
(1 x 25 x 50 x 75 )(1 x 50 )
1 1 1 1 x 100 (1 x 50 ) 1 x 1 x 5 1 x10 1 x 25
4人小组的数目为x 4的系数285 。 组合为： 2男2女，女， 4
2 2 0 4 组合数恰为 C 8 C 5 C 8 C 5 285
满足要求的所有组合数 为 10 10 285 281 38 5 1 3328
例7
解
hn 是方程 3r1 4r2 2r3 5r4 n 的非负整数解的个数， h n 的生成函数。 求 g ( x ) (1 x 3 x 6 ...) (1 x 4 x 8 ...) (1 x 2 x 4 ...) (1 x 5 x 10 ...) 1 1 1 1 , x 1 3 4 2 5 1 x 1 x 1 x 1 x
三、多重集的排列
设 S n1 a1 , n2 a2 ,, nk ak , 考虑S的r 排列数


先考虑一个特殊问题： S 3r , 2 g, 3b, 即3个红球、2个绿球、3个兰球的各种排列。 （1）求出所有组合：
设S的r组合数为cr , 则c0 , c1 , c2 ,, c8的生成函数为
§6 用指数生成函数求解排列问题 一、问题的提出
0 1 2 n （ x ) n Cn C n x Cn x 2 C n x n 1
x x2 xn 0 1 2 n C n C n 1! C n 2! C n n! 1! 2! n! x x2 xn Pn0 Pn1 Pn2 Pnn 1! 2! n!
C
n 0 n n1
解
x ( n 1) x n
n n 0

所以 hn n 1
例4
用n个水果组成一只个果篮。果篮中可以装 4种水果：苹果为偶数，香蕉为奇数，至多 有4个桔子，至少有一个西瓜。可以有多少 种装法？
解
设共有 hn 种装法。 生成函数为
g( x ) (1 x 2 x 4 ...)(x x 3 ...) (1 x ... x 4 )( x x 2 ...) x 2 (1 x 5 ) 1 x 1 x5 x 2 2 (1 x 2 )2 (1 x )2 1 x 1 x 1 x 1 x 2 3 4 5 6 7 8 x 2 x 5 x 8 x 14x 19x 28x ...
xk 的系数恰好对应Pnk k!
二、指数生成函数
对给定的数列 h0 , h1 , h2 , x x2 xn Ge ( x ) h0 h1 h2 hn 1! 2! n! 称为 { hn } 的指数生成函数。
例1 常函数 hn 1,
x x2 xn G e ( x ) 1 ... ... e x 1! 2! n!
x x x 8! x 1 3x 9 28 70 2! 3! 4! 3!2!3! 8!
设 S n1 a1 , n2 a2 ,, nk ak
S的 r 组合数为cr , 生成函数为


G( x) 1 x x n1 1 x x n2 1 x x nk
所有4组合
S的4组合共有 种, 与所有4 次项对应。 10
[2 2] 型组合有3个， 3] 型组合有4个， [1 [1 1 2] 型组合有3个 。
（3）求出每个4组合的排列
S的4组合共有 种, 与所有4 次项对应。 10
4！ [2 2] 型组合有3个， 3 有 个排列 2！ 2！ 4！ [1 3] 型组合有4个， 4 有 个排列 1！ 3！ 4！ [1 1 2] 型组合有3个 , 有 3 个排列。 1！ 2！ 1！
S 的5组合数=1：2ab2c
例3
用n个水果组成一只个果篮。果篮中可以装 4种水果：苹果为偶数，香蕉为5 的倍数， 至多有4个桔子，至多有一个西瓜。可以有 多少种装法？
设共有 hn 种装法。 n 是方程 h r1 r2 r3 r4 n 的非负整数解的个数。 其生成函数为
g( x ) (1 x 2 ...)(1 x 5 ...)(1 x ... x 4 )(1 x ) 1 1 1 1 x5 (1 x ) 2 5 (1 x )2 1 x 1 x 1 x
G( x ) 1 x x 2 x 3 1 x x 2 1 x x 2 x 3




1 3 x 6 x 2 9 x 3 10x 4 9 x 5 6 x 6 3 x 7 x 8
根据x 4的系数可知, S的4组合共有 种。 10
n1 n2 nk
的n 次方系数.
例2
解
S ={2a, b,2c }, 求S 的所有n 组合数。
设n组合数为 hn , hn的生成函数为
G(x) (1 x x 2 )(1 x )(1 x x 2 ) 1 3x 5x2 5x3 3 x4 x5
S 的1组合数=3：a, b, c S 的2组合数=5：2a, 2c, ab, ac, bc S 的3组合数=5：2ab, 2ac, b2c, a2c, abc S 的4组合数=3：2a2c, 2abc, ab2c