等比数列前n项和公式和性质

na1,
( q=1).
a1 1 qn a1 anq , (q≠1).
1 q
1 q
等比数列的前n项和公式
已知 a1 、n、 q时
知三求二
已知 a1 、an、 q时
Sn


a1
(1 q 1 q
n
)

(q
1)
na1
(q 1)
Sn

a1 anq

1 q

1,若 S10 S5

31， 32
求 S15 的值。
S10
解： S10 31
S5 32
设S10 31k, S5 32k(k 0)
S5，S10 - S5，S15 - S10成等比数列
(S10 - S5 )2 S5 (S15 - S10 )
即：(31k
- 32k)2
Sn
na1
2
an
nn 1
na1 2 d
推导方法
倒序相加
等比数列
Sn
a1 1 qn 1q
q 1
a1 anq 1q
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
公比是否为1 .
探究1： 性质1：
1. 前n项和公式的函数特征：
当q=1时 Sn na1是n的正比例函数
a17 +a18 +a19 +a20 (a9 +a10 +a11+a12 ) q8 64.
练习2：
(1) 等比数列中，S10＝10，S20＝30，则 S30＝___7_0___.
(2) 等比数列中，Sn＝48，S2n＝60，则 S3n＝___6_3___.
例：等比数列{an}的前n项和为Sn，a1
…… 50001.12台 第n年产量为 5000 1.1n1台
则n年内的总产量为：
5 51.1 51.12 51.1n1
改为数列{2n-1}呢？
• 1．数列{2n－1}的前99项和为( )
• A．2100－1 2100
B．1－
• C．299－1
D．1－299
解析：a1＝1，q＝2，∴S99＝1×11－－2299＝299－1.
例3.某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年 的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今 起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保 留到个位)？
分析：第1年产量为 5000台 第2年产量为 5000×(1+10%)=5000×1.1台
第3年产量为5000×(1+10%) ×(1+10%)
• ∴S4n＝30.故选B.
2:已知等比数列an,a1+a2 +a3+a4 =4,
a9 +a10 +a11+a12 =16,求a17 +a18 +a19 +a20的值.
解 : 设等比数列an为q,
Q a9 +a10 +a11+a12 a1+a2 +a3+a4 q8,
q8 4.
引入：印度国际象棋发明者的故事 （西 萨）
引入新课
分析：由于每格的麦粒数都是前一格的２倍， 共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23,L , 263.
它是以１为首项公比是２的等比数列，
麦粒的总数为:
S64 1 2 22 23 L 263.
2 30 - 1 = 1073741823
• 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，
若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于(
)
• A．80
B．30
• C．26
D．16
• 解析： ∵Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成 等比数列
• ∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n) • ∴(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6 • 又∵(S3n－S2n)2＝(S2n－Sn)·(S4n－S3n) • ∴(14－6)2＝(6－2)·(S4n－14)
解析： ①当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； ②当 q≠1 时，a111－－qq3＝3a1q2， 因为 a1≠0，所以 1－q3＝3q2(1－q)， 因为 q≠1， 所以 1－q≠0，化简得 1＋q＋q2＝3q2，
解得 q＝－12或 q＝1(舍) 综上，q 的值为 1 或－12.
错位相减法
Sn a1 a2 a3 an1 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 ① qSn a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 0 0 a1qn
答案：C
• 2．在等比数列{an}中，已知a1＝3，an＝96 ，Sn＝189，则n的值为( )
• A．4
B．5
• C．6
D．7
解析：an＝a1·qn－1＝96＝3·qn－1，∴qn－1＝32，Sn＝
a1－anq 1－q
＝31－－9q6q＝189，1－1－32qq＝63.解得q＝2.∴n＝6.
答案：C
(q

1)
na1
(q 1)
知识回顾：
通项公式： an a1qn1
前n项和公式：
Sn

na1 a1(1

q
n
)
1 q

a1 anq 1q
(q 1) (q 1)
两个公式共有5个基本量:
a1 ，q，n，an，Sn可知“三求二”.
填表
数列
等差数列
前n 项和 公式
实数m＝____-_1_____.
1、若等比数列 {an }的前n项和Sn 3n1 2a，求a的值。
化简到：Sn

1 3n 3

2a
1 2a 0 a 1
3
6
例1、求下列等比数列前8项的和
(1) 1 , 1 , 1 , 2 48
(2)a1

27, a9

1 ,q 243
我们知道，等差数列有这样的性质：
如果an 为等差数列 ，则Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等差数列。
等比数列前n项和的性质二：
如果an为等比数列，nSk ,S2k Sk ,S3k S2k 也成等比数列.
新等比数列首项为Sk，公比为qk .
探究2：
已知Sn是等比数列an的前n项和,
0
解：(1)因为
a1

1 ,q 2

1 2
所以当n 8时
1
1

1
8

Sn
2 2 1 1
255 256
(2)
由a1

27, a9

12 243
,可得
:
1 243
27 q8
又由q 0,可得：
1
q
3
27
1



1
8

细节决定成败 态度决定一切
复习:等比数列 {an}
(1) 等比数列:
an+1 an
=q
(定值)
a a q (2) 通项公式:
n-1
来自百度文库n= 1•
(a1 0, q 0).
(3)a, G, b 成等比数列
G 2 ab, (ab 0)
(4) 重要性质:
an= am•qn-m m+n=p+q an•am = ap•aq 注:以上 m, n, p, q 均为自然数
• 3．已知等比数列{an}中，an>0，n＝1,2,3， …，a2＝2，a4＝8，则前5项和S5的值为 ________．
解析：易求得q＝2，a1＝1.∴S5＝11－－225＝31.
答案：31
• 4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋… ＋an＝2n－1，则a12＋a22＋…＋an2等于 ________．
∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又 S10＝10，S20＝30，
30－102 ∴S30－S20＝S30－30＝ 10 ， 即 S30＝70.
2、等比数列{an }的前n项和为Sn，若Sm 10，S2m 30，
求S
的值。
3m
解： Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比数列 (S2m - Sm )2 Sm (S3m - S2m )
(1 273020多2 亿2吨3。根2据4 统…计资料26显3)
示，全世界小麦的年产量约为
S64

264
1 168亿4吨46，7就4是40说7全37世0界9都55要1615 1000多年才能生产这么多小麦，
1.国84王无1论01如9 何是不能实现发明 者的要求的。
如何求等比数列的Sn:
（2）当q

1时，Sn

a1(1 - qn 1- q
)

a1 1- q
- a1 1- q
qn
记A

a1 1- q
,即Sn

-Aq n

A, 是一个指数式与一个常
数的和
其中A 0，q 1
等比数列前n项和的性质一：
数列{an }是等比数列
Sn Aqn - A(A 0)
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m·3n＋1，则
请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 L 26的这3. 方种法求,和就(1)
2S64 即2S64
2(1
2 22
2 22
23

L
23

L
263
是错26位3 )相.
2减64法. !
(2)
2S64 S64 (2 2那2如么果这213些00麦02粒粒4 麦的粒L总重质为量246就30克是，264 )
当q 1时，S 1 (1) 说明： 解 (3： ) (当将 代 12as因 解 )qq55入 a3为 2得 14aq11aa时 a1： 2n1１1２n11q，即 1.n,21.并作 在 在 4a1a,数an1a且 qn五 为 利2q311(列12q1要2个0n第 用n5为 n551根 变一 公 1q,,212常 25a1s据量 ,要 式14an所 1)1数12q具(a2素 ， 111以 .列 ,解 体,q81q来 2一Saqn2,1题2)得 n考 定n15，1,52意a虑 要 ， ： 12n22q，1，q,。 注 [11qS3nn选((中 ， 4意1得 311择12，))所 q1n代 2： 的 适(]只以 当 取 入 2知S)的值nn三S公， 1n可n式应 求a1。把二a1n1它，2aqnnq 可得
答案： 13(4n－1)
解析： 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝2n－ 1.易知等比数列{an}的公比 q＝2，首项 a1＝1，
∴an＝2n－1，于是 an2＝4n－1， ∴a12＋a22＋…＋an2＝1＋4＋42＋…＋4n－1＝13(4n－1)
• 5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为 Sn，且S3＝3a3，求公比q的值．
(1 q)Sn a1 a1qn
显然，当q=1时，
Sn na1
q 1时 :
Sn

a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
注意：
1.使用公式求和时，需注意对q 1和q 1
的情况加以讨论；
2.推导公式的方法：错位相减法。
等比数列的前n项和表述为：
{ Sn
即：(30 - 10)2 10 (S3m - 30) 解得： S3m 70
• [题后感悟] 等比数列前n项和的常用 性质：
• (1)“片断和”性质：等比数列{an}中 ，公比为q，前m项和为Sm(Sm≠0)，则Sm ，S2m－Sm，S3m－S2m，…，Skm－S(k－1)m ，…构成公比为qm的等比数列，即等 比数列的前m项的和与以后依次m项的 和构成等比数列．
于是当n 8时
Sn
3 1640
1 ( 1)
81
3
例2、在等比数列an中，求满足下列条件的 量 :
(1)a1 a3 2, 求sn
(2)q

2, n

5, a1

1 2
.求a
n
和sn
(3)a1 1,an 512 ,sn 341 .求q和n
且S10 5, S20 15.
(1).求S30; 35
(2).问S10, S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
性质2：
Sn为等比数列的前n项和， Sn≠0， 则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n是等比数列．
• 已知等比数列{an}中，前10项和S10＝ 10，前20项和S20＝30，求S30.

32k
(S15
- 31k)解得：S15

993 k 32
S15 993
S10 992
探究3：
性质3：
在等比数列中，若项数为2n(n∈N *)，
S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和，