小学奥数平面直线型几何专题学生版

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2018三年级奥数.几何.直线型周长(C级).学生版

（7）代换
在几何计算中，对有关数量进行适当的等量代换也是解决问题的已知技巧．小结：本讲主要通过求一些不规则图形的周长，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，体会求周长的技巧，提高观察能力、动手操作能力、综合运用能力．
重难点
MSDC 模块化分级讲义体系
三年级奥数.几何. 直线型周长（C 级）.学生版
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【随练 2】如图，长方形 ABCD 中有一个正方形 EFGH,且 AF=16 厘米，HC=13 厘米，长方形 ABCD 的
周长为
厘米。
【随练 3】用 6 张边长为 3 厘米的正方形纸片拼成一个长方形，这个长方形的周长是_______厘米。
则距离最短的两个景点之间相距
千米。
教学反馈
学生对本次课的评价
○特别满意
○满意
家长意见及建议
○一般家长签字：
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三年级奥数.几何. 直线型周长（C 级）.学生版
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（6）对称
平面图形中有许多简单漂亮的图形都是轴对称图形．轴对称图形沿对称轴折叠，轴两侧可以完全重
合．也就是说，如果一个图形是轴对称图形，那么对称轴平分这个图形的面积．熟悉轴对称图形这个性质，
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对面积计算会有很大帮助．
家庭作业
【作业 1】如图，正方形的边长为 4 ，被分割成如下12 个小长方形，求这12 个小长方形的所有周长之和．
【作业 2】下边这个图形的周长等于_________厘米。

六年级奥数几何; 第1讲;直线型面积_一_;学生版

D A
A
D E E
B
C
B
C

三、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
2010 年·暑假
六年级数学·第 1 讲·学生版
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D
A S1
S2 O
S4
S3
B
C
① S1 : S2 = S4 : S3 或者 S1 × S3 = S2 × S4
② AO : OC = (S1 + S2 ) : (S4 + S3 )
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在 △ABC 中， D, E 分别是 AB, AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)，则 S△ABC : S△ADE = ( AB × AC) : ( AD × AE)
一、等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如左图 S1 : S2 = a : b
A
B
S1
S2
a
b C
D

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 S△ACD = S△BCD ；
反之，如果 S△ACD = S△BCD ，则可知直线 AB 平行于 CD ．
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边

小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-4星题(含解析)

几何-直线型几何-燕尾模型-4星题课程目标知识提要燕尾模型•燕尾模型•结论一〔1〕S1S2=AECE〔2〕S2S3=BFAF〔3〕S3S1=CDBD•结论二S2+S3S1=COOF精选例题燕尾模型1. 如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=13AB，CF=14BC，AF与CE相交于G，假设矩形ABCD的面积为120，那么ΔAEG与ΔCGF的面积之和为．【答案】15【分析】方法1：如图，连接AC、BG．根据燕尾模型，SΔABG:SΔACG=BF:CF=3:1，SΔBCG:SΔACG=BE:AE=2:1，而SΔABC=1 2S▭ABCD=60，所以SΔABG=33+2+1SΔABC=12×60=30，SΔBCG=23+2+1SΔABC=13×60=20，那么SΔAEG=13SΔABG=10，SΔCFG=14SΔBCG=5，所以两个三角形的面积之和为15．方法2：如图，过F做CE的平行线交AB于H，那么EH:HB=CF:FB=1:3，所以AE=12EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即AG=2GF，所以SΔAEG=12×23×23×SΔABF=29×34×12S▭ABCD=10．且EG=23HF=23×34EC=12EC，故CG=GE，那么SΔCGF=1×12×SΔAEG=5．所以两三角形面积之和为10+5=15．2. 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F．那么阴影局部面积等于．【答案】712【分析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，S △ABF S △ACF =BD DC =12, S △ABF S △CBF =AEEC=1, 设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标．所以S DCEF =512S △ABC =512, 易得，阴影局部面积为712．方法二：连接DE ，由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =13,S △ADE=12S △ADC =12×23S △ABC =13, 所以BF FE =S △ABD S △ADE =11, S △DEF =12×S △DEB=12×13×S △BEC =12×13×12×S △ABC =112, 而S △CDE =23×12×S △ABC =13. 所以那么四边形DFEC 的面积等于512．易得，阴影局部面积为712．3. ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，那么四边形AGCD 的面积是平方厘米．【答案】96【分析】连结AC 、GB ．设S △AGC =1份，根据燕尾模型得S △AGB =1份，S △BGC =1份，S 正方形=(1+1+1)×2=6份，S ADCG =3+1=4份，所以S ADCG =122×46=96 (cm 2)4. 如图，在△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，假设△ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是．【答案】730【分析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积．连接CM 、CN ．根据燕尾模型，S △ABM :S △ACM =BF:CF =2:1,S △ACM =2S △ADM ,S △ABM =2S △ACM =4S △ADM ,那么BM =4DM ，即BM =45BD.那么S △BMF =BM BD ×BF BC ×S △BCD =45×23×12=415, S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730. 5. 如下图，在四边形ABCD 中，AB =3BE ，AD =3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为．【答案】24【分析】连接AO,BD ，根据燕尾定理S △ABO :S △BDO =AF:FD =1:2, S △AOD :S △BOD =AE:BE =2:1,设S △BEO =1，那么其他图形面积，如图所标，所以S BODC =2S AEOF =2×12=24.6. 如图，△ABC 中BD =2DA ，CE =2EB ，AF =2FC ，那么△ABC 的面积是阴影三角形面积的倍．【答案】7【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，S △BCI :S △ACI =BD:AD =2:1，S △BCI :S △ABI =CF:AF =1:2，所以，S △ACI :S △BCI :S △ABI =1:2:4，那么，S △BCI =21+2+4S △ABC =27S △ABC ．同理可知△ACG 和△ABH 的面积也都等于△ABC 面积的27，所以阴影三角形的面积等于△ABC 面积的1−27×3=17，所以△ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍． 7. 在ΔABC 中，BD:DC =3:2，AE:EC =3:1，求OB:OE =．【答案】2:1【分析】连接OC ．因为BD:DC =3:2，根据燕尾模型，S ΔAOB :S ΔAOC =BD:BC =3:2，即S ΔAOB =32S ΔAOC ；又AE:EC =3:1，所以S ΔAOC =43S ΔAOE ．S ΔAOB =32S ΔAOC =32×43S ΔAOE =2S ΔAOE ，所以OB:OE =S ΔAOB :S ΔAOE =2:1．8. 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC =1:2，AD 与BE 交于点F ．那么四边形DFEC 的面积等于．【答案】512【分析】方法一：如下图，根据燕尾模型，S △ABF S △ACF=BD DC =12，S △ABF S △CBF=AEEC =1．设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标所以S DCEF =512S △ABC =512．方法二：如下图，连接DE ，由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =13， S △ADE =12S △ADC =12×23S △ABC =13，所以BFFE =S △ABDS△ADE=11，S △DEF =12×S △DEB =12×13×S △BEC =12×13×12×S △ABC =112，而S △CDE =23×12×S △ABC =13．所以那么四边形DFEC 的面积等于512． 9. 如图，正方形ABCD 中，F 是BC 边的中点，GC =2DG ，E 是DF 与BG 的交点．四边形ABED的面积与正方形ABCD 的比是．【答案】5:8【分析】连接BD 、EC ，可得S △BDE S △BEC =12,S △BDE S △CDE =11, S △BDE :S △CDE :S △BEC =1:1:2,S △BDE =14S △BDC =18S ABCD ,S ABED =(12+18)S ABCD =58S ABCD ,四边形ABED 的面积与正方形ABCD 的比是5:8．10. 如下列图所示，△ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上的一点，且AE =3EC ，O 为DC 与BE 的交点．假设△CEO 的面积为a 平方厘米，△BDO 的面积为b 平方厘米．且b −a 是2.5平方厘米，那么△ABC 的面积是平方厘米．【答案】10【分析】连接AO ，可以看到这是个非常典型的燕尾模型．根据三角形等积变换：由AD =BD ，有S △ADO =b ；由AE =3EC ，有S △ABO =3a ．再根据燕尾模型：由AD =BD ，有S △BCO =S △ACO =4a ；由AE =3EC ，有S △BCO =13S △ABO =23b ．所以有4a =23b ，又b −a =2.5，所以有a =0.5,b =3．那么S △ABC =2b +4a +4a =10(平方厘米)．11. 如下列图，三角形ABC 中，AF:FB =BD:DC =CE:AE =3:2，且三角形ABC 的面积是1，那么三角形ABE 的面积为，三角形AGE 的面积为，三角形GHI 的面积为．【答案】25，895，119【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于CE:AE =3:2，所以AE =25AC ，故S △ABE =25S △ABC =25;根据燕尾模型，S △ACG :S △ABG =CD:BD =2:3,S△BCG:S△ABG=CE:EA=3:2,所以S△ACG:S△ABG:S△BCG=4:6:9,那么S△ACG=4 19 ,S△BCG=9 19;那么S△AGE=25S△AGC=25×419=895;同样分析可得S△ACH=919，那么EG:EH=S△ACG:S△ACH=4:9,EG:EB=S△ACG:S△ACB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4.所以S△BIE=510S△BAE=510×25=15,S△GHI=519S△BIE=519×15=119.12. 如下列图所示，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，那么四边形DFEC的面积等于．【答案】512【分析】如下列图所示，连接CF，因为AE=EC,DC=2BD，三角形ABC的面积是1，所以S△ABD=13S△ABC=13,S△ABE=12S△ABC=12.根据燕尾模型，S△ABF S△ACF =BDDC=12,S△ABFS△CBF=AEEC=1,所以S△ABF=14S△ABC=14,S△AFE=12−14=14,所以四边形DFEC的面积是1−13−14=512．13. 如图，BD:DC=2:3，AE:CE=5:3，那么AF:BF=【答案】5:2【分析】根据燕尾模型有S△ABG:S△ACG=2:3=10:15，S△ABG:S△BCG=5:3=10:6，所以S△ACG:S△BCG=15:6=5:2=AF:BF．14. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．【答案】14【分析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD=1:2，设SΔBHC=1份，根据燕尾模型SΔCHD=2份，SΔBHD=2份，因此S正方形=(1+2+2)×2=10份，S四边形BFHG=12+23=76份，所以S四边形BFHG=120÷10×76=14〔平方厘米〕．15. 如下图在ΔABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=．【答案】8:1【分析】连接OC．因为BD:DC=2:1，根据燕尾模型，SΔAOB:SΔAOC=BD:BC=2:1，即SΔAOB=2SΔAOC；又AE:EC=1:3，所以SΔAOC=4SΔAOE．那么SΔAOB=2SΔAOC=2×4SΔAOE=8SΔAOE，所以OB:OE=SΔAOB:SΔAOE=8:1．16. 如下列图所示，△ABC中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影三角形面积的倍．【答案】7【分析】如下列图所示，连接AI．根据燕尾模型，S△BCI:S△ACI=BD:AD=2:1,S△BCI:S△ABI=CF:AF=1:2，所以S△ACI:S△BCI:S△ABI=1:2:4,那么S△BCI=21+2+4S△ABC=27S△ABC.同理可知△ACG和△ABH的面积也都等于△ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于△ABC面积的1−27×3=17，所以△ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．17. 如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3，BD:DC=1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22 cm2，那么三角形ABC的面积．【答案】45cm2【分析】连接CF，根据燕尾模型，SΔABFSΔACF =BDDC=12，SΔABFSΔCBF=AEEC=23，设SΔBDF=1份，那么SΔDCF=2份，SΔABF=2份，SΔAFC=4份，SΔAEF=4×22+3=1.6份，SΔEFC=4×32+3=2.4份，如图所标，所以S平行四边形EFDC=2+2.4=4.4份，SΔABC=2+3+4=9份．所以SΔABC=22÷4.4×9=45 (cm2)．18. 如下图，在△ABC中，BE:EC=3:1，D是AE的中点，那么AF:FC=．【答案】3:4【分析】连接CD．由于S△ABD:S△BED=1:1，S△BED:S△BCD=3:4，所以S△ABD:S△BCD=3:4，根据燕尾定理，AF:FC=S△ABD:S△BCD=3:4．19. 如图，三角形ABC的面积是200 cm2，E在AC上，点D在BC上，且AE:EC=3:5，BD:DC= 2:3，AD与BE交于点F．那么四边形DFEC的面积等于．【答案】93cm2【分析】连接CF，根据燕尾定理，S△ABFS△ACF =BDDC=23=69，S△ABFS△CBF=AEEC=35=610，设S△ABF=6份，那么S△ACF=9份，S△BCF=10份，S△EFC=9×53+5=458份，S△CDF=10×32+3=6份，所以S DCFE=200÷(6+9+10)×(458+6)=8×(458+6)=93 cm220. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM 与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．21. 下列图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，那么ABCD的面积是平方厘米．【答案】180【分析】解法一：蝴蝶模型与一半模型．〔1〕E 是CD 的中点，DE:AB =1:2，所以S △DEF :S △DAF :S △BEF :S △ABF =1:2:2:4.〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是CD 的中点，所以S △ABG 、S △ADG 、S △BEC 占平行四边形面积的14，梯形S ABED 占平行四边形面积的34；〔3〕所以S △DAF =34×21+2+2+4=16,S △GAF =14−16=112,同理可知S △GHB =112．〔4〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112; 〔5〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2). 解法二：相似模型、等积变形与一半模型．〔1〕E 是CD 的中点，DE:AB =1:2，所以DF:FB =1:2，而DG =GB ，DF:FG =11+2:(12−11+2)=2:1;〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是CD 的中点，所以S △ABG 、S △ADG 占平行四边形面积的14，所以S △GAF =14×12+1=112,同理可知S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112; 〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2). 解法三：燕尾模型与一半模型．〔1〕设平行四边形面积为“1〞．S △ADC =12．〔2〕E 是CD 的中点，G 为AC 的中点，连接FC ，设S △DEF 为1份，S △ECF 也为1份，根据燕尾S △ADF 为2份，再根据燕尾S △ACF 也为2份，根据按比例分配，S △AGF 、S △GCF 都为1份，所以S △GAF =12÷(2+1+1+1+1)=112,同理可知S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112; 〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2). 解法四：风筝模型与一半模型．连接EG 同样可解．22. 正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点．请问下列图中阴影六边形的面积是平方厘米．【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接A1A3,A1G,A6A3，过B6做A6A3的平行线B6E，交A1A3于E．因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍，所以关键求△A2A3G的面积，在△A1A2A3中用燕尾模型时，需要知道A1D,A3D的长度比，根据沙漏模型得A1D=DE，再根据金字塔模型得A1E=A3E，因此A1D:A3D=1:3，在△A1A2A3中，设S△A1A2G =1份，那么S△A2A3G=3份，S△A3A1G =3份，所以S△A2A3G=37S△A1A2A3=37×13×12S正六边形=114S正六边形，因此S阴影=(1−114×6)S正六边形=47×2009=1148(平方厘米)．方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为8 14×2009=1148(平方厘米)．23. 如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影局部的面积是多少平方厘米？【答案】512【分析】连结FC，设S△FED=1份，那么S△FEC=2份，因为FD:FG=1:1，S△FGC=3份．设S△DEF=1份，那么根据燕尾模型其他面积如下图S阴影=512S△BCD=512×12S▫ABCD=512平方厘米．24. 如图，三角形ABC中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求AF:FB．【答案】10:9【分析】方法1：根据燕尾模型得SΔAOB:SΔAOC=BD:CD=3:4=15:20S△AOB:S△BOC=AE:CE=5:6=15:18〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S△AOC:S△BOC= 20:18=10:9=AF:FB．方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，那么BDDC ×CEEA=34×65=910．由赛瓦定理：BDDC ×CEEA×AFFB=1，那么AFFB=1÷910=10925. 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影局部的面积．【答案】3.125【分析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:CE=1:1，S△ACM:S△BCM=AD:BD=1:1，所以S△ABM=S△ACM=S△BCN=13S△ABC由于S△AEM=12S△AMC=12S△ABM S，所以BM:ME=2:1在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN=BF:CF=1:1S△CEN:S△CBN=ME:MB=1:2设S△CEN=1(份)，那么S△BEN=1(份)，S△BCN=2(份)，S△BCE=4(份)，所以S△BCN=12S△BCE=14S△ABC，S△BNE=14S△BCE=18S△ABC，因为BM:ME=2:1，F为BC中点，所以S△BMN=23S△BNE=23×18S△ABC=112S△ABC，S△BFN=12S△BNC=12×14=18S△ABC，所以S阴影=(112+18)S△ABC=524S△ABC=524×15=3.125(平方厘米)26. 在△ABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=？【答案】8:1【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．此题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC．连接OC．因为BD:DC=2:1，根据燕尾定理，S△AOB:S△AOC=BD:BC=2:1，即S△AOB=2S△AOC；又AE:EC=1:3，所以S△AOC=4S△AOE．那么S△AOB=2S△AOC=2×4S△AOE=8S△AOE，所以OB:OE=S△AOB:S△AOE=8:1．27. 如图在△ABC中，DCDB =EAEC=FBFA=13，求△GHI的面积△ABC的面积的值．【答案】413【分析】连接BG．设S△BGC=1，根据燕尾模型，S△AGC:S△BGC=AF:FB=3:1,S△ABG:S△ACG=BD:DC=3:1,得S△AGC=3(份),S△ABG=9(份),那么S△ABC=13(份),所以S△AGC S△ABC =3 13,同理连接AI、CH得S△ABH S△ABC =3 13,S△BIC S△ABC =3 13,所以S△GHI S△ABC =13−3−3−313=413.28. 如下图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，请问：阴影局部的面积占三角形ABC面积的几分之几？【答案】37【分析】连结四边形CDEF的对角线CE，将其分为△EFC和△ECD，如下列图所示．由题意，D点是BC的四等分点，不妨就设△CDE的面积是“1〞，而△BDE的面积那么是“3〞．再根据E是AD的中点，那么△ABE的面积就是“3〞，△ACE的面积是“1〞．根据燕尾模型得AFFC =S△CDFS△CDB=34，所以△AEF的面积就是“37〞份，△ECF的面积就是“47〞份，如下列图所示．由此可得阴影局部的面积和是“337〞，而△ABC的总面积是“8〞，所以阴影局部占总面积的33 7÷8=37．29. 如图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，BCDE是平行四边形．那么四边形ABCD的面积是多少？【答案】56【分析】详解：连结BD和AO，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出△ABD中每一块的份数．因为BCDE是平行四边形，可知△BCD的面积也是7份．12÷6×(2+4+8+6+1+7)=56,四边形ABCD的面积是56．30. 如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB．【答案】15:8【分析】根据燕尾模型得S△AOB:S△AOC=BD:CD=2:3=10:15S△AOB:S△BOC=AE:CE=5:4=10:8〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S△AOC:S△BOC=15:8= AF:FB．31. 如图，ΔABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB．【答案】27:16【分析】根据燕尾模型得S△AOB:S△AOC=BD:CD=4:9=12:27S△AOB:S△BOC=AE:CE=3:4=12:16〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S△AOC:S△BOC=27:16= AF:FB．事实上此题的结论即是平面几何中的一个著名的定理即赛瓦定理：BD DC ×CEEA×AFFB=132. 如下列图，D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，△ABC由这6局部组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么△ABC的面积是多少平方厘米？【答案】48【分析】解法一：因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且FE平行于AD，那么四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有▫=▫，▫×▫=▫×▫，▫:▫=AD2:FE2=4．又▫−▫=6，所以▫=6÷(4−1)=2,▫=▫×4=8;所以▫×▫=▫×▫=2×8=16,而▫=▫，所以▫=▫=4，梯形ADEF的面积为⑵、⑶、⑷、⑸四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有△CEF与△DEF的面积相等，为2+4=6．所以△ADC面积为18+6=24．因为D是BC中点，所以△ABC的面积是：S△ABC=2S△ACD=2×24=48(平方厘米).解法二：如下列图所示：题上给出了S△ADG=S△EFG+6,所以S△ADE=S△DEF+6;因为E是CD的中点，F是AC的中点，由共边定理得：S△ADE=S△AEC=2×S△ECF=2×S△DEF;所以由上面的分析得到：S△DEF+6=2×S△DEF,S△DEF=6;进一步共边原理可得：S △ABC=2×S △ADC =4×S △AEC =8×S △DEF =8×6=48(平方厘米).同样这个题目可以用相似模型也能解．33. 如图，D 是BC 上的中点，E 是AC 上的中点，F 是AB 上的点，且如下列图，AF:FB =3:4，BD:DC =8:3，求CE:EA ．【答案】1:2【分析】连接AD 、BE ．根据燕尾定理，S △ABE S △ADE=BC DC =53，S △ADE S △BDE=AF BF =34，所以S △ADE =312×S △ABD =14S △ABD . 因为S △ACD =38S △ABD ,所以S △ECD =18S △ABD ,所以CE:EA =1:2．34. 如下列图所示，点G 为三角形内一点，连接AG,BG,CG 分别交BC,AC,AB 边于点D,E,F ．假设三角形AFG,CEG,BDG,CDG 之面积分别为126平方厘米，280平方厘米，270平方厘米，360平方厘米．请问三角形ABC 的面积为多少平方厘米？【答案】1365平方厘米【分析】设S △AEG 为x ，S △BFG 为y ．根据燕尾模型可以得到(126+y):(x +280)=270:360=3:4; (126+y):(270+360)=x:280,转化为二元一次方程组．如下： {(126+y)×4=(x +280)×3(126+y)×280=630×x，解得{x =140y =189，那么三角形ABC 的面积为126+189+270+140+280+360=1365(平方厘米).35. 三角形ABC 中AE =12EC ，CF =3DF ，四边形ADFE 的面积是三角形ABC 的几分之几？【答案】16【分析】设S △AEF ＝1，那么S △EFC ＝2，那么S △ADF ＝1，那么S △ADF ＝S △AEF ，说明AD =DE ，三角形ABC 是等腰三角形，那么S △DBF ＝2，进而推出S △CBF =6，那么四边形ADFE 的面积是三角形ABC 的16．36. 在下列图中，三角形ABC 是直角三角形，AB =BC =14且BE =BD =6．请问图中阴影局部的面积是多少？【答案】39.2【分析】如下列图所示，连接BF ，根据燕尾模型．S △AFB :S △AFC =BD:DC =6:8=3:4，S △AFC :S △BFC =AE:EB =8:6=4:3，设△AFB 的面积为3份，那么△AFC 的面积为4份，△BFC的面积也为3份，那么△AFC 占整个图形面积的44+3+3=410=25，阴影局部的面积为25×12×14×14=39.2．37. 如下图，三角形ABC 的面积为1，D 、E 、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？【答案】17【分析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如下图1．由于D 、E 、F 分别是3条边上的三等分点，而△ABC 的面积为1，所以△ABE 、△BCF 、△CAD的面积都是13，这3个三角形的面积之和就等于大△ABC 的面积，它们的重叠局部是3个小三角形：△AME 、△BNF 、△CPD ．因此阴影△MNP 的面积就等于这3个小三角形的面积之和．假设S △CPD =“1”，由于D 是BC 上的三等分点，可知S △BPD =“2”〔如下图2〕．由燕尾模型可得S △APC S △BPC=AF FB=2，所以S △APC =“6”；而S △ABP S △ACP=BDDC=2，所以S △ABP =“12”〔如下图3〕．因此，整个△ABC 的面积是“12”+“6”+“2”+“1”=“21”，那么“1”=121，即S △CPD =121．类似地，小△BNF 和小△AME 的面积都是121，那么阴影局部的面积就是121×3=17．38. 三角形ABC 中，C 是直角，AC =2，CD =2，CB =3，AM =BM ，那么三角形AMN 〔阴影局部〕的面积为多少？【答案】0.3【分析】连接BN ．△ABC 的面积为3×2÷2=3根据燕尾定理，△ACN:△ABN =CD:BD =2:1；同理△CBN:△CAN =BM:AM =1:1设△AMN 面积为1份，那么△MNB 的面积也是1份，所以△ANB 的面积是1+1=2份，而△ACN 的面积就是2×2=4份，△CBN 也是4份，这样△ABC 的面积为4+4+1+1=10份，所以△AMN 的面积为3÷10×1=0.3．39. 如图，三角形ABD 的面积都是15，三角形ACD 的面积都是20，三角形CDE 的面积是8，求三角形BDE 的面积．【答案】6；6．【分析】对于左图S △BDE :S △CDE=BD:CD=S △ABD :S △ADC=15:20=3:4,所以，S △BDE =8×34=6．而右图是典型的燕尾模型，S △BDE :S △CDE=S △ABD :S △ACD =BE:CE=15:20=3:4,计算同样得6．40. 如图，在四边形ABCD 中，AB =3BE ，AD =3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．【答案】24【分析】连接AO,BD ，根据燕尾模型S △ABO :S △BDO =AF:FD =1:2, S △AOD :S △BOD =AE:BE =2:1, S ΔABO :S △BDO :S △AOD =1:2:4,设S △BEO =1份，那么其他图形面积，如图所标，所以S BODC =2S AEOF =2×12=24.41. 如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形ABC 的面积是．【答案】36【分析】方法一：延长AD 交BC 于点M ，连接BD 、CD ，应用燕尾模型，得S 1=25, S 2=35,再由蝴蝶模型，S △BDE =S △ADE ，所以S △BDM =2+25=125,同理S △CDM =185，而MD:DA =25:2=1:5,所以S △ABD =5S △BDM ，同理S △ACD =5S △CDM ，所以S △ABC =6S △BDC =6×(125+185)=36.方法二：由于等腰直角三角形DEF 的面积是1，所以EF ＝2，而S △AEF =1+2+3=6,所以等腰直角△ABC 的高为6×2÷2=6,所以△ABC 的面积是6×6÷2×2=36.42. 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四局部〔如图〕．修剪西部、东部、南部各需10分钟、16分钟、20分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？〞【答案】44【分析】如上图所示，将北局部分成两个三角形，并标上字母．即有{(10+x):20=y:16(16+y):x =20:10, 即有{5y =40+4x 2x =16+y, 解得{x =20y =24. 所以修剪北部草坪需要20+24=44(分钟).43. 三角形ABC 中，三角形ABF 的面积是60，三角形AFC 的面积是20，三角形BFC 的面积是56，求三角形BDF 和三角形CDF 的面积．【答案】△BDF 的面积是42，△CDF 的面积是14【分析】BD DC =S △ABF S △ACF=3，所以△BDF 的面积是△BFC 的34，△CDF 的面积是△BFC 的14，面积分别是42和14．44. 如图，面积为1的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点，求阴影局部面积．【答案】1370【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ，BI 与CE 的交点为Q ，连接AM 、BN 、CP〔1〕求S 四边形ADMI ：在△ABC 中，根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AI:CI =1:2S △ACM :S △CBM =AD:BD =1:2设S △ABM =1(份)，那么S △CBM =2(份)，S △ACM =1(份)，S △ABC =4(份)，所以S △ABM =S △ACM =14S △ABC ，所以S △ADM =13S △ABM =112S △ABC ，S △AIM =112S △ABC ，所以S 四边形ADMI =(112+112)S △ABC =16S △ABC ，同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的16〔2〕求S 五边形DNPQE ：在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABN :S △ACN =BF:CF =1:2S △ACN :S △BCN =AD:BD =1:2，所以S △ADN =13S △ABN =13×17S △ABC =121S △ABC ，同理S △BEQ =121S △ABC在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABP :S △ACP =BF:CF =1:2，S △ABP :S △CBP =AI:CI =1:2所以S △ABP =15S △ABC所以S 五边形DNPQE =S △ABP −S △ADN −S △BEP =(15−121−121)S △ABC =11105S △ABC 同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的11105所以S 阴影=1−16×3−11105×3=137045. 如图，三角形ABC 的面积是120，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC =1:2，AD 与BE 交于点F ．那么四边形DEFC 的面积是多少？【答案】50【分析】方法一：连接CF ．根据燕尾模型，S △ABF S △ACF =BD DC =12, S △ABF S △CBF =AEEC=1, 设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，所以S DCEF =512S △ABC=50.方法二：连接DE ．由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =40,S△ADE=12S△ADC=12×23S△ABC=40,所以BF FE =S△ABDS△ADE=11,S△DEF=12×S△DEB=12×13×S△BEC=12×13×12×S△ABC=10,而S△CDE=23×12×S△ABC=40.所以四边形DFEC的面积等于5 12S△ABC=50.46. 如图，△ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？【答案】970【分析】连接CK、CI、CJ．根据燕尾定理，S△ACK:S△ABK=CD:BD=1:2，S△ABK:S△CBK=AG:CG=1:2，所以S△ACK:S△ABK:S△CBK=1:2:4，那么S△ACK=11+2+4=17，S△AGK=13S△ACK=121．类似分析可得S△AGI=215．又S△ABJ:S△CBJ=AF:CF=2:1，S△ABJ:S△ACJ=BD:CD=2:1，可得S△ACJ=14．那么，S CGKJ=14−121=1784．根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为1784，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为S CGKJ×2+S△AGI+S△ABE=1784×2+215+13=6170，所以四边形JKIH的面积为1−6170=970．47. 如图，BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影局部面积．【答案】12.5【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此步判断这道题不应该通过面积公式求面积．又因为阴影局部是一个不规那么四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，方法一：连接CF，因为BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，所以S△ABE=13S△ABC=10,S△ABD=12S△ABC=15.根据燕尾模型，S△ABF S△CBF =AEEC=12,S△ABF S△ACF =BDCD=1,SΔABF:SΔBFC:SΔAFC=1:2:1.所以S△ABF=14S△ABC=7.5,S△BFD=15−7.5=7.5,所以阴影局部面积是30−10−7.5=12.5．方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABE=13S△ABC=10,S△BDE=12S△BEC=12×23S△ABC=10,所以AF FD =S△ABES△BDE=11,S△DEF=12×S△DEA=12×13×S△ADC=12×13×12×S△ABC=2.5,而S△CDE=12×23×S△ABC=10.所以阴影局部的面积为12.5．48. 如图，正方形ABCD的边长是6，E、F分别是DC和AD边的中点，阴影局部的面积是多少？【答案】24【分析】设AE和CF的交点为O，连结OD，连结AC，设△AFO的面积为1，标出份数．可看出三角形AOC的面积是三角形ACD的13，那么三角形AOC的面积是正方形ABCD的12×13=16．所以阴影局部的面积是正方形ABCD的16+12=23，面积是62×23=24．49. 如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．【答案】19【分析】连接BG．S△AGC=6份．根据燕尾模型，S△AGC:S△BGC=AF:FB=3:2=6:4,S△ABG:S△AGC=BD:DC=3:2=9:6.得S△BGC=4(份),S△ABG=9(份),那么S△ABC=19〔份〕，因此S△AGC S△ABC =6 19.同理连接AI、CH．得S△ABH S△ABC =619,S△BICS△ABC=619,所以S△GHI S△ABC =19−6−6−619=119.三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19．50. 如图，在三角形ABC 中，AE =ED ，D 点是BC 的四等分点，阴影局部的面积占三角形ABC 面积的几分之几？【答案】37【分析】设S △CDE =1，那么S △BDE =S △ABE =3，根据燕尾模型有S △AEC =1，AFCF =S△ABE S △BCE=34，所以S △AEF =37，因此S 阴影S △ABC =3+373+3+1+1=37.51. 如下列图所示，三角形ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点．请问阴影局部的面积是多少？【答案】542【分析】如下列图所示，连接CM ，设S △CMG =a,S △CME =b ，那么S △AMG =2a,S △BME =2b ，从而有{3a +b =133b +a =13，易得a +b =16．说明S 四边形EMGC =16，所以S △AMG =13−16=16．S △BAM =23−16=12．所以BM:MG =S △ABM :S △AMG =12:16=3:1．再连接GN ，根据燕尾模型，可以得到S △ABN :S △ANG =BM:MG =3:1, S △ABN :S △BNG =AF:FG =1:1,那么求出S △BNG =37S △ABG =37×23=27,S △ANG =17S △ABG =17×23=221.图中阴影局部面积为S △MNG +S △NFG =14S △BNG +12S △ANG=14×27+12×221=542. 52. 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点，求阴影局部面积．〔如果结果是分数，将结果化成最简分数．〕【答案】1370【分析】令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ，BI 与CE 的交点为Q ，连接AM ，BN ，CP ．求四边形ADMI 的面积：在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABM :S △CBM =AI:CI =1:2, S △ACM :S △CBM =AD:BD =1:2,所以S △ABM =14S △ABC ,S △ADM =13S △ABM =112S △ABC,S △AIM =112S △ABC,因而四边形ADMI 的面积为112S △ABC +112S △ABC =16S △ABC , 同理可得另外两个顶点的四边形面积也是△ABC 的16．求五边形DNPQE 的面积：在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABN :S △ACN =BF:CF =1:2,所以S △ADN =13S △ABN =121S △ABC,同理可得S △BEQ =121S △ABC.在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABP :S △ACP =BF:CF =1:2, S △ABP :S △CBP =AI:CI =1:2,所以S △ABP =15S △ABC ,因此五边形DNPQE 的面积为15S △ABC −121S △ABC −121S △ABC =11105S △ABC, 同理另外两个五边形的面积也是11105S △ABC. 所以阴影局部的面积为S △ABC −3×16S △ABC −3×11105S △ABC =1370S △ABC =1370.53. 在三角形ABC 中，AE =2EC ，BF:FE =1:1，阴影局部面积占△ABC 的几分之几？【答案】25【分析】如下图，设S △CEF 为1份，那么S △AEF 为2份，S △ABF 是2份，根据燕尾定理可知，S △ABF :S △BCF =2:1,那么S △BCF 是1份，且BD:BC =2:3,可以求出S △BDF 为0.4份，所以阴影局部的面积占S △ABC 的25． 54. 三角形ABC 中，C 是直角，AC =CD ，CD =2BD ，AM =BM ，三角形AMN 〔阴影局部〕的面积为1，求三角形ABC 的面积．【答案】10．【分析】连接BN ．根据燕尾模型，△ACN:△ABN =CD:BD =2:1;同理△CBN:△CAN =BM:AM =1:1, S △ACN :S △ABN :S △CBN =2:1:2.设△AMN 面积为1份，那么△MNB 的面积也是1份，所以△ANB 的面积是1+1=2份，而△ACN 的面积就是2×2=4份，△CBN 也是4份，这样△ABC 的面积为4+4+1+1=10份，所以△ABC 的面积为1×10÷1=10．55. 如图，三角形ABC 中，EC =2AE ，BD:DC =2:1，请在图上标出各个小三角形的面积份数．〔即三角形COE 、BOD 、AOB 、的面积份数〕【答案】见解析．【分析】根据燕尾模型可知：S △ABO :S △BOC ＝1:2 S △ABO :S △AOC ＝2:1设S △AOE 为1份，那么其他三角形份数如下图：56. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】14【分析】EG:GC =EB:CD =1:2，所以EG =13EC ，S △EBG =12×12AB ×13BC =112×120=10连接BH ，设S △BGH ="1"，那么S △AGH ="2"，由燕尾模型知S △DHC ="3"，所以S △DGC ="5"，又因为S △DGC =4S △EBG =40，所以S △BGH =8，S BGHF =S △DBF −S △DGH =14S ▫ABCD −"2"=30−16=1457. 如图，三角形ABC 中，BD:DC =4:9，CE:EA =4:3，求AF:FB ．【答案】27:16【分析】根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD:CD =4:9=12:27 S △AOB :S △BOC =AE:CE =3:4=12:16所以S △AOC :S △BOC =27:16=AF:FB58. 在三角形ABC 中，BD:DC =2:1，AE:EC =1:3，求BO:OE ．【答案】8:1【分析】解法一：连接OC ． AE:EC =1:3，可得 S △AOE :S △COE =1:3, 设S △AOE =x ，那么S △COE =3x 、 S △AOC =4x,再根据燕尾定理， S △AOB :S △AOC =BD:DC =2:1,所以 S △AOB =8x,所以BO:OE =S △AOB :S △AOE =8:1.解法二：可以用梯形蝴蝶定理来．连接DE ，把三角形ABC 的面积看做“1〞，S ABD =23，而AE 的长占AC 的14，CD 的长占CB 的13，14×13=112来表示△AED 的面积，所以BO:OE =S △ABD :S △AED =8:1.59. 如图，三角形ABC被线段AD、BE分成4个局部，AE:EC=1:2，CD:DB=1:2，三角形AOE的面积是1，请问三角形ABC的面积是多少？【答案】21【分析】连接线段OC，S△COE:S△AOE=CE:AE=2:1,所以S△COE=2，根据燕尾模型，S△AOB:S△AOC=BD:CD=2:1,所以S△AOB=6，又因为S△COB:S△COE=OB:OE=S△AOB:S△AOE=6:1,所以S△COB=12，所以S△ABC=1+6+2+12=21.60. 如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中心六边形面积．【答案】110【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR=BG:CG.=2:1，S△ABR:S△CBR=AI:CI=1:2所以S△ABR=27S△ABC，同理S△ACS=27S△ABC，S△CQB=27S△ABC所以S△RQS=1−27−27−27=17同理S△MNP=17根据容斥原理，和上题结果S六边形=17+17−1370=110。

六年级奥数几何;第5讲;几何综合题_二_;学生版

第五讲几何综合题（二）
1. 熟练运用直线型面积的各种模型。 2. 熟练掌握平面图形中的割补、旋转、平移、差不变等各种方法。 3. 针对勾股定理、弦图等特定方法熟练应用。
模块三：差不变及容斥原理的应用
1
例题 1
(第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．
4cm
1cm
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12 厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？
2010 年·暑假
五年级数学·第 5 讲·学生版
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4cm
2cm
板块四、弦图及勾股定理
8
例题 8
从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5 平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？
方厘米，FB 为 8 厘米．那么，正方形 ABCD 的面积是
平方厘米．
例题 11
B 8F A
48
C
D
E
如图，一个正方形被分成 4 个小长方形，它们的面积分别是 1 平方米、 1 平方
10
5
1
米、 3 平方米和 2 平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多
例题 12
10
5
少平方米？
1
如图所示，直角三角形 PQR 的直角边分别为 5 厘米和 9 厘米．问：图中 3 个正方
A
F
GD
3
例题 3
B
C
如图，ABCD 是 7 × 4 的长方形，DEFG 是10 × 2 的长方形，求 +BCO 与 +EFO 的面积差．

小学奥数平面直线型几何知识汇总

平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。

比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。

2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等）平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。

如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。

小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-5星题(含解析)

几何-直线型几何-燕尾模型-5星题课程目标知识提要燕尾模型• 燕尾模型• 结论一〔1〕S 1S 2=AE CE 〔2〕S 2S 3=BF AF 〔3〕S 3S 1=CDBD• 结论二S 2+S 3S 1=CO OF精选例题燕尾模型1. 如下列图，三角形ABC 中，AF:FB =BD:DC =CE:AE =3:2，且三角形ABC 的面积是1，那么三角形ABE 的面积为，三角形AGE 的面积为，三角形GHI 的面积为．【答案】25，895，119【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于CE:AE =3:2，所以AE =25AC ，故S △ABE =25S △ABC =25;根据燕尾模型，S △ACG :S △ABG =CD:BD =2:3,S △BCG :S △ABG =CE:EA =3:2, 所以 S △ACG :S △ABG :S △BCG =4:6:9,那么S △ACG =419,S△BCG=9 19;那么S△AGE=25S△AGC=25×419=895;同样分析可得S△ACH=919，那么EG:EH=S△ACG:S△ACH=4:9,EG:EB=S△ACG:S△ACB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4.所以S△BIE=510S△BAE=510×25=15,S△GHI=519S△BIE=519×15=119.2. 如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=13AB，CF=14BC，AF与CE相交于G，假设矩形ABCD的面积为120，那么ΔAEG与ΔCGF的面积之和为．【答案】15【分析】方法1：如图，连接AC、BG．根据燕尾模型，SΔABG:SΔACG=BF:CF=3:1，SΔBCG:SΔACG=BE:AE=2:1，而SΔABC=1 2S▭ABCD=60，所以SΔABG=33+2+1SΔABC=12×60=30，SΔBCG=23+2+1SΔABC=13×60=20，那么SΔAEG=13SΔABG=10，SΔCFG=14SΔBCG=5，所以两个三角形的面积之和为15．方法2：如图，过F做CE的平行线交AB于H，那么EH:HB=CF:FB=1:3，所以AE=12EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即AG=2GF，所以SΔAEG=12×23×23×SΔABF=29×34×12S▭ABCD=10．且EG=23HF=23×34EC=12EC，故CG=GE，那么SΔCGF=1×12×SΔAEG=5．所以两三角形面积之和为10+5=15．3. 如图，△ABC中BD=2DA，CE=2EB，AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影三角形面积的倍．【答案】7【分析】如图，连接AI．根据燕尾定理，S△BCI:S△ACI=BD:AD=2:1，S△BCI:S△ABI=CF:AF=1:2，所以，S△ACI:S△BCI:S△ABI=1:2:4，那么，S△BCI=21+2+4S△ABC=27S△ABC．同理可知△ACG和△ABH的面积也都等于△ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于△ABC面积的1−27×3=17，所以△ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．4. 正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点．请问下列图中阴影六边形的面积是平方厘米．【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接A1A3,A1G,A6A3，过B6做A6A3的平行线B6E，交A1A3于E．因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍，所以关键求△A2A3G的面积，在△A1A2A3中用燕尾模型时，需要知道A 1D,A 3D 的长度比，根据沙漏模型得A 1D =DE ，再根据金字塔模型得A 1E =A 3E ，因此A 1D:A 3D =1:3，在△A 1A 2A 3中，设S △A 1A 2G =1份，那么S △A 2A 3G =3份，S △A 3A 1G =3份，所以S △A 2A 3G =37S △A 1A 2A 3=37×13×12S 正六边形=114S 正六边形，因此S 阴影=(1−114×6)S 正六边形=47×2009=1148(平方厘米)．方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为814×2009=1148(平方厘米)．5. 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC =1:2，AD 与BE 交于点F ．那么四边形DFEC 的面积等于．【答案】512【分析】方法一：如下图，根据燕尾模型，S △ABF S △ACF=BD DC =12，S △ABF S △CBF=AEEC =1．设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标所以S DCEF =512S △ABC =512．方法二：如下图，连接DE ，由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =13， S △ADE =12S △ADC =12×23S △ABC =13，所以BF FE=S △ABD S △ADE =11，S △DEF =12×S △DEB =12×13×S △BEC =12×13×12×S △ABC =112，而S △CDE =23×12×S △ABC =13．所以那么四边形DFEC 的面积等于512． 6. 如图，在△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，假设△ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是．【答案】730【分析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积．连接CM 、CN ．根据燕尾模型，S △ABM :S △ACM =BF:CF =2:1,S △ACM =2S △ADM ,S △ABM =2S △ACM =4S △ADM ,那么BM =4DM ，即BM =45BD.那么S △BMF =BM BD ×BF BC ×S △BCD =45×23×12=415,S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730. 7. 如图，△ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？【答案】970【分析】连接CK 、CI 、CJ ．根据燕尾定理，S △ACK :S △ABK =CD:BD =1:2，S △ABK :S △CBK =AG:CG =1:2，所以S △ACK :S △ABK :S △CBK =1:2:4，那么S △ACK =11+2+4=17，S △AGK =13S △ACK =121．类似分析可得S △AGI =215．又S △ABJ :S △CBJ =AF:CF =2:1，S △ABJ :S △ACJ =BD:CD =2:1，可得S △ACJ =14．那么，S CGKJ =14−121=1784．根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为1784，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为S CGKJ ×2+S △AGI +S △ABE =1784×2+215+13=6170，所以四边形JKIH 的面积为1−6170=970． 8. 在△ABC 中，BD:DC =2:1，AE:EC =1:3，求OB:OE =？【答案】8:1【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．此题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ．连接OC ．因为BD:DC =2:1，根据燕尾定理，S △AOB :S △AOC =BD:BC =2:1，即S △AOB =2S △AOC ；又AE:EC =1:3，所以S △AOC =4S △AOE ．那么S △AOB =2S △AOC =2×4S △AOE =8S △AOE ，所以OB:OE =S △AOB :S △AOE =8:1．9. 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点，求阴影局部面积．〔如果结果是分数，将结果化成最简分数．〕【答案】1370【分析】令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ，BI 与CE 的交点为Q ，连接AM ，BN ，CP ．求四边形ADMI 的面积：在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABM :S △CBM =AI:CI =1:2, S △ACM :S △CBM =AD:BD =1:2,所以S △ABM =14S △ABC ,S △ADM =13S △ABM =112S △ABC,S △AIM =112S △ABC,因而四边形ADMI 的面积为112S △ABC +112S △ABC =16S △ABC , 同理可得另外两个顶点的四边形面积也是△ABC 的16．求五边形DNPQE 的面积：在△ABC 中，根据燕尾模型，S△ABN:S△ACN=BF:CF=1:2,所以S△ADN=13S△ABN=121S△ABC,同理可得S△BEQ=121S△ABC.在△ABC中，根据燕尾模型，S△ABP:S△ACP=BF:CF=1:2,S△ABP:S△CBP=AI:CI=1:2,所以S△ABP=15S△ABC,因此五边形DNPQE的面积为1 5S△ABC−121S△ABC−121S△ABC=11105S△ABC,同理另外两个五边形的面积也是11 105S△ABC.所以阴影局部的面积为S△ABC−3×16S△ABC−3×11105S△ABC=1370S△ABC=1370.10. 如下图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，求平行四边形BODC的面积．【答案】24【分析】连接AO,BD，根据燕尾定理S△ABO:S△BDO=AF:FD=1:2，S△AOD:S△BOD=AE:BE= 2:1，设S△BEO=1，那么其他图形面积，如图所标，所以S BODC=2S AEOF=2×12=24．11. 如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中心六边形面积．【答案】110【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR=BG:CG.=2:1，S△ABR:S△CBR=AI:CI=1:2所以S△ABR=27S△ABC，同理S△ACS=27S△ABC，S△CQB=27S△ABC所以S△RQS=1−27−27−27=17同理S△MNP=17根据容斥原理，和上题结果S六边形=17+17−1370=11012. 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影局部的面积．【答案】3.125【分析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:CE=1:1，S△ACM:S△BCM=AD:BD=1:1，所以S△ABM=S△ACM=S△BCN=13S△ABC由于S△AEM=12S△AMC=12S△ABM S，所以BM:ME=2:1在△EBC 中，根据燕尾定理，S △BEN :S △CEN =BF:CF =1:1S △CEN :S △CBN =ME:MB =1:2 设S △CEN =1(份)，那么S △BEN =1(份)，S △BCN =2(份)，S △BCE =4(份)，所以S △BCN =12S △BCE =14S △ABC ，S △BNE =14S △BCE =18S △ABC ，因为BM:ME =2:1，F 为BC 中点，所以S △BMN =23S △BNE =23×18S △ABC =112S △ABC ，S △BFN =12S △BNC =12×14=18S △ABC ，所以S 阴影=(112+18)S △ABC =524S △ABC =524×15=3.125(平方厘米)13. 如图，面积为1的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点，求阴影局部面积．【答案】1370【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ，BI 与CE 的交点为Q ，连接AM 、BN 、CP〔1〕求S 四边形ADMI ：在△ABC 中，根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AI:CI =1:2S △ACM :S △CBM =AD:BD =1:2设S △ABM =1(份)，那么S △CBM =2(份)，S △ACM =1(份)，S △ABC =4(份)，所以S △ABM =S △ACM =14S △ABC ，所以S △ADM =13S △ABM =112S △ABC ，S △AIM =112S △ABC ，所以S 四边形ADMI =(112+112)S △ABC =16S △ABC ，同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的16〔2〕求S 五边形DNPQE ：在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABN :S △ACN =BF:CF =1:2S △ACN :S △BCN =AD:BD =1:2，所以S △ADN =13S △ABN =13×17S △ABC =121S △ABC ，同理S △BEQ =121S △ABC在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABP :S △ACP =BF:CF =1:2，S △ABP :S △CBP =AI:CI =1:2所以S △ABP =15S △ABC所以S 五边形DNPQE =S △ABP −S △ADN −S △BEP =(15−121−121)S △ABC =11105S △ABC 同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的11105所以S 阴影=1−16×3−11105×3=137014. 如下图，三角形ABC 的面积为1，D 、E 、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？【答案】17【分析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如下图1．由于D 、E 、F 分别是3条边上的三等分点，而△ABC 的面积为1，所以△ABE 、△BCF 、△CAD的面积都是13，这3个三角形的面积之和就等于大△ABC 的面积，它们的重叠局部是3个小三角形：△AME 、△BNF 、△CPD ．因此阴影△MNP 的面积就等于这3个小三角形的面积之和．假设S △CPD =“1”，由于D 是BC 上的三等分点，可知S △BPD =“2”〔如下图2〕．由燕尾模型可得S △APC S △BPC=AF FB =2，所以S △APC =“6”；而S △ABP S △ACP=BDDC =2，所以S △ABP =“12”〔如下图3〕．因此，整个△ABC 的面积是“12”+“6”+“2”+“1”=“21”，那么“1”=121，即S △CPD =121．类似地，小△BNF 和小△AME 的面积都是121，那么阴影局部的面积就是121×3=17．15. 如右图，三角形ABC 中，AF:FB =BD:DC =CE:AE =3:2，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．【答案】19【分析】连接BG ． S △AGC =6份．根据燕尾模型，S △AGC :S △BGC =AF:FB =3:2=6:4, S △ABG :S △AGC =BD:DC =3:2=9:6. 得S △BGC =4(份),S △ABG =9(份),那么S △ABC =19〔份〕，因此S △AGC S △ABC =619. 同理连接AI 、CH ．得S △ABH S △ABC =619,S △BIC S △ABC =619, 所以S △GHI S △ABC =19−6−6−619=119. 三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19．16. 如图，三角形ABC 中，BD:DC =3:4，AE:CE =5:6，求AF:FB ．【答案】10:9【分析】方法1：根据燕尾模型得S ΔAOB :S ΔAOC =BD:CD =3:4=15:20S △AOB :S △BOC =AE:CE =5:6=15:18〔都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF:FB ．方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，那么BD DC ×CE EA =34×65=910．由赛瓦定理：BD DC×CEEA×AFFB=1，那么AFFB=1÷910=10917. 如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形ABC 的面积是．【答案】36【分析】方法一：延长AD 交BC 于点M ，连接BD 、CD ，应用燕尾模型，得S 1=25, S 2=35,再由蝴蝶模型，S △BDE =S △ADE ，所以S △BDM =2+25=125,同理S △CDM =185，而MD:DA =25:2=1:5,所以S △ABD =5S △BDM ，同理S △ACD =5S △CDM ，所以S △ABC =6S △BDC =6×(125+185)=36.方法二：由于等腰直角三角形DEF 的面积是1，所以EF ＝2，而S △AEF =1+2+3=6,所以等腰直角△ABC 的高为6×2÷2=6,所以△ABC的面积是6×6÷2×2=36.。

小学奥数题库《几何》-直线型-毕克定理-4星题(含解析)

几何-直线型几何-毕克定理-4星题课程目标知识提要毕克定理•概念格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上．•正方形格点和毕克定理一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点〞．水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位〞．毕克定理：S= N+L2−1其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．•三角形毕克定理S=(N+L2−1)×2=2N+L−12其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．精选例题毕克定理1. 在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点〔又称为格点〕上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外．内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形．如右图所示的格点三角形BRS．每一个格点多边形都能够很容易地划分为假设干个本原格点三角形．那么，右图中的格点六边形EFGHKB可以划分为个本原格点三角形．【答案】36【分析】根据格点面积公式：格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数÷2−1,可得面积：15+8÷2+1=18,每个本原格点三角形最小面积是1×1×12=12,所以可以划分为本原格点三角形的个数为18÷12=36(个).2. 以下图中正六边形的面积为24平方米，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影局部的面积是平方米．【答案】5【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成24个面积为1平方米的正三角形，根据毕克公式，内部点n=2，边上点b=3，那么阴影的面积为：(2+3÷2−1)×2=5〔平方米〕．3. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是1，那么图中阴影局部的面积是．【答案】17【分析】根据毕克定理，正方形格点图算面积：面积=内部点+边界点÷2−1.内部点：8个；边界点：20个；所以面积：8+20÷2−1=17.4. 如以下图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影〔马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上〕，那么这个剪影的面积为平方厘米．【答案】56.5【分析】通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米． 5. 如图相邻两个格点间的距离是1，那么图中阴影三角形的面积为．【答案】1211【分析】连接AD、CD、BC．那么可根据格点面积公式，可以得到△ABC的面积为：1+42−1=2,△ACD的面积为：3+32−1=3.5,△ABD的面积为：2+42−1=3.所以BO:OD=S△ABC:S△ACD=2:3.5=4:7,所以S△ABO=44+7×S△ABD=411×3=12 11.6. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是m，假设四边形ABCD的面积是23，求五边形EFGHI的面积．【答案】28【分析】根据毕克定理：S=a+b÷2−1,有(10+5÷2−1)×m2=23,有m2=2;所以五边形EFGHI的面积是(12+6÷2−1)×2=28.7. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，相邻两个格点距离为1，请求出图形的面积是多少？【答案】21【分析】方法一：利用割补，图中长方形的面积是2×6=12，左边三角形我们可以把它包含在一个4×4的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角形面积是4×4−3×4÷2−1×2÷2−2×4÷2=5，右边三角形同理包含在一个4×5的长方形中，所以右边三角形的面积是4×5−(1+5)×4÷2−4×1÷2−4×1÷2=4，所以礼盒的总面积是12+5+4=21．方法二：利用毕克定理，略．8. 如图，计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】12【分析】方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形ABC和ABD，ABC是单位三角形CEF面积的4倍，从而面积是4．同理ABD的面积是单位三角形CEF的8倍，所以面积是8，因此四边形面积是4+8=12．方法二：利用三角形毕克定理：S=(N+L2−1)×2，N:5个，L:4个，所以面积是(5+4÷2−1)×2=12．9. 相邻两个格点距离为1，求以下各个格点多边形的面积是多少？【答案】15；20【分析】利用毕克定理，图〔1〕N:10个，L:12个，面积是10+12÷2−1=15；图〔2〕N:16，L:10，面积是16+10÷2−1=20．10. 如图，有21个点，每相邻三个点成“∵〞或“∴〞，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积是多少？【答案】10【分析】方法一：利用割补，将ABC分割成四个三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB=3，S△FBC=4，所以S△ABC=1+2+3+4=10．方法二：毕克定理，N:4个，L:4个，所以S△ABC=(4+42−1)×2=10．11. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD 和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？【答案】20平方厘米，10平方厘米【分析】四边形ABCD 中，N:9个，L:4个，毕克定理可知 S 四边形ABCD =(9+42−1)×2=20(平方厘米); 在三角形EFG 中，N:4个，L:4个，S 三角形EFG =(4+42−1)×2=10(平方厘米). 12. 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【答案】6.5【分析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N +L 2−1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =4，L =7，那么用粗线围成图形的面积为： (4+72−1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如以下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5②=2÷2=1③=2÷2=1④=2÷2=1⑤=2÷2=1⑥=2÷2=1还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l +1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16−9.5=6.5(平方厘米).13. 如图，每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？【答案】19平方厘米【分析】阴影局部的面积为：(7+72−1)×2=19(平方厘米)． 14. 计算下面各图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】22；23【分析】利用毕克定理．图〔1〕，N:7个，L:10个，S =(7+10÷2−1)×2=22；图〔2〕，N:5，L:15，S =(5+15÷2−1)×2=23．15. 求以下格点多边形的面积〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕．【答案】19；19；18；21【分析】方法一：分割法，略．方法二：毕克定理，图〔1〕N:7个，L:7个，S =(7+7÷2−1)×2=19；图〔2〕N:8个，L:5个，S =(8+5÷2−1)×2=19；图〔3〕N:7个，L:6个，S =(7+6÷2−1)×2=18；图〔4〕N:8个，L:7个，S =(8+7÷2−1)×2=21．16. 如图，中相邻两个格点的距离都是1，图中三个图形的面积分别是多少？【答案】3；11；5.5【分析】方法一：利用割补，第一个图“喇叭〞的面积是3；第二个图“狗〞的面积是11；第三个图“猫〞的面积是5.5．方法二：利用毕克定理，S=N+L2−1．用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积．内部点边上点正方形个数喇叭080+8÷2−1=3狗2202+20÷2−1=11猫0130+13÷2−1=5.517. 计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】24【分析】利用毕克定理．N:8个，L:10个，S=(8+10÷2−1)×2=24．18. 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】20【分析】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L−2)×单位正三角形面积其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4−2)×1=20(平方厘米).方法二：如以下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4局部计算，其中①局部对应的平行四边形面积为4，所以①局部的面积为2，②、③、④局部对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④局部的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米).19. 计算以下图面积并完成表格．〔每个小正方形面积是1〕【答案】见解析【分析】。

小学奥数小学五年级奥数零基础班几何入门之简单直线型面积

一、知识站点：
1．基本图形的面积公式回顾；
2．三角形的等积变形；
3．简单的一半模型。

二、知识讲解与相关例题：
1．基本图形的面积公式回顾：
请求出下面图形的面积，尺寸如图所示（厘米）。

2．三角形的等积变形：
等底等高，三角形面积相等；
等底看高，等高看底。

如图所示：三角形ABC的面积是6平方厘米，E是AB的中点，DC＝2BD，那么三角形ADE 的面积是多少平方厘米？
几何入门之简单直线型面积
(★)
(★★)
如图所示：三角形ABC的面积是12平方厘米，AD是BC边上的垂线，D和F是分别是BC 和AD的中点，AE＝2ED，求三角形BEC的面积是多少平方厘米？四边形BECF的面积是多少平方厘米？
如图所示：梯形ABCD中上底AD长为10厘米，高为10厘米，那么其中蓝色的三角形ABD 的面积是多少平方厘米？
3．简单的一半模型：
如图所示：长方形ABCD中，BC＝10，AB＝8。

E和F是AD上的任意两点，则绿色部分的面积是多少？
如图所示：平行四边形ABCD中，BC＝18，高为10，E是AD上的任意点，F和G分别是BC和EC的中点，则三角形FGC的面积是多少？
(★★)
(★★★)
(★★)
【本讲小结】
1．基本图形的面积公式回顾；
2．三角形的等积变形；
3．简单的一半模型。

四年级奥数专题直线型面积计算(学生版)

学科培优数学“直线型面积计算”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲讲解已经学过的几种基本平面几何图形：正方形、长方形、三角形、平行四边形、梯形等的相关面积计算方法,是几何问题中的常见常考内容。

知识梳理一、基本平面图形的计算公式【授课批注】在复习学校所学基本面积公式的同时也顺带复习周长的公式,这些知识点在具体题目中都可能用到。

二、重要模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：bs 2s 1即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S 1︰S 2 =a ︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED 占三角形ABC 面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”） ①S 1︰S 2=S 4︰S 3 或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO ︰OC=（S 1+S 2）︰（S 4+S 3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S 1︰S 3=a 2︰b 2 ②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2【授课批注】因为四年级还没学过比例,所以在讲用比所表示的模型时可使用份数这个概念,学生更容易理解。

对于部分学有余力的学生可以先讲比例再直接引入上面的关系式。

【重点难点解析】1．等底或等高的三角形的面积关系2．长方形或平行四边形与同底等高三角形的面积关系 3. 三角形内不规则图形部分的面积计算【竞赛考点挖掘】1. 基本几何图形的面积计算2. 三角形中底和高与面积的关系3. 四边形对角线所分成的四个三角形的面积关系S 4S 3s 2s 1ba S 4S 3s 2s 1O DCB A例题精讲【试题来源】【题目】图中三角形ABC的面积是180平方厘米,D是BC的中点,AD的长是AE长的3倍, EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,把四边形ABCD的各边都延长2倍,得到一个新四边形EFGH如果ABCD的面积是5平方厘米,则EFGH的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】图中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷．那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?【试题来源】【题目】如图16-4,已知．AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEFABC三角形的面积三角形的面积等于多少?【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点．三角形ABC由①～⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米．那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】左下图是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．如右下图,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么右下图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?习题演练【试题来源】【题目】如图,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12,已知梯形的上底长是下底长的23．那么余下阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】图中ABCD是梯形,三角形ADE面积是1．8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27．那么阴影部分面积是多少?【试题来源】【题目】如图,梯形ABCD的上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米．则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,BD,CF将长方形ABCD分成4块,红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米．问：绿色四边形面积是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如图,平行四边形ABCD周长为75厘米．以BC为底时高是14厘米；以CD为底时高是16厘米．求平行四边形ABCD的面积．【试题来源】【题目】如图,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是110平方米、15平方米、3 10平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?【试题来源】【题目】图中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形,求阴影部分的面积．【试题来源】【题目】如图,长方形被其内的一些直线划分成了若干块,已知边上有3块面积分别是13,35,49．那么图中阴影部分的面积是多少?【试题来源】【题目】在右图的△ABC中,CE=2AE,BD=3DC,已知△DEC的面积是4cm2,求△ABC的面积。

小学奥数几何专题--简单直线型面积(六年级)竞赛测试.doc

小学奥数几何专题--简单直线型面积（六年级）竞赛测试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）【题文】观察这几个图形的变化规律，在横线上画出适当的图形．【答案】七边形【解析】几个图形的边数依次增加，因此横线上应为一个七边形．【题文】数一数，图中共有多少个角？【答案】8【解析】锐角、直角各4个，共8个角．【题文】将一个边长为4厘米的正方形对折，再沿折线剪开，得到两个长方形．请问：这两个长方形的周长之和比原来正方形的周长多几厘米？【答案】8【解析】剪开后的图形与原图形相比，多了两条边，这两条边的长度即为所求．4×2=8厘米【题文】用12个边长为1的小正方形拼一个大长方形，这个长方形的周长最短是多少？【答案】14【解析】拼成的图形长和宽最接近时，新的图形周长最短．即新图形边长为3和4时，周长最短，为(3+4)×2=14【题文】一个等腰三角形的两条边的长度分别是3和4，那么这个三角形的周长可能是多少？另外一个等腰三角形的两条边的长度分别是4和9，这个三角形的周长可能是多少？【答案】10，11；22【解析】第一个三角形：如果腰为3，则周长为4+3+3=l【题文】下图中哪些是三角形？哪些是长方形？哪些是平行四边形？哪些是菱形？【答案】三角形：4,7；长方形：1,2；平行四边形：1,2,3,6；菱形：1,6【解析】三角形有2个：4和7；长方形有2个：1和2(正方形也属于长方形)；平行四边形有4个：1、2、3、6(正方形、长方形、菱形也属于长方形)；菱形有2个：1和6(正方形也属于菱形)．【题文】请看下图，共有多少个正方形？【答案】14【解析】假设最小的正方形边长为1，则面积为1的正方形有9个；面积为4的正方形有4个；面积为16的正方形有1个．因此共有9+4+1=14个．【题文】长方形有四个角，剪掉一个角，还剩几个角？【答案】如解析【解析】共有三种情况，如下图，分别剩下5、4、3个角．【题文】有两个相同的直角三角形纸片，三条边分别为3厘米、4厘米、5厘米．不许折叠，用这两个直角三角形可以拼成几种平行四边形？【答案】3【解析】3种．【题文】把一个正方形分割为三种面积不同的小正方形，并且小正方形的个数是8．如何分？【答案】如解析.【解析】如下图所示．【题文】数一数下图中有多少个正方体木块？【答案】7【解析】从下到上各层分别有3个、3个、1个，因此共有3+3+1=7个方块．【题文】一个正方体的8个顶角被截去后，得到一个新的几何体．这个新的几何体有几个面？几个顶点？几条棱？【答案】36【解析】这个正方体的8个顶点被截去后，多了8个面，因此共有6+8=14个面；多了(3-1)×8=16个点，因此共有8+16=24个点；多了3×8条棱，因此共有12+3×8=36条棱．【题文】用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜色．如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体．试回答：每个小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是什么色？【答案】绿；蓝；白【解析】在能看见的9个面中红色出现的次数最多．观察图8—4中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、黄色相邻，所以它的对面不可能是黑黄两色．同理，由第二个正方体可知，红色的对面不能是白色；由第三个正方体知，红色的对面不能是蓝色．所以红色的面的对面只可能是绿色．同理，黄色面的对面不可能是红色、黑色或白色，又已推知不可能是绿色，所以黄色面的对面只可能是蓝色．这样黑色面的对面就只可能是涂白色的了．【题文】将A、B、C、D、E、F六个字母分别写在正方体的六个面上，从下面三种不同摆法中判断这个正方体中，哪些字母分别写在相对的面上．【答案】A—D、B—E、C—F【解析】本题所给的是一组立体几何图形．但是，我们注意到：由于图(a)、(b)、(c)都是同一个正方体的不同摆法．所以，图(a)、(b)、(c)可以通过旋转来互相转化，这三个图形中，字母C所在的一面始终不改变位置．因此，这三个图形的转化只能是前后转动．把图(a)向后翻转一次(90°)得图(b)．由此可知，字母A的对面是D，把图(a)向前翻转一次(90°)得图(c)，所以，字母B的对面是字母E，最后得出只有字母C、F相对．因此，正方体中，相对的字母分别是A—D、B—E、C—F．【题文】有一个3×4×5的长方体，先把其中相邻的两个面染红，再把它切成60个1×1×1的小正方体，请问：这些小正方体中最多有多少个是恰有一个面被染红的？【答案】25【解析】25．【题文】图中的3个图形都是由A，B，C，D(线段或圆)中的两个组合而成，记为 A*B， C*D，A*D．请你画出表示A*C的图形．【答案】【解析】由图知A表示“|”，B表示大圆，C表示小圆，D表示“—”，则A*C表示的图形为：．【题文】图是由9个小人排列成的方阵，但有一个人没有到位．请你根据图形的规律，在标有问号的位置画出你认为合适的小人．【答案】【解析】我们注意每组的三个图案，上部的图案为，中部的图案为，下部的图案为：，所以标有问号的小人为：．【题文】如图，将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作：按上述规则完成5次操作以后，剪去所得小正方形的左角．问：当展开这张正方形纸片后，共有多少个小洞孔?【答案】256【解析】一次操作后，层数由1变为4，若减去所得小正方形左下角，展开后只有1个小洞孔，恰是大正方形的中心．连续两次操作后，折纸层数为4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后在大正方形上有4个小洞孔．连续三次操作，折纸层数为4×4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4×4＝16个小洞孔．连续四次操作，折纸层数为4×4×4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4×4×4＝64个小洞孔．按上面规律，知：连续第五次操作，折纸层数为4×4×4×4×4，剪去所得小正方形左下角，展开后大正方形留有4×4×4×4＝256个小洞孔．【题文】如图8-4，用4个大小相同的立方体拼成图中的形状．如果用涂料涂立方体中的一个侧面需用工料费3元，那么涂完图中的所有表面，共需要工料费多少元?【答案】54【解析】图中的立体图形共有3+3+4+4+2+2＝18个面需要涂色，那么共需18×3＝54元工料费．【题文】己知在每个正方体的6个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7．等于如图，现在把5个这样的正方体一个挨着一个连接起来，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中标有问号的那个面上所写的数是多少?【答案】3【解析】从正面往后数，1的对面为7－1＝6，6的紧贴面为8－6＝2，2的对面为7－2＝5，5的紧贴面为8－5＝3，3的对面为7－3＝4，于是从左往右数，第1个不是1、6、3、4，只能是2或5；当是2时，对面为5，5的紧贴面为8－5＝3，3的对面为7－3＝4，4的紧贴面8－4＝4，4的对面对7－4＝3，即为标有问号的面；当是5时，对面为2，2的紧贴面的8－2＝6，6的对面对7－6＝1，1的紧贴面为8－1＝7，不满足题意．所以，图中标有问号的那个面上所写的数是3．【题文】在图的5个图形中，有一个不是正方体的展开图，那么这个图形的编号是几?【答案】3【解析】我们知道①、②、④、⑤可以组成一个正方体，而③不管怎么沿线折叠总是有两个面重叠，无法构成一个正方体．所以不是正方体展开图的为③号图．【题文】请你在图上画出3种与图8-9不一样的设计图，使它折起来后都成为图8-8所示的长方体盒子，其中的粗线与棱的交点均为棱的中点．【答案】如解析【解析】【题文】如图所示，剪一块纸片可以做成一个多面体的纸模型(沿虚线折，沿实线粘)．那么这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少?【答案】74【解析】多面体的面数，可以直接从侧面展开图中数出来，12个正方形加8个三角形，共20面．下图是多面体上部的示意图共有9个顶点；同样，下部也是9个顶点，共18个顶点．棱数要分三层来数，上层从示意图数，有15条；下层也是15条；中间部分分为6条．一共15×2+6＝36条棱．20+18+36＝74．所以多面体的面数、顶点数和棱数的总和为74．【题文】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型．把这个模型的表面(包括底面)都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有3面涂上红色的小正方体比有2面涂上红色的小正方体多多少块?【答案】12【解析】三面涂上红色的小正方形有2×4+5×4＝28(个)；两面涂上红色的小正方形有3×4+1×4＝16(个)，所以多出28－16＝12(个)．【题文】若干棱长为1的立方体拼成了一个11×11×11的大立方体，那么从一点望去，最多能看到多少个单位立方体?【答案】331【解析】从一点望去，最多可以看见三个两两相邻的面，如下图所示：而每个面对应有11×11＝121个小立方体，但是注意到公共棱上对应的小正方体被计算了两次，应减去三个棱上对应的小立方体，但是此时顶点(望去的那一点)又多减了1次，所以必须补上，于是有：一眼看去，有121×3－11×3+1＝331个单位立方体可以看到．【题文】有10个表面涂满红漆的正方体，其棱长分别为2，4，6，…，18，20．若把这些正方体全部锯成棱长为1的小正方体，则在这些小正方体中，共有多少个至少是一面有漆的?【答案】8000【解析】题中需算至少一面的有漆的，我们只需把所有的小立方体个数减去一面都没有漆的小立方体个数即可．全部的小立方体共有23+43+63+…+183+203个；而每个立方体的内部都没有染色，这时内部的立方体的棱长为原立方体的棱长减2，所以内部的小立方体有(2－2)3+(4－2)3+(6－2)3+(8－2)3+…+(18－2)3+(20－2)3＝23+43+63+…+183个．所以，至少一面有漆的小正方体有[23+43+63+…+183+203]－[23+43+63+…+183]＝203＝8000个．【题文】已知一个正方体木块能分割成若干个棱长为l厘米的小正方体木块，并且在这个大的正方体木块的5个面上涂上红色，把它分割成若干个棱长1厘米的小正方体木块后，有两面涂上红色的共有108块．那么只有一面涂上红色的有多少块?【答案】897【解析】如下图，我们假设最底面没有涂色，那么每条棱上的对应的小正方体都是两面涂有红色，除了被圈出的4个小正方体为3面有色．有标有“”的边上染有红色的小正方体为：(棱长－2)；标有“■”的边上染有红色的小正方体为：(棱长－1)．有(棱长－2)×4+(棱长－1)×4＝108，所以棱长为15，而一面有色只是在染色的5个面内，及未涂色面的顶点上，所以共有(15－2)×(15－2)×5+4＝897块．【题文】一条小虫沿长6分米，宽4分米，高5分米的长方体的棱爬行．如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么它最多能爬多少分米?【答案】48【解析】如下图所示，我们将长方体的顶点标上字母：注意到，我们尽量让小虫多走长方形的长，此时有A→B→C→D→A→E→F→G→H→E，小虫共走了6+5+6+5+4+6+5+6+5＝48分米．当然与上面的路线对称的路线也是符合题意的．所以，小虫最多能爬48分米．【题文】如图，一个正四面体摆在桌面上，正对你的面ABC是红色，底面BCD是白色，右侧面ACD是蓝色，左侧面ABD是黄色．先让四面体绕底面面对你的棱向你翻转，再让它绕底面右侧棱翻转，第三次绕底面面对你的棱向你翻转，第四次绕底面左侧的棱翻转，此后依次重复上述操作过程．问：按规则完成第一百次操作后，面对你的面是什么颜色?【答案】白【解析】由初始状态第一次翻转后红面为底面，第二次翻转后蓝面变为底面，这时黄面正对着你；第三次翻转后，黄面变为底面，第四次翻转后红面变为底面，这时白面对着你．继续按规则操作，会发现连续翻转到第八次出现红面正对着你．次后，第八次错作，面对你重复出现，形成一个循环．由于100÷8＝12……4，所以完成第100次操作后面对你的面与完成第四次操作面对你的面相同，是白色．。

六年级奥数专题平面几何综合(学生版)

学科培优数学“平面几何综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲复习以前所学过的有关平面几何方面的知识,包括直线型图形的五大模型以及圆与扇形方面的知识,旨在提高学生对该部分知识的综合运用能力。

知识梳理直线型图形五大模型模型一：同一三角形中,相应面积与底的正比关系：即：两个三角形高相等,面积之比等于对应底边之比。

S1︰S2=a︰b ；模型一的拓展：等分点结论（“鸟头定理”）如图,三角形AED占三角形ABC面积的23×14=16模型二：任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）①S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4②②AO︰OC=（S1+S2）︰（S4+S3）模型三：梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）①S1︰S3=a2︰b2S4S3s2s1babs2s1S4S3s2s1ODCBA②S 1︰S 3︰S 2︰S 4= a 2︰b 2︰ab ︰ab ; ③S 的对应份数为（a+b ）2模型四：相似三角形性质①a b c hA B C H=== ; ②S 1︰S 2=a 2︰A 2模型五：燕尾定理S △ABG ：S △AGC ＝S △BGE ：S △GEC ＝BE ：EC ； S △BGA ：S △BGC ＝S △AGF ：S △GFC ＝AF ：FC ； S △AGC ：S △BCG ＝S △ADG ：S △DGB ＝AD ：DB ；【重点难点解析】1. 三角形的相似问题2. 四边形中的蝴蝶定理3. 三角形中燕尾定理的运用【竞赛考点挖掘】1. 三角形或四边形中的部分面积求解2. 相似形的相关性质3. 多边形内角和4. 圆与圆弧的相关图形面积和周长求解hh H cb a CB Aac b HC BAF ED CBA例题精讲【试题来源】【题目】如图,长方形ABCD中,阴影部分是直角三角形且面积为54,OD的长是16,OB的长是9.那么四边形OECD的面积是_____.【试题来源】【题目】如下左图.将三角形ABC的BA边延长1倍到D,CB边延长2倍到E,AC边延长3倍到F.如果三角形ABC的面积等于l,那么三角形DEF的面积是_____.【试题来源】【题目】如图,三角形ABC的面积是1平方厘米,且BE=2EC,F是CD的中点．那么阴影部分的面积是( )平方厘米．【试题来源】【题目】如图,已知AE=15AC,CD=14BC,BF=16AB,那么DEF=____ABC三角形的面积三角形的面积【试题来源】【题目】如图,BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与梯形的一条腰DC平行,AE与BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米,并且EC=25BC.求梯形ABCD的面积.【试题来源】【题目】如图,平行四边形的花池边长分别为60米与30米．小明和小华同时从A点出发,沿着平行四边形的边由A→B→C→D→A…顺序走下去．小明每分钟走50米,小华每分钟走20米,出发5分钟后小明走到E点,小华走到F点．连结AE、AF,则四边形AECF的面积与平行四边形ABCD的面积的比是______．【试题来源】【题目】图中正方形周长是20厘米.那么图形的总面积是_____平方厘米.习题演练【试题来源】【题目】如图中,阴影部分的面积是5．7平方厘米,三角形ABC的面积是____平方厘米.（π取3．14）15,那么阴影部分的面积是_____平方【题目】图中,已知圆心是○,半径r=9厘米,∠1=∠2=0厘米．π(≈3.14)【试题来源】【题目】图中阴影部分的面积是____平方厘米．(π≈3.14)【试题来源】【题目】图中两个阴影部分面积的和是多少平方厘米?【试题来源】【题目】如右图,ABCD是正方形．E是BC边的中点,三角形ECF与三角形ADF面积一样大,那么三角形AEF(阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的百分之____.（结果保留小数点后两位）【试题来源】【题目】图中ABCD是直角梯形,其中,AD=12厘米,AB=8厘米,BC=15厘米．且三角形ADE、四边形DEBF、三角形CDF的面积相等．那么三角形EBF的面积是______平方厘米．【试题来源】【题目】正方形ABCD的面积是160平方厘米,连接这个正方形4条边的中点,又得到一个正方形EFGH．像这样重复几次后得到下图,图中涂黑色部分的面积是____平方厘米．【试题来源】【题目】如图,三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内,A和B是两个正方形的重叠部分,C、D、E是空出的部分,每一部分都是矩形,它们的面积比是A：B：C：D：E=1：2：3：4：5,那么这个长方形的长与宽之比是________．【试题来源】【题目】已知四边形ABCD是直角梯形,上底AD=8厘米,下底BC=10厘米,直角腰CD=6厘米,E是AD的中点,F是BC上的点,BF=23BC,G为DC上的点,三角形DEG的面积与三角形CFG的面积相等．那么,三角形ABG的面积是_____平方厘米．。

小学奥数平面直线型几何专题学生版

A
A1
L1
L2
B
C
若L1 //L2，则S△ABC=S△A1BC
技巧：平行线的来源 A、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 B、已知平行 C、并排摆放的正方形的同方向对角线（2）等底同高
A
B
D
C
若D为BC中点，则S△ABD=S△ACD
平面直线型几何专题
（3）等高等底
A
E
by 吴哲孙雪艳
h1
h2
S阴=
1 2
S平行四边形
图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，
1
S上 +S下 =S左 +下S
= 2
S平行四边形
图（3）中为平行四边形内部一平行线，
S阴=
1 2
S平行四边形
平面直线型几何专题
拓展 2：
by 吴哲孙雪艳
（1）
（2）
图（1）为平行四边形到长方形的变化
图（2） S正=S长=2S阴
图（3） S正=S长=2S阴,图（3）是图（2）的变形
（3）
2、
梯形的一半模型：
S阴=
1 2
S梯形
（取梯形腰上中点连接三角形）
证明：
A
D
E
F B
C
延长 DE 交 CB 的延长线于 F，得到 S△ADE=S△FBE，S梯形=S△CDF ,因为 E 为 AB
的中点，显然
E
也为
DF
的中点，容易得到
S阴=
1 2
1 8
36
4.5
．
所以阴影部分的面积是： S阴影 18 SEBF 18 4.5 13.5 ．
例 3：（第 6 届走美杯 5 年级决赛第 8 题）央如图， A、B、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大 15 平方厘米。△AOB 的面积为多少平方厘米？

六年级奥数几何; 第2讲;直线型面积_二_;学生版

例题 20
CA 的三等分点,求阴影部分面积.
A
D
I
E
H
B
F
G
C
如图，已知 D 是 BC 上的中点， E 是上 AC 的中点， F 是 AB 上的点，且如下图，
1
已知 AF : FB = 3 : 4 ， BD : DC = 8 : 3 ，求 CE : EA ．
练习 1
2010 年·短期班
例题 1
的面积小 10 平方厘米．梯形 ABCD 的面积是多少平方厘米？
A O D
B
E
C
2
如右图，已知 D 是 BC 中点， E 是 CD 的中点， F 是 AC 的中点， ΔABC 由这 6 部
例题 2
分组成，其中⑵比⑸大 6 平方厘米，那么 ΔABC 的面积是多少平方厘米？
A
H
D
E
G
B
F
C

2010 年·短期班
小学奥数·六年级·几何·第 2 讲学生版
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板块五、相似模型
9
例题 9
如图，长方形 ABCD 中， E 为 AD 中点， AF 与 BE 、 BD 分别交于 G 、 H ，已知
AH = 5 cm ， HF = 3 cm ，求 AG .
2010 年·短期班
小学奥数·六年级·几何·第 2 讲学生版
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1
如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD = EC = 4 ， BD = BE = 6 ，那么图中阴影部
例题 12
分面积是多少？
A D
B
E
C
1
已知三角形 ABC 的面积为 a ， AF : FC = 2 :1 ， E 是 BD 的中点，且 EF ∥ BC ，交

小学奥数训练专题几何图形的认识.学生版

几何图形的认识知识点拨本讲知识点属于几何模块的第一讲，属于起步内容，难度并不大．要求学生认识各种基本平面图形和立体图形；了解简单的几何图形简拼和立体图形展开；看懂立体图形的示意图，锻炼一定的空间想象能力．几何图形的定义：1、几何图形主要分为点、线、面、体等，他们是构成中最基本的要素．（1）点：用笔在纸上画一个点，可以画大些，也可以画小些．点在纸上占一个位置．（2）线段：沿着直尺把两点用笔连起来，就能画出一条线段．线段有两个端点．（3）射线：从一点出发，沿着直尺画出去，就能画出一条射线．射线有一个端点，另一端延伸的很远很远，没有尽头．（4）直线：沿着直尺用笔可以画出直线．直线没有端点，可以向两边无限延伸（5）两条直线相交：两条直线相交，只有一个交点．（6）两条直线平行：两条直线平行，没有交点，无论延伸多远都不相交．（7）角：角是由从一点引出的两条射线构成的．这点叫角的顶点，射线叫点的边．边顶点边（8）角分为锐角、直角和钝角三种：直角的两边互相垂直，三角板有一个角就是这样的直角．教室里天花板上的角都是直角．锐角比直角小，钝角比直角大．直角锐角钝角（9）三角形：三角形有三条边，三个角，三个顶点．顶角边角边顶角角边角顶角（10）直角三角形：直角三角形是一种特殊的三角形，它有一个角是直角．它的三条边中有两条叫直12角边，一条叫斜边．直角边斜边直角边（11）等腰三角形：等腰三角形也是一种特殊的三角形，它有两条边一样长(相等)，相等的两条边叫”腰”，另外的一条边叫”底”．腰腰底（12）等腰直角三角形：等腰直角三角形既是直角三角形，又是等腰三角形．直角边腰腰直角边底斜边（13）等边三角形：等边三角形的三条边一样长(相等)，三个角也一样大(相等)．角边角边（14）四边形：四边形有四条边，内部有四个角．边角（15）长方形：长方形的两组对边分别平行且相等，四个角也都是直角．（16）正方形：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．（17）平行四边形：平行四边形的两组对边分别平行而且相等，两组对角分别相等．（18）等腰梯形：等腰梯形是一种特殊的四边形，它的上下两边平行，左右两边相等．平行的两边分别叫上底和下底，相等的两边叫腰．|初一·数学·基础-提高-精英·学生版|第1讲第页上底腰腰下底（19）菱形：菱形的四条边都相等，对角分别相等．（20）圆：圆是个很美的图形．圆中心的一点叫圆心，圆心到圆上一点的连线叫圆的半径，过圆心连接圆上两点的连线叫圆的直径．直径把圆分成相等的两部分，每一部分都叫半圆．半径圆心直径半圆直径（21）扇形：半径弧半径（22）长方体：长方体有六个面，十二条棱，八个顶点．长方体的面一般是长方形，也可能有两个面是正方形．互相垂直的三条棱分别叫做长方体的长、宽、高．高宽长（23）正方体：正方体有六个面，十二条棱，八个顶点．正方体的每个面都是同样大的正方形，所以它的十二条棱长都相等．（24）圆柱：圆柱的两个底面是完全相同的圆．（25）圆锥：圆锥的底面是圆．底面（26）棱柱：这个棱柱的上下底面是三角形．它有三条互相平行的棱，叫三棱柱．3．底面底面（27）棱锥：这个棱锥的底面是四边形．它有四条棱斜着立起来，所以叫四棱锥．底面（28）三棱锥：因为三棱锥有四个面，所以通常又叫”四面体”三棱锥的每一个面都是三角形．（29）球体，简称球：球有球心，球心到球面上一点的连线叫球的半径．半径球心例题精讲模块一、几何图形的认识【例1】请看下图，共有个圆圈。

小学奥数题库《几何》-直线型-等积变形-5星题(含解析)

几何-直线型几何-等积变形-5星题课程目标知识提要等积变形•概念等积变形：如果两个三角形同底等高，那么他们的面积相等．•夹在一组平行线之间的等积变形S△ABC=S△BCD精选例题等积变形1. 如图，正方形的边长为12，阴影局部的面积为60，那么四边形EFGH的面积是．【答案】6【分析】如下图，设AD上的两个点分别为M、N．连接CN．根据面积比例模型，△CMF与△CNF的面积是相等的，那么△CMF与△BNF的面积之和，等于△CNF与△BNF的面积之和，即等于△BCN的面积．而△BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为122×12=72．又△CMF与△BNF的面积之和与阴影局部的面积相比拟，多了2个四边形EFGH的面积，所以四边形EFGH的面积为：(72−60)÷2=6．2. 如图，有三个正方形的顶点D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为16厘米，求阴影局部的面积．【答案】256平方厘米．【分析】如下图，连接FK、GE、BD，那么这三条线互相平行，可以得到S△DGE=S△GBE,S△GEK=S△GEF.所以阴影局部的面积就等于中间正方形的面积即为S阴影=16×16=256(平方厘米).3. 如下图，ED 垂直于等腰梯形ABCD 的上底AD ，并交BC 于G ，AE 平行于BD ，∠DCB =45∘，且三角形ABD 和三角形EDC 的面积分别是75、45，那么三角形AED 的面积是多少？【答案】30【分析】的△CDE 的底边是ED ，高是CG ；所求的△AED 的底边是ED ，高是AD ；它们有公共的底边ED ．另一个的三角形是△ABD ，如果能找到一个以ED 为底边的三角形，它的面积等于△ABD 的面积，那么底边ED 就成了这三个三角形的公共底边．如图1，连结BE ．由于AE ∥BD ，把△ABD 作等积变换，变成△BDE ，此时△BDE 以DE 为底边以BG 为高，且面积是75．这样一来，这3个三角形有相同的底边DE ．于是来看看它们的高BG 、CG 、AD 之间有什么关系．由于四边形ABCD 是等腰梯形，如下图2，再作分别从A 、D 出发与BC 垂直的垂线AH 、DG ．容易看出，BH =GC ，AD =HG ，因此BG =BH +HG =GC +AD ．在等式两边同时乘以DE ÷2，可得BG ×DE ÷2=(GC +AD)×DE ÷2．用乘法分配律得BG ×DE ÷2=GC ×DE ÷2+AD ×DE ÷2．而S △BDE =BG ×DE ÷2,S △DEC =CG ×DE ÷2,S △AED =AD ×DE ÷2，因此所求的三角形的面积就是75−45=30．4. 如下图，三角形ABC 的面积为1．D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 是BC 边上的三等分点，请问：三角形DEF 的面积是多少？三角形DOE 的面积是多少？【答案】14；320．【分析】注意到D 、E 分别为AB 、AC 的中点，那么DE 就是△ABC 的中位线，连结CD ，如下图1．那么△DEF 与△CDE 面积相等，因此 S △DEF =S △CDE =12S △ACD =12×12×S △ABC =14. 在沙漏EDOFG 中，OE OF =DE FG 〔如图2〕．而DE =12BC ，FG =13BC ，因此OE OF =DE FG =32, 即有 OE EF =33+2=35, 转化为面积比S △DOE S △DEF =35．而S △DEF =14，所以 S △DOE =35×S △DEF =35×14=320. 5. 如下列图所示，三角形AEF 、三角形BDF 、三角形BCD 都是正三角形，其中AE:BD =1:3，三角形AEF 的面积是1．求阴影局部的面积．【答案】15【分析】S △AEF :S △BDF =AE 2:BD 2=1:9，△AEF 面积是1，那么S △BDF =S △BDC =9，因为△AEF 与△ACE 的高之比是1:7，所以S △ACE =7，因为AD 与BC 平行，所以S △ABC =S △BCD =9，所以S △ABC :S △AEC =BI:IE =9:7．假设BE 为16份，那么BI =9,IE =7，又知道BF:FE =3:1，所以BF =12,FE =4，所以IF =3,S △AEF :S △AIF =FE:FI =4:3，所以S △AIF =0.75，又有S △AIF :S △BCI =AF 2:BC 2=1:9，所以S △BCI =6.75，于是可求阴影局部面积是(0.75+6.75)×2=15．6. 如下列图所示，在长方形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥AD ，EF 与GH 相交于O ，HC 与EF 相交于I ．AH:HB =AE:ED =1:3，△COI 的面积为9平方厘米，求长方形ABCD 的面积．【答案】128平方厘米【分析】如下列图所示，连接GI，显然△GOI的面积=△COI的面积=9平方厘米，于是△HOI的面积=3平方厘米，所以△HOC的面积=12平方厘米．因此△OGC的面积=36平方厘米，于是长方形OFCG的面积=72平方厘米，从而 $\text{长方形$ HBFO $的面积}=\text{长方形$ EOGD $的面积}=24$ 平方厘米，长方形AHOE的面积=8平方厘米．故长方形ABCD的面积为8+24+24+72=128(平方厘米)．。

小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-3星题(含解析)

几何-直线型几何-鸟头模型-3星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。

$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$精选例题鸟头模型1. 如下列图所示，点Qʹ和Rʹ三等分XʹX，Rʹ和Pʹ三等分YʹY，Qʹ和Pʹ三等分ZʹZ．△PQR 面积是△PʹQʹRʹ面积的倍．【答案】25【分析】连接ZYʹ,XʹY,XZʹ，根据鸟头模型，可以得到△PʹYʹZ,△XʹYRʹ,△XQʹZʹ都是△PʹQʹRʹ的4倍，那么可以得到平行四边形PZPʹYʹ、XʹRʹYR、XQʹZʹQ均为△PʹQʹRʹ的8倍，图中的三个小三角形的面积都与△PʹQʹRʹ的面积相等，那么△PQR面积是△PʹQʹRʹ面积的8×3+1= 25(倍)．2. 如下图，正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC，CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】由题意知AE=13AC、CF=13BC,可得CE=23 AC.根据〞共角定理〞可得，S△CEF:S△ABC=(CF×CE):(CB×AC)=(1×2):(3×3)=2:9;而S△ABC=6×6÷2=18;所以S△CEF=4;同理得，S△CDE:S△ACD=2:3,S△CDE=18÷3×2=12,S△CDF=6故S△DEF=S△CEF+S△DEC−S△DFC=4+12−6=10(平方厘米).3. 如下列图所示，三角形ABC的面积为1，且AD=13AB,BE=14BC,CF=15CA，那么三角形DEF的面积是．【答案】512【分析】先分别求出△ADF、△BDE、△CEF的面积，再用△ABC的面积减去这三个三角形的面积即为△DEF的面积．因为，AD=13AB,CF=15CA，所以，AF=45AC，根据“鸟头定理〞，S△ADF=45×13S△ABC=415，同理可得，S△BDE=23×14×1=16，S△CEF=34×15×1=320，所以S△DEF=1−415−16−320=512．4. 如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB 到F，使FB＝3BC．如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是．【答案】7【分析】S△CAB:S△CEF=(1×1):(3×4)=1:12，所以S△CEF=12，S△ABC:S△ADE=(1×1):(1×2)=1:2，所以S△ADE=2，S△BAC:S△BDF=(1×1):(2×3)=1:6，所以S△BDF=6，所以S△DEF=S△CEF−S△ABC+S△ADE−S△BDF=12−1+2−6=7.5. 如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是．【答案】18【分析】〔法1〕连接AE、CD．因为S△ABCS△DBC =11，S△ABC=1，所以S△DBC=1．同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18．〔法2〕用共角定理因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=1×14×2=18.又S△ABC=1，所以S△FCE=8．同理可得S△ADF=6，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△FCE+S△ADF+S△BDE=1+8+6+3=18.6. 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，假设四边形ABCD的面积为5，那么四边形EFGH的面积是．【答案】60【分析】连接AC、BD．由于BE=2AB,BF=2BC,于是S△BEF=4S△ABC,同理S△HDG=4S△ADC,于是S△BEF+S△HDG=4S△ABC+4S△ADC=4S ABCD,再由于AE=3AB,AH=3AD,于是S△AEH=9S△ABD,同理S△CFG=9S△CBD,于是S△AEH+S△CFG=9S△ABD+9S△CBD=9S ABCD,那么S EFGH=S△BEF+S△HDG+S△AEH+S△CFG−S ABCD=4S ABCD+9S ABCD−S ABCD=12S ABCD=60.7. 正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC,CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】正方形的面积为6×6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出S△ADE=13×S△ACD=13×12×36=6(平方厘米),S△CDF=13×S△BCD=13×12×36=6(平方厘米),S ABFE=S△ABC−S△CEF=18−18×13×23=14(平方厘米),阴影局部面积为36−6−6−14=10(平方厘米)．8. 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．【答案】730【分析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾模型，S△ABM:S△ACM=BF:CF=2:1,S△ACM=2S△ADM,S△ABM=2S△ACM=4S△ADM,那么BM=4DM，即BM=45 BD.那么S△BMF=BMBD×BFBC×S△BCD=45×23×12=415,S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出 S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730.9. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA =3:1:2，∠DAB =∠CBA =60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 PAD 和三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最大是．【答案】 147【分析】延长 AD ，BC 交于点 Q ，连接 PQ ．∠DAB =∠CBA =60°，所以三角形 ABQ 为正三角形．由于AB:BC:DA =3:1:2,所以 PCQD 的面积为20÷2+17×2=44;而三角形QCD面积占QAB面积的1 3×23=29,ABCD面积是QCD面积的(1−29)÷29=72.注意到ABCD中各三角形面积均为整数，所以QAB面积为9的倍数．QCD面积是2的倍数，所以QCD面积最大为42，ABCD面积最大为42×72=147.10. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，阴影局部面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．【答案】30平方厘米【分析】S△ADE=S△DEF，S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(1×1):(2×3)=1:6,所以S△ABC=5×6=30(平方厘米).11. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE〔图中阴影局部〕的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】S△AEF:S△ABC=(AE×AF):(AB×AC)=(1×2):(2×3)=1:3,S△ABC=3S△AEF=3×8=24,S四边形ABCD=2×24=48(平方厘米)．12. △CEF的面积为9平方厘米，BE=CE,AD=2BD，CF=3AF，求△DEF的面积．【答案】7平方厘米．【分析】S△CEF:S△ABC=(CE×CF):(CB×CA)=(1×3):(2×4)=3:8=9:24,所以三角形ABC的面积为24平方厘米S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BA×BC)=(1×1):(2×3)=1:6=4:24,S△ADF:S△ABC=(AD×AF):(AB×AC)=(2×1):(3×4)=1:6=4:24,所以S△DEF=24−4−4−9=7(平方厘米).13. 如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？【答案】17【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=12.所以三角形AFC的面积为2份，同理，三角形ABD的面积为2份，三角形BEF的面积为2份．那么三角形ABC的面积为7份，对应面积为1，所以S三角形DEF =17．14. 如图，三角形ABC的面积为3，其中AB:BE＝2:5，BC:CD＝3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5【分析】BC:BD=3:(3+2)=3:5，S△ABC :S△BDE=(2×3):(5×5)=6:25，S△ABC=25 6S△BDE=256×3=12.5．15. ，AC:AE＝5:1，BC:CD＝4:1，BA:BF＝6:1，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【答案】61120【分析】S△AEFS△ABC =AE×AFAC×AB=1×55×6=16，S△BDF S△ABC =BD×BFBC×BA=3×14×6=18，S△CDE S△ABC =CD×CECB×CA=1×44×5=15，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△AEF−S△BDF−S△CDES△ABC=1−16−18−15=61120.16. 如下列图所示，在三角形ABC中，BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、AF= FG．请问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？【答案】19【分析】根据鸟头模型，S△ADC=56S△ABC,S△AED=45S△ADC,S△AGE=23S△AED,S△GHF=12×12×S△AGE,最后可以得出S△GHF=56×45×23×12×12×S△ABC=19S△ABC.17. 如图， AE =13AC ，CD =14BC ，BF =15AB ，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？【答案】 512【分析】 S △AEF S △ABC=AE×AF AC×AB =1×43×5=415，S △BDF S △ABC=BD×BF BC×BA=1×35×4=320，S △CDES △ABC=CD×CE CB×CA=1×24×3=16，所以S △DEF S △ABC=S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △CDES △ABC=1−415−320−16=512.18. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC ，三角形 ABC 的面积为 1. 三角形 DEF 的面积是多少？【答案】 119【分析】令三角形 DEF 为 1 份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=16.所以三角形AFC的面积为6份，同理，三角形ABD的面积为6份，三角形BEF的面积为6份．那么三角形ABC的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1，所以S三角形DEF =119．19. 如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积．【答案】15平方米．【分析】连接BD，由鸟头知：S△BCD S△FCG =BC⋅DCFC⋅CG=1×12×1=12S△ABD S△AEH =AD⋅ABAH⋅AE=1×12×1=12,所以S△FCG+S△AEH=2S四边形ABCD 连接AC，同理可得：S△BEF+S△DHG=2S四边形ABCD,S四边形EFGH =5S四边形ABCD又因为四边形EFGH的面积是75平方米所以四边形ABCD的面积是75÷5=15(平方米).20. 如图，△ABC的面积是36，并且AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，试求△DEF的面积．【答案】15【分析】详解：由鸟头模型可得，S△AEF=36×45×13=485,S△BED=36×15×34=275,S△CDE=36×14×23=6,S△DEF=36−485−275−6=15.21. 分别延长四边形ABCD的四个边，使得AB=BAʹ,BC=CBʹ,CD=DCʹ,DA=ADʹ〔如下列图所示〕．如果四边形ABCD的面积是1平方厘米，请问四边形AʹBʹCʹDʹ的面积为多少平方厘米？【答案】5【分析】连接BD，根据鸟头模型，可得S△AAʹDʹ=1×2×S△ABD=2S△ABD,S△CCʹBʹ=1×2×S△BCD=2S△BCD,那么可得S△AAʹDʹ+S△CCʹBʹ=2S四边形ABCD连接AC，同理可得：S△DDʹCʹ+S△BBʹAʹ=2S四边形ABCD所以整个图形的面积是2+2+1=5(平方厘米).22. 如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．【答案】1:18【分析】连接AC，根据共角定理：S△ABC S△FBE =BA×BCBE×BF=1×11×3=13,又因为S△ABC=1，所以，S△FBE=3，同理可得：S△GCF=8,连接BD，S△DHG=15,S△AEH=8．所以S EFGH=S△AEH+S△CFG+S△DHG+S△BEF=8+8+15+3+2=36,S ABCD:S EFGH=2:36=1:18．23. 如图，三角形ABC面积为1，延长BA至D，使得DA=AB；延长CA至E，使得EA=2AC；延长CB至F，使得FB=3BC，求三角形DEF的面积？【答案】7【分析】S△ADE S△ABC =AD×AEAB×AC=2,S△CEF S△ABC =CE×CFCA×CB=3×4=12,S△DBF S△ABC =DB×BFBA×CB=2×3=6,S△DEF=S△ADE+S△CEF−S△DBF−S△ABC =2+12−6−1=7.24. 三角形ABC中，BD的长度是的AB的14，AE的长度是AC的13．三角形AED的面积是8，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】32【分析】简答：8÷(34×13)=32．25. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD＝5:2，AE:EC＝3:2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积．【答案】50平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(3×2):(5×5)=6:25,因为S△ADE=12(平方厘米)，所以S△ABC=12÷6×25=50(平方厘米)．26. 如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】20【分析】详解：AD 是 AB 的 34，AE 是 AC 的 23，根据鸟头模型，有 △ADE 的面积是 △ABC 面积的 34×23=12．那么 △ABC 的面积是 20．27. 如图， AE =15AC ，CD =14BC ，BF =16AB ，那么 S△DEF S △ABC 等于多少？【答案】 61120【分析】设 S △ABC =1，那么根据悬空=整体−空白,S △DEF =S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △DEC现在分别去求 S △AEF 、S △BDF 、S △DEC ，由鸟头定理知道：S △AEF =(AF AB ×AE AC )S △ABC =(56×15)S △ABC =16S △ABC同理：S △BDF =(BF AB ×BD BC )S △ABC =16×34S △ABC =18S △ABC S △DEC =(EC AC ×DC BC )S △ABC =45×14S △ABC =15S △ABC所以： S △DEF =(1−16−18−15)S △ABC =61120S △ABC,S △DEF S △ABC =61120.28. 如图，在三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE =13AB ，四边形 ACDE 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积．【答案】42【分析】S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BC×BA)=(1×1):(2×3)=1:6,那么S△BDE=16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，所以：S△ABC=35÷56=42．29. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,S△AHO:S△ADC=9:40.因为S△ADC=12×122=72,所以S△AHO=940S△ADC=940×72=16.2.30. 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】15【分析】S△ADE :S△ABC=(1×1):(5×3)=1:15，S△ABC=15S△ADE=15×1=15．31. 如下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？【答案】12【分析】连接AF、EG．因为S△CDE=14×82=16，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，S△AEF=8，S△EFG=8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，得到S△BFC=16，S ABFE=32，S△ABF=24，所以S△ABG=12(平方厘米).32. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？【答案】4【分析】简答：由条件得AD:AB=1:5,AE:AC=1:6,利用“共角三角形〞性质得三角形AED的面积是120×15×16=4.33. 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两局部BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙局部面积是甲局部面积的几倍？【答案】5【分析】BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3，S△BDE :S△ABC=(1×1):(3×2)=1:6，S△BDE =16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，S△BDE:S四边形ACDE =16:56=1:5．34. 如图，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积．【答案】18【分析】S△ADFS△ABC =AD×AFAB×AC=2×31×1=6，S△BDE S△ABC =BD×BEAB×BC=1×31×1=3，S△CEF S△ABC =CE×CFBC×AC=2×41×1=8．所以S△DEF S△ABC =S△ADFS△ABC+S△BDES△ABC+S△CEFS△ABC+S△ABCS△ABC =6+3+8+1=18,S△DEF=18S△ABC=18．35. 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5平方厘米．【分析】由于∠ABC+∠DBE=180∘，所以可以用共角定理，设AB=2份，BC=3份，那么BE=5份，BD=3+2=5份，由共角定理S△ABC:S△BDE=(AB×BC):(BE×BD)=(2×3):(5×5)=6:25,设S△ABC=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25×0.5=12.5(平方厘米),三角形BDE的面积是12.5平方厘米．36. 如图，长方形的面积是16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少？【答案】3【分析】详解：连结DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的3 4×12=38.那么△BCE的面积是16×12×38=3.37. 如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN=BN．那么，阴影局部的面积是多少？【答案】512【分析】S△ABD=12，S△AMN:S△ABD=(AM×AN):(AB×AD)=1:6，S△AMN=112，所以阴影局部的面积为S阴=12−112=512．38. 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=12BC，F是AC 的中点，假设△ABC的面积是2，那么△DEF的面积是多少？【答案】 3.5【分析】因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=2×21×1=41.又因为S△ABC=2，所以S△FCE=0.5．同理可得S△ADF=2，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△CEF+S△DEB−S△ADF=2+0.5+3−2=3.5.39. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:BD=5:7，AE:EC=3:2，S△ADE=36平方厘米，求△ABC的面积．【答案】150平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=[3×(7−5)]:[5×(3+2)]=6:25,因为S△ADE=36(平方厘米)，所以S△ABC=36÷6×25=150(平方厘米)．40. △DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积．【答案】24平方厘米【分析】S△BDES△ABC =BD×BEBA×BC=1×13×2=16，S△CEF S△ABC =CE×CFCB×CA=1×32×4=38，S△ADF S△ABC =AD×AFAB×AC=2×13×4=16，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△BDE−S△CEF−S△ADFS△ABC=1−16−38−16=724,又△DEF的面积为7平方厘米，所以S△ABC=7÷724=24(平方厘米).41. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡〞的一声，飞镖被劈成了两半．如下列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那局部残片占到整体面积的几分之几？【答案】107300【分析】对图形进行分割，分割过程如下：即所给我我们的图形共有12个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1，那么根据共角模型有：S三角形BDE S三角形BAC =BD×BEAB×AC=11×1315×15=143225.所以四边形ACDE的面积为：(1−143225)×9=8225.所以较小的残片的面积为：82 25+1=10725.所以较小残片占整个面积的：10725 12= 107 300.42. 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积．【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米．【分析】S△ABF:S△ABE=(AB×FB):(AB×EB)=2,所以S△ABF=2×S△ABE=9.2(平方厘米);因为△ABD和△ACD同底等高，所以S△ABD=S△ACD,因而S△CDF=S△ACD−S△AFD=S△ABD−S△AFD=S△ABF=9.2(平方厘米);S△ABD:S△ABE=(AB×DB):(AB×EB)=3,所以S△ABD=3×S△ABE=13.8;所以S△ACD=S△ABD=13.8(平方厘米).43. 如图，三角形ABC中，AB是AD的6倍，EC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】24【分析】S△ADE:S△ABC=(1×1):(6×4)=1:24，S△ABC=24S△ADE=24×1=24．44. 把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少？【答案】65平方厘米【分析】连接BD，由共角定理知：S△ABD S△AEH =AB×ADAE×AH=1×12×3=16,S△BCD S△CFG =BC×CDCF×CG=1×13×2=16,S△AEH+S△CFG=6S ABCD,同理连接AC，可得：S△BEF+S△DGH=6S ABCD,所以S EFGH=(6+6+1)S ABCD=13×5=65cm2．45. 如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米【分析】连接BD，有△ABD中∠EAD+∠BAD=180∘，又夹成两角的边EA、AH、AB、AD的乘积比，EA×AHAB×AD=2，所以S△EAH=2S△EAD．类似的，还可得S△FCG=2S△BCD，有S△EAH+S△FCG=2(S△ABD+S△BCD)=10,同理可证：S△EBF+S△DHG=2(S△ABD+S△BCD)=10,所以四边形EFGH的面积是10+10+5=25(立方厘米)．46. 下列图中的三角形ABC被分成了甲〔阴影局部〕、乙两局部，BD=DC=4,BE=3,AE= 6．求甲局部面积占乙局部面积的几分之几．【答案】15【分析】BEBA =33+6=13,BDBC=44+4=12，根据鸟头模型，甲局部占整个图形面积的13×12=16，那么甲局部占乙局部的15．47. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB＝2:5，AE:AC＝4:7，S△ADE＝16平方厘米，求△ABC的面积．【答案】70平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(7×5)=8:35,因为S△ADE=16(平方厘米)，所以S△ABC=16÷8×35=70(平方厘米)．48. 长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】13.5平方厘米【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下列图：可得：S△EHB=12S△AHB、S△FHB=12S△CHB、S△DHG=12S△DHC,而S ABCD=S△AHB+S△CHB+S△CHD=36(平方厘米).即S△EHB+S△BHF+S△DHG=12(S△AHB+S△CHB+S△CHD)=12×36=18.而S△EHB+S△BHF+S△DHG=S阴影+S△EBFS△EBF=12×BE×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5.所以阴影局部的面积是：S阴影=18−S△EBF=18−4.5=13.5(平方厘米).解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成下列图：这样阴影局部的面积就是△DEF的面积，根据鸟头定理，那么有：S阴影7=S ABCD−S△AED−S△BEF−S△CFD=36−12×12×36−12×12×12×36−12×12×36=13.549. 如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．【答案】130【分析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF∥BD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分点，可得BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=25 BF,S△BFD=12S△ABD=12×12S平行四边形ABCD=14;又因为BG=13 BD,所以S△BMG=13×25×S△BFD=13×25×14=130.解法二：延长CE交DA于I，如下列图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定M的点的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=25 BF,BG=13 BD可得S△BMG=25×13S△BDF=25×13×14S平行四边形ABCD=130.50. 如下图，在长方形ABCD中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影局部的面积是多少？【答案】6【分析】简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF 的面积为三角形BCD的面积的1 2×23=13,那么阴影局部的面积是9×(1−13)=6.51. 如图，△ABC中，AD:AB＝2:3，AE:AC＝4:5，求：△AED的面积是△ABC面积的几分之几？【答案】815【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(3×5)=8:15,所以△AED的面积是△ABC面积的815．52. 如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE面积是多少？【答案】10【分析】简答：48×12×58×23=10．53. 如下图，∠A=∠B=60∘，且AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？【答案】14【分析】如下列图所示，延长AC和BD交于点F．由于∠A=∠B=60∘，因此△ABF为等边三角形，那么AF=BF=AB=24.而BD=16，AC=8，由此可得CF=16，DF=8，所以△CDF是△ABF的16×8 24×24= 2 9.又知△CDE的面积等于四边形ABEC的面积，△CDE的面积是△ABF的(1−29)×12=718,那么DF:DE=29:718=4:7,因此DE=14．54. 如下图，在直角三角形ABC中，AC的长3厘米，CB的长4厘米，AB的长5厘米，有一只小虫从C点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从B点出发，沿BA以1厘米/秒的速度向A爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x秒，那么BE=x厘米，CD=x厘米，两只小虫所在的位置D、E与B 组成的三角形DBE是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD=BE〔如图1〕．这个最好算，BD=4−x，BE=x，故x=4−x，解得x=2；〔2〕以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=EB，如图2，从E向BD作垂线，垂足为F，在金字塔BEFAC种，BEBA =BFBC，即x5=BF4，所以BF=45x．利用CD+DF+FB=4列出方程x+45x+45x=4，解得x=2013；〔或者利用△BEF和△BAC相似，得BEBF=54，即xBF=54，所以BF=45x〕〔3〕以D为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB，如图3，从D向AB作垂线，垂足为F，利用△BFD和△BCA相似得BFBD =45，即BF4−x=45，所以BF=45(4−x)．利用BE=2BF列出方程x=45(4−x)×2，解得x=3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形．55. 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】 13.5【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下列图：可得：S △EHB =12S △AHB 、S △FHB =12S △CHB 、S △DHG =12S △DHC ，而 S ABCD =S △AHB +S △CHB +S △CHD =36．即S △EHB +S △BHF +S △DHG=12(S △AHB +S △CHB +S △CHD )=12×36=18;而 S △EHB +S △BHF +S △DHG =S 阴影+S △EBF ，S △EBF =12×BE ×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5. 所以阴影局部的面积是：S 阴影=18−S △EBF =18−4.5=13.5．解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，那么图形就可变成下列图：。

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等高模型 A
BH
P
1
S△ABC
BC 2
AH
结合三角形
S△ APC
1 PC 2
AH
故有 S△ABP : S△APC : S△ABC BP : PC : BC (等高模型是所有几何模型的基础)
常见题型： B
A 1
1 3
1
已知图形中三条线段的比（图中标注），这类
S△ACD S BCD , S△ABC S△ABD
4/8
常见题型
1) 知三求一
2 4
6
?
结合蝴蝶模型第一境界结论即可解答
A
D
2)
2M 6
B
已知四边形整体面积为 24，求其余两块面积 C
由等高模型可知, S△AMD：S△DMC AM : MC 2：6 1：3 ,又有 S△ABC 24 2 6 16，
这些图形中，或有相等的角，或有互补的角，只需要找到其对应角的夹边线段乘积，就可以求出两个三角形的面积之间的关系
3/8
蝴蝶模型任意凸四边形中的蝴蝶模型：
D A
S1 S2 M S4
S3
B
C
蝴蝶模型的三大境界：
S△ABC和S△ADC 就像是两个等高模型靠在一起
1. S2 S4 S1 S3 (蝴蝶模型乘积式)
燕尾模型
A
S1 MS2
S4 S3
B
D
C
燕尾模型中的“横竖比”：
1. S2 : S3 S1 : S4 AM : MD 竖比等高需记牢
2. S2 S1 S1 S2 S1 S2 AM 类比蝴蝶模型学习
S3 S 4 S3 S 4 S△MCB MD
3.
S1 S4 BD 横比式蝴蝶模型的精髓 S2 S3 DC

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