第三讲：复合材料层合板的刚度与强度分析

2. 单层板的刚度
各向同性单层板
特殊正交各向异性单层板
一般正交各向异性单层板
单层板的刚度
（1）各向同性单层板 各向同性材料有两个独立的弹性常数，各 方向的弹性性质相同。设弹性模量和泊松 比分别为： E, E
根据折减刚度
矩阵计算公式
1 Q 11 1 12 21 12 E2 21 E1 Q12 1 12 21 1 12 21 E2 Q22 1 12 21 Q G 12 66
虽然沿层合板厚度的应变是线性变化的，但 由于层合板每层的 Q 可以不同，故应力变 化一般不是线性的
ij
经典层合板理论
经典层合板理论-层合板的合力
层合板上的合力 Nx , N y , Nxy 及合力矩 M x , M y , M xy （都是指单位长度上的力或力矩）
经典层合板理论
合力及合力矩的定义式为：
经典层合板理论
中面的应变为：
中面的曲率为：
u0 aa 0 x x 0 v0 y aa 0 y xy u0 v0 y x
2w a 2 x k x 2w k y a 2 y k xy 2w 2 xy
[0/±45/90] [(±45)/(0,90)] [0C/45K/90G] [0/90/C5]S
有多个子层合板构成的层合板 [0/90]2
层合板分类-按单层板相对于中面的位置
对称层合板：
铺设角相同 z =-z 材料相同
z =--z
Qij z =Qij -z
非对称层合板
经典层合板理论
上式中的子矩阵 A, B, D 分别称为面内柔度矩 阵，耦合柔度矩阵和弯曲柔度矩阵。矩阵B 与矩阵 B T 是相互转置的，但未必对称
一般层合板的物理关系很复杂，这是由于耦 合刚度阵 B 的存在所产生的耦合效应引起， 即拉弯耦合，此外，由于 A16 , A26 的存在产生 拉剪耦合，由于 D16 , D26 的存在产生弯扭耦合
经典层合板理论
层合板的合力及合力矩可用块矩阵表达：
N A B M B D k
0
k 为曲 式中的 0 为层合板的中面应变列阵， 率列阵。上式即为用应变表示内力的一般层 合板的物理方程
经典层合板理论
对层合板的物理方程进行矩阵运算得到：
经典层合板理论
上式中的 zk , zk 1 可由下图确定：
经典层合板理论
由于每个单层的刚度矩阵在单层内不变，因 此可以从每一层的积分号中提出：
Nx Q11 Q12 N N y Q12 Q22 k 1 Q 16 Q26 N xy M x Q11 Q12 N M y Q12 Q22 k 1 Q 16 Q26 M xy
经典层合板理论
将上面得到的表达式代入几何方程得到：
u u0 2w z 2 x x x x v v0 2w z 2 y y y y u0 v0 u v 2w ( ) 2z xy y x y x xy
k
N N
其中 tk zk zk 1 为第 层中心的坐标值 z z
k
z 是第 k 层的厚度，
1 1 ( z z ) ( zk zk 1 ) k 1 k k 1 2 2
经典层合板理论
上式中的 Aij , Bij , Dij 依次称为拉伸刚度，耦合 刚度及弯曲刚度 由于耦合刚度 Bij 的存在，层合板面内内力 会引起弯曲变形（弯曲和扭曲），而弯曲 内力（弯矩和扭矩）会引起面内变形，此 现象被称为拉弯耦合效应
单层板的刚度
将弹性模量和泊松比代入上式中可得：
Q11 Q22 E E E , Q , Q , Q16 Q26 0 12 66 2 2 1 1 2(1 )
设板厚为 t ，代入下式：
N N Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 Bij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk zk 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
0 A16 x B11 0 A26 y B12 0 B A66 xy 16 0 B16 x D11 0 B26 y D12 0 D B66 xy 16
经典层合板理论
0 0 0 , , 注意到 x y xy , kx , ky 和 kxy 不是 z
的函数，而是中 面值，因此可以从求和记号中移出得到：
N x A11 N y A12 A N xy 16 M x B11 M y B12 B M xy 16 A12 A22 A26 B12 B22 B26
0 x k x Q16 zk 0 zk Q26 y dz k y zdz zk 1 zk 1 0 Q66 k xy xy 0 k x Q16 x zk 2 0 zk Q26 y zdz k y z dz zk 1 zk 1 0 Q66 k xy xy
经典层合板理论
将上面三式分别对 z 积分得到：
w w( x, y ) w( x, y ) u u ( x , y ) z 0 x w( x, y ) v v0 ( x, y ) z y
式中的 u0 , v0 , w 表示中面的位移分量，并且只 是坐标 x, y 的函数，其中 w 为挠度函数
ຫໍສະໝຸດ Baidu 反对称层合板 一般层合板
Qij z =Qij -z
夹芯层合板
经典层合板理论
经典层合板理论的基本假设 层合板的应力和应变关系
层合板的合力及合力矩
层合板的限制条件
层合板为薄板 层合板各单层粘接良好，变形连续
整个层合板等厚度
经典层合板的基本假设
直法线假设： 等法线假设：
其中 k xy 为中面扭曲率
经典层合板理论
第 k 层应力为：
x Q11 Q12 y Q12 Q22 Q Q 26 xy k 16
0 k Q16 x x 0 Q26 y z k y 0 Q66 k xy k xy
B12 B22 B26 D12 D22 D26
B16 k x B26 k y B66 k xy D16 k x D26 k y D66 k xy
经典层合板理论
式中：
Aij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k tk k 1 k 1 N 1 N 2 2 B ( Q ) ( z z ij ij k k k 1 ) (Qij ) k t k z k 2 k 1 k 1 3 N t 1 N 3 3 2 Dij (Qij ) k ( zk zk 1 ) (Qij ) k (tk zk k ) 3 k 1 12 k 1
第三讲 层合板的刚度与强度
层合板
层合板是指由两层或两层以上的单层板粘合在 一起成为整体的结构元件 层合板可以由不同材质的单层板构成，也可以 由不同纤维铺设方向上相同材质的各向异性单 层板构成。
主要内容
层合板的表示方法
经典层合板理论 单层板的刚度 层合板的刚度分析 层合板的强度分析
层合板的几何标志
Nx x x N h 2 zk N y h 2 y dz z y dz k 1 k 1 N xy xy xy M x x x N h 2 zk M y h 2 y zdz z y zdz k 1 k 1 M xy xy xy
0 A T k B B N D M
1 1 1 1 1 A A A B( D BA B) BA 1 1 1 B ( A B )( D BA B ) 式中： D ( D BA1B)1
经典层合板理论
上式可以用矩阵形式来表达：
0 x x k x 0 y y z k y 0 k xy xy xy
等号右边第一项表示层合板中面应变 等号右边第二项表示层合板中面曲率
层合板的表示方法
[03/902/45/-453]S
层合板的表示方法
一般层合板 对称层合板 偶数层 奇数层 [0/45/90/-45/0] [0/90]S [0/45/90]S
具有连续重复铺层
具有连续正负铺层 织物构成的层合板 混杂纤维层合板 夹层板
[02/90]S
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y , z )
经典层合板理论
由直法线和等法线假设 yz 0, zx 0, z 0：
w z z 0 u w 0 zx z x v w zy z y 0
yz 0, zx 0
z 0
平面应力假设： z 0； xz =0； yz =0
z 0 忽略正应力假设：
经典层合板理论
由N层任意铺设的单层板构成 取XOY坐标面与中面重合 板厚为t
经典层合板理论
板中任意一点的位移分量 u , v 和 w 可表达为：