《流体力学》Ⅰ主要公式及方程式讲解

《流体力学与流体机械》(上)主要公式及方程式

1．流体的体积压缩系数计算式：β1dρ

p=-1dV

Vdp=ρdp 流体的体积弹性系数计算式：E=-Vdpdp

dV=ρdρ 流体的体积膨胀系数计算式：βdV

T=1

VdT=-1dρ

ρdT

2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0

t=ρ

1+βt，其中β=1

273。

3T=±μAdu

dy 或τ=Tdu

A=±μdy 恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0.0731E-0.0631

E)⨯10-4

f1∂p⎫

x-ρ∂x=0⎪fr-1∂p=0⎫

⎪ρ∂r⎪⎪

4．欧拉平衡微分方程式： f⎪

y-1∂p

ρ∂y=0⎪⎬和fθ-1∂p

ρ=0⎬ f1∂p⎪r∂θ

ρ∂z=0⎪⎪

⎪⎭f1∂p⎪

z-z-ρ∂z=0⎪⎭

欧拉平衡微分方程的全微分式：dp=ρ(fxdx+fydy+fzdz) dp=ρ(frdr+fθrdθ+fzdz) 5 fxdx+fydy+fzdz=0

frdr+fθrdθ+fzdz=0

6p

γ+z=C 或 p1

γ+zp21=γ+z2 或p1+ρgz1=p2+ρgz2

相对于大气时：pm+(ρ-ρa)gz=C 或pm1+(ρ-ρa)gz1=pm2+(ρ-ρa)gz2

7p=p0+γh，其中p0为自由液面上的压力。

8．水平等加速运动液体静压力分布式：p=p0-ρ(ax+gz)；等压面方程式：

ax+gz=C；自由液面方程式：ax+gz=0。注意：p0为自由液面上的压力。 1 9．等角速度旋转液体静压力分布式：p=p0+γ(ω2r2

2g-z)；等压面方程式：ω2r2

2-gz=C；自由液面方程式：ω2r2

2-gz=0。注意：p0为自由液面上的压力。

10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P=(p0+γhc)A=pcA，其中p0为自由液面上的相对压力。压力中心计算式：yD=yc+γsinαIxc (p0+γycsinα)A

Ixc

ycA或yD-yc=Ixc

ycA。当自由液面上的压力为大气压时：yD=yc+

矩形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=

圆形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc11bh3；三角形截面的惯性矩Ixc计算式：Ixc=bh3 1236π4=d 64

11．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：Pz=p0Az+γVP，注意：式中p0应为自由液面上的相对压力。

12

∂ux∂ux∂ux∂ux⎫+ux+uy+uz∂τ∂x∂y∂z⎪⎪∂uy∂uy∂uy∂uy⎪+ux+uy+uz直角坐标系：ay=⎬ ∂τ∂x∂y∂z⎪∂u∂uz∂uz∂uz⎪az=z+ux+uy+uz∂τ∂x∂y∂z⎪⎭ax=

∂ur∂ur∂ur∂uruθ2ar=+ur+uθ+uz-∂τ∂rr∂θ∂zr

∂u∂u∂u∂uuu圆柱坐标系：aθ=θ+urθ+uθθ+uzθ+rθ

∂τ∂rr∂θ∂zr

∂u∂uz∂uz∂uzaz=z+ur+uθ+uz∂τ∂rr∂θ∂z⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

流体质点的压力、密度等流动参量对时间的变化率计算式：

dp∂p∂p∂p∂p=+ux+uy+uzdτ∂τ∂x∂y∂z

dρ∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ=+ux+uy+uz∂τ∂x∂y∂z dτ

13

drrdθdzdxdydz==== 及uxuyuzuruθuz2

∂ρ∂(ρux)∂(ρuy)∂(ρuz)14．三维连续性方程式的一般式：+++=0 ∂τ∂x∂y∂z

∂ρρur∂(ρur)∂(ρuθ)∂(ρuz)++++=0 ∂τr∂rr∂θ∂z

∂ux∂uy∂uz15．不可压缩流体的三维连续性方程式：++=0 ∂x∂y∂z

ur∂ur∂uθ∂uz+++=0∂rr∂θ∂z r

16M=ρ11A1=ρ22A2

对于不可压缩流体： Q=1A1=2A2

∂u∂u∂u⎫1∂p∂ux=+uxx+uyx+uzx⎪ρ∂x∂τ∂x∂y∂z⎪∂uy∂uy∂uy⎪1∂p∂uy=+ux+uy+uz17f y-⎬ρ∂y∂τ∂x∂y∂z⎪1∂p∂uz∂u∂u∂ufz-=+uxz+uyz+uzz⎪ρ∂z∂τ∂x∂y∂z⎪⎭fx-

1∂p∂ur∂ur∂ur∂uruθ2fr-=+ur+uθ+uz-ρ∂r∂τ∂rr∂θ∂zr

∂u∂u∂uuu1∂p∂uθ=+urθ+uθθ+uzθ+rθ fθ-ρr∂θ∂τ∂rr∂θ∂zr

1∂p∂uz∂u∂uz∂ufz-=+urz+uθ+uzzρ∂z∂τ∂rr∂θ∂z⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎭

∂z∂u∂u1∂p⎫+g++u=0⎪ρ∂s∂s∂τ∂s⎪18．沿流线的欧拉运动微分方程式：⎬

2∂zu1∂p⎪+g=⎪ρ∂r∂rr⎭

对于稳定流动： dp

ρ+gdz+udu=0

1ρu2=C 219p+ρgz+

或p1+ρgz1+112ρu12=p2+ρgz2+ρu2 22

112相对于大气时：pm1+(ρ-ρa)gz1+ρu12=pm2+(ρ-ρa)gz2+ρu2 22

∑Fx=ρ2A2un2ux2-ρ1A1un1ux1⎫⎪20∑Fy=ρ2A2un2uy2-ρ1A1un1uy1⎬

⎪∑Fz=ρ2A2un2uz2-ρ1A1un1uz1⎭

∑Fx=ρQ(ux2-ux1)⎫⎪或∑Fy=ρQ(uy2-uy1)⎬

∑Fz=ρQ(uz2-uz1)⎪⎭

21．稳定流的动量矩方程式：M=∑F⨯r=ρQ(u2⨯r2-u1⨯r1)

或M=∑Fτr=ρQ(u2τr2-u1τr1)

⎫1∂uz∂uθ1∂uz∂uy⎫ω=(-)ωx=(-)⎪r⎪2r∂θ∂z2∂y∂z⎪⎪∂u⎪1∂u1∂u∂u⎪22ωy=(x-z)⎬及ωθ=(r-z)⎬ 2∂z∂r2∂z∂x⎪⎪

1uθ∂uθ∂ur⎪1∂uy∂ux⎪ωz=(+-)⎪ωz=(-)⎪2r∂rr∂θ⎭2∂x∂y⎭

⎫∂uz∂uy⎫∂uz∂uθ-ξ=-⎪r⎪∂y∂z⎪r∂θ∂z⎪∂u∂u⎪∂u∂u⎪流体微团的涡量计算式：

ξy=x-z⎬及ξθ=r-z⎬ ∂z∂r∂z∂x⎪⎪uθ∂uθ∂ur⎪∂uy∂ux⎪ξz=+-ξz=-

⎪⎪r∂rr∂θ⎭∂x∂y⎭ξx=

23εx=∂uy∂ux∂u，εy=，εz=z ∂x∂y∂z

∂ux∂uy∂uz流体微团的体积变形率计算式：ε=εx+εy+εz= ++∂x∂y∂z

1∂uz∂uy⎫θx=(+)⎪2∂y∂z⎪1∂u∂u⎪24θy=(x+z)⎬ 2∂z∂x⎪1∂u∂u⎪θz=(y+x)⎪2∂x∂y⎭25 dx

ωx=dyωy=dzωz

26．涡管的旋涡强度定义式：I=⎰

sA rotu⋅dA=⎰ξ⋅dA=⎰ξxdAx+ξydAy+ξzdAz AA 27．速度环量定义式：

Γ=u⋅ds=uxdx+uydy+uzdz s

28ux=∂ψ∂ψ ，uy=-∂y∂x dψ=-uydx+uxdy 4

对于圆柱坐标系：ur=1∂ψ∂ψ，uθ=- r∂θ∂r

dψ=-uθdr+urrdθ