不等式恒成立问题PPT优秀课件

f ( 1) a 4 0 3 1 1 1 3 ) a 1 0 f( a a a 综上可知 a 4 .
点评
法二可以进行优化吗？
以上两种方法本质是相同的，但我们的 收获可能就不同，由于构造的函数一定 一动，所以给出的函数一定一动，给出 的方法有较大差异，但解决问题的本质 是相同的。
问题
3
（2008年江苏卷 14题）
f( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f( x ) 0 成立，则 a ______ .
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
法二：（直接求最值）
f ( x ) 0 在 x [ 1,1 ]上恒成立 fBiblioteka Baidu ( x ) 3 ax 2 3 3 ( ax 2 1 )

.
1 2 当 a 0 时，由 f ( x ) 0 x a 1 1 1 (1 )当 0 a 1 (即 1 ) 时， f ( x ) 3 a ( x )( x ) 0, a a a f ( x ) 在 [ 1,1 ]上单调递减 , f ( x ) min f (1 ) a 2 a 2 0 a 2 与 0 a 1矛盾 , 此时不成立 .

1 3 3 1 2 当 x ( 0 , 1 ] 时， f ( x ) 0 a , 设 g ( x ) 3 2 2 3 xx xx 6 3 3 ( 1 2 x ) 1 则 g ( x ) 4 4 ， g ( x ) 在 ( 0 ,] 上单调 . 3 x x x 2
3 ( 1 2 x ) g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 . x
g ( x) min g (1) 4, a 4.
综上可知： a 4.
1 3 3 1 3 当 x [ 1 , 0 ) 时， f ( x ) 0 a ，设 g ( x ) . 3 2 2 3 x x xx

1 1 在 [， 1 ] 上单调递减， g ( x ) 的最大值为 g () 4 ， a 4 . 2 2
分离参数
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
解： 1 当 x 0 时， f ( x ) 1 0 恒成立， a R .
大家好好体会两种方法的优点和缺点
从定义域的端点值入手估计出a 的取值范围，可避免分类讨论
f ( x ) ax 3 3 x 1 ( x R ) 对于任意 成立 .特别应有 3a x 1 a
x [ 1 ,1 ] 都有 f ( x ) 0
f (1 ) a 3 1 0 2 a 4 ,由 f ( x ) f ( 1) a 4 0 1 a 1 a 1 0 x .由 2 a 4 a 1 1 a
解： 1 当 x 0 时， f ( x ) 1 0 恒成立， a R .

1 3 3 1 2 当 x ( 0 , 1 ] 时， f ( x ) 0 a , 设 g ( x ) 3 2 2 3 xx xx 6 3 3 ( 1 2 x ) 1 则 g ( x ) 4 4 ， g ( x ) 在 ( 0 ,] 上单调 . 3 x x x 2
求g(x)的最值。即把不等式成 立
分离参数
的问题转化为函数的最 值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要 分离参数呢？ 不分离行吗？ 本题 还有别的办法吗？
1 1 1 ( 2 )当 a 1(即 0 1)时， f ( x ) 3 a ( x )( x ) a a a 1 1 1 1 f ( x ) 在 1, ,1 上单调递增，在 ( , )上 和 a a a a 单调递减，结合图像， f ( x ) min 1 min{ f ( 1), f ( )} 0 a a 4 0 a4 1 0 1 2 a
3 当 x [ 1 , 0 ) 时， f ( x ) 0 a ，设 g ( x ) . 含参数 a 的 f ( x ) 0 恒成立问题， 3 2 2 3 点评 x x xx
1 1 在 [， 1 ] 上单调递减， g ( x ) 的最大值为 g () 4 ， a 4 . 2 2 1 3 3 1
3 ( 1 2 x ) 若能转化为 g ( x ) a 或 g(x) a . g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 x 恒成立（分离参数）
g ( x) min g (1) 4, a 4.
综上可知： a 4.
f ( x ) min 0 在 [ 1,1 ]在上成立
1 当 a 0 时， f ( x ) 0 恒成立， f ( x ) 在 [ 1,1 ]上单调递减 f ( x ) min f (1 ) a 2 0 a 2 与 a 0 矛盾 .此时不成立