云南省曲靖市宣威市第五中学2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

云南省曲靖市宣威市第五中学2020-2021学年高二上学期期末数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2–340A x x x =|-<，{}|1B x x =≥，则A B 等于（ ）A ．(1,4)-B ．[1,4)C ．(]1,1-D ．(]1,3- 2．复数41i z i=+则z 对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则该截面图形的形状为（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形4．若点(2,A -在抛物线22y px =上，F 为抛物线的焦点，则AF =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5926a a +=，47a =，则10S =（ ） A ．80 B ．90 C ．100 D ．110 6．如图记录了甲、乙两名篮球运动员练习投篮时，进行的5组100次投篮的命中数，若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则x ，y 的值为（ ）A ．4，2B ．3，5C ．5，5D ．4，4 7．函数()()[]cos sin ,,f x x x x x πππ=++∈-的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．设x ∈R ，则“1216x <”是“31x <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知a ∈R 且为常数，圆22:220C x x y ay ++-=，过圆C 内一点（1，2）的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，当弦AB 最短时，直线l 的方程为20x y -=，则此时圆的半径为（ ）A B C D10．已知函数()sin f x x x =，将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π11．已知A ，B ，C 三点都在表面积为25π的球O 的表面上，若AB =60ACB ∠=︒，则球内的三棱锥O ABC -的体积的最大值为（ ）A B C D ．12．若函数()f x 与()g x 满足：存在实数t ，使得()()f t g t '=，则称函数()g x 为()f x的“友导”函数.已知函数21()32g x kx x =-+为函数()2ln f x x x x =+的“友导”函数，则k 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．52二、填空题13．将)(32012化为五进制数为()5abc ，则a b c ++=____________.14．已知向量a ，b 的夹角为120︒，且||3a =，||2b =，则向量a b +在向量a 方向上的投影为____________.15．设实数x ，y 满足约束条件210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =+的取值范围为____________.16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，直线x a =与双曲线的一条渐近线的交点为B ．若30BFA ∠=︒，则双曲线的渐近线方程为____________.三、解答题17．已知函数(),[0,]33x x f x x π=+∈，设()f x 的最大值为M ，记()f x 取得最大值时x 的值为θ.（1）求M 和θ；（2）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若2a =，b =，B θ=，求c 的值.18．随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争.吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务.在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如图所示.（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收人薪资高于8000元的城市的概率；（2）若从月平均收入薪资与月平均期望薪资之差高于1000元的城市中随机选择2座城市，求这2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元的概率.19．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，1AD CD ==，E 为AB 的中点.将BCE 沿CE 折起，使点B 到达点F 的位置，且平面CEF 与平面ADCE 所成的二面角为60︒.（1）求证：平面CEF ⊥平面AEF ；（2）求直线DF 与平面CEF 所成角的正弦值.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为13. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 为椭圆C 上位于x 轴上方的两点，且12//F M F N ，记直线AM ，BN 的斜率分别为12,k k ，且12320k k +=,求直线1F M 的方程.21．已知函数1()ln f x x x=-. （1）令()()2g x f x x =-，求()g x 的单调区间；（2）若直线:l y ax b =+是函数()f x 的图象的切线，且,a b ∈R ，求+a b 的最小值.22．记公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，6a 是3a 与12a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .参考答案1．B【解析】【分析】解一元二次不等式化和化简集合A ，再进行交集运算，即可得答案.【详解】∵{}2}–340{|14A x x x x x ==-<-<|<，∴[14)A B =，.故选：B.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题.2．D【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，再求其共轭复数，即可得答案.【详解】 ∵4i 4i(1i)4i 422i 1i (1i)(1i)2z -+====+++-， ∴22i z =-，对应的点的坐标为(2,2)-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数的除法运算、共轭复数概念，考查运算求解能力，属于基础题.3．B【分析】利用三视图还原几何体的直观图，即可得答案.【详解】由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥，且三棱锥的两条侧棱相等，所以截面是等腰三角形，如图所示，故选：B..【点睛】本题考查三视图的成图原理，考查空间想象能力，属于基础题.4．C【分析】利用点在在抛物线22y px =上求出p 的值，再利用焦半径公式，即可得答案. 【详解】∵点(2A -，在抛物线22y px =上，∴2(4p -=，即2p =， ∴||2A p AF x =+=213+=. 故选：C.【点睛】本题考查求抛物线的方程、焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题.5．C【分析】利用等差中项求得713a =，再利用等差数列前n 项和公式，即可得答案.【详解】∵5926a a +=，∴759226a a a =+=，解得：713a =，∵47a =，∴1104771320a a a a +=+=+=， ∴1011010()1002S a a =+=. 故选：C.【点睛】本题考查等差数列中基本量法的运用，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.6．D【分析】利用中位数的概念求出y 的值，因为甲、乙的平均数相等，可求得x 的值，即可得答案.【详解】甲的中位数为64，则乙的中位数为64，即4y =；因为甲、乙的平均数相等，则个位数也相等，乙的个位数之和为9274830++++=，个位数为0，则甲的个位数之和为624++416x x ++=+，若个位数为0，则4x =，即x y ，的值为4，4.故选：D.【点睛】本题考查茎叶图、中位数、平均数的计算，考查数据处理能力，属于基础题.7．D【分析】 利用函数为奇函数和π2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的符号，利用排除法，即可得答案. 【详解】∵[],x ππ∈-关于原点对称，且()cos sin(π)cos sin f x x x x x x x =++=-， ∴()cos sin (cos sin )f x x x x x x x -=-+=--=()f x -，∴函数()f x 是奇函数，排除A ，C ；cos s ππππi ππn 03333626f -⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，排除B . 故选：D.【点睛】本题考查根据函数的解析式选择函数的图象，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意从图形中提取信息.8．A【分析】分别解两个不等式，再利用集合间的关系进行判断充分性与必要性，即可得答案.【详解】 ∵416122x -<=，得4x <-； ∵31x<，得0x <或3x >， ∴4x <-能推出0x <或3x >，反之推不出， ∴“1216x <”是“31x <”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查充分条件与必要条件，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化为集合间的关系. 9．B【分析】圆C 化成标准方程为222(1)()1x y a a ++-=+，圆心坐标为(1)C a -，，，根据圆的性质得过圆心与点(12)，的直线与直线20x y -=垂直时弦最短，求出a 的值，即可得答案.【详解】圆C 化成标准方程为222(1)()1x y a a ++-=+，圆心坐标为(1)C a -，，，如图，由题意得，过圆心与点(12)，的直线与直线20x y -=垂直时弦最短， 则21112a -=---，即3a =，=故选：B.【点睛】本题考查直线与圆相交的弦长问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意弦长公式的应用.10．A【分析】 利用函数的平移变换得π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再根所图象关于y 轴对称，得到角的终边落在y 轴上，即π2π3πm k +=+，k Z ∈，即可得答案. 【详解】()sin 2s πin 3f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移m 个单位长度后， 得到函数π2sin 3y x m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象， 又所得到的图象关于y 轴对称，所以π2π3πm k +=+，k Z ∈， 即ππ6m k =+，k Z ∈， 又0m >，所以当0k =时，m 的最小值为π6. 故选：A.【点睛】本题考查三角函图象的变换、偶函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11．C【分析】由球O 的表面积为25π，得球的半径52R =，求得球心到底面的距离，再利用余弦定理和基本不等式，求得底面面积的最大值，即可得答案.【详解】如图，由球O 的表面积为25π，得球的半径52R =，∵AB =60ACB ∠=︒，∴A ，B ，C 三点所在圆的半径为122r ==，所以球心O 到平面ABC 的距离32d ==，在ABC 中，由余弦定理得2222cos60AC BC AC BC =+-⋅⋅︒，即2212AC BC AC BC AC BC =+-⋅≥⋅，则max 1()sin 602ABC S AC BC =︒=△∴球内的三棱锥O ABC -的体积的最大值为1332⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥与球的内接问题、三棱锥体积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意基本不等式的应用.12．C【分析】由()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，再利用参变分离和构造函数，求得函数的最小值，即可得答案.【详解】()1g x kx '=-，由题意，()g x 为函数()f x 的“友导”函数，即方程2ln 1x x x kx +=-有解，故1ln 1k x x x=++，记1()ln 1p x x x x =++，则22211()1ln ln x p x x x x x -'=+-=+， 当1x >时，2210x x->，ln 0x >，故()0p x '>，故()p x 递增； 当01x <<时，2210x x-<，ln 0x <，故()0p x '<，故()p x 递减， 故()(1)2p x p ≥=，故由方程1ln 1k x x x =++有解，得2k ≥， 所以k 的最小值为2.故选：C.【点睛】本题考查函数新定义题、导数求函数的最值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变离法的应用.13．7【分析】先将“三进制”转化为“十进制”数，再转化为“五进制数”，即可得答案.【详解】“三进制”数)(32012转化为“十进制”数为32102303132359⨯+⨯+⨯+⨯=，将十进制数59转化为五进制数：595114÷=，11521÷=，2502÷=， ∴将十进制数59化为五进制数是(5)214，则7a b c ++=.故答案为：7.【点睛】本题考查“三进制”转化为“五进制数”，考查运算求解能力，求解时注意要实现两种进制的转化，而以“十进制”为过渡.14．2【分析】先计算向量a b +与向量a 的数量积，再代入投影公式中，即可得答案.【详解】∵21()||||||cos12093262a b a a a b ⎛⎫+=+︒=+⨯⨯-= ⎪⎝⎭， ∴所以向量a b +在向量a 方向上的投影为()2||a b a a +=. 故答案为：2.【点睛】 本题考查向量数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.15．3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【分析】作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案.【详解】由实数x ，y 满足约束条件210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，，，作出可行域如图，化目标函数12z x y =+为22y x z =-+， 由图可知，当直线22y x z =-+过点1122B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为34； 当直线22y x z =-+过点(11)A ，时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为32， ∴12z x y =+的取值范围为3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 故答案为：3342⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查线性规划问题，求解时注意直线在y 轴上的截距最大时，z 取最大值.16．0y ±=【分析】根据tan BFA ∠的值得到关于,a b 的方程，从而求得渐近线的斜率，即可得答案.【详解】由题意，可得(0)A a ，，双曲线的渐近线方程为0ay bx ±=， 不妨设B 点为直线x a =与b y x a=的交点，则B 点的坐标为()a b ，， 因为AB FA ⊥，30BFA ∠=︒，所以tan BFA ∠=||||AB b FA a c ===+，解得b a=0y ±=.故答案为：0y ±=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、直线与双曲线的位置关系，求解时注意根据题意构造关于,a b 的方程.17．（1）2M =，3π4θ=（2）c =【分析】（1）利用辅助角公式化简()2sin 3π4x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据[0π]x ∈，，求得π34x +的范围，利用单位圆的三角函数线，即可得答案；（2）由余弦定理得到关于c 的方程，解方程即可得答案.【详解】（1）由已知得()2sin 33π34x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 因为[0π]x ∈，，所以，k Z ∈， 当32ππ4x +=，即3π4x =时，max ()2f x =， 所以2M =，3π4θ=. （2）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得222242c c ⎛-⨯⨯-+= ⎝⎭，即2160c +-=，解得c =c =-（舍去），故c =【点睛】本题考查三角函数辅助角公式、最值、余弦定理，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意整体角度范围的应用.18．（1）715（2）25【分析】（1）记事件A 为该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市，利用古典概型可得概率()P A ； （2）记2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ，利用古典概型可得概率()P B .【详解】（1）设该生选中月平均收入薪资高于8000元的城市为事件A ，15座城市中月平均收入薪资高于8000元的有7个， 所以7()15P A =. （2）月平均收入薪资和月平均期望薪资之差高于1000元的城市有6个，其中月平均期望薪资高于8000元的有3个，记为1A ，2A ，3A ；月平均期望薪资低于8000元的有3个，记为1B ，2B ，3B ，选取两座城市所有的可能为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B 23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，31A B ，32A B ，33A B ，12B B ，13B B ，23B B ，共15种，设2座城市的月平均期望薪资都高于8000元或都低于8000元为事件B ， 所以62()155P B ==. 【点睛】本题考查古典概型概率计算，考查数据处理能力，属于基础题.19．（1）证明见解析（2）4【分析】（1）证明CE EF ⊥，CE AE ⊥，可得线面垂直，再利用线面垂直判定定理可证面面垂直；（2）以E 为坐标原点，分别以,EA EC 的方向为y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，求得31,,122DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭和平面CEF 的一个法向量(1,3,0)n =-，再代入向量的夹角公式，即可得答案.【详解】（1）证明：由题设得四边形ADCE 为正方形，则CE EF ⊥，CE AE ⊥，又EF AE E =，EF ⊂平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，∴CE ⊥平面AEF .又CE ⊂平面CEF ，∴平面CEF ⊥平面AEF .（2）由CE EF ⊥，CE AE ⊥，得AEF ∠是二面角F CE D --的平面角，即60AEF ∠=︒，又1AE EF ==，∴AEF ∆为正三角形.以E 为坐标原点，分别以,EA EC 的方向为y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示，则(0,0,0),(0,0,1),(0,1,1)E C D，1,02F ⎫⎪⎪⎝⎭，从而(0,0,1)EC =，31,022EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31,122DF ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 设平面CEF 的一个法向量为(,,)n x y z =， 则00n EC nEF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102z x y =⎧+=， 取1x =，则(1,3,0)n =-，设直线DF 与平面CEF 所成的角为θ，则||3sin cos ,|||||22DF nDF n DF n θ⋅=〈〉===⨯ 所以直线DF 与平面CEF【点睛】 本题考查空间中线面垂直、面面垂直的证明、向量法求线面角，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意空间直角坐标系在建立之前，要证明三条直线两两互相垂直.20．（1）22198x y （2）0y -+=【分析】 （1）根据长轴长为6，离心率为13，可求得,,a b c 的值，即可得答案； （2）设的1F M 方程为1x my =-，111()(0)M x y y >,，直线1F M 与椭圆的另一个交点为()22,M x y '，利用12320k k +=得到方程12125640my y y y ++=，与韦达定理联立，求得12,y y ，进一步求得关于m 的方程，求出m 的值，即可得到直线方程.【详解】（1）由题意，可得26a =，13c a =，222a b c =+， 联立解得3a =，1c =，b = ∴椭圆的标准方程为22198x y .（2）如图，由（1）知12(3,0),(3,0),(1,0),(1,0)A B F F --，设的1F M 方程为1x my =-，111()(0)M x y y >,，直线1F M 与椭圆的另一个交点为()22,M x y '，∵12//F M F N ，根据对称性可得()22,N x y --，联立2289721x y x my ⎧+=⎨=-⎩，整理得()228916640m y my +--=， ∴1221689m y y m +=+，1226489y y m -=+ ∵1223k k =-，∴1122022032y my y my -+=--+， 即12125640my y y y ++=，联立解得1212889m y m =+，2211289m y m -=+， ∵10y >，20y <，∴0m >，∴1222212811264898989m m y y m m m --=⋅=+++，∴m = ∴直线1F M的方程为112x y =-，即0y -+=. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线斜率公式、直线与椭圆的位置关系、对称性，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的应用.21．（1）单调增区间为0,1，单调减区间为(1,)+∞（2）1-【分析】（1）求出1()ln 2g x x x x=--，再求导、解不等式，从而得到函数的单调区间； （2）设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将+a b 表示成关于0x 的函数，再构造函数利用导数研究函数的最小值，即可得答案.【详解】（1）函数1()()2ln 2g x f x x x x x=-=--的定义域为(0,)+∞， 则2221121()2x x g x x x x-++'=+-=， 当01x <<时，()0g x '>，函数()g x 为增函数；当1x >时，()0g x '<，函数()g x 为减函数，所以()g x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为(1,)+∞.（2）设切点坐标为0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则切线的斜率为()020011a f x x x '==+， 将切点坐标0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入直线:l y ax b =+，可得002ln 1b x x =--， 所以020011ln 1a b x x x +=-+-. 令211()ln 1(0)h x x x x x =-+->， 则2332(2)(1)()(0)x x x x h x x x x+-+-'==>， 令()0h x '<，解得01x <<，()h x 在区间()0,1上为减函数；令()0h x '>，解得1x >，在区间(1,)+∞上为增函数，所以()(1)1h x h ≥=-，故+a b 的最小值为1-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间、导数的几何意义、导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.22．（1）2n a n =（2）21n n + 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等比中项的性质，求得数列的公差，从而求得通项公式； （2）求出等差数列的前n 项和n S ，再利用裂项相消法求和，即可得答案.【详解】（1）根据题意，得26312a a a =⋅，即2(25)(22)(211)d d d +=++，解得2(0)d d =≠，∴22(1)2n a n n =+-=.（2）由（1）得(1)22(1)2n n n S n n n -⨯=+=+，∴22112(1)1nS n n n n⎛⎫==-⎪++⎝⎭，∴1111112 2121223111 nnTn n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式、裂项相消法求和，考查逻辑推理能力和运算求解能力.。