江苏省南京师大附中2012届高三12月阶段性检精彩试题(数学)

省师大附中2012届高三12月阶段性检测
数 学 试 卷
2011-12-13 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸的相应．．．．．．
位置上．．．
． 1． 若a ,b ∈R ，i 为虚数单位，且(a +i)i=b +i ，则a +b = ▲ ．2． 过点（—1,—2）的直线l 被圆222210x y x y +--+=截得的弦长为2，则直线l 的
斜率为 ▲ ．
3． 已知四棱椎P －ABCD 的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，
则该四棱椎的体积是 ▲ ．
4． 已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个角A ,B ,C 所对的边，若a =1,b
,A +C =2B ,则sin C = ▲ ． 5． 给定下列四个命题：
①若一个平面的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②垂直于同一直线的两条直线相互平行； ③平行于同一直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一直线的两个平面相互平行
上面命题中，真命题．．．
的序号是 ▲ （写出所有真命题的序号）6． 等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1≠0，S k +3＝0，则k = ▲ ． 7． 已知函数y =sin(ωx +ϕ)（ω>0, －π≤ϕ<π）的图像如图所示，则ϕ= ▲ ．
8． 已知x 、y 满足50
30x y x x y -+≥⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则24z x y =+的最小值为 ▲ ．
9． 在ABC △中，BD 2DC =，AD mAB nAC =+，则
m
n
= ▲ ． 10．已知实数x ，y 满足32
21423x x ,y y
≤≤≤≤，则xy 的取值围是 ▲ ． 11．设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足
1122::PF F F PF =6:5:4，则曲线C 的离心率等于 ▲ ．
12．若)(x f 是R 上的减函数，且1)3(,3)0(-==f f ，设},2|1)(||{<-+=t x f x P }1)(|{-<=x f x Q ，若“Q x ∈”是“P x ∈”的必要不充分条件,则实数t 的取值围是 ▲ ．
13． 数列{a n }满足a 1＝1，a i ＋1
＝⎩⎨⎧2a i
，a i ≤m －1
2，2(m －a i
)＋1，a i
＞m －1
2．
其中m 是给定的奇数．若a
6
＝6，则m = ▲ ．
14．已知ω是正实数，设})](cos[)(|{是奇函数θωθω+==x x f S ，若对每个实数a ，ωS ∩)1,(+a a 的元素不超过２个，
且存在实数a 使ωS ∩)1,(+a a 含有２个元素，则ω的取值围是 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
设函数f (x )=a b ⋅，其中向量=(2cos x ,1),=(cos x ,3sin2x ),x ∈R .
(1) 若f (x )=0且x ∈(－π
2,0), 求tan2x ；
(2) 设△ABC 的三边a ,b ,c 依次成等比数列，试求f (B )的取值围．
16．(本小题满分14分)
如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；
（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面
17．（本小题满分14分）
某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部
（第16题）
门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5）的税收.设每件产品的日售价为x 元（35≤x ≤41），根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x )元与每件产品的日售价x 的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x )最大，并求出L(x )的最大值.
18．(本小题满分16分)
已知函数c bx x ax x f -+=4
4
ln )((x >0)在x = 1处取得极值c --3，其中a ,b ,c 为常数。

（1）试确定a ,b 的值； （2）求函数f (x )的单调增区间；
（3）若对任意x >0，不等式f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c +9恒成立，求c 的取值围.
19．(本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，A (2a ，0)，B(a ，0)，a 为非零常数，动点P 满足PA ＝2PB ，记点P 的轨迹曲线为C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）曲线C 上不同两点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)满足→AR ＝λ→
AQ ，点S 为R 关于x 轴的对称点．
①试用λ表示x 1，x 2，并求λ的取值围；
②当λ变化时，x 轴上是否存在定点T ，使S ，T ，Q 三点共线，证明你的结论．
20．(本小题满分16分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，S n = ta n+1 (n ∈N +,t ∈R)． （1）求数列{S n }的通项公式； 2）求数列{na n }的前n 项和为T n .
省师大附中2012届高三12月阶段性检试题
数学试卷附加题
2011-12-13
班级____________________________ 学号________得分_________
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，AB 为⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点且CD ⊥AB 于C ，E ，F 分别为圆上的点满足∠ACF =∠BCE ，直线FE 、AB 交于P ，求证：PD 为⊙O 的切线．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡1103． (1)求矩阵A 的特征值和特征向量；(2)求A 的逆矩阵A －
1．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x =t ，y =1+2t ．
（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：)4
sin(22π
θρ+
=．
（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）若平面直角坐标系横轴的非负半轴与极坐标系的极轴重合，试判断直线l 和圆C 的位置关系．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知a,b,c 为正数，证明：
abc c
b a a
c c b b a ≥++++2
22222． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤．
22．若二项式(1+2x )n 展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
23．甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75． （1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率； （2）设经过两次考试后，能被该高校预录取的人数为ξ，求随机变量ξ的期望)(ξE ．
省师大附中2012届高三12月阶段性检
数学答卷纸
2011-12-13
班级____________________________ 学号________得分_________
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 把答案填在横线上
1．____________________ 2． ____________________ 3．____________________
4．____________________ 5． ____________________ 6．____________________
7．____________________ 8． ____________________ 9．____________________，
10．__________________ 11． ___________________ 12．____________________，
13．__________________ 14． ___________________
二．解答题：本大题共6小题，共90分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)
16．（本题满分14分）
（第16题）
17．（本题满分14分）
18．（本题满分16分）19．(本题满分16分)
20．(本题满分16分)
参考答案： 1. 1,1a b ==-
2.1或
177
3. 96
4.sin sin901C ==
5. ④
6. 10
7.
910
π 8. -6
9.
12
10. [13,2]
11. 12
或52
12. 3t ≤-
13. m ＝9．
14．]2,(ππ
15. 解：f (x )=a b ⋅=(2cos x ,1) (cos x , 3si n 2x )=2cos 2x +3si n 2x =3si n 2x +cos2x +1=2si n (2x +
6
π
)+1 (1) ∵f (x )= 0,∴si n (2x +6π)=-12,x ∈(－π2,0) ∴2x +6π∈(-5π6,π6) ∴2x +6π=-π
6,∴x =-π6,tan2x=- 3 (2)
∵a,b,c
成
等
比
数
列
,
∴b 2=ac
由
余
弦
定
理
得
∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+≥ac ac ac 22-=2
1
∴0<B ≤
3π ∴6π<2B +6π≤65π ∴21≤si n (2B +6
π)≤1，∴2≤f (B )≤3 16.证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连结FM ，AM
因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝1
2CD ． 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝1
2CD ． 所以FM ∥EA ，且FM ＝EA ． 所以四边形AEFM 为平行四边形．
所以EF ∥AM ． ……………………… 5分
又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 方法二：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE ．
又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ．所以CE ＝NE ．
又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP ．………… 5分
又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． …………… 2分 方法三：取CD 的中点Q ，连结FQ ，EQ ．
在矩形ABCD 中，E 为AB 的中点，所以AE ＝DQ ，且AE ∥DQ ．
所以四边形AEQD 为平行四边形，所以EQ ∥AD ．
又AD ⊂平面PAD ，EQ ⊄平面PAD ，所以EQ ∥平面PAD ． ………………2分 因为Q ，F 分别为CD ，CP 的中点，所以FQ ∥PD ．
又PD ⊂平面PAD ，FQ ⊄平面PAD ，所以FQ ∥平面PAD ．
又FQ ，EQ ⊂平面EQF ，FQ ∩EQ ＝Q ，所以平面EQF ∥平面PAD ．…………… 3分
因为EF ⊂平面EQF ，所以EF ∥平面PAD ． ……………………………… 2分
（2）设AC ，DE 相交于G ．
在矩形ABCD 中，因为AB ＝2BC ，E 为AB 的中点.所以DA AE ＝CD DA ＝2．
又∠DAE ＝∠CDA ，所以△DAE ∽△CDA ，所以∠ADE ＝∠DCA ．
又∠ADE ＋∠CDE ＝∠ADC ＝90°，所以∠DCA ＋∠CDE ＝90°．
由△DGC 的角和为180°，得∠DGC ＝90°．即DE ⊥AC ． ……………………… 2分
因为平面PAC ⊥平面ABCD
因为DE ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥平面PAC ， …………………………………… 3分 又DE ⊂平面PDE ，所以平面PAC ⊥平面PDE ． ………………………… 2分
说明：第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面一条直线平行，一律
扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；
第二问，不用平几证明DE ⊥AC ，扣2分；
17.
18．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-．
又对()f x 求导得()34341ln 4'bx x
ax x ax x f +⋅+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．
（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '>，解得1x >．
因此()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．
（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立，
即－3－c （≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立，
解得c ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).
19.解 （1）设点P 坐标为(x ，y )．由PA ＝2PB ，得(x －2a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，平方整理，得x 2＋y 2＝2a 2． 所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝2a 2．
（2）①→AQ ＝(x 1－2a ，y 1)，→AR ＝(x 2－2a ，y 2)，因为→AQ ＝λ→AR ，
且⎩⎨⎧x 2－2a ＝λ(x 1－2a ) y 2＝λy 1．，即⎩⎨⎧x 2－λx 1＝2a (1－λ)…① y 2＝λy 1．…②
因为Q ，R 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧x 12＋y 12＝2a 2，…③x 22＋y 22＝2a 2．…④
消去y 1，y 2，得x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，…⑤
由①，⑤得x 1＝3－λ2a ，x 2＝3λ－12λa ．
因为－2a ≤x 1，x 2≤2a ，所以－2a ≤3－λ2a ≤2a ，－2a ≤3λ－12λa ≤2a ，且λ＞0
解得3－22≤λ≤3＋22．
又Q ，R 不重合，所以λ≠1．
故λ的取值围为[3－22，1）∪（1，3＋22]．
②存在符合题意的点T （a ，0），证明如下：
→TS ＝(x 2－a ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－a ，y 1)，
要证明S ，T ，Q 三点共线，只要证明→TQ ∥→TS ，即(x 2－a ) y 1－(x 1－a )(－y 2)＝0
因为y 2＝λy 1．又只要(x 2－a ) y 1＋λ(x 1－a )y 1＝0，
若y 1＝0，则y 2＝0，成立，
若y 1≠0，只要x 2＋λx 1－a (1＋λ)＝0，由⑤知，此式成立．
所以存在点T （a ，0），使S ，T ，Q 三点共线．
探究方法：假设存在符合题意的点T （m ，0）．
则→TS ＝(x 2－m ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－m ，y 1)，由S ，T ，Q 三点共线，得→TQ ∥→TS ，
从而(x 2－m ) y 1＝－y 2(x 1－m )，即(x 2－m ) y 1＋λy 1(x 1－m )＝0，
若y 1＝0，则y 2＝0，成立，
若y 1≠0，则(x 2－m )＋λ(x 1－m )＝0，即x 2＋λx 1－m (1＋λ)＝0， 又x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，所以(a －m )(1＋λ)＝0，因为A 在圆C 之外，所以λ＞0，所以m ＝a ．
20．(1)∵S n = ta n+1，∴S 1= a 1 =ta 2＝1，∴t ≠0.
∴S n = t (S n+1－S n ) ，∴S n+1=t+1t S n ，
∴当t=－1时，S n+1＝0，S 1= a 1＝1，
当t ≠－1时，{S n }为等比数列，S n =(t+1t )n-1，
综上 S n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧1 n =1，
(t+1t )n-1 n ≥2． (2)∵T n ＝a 1+ 2a 2+3a 3+……+na n . (1)
∴T 1=1
n ≥2时，又由(1)知a n+1＝t+1t a n ，a 2＝1t
∴t+1t T n ＝t+1t a 1+ 2a 3+3a 4+……+(n-1)a n +na n +1 (2)
(1)-(2)得
－ 1t T n ＝－1t +2a 2+a 3+……+a n － na n +1
＝－1t －a 1+a 2+(a 1+a 2+a 3+……+a n )－na n +1＝－1+S n － n (S n+1－S n )=－1+S n － n t S n ＝t －n t S n －1＝t －n t (t+1t )n-1－1
∴T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t
当t ≠－1时，T 1=1也适合上式，故T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t (n ∈N +).
当t=－1时，T 1=1，T n+1＝－1. 解毕.
也可综合为：T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧1 n =1，
(n －t )(t+1t )n-1+t n ≥2．
另解：先求出a n 再求S n
分t=－1和t ≠－1情形，再综合a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，1t n ≥2，1t (t+1t )n-2
n ≥3．
再回到S n和T n。