全等三角形性质及其应用
全等三角形的判定和性质
全等三角形的判定和性质在初中数学的学习中，全等三角形是一个非常重要的概念。
它不仅在几何证明中经常出现，而且对于培养我们的逻辑思维和空间想象力也有着重要的作用。
接下来，让我们一起深入了解全等三角形的判定和性质。
一、全等三角形的定义能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。
比如，三角形 ABC 全等于三角形 DEF，记作“△ABC≌△DEF”。
二、全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等这意味着，如果△ABC ≌△DEF，那么 AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF。
2、全等三角形的对应角相等即∠A ＝∠D，∠B ＝∠E，∠C ＝∠F。
3、全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等例如，如果两个三角形全等，那么它们对应的角平分线长度相等，对应的中线长度相等，对应的高的长度也相等。
4、全等三角形的周长相等、面积相等因为全等三角形的对应边相等，所以它们的周长必然相等。
而由于对应边和对应高都相等，根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），可得它们的面积也相等。
三、全等三角形的判定1、 SSS（边边边）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
例如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，BC ＝ EF，AC ＝ DF，那么就可以判定△ABC ≌△DEF。
2、 SAS（边角边）如果两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。
比如，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，BC ＝ EF，那么△ABC ≌△DEF。
3、 ASA（角边角）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
假设在△ABC 和△DEF 中，∠A ＝∠D，AB ＝ DE，∠B ＝∠E，就能够得出△ABC ≌△DEF。
4、 AAS（角角边）如果两个三角形的两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。
相似与全等三角形的性质
相似与全等三角形的性质三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有丰富的性质和特点。
在三角形的研究中，相似和全等是两个重要的概念。
本文将探讨相似与全等三角形的性质，并分析它们在几何学中的应用。
一、相似三角形的性质相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件是：它们的对应角度相等，对应边的比例相等。
1. 对应角度相等在两个相似三角形中，它们的对应角度是相等的。
也就是说，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。
2. 对应边的比例相等在相似三角形中，对应边的比例是相等的。
如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形是相似的。
例如，如果三角形ABC和三角形DEF满足AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么它们就是相似三角形。
相似三角形的性质不仅在理论上非常重要，在实际应用中也具有广泛的应用。
例如，在地图上测量距离时，我们经常使用相似三角形的性质来计算实际距离。
二、全等三角形的性质全等三角形是指具有相同形状和尺寸的三角形。
两个三角形全等的条件是：它们的对应边和对应角度都相等。
1. 对应边相等在两个全等三角形中，它们的对应边是相等的。
也就是说，如果两个三角形的三边相互对应相等，那么这两个三角形是全等的。
2. 对应角度相等在全等三角形中，它们的对应角度也是相等的。
如果两个三角形的三个角度互相对应相等，那么这两个三角形是全等的。
利用全等三角形的性质，可以进行一些三角形的证明和计算。
例如，在证明两条线段相等时，可以通过构造全等三角形来进行证明。
三、相似与全等三角形的应用相似与全等三角形在几何学的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1. 测量距离和高度利用相似三角形的性质，可以通过测量图上的尺寸来计算实际距离和高度。
比如在测量高楼的高度时，可以利用相似三角形的原理，通过测量影子的长度和角度来计算出高楼的实际高度。
2. 地图制图在地图制图中，为了能够在有限的纸面上展现出真实的地理信息，常常需要对地图进行缩放。
全等三角形判定ppt课件
若两个三角形全等，则它们的周长也 相等。
对应角相等
在全等三角形中，任意两个对应 的角都相等。
若两个三角形全等，则它们的内 角和也相等，且均为180度。
可以通过测量两个三角形的三个 内角来判断它们是否全等。
面积相等
若两个三角形全等，则它们的面积也相等。 可以通过计算两个三角形的面积来判断它们是否全等。
1 2
定义
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
图形语言
若a=a'，∠B=∠B'，b=b'，则⊿ABC≌⊿A'B'C'。
3
符号语言
∵a=a'，∠B=∠B'，b=b'，∴⊿ABC≌⊿A'B'C'（ SAS）。
角边角判定法（ASA）
01
02
03
定义
两角和它们的夹边分别相 等的两个三角形全等。
图形语言
实例1
证明两个三角形全等并求出未知 边长
实例2
利用全等三角形判定方法证明两个 四边形面积相等
实例3
利用全等三角形判定方法解决一个 实际问题，如测量一个不可直接测 量的距离
06
总结与展望
判定全等三角形的方法总结
三边分别相等的两个三角形全等。这是最基本的判定 方法，通过比较三角形的三边长度来确定两个三角形
证明过程
可以通过AAS（角角边）全等条件进行证明，即 如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分 别相等，则这两个三角形全等。这也是一种常用 的全等三角形判定方法。
实际应用举例
在实际应用中，角角边判定法常用于解决与角度 和边长有关的问题。例如，在建筑设计中，如果 需要确保两个建筑结构的角度和边长完全相等， 就可以利用角角边判定法来进行验证。
三角形的全等性质
三角形的全等性质三角形是几何学中的基本形状之一，它有许多重要的性质和定理。
其中，全等性质是三角形的重要性质之一，指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形是全等的。
本文将介绍三角形全等性质的定义、判定方法，以及全等性质的应用。
一、全等性质的定义对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应边长相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF，并且对应角度也相等，即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，那么我们可以说三角形ABC与三角形DEF是全等的。
全等性质可以用符号≌表示，即ABC≌DEF。
二、全等性质的判定为了判断两个三角形是否全等，我们可以利用下列常用的判定方法：1. SSS判定法（边-边-边）如果两个三角形的三条边分别相等，那么它们是全等的。
2. SAS判定法（边-角-边）如果两个三角形的一条边和与其相邻的两个角分别相等，那么它们是全等的。
3. ASA判定法（角-边-角）如果两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等，那么它们是全等的。
4. RHS判定法（斜边-直角边-斜边）如果两个直角三角形的斜边和一个直角边分别相等，那么它们是全等的。
通过以上四种判定方法，我们可以准确地判断两个三角形是否全等。
三、全等性质的应用全等性质在解决几何问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 三角形的构造利用全等性质，我们可以根据已知条件构造全等的三角形。
例如，已知两条边和夹角大小，我们可以通过SAS判定法构造出全等的三角形。
2. 证明几何定理在证明几何定理时，我们常常利用全等性质来推导结论。
通过证明两个全等三角形的对应边和对应角相等，可以得到一些重要的几何定理。
3. 求解三角形的未知量当我们已知一些三角形的边长和角度大小时，利用全等性质可以求解出三角形其他未知量，如另外两个角度的大小、三角形的面积等。
4. 判定图形的全等除了三角形，全等性质在判定其他图形的全等时也是十分有用的。
我们可以利用全等性质来判断两个四边形、两个多边形甚至其他更复杂的图形是否全等。
《全等三角形》数学教学PPT课件(6篇)
E A
F
B
C
∆ABC ≌ ∆FDE
对应顶点 对应顶点 对应顶点 对应角 对应角 对应角 对应边 对应边 对应边
41
课堂测试 1.如果∆ABC≌ ∆ADC，AB=AD，∠B=70°, BC=3cm,那么∠D=___7_0,D°C=____3cm
D
课堂测试
2、若△AOC≌△BOD，对应边是 应角是 ；
小组讨论完成
解：∵ △ABD ≌ △EBC，∴AB=EB，BD=BC, ∵BD=ED+EB ∴DE=BD-EB=BC-AB=5-3=2cm.
三、巩固练习
基础练习（教材第三十二页练习1-2题）
四、课堂小结，请大家回顾一下：
这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？学生充分讨论回答。
点评梳理：
（1）全等三角形的概念及表示方法； （2）全等三角形的性质及应用。
思考
将两个全等三角形重合在一起，
重合的顶点叫对应顶点
A
D
重合的边叫对应边
重合的角叫对应角
根据动画效果，你能说出
这两个全等三角形的对应顶点、
B
CE
F 对应边、对应角各是什么吗？
36
全等三角形表示
如果两个三角形全等，那么该如何表示吗？
A
D
右图中的∆ABC和∆DEF全等
记作: ∆ABC ≌ ∆DEF
五、课后练习
1、教材第33-34页，1-6题。
第十二章 全等三角形
12.1 全等三角形
人教版 数学（初中） （八年级 上）
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三角形的相似和全等性质
三角形的相似和全等性质三角形是几何学中的基本图形之一，它具有各种特性与性质。
其中，相似性与全等性质是三角形的重要性质之一。
本文将探讨三角形的相似性与全等性质，并详细阐述它们的定义、判定条件以及应用。
一、相似性质1. 相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们对应角度相等，即对应的三个内角互相等于对方，记作∠ABC ≌∠XYZ、∠ACB ≌∠YXZ、∠BAC ≌∠ZYX。
相似三角形的记法为三角形ABC ∽三角形XYZ。
2. 相似三角形的判定条件（1）AA相似判定法：如果两个三角形的两个对应角相等，则这两个三角形相似。
即，若∠ABC ≌∠XYZ，且∠ACB ≌∠YXZ，则三角形ABC ∽三角形XYZ。
（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的两个对应边成比例，且夹角相等，则这两个三角形相似。
即，若AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，且∠ABC ≌∠XYZ，则三角形ABC ∽三角形XYZ。
（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的三对边成比例，则这两个三角形相似。
即，若AB/XY = BC/YZ = AC/XZ，则三角形ABC ∽三角形XYZ。
3. 相似三角形的性质（1）对应边成比例：相似三角形的对应边成比例。
即，AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。
（2）对应角相等：相似三角形的对应角相等。
即，∠ABC ≌∠XYZ、∠ACB ≌∠YXZ、∠BAC ≌∠ZYX。
（3）周长比例关系：相似三角形的周长之比等于对应边的比例。
即，(ABC的周长)/(XYZ的周长) = AB/XY = BC/YZ = AC/XZ。
（4）面积比例关系：相似三角形的面积之比等于对应边长的平方比例。
即，(ABC的面积)/(XYZ的面积) = (AB/XY)^2 = (BC/YZ)^2 = (AC/XZ)^2。
二、全等性质1. 全等三角形的定义全等三角形是指具有相同形状与大小的三角形。
全等三角形和相似三角形的性质和应用
全等三角形和相似三角形的性质和应用三角形作为几何学中最基本的图形之一，具有多种重要的性质和应用。
其中，全等三角形和相似三角形是常见的三角形类型。
本文将探讨全等三角形和相似三角形的性质和应用，并讨论它们在实际问题中的运用。
一、全等三角形的性质和判定方法全等三角形是指具有相同三边和三个内角相等的三角形。
以下是关于全等三角形的性质及其判定方法。
1. 边-边-边（SSS）判定法：当两个三角形的三条边分别相等时，这两个三角形全等。
2. 角-边-角（ASA）判定法：当两个三角形的两个角和它们的夹边分别相等时，这两个三角形全等。
3. 边-角-边（SAS）判定法：当两个三角形的两条边和这两边夹角的度数分别相等时，这两个三角形全等。
4. 直角三角形的判定：如果两个直角三角形的两条直角边分别相等，那么这两个三角形全等。
全等三角形的性质可以应用于各种几何证明和计算中，具有重要的研究价值。
二、相似三角形的性质和判定方法相似三角形是指具有对应角相等的三角形。
以下是关于相似三角形的性质及其判定方法。
1. AAA相似判定法：当两个三角形的三个内角对应相等时，这两个三角形相似。
2. AA相似判定法：当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形相似。
3. 边比例相等判定法：当两个三角形的对应边之比相等时，这两个三角形相似。
相似三角形的性质在尺规作图、测量和计算中有广泛的应用。
三、全等三角形和相似三角形的应用全等三角形和相似三角形的性质和判定方法在实际问题中有许多应用。
以下是全等三角形和相似三角形的一些应用。
1. 尺规作图：通过相似三角形的性质，我们可以根据已知的几何条件来绘制图形。
2. 可视化测量：通过测量两个实际物体和它们的阴影或相似图形的尺寸，我们可以计算出一个物体的尺寸，而无需直接测量。
3. 实际问题的解决：许多实际问题都可以通过应用全等三角形和相似三角形的性质来求解，例如计算高楼的高度、测量无法直接测量的距离或高度等。
4. 工程建筑：在建筑和工程领域中，全等三角形和相似三角形的应用非常广泛，包括建筑设计、工程测量、公路施工等。
全等三角形的性质
全等三角形的性质全等三角形是指具有完全相等的形状和大小的三角形。
在几何学中，全等三角形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨全等三角形的性质，包括定义、判定条件以及相关的定理和应用。
一、定义全等三角形定义为具有完全相等的形状和大小的三角形。
换句话说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形就是全等三角形。
全等三角形可以通过一系列变换操作来叠加在一起，如平移、旋转和翻转。
二、判定条件为了判断两个三角形是否全等，需要满足以下条件之一：1. SSS判定法：两个三角形的三条边相互对应相等。
2. SAS判定法：两个三角形的两条边和夹角相对应相等。
3. ASA判定法：两个三角形的一边和两个夹角相互对应相等。
4. RHS判定法：两个直角三角形的斜边和一个直角边相互对应相等。
三、全等三角形的性质全等三角形具有以下性质：1. 三个内角完全相等：两个全等三角形的对应内角相等，即三个内角相互对应相等。
2. 三个内角和相等：两个全等三角形的内角和分别相等。
3. 对应的边相等：两个全等三角形的对应边分别相等。
4. 周长相等：两个全等三角形的周长相等。
5. 面积相等：两个全等三角形的面积相等。
四、全等三角形的相关定理全等三角形的性质使得它们具有一些重要的应用和相关定理，如下所示：1. 位于全等三角形相等边上的等角一定相等。
2. 位于全等三角形等角上的边上的角平分线相等。
3. 全等三角形的重心、外心和内心重合。
4. 如果两个三角形的某一边与两个相对角分别相等，则这两个三角形全等。
5. 全等三角形之间的比较定理，包括大小关系和边长比例关系。
五、应用全等三角形在几何学和实际生活中具有广泛的应用，例如：1. 测量和导航：通过观测两个全等三角形的边长和角度，可以计算出距离和方向。
2. 建筑和工程：使用全等三角形的定理来设计、计算和建造各种结构和设备。
3. 图像处理：利用全等三角形的性质来进行图像变换和形状匹配。
4. 运动轨迹：通过观察全等三角形的形状和大小变化，可以描述物体的运动轨迹。
全等三角形的性质与判定的综合应用
全等三角形的性质与判定的综合应用全等三角形的对应角、对应边是相等的，全等三角形的判定是“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”，在说明线段相等或角相等时，常常需要综合运用全等三角形的性质和判定，下面举例予以说明。
一、说明线段相等例1、如图1，在△ABC 与△ABD 的顶点A 和D 均在BC 的同旁，AB=DC ，AC=DB ，AD 与BC 相交于O 点，则OA 与OD 相等吗若相等，请说明理由。
分析：要使OA=OD ，可分析△ABO 与△DCO 是否全等，但是条件中有一组边对应相等（AB=DC ），一组角对应相等（对顶角），显然不具备全等的条件。
但由已知条件可推出△ABC ≌△DCB ，再根据全等的性质可得∠A=∠D ，再根据全等三角形的判定“AAS”推出△ABO ≌△DCO ，从而得到OA=OD 。
解：OA=OD ，理由如下：在△ABC 和△DCB 中，因为AB=DC ，AC=BD ，BC=CB ，所以△ABC ≌△DCB （SSS ），所以∠A =∠D ，在△ABO 与△DCO 中因为∠A =∠D ，∠AOB=∠DOC ，AB=DC所以△ABO ≌△DCO ，所以OA=OD点评：本题考查了全等三角形的判定和性质。
说明两条线段相等时，可考虑着两条线段所在的两个三角形是否全等，若由已知条件不能直接说明这两个三角形全等时，可以由已知条件先推出其它的三角形全等，再由全等三角形的性质得到一些线段或角相等，为说明前面的三角形全等提供条件。
二、说明角相等例2、如图2，AB 、MN 与CD 相交于点O ，OA=OB ，OM=ON ，试问：∠D 与∠C 相等吗若相等，请进行说明理由. O D C B A 图1分析：要得到∠D=∠C，只需说明△BOD≌△AOC Array即可，但是由已知条件不能直接说明这两个三角形全等，但是由已知条件可推出△BON≌△AOM，由全等三角形的性质得到∠A=∠B，再结合OA=OB，∠AOC=∠BOD，即可说明△BOD≌△AOC。
三角形全等的判定及应用
中小学1对1个性化辅导 爱上学习，从执学开始知识要点： 全等三角形② 全等三角形面积相等． 方法指引：2、证明两个三角形全等的基本思路：(1)已知两边__________)(____________)(__________)⎧⎪⎨⎪⎩找第三边（找夹角其中一边的对角是直角 (2)已知一边一角(_____)(_____)(_____)(_____)(_____)⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩找这边的另一邻角已知一边与邻角找这个角的另一邻边找这边的对角找一角已知一边与对角已知是直角，找一边 (3)已知两角______________)(______________)⎧⎪⎨⎪⎩找夹边（找夹边外任意一边 3． 证明的书写步骤：（1）准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； （2）三角形全等书写三步骤：①写出在哪两个三角形中；②摆出三个条件用大括号括起来；③写出全等结论。
4．利用全等三角形证明线段或角相等的思路如下：⑴观察要证的线段和角在哪两个可能全等三角形之中；⑵分析要证的这两个全等三角形，已知什么条件，还缺什么条件；⑶设法证出所缺的条件。
注：学习全等三角形应注意以下几个问题（1）正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； （2）表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；（4）注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”等。
经典例题讲解1、（2008年四川省宜宾市）已知:如图,AD=BC,AC=BD.求证:OD=OCAB2、（2008年陕西省）已知：如图，B C E=，∥，AC CE，，三点在同一条直线上，AC DE∠=∠．ACD B求证：ABC CDE△≌△．O点，12∠=∠，4、（2008 四川泸州）如图4，E是正方形ABCD的边DC上的一点，过点A作FA⊥AE交CB 的延长线于点F，求证：DE=BFF ED CB A5、（2008福建省泉州市）已知：如图，E 、C 两点在线段BF 上，BE=CF ，AB=DE ， AC=DF,求证:ABC DEF ∆≅∆6、（2011＝∠DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD BD.求证：(1)△BAD ≌△有何特殊位置关系，并证明.7、如图：AB=CD ， 求证：AF=DE 。
全等三角形的判定和性质的应用
CE=5 cm,AF=BE.因为 EF=2 cm,所以 BE=BF-EF=5-2=3 cm,所以 AF=3 cm.
(2)因为△ABF≌△BCE,所以AF=BE,BF=CE.因为BE+EF=BF,所以EF= CE-AF.
3. 含45°的直角三角尺如图放置在平面直角坐标系中,其中A(-2,0),B(0,1),则 点C的坐标为 (-3,2) .
4. (2018菏泽)如图,AB∥CD,AB=CD,CE=BF.请写出DF与AE的数量关系,并证明你的 结论.
解:DF=AE.证明:因为AB∥CD,所以∠C=∠B.因为CE=BF,所以CE-EF=BF-FE,所以CF= BE.又因为CD=BA,所以△DCF≌△ABE(SAS),所以DF=AE.
(3)过B点在等腰△ABC外作一条直线,分别过A,C两点作直线的垂线段,垂 足分别是F,E,请画出图形,并探讨AF,EF,EC之间的数量关系并说明理由.
解:(3)如图,过 B 点在△ABC 外作一条直线,分别过 A, C 两点作直线的垂线段,垂足分别是 F,E,则 EF=CE+AF, 理由如下:因为 AF⊥BF,CE⊥BF,所以∠AFB=∠CEB=90°, 所以∠ABF+∠EBC=∠EBC+∠ECB=90°,所以∠ABF=∠ECB.
解:因为 AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO.又因为 OD⊥CD,所以∠CDO=90°,所以 ∠ABO= 90°,即 BO⊥AB.因为 AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,所 以 OB=OD.在△ABO 和△CDO 中,因为∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠AOB=∠COD,所以 △ABO≌△CDO(ASA).所以 CD=AB=20(米).即标语 CD 的长度为 20 米.
全等三角形 知识点总结
全等三角形知识点总结在初中数学学习中，我们学习到了三角形的全等。
全等三角形是初中数学中一个非常重要的知识点，也是基础中的基础。
全等三角形的概念、性质和判定方法都是我们需要掌握的重点内容。
本文将对全等三角形的相关知识点进行总结，帮助大家更好地掌握和理解这一部分内容。
一、全等三角形的定义什么是全等三角形呢？全等三角形是指在三角形的三个对应角相等、三个对应边相等的情况下，我们就可以称这两个三角形是全等的。
用符号来表示的话，就是∆ABC≌∆DEF，其中A、B、C分别是∆ABC的三个顶点，D、E、F分别是∆DEF的三个顶点。
全等三角形的性质1、全等三角形的性质1：对应角相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应角分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应角是相等的。
2、全等三角形的性质2：对应边相等如果两个三角形是全等的，那么它们的三个对应边分别相等。
也就是说，在全等三角形中，三个对应边是相等的。
3、全等三角形的性质3：对应线段相等如果两个三角形是全等的，那么它们的对应线段（如中线、角平分线等）也相等。
二、全等三角形的判定方法全等三角形有几种判定方法，下面我们分别来看看。
1、全等三角形的判定方法一：SAS判定法SAS判定法是指边-角-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的一个角和两个边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应边相等，且夹在中间的对应角也相等，那么这两个三角形是全等的。
2、全等三角形的判定方法二：ASA判定法ASA判定法是指角-边-角全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的两个角和一个夹在中间的边分别相等，则这两个三角形是全等的。
判定条件：如果在两个三角形中，一对对应角相等，且夹在中间的对应边也相等，那么这两个三角形是全等的。
3、全等三角形的判定方法三：SSS判定法SSS判定法是指边-边-边全等判定法。
也就是说，如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
(完整版)全等三角形知识总结和经典例题
全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。
2、全等三角形的对应边上的高对应相等。
3、全等三角形的对应角平分线相等。
4、全等三角形的对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形周长相等。
( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。
（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
而全等的判定却刚好相反。
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。
以及等角，用于工业和军事。
有一定帮助。
5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
全等三角形常见模型整理
全等三角形常见模型整理1. 全等三角形的定义全等三角形是指具有相等三边或者三角形之间所有对应边、对应角均相等的三角形。
当两个三角形的三边分别相等，或者三个对应角分别相等时，我们可以判断这两个三角形是全等的。
全等三角形的形状和大小是完全相同的，只是位置、方向可能不同。
2. 全等三角形的性质（1）三边相等：如果两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（2）两边一角相等：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
（3）两角一边相等：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（4）全等三角形的特点：全等三角形的对应边和对应角是一一对应的，也就是说对应角相等的对应边也是相等的，反之亦然。
3. 全等三角形的判定方法（1）SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（2）SAS判定法：如果两个三角形的一对对应边和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
（3）AAS判定法：如果两个三角形的一对对应角和其中一边分别相等，则这两个三角形是全等的。
（4）ASA判定法：如果两个三角形的一对对应角和夹角分别相等，则这两个三角形是全等的。
（5）HL判定法：如果两个直角三角形的一对直角和斜边分别相等，则这两个三角形是全等的。
4. 全等三角形的常见模型在几何学中，全等三角形的常见模型有很多，下面我们来整理一些常见的模型及其解题方法。
（1）对顶角相等模型对顶角相等是指两个三角形的一个内角与另一个对应角相等。
解题方法：根据对顶角相等的性质，可以很容易判断两个三角形是否全等。
（2）一边一角一边相等模型一边一角一边相等是指两个三角形的一个角和与之相邻的一条边分别相等。
解题方法：根据一边一角一边相等的性质，可以通过对应边和对应角的关系来判断两个三角形是否全等。
（3）SAS模型SAS（边角边）是指两个三角形的两条边和夹角分别相等。
解题方法：通过给定的边和角的信息，可以判断两个三角形是否全等。
全等三角形及其应用(含解答)
全等三角形及其应用专题辅导1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。
互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。
2. 全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。
通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。
（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。
通过对两个全等三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。
①翻折如图（1），∆BOC≌∆EOD，∆BOC可以看成是由∆EOD沿直线AO翻折180︒得到的；②旋转如图（2），∆COD≌∆BOA，∆COD可以看成是由∆BOA绕着点O旋转180︒得到的；③平移如图（3），∆DEF≌∆ACB，∆DEF可以看成是由∆ACB沿CB方向平行移动而得到的。
5. 判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6. 注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。
全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。
在平面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常需要借助全等三角形的知识。
全等三角形知识点归纳
全等三角形知识点归纳全等三角形是初中数学中的重要内容之一。
本文将对三角形全等的概念、判定条件以及性质进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用全等三角形知识。
一、全等三角形的概念全等三角形是指具有相等对应边长和对应角度的两个三角形。
形象地说，即两个三角形的所有对应部分完全重合。
二、全等三角形的判定条件1. SSS 判定法当两个三角形的三条边分别相等时，即两组对应边长完全一致，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，BC = QR，CA = RP，则△ABC ≌△PQR.2. SAS 判定法当两个三角形的两对边长相等，并且这两组对应边之间的夹角也相等时，即一个三角形的两边和夹角分别等于另一个三角形的两边和夹角，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，BC = QR，∠B = ∠Q，则△ABC ≌△PQR.3. ASA 判定法当两个三角形的两对夹角相等，并且这两组对应边之间的夹角也相等时，即一个三角形的两夹角和边分别等于另一个三角形的两夹角和边，那么这两个三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若∠A = ∠P，∠B = ∠Q，BC = QR，则△ABC ≌△PQR.4. RHS 判定法当两个直角三角形的斜边和一个锐角（或钝角）的任意一条直角边相等时，即一个直角三角形的斜边和一个锐角（或钝角）的任意一条直角边分别等于另一个直角三角形的斜边和同样的一个锐角（或钝角）的直角边，那么这两个直角三角形是全等的。
例如，已知△ABC 和△PQR ，若 AB = PQ，∠B = ∠Q，AC = PR，则△ABC ≌△PQR.三、全等三角形的性质1. 全等三角形的对应边和对应角分别相等。
2. 全等三角形的对应高相等。
3. 全等三角形的对应中线相等。
4. 全等三角形的对应角平分线相等。
5. 全等三角形的对应边上的中垂线和角平分线相等。
全等三角形实际中的例子
全等三角形实际中的例子全等三角形是指具有相同的三个角和相等的三个边的三角形。
在实际生活中，我们可以找到很多与全等三角形相关的例子。
下面列举了十个例子来说明全等三角形的应用。
一、地图上的全等三角形在地理学中，地图上的三角形可以用来测量地球上的距离和角度。
当我们在地图上绘制三角形时，可以使用全等三角形来测量无法直接测量的距离和角度。
二、建筑物的设计在建筑设计中，全等三角形经常被用来保持建筑物的对称性和比例。
例如，在设计一座大型建筑物时，可以使用全等三角形来确定建筑物的比例和比例关系，从而保持建筑物的整体美观和稳定性。
三、裁剪布料在裁剪布料时，可以使用全等三角形来确保裁剪的布料均匀且正确。
通过使用全等三角形的性质，可以将布料正确地对齐，并确保裁剪的布料具有相同的形状和大小。
四、航海导航在航海导航中，全等三角形可以用来测量船只的位置和航向。
通过测量观测到的角度和距离，可以绘制全等三角形来确定船只的位置和目标位置的距离。
五、地面测量在土地测量中，全等三角形可以用来测量地面的高度和距离。
通过观测到的角度和已知的距离，可以绘制全等三角形来计算地面的高度和距离。
六、照相机的焦距调节在摄影中，照相机的焦距调节可以使用全等三角形来确定。
通过观察到的物体大小和距离，可以绘制全等三角形来计算出焦距的调节量。
七、地图的放大和缩小在地图制作中，全等三角形可以用来放大或缩小地图的比例。
通过观察到的角度和距离，可以绘制全等三角形来确定地图的比例尺。
八、建筑物的测量和绘制在建筑测量和绘制中，全等三角形可以用来测量建筑物的高度和距离。
通过观察到的角度和已知的距离，可以绘制全等三角形来计算建筑物的高度和距离。
九、地质勘探在地质勘探中，全等三角形可以用来确定地下的岩层和地质结构。
通过测量地面上的角度和距离，可以绘制全等三角形来计算地下的岩层和地质结构的位置和形状。
十、航空导航在航空导航中，全等三角形可以用来确定飞机的位置和航向。
通过测量观测到的角度和距离，可以绘制全等三角形来计算飞机的位置和目标位置的距离。
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第2章 三角形
2.5.1 全等三角形
专题一 全等三角形的性质及应用
1.如图,△ABC ≌△EBD ,问∠1与∠2相等吗?若相等请证明, 若不相等说出为什么? 解析:由三角形全等,得到对应角相等,然后再沟通∠1和∠2之间的关系.
2.如图,已知△EAB ≌△DCE ,AB 、EC 分别是两个三角形的最长边，∠A =∠C =35°， ∠CDE =100°，∠DEB =10°，求∠AEC 的度数.
专题二 全等三角形的探究题
3.全等三角形又叫合同三角形，•平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形．假设△ABC 和△A 1B 1C 1是全等（合同）三角形，且点A 与A 1对应，点B 与B 1对应，点C •与点C 1对应，当沿周界A →B →C →A 及A 1→B 1→C 1→A 1环绕时,若运动方向相同,则称它们是真正合同三角形，如图1；若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形，如图2．
C 1B 1A 1C B A C 1B 1A 1C B A
(1) (2)
两个真正合同三角形，都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合；而两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻折180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是（ ）．
D C B A
4.如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且△BAD ≌△ACE ．
（1）试说明BD =DE +CE ；
（2）△ABD 满足什么条件时，BD ∥CE ？
B A E 2
1F C D
O
5.如图所示，△ABC 绕着点B 旋转（顺时针）90°到△DBE ，且∠ABC ＝90°. ⑴△ABC 和△DBE 是否全等？指出对应边和对应角;
⑵直线AC 、直线DE 有怎样的位置关系？
【知识要点】
1.能够完全重合的两个图形叫全等形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
【温馨提示】
1.利用全等三角形的性质解决问题时,一定要找准对应元素.
2.全等三角形的对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等,但周长、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.
【方法技巧】
1.全等三角形是指能够完全重合的两个三角形,准确的找出两个全等三角形的对应元素是解决全等三角形问题的关键.在表示两个三角形全等时,对应的顶点要写在对应的位置上.
2.全等三角形的对应边相等,对应角相等,利用这两个性质可以说明线段或角相等,以及线段的平行或垂直等.
3.一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置发生了变化,但形状和大小都没有改变,即经过平移、翻折、旋转前后的图形全等.像这样只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换叫全等变换,常见的有平移变换,翻折变换,旋转变换.
参考答案
1.解：∠1和∠2∵△ABC≌△EBD,∴∠A=∠E(全等三角形对应角相等),又∵∠A+∠AOF+∠1=180°,∠E+∠EOB+∠E=180°(三角形内角和定理),∠AOF=∠BOE(对顶角相等),∴∠1=∠2(等式的性质).
2.解:因为AB、EC是对应边，所以∠AEB=∠CDE=100°，又因为∠C=35°，所以
∠CED=180°-35°-100°=45°，又因为∠DEB=10°，所以∠BEC=45°-10°=35°，所以∠AEC=∠AEB-∠BEC=100°-35°=65°.
3.B 提示:A与C中的两个三角形可以通过旋转，使它们重合．D中的两个三角形可以用平移、旋转相结合的方式使之重合．而B中的两个三角形可以用翻折的方法使之重合，故B•中的三角形是镜面合同三角形．
4.解:（1）因为△BAD≌△ACE，所以BD=AE，AD=CE，又因为AE=AD+DE=CE+DE，所以BD=DE+CE．（2）∠ADB=90°,因为△BAD≌△ACE,所以∠ADB=∠CEB，若BD∥CE，则∠CED=∠BDE，所以∠ADB=∠BDE，又因为∠ADB+∠BDE=180°，所以∠ADB=90°.
5.解:⑴由题知可得：△ABC≌△DBE,
AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；∠A和∠D，∠ACB和∠DEB，∠ABC和∠DBE 是对应角;⑵延长AC交DE于F.∵△ABC≌△DBE∴∠A＝∠D，又∵∠ACB＝∠DCF （对顶角相等）,∠A＋∠ACB＝90°,∴∠D＋∠DCF＝90°,即∠AFD＝90°.∴AC与DE 是垂直的位置关系.。