柯西不等式证明
柯西不等式的证明与推广应用
西不等式的证明过程以及其在不同领域的应用。
一、柯西不等式的证明柯西不等式的一般形式为：对于任意非负实数序列 {a_i} 和 {b_i} (i=1,2,...,n)，都有(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2) * (b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2) ≥ (a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + ... + a_n * b_n)^2当且仅当 a_i/b_i (i=1,2,...,n) 为常数时，等号成立。
证明过程如下：首先，我们构造两个向量 A = (a_1, a_2, ..., a_n) 和 B = (b_1, b_2, ..., b_n)。
计算向量 A 和 B 的点积，即 A·B = a_1 * b_1 + a_2 * b_2 + ... + a_n * b_n。
根据向量的施瓦茨不等式（Schwarz Inequality），有 |A·B| ≤ ||A|| * ||B||，其中 ||A|| 和 ||B|| 分别表示向量 A 和 B 的模长。
将向量 A 和 B 的模长展开，得到||A|| = sqrt(a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2)||B|| = sqrt(b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2)将 |A·B|、||A|| 和 ||B|| 的表达式代入施瓦茨不等式，整理后即得柯西不等式。
二、柯西不等式的应用柯西不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，以下列举几个例子：线性代数：在求解向量空间中的角度、长度等问题时，柯西不等式可以提供有用的界限。
分析学：在证明一些数列或函数列的收敛性时，柯西不等式可以发挥作用。
例如，利用柯西不等式可以证明实数列的部分和有界性。
找到这些统计量的上下界。
最优化理论：在求解最优化问题时，柯西不等式可以作为目标函数的一个下界或上界，从而简化问题的求解过程。
证明柯西不等式
证明柯西不等式证明柯西不等式柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它是用于描述内积空间下向量之间的一种关系，具有广泛的应用。
本文将从内积空间的定义、柯西不等式的表述、证明方法和应用等四个方面来说明柯西不等式。
一、内积空间的定义内积空间是指一个向量空间V，满足存在一个二元函数（内积）< , >，对任意两个向量x，y∈V，满足以下条件：1. 线性：对于任意的x1, x2 ∈ V，以及α, β ∈ R，有<αx1 + βx2, y > = α< x1, y > + β< x2, y >。
2. 对称性：对于任意的x, y∈V，有< x, y > = < y, x >。
3. 非负性：对于任意的x∈V，有< x, x > ≥ 0，且当且仅当x=0时，< x, x > = 0。
二、柯西不等式的表述对于内积空间V中的任意两个向量x，y∈V，有以下柯西不等式成立：其中< x, y >表示x，y的内积，||x||和||y||分别表示x和y的模长（或范数）。
三、证明方法柯西不等式可以有多种证明方法，这里介绍一种基于勾股定理的证明方法。
以二维欧几里得空间（平面）的情形为例，设有两个向量x=(x1，x2)，y=(y1，y2)，则它们的内积为< x, y >=x1y1+x2y2。
由勾股定理可知，x和y的模长之间的关系为：||x||^2 = x1^2 + x2^2||y||^2 = y1^2 + y2^2将这两个等式相加得到：||x||^2 + ||y||^2 = x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2 = (x1^2 +y1^2) + (x2^2 + y2^2)接下来，考虑将向量x和y相加，以及它们和原点O组成的三角形ABC。
这个三角形的三边分别为||x||、||y||和BC=||x+y||。
由勾股定理和三角形不等式可知：||x+y||^2 = x1^2 + 2x1y1 + y1^2 + x2^2 + 2x2y2 + y2^2≤ (x1^2 + x2^2 + y1^2 + y2^2) + 2||x|| ||y||将这个不等式中的||x||^2 + ||y||^2用前面的式子代替，化简后可得：x1y1 + x2y2 ≤ ||x|| ||y||即柯西不等式成立。
柯西不等式证明方法大全
柯西不等式证明⽅法⼤全定义对于任意实数a i,b i(i=1,2,⋯,n),有n ∑i=1a2in∑j=1b2j≥n∑i=1a i b i2,(n∈N+)(∗)当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时,等号成⽴.法⼀、构造⼆次函数分析可通过⼆次函数的判别式证明.证明当a1=a2=⋯=a n或b1=b2=⋯=b n时,(∗) 式显然成⽴.设a1,a2,⋯,a n中⾄少有⼀个不为 0,令A=n∑i=1a2i,B=n∑i=1a i b i,C=n∑i=1b2i,则A>0.设⼆次函数f(x)=Ax2+2Bx+C=n∑i=1(a2i x2+2a i b i x+b2i)=n∑i=1(a i x+b)2≥0,∴Δ=(2B)2−4AC≤0⟺AC≥B2,则 (∗) 式成⽴.要使 (∗) 式取等号,即Δ=0,则f(x) 有唯⼀零点,即有唯⼀实数x使a i x+b i=0(i=1,2,⋯,n).若x=0,则b i=0(i=1,2,⋯,n),若x≠0,则a i=−1x bi(i=1,2,⋯,n).综上,(∗) 式成⽴,当且仅当b i=0(i=1,2,⋯,n) 或∃k∈R,a i=kb i(i=1,2,⋯,n) 时取等号.法⼆、向量内积分析⽤向量内积与向量模的积的⼤⼩关系即可证明.证明设n维空间直⾓坐标系中有向量\boldsymbol \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\boldsymbol \beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n),且\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta之间的夹⾓为\theta(0\le\theta\le\pi),则有\begin{aligned} &\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| \cos\theta\\\Longleftrightarrow &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| =|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta| |\cos\theta|, \end{aligned}⼜|\cos\theta|\le 1,则\begin{aligned} &|\boldsymbol \alpha \cdot \boldsymbol \beta| \le|\boldsymbol \alpha| |\boldsymbol \beta|\\\Longleftrightarrow &\left| \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right| \le\sqrt{ \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 } \sqrt{ \sum\limits_{j=1}^nb_j^2 }\\ \Longleftrightarrow &\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 \le \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^nb_j^2, \end{aligned}可得(*)式成⽴.易知当且仅当\boldsymbol \alpha与\boldsymbol \beta同线时,即\boldsymbol \beta=\boldsymbol 0或\exist~k\in\mathbb R,\boldsymbol \alpha=k\boldsymbol \beta时,|\boldsymbol \alpha\cdot\boldsymbol \beta|=|\boldsymbol \alpha||\boldsymbol \beta|,即()当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,(*)式取等号.法三、作差法分析作差,然后配平⽅即可.证明易得\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \sum\limits_{j=1}^n b_j^2 -\left( \sum\limits_{i=1}^n a_ib_i \right)^2 &=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_i^2b_j^2 -\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2) -\frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n2a_ib_ia_jb_j\\ &= \frac 12 \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_i^2b_j^2+a_j^2b_i^2-2a_ib_ja_jb_i)\\ &= \frac 12\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n (a_ib_j-a_jb_i)^2\ge 0, \end{aligned}当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2.\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴,即证.法四、排序不等式分析通过排序不等式的形式来表⽰柯西不等式.证明易知(*)式等价于\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j \ge\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_ib_ja_ib_j,由排序不等式可知上式成⽴,当且仅当a_ib_j=a_jb_i(i,j=1,2,\cdots,n),即b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbbR,a_i=kb_i(i=1,2,\cdots,n)时,等号成⽴.法五、数学归纳法分析与n相关的不等式⼀般都能⽤数学归纳法,这⾥就不多说了.证明设n=k.当k=1时,(*)式显然成⽴.当k\ge 2时,不妨设当n=k-1时(*)式成⽴,则\begin{aligned} \left( \sum\limits_{i=1}^k a_i^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^k b_i^2 \right) =&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 +a_k^2 \right) \left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +b_k^2 \right)\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2b_k^2 -\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i+\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_k^2b_i^2 +a_k^2b_k^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} 2a_ib_ka_kb_i\\ =&\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_i^2 \sum\limits_{i=1}^{k-1} b_i^2 +\sum\limits_{i=1}^{k-1} (a_ib_k-a_kb_i)^2 +(a_kb_k)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1}a_ib_ia_kb_k\\ \ge&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i \right)^2 +2\sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_ia_kb_k +(a_kb_k)^2\\=&\left( \sum\limits_{i=1}^{k-1} a_ib_i +a_kb_k \right)^2\\ =&\left( \sum\limits_{i=1}^k a_ib_i \right)^2, \end{aligned}当且仅当\sum\limits_{i=1}^{k-1}(a_ib_k-a_kb_i)^2=0,即a_ib_k=a_kb_i(i=1,2,\cdots,n),且\sum\limits_{i=1}^na_i^2\sum\limits_{j=1}^nb_j^2=\left(\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\right)^2时,等号成⽴.综上,(*)式成⽴,当且仅当b_i=0(i=1,2,\cdots,n)或\exist~k\in\mathbb R,a_i=kb_i时,等号成⽴.Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js。
柯西不等式证明
柯西不等式证明柯西不等式是一个算数结构，具有特定的性质，能够有助于解决多元复杂的线性规划问题。
它是由美国数学家J.B.Coxeter于1934年提出的，并被广泛应用于模式优化、运筹学等领域。
柯西不等式证明的原理柯西不等式是一种数学证明，它是通过假设存在某种约束条件，利用所假设的约束条件，证明存在一个特定的不等式。
其原理如下：1、假设有一个满足约束条件的函数f(x)，其中约束条件可用来限制函数f(x)取值范围；2、若从函数f(x)中取出几个满足约束条件的特定点，就可以构成一组等式，使得这些等式能够描述一定的特定性质；3、通过分析等式中某些变量的特定性质，可以推出函数f(x)的结果在满足某种特定条件时，其大小有一定限制；4、这就构成了一组不等式，由此可以证明函数f(x)是满足某种特定约束条件的函数。
柯西不等式的应用由于柯西不等式的独特性质，它可以用来解决多元复杂的线性规划问题。
比如，在计算机科学中，它可以用来解决模式优化的问题，以及椭圆装订的线性程序问题，从而有助于实现高效的算法。
另外，柯西不等式在统计学中也有着深远的影响，可以帮助统计学家正确估算样本数据的分布和结果，从而进行定量分析。
此外，柯西不等式也有助于解决排列组合问题，例如给定几个数字的排列组合问题，柯西不等式可以为它提供准确的解法。
总之，柯西不等式具有多种应用，是一种重要的数学结构，为解决复杂问题提供了有效的方法。
结论柯西不等式是由美国数学家J.B.Coxeter于1934年提出的结构，它是一种有效的证明方法，能够帮助我们证明函数f(x)满足约束条件，这也是它被广泛应用的主要原因。
此外，柯西不等式有着重要的应用，它可以帮助我们解决多元复杂的线性规划问题和排列组合问题，以及模式优化、运筹学等方面的问题，从而有助于实现高效的算法。
总之，柯西不等式是一个重要的数学结构，它的解决复杂的问题的能力得到了广泛的应用，为许多学科和领域提供了有效的解决方案。
柯西不等式的证明
柯西不等式的证明几何证明：首先，我们来介绍几何证明柯西不等式的方法。
考虑两个非零向量a和b，它们的夹角记作θ。
我们通过构造一个新的向量c来证明柯西不等式。
我们可以将向量c定义为c = ta + kb，其中t和k是实数。
我们要使向量c的模长最小，即找到最小的t和k。
为了达到这个目标，我们可以考虑将向量c垂直于向量a。
这意味着c与向量a的夹角为90度。
通过这个条件，我们可以得到一个关系式(ta + kb)·a = 0。
根据向量点乘的性质，可以将这个等式展开为ta·a + kb·a = 0。
因为向量a不为零，所以ta·a不为零，这意味着kb·a = -ta·a。
这个等式可以重新排列得到k = -ta·a / b·a。
将k代入一开始的式子c = ta + kb中，我们得到c = ta - (ta·a / b·a) b。
现在，我们可以计算向量c的模长来确定最小t的值。
c的模长为，c，= sqrt((ta)² - (ta·a / b·a)²(b)²) =sqrt(t²(a·a - (a·a)² / b·a)).要使，c，取得最小值，我们需要使t²(a·a-(a·a)²/b·a）的值最小。
因此，此时t的值为-t(a·a)/b·a。
将这个t的值代入c = ta - (ta·a / b·a) b中，我们得到c = a - (a·b / b·a) b。
c的模长为，c，= sqrt((a)² - ((a·b)² / (b·a)²)(b)²) =sqrt(a·a - (a·b)² / b·a).因为，c，是t和k的函数，所以它的最小值等于在t=-t(a·a)/b·a时取得的值。
柯西不等式积分形式的证明
柯西不等式积分形式的证明首先，我们先回顾一下柯西不等式的表述：对于任意两个函数f(x) 和 g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 g(x) 不为零，则有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f(x)² dx) √(∫[a,b] g(x)² dx)。
证明柯西不等式的积分形式，我们可以按照以下步骤进行：步骤一，假设存在一个常数λ，使得∫[a,b] (λf(x)g(x))² dx = 0。
步骤二，根据积分的非负性，我们可以得出(λf(x) g(x))²= 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤三，根据函数的连续性，我们可以得到λf(x) g(x) = 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤四，由于 g(x) 不为零，所以我们可以得到λ =f(x)/g(x) 在 [a, b] 上恒成立。
步骤五，将λ = f(x)/g(x) 代入步骤三的方程中，我们可以得到 f(x)/g(x) f(x) g(x) = 0 在 [a, b] 上恒成立。
步骤六，整理上述方程，我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx∫[a,b] g(x)² dx = 0。
步骤七，根据步骤六的结果，我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx = ∫[a,b] g(x)² dx。
步骤八，由于∫[a,b] f(x)² dx 和∫[a,b] g(x)² dx 都是非负数，所以我们可以得到∫[a,b] f(x)g(x) dx ≤ √(∫[a,b] f(x)² dx) √(∫[a,b] g(x)² dx)。
综上所述，我们通过积分形式的证明，得到了柯西不等式的结论。
需要注意的是，上述证明过程中使用了一些基本的数学推理和性质，如积分的非负性、函数的连续性等。
这个证明只是柯西不等式的一种证明方法，还有其他的证明方法，比如基于向量空间的证明等。
柯西不等式的证明_柯西不等式
柯西不等式的证明_柯西不等式二维形式(a^2+b^2+c^2)*(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1(柯西不等式)所以(a^2+b^2+c^2)>=1/3(1式)又a^3+b^3+c^3=(a^3+b^3+c^...(平方的和的乘积不小于乘积的和的平方)证明|a|*|b|≥|a*b|,a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x1x2+y1y2)^2≤(x1^2+y1^2)(x2^2+y2^2)[1]推广(a1·b1+a2·b2+a3·b3+...+an·bn)^2≤(a1^2)+(a2^2)+(a3^2)+.. .+(an^2))((b1^2)+(b2^2)+(b3^2)+...(bn^2))三角形式√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2]等号成立条件：ad=bc注：“√”表示根向量形式|α||β|≥|α·β|，α=(a1，a2，…，an)，β=(b1，b2，...，bn)(n∈N，n≥2)等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。
一般形式(∑(ai^2))(∑(bi^2))≥(∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
上述不等式等同于图片中的不等式。
推广形式(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘积，其余同理。
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均不小于各列元素之和的几何平均之积。
(应为之积的几何平均之和)概率论形式√E(X)√E(Y)≥∣E(XY)∣二维形式的证明(a²+b²)(c²+d²)(a,b,c,d∈R)=a²·c²+b²·d²+a²·d²+b²·c²=a²·c²+2abcd+b²·d²+a²·d²-2abcd+b²·c²=(ac+bd)²+(ad-bc)²≥(ac+bd)²，等号在且仅在ad-bc=0即ad=bc时成立。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用1.柯西不等式的证明：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)证明：设向量(x1,x2,...,xn)与(y1,y2,...,yn)的内积为A，则有：A = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn考虑不等式(，x1，^2/，A， + ，x2，^2/，A， + ... + ，xn，^2/，A，) * (，y1，^2A + ，y2，^2/，A， + ... + ，yn，^2/，A，) ≥ 1根据乘法交换律，可以将上式化简为：(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2) * (，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2) ≥ ，A，^2由于A是内积，其绝对值不超过向量的模的乘积，即，A，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ...+ ，yn，^2)将不等式化简可得：(x1,y1) + (x2,y2) + ... + (xn,yn)，≤ √(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)√(，y1，^2 + ，y2，^2 + ... + ，yn，^2)2.柯西不等式的应用：2.1内积空间中的角度和长度：根据柯西不等式，可以得出两个向量的内积的绝对值小于等于它们的模的乘积，即，A，≤ ，x，y，其中x和y是向量。
从而可以推出内积与向量的模的乘积的乘积的cosine值不超过1，即cosθ ≤ 1，其中θ是x和y之间的角度。
这表明柯西不等式可以用于计算向量的夹角。
2.2线性无关的证明：假设有n个非零向量(x1,x2,...,xn)，如果存在n维向量(a1,a2,...,an)，使得a1x1 + a2x2 + ... + anx_n = 0，其中a1,a2,...,an不全为零，则称向量组(x1,x2,...,xn)线性相关。
柯西不等式各种形式的证明及其应用
柯西不等式各种形式的证明及其应用(a1b1 + a2b2 + … + anbn)，≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + … + bn^2)其中a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn为实数或者复数。
下面将介绍几种柯西不等式的证明以及其应用。
证明1：使用向量的点乘形式证明柯西不等式。
设有两个n维向量A = (a1, a2, …, an)和B = (b1, b2, …, bn)，则根据向量的点乘定义：A·B， = ，a1b1 + a2b2 + … + anbn，≤ ，a1，b1， + ，a2，b2，+ … + ，an，bn根据向量的模的定义，有：A·B，≤ √(a1^2 + a2^2 + … + an^2) * √(b1^2 + b2^2 + …+ bn^2)这就是柯西不等式的一种证明方法。
证明2：使用函数的积分形式证明柯西不等式。
设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，那么根据积分的定义，有：∫[a,b] (f(x)g(x)) dx ≤ √(∫[a,b] (f^2(x)) dx) * √(∫[a,b] (g^2(x)) dx)假设f(x) = 1，g(x) = sqrt(1/x)，那么有：∫[1,2] (sqrt(1/x)) dx ≤ √(∫[1,2] (1^2) dx) * √(∫[1,2] (sqrt(1/x))^2 dx)化简得：√(ln 2) ≤ √(∫[1,2] (1/x) dx)继续化简得：√(ln 2) ≤ √(ln 2)这也是柯西不等式的一种证明方法。
应用1：在实数范围内，柯西不等式可以用于证明其他不等式的成立。
例如，可以利用柯西不等式证明三角不等式，即，a+b，≤，a，+，b。
应用2：柯西不等式可以推导出协方差不等式，协方差是一种度量两个变量之间线性关系紧密程度的指标。
根据柯西不等式的形式，对于任意两个随机变量X和Y，有：Cov(X, Y)^2 ≤ Var(X) * Var(Y)其中Cov(X, Y)表示X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别表示X和Y的方差。
柯西施瓦茨不等式证明
柯西不等式的证明数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。
不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。
柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,a n,b1,b2,⋯,b n,都有(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2假设n时命题成立,则n+1时(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|a n+1b n+1|)2又由条件假设(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2所以((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|a n+1b n+1|)2≥(|a1b1+a2b2+⋯+a n b n|+|a n+1b n+1|)2很明显有(|a1b1+a2b2+⋯+a n b n|+|a n+1b n+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n+a n+1b n+1)2因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,a n都为0,那么此时不等式明显成立.如果a1,a2,⋯,a n不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(a n x+b n)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0从而不等式得证.证明三:(恒等变形)注意到恒等式(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2=∑1≤i<j≤n(a i b j−a j b i)2≥0所以不等式成立.证明四:(均值不等式)不妨设a i,b i不全为0,理由同证明二a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T那么由均值不等我们有a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√对i从1到n求和,可以得到∑i=1n a2i S+∑i=1n b2i T≥2∑i=1n|a i b i|ST−−−√于是2≥2∑i=1n|a i b i|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1n a i b i ST−−−√∣∣∣得到(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得a i x+b i=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯a n≠0时,可以将它写成b1a1=b2a2=⋯=b n a n.变形式(A)设a i∈R,b i>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1n a2i b i≥(∑a i)2∑b i.变形式(B)设a i,b i同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1n a i b i≥(∑a i)2∑a i b i.。
柯西不等式推论的证明
柯西不等式推论的证明1. 构造二次函数注意到柯西不等式是A⋅C≥B2 的结构，这可以让我们联想到二次方程的判别式Δ=b2−4ac ，于是我们可以构造如下的二次函数：f(x)=(∑i=1nai2)x2+2(∑i=1naibi)x+∑i=1nbi2注意到这个二次函数可以变形为：f(x)=∑i=0n(aix+bi)2于是有f(x) 恒大于等于0，所以其判别式恒小于等于0，即：(2∑i=1naibi)2−4∑i=1nai2∑i=1nbi2≤0变形即得柯西不等式.2. 数学归纳法当n=2时，柯西不等式化为：(a12+a22)(b12+b22)≥(a1b1+a2b2)2左式减去右式，得：(a12+a22)(b12+b22)−(a1b1+a2b2)2=a12b22+a22b12−2a1a2b1b2=(a1b2−a2b1)2≥0于是，当n=2时，柯西不等式成立.若n=k（k≥2，k∈N）时，柯西不等式成立. 则：∑i=1k+1ai2∑i=1k+1bi2=((∑i=1kai2)2+ak+12)((∑i=1kbi2)2+bk+12)≥(∑i =1kai2⋅∑i=1kbi2+ak+1bk+1)2≥(∑i=1k+1aibi)2【第一个不等号是n=2时的柯西，第二个不等号是n=k时的柯西】于是便证得了柯西不等式3.作差法左式减去右式，得：∑i=1nai2∑i=1nbi2−(∑i=1naibi)2这里介绍一个求和之后相乘的小技巧——画表格.×a12a22a32⋯an2b12b22b32⋮bn2−×a1b1a2b2a3b3⋯anbna1b1a2b2a3b3⋮anbn注意到，主对角线上的数都形如ai2bi2 ，所以左右可以抵消。
对于其他的数，我们可以对它们逐一考察，所以不在主对角线上的数都可以按照这样的方式整理，于是：∑i=1nai2∑i=1nbi2−(∑i=1naibi)2=∑i=1n−1∑j=i+1n(aibj−ajbi)2≥0 得证.。
证明柯西不等式
证明柯西不等式1.二维形式的柯西不等式：定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+.当且仅当ad bc =时，等号成立.证明：证法一：作差比较法证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a =+2||n c d =+∵ m n ac bd •=+，且||||cos ,m n m n m n ⋅=<>，则||||||m n m n ⋅≤.∴ …..证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即…【常见变式】（122||c d ac bd +≥+（222||||c d ac bd +≥+（3ac bd +. 【简单应用】例1：已知a,b 为实数，求证2332244)())((b a b a b a +≥++例2：设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+ba 分析：注意到)11)((11ba b a b a ++=+，有了)11)((b a b a ++就可以用柯西不等式了。
例3：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=.其它方法 （数形结合法）例4：求函数x x y 21015-+-=的最大值。
解：函数的定义域为【1，5】，且y>036427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x xx y 当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27127=x 时，函数取最大值36 定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ⋅≤.当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立 定理3：（二维形式的三角不等式）设1122,,,x y x y R ∈，则2.一般形式的柯西不等式：定理：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（=i 1，2，…，n ）为任意实数，则：22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++≥++即211212)(∑∑∑===≥ni i i n i i ni ib a b a ，其中等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，=i 1，2，…，n ）。
柯西不等式的证明
1 12 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 21 2§2.3 柯西不等式我们知道，两个向量a = (a 1, a 2 ) ， b = (b 1, b 2 ) 满足a ⋅ b =| a || b | cos < a , b > ，由于| cos < a , b >|≤ 1，从而得 a ⋅ b ≤ a b ，即 a 1b 1 + a 2b 2 ≤得 (a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ). 显然等号在a 与b 共线时成立.即当且仅当a 1 = a 21 12 21212时等号成立.从而我们可以得到以下定理：定理 1 设a , a , b , b 为任意实数，则(a b+ a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ).b 1 b 212 121 12 21212当且仅当a 1 = a 2 = 0 或b i = λa i （ λ 为常数， i = 1, 2 ）时等号成立.这就是著名的柯西不等式的二元形式.柯西不等式的证明方法很多，这里我们选择其中一些具有一定代表性的简单的证明方 法.证法一（分析法）欲证(a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ).1 12 21212即证a 2b 2 + a 2b 2 ≥ 2a b a b，即证(a b - a b )2 ≥ 0 ，而这是显然成立的，故原不等1 22 11 2 2 1式得证.1 22 1证法二（综合法）由于(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) = a 2b 2 + a 2b 2 + a 2b 2 + a 2b 212121 12 21 22 1= (a 2b 2 + 2a b a b + a 2b 2 ) + (a 2b 2 - 2a b a b + a 2b 2 )1 11 12 22 22 11 12 21 2= (a b + a b )2 + (a b - a b )2≥ (a b + a b )2.证法三（比较法）因为(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) - (a b + a b )2 = a 2b 2 + a 2b 2 - 2a b a b12121 12 21 22 11 12 2= (a b - a b )2 ≥ 0 ，从而(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 22 11 12 21122证法四（构造函数法）构造函数 f (x ) = (a 2 + a 2 )x 2 + 2(a b + a b )x + (b 2 + b 2 ) . 则 f (x ) = (a 2 x 2 + 2a b x + b 2 ) + (a 2 x 2 + a b x + b 2 ) = (a x + b )2 + (a x + b )2 ≥ 0 ， 从而当 a 2 + a 2 ≠ 0 时，其判别式 ∆ = [2(a b + a b )]2 - 4(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) ≤ 0 ，即(a b 1 2+ a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ).1 12 2 1 2 1 2 1 12 21212当a 2 + a 2 = 0 时，不等式显然成立.证法五（构造解析几何法）当a 2 + a 2 ≠ 0 时，欲证原不等式成立，a 1b 2F 2 2 1 21 2 12 1 2 1 2a | ab + a b |上式结构特征与解析几何中点到直线的距离公式很类似.由此不妨设点(a , b ) 到过原点的直线l ： a x + a y = 0 的距离d=，而2212可视为点(a 2 , b 2 ) 到原点的距离，从而d ≤ | a b + a b | ， a 2 + b 2.故(a b + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ). .1 12 21212当a 2 + a 2 = 0 时，不等式显然成立.证法六（构造解析几何法）如图，不妨设 A (a 1, a 2 ), B (b 1, b 2 )（1）当(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) ≠ 0 时，由余弦定理，得 yB (b 1, b 2 )OA (a 1, a 2 )xOA 2 + OB 2 - AB 2 (a 2 + a 2 ) + (b 2 + b 2 ) - [(a - b )2 + (a - b )2 ]cos ∠AOB = = 1 21 2 1 1 2 22OA ⋅ O B=由于| cos ∠AOB |≤ 1 ，从而≤ 1 ，即(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 12 21122（2）当(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2) = 0 时，不等式显然成立. 证法七（构造平面几何法）设线段 AB 、OA 、OD 、OF 的长分别为| a | 、| a | 、| b | 、| b | ，构造如图的几何图形， AB1212则S 矩形O -C+S 矩形A - F 1 = | a 1b 1 | + | a 2b 2 | ，21O因为S ∆OFB = 2 S 矩形A - F ， S ∆OFE = 2 S 矩形O -E ，S = 1S ，所以∆BFE2 矩 形 F -Cb 1 DECS ∆OBE = 1 (S 2 矩形O -C +S 矩形A - F ) ，即 1 OB ⋅ O E sin ∠BOE = 1(S 2 2矩形O -C +S 矩形A - F ) ，即 (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) sin ∠BOE =| a b | + | a b |≥ a b + a b .12121 12 21 12 2b2b2 +b212⎩b1 1 ⎩b2 21 2 1 21 2 1 21 2 1 21 2 1 2≥∠BOE ，于是有(a b +a b )2 ≤ (a2 +b2 )(a2 +b2 ) .1 12 2 1 1 2 2⎧a1 =r1cosα,⎧a2=r2cos β,证法八（三角代换法）不妨设⎨=r sin α,⎨=r sin β（r1, r2均为变量）则a1b1+a2b2=r1r2(cosαcos β+ sin αsin β) =r1r2 cos(α-β).又r r =r ⋅r 及rr cos(α-β) ≤r r ，得1 2 1 2 1 2 1 2(a b +a b )2 ≤ (a2 +b2 )(a2 +b2 ) .1 12 2 1 1 2 2证法九（换元－三角代换法）（1）当(a2+a2)(b2+b2)=0时，不等式显然成立；（2）当(a2 +a2 )(b2 +b2 ) ≠ 0 时，欲证原不等式成立，只需证1 +≤1.⎛⎫2 ⎛⎫2⎛⎫2 ⎛⎫2注 意到a1 +a2 = 1 与b1 +b2= 1 与cos2 x + sin2 x = 1 的结构特征很类似，不妨设a= cosα,⎧且= sin α,2= cos β,从而= sin β.+= cosαcos β+ sin αsin β = cos(α-β) ≤ 1.所以(a b +a b )2 ≤ (a2 +b2 )(a2 +b2 ) .1 12 2 1 1 2 2证法十（标准化方法）（1）当(a2+a2)(b2+b2)=0时，不等式显然成立；（2）当(a2 +a2 )(b2 +b2 ) ≠ 0 时，令 x = ， x ，1 2 1 2 1 2y1，y2则x2 +x2 =y2 +y2 = 1.a1a2 +a21 2a 1b 1 a 1b 1 + a 2b 2 a 2b 2 a 1b 1 + a 2b 2122 2 2 2 1 1 2 2 1 12 2 1 2 12 1 2 1 2 1 11 1 1 12 2 1 2 ⎦ ⎣ 1 1 2 2 1 2≤ x y + x y1 12 2≤x + y + x + y = 1 2 + 2 +1 2 + 2 =1 12 2 (x 1x 2 ) ( y 1 y 2 ) 1. 2 2 2 2从而(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 12 21122证法十一（标准化方法）由于(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 )a 2 (b 2 + b 2 ) a 2 (b 2 + b 2 ) b 2 + b 21 2 1 2 +1 = 1 1 2 + 2 1 2 + 1 2(a b + a b )2 (a b + a b )2 (a b + a b )2 b 2 + b 21 12 21 12 21 12 212⎡ a 2 (b 2 + b 2 ) b 2 ⎤ ⎡ a 2 (b 2 + b 2 ) b 2 = ⎢ 1 1 2 + 1 ⎥ + ⎢ 2 1 2 + 2 ⎥ ≥⎣(a b + a b )2 (b 2 + b 2 ) (a b + a b )2 (b 2 + b 2 )≥ 2+ = 2 .(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 )所以 1212≥ 1 ，即有(a 1 b 1 + a 2b 2 ) (a b + a b )22 ≤ (a 2 + b 2)(a 2 + b 2 ) .比值法是证明不等式的一种常用的、基本的方法.方法十与方法十一也称为标准化方法，这个方法可以简化许多不等式的证明，需要认真体会.方法十二（1）当(a 2 + a 2)(b 2 + b 2 ) = 0 时，不等式显然成立；（2）当(a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 ) ≠ 0 时，令 x =， x ，121212y 1， y 2 则 x 2 + x 2 = y 2+ y 2 = 1.则原不等式等价于 x y + x y ≤ 1 ，即 2(x y + x y ) ≤ x 2 + x 2 + y 2 + y 2 ，又等价于1 12 21 12 21212(x - y )2 + (x - y )2 ≥ 0 ，这个不等式显然成立，且等号成立的条件是 x= y ， 且 x = y ，1122从而原不等式成立.方法十三（利用含参数的平均值不等式）对于m ∈ R + ，得1122a 1b 1 ≤ 1(m 2a 2+ 12 m 2b 2) ，令m 2=a 1b 1 ⎤ ≤ a 2 + b 2 ⎥ ，⎥⎦122 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 21 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 22 1 1 2 212同理， a 2b 2 ⎤ ≤ a 2 + b 2 ⎥⎥⎦ 从而| a b + a b |≤| a b | + | a b |≤ 11 12 2 1 1 2 2 2=.故(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ) .1 12 21122利用含参数的平均值不等式来证明不等式，具有较高的灵活性和技巧性，我们将在后讲述进程中作专门介绍.证法十四（内积法）设向量a = (a 1, a 2) ， b = (b 1, b 2 ) ，对任意的实数t ，我们有0 ≤ (a + t b , a + t b )2 = a 2 + 2a ⋅ b t + b 2t 2于是(a 2 + a 2 ) + 2(a b + a b )t + (b 2 + b 2 )t 2≥ 0 ，由t 的任意性，得∆ = 4 ⎡⎣(a b + a b )2 - (a 2 + a 2 )(b 2 + b 2 )⎤⎦≤ 0 ，即(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ).1 12 21122证法十五（二次型法）因为(a 2 + a 2 )x 2 + 2(a b + a b )xy + (b 2 + b 2 ) y 2 = (a x + b y )2 + (a x + b y )2 ≥ 0所以，关于 x , y 的二次型(a 2 + a 2 )x 2 + 2(a b + a b )xy + (b 2 + b 2 ) y 2 非负，因此a 2 + a 2a b + a b121 12 2≥ 0 ，即(a b + a b )2 ≤ (a 2 + b 2 )(a 2 + b 2 ).a b + a b b 2 + b2 1 12 21122对于二元柯西不等式的证明，包括引言部分在内，我们提供了十六种证明方法.这十六种证明方法都比较简单，但对于不等式的证明来讲，怎样入手是十分重要的.现在我们将其拓展到n 元的形式定理 2（柯西 Cauchy 不等式）设a 1, a 2 , , a n 及b 1, b 2 , , b n 为任意实数，则(a b + a b + + a b )2 ≤ (a 2 + a 2 + + a 2 )(b 2 + b 2 + + b 2 )1 12 2n n12n12n等号当且仅当a 1 = a 2 = = a n = 0 或b i = λa i （ λ 为常数， i = 1, 2, , n ）时成立. 仿照柯西不等式二元形式的证明，对于n 元形式的柯西不等式，我们给出以下几种证明方法供大家参考.证法一：令 A = a 2 + a 2 + + a 2 ，B = a b + a b + + a b ，C = b 2 + b 2 + + b 2.n12nn1 12 2a ib in n n12nnn22不妨假设 A n ≠ 0 ， C n ≠ 0 ，令 x i =， y i = ∑ x i i =1 + ∑ y i i =1 = 1. + (a + a )(b + b ) 1 2 1 2 )2 2 2 2n nA CBi i i i i i i in n n n n 则原不等式等价于∑x y ≤ 1 ，即2∑x y ≤∑x2 +∑y2. 又等价于∑(x -y )2 ≥ 0.i=1 i=1i=1i=1i=1而这个不等式是显然成立的，且等号成立的么要条件是 xi=yi（i = 1, 2, , n ），即bi=λa i （其中λ），从而原不等式成立.证法二（比值法）按证法一中的方法记An, Bn, Cn，不妨假设An≠ 0 ，Cn≠ 0 ，令x =| ai|y=，则∑ x2 +∑ y2 = 1.i ii=1i ii=1n n 1 1 ⎛n n ⎫∑x y ≤∑ (x2 +y2 ) =∑x2 +∑y2= 1，i i 2 i i 2 i i ⎪i=1 i=1 ⎝i=1 i=1 ⎭n n a2 b2且等号当且仅当 ∑a i b ii=1=∑a i b ii=1，且iAn=iCn时成立.第一个条件表明aibi≥ 0 （i = 1, 2, , n ）即ai与bi同号.第二个条件表明等号成立充要a2 A | a |条件是i=n ，即i 为常数.b2 C | b |i n i由于ai与bi（i = 1, 2, , n ）同号，从而命题成立.证法三（比值法）按证法一中的方法记An, Bn, Cn，则A C n a2C n b2n ⎛a2C b2 ⎫n a bn n +1 =∑i n +∑i =∑ i n +i ⎪≥∑2 ⋅i i = 2B2 i=1 B2 i=1 C i=1 ⎝B2 C ⎭i=1 Bn n n n n n所以 n n≥ 1，即B2 ≤A C .2 n n nn等号当且仅当ai （i = 1, 2, , n ）为一个常数.bi上面三种证法，我们借助标准化方法将柯西不等式进行了简化证明，需认真体会.证法四（利用参数平均值不等式）对于m ∈R+，得n n nii iii i2a b ≤ 1(m 2a 2+ 1b 2) ，令m 2=i i2im 2 i⎫则 a b ≤ 1 a 2 + b 2 ⎪ ⎪ ，故 i i 2 i i ⎪ ⎪ ⎭n n1 ∑ a i b i ≤ ∑| a i b i | ≤2 ⎪ =i =1 i =1从而原不等式得证.⎛ n 2 ⎫ 2 ⎛ n ⎫ ⎛ n 2 ⎫ 2 n 2证法五（二次型）因为 ∑ a i ⎪ x + 2 ∑ a i b i ⎪ xy + ∑b i ⎪ y = ∑(a i x + b i y ) ≥ 0 ，⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭ i =1 ⎛ n 2 ⎫ 2 ⎛ n ⎫ ⎛ n 2 ⎫ 2所以关于 x , y 的二次型 ∑ a i ⎪ x + 2 ∑ a i b i ⎪ xy + ∑b i ⎪ y 非负，因此⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭n n∑ a 2 ∑ a b2i =1 ii ii =1 ≥ 0 ，即⎛ ∑ a b ⎫ ≤ ∑ a 2 ⋅∑b 2. nni i ⎪ i i∑ a b ∑b2⎝ i =1 ⎭ i =1i =1 i iii =1i =1从而原不等式得证.证法六（利用拉格郎日恒等式）对于a 1, a 2 , , a n 及b 1, b 2 , , b n ，我们有如下拉格郎日⎛ 恒等式 ∑ a 2 ⎫ ⋅⎛ ∑b 2 ⎫ - ⎛ ∑ a b ⎫ = ∑ (a b - a b )2 ≥ 0 ，从而命题得证. ⎝ i =1 i ⎪ ⎭ ⎝ i =1 i ⎪ ⎭ ⎝ i =1 i i ⎪ ⎭ 1≤i < j ≤ni j j i证法六实际上是证法五的一种特殊情况，但在不等式的证明中，拉格郎日恒等式往往作为已知结论使用，此外，拉格朗日恒等式也可以用其他方法来证明.证法七（内积法）设向量a = (a 1, a 2 , , a n ) ， b = (b 1, b 2 , , , b n ) ，对任意的实数t ， 我们有0 ≤ (a + t b , a + t b )2 = a 2 + 2a ⋅ b t + b 2t 2于是(∑ a 2 ) + 2∑(a b ) ⋅t + (∑b 2 )t 2 ≥ 0 ，由t 的任意性，得i =1⎡⎛ n i =1⎫2 i =1n n ⎤ ∆ = 4 ⎢ ∑(a i b i ) ⎪ - (∑ a 2 )(∑b 2 )⎥ ≤ 0 ， ⎢⎣⎝ i =1 ⎭ i =1 i =1 ⎥⎦nn n n n nnnnnnnnn +1 i i ⎪ i ⎪ i ⎪ i i ⎪i ⎪ i ⎪ i i ⎪ n +1 n +1 n +1 n +1 i ⎪ n +1 2 2即⎛∑ a b ⎫ ≤ ∑ a 2 ⋅∑b 2. ⎝ i =1i i⎪⎭i =1 iii =1证法八（向量法）设向量a = (a 1, a 2 , , a n ) ， b = (b 1, b 2 , , , b n ) ，则对向量a , b ，我们有cos < a , b >= a ⋅ b | a || b |，从而有 = cos < a , b > ≤ 1，nn n⎛ n ⎫2n n 由a ⋅ b =∑ a b ， a 2 = ∑ a 2 , b = ∑b 2 ，从而得 ∑ a b ≤ ∑ a 2 ⋅∑b 2. i i i =1 i =1 i ii =1 ⎝ i =1 i i ⎪ ⎭ i =1 i i i =1等号当且仅当 cos < a , b > = 1即a 与b 共线时成立，命题得证.证法九（构造单调数列）构造数列S =⎛∑ a b ⎫ - ⎛ ∑ a 2⎫⎛∑b 2 ⎫，则S = 0. n⎝ i =1 i i⎪ ⎭ ⎝ i =1 i⎪ i⎪1⎭⎝ i =1 ⎭⎡⎛ n +1 ⎫2 ⎛ n +1 ⎫⎛ n +1 ⎫⎤ ⎡⎛ n ⎫2 ⎛ n ⎫⎛ n ⎫⎤ S - S = ⎢ ∑ a b - ∑ a 2 ∑b 2 ⎥ - ⎢ ∑ a b - ∑ a 2∑b 2 ⎥ ⎢⎣⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭⎝ i =1 ⎭⎥⎦ ⎢⎣⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭⎝ i =1 ⎭⎥⎦ = 2 ⎛∑n a b ⎫ a b + a 2 b 2- ⎛ ∑na 2 ⎫b 2 ⎝ i =1 ⎭ ⎝ i =1 ⎭n= -∑(a i b n +1 - b i a n +1 )2≤ 0i =1所以S n +1 ≤ S n ，从而数列{S n } 为单调递减数列，从而对一切n ≥ 1，有S n ≤ S 1 = 0 . 故原命题得证.证法十（构造二次函数）按证法一中的方法记 A n , B n , C n ，构造二次函数f (x ) = A x 2 + 2B x + C = ∑(a x + b )2 ≥ 0 ，从而∆ = B 2 - 4 A C ≤ 0nnnii =1a等号当且仅当 i 为常数成立.从而原不等式得证.b inn n柯西不等式还有许多种证明方法，有些方法我们将在后续章节中给出，在此不再赘述.a ⋅ b| a || b |n。
柯西不等式的证明及变形
柯西不等式的证明及变形柯西不等式是数学中的一个重要定理，用于描述向量之间的关系。
该不等式是由法国数学家Augustin-Louis Cauchy于1821年提出的。
柯西不等式是在线性代数中应用广泛的一个基本定理，除了在解决向量相关问题中有广泛应用之外，在概率论和统计学中也有重要应用。
本文将介绍柯西不等式的证明及变形。
柯西不等式的表述如下：对于任意两个向量xa和yb：xa*yb <= ||xa|| ||yb||其中xa*yb代表xa与yb的内积，也称点积或数量积；而||xa||和||yb||分别代表xa 与yb的模长，也称绝对值或范数。
证明：对于任何两个实数x和y，有如下的不等式：(x - ky)^2 >= 0其中k是任意实数。
将其式子展开得到：这个式子可以改写成：2kxy <= x^2 + k^2y^2根据柯西不等式的定义，任何两个向量xa和yb都可以表示为如下形式：xa = (x1, x2, x3, ..., xn)yb = (y1, y2, y3, ..., yn)由上面的式子可得，2x1y1 <= x1^2 + y1^22x2y2 <= x2^2 + y2^22x3y3 <= x3^2 + y3^2...2xnyn <= xn^2 + yn^2将上面的式子相加，得到如下结果：考虑向量xa的模长，有如下的式子：||xa|| = sqrt(x1^2 + x2^2 + x3^2 + ... + xn^2)类似的，可以得到向量yb的模长：将上述两个式子代入前面的不等式中，则有：因此，柯西不等式得证。
变形：为了方便使用和推导，常常将柯西不等式做如下的变形：对于任意两个向量xa和yb，该式子永远成立。
同时，该式子中的比值代表着向量xa 和向量yb之间的相似程度，即两个向量之间的夹角。
当xa和yb之间的夹角为0时，即两个向量是同一方向的，则相似程度为1，即该比值等于1；当xa和yb之间的夹角为90度时，即两个向量相互垂直，则该比值等于0。
柯西不等式证明
柯西不等式证明最值1.求函数y x2 4x,(x R)的最小值。
2.求函数y x4x2,(x R)的最小值。
x R且x2y3.设21,求x y2的最大值4.设x,y,z为正实数,且x+y+z=10,求4x19 y的最小值。
已知：x25.4y21求：x y；2x y的取值范围。
6.已知：a2b21，m2n22,求am bn的取值范围7.已知：2x3y1求：x22y2的最小值.8.求函数y x12x的取值范围。
9.求函数y x12x的最大值。
证明不等式1.求证:a2b2c2ab bc ac2.已知a,b都是正数，求证：（1）(1a b)(1a2b2)9ab;（2）(a2b a b2)(ab2a2b)9a2b2.3.设a,b,c,d R，求证：a2b2c2d2(a c)2(b d)2。
4.已知a2b2c21,x2y2z21,求证：ax by cz 1.5.已知a,b,c均为正数，且a b c1，求证：111a b c96.若0，则1sin cos 2.高中数学新课标选修4-5课时计划东升高中高二备课组授课时间:2021年月日(星期)第节总第课时第一课时3.1二维形式的柯西不等式（一）教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：a b2(a0,b0)及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证(a2b2)(c2d2)(ac bd)2证法：（比较法）(a2b2)(c2d2)(ac bd)2=….=(ad bc)20二、讲授新课：1.教学柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则(a2b2)(c2d2)(ac bd)2.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d 222(ac bd)(ad b)c(（要点：展开→配方）a c.)bd证法三：（向量法）设向量m(a,b)，n(c,d)，则|m|，|n|∵m n ac bd，且m n|m||n|cos m,n，则|m n||m||n|.∴…..证法四：（函数法）设f(x)(a2b2)x22(ac bd)x c2d2，则f(x)(ax c)(bx d)≥0恒成立.222∴[2(ac bd)]24(a2b2)(c2d2)≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？|ac bd|或ac bd.|ac||bd|④提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）⑤练习：已知a、b、c、d.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设x1,y1,x2,y2R分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3R，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？3.小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）三、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.作业：教材P37 4、5题.教学后记：板书设计：第二课时3.1二维形式的柯西不等式（二）教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.教学过程：一、复习准备：1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？答案：(a2b2)(c2d2)(acbd)22.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3.如何利用二维柯西不等式求函数y?要点：利用变式|ac bd|二、讲授新课：1.教学最大（小）值：.①出示例1：求函数y分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式→板演→变式：y→推广：y d(a,b,c,d,e,f R)②练习：已知3x2y1，求x2y2的最小值.解答要点：（凑配法）x2y2113(x y)(32)113(3x2y)113.讨论：其它方法（数形结合法）2.教学不等式的证明：①出示例2：若x,y R，x y2，求证：1x1y 2.分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）要点：1x1y12(x y)(1x1y)12 22]…讨论：其它证法（利用基本不等式）②练习：已知a、b R，求证：(a b)() 4.ab13.练习：①已知x,y,a,b R，且要点：x y(xabyax by1，则x y的最小值.)(x y)….→其它证法②若x,y,z R，且x y z1，求x2y2z2的最小值.（要点：利用三维柯西不等式）变式：若x,y,z R，且x y z1的最大值.3.小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧.三、巩固练习：1.练习：教材P378、9题2.作业：教材P371、6、7题第三课时3.2一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1.练习：2.提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：(a2b2)(c2d2)(ac bd)2；(a2b2c2)(d2e2f2)(ad be cf)2二、讲授新课：1.教学一般形式的柯西不等式：①提问：由平面向量的柯西不等式||||||，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？②猜想：n维向量的坐标？n维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设a1,a2,,an,b1,b2,,bn R，则222(a12a22a)(b b n12)b nb)(1a1b ab n na22anbn讨论：什么时候取等号？（当且仅当a1b1a2b2时取等号，假设bi0）222联想：设B a1b1a2b2anbn，A a12a22an2，则有B2AC0，C b1b2bn，可联想到一些什么？③讨论：如何构造二次函数证明n维形式的柯西不等式？（注意分类）xxxx要点：令（fx）（a1a2an)x2(a1b1a2b2anbn)x(b1b2 bn)，则f(x)(a1x b1)(a2x b2)+（anx bn)0.222 又a12a22an20，从而结合二次函数的图像可知，2(a1b1a2b2anbn)4(a1a2an)(b1b2bn)≤0 即有要证明的结论成立.（注意：分析什么时候等号成立.）④变式：a12a22an21n(a1a2an).（讨论如何证明）2.教学柯西不等式的应用：①出示例1：已知3x2y z1，求x2y2z2的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？→板演→变式：②练习：若x,y,z R，且1x1y 11，求xy23的最小值..1b c)(11)4③出示例2：若a>b>c，求证：要点：(a c)(1a b1b c1a b1b c4a c1a b)[(a b)(b c)](3.小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：1.练习：教材P414题2.作业：教材P415、6题第四课时3.3排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式.教学难点：排序不等式的证明思路.教学过程：一、复习准备：1.提问：前面所学习的一些经典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2.举例：说说两类经典不等式的应用实例.二、讲授新课：1.教学排序不等式：①看书：P42~P44.②提出排序不等式（即排序原理）：设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.c1,c2,···cn是b1,b2，···,bn的任一排列,则有a1b1a2b···+anbn(同序和)2··+ancn(乱序和)a1c1a2c2+···+anb1(反序和)a1bn a2bn1+·当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时，反序和等于同序和.（要点：理解其思想，记住其形式）2.教学排序不等式的应用：①出示例1：设a1,a2,,an是n个互不相同的正整数，求证：112131n a1a22a33ann.分析：如何构造有序排列？如何运用套用排序不等式？证明过程：设b1,b2,,bn是a1,a2,,an的一个排列，且b1b2bn，则b11,b22,,bn n.又1a1122213221n22，由排序不等式，得b22a22a33annb1b33bnn…小结：分析目标，构造有序排列.②练习：已知a,b,c为正数，求证：2(a3b3c3)a2(b c)b2(a c)c2(a b).解答要点：由对称性，假设a b c，则a2b2c2，于是a2a b2b c2c a2c b2a c2b，a2a b2b c2c a2b b2c c2a，两式相加即得.3.小结：排序不等式的基本形式.三、巩固练习：1.练习：教材P451题2.作业：教材P453、4题自选专题均值不等式与柯西不等式【均值不等式】例题1：已知x,y均为正数，且x y，求证：2x例题2：已知x,y,z均为正数．求证：变式：设x,y,z为正数，证明：2x3y3z3x2y z y2x z【柯西不等式】例题1：若正数a,b,c满足a b c1，求变式：若x21,3212a112b 112c 121x2xy y222y3．xyyzxxy1x1y．x y．的最小值．例题2：已知x,y,z是正数．1若x2若xy1，求x22xy22y的最小值；2xy2y21，求证：x22xy22y221．自选专题变式1：设a,b,c0，a b c1，求证：a2a b2b c2c35．变式2：已知正数x,y满足x y z xyz，求【能力提升】1、设a,b,c均为正实数，求证：1xy1yz2zx的最大值．12a12b12c1b c1a c1a b．2、设正数a,b,c满足a b c3，求证：a3、已知a,b,c0,，且abc1，求1a3b c ab bc ca b c1b3c a1c3a b的最小值．2021年高中数学IB模块选修4-5专题测试（一）试题内容：柯西不等式与排序不等式试卷总分：120分考试时间：60分钟一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1、a,b,c,d R，不等式a b22c2d2ac bd取等号的条件是（）2A．ab dc0B．ad bc0C．ad bc0D．ac bd02、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b 3a3b23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为（）A．1BC．2D4、a,b是非零实数，a b1，x1,x2R,M ax1bx2bx1ax2,N x1x2，则M与N的大小关222系为（）A．M NB．M NC．M ND．M N5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则x y的最小值是（）A．2B．1CD6、x,y,z R，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（） A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,d R，且满足a b c d625（）A．25B．50C．22222222225D．6254228、已知0a,b,c1，且a b c2，则a b c的取值范围是（）A．,B．,2C．,2D．,23333二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）9、x,y0,14444的最大值是10、设x,y,R，那么x y11、设14的最小值是xy22，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1t ax axn1122 a3x32anxn2的最小值是12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则三、解答题（共5小题，每题60分）239的最小值是，此时xyz.xyb4c4c4a4a4 b413、（本小题10分）设a,b,c R，利用排序不等式证明：a b c2a2b2c33314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s15、（本小题10分）设n N,n2，利用柯西不等式证明：16、（本小题10分）求函数yx1x2x3的最小值。
柯西不等式的证明及其应用
柯西不等式的证明及其应用基础知识：定理：如果1212,,,;,,,n n a a a b b b …………为两组实数，则222222211221212()()()n n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++……………… （*）当且仅当12211331110n n a b a b a b a b a b a b -=-==-=……时等号成立。
若120,0,,0n b b b ≠≠≠……，则不等式的等号成立的条件是1212n na a ab b b ===……。
我们称不等式（*）为柯西不等式。
证明：1）两个实数的柯西不等式的证明：对于实数1212,,,a a b b ，恒有2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++，当且仅当12210a b a b -=时等号成立。
如果120,0b b ≠≠则等式成立的条件是1212a ab b =。
证明：对于任意实数1212,,,a a b b ，恒有222222121211221221()()()()a a b b a b a b a b a b ++=++-，而21221()0a b a b -≥， 故2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当12210a b a b -=时等号成立。
不等式的几何意义如图1所示，在直角坐标系中有异于原点O 的两点12(,)P a a ，12(,)Q b b ，由距离公式得：|OP|=，|OQ|=|PQ|=设OP 与OQ 的夹角为θ， 由余弦定理得222||||||cos 2||||OP OQ PQ OP OQ θ+-==。
因为1cos 1θ-≤≤，所以2cos 1θ≤21≤，即2222211221212()()()a b a b a a b b +≤++当且仅当2cos 1θ=时等号成立，即OPQ 共线时等号成立。
柯西不等式 柯西证法
柯西不等式柯西证法
柯西不等式的一般形式为：对于所有的正实数ai，bi （i=1,2,...,n），有
(∑i=1nai2)(∑i=1nbi2)≥(∑i=1naibi)2
等号成立的条件是ai/bi为常数，或者至少有一方全为零。
柯西不等式的证明有多种方法，其中包括向量法、判别式法、配方法、二次型法以及数学归纳法等。
1. 向量法：通过向量的点乘性质来证明。
设向量A=(a1, a2, ..., an)，向量B=(b1, b2, ..., bn)，那么根据向量的点乘性质，有A·B ≤||A||·||B||，其中||A||表示向量A的模。
将A和B的具体形式代入，即可得到柯西不等式。
2. 判别式法：将柯西不等式转化为关于x的二次函数，利用二次函数的判别式非负性来证明。
3. 配方法：通过配方法来证明柯西不等式。
首先将原式进行配方，然后利用平方的非负性来证明。
4. 二次型法：将柯西不等式转化为二次型，然后利用二次型的性质来证明。
5. 数学归纳法：对于n=1，2的情况，柯西不等式显然成立。
假设对于n=k的情况，柯西不等式成立，那么需要证明对于n=k+1的情况，柯西不等式也成立。
通过归纳假设，可以证明对于任意的n，柯西不等式都成立。
以上就是柯西不等式的几种证明方法，各种方法都有其独特之处，可以根据具体情况选择使用。
柯西不等式的证明
柯西不等式的证明(A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ)²≤(A₁²+A₂²+...+Aₙ²)(B₁²+B₂²+...+Bₙ²)其中，A₁、A₂、..、Aₙ和B₁、B₂、..、Bₙ是任意实数。
证明：设向量A=(A₁,A₂,...,Aₙ)和B=(B₁,B₂,...,Bₙ)。
令f(t)=(A₁t+B₁)²+(A₂t+B₂)²+...+(Aₙt+Bₙ)²。
则f(t)=A₁²t²+2A₁B₁t+B₁²+A₂²t²+2A₂B₂t+B₂²+...+Aₙ²t²+2AₙBₙt+Bₙ²可以看出，f(t)是关于t的二次函数。
因为二次函数的顶点坐标为(-b/2a,c-b²/4a)，其中a=A₁²+A₂²+...+Aₙ²，b=2(A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ)，c=B₁²+B₂²+...+Bₙ²。
因此，f(t)的顶点坐标为(-A₁B₁-A₂B₂-...-AₙBₙ)/(A₁²+A₂²+...+Aₙ²)，即t=-A₁B₁-A₂B₂-...-AₙBₙ)/(A₁²+A₂²+...+Aₙ²)。
根据二次函数的性质可知，当t=-A₁B₁-A₂B₂-...-AₙBₙ)/(A₁²+A₂²+...+Aₙ²)时，f(t)取得最小值。
将t代入f(t)，得到f(t)的最小值为(A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ)²/(A₁²+A₂²+...+Aₙ²)。
而f(t)>=0，即(A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ)²≥0。
结合以上两个不等式可以得到(A₁B₁+A₂B₂+...+AₙBₙ)²≤(A₁²+A₂²+...+Aₙ²)(B₁²+B₂²+...+Bₙ²)。
柯西不等式证明过程
柯西不等式证明过程一、介绍柯西不等式是线性代数中一条重要的不等式，它描述了欧几里得空间中任意两个向量内积的上界。
在本文中，我们将详细探讨柯西不等式的证明过程。
二、柯西不等式的陈述柯西不等式可以用如下方式来陈述：对于给定的n维向量a和b，它们的内积满足以下不等式：｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜其中，a·b表示向量a和向量b的内积；｜a｜表示向量a的模。
三、证明过程为了证明柯西不等式，我们将使用数学归纳法。
假设柯西不等式对于n-1维向量是成立的，即对于任意n-1维向量a和b，有｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜。
我们要证明对于n维向量也成立。
3.1 归纳起始首先，我们来证明当n=2时柯西不等式成立。
设a=(a1, a2)和b=(b1, b2)为二维向量，它们的内积为a·b=a1b1+a2b2，而两个向量的模分别为｜a｜=√(a1^2 + a22)和｜b｜=√(b12 + b2^2)。
那么柯西不等式变为：｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜⇒|a1b1+a2b2| ≤ √(a1^2 + a22)√(b12 + b2^2)我们可以通过平方的方式来证明该不等式。
首先，假设a1≠0，那么可以将不等式两边平方，得到：(a1b1+a2b2)^2 ≤ (a1^2 + a22)(b12 + b2^2)简化上式得到： a12b22 - 2a1b1a2b2 + a22b12 ≤ a12b22 + a22b12上式中左右两边都有a12b22和a22b12，所以将它们约去，得到： - 2a1b1a2b2 ≤ 0上式显然成立。
如果a1=0，那么a·b=0，任何不等式都成立。
所以综上所述，当n=2时柯西不等式成立。
3.2 归纳假设我们假设当n=k时柯西不等式成立，即对于k维向量a和b，有｜a·b｜≤ ｜a｜｜b｜。
3.3 归纳步骤现在，我们要证明当n=k+1时柯西不等式也成立。
设a=(a1, a2, …, ak, ak+1)和b=(b1, b2, …, bk, bk+1)为k+1维向量，它们的内积为a·b=a1b1+a2b2+…+akbk+ak+1bk+1，而两个向量的模分别为｜a｜=√(a1^2 +a2^2 + … + ak^2 + ak+12)和｜b｜=√(b12 + b2^2 + … + bk^2 + bk+1^2)。
证明柯西施瓦茨不等式
证明柯西施瓦茨不等式要证明柯西施瓦茨不等式，需要用到向量的内积以及向量的长度。
柯西施瓦茨不等式表述如下：对于任意两个n维向量a和b，有|a · b| ≤ ||a|| ||b||，其中，|a · b|表示向量a和b的内积的绝对值，||a||表示向量a的长度，||b||表示向量b的长度。
我们可以通过以下步骤来证明柯西施瓦茨不等式：1. 首先，我们可以假设a和b不同时为零向量。
如果a或b为零向量，显然柯西施瓦茨不等式成立。
2. 我们定义一个关于t的函数f(t) = ||a + tb||²，其中，t为实数。
3. 我们可以根据f(t)的定义展开计算，得到 f(t) = ||a||² + 2t(a · b) + t²||b||²。
4. 由于t² ≥ 0，所以函数f(t)的二次项系数为非负数。
5. 因此，f(t)的图像为抛物线向上开口的函数图像。
6. 根据二次函数的性质，我们知道f(t)≥0，即对于所有的t，有f(t) = ||a||² + 2t(a · b) + t²||b||² ≥ 0。
7. 如果我们将f(t)看作关于t的一元二次方程，那么它的判别式必须小于等于零，即 (2(a · b))² - 4||a||²||b||² ≤ 0。
8. 化简判别式，我们得到 (a · b)² - ||a||²||b||² ≤ 0。
9. 将判别式按照平方差公式展开，我们得到(a · b)² ≤ ||a||²||b||²，即|a · b| ≤ ||a|| ||b||。
10. 因此，我们证明了柯西施瓦茨不等式。
综上所述，我们证明了柯西施瓦茨不等式。