不等式恒成立问题PPT优秀课件
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[优选]高考二轮复习专题不等式中的恒成立问题公开课PPT
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例题精讲
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策略与方法
（名师整理课本专题）高考二轮复习 专题不 等式中 的恒成 立问题 公开课P PTppt 优质说 课稿（ 精选）
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人教A版高中数学必修第一册第二章微专题2不等式恒成立、能成立问题课件
等式恒成立，即x2＋mx－4x－m＋4>0恒 成立， 则关于x的方程x2＋mx－4x－m＋4＝0的判别式Δ＝(m－4)2－4(－m＋ 4)<0， 即m2－4m<0，解得0<m<4，所以实数m的取值范围为{m|0<m<4}．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
探究2 在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的 取值范围是___{_m_|m__<_2_}____． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的 最小值或最大值，求得参数的取值范围．
[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的
取值范围是( )
√A．{a|a>4，或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4，或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值
范围是( )
√A．{a|－1≤a≤4}
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
探究2 在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的 取值范围是___{_m_|m__<_2_}____． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的 最小值或最大值，求得参数的取值范围．
[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的
取值范围是( )
√A．{a|a>4，或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4，或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值
范围是( )
√A．{a|－1≤a≤4}
专题一单双变量不等式恒(能)成立问题课件-高一数学人教版(2019)必修第一册
【解析】构造二次函数 = 2 ＋＋ ( ≠ 0) ，
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >
当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4
练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,
≤ ()恒成立⟺ ≤
课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：
图①
2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
(1)
如图①，一元二次不等式
2
注：当不等式 ＋＋ > 0未说明为一元二次不等式时，
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ > 0 ( ≠ 0)的解集是R
对任意实数恒成立问题，应分情况讨论：
2
⟺二次函数 ==
= ＋＋ ( ≠ 0) 的图像恒在x轴上方
当 = 时，
>
⟺a>0且Δ<0 >
当 ≠ 时，
2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)在R上恒成立
∆<
(2) 如图②，一元二次不等式
⟺一元二次不等式 2 ＋＋ < 0 ( ≠ 0)的解集是R
函数 = +
1
在[ , 2]上单调递增，故()
2
= 1 =1+
函数 = − 2 − 3在[1,2]上单调递减，故() = 1 = −4
所以1 + ≥ −4
综上，所求的取值范围为{|�� ≥ −5}
练习
4
练习 设 = − − ， = + 1
，
故() = 2 = −4
函数 = + 1
2
+ 在(−∞, −1]上单调递减，在[−1, +∞)上单
调递增，故() = −1 =
所以−4 ≥
活学活用
例题2 已知函数 1 = 12 , 2 = −22 − ，若∀1 ∈ | − 1 ≤ < 1 ,
≤ ()恒成立⟺ ≤
课堂小结
二、双变量恒成立主要学习了双参数不等式问题的求解方法：
不等式恒成立问题优秀课件 人教版
问题
3
（2008年江苏卷 14题）
f( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f( x ) 0 成立，则 a ______ .
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
2 3 2 1 . 已知两函数 f (x )8 x 16 xk ， g (x )2 x 5 x 4 x (k 为实数 )
(2 )对任意 x 和 x [ 3 ,3 ] ，都有 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范 . 1 2
思考题
求实数 a 的取值范围 .
2 . 设函数 f ( x ) ( x 1 ) ln( x 1 ), 若对所有 x 0 , 都有 f ( x ) ax 成立
( 1 )对任意 x [ 3 ,3 ] ，都有 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范围 . ( 3 )存在 x [ 3 ,3 ] ，使 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范围 . （ 4 ）当且仅当 x3 时， f (x )g (x ) 成立，求 k 的值 .
求g(x)的最值。即把不等式成 立
分离参数
的问题转化为函数的最 值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要 分离参数呢？ 不分离行吗？ 本题 还有别的办法吗？
3 ( 1 2 x ) g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 . x
g ( x) min g (1) 4, a 4.
3
（2008年江苏卷 14题）
f( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f( x ) 0 成立，则 a ______ .
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
2 3 2 1 . 已知两函数 f (x )8 x 16 xk ， g (x )2 x 5 x 4 x (k 为实数 )
(2 )对任意 x 和 x [ 3 ,3 ] ，都有 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范 . 1 2
思考题
求实数 a 的取值范围 .
2 . 设函数 f ( x ) ( x 1 ) ln( x 1 ), 若对所有 x 0 , 都有 f ( x ) ax 成立
( 1 )对任意 x [ 3 ,3 ] ，都有 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范围 . ( 3 )存在 x [ 3 ,3 ] ，使 f (x )g (x ) 成立，求 k 的取值范围 . （ 4 ）当且仅当 x3 时， f (x )g (x ) 成立，求 k 的值 .
求g(x)的最值。即把不等式成 立
分离参数
的问题转化为函数的最 值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要 分离参数呢？ 不分离行吗？ 本题 还有别的办法吗？
3 ( 1 2 x ) g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 . x
g ( x) min g (1) 4, a 4.
1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件
①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
不等式中的恒(能)成立问题课件-2025届高三数学一轮复习
故a的取值范围是
1
−∞,
2e
.
3.已知函数f（x）＝exsin x.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
解：（1）∵f（x）＝exsin x，x∈R，
∴f'（x）＝exsin
x＋excos
令f'（x）＞0，则sin +
x＝
π
4
2exsin
π
+
4
，
＞0，
π
3π
解得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z，
重难专攻（一）
不等式中的恒（能）
成立问题
利用导数研究不等式恒（能）成立问题，一般可转化为最值问题处理.若a
＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只
需 a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在
x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求解参数的
＝
，
2
2
则在区间（0，1）上，g'（x）＜0，函数g（x）为减函数；
在区间（1，e]上，g'（x）＞0，函数g（x）为增函数.
由题意知g（x）min＝g（1）＝1－a＋3≥0，得a≤4，
所以实数a的取值范围是（－∞，4].
3
x≥－x＋a－
2.设函数f（x）＝（1－x 2 ）e x ，当x≥0时，f（x）≤ax＋1，求实数a的取值
1 2
－x
e ，g'（x）＝－ x （x－1）e－x，
当x∈（－∞，1）时，g'（x）≥0，g（x）单调递增，
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美课件
则a要大于右边式子在（1,4）的最大值
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
b
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
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(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
令t=2/x， t的范围则为（1/2，2） 则 2/x-2/x^2 = 2t-t^2/2 = -1/2(t-2)^2 + 2
这便是两次函数求最值 当t=2时 2t-2t^2 的最大值 为 2(但取不到) 所以a的范围是 [2, 正无穷﹚
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
恒成立 恒成立
又 令1+2t=m（m > 1），则
f(m)=
m 1(m21)2
m242mm5(m4m5)2
4 2 52
521(当且仅当m=
5 时等号成立)
∴ a ≥ [f (x)] max=
5 2*
1
即a
≥
5 1 2
含参不等式恒成立问题的解法PPT完美 课件
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b
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(2) 0<b≤1时，对x ∈(0,1]，|f(x)|≤1 恒成立
(
bx-
1 x
)max ≤a ≤(bx+
)1xmin
此时
(
bx-
1 x
)max=b-1
(x=1时取得)
而
bx +
1 x
在(0,1]上递减
故
(
bx+
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
含字母参数的不等式恒成立问题解题策略课件
三角函数实例解析
总结词
利用三角函数的性质和图像，解决含字母参数的不等式恒成立问题。
详细描述
三角函数是数学中一类特殊的函数，具有丰富的性质和图像特征。在解决含字母参数的不等式恒成立 问题时，可以充分利用三角函数的性质和图像，将问题转化为与三角函数相关的问题，从而简化问题 的复杂度，找到解决问题的突破口。
数形结合法
总结词
通过数形结合的方式，将不等式问题转化为几何图形问题，利用几何 意义求解。
详细描述
首先根据不等式的性质和变量的取值范围，画出相应的几何图形，然 后利用几何意义求解不等式的解集。
适用范围
适用于涉及多个变量和参数的不等式问题，可以通过数形结合将问题 直观化。
注意事项
在数形结合时，需要注意图形的准确性和不等式的性质，以及几何意 义的应用条件。
含字母参数的不等式恒 成立问题解题策略课件
目录
CONTENTS
• 引言 • 含字母参数不等式恒成立的性质 • 解题策略和技巧 • 实例解析 • 总结与展望
01 引言
问题的背景和重要性
01
含字母参数的不等式恒成立问题 在数学中具有广泛的应用，是数 学教学中的重要内容。
02
解决这类问题需要学生掌握不等 式的性质、函数的最值求法等知 识，有助于提高学生的数学思维 能力和解决问题的能力。
性。
04 实例解析
代数实例解析
总结词
通过代数方法，利用不等式的性质和转化技巧，解决含字母参数的不等式恒成立问题。
详细描述
在解决含字母参数的不等式恒成立问题时，代数方法是常用的手段之一。通过观察不等式的结构，利用不等式的 性质和转化技巧，如分离参数法、参数讨论法、数形结合法等，可以将问题转化为更易于解决的形式，从而找到 解决问题的途径。
高考二轮复习专题_不等式中的恒成立问题教学PPT课件
小结
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
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课后练习
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策略与方法
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例题精讲
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不等式中的恒成立问题
策略与方法
策略与方法
策略与方法
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不等式恒成立问题的解法PPT
故 （*）式成立的充要条件为: b-1≤a≤b+1
（2）当| m | ≤2，(*)式恒成立，求实数x的取值范围 .
解：(1)当1-m=0即m=1时， (*)式恒成立， 故m=1适合(*) ；
当1-m>0时，即m<1 ,(*)式在x [-2,2]时恒成立的充
要条件为： △=(m-1)2-12(I-m)<0 解，得: -11<m<1；
当1-m<0时，即m>1, (*)式在x [-2,2]时恒成立的充
1
一、方法引入：
１.数形结合法 : (1）若f(x)=ax+b,x ∈[α,β]，
则：
f()>0
f(x)>0恒成立 f()>0
f(x)<0恒成立 y
f()<0 f()<0
α
o
βx
2
（2）ax2+bx+c>0在R上恒成立的充要条件是：
a=b=0 或 a>0 C>0_________Δ_=_b_2_-_4_a_c__<_0___。
≤a
≤
1 x
+bx
∵ x ∈(0,1]， b>1
∴
bx+
1 x
≥
2
b (x=
1时取等号
b
)
又
bx
-
1 x
在(0,1]上递增
∴ ( bx- 1x)max=b-1 (x=1时取得 )
故 x ∈(0,1]时原式恒成立的充要条件为:
又 x=0时，|f(x)|≤1恒成立
∴ x ∈[0,1]时原式恒成立的充要条件为:
_____________;
2021届高三二轮复习微专题课件——不等式恒成立或有解问题(共37张PPT)
1.已知函数 f(x)＝ax－1＋ln x，若存在 x0>0，使得 f(x0)≤0 有解，则实数 a 的取值范
围是
(C )
A.a>2
B.a<3
(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式ax－1＋ln x≤0 有解， 即a≤x－xln x在(0，＋∞)上有解.
令h(x)＝x－xln x，则h′(x)＝－ln x.
索引
令 h(x)＝ex－12x2－x－1(x>0)， 则h′(x)＝ex－x－1，令H(x)＝ex－x－1， H′(x)＝ex－1>0， 故h′(x)在(0，＋∞)上是增函数， 因此h′(x)>h′(0)＝0，故函数h(x)在(0，＋∞)上递增， ∴h(x)>h(0)＝0，即 ex－12x2－x－1>0 恒成立， 故当x∈(0，2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减.
A.x＝2 是 f(x)的极小值点 B.函数 y＝f(x)－x 有且只有 1 个零点 C.对任意两个正实数 x1，x2，且 x2＞x1，若 f(x1)＝f(x2)，则 x1＋x2＞4 D.存在正实数 k，使得 f(x)＞kx 恒成立 解析 对于函数 f(x)＝2x＋ln x，其定义域为(0，＋∞)，由于 f′(x)＝－x22＋x1， 令 f′(x)＝0 可得 x＝2，当 0＜x＜2 时，f′(x)＜0，当 x＞2 时，f′(x)＞0， 可知 x＝2 是 f(x)的极小值点，选项 A 正确；
在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数.
由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4， 所以实数a的取值范围是(－∞，4].
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高考数学微专题3不等式中的存在与恒成立问题3.2利用分离参数法求解不等式恒成立 课件
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【解析】 (1) 由图象可知f(x)的图象与x轴切于原点，则f′(0)＝0. 因为f′(x)＝aex＋b，所以f′(0)＝a＋b＝0. 又f(0)＝a－2＝0，所以a＝2，所以b＝－2， 所以f(x)的解析式为f(x)＝2ex－2x－2. (2) 由f(x)＋f(2x)>6x＋m对x∈R恒成立，得m<f(x)＋f(2x)－6x对x∈R 恒成立． 设函数g(x)＝f(x)＋f(2x)－6x＝2e2x＋2ex－12x－4， 则g′(x)＝4e2x＋2ex－12＝2(2ex－3)(ex＋2)．
【答案】 －35，－12
12345
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4. (2023淄博三模)已知函数f(x)的定义域D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且对任意的x∈D，都有f(－x)＝|f(x)|，若f(x)在区间(－∞，0)上单调递 减，且对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(ex＋a)>f(x)恒成立，则实数a的取 值范围是________.
等价于 xex≥ln x＋mx＋1 对 x>0 恒成立，即 m≤ex－lnxx－1x对 x>0 恒 成立．
令 F(x)＝ex－lnxx－1x，所以 m≤F(x)min.
F′(x)＝ex＋lnx2x＝x2ex＋x2 ln
x .
令 G(x)＝x2ex＋ln x，x∈(0，＋∞)，
则 G′(x)＝(2x＋x2)ex＋1x>0 恒成立，
(m＋1)x－1 恒成立，等价于 xex≥ln x＋mx＋1 对 x>0 恒成立，即 m≤ex－
ln x
x－1x对
x>0
恒成立．令
F(x)＝ex－lnx x－1x，所以
m≤F(x)min，再用导数
法求出 F(x)的最小值即可．
【解析】 (1) 由图象可知f(x)的图象与x轴切于原点，则f′(0)＝0. 因为f′(x)＝aex＋b，所以f′(0)＝a＋b＝0. 又f(0)＝a－2＝0，所以a＝2，所以b＝－2， 所以f(x)的解析式为f(x)＝2ex－2x－2. (2) 由f(x)＋f(2x)>6x＋m对x∈R恒成立，得m<f(x)＋f(2x)－6x对x∈R 恒成立． 设函数g(x)＝f(x)＋f(2x)－6x＝2e2x＋2ex－12x－4， 则g′(x)＝4e2x＋2ex－12＝2(2ex－3)(ex＋2)．
【答案】 －35，－12
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4. (2023淄博三模)已知函数f(x)的定义域D＝(－∞，0)∪(0，＋∞)， 且对任意的x∈D，都有f(－x)＝|f(x)|，若f(x)在区间(－∞，0)上单调递 减，且对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(ex＋a)>f(x)恒成立，则实数a的取 值范围是________.
等价于 xex≥ln x＋mx＋1 对 x>0 恒成立，即 m≤ex－lnxx－1x对 x>0 恒 成立．
令 F(x)＝ex－lnxx－1x，所以 m≤F(x)min.
F′(x)＝ex＋lnx2x＝x2ex＋x2 ln
x .
令 G(x)＝x2ex＋ln x，x∈(0，＋∞)，
则 G′(x)＝(2x＋x2)ex＋1x>0 恒成立，
(m＋1)x－1 恒成立，等价于 xex≥ln x＋mx＋1 对 x>0 恒成立，即 m≤ex－
ln x
x－1x对
x>0
恒成立．令
F(x)＝ex－lnx x－1x，所以
m≤F(x)min，再用导数
法求出 F(x)的最小值即可．
人教版高中数学课件 第三册：不等式恒成立问题
例1.若不等式x 2 2 xy a ( x y )对一切 正数x, y恒成立, 则正数a的最小值为( A. 1 B.2 C. 2 1 2
B
).
D. 2 2 1
练习求使 x .
y a x y ( x 0, y 0)
恒成立的a的最小值
2
例2.设f ( x) lg
1 2 4 a
x x
(其中a R),
3 如果当x (,1]时, f ( x)恒有意义, 求a的 取值范围.
a
3 4
练习.设 f ( x) lg 1 2 3 ( n 1) n a
x x x x
, 其中
n a是实数, n是任意给定的自然数且n 2, 如果 f ( x)当x ( ,1]时恒有意义, 求a的取值范围.
2
取值范围是 _______________ .
1 7 x 1 3
2 2 换个角度看问题,换个方面去解释,换个方向去 思考.
1.利用一次函数的单调性
设一次函数f(x)=ax+b (a≠0),当a > 0时f(x)在R上是 增函数;当a < 0时f(x)在R上是减函数.所以关于不等 式恒成立问题,若能将不等式化为关于主元(或参数) 的一次函数,则可用一次函数的单调性求解.
x 1 x
) ( x 0).
2 1
(1)求f ( x)的反函数f
( x);
(2)若x 2时, 不等式 ( x 1) f
1
1
( x) a (a
1 x 1 ( x 1);
x )恒成立,
求实数a的取值范围.
(1) f ( x)
(2) 1 a
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f ( x ) min 0 在 [ 1,1 ]在上成立
1 当 a 0 时， f ( x ) 0 恒成立， f ( x ) 在 [ 1,1 ]上单调递减 f ( x ) min f (1 ) a 2 0 a 2 与 a 0 矛盾 .此时不成立
1 1 在 [， 1 ] 上单调递减， g ( x ) 的最大值为 g () 4 ， a 4 . 2 2
分离参数
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
解： 1 当 x 0 时， f ( x ) 1 0 恒成立， a R .
f ( 1) a 4 0 3 1 1 1 3 ) a 1 0 f( a a a 综上可知 a 4 .
点评
法二可以进行优化吗？
以上两种方法本质是相同的，但我们的 收获可能就不同，由于构造的函数一定 一动，所以给出的函数一定一动，给出 的方法有较大差异，但解决问题的本质 是相同的。
求g(x)的最值。即把不等式成 立
分离参数
的问题转化为函数的最 值问题。
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
问题1
恒成立问题转化为最值问题为什么一定要 分离参数呢？ 不分离行吗？ 本题 还有别的办法吗？
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
法二：（直接求最值）
f ( x ) 0 在 x [ 1,1 ]上恒成立 f ( x ) 3 ax 2 3 3 ( ax 2 1 )
3 ( 1 2 x ) 若能转化为 g ( x ) a 或 g(x) a . g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 x 恒成立（分离参数）
g ( x) min g (1) 4, a 4.
综上可知： a 4.
.
1 2 当 a 0 时，由 f ( x ) 0 x a 1 1 1 (1 )当 0 a 1 (即 1 ) 时， f ( x ) 3 a ( x )( x ) 0, a a a f ( x ) 在 [ 1,1 ]上单调递减 , f ( x ) min f (1 ) a 2 a 2 0 a 2 与 0 a 1矛盾 , 此时不成立 .
3 ( 1 2 x ) g ( x ) 4 0 ， g ( x ) 在 [ 1 , 0 ) 上单调 . x
g ( x) min g (1) 4, 3 1 3 当 x [ 1 , 0 ) 时， f ( x ) 0 a ，设 g ( x ) . 3 2 2 3 x x xx
1 3 3 1 2 当 x ( 0 , 1 ] 时， f ( x ) 0 a , 设 g ( x ) 3 2 2 3 xx xx 6 3 3 ( 1 2 x ) 1 则 g ( x ) 4 4 ， g ( x ) 在 ( 0 ,] 上单调 . 3 x x x 2
1 1 1 ( 2 )当 a 1(即 0 1)时， f ( x ) 3 a ( x )( x ) a a a 1 1 1 1 f ( x ) 在 1, ,1 上单调递增，在 ( , )上 和 a a a a 单调递减，结合图像， f ( x ) min 1 min{ f ( 1), f ( )} 0 a a 4 0 a4 1 0 1 2 a
3 当 x [ 1 , 0 ) 时， f ( x ) 0 a ，设 g ( x ) . 含参数 a 的 f ( x ) 0 恒成立问题， 3 2 2 3 点评 x x xx
1 1 在 [， 1 ] 上单调递减， g ( x ) 的最大值为 g () 4 ， a 4 . 2 2 1 3 3 1
问题
3
（2008年江苏卷 14题）
f( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f( x ) 0 成立，则 a ______ .
3 f ( x ) ax 3 x 1 对于 x [ 1 , 1 ] 总有 f ( x ) 0 成立， a ___ .
大家好好体会两种方法的优点和缺点
从定义域的端点值入手估计出a 的取值范围，可避免分类讨论
f ( x ) ax 3 3 x 1 ( x R ) 对于任意 成立 .特别应有 3a x 1 a
x [ 1 ,1 ] 都有 f ( x ) 0
f (1 ) a 3 1 0 2 a 4 ,由 f ( x ) f ( 1) a 4 0 1 a 1 a 1 0 x .由 2 a 4 a 1 1 a
解： 1 当 x 0 时， f ( x ) 1 0 恒成立， a R .
1 3 3 1 2 当 x ( 0 , 1 ] 时， f ( x ) 0 a , 设 g ( x ) 3 2 2 3 xx xx 6 3 3 ( 1 2 x ) 1 则 g ( x ) 4 4 ， g ( x ) 在 ( 0 ,] 上单调 . 3 x x x 2