重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题【含答案】
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max ()(2)2ln 22h x h =-=-． 故答案为：2ln 22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置） 17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点.如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足45PBA ∠=︒，2PA =.（1）求PAC的面积；（2）求PB 的长度.【答案】（13；（231. 【解析】 【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ︒∠=，30PAC ︒∠=，可得在PAC ∆中，30PCA ︒∠=，可得2PA PC ==，利用三角形的面积公式即可求解PAC ∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin 45︒，sin15︒的值，在PAC ∆中，由正弦定理可得PB 的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒. 在PAC ∆中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC ==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333n n n n a n n a n -+=+-=⇒=+. （2）由已知0121335373(21)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3n n S n =⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n n n S n --=⨯++++-+，即()103132332(21)32313n n n nS n n ---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3n n S n =⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC ，CD 的中点分别为E ，F ，点G 在线段PA 上，如图.（1）证明：EF GC ⊥；（2）当//BG 平面PEF 时，求直线GC 和平面PEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）35. 【解析】 【分析】 （1）设ACBD O =，由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，得到PO ⊥EF ，再由ABCD 是正方形结合EF 为△BCD 的中位线，可得EF ⊥AC ，得到EF ⊥平面PAC ，进一步得到EF ⊥GC ； （2）分别以PB ，OC ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出A ，P ，E ，F 的坐标，设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)G λλ--，设平面PEF 的一个法向量为(,,)m a b c =，求得(0,2,1)m =，结合BG ∥平面PEF ，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x= 由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=， 只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷及答案
2021届重庆一中高三上学期第一次月考数学试卷★祝考试顺利★(含答案)本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟一、单项选择题。
本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y |y =ln (1−x )} , B = {y |y =√4−2x },则 A ∩B= ( )A. [0,2)B. (0,2)C. [0,2]D. [0,1)2.a,b ∈(0,+∞), A =√a +√b , B =√a +b ,则 A,B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A ≤BD. A ≥ B3.已知直线 l 是曲线 y =√x +2x 的切线,则 l 的方程不可能是A.5x −2y +1=OB.4x −2y +1=OC.13x −6y +9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。
一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成,设扇形的面积为S 1 ,画面中剩余部分的面积为S 2,当 S 1 与S 2的比值为√5−12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A.(3−√5)πB. (√5−1)πC. (√5+1)πD. (√5−2)π 5. 若函数f (x )={a x ,2<x ≤a log a (x −2),x >a(其中a >0,且a ≠1)存在零点,则实数 a 的取值范围是 A.(12,1)U (1,3) B.(1,3] C.(2,3) D.(2,3]6. 己知0<ω≤2,函数f (x )=sin (ωx )−√3cos (ωx ),对任意x ∈R ,都有f (π3−x)=−f (x ),则 ω 的值为( )A. 12B. 1C.32D. 27. 函数f (x )=2cos x +sin 2x 的一个个单调递减区间是( )A.(π4,π2)B.(0,π6)C.(π2,π)D. (5π6,π)8.设函数 f (x )在 R 上存在导数f ′(x ),对任意的 x ∈R ,有f (x )+f (−x )=2cos x ,且在[0,+∞)上有f′(x)>−sin x ,则不等式f(x)−f(π2−x)≥cos x−sin x的解集是A.(−∞,π4] B.[π4,+∞) C.(−∞,π6] D.[π6,+∞)二、多项选择题。
【新高考精品解析】重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题及参考答案
重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、单选题：共8题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知R C A B ⋂=Φ（）,则下面选项中一定成立的是A. A B A ⋂=B. A B B ⋂=C.A B ⋂=ΦD.A B R ⋃= 2．“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件3．某同学掷骰子4次，并记录了每次骰子出现的点数，得出平均数为2，方差为12的统计结果，则下列点数中一定不出现的是 A ．1B ．2C ．3D ．54．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”……，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”……，以此类推．今年是辛丑年，也是重庆一中建校90周年，则重庆一中建校的那一年是A ．壬酉年B ．壬戊年C ． 辛酉年D ．辛未年5．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点为F ，点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为12a ，则双曲线C 的渐近线方程为A ．12y x =±B ．2y x =±C ．4y x =±D ．14y x =±6．已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，D 为BC 的中点，点E 在边AC 上，且3AC AE =，设AD 与BE 交于点P ，则BP BC ⋅=A ．4B ．6C ．8D ．9 7．已知e 是自然对数的底数，关于x 的方程2x ex -=有两个不同的解1212,)x x x x <，则A ．121,3x x ><B ．121,3x x <>C ．124x x +>D ．212x x e > 8．已知n N +∈,若数列{}n a 的前n 项和是122nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()2log n n b a =--，设12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+，当且仅当5n ≥时，不等式n T t ≥成立，则实数t 的范围为 A ．4556⎛⎤ ⎥⎝⎦， B ．491log 23⎛⎤-∞+ ⎥ ⎝⎦， C ．5,6⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．449931log 2log 2103⎛⎤++ ⎥ ⎝⎦，二、多选题：共4题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知平面α和两条不同的直线,m n ，下面的条件中一定可以推出m n ⊥的是A ．,//m n αα⊥B ．,m n αα⊥⊥C ．,m n αα⊂⊥D ．//,//m n αα10．已知1F ，2F 是椭圆22:1925x y C +=的两个焦点，过1F 的斜率存在且不为0的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，P AB 是的中点,O 为坐标原点，则下列说法正确的是A ．椭圆C 的离心率为35B ．存在点A 使得12AF AF ⊥C ．2212,8AF BF AB +==若则D ．OP 与AB 的斜率满足925op AB k k ⋅=-11．已知0a b >>，2a b +=，则Aa 的最大值是94B ．222a b ++的最小值是8C ．sin 2a b +<D ．ln 1b a +>12．已知2()2cos 10,0,24f x x ωπφωφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+->∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，具有下面三个性质：①将()f x 的图像右移π个单位得到的图像与原图像重合；②5,()12x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭；③()f x 在5012x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是A.()f x 在04x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时单调递减 B.91()()()483162f f f πππ++=C.将()f x 的图象左移24π个单位长度后得到的图象关于原点对称D.若()g x 与()f x 图像关于3x π=对称，则当223x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()g x 的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 2α=_______. 14．已知()()()()65601563111x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则4a =_______. 15．设复数z 满足22z z i =--，则z 的最小值为______.16．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -,,E F 分别为棱11AB A D 与上的点，且EF =,则EF 的中点P 的轨迹为L ,则L 的长度为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，59a =，10100S = ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若________，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 在①(1)n n n b a =-⋅，②n b =，③+1n n n b a a =⋅这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18. 中国福利彩票双色球游戏规则是由中华人民共和国财政部制定的规则，是一种联合发行的“乐透型”福利彩票. “双色球”彩票投注区分为红色球号码区和蓝色球号码区， “双色球”每注投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成，红色球号码从1—33中选择;蓝色球号码从1—16中选择.“双色球”奖级设置分为高等奖和低等奖,一等奖和二等奖为高等奖，三至六等奖为低等奖. “双色球”彩票以投注者所选单注投注号码与当期开出中奖号码相符的球色和个数确定中奖等级:一等奖:7个号码相符(6个红色球号码和1个蓝色球号码)(红色球号码顺序不限，下同)； 二等奖:6个红色球号码相符;三等奖:5个红色球号码和1个蓝色球号码相符；四等奖:5个红色球号码，或4个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 五等奖:4个红色球号码，或3个红色球号码和1个蓝色球号码相符； 六等奖:1个蓝色球号码相符(有无红色球号码相符均可). （1）求中三等奖的概率（结果用a 表示）；（2）小王买了一注彩票，在已知小王中了高等奖的条件下，求小王中二等奖的概率.参考数据：613316C C a =19. 如图，四棱锥P ABCD -中，//,,2,4AB CD BC CD BC CD PD AB ⊥====,侧面PAB 是以AB 为斜边的等腰直角三角形． （1）求证：CD PD ⊥；（2）作出平面PAD 与平面PBC 的交线m ,并求直线m 与平面PAB 所成角的大小.20. 已知锐角ABC ∆的面积为S ,角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足22()b c a =+-.（1）求角A 的大小；（2）若a AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的取值范围.21. 过点A （-1,0)的直线l 与抛物线:C 24y x =交于P Q 、两点.（1）求线段PQ 的中点B 的轨迹方程；（2）抛物线C 的焦点为F ,若0120PFQ ∠≤,求直线l 的斜率的取值范围.22. 已知 21()ln ,()x f x x x g x e -=-=.（1）求()f x 过点(0,0)的切线方程；（2）正实数,a b 满足()()2()30f a f b g a b ab +-++=，求证：1a b +>.A重庆一中高2021届高三下期第三次月考数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.【答案】B 【解析】因为()R C A B φ=，所以B A ⊆，故A B B =,所以选B.2.【答案】C 【解析】因为33(2)(2)22a b a b a b ->-⇔->-⇔>，而lg lg 0a b a b >⇔>>，所以“33(2)(2)a b ->-”是“lg lg a b >”的必要不充分条件． 3.【答案】D 【解析】记4次出现的点数分别为1x ，2x ，3x ，4x ，则依题意有1234428x x x x +++=⨯=，222212341(2)(2)(2)(2)422x x x x -+-+-+-=⨯=，所以2(2)2i x -≤，1i =，2，3，4，即2i x -22i x ≤ 又{}1,2,3,4,5,6i x ∈，所以13i x ≤≤，1i =，2，3，4，所以点数5一定不出现，故选D ． 4.【答案】D 【解析】由题知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，则90=910⨯，90=712+6⨯， 因为2021年为辛丑年，则90年前的天干为“辛”，地支往前数6个，为“未”， 所以90年前为辛未年，故选D. 5.【答案】A 【解析】由题知，左焦点为(0)F c ，，其中一条渐近线为by x a=，即0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离为12a =222c b a =+，所以12a b =，即12b a =，故选A.6.【答案】C 【解析】法一：投影法依题意可知AD BC ⊥，且2BD =，4BC =根据向量数量积的几何意义可知()cos 248BP BC BC BP PBC BD BC ⋅=∠==⨯=．法二：坐标法如上图（右），以D 为坐标原点，分别以BC 、DA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xDy ，则(2,0)B -，(2,0)C ，(0,A ，(0,0)D ，23E ⎛ ⎝⎭，所以3223BEk ==+):2BE y x =+，令0x =，得y =(P ，所以(BP =，(4,0)BC =，所以2408BP BC ⋅=⨯=． 法三：基底法依题意可知3AC AE =，设AP xAB y AC =+，又1122AD AB AC =+， 因为//AP AD ，所以x y =①，又3AP xAB y AC xAB y AE =+=+，而点B ，P ，E 三点共线，所以31x y +=② 由①②可解得14x y ==，所以1144AP AB AC =+，所以1344BP AP AB AC AB =-=-， 又BC AC AB =-，所以()()2213134444BP BC AC AB AC AB AC AB AC AB ⎛⎫⋅=-⋅-=+-⋅ ⎪⎝⎭()221434444cos6084=+⨯-⨯⨯⨯︒=． 7.【答案】C 【解析】由2x ex -=，得2ln x x -=，在同一坐标系中作出函数2y x =-和ln y x =的图象，由图可知12x <，22x >，即222ln x x -=，112ln x x -=， 两式相减，得12214ln ln 0x x x x +-=->，即124x x +>，故选C8. 当n (n n +⨯log ⎧9.n α⊥，项，当直线m （不垂直）或者是异面的（不垂直）AC.10.BC 【解析】选项D ，设1112(),()A x ,y B x ,y ，则1212()22x x y y P ,++, 2211222219251925x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，②-①得：222221210925x x y y --+=， 即21212121()()()()0925x x x x y y y y +-+-+=所以21212121()()25()()9y y y y x x x x -+=--+，即259ABOP k k =-，所以D 错误； 11.【答案】AC 【解析】22a b b =-=-+219)24=-+，所以当17,44b a ==a +取得最大值94，故A 正确；2228a b ++=≥，当且仅当222a b +=即2a b =+时等号成立，此时由2a b +=解得2,0a b ==不合题意，故B 不正确；由题意得1,01a b ><<，此时sin b b <，所以sin a b +a <+b 2=，故C 正确；ln 2ln b a a a +=-+，令()2ln (12)f a a a a =-+<<，则1()1f a a'=-， 当1a >时，()0f a '<，函数()f a 在区间(1,2)上单调递减，()(1)1f a f <=，所以ln 1b a +<，故D 不正确．所以正确答案为：AC12.【答案】BCD 【解析】()2()2cos 1=cos 22f x x x ωϕωϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭,由①可得2kT k πω=⇒=,数形结合及性质②③综合可得,35412T T π<<,联立2k ω=,解得=4ω,即()()=cos 42f x x ϕ+,即5112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,即425212ϕππ⨯+=,化简得6πϕ=.所以()cos(4)3f x x π=+.易得A 错误, 55315171cos +cos cos cos cos 12312122122948316f f f ππππππππ+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭+=⎝,故B 正确; +cos(4())cos(4)sin 4242432f x x x x ππππ⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭,故C 正确;因为在函数()g x 中,2,23x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()f x 的定义域为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故()f x 的值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,即为()g x 的值域，故D 正确.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】2425-【解析】sin()4πααα+==，1sin cos 5αα∴+=， 两边平方得： 11+sin 225α=，所以24sin 225α=-.14.【答案】60【解析】左右两边同时求四阶导数，得：22456360(3)24120(1)360(1)x a a x a x +=++++. 令1x =-，得24360224a ⨯=，解得460a =. 15.令复数z x yi =+20x y +-=，即复数z 在复平面上对应的点Z 在直线20x y +-=上，那么z 的最小值即为OZ 的最小值，也就是点O 到直线20x y +-=的距离d ==16.【解析】 易知1AA 为线段AB 和1A D 的公垂线，过线段1AA 的中点O 作平面α使1AA α⊥，M 点为点F 在平面α 上的投影，N 点为E 点在平面α的投影，即线段EF 在平面α的投影为线段MN ，此时112FM EN AA ==； 因此，平面α与线段EF 的交点即为点EF 的中点P ，并且点P 也是线段MN 的中点。
2021年重庆一中高考数学三诊试卷
2021年重庆一中高考数学三诊试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知sin（）＝，则cosα＝（）A．B．C．D．2．（5分）已知A＝{x|2x＜8，x∈N}，且∅≠B⊆A，则满足条件的集合B有（）A．6个B．7个C．8个D．15个3．（5分）若向量＝（2k﹣1，k）与向量＝（4，1）共线，则＝（）A．0B．4C．D．4．（5分）已知（1﹣x）5+（1+x）7＝a0﹣a1x+a2x2﹣a3x3+a4x4﹣a5x5+a6x6﹣a7x7，则a1+a3+a5+a7的值为（）A．24B．﹣48C．﹣32D．725．（5分）2021年寒假，重庆一中书院“云”课堂为了解决孩子们在平时学习中的困惑、遗漏等，各个学科为孩子们量身定制了各重点章节的微课．其中高三年级数学学科安排了A，B，C三位老师录制“数列”、“三角函数”、“立体几何”、“概率统计”、“解析几何”、“函数与导数”6个章节的微课，每位老师录制两个章节，其中A老师不录制“函数与导数”，B老师不录制“三角函数”，则安排录制微课的情况一共有（）A．30种B．36种C．42种D．48种6．（5分）雷达是利用电磁波探测目标的电子设备．电磁波在大气中大致沿直线传播．受地球表面曲率的影响，雷达所能发现目标的最大直视距离L＝＝（如图），其中h1为雷达天线架设高度，h2为探测目标高度，R为地球半径．考虑到电磁波的弯曲、折射等因素，R等效取8490km，故R远大于h1，h2．假设某探测目标高度为25m，为保护航母的安全，须在直视距离412km外探测到目标，并发出预警，则舰载预警机的巡航高度至少约为（）（参考数据：≈4.12）A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m7．（5分）已知点A（1，0），B（﹣1，0），若圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m＝0上有且仅有一点P，使得＝0，则实数m的值为（）A．﹣11B．9C．﹣9或11D．9或﹣118．（5分）已知正实数a，b满足b（+ln），则2a+b的最小值为（）A．2B．4C．2e D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（5分）若复数z＝3﹣i，其共轭复数为，则（）A．z的虚部为﹣iB．z•＝10C．在复平面上对应的点在第四象限D．＝i10．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中所有正确的命题是（）A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥βC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n11．（5分）已知等比数列{a n}首项a1＞1，公比为q，前n项和为S n，前n项积为T n，函数f（x）＝x（x+a1）（x+a2）…（x+a7），若f′（0）＝1，则（）A．{lga n}为单调递增的等差数列B．0＜q＜1C．为单调递增的等比数列D．使得T n＞1成立的n的最大值为612．（5分）已知直线l：2kx﹣2y﹣kp＝0与抛物线C：y2＝2px（p＞0）相交于A，B两点，点M（﹣1，﹣1）是抛物线C的准线与以AB为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（）A．p＝2B．k＝﹣2C．|AB|＝5D．△MAB的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（﹣x）+f（x）＝0，且当x＞0时，f（x）＝，则f[f（）]的值为．14．（5分）袋中有形状、大小都相同的5只球，其中1只白球，2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．15．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）＝xe x，且f（0）＝0，则f（x）的极大值为．16．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧棱AA1＝t（t＞4），点E 是BC的中点，点P是侧面ABB1A1内的动点（包括四条边上的点），且满足tan∠APD＝4tan∠EPB，则四棱锥P﹣ABED的体积的最大值是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①f（x）＝2sin cos﹣2cos2+1，②f（x）＝2sin（）cos+1，③f（x）＝（sin cos）2﹣2cos2这三个条件中任选一个，填在横线上，并作出解答．问题：已知函数f（x）的解析式为_____．（1）若在△ABC中，f（A）＝，AB＝，AC＝1，D为BC的中点，求AD的长；（2）若g（x）＝f（π），ω＞0，当x时，g（x）的最大值为，求ω的取值范围．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足﹣＝，a1＝1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项积为T n，若对任意的n∈N*，t≤4T n恒成立，求实数t的最大值．19．随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．中华技术有限公司拟对“麒麟”于机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.53837.56666当0＜x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：：模型②：﹣14.4；当x＞17时，确定y与x满足的线性回归方程为．（1）根据下列表格中的数据，比较当0＜x≤17时模型①、②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益．回归模型模型①模型②回归方程﹣14.4182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数R2＝1﹣≈4.1）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；（附：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式＝＝；a＝）（3）科技升级后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布N（0.52，0012）．公司对科技升级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过50%，不予奖励：若芯片的效率超过50%但不超过53%，每部芯片奖励2元：若芯片的效率超过53%，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励，求E（Y）（精确到0.01）．（附：若随机变量X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545）20．已知四棱柱ABCD﹣A'B'C'D'中，底面ABCD为菱形，AB＝2，AA'＝4，∠BAD＝60°，E为BC中点，C'在平面ABCD上的投影H为直线AE与DC的交点．（1）求证：BD⊥A'H；（2）求二面角D'﹣BB'﹣C的正弦值．21．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣1，0），F2（1，0），点A（0，b），若△AF1F2的内切圆的半径与外接圆的半径的比是1：2．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（﹣1，），过P作斜率互为相反数的两直线l1、l2分别与椭圆交于M，N两点（M，N两点位于x轴下方），求三角形PMN的面积取得最大值时的直线MN的方程．22．已知函数f（x）＝，g（x）＝xln（x+1）．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明：x＞0时，f（x）•g（x）＞x2；（3）设G（x）＝a（xf（x）+1）+cos x在区间（0，π]内有不相等的两个零点，求a的范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．B；3．D；4．B；5．C；6．D；7．D；8．B；二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．BD；10．AD；11．BCD；12．ABC；三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．﹣6；14．；15．2e﹣2；16．；。
重庆市第一中学校2021届高三3月月考数学(理)试题
19．如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，底面 为菱形， 为 的中点， 分别线段 ， 上一点， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．已知椭圆 的左.右焦点分别为 ， 为坐标原点.
（1）若斜率为 的直线 交椭圆 于点 ，若线段 的中点为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；
∴q3＝ 8，∴q=2，
∴a2＝1 ．
故选B．
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的应用，比较基础．
4．B
【解析】
【分析】
根据三视图可判断几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，运用球与圆锥的体积公式计算即可．
【详解】
∵几何体的三视图可得出几何体为半球的内部挖空了一个圆锥，如图：
∴该几何体的体积为 π 23 π×22×2＝ = ，
15． 的内角 的对边分别为 ，已知 ， ， _____.
16．直线 与圆 相交于两点 ，若 ， 为圆 上任意一点，则 的取值范围是______.
三、解答题
17．已知数列 的前 项和 满足： ，
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
18．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据(单位: ).根据这100个样本数据，制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图(如图所示).
3．实数数列 为等比数列，则 等于（ ）
A． B．4C．2D． 或4
4．某几何体的三视图如图所示（图中半圆.圆的半径均为2），则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的 分别为15，18，则输出的 为（ ）
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题(解析版)
2021届重庆市第一中学校高三上学期第三次月考数学试题一、单选题1．复数z 满足21iz i=-，则复数z 的虚部为（）A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简211ii i=-+-，再利用复数的代数形式求出结果.【详解】解：∵()()()()2121211112i i i i i z i i i i ++====-+--+，则复数z 的虚部为1．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算.复数的除法运算关键是分母“实数化”，其一般步骤如下：(1)分子、分母同时乘分母的共轭复数；(2)对分子、分母分别进行乘法运算；(3)整理、化简成实部、虚部分开的标准形式．2．已知集合{}22,A xx x Z =<∈∣，则A 的真子集共有（）个A ．3B ．4C ．6D ．7【答案】D【分析】写出集合{1,0,1}A =-，即可确定真子集的个数.【详解】因为{}22,{1,0,1}A xx x Z =<∈=-∣，所以其真子集个数为3217-=.故选：D.【点睛】本题考查集合的真子集个数问题，属于简单题.3．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（）A ．10πB ．12πC ．14πD ．16π【答案】B【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：14π48π2⨯⨯=，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选B ．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（）倍.（当||x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.27B ．1.26C ．1.23D ．1.22【答案】B【分析】把已知数据代入公式计算12E E ．【详解】由题意211 1.25 2.5(lg lg )E E -=-，12lg0.1E E =,∴0.1212101 2.30.1 2.70.1 1.257 1.26E E =≈+⨯+⨯=≈．故选：B ．【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．5．向量,a b 满足||1a = ，a 与b 的夹角为3π，则||a b - 的取值范围为（）A ．[1,)+∞B ．[0,)+∞C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,2⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】D【分析】把||a b -用数量积表示后结合函数的性质得出结论．【详解】22222||()2121cos 3a b a b a a b b b b π-=-=-⋅+=-⨯⨯+ 21b b -+= 2134423b ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭- ，所以3||2a b -≥ ．1||2b = 时取得最小值．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量的模，解题关键是把模用向量的数量积表示，然后结合二次函数性质得出结论．6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥面,ABC O 为ABC ∆中的一点，,PA PB PB PC ⊥⊥，PC PA ⊥，则点O 为ABC ∆的（）A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心【答案】D【分析】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，可得BC ⊥PA ，由PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，PO ⊥BC ，可得BC ⊥AE ，同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．故O 是△ABC 的垂心．【详解】连接AO 并延长交BC 于一点E ，连接PO ，由于PA ，PB ，PC 两两垂直可以得到PA ⊥面PBC ，而BC ⊂面PBC ，∴BC ⊥PA ，∵PO ⊥平面ABC 于O ，BC ⊂面ABC ，∴PO ⊥BC ，∴BC ⊥平面APE ，∵AE ⊂面APE ，∴BC ⊥AE ；同理可以证明CO ⊥AB ，又BO ⊥AC ．∴O 是△ABC 的垂心．故选D ．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7．设sin5a π=，b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b<<D ．c b a<<【答案】C【分析】借助中间量1和12比较大小即可.【详解】解：由对数函数y x =在()0,∞+单调递增的性质得：1b =>=，由指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 单调递减的性质得：2413311142212c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=<=，由三角函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的性质得1sin sin 562a ππ=>=.所以c ab <<.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于借助中间量1和12，尤其在比较a 与c 的大小时，将c 变形得24331142c ⎛⎫⎛⎫= ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭，进而与12比较大小是重中之核心步骤.8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且BA BC ==，2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】由题意分析知三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O P '⊥面ABC ，P 在大于半球的的球面上，根据棱锥体积公式求得||O P '，进而应用勾股定理求外接球的半径.【详解】由题意知：AC 中点O '为面ABC 外接圆圆心，若外接球球心为O ，半径为R ，三棱锥P ABC -体积的最大时，P ，O ，O '共线且O 在P ，O '之间，∴1||33P ABC ABC V S O P -'=⋅⋅= ，1||||32ABC S BA BC =⋅⋅= ，即||3O P '=，||||32AC O C '==，所以()22222'|||'|33O C OC OO R R =-=--=，解得2R =，故选：A【点睛】关键点点睛：理解三棱锥P ABC -体积的最大时P 的位置及与球心、底面外接圆圆心的关系，结合棱锥体积公式、勾股定理求球体半径.二、多选题9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（）A ．若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβB ．若,m n m α⊂⊥，则n α⊥C ．若,m n αα^Ì，则m n ⊥D ．若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n【答案】ABD【分析】根据空间线、面关系，结合空间关系相关图例以及线线、线面、面面间的平行、垂直判定与性质，即可知选项的正误.【详解】A ：,,//m n m n αβ⊂⊂，α、β不一定平行，错误.B ：,m n m α⊂⊥，n 不一定垂直于α，错误.C ：由线面垂直的性质：,m n αα^Ì，则必有m n ⊥，正确.D ：//,,m n αβαβ⊂⊂，m 、n 不一定平行，错误.故选：ABD10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．212log y x =C ．121=+y x D ．2log sin y x=【答案】ABC【分析】根据复合函数的单调性判断确定选项中各函数是否为减函数即可.【详解】A ：1(2t y =为减函数，||t x =在(0,1)上为增函数，所以||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭为减函数；B ：12log y t =为减函数，2t x =在(0,1)上为增函数，所以212log y x =为减函数；C ：1y t =为减函数，21t x =+在(0,1)上为增函数，所以121=+y x 为减函数；D ：2log y t =为增函数，sin t x =在(0,1)上为增函数，所以2log sin y x =为增函数；故选：ABC【点睛】结论点睛：对于复合函数的单调性有如下结论1、内外层函数同增或同减为增函数；2、内外层函数一增一减为减函数；11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭【答案】AD 【分析】令1262x k πππ+=+得到对称轴，即可判断A ；根据平移变换知识可判断B ；求出其单调增区间即可判断C ；利用配角法即可判断D.【详解】对于A ，令1262x k πππ+=+()k ∈Z ，解得22()3x k k Z ππ=+∈，当1k =时，得83x π=，故A 正确；对于B ，将函数()f x 的图像向右平移3π个单位，得112sin[()]2sin 2362y x x ππ=-+=，故B 错误；对于C ，令122()2262k x k k Z πππππ-+<+<+∈4244()33k x k k Z ππππ⇒-+<<+∈，故C 错误；对于D ，若12sin()26x a π+=，则11cos()sin[()]23223x x πππ-=+-=1sin()262ax π+=，故D 正确.故选：AD【点睛】方法点睛：函数()sin (0,0)y A x B A ωϕω=++>>的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，.(2)周期2π.T ω=(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴(4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()f x f x x'<，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+C ．()1122(1)x x f f <D ．()()()1212f x x f x f x <【答案】ABC【分析】构造()()f x g x x=，由()()f x f x x '<有()0g x '<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，根据各选项的不等式，结合()g x 的单调性即可判断正误.【详解】由()()f x f x x '<知：()()0xf x f x x'-<，令()()f x g x x =，则()()()20xf x f x g x x '-='<，∴()g x 在(0,)+∞上单调递减，即122112121212()()()()()g x g x x f x x f x x x x x x x --=<--当120x x ->时，2112()()x f x x f x <；当120x x -<时，2112()()x f x x f x >；A ：121()()g x x g x +<，122()()g x x g x +<有112112()()x f x x f x x x +<+，212212()()x f x x f x x x +<+，所以()()()1212f x x f x f x +<+；B:由上得21121212()()()()x f x x x x f x x x -<-成立，整理有()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+；C ：由121x >，所以111(2)(1)(2)(1)21x x x f f g g =<=，整理得()1122(1)x x f f <；D ：令121=x x 且121x x >>时，211x x =，12111()()()()g x g x f x f x =，12()(1)(1)g x x g f ==，有121()()g x x g x >，122()()g x x g x <，所以无法确定1212(),()()g x x g x g x 的大小.故选：ABC【点睛】思路点睛：由()()f x f x x '<形式得到()()0xf x f x x'-<，1、构造函数：()()f x g x x =，即()()()xf x f x g x x'-'=.2、确定单调性：由已知()0g x '<，即可知()g x 在(0,)+∞上单调递减.3、结合()g x 单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.三、填空题13．若一个球的体积为323π，则该球的表面积为_________．【答案】16π【解析】由题意，根据球的体积公式343V R π=，则343233R ππ=，解得2R =，又根据球的表面积公式24S R π=，所以该球的表面积为24216S ππ=⋅=.14．设向量a ，b 不平行，向量a b λ+ 与2a b + 平行，则实数λ=_________．【答案】12【解析】因为向量a b λ+ 与2a b + 平行，所以2a b k a b λ+=+ （），则{12,k k λ==，所以12λ=．【解析】向量共线．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________.【答案】228【分析】由题知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，从左到右第4个数字为228．【详解】观察数据可知，第n 行有n 个数字，奇数行从右至左由小变大，偶数行从左至右由小变大，则前20行共有20(120)123202102+++++==L 个数字，第21行最左端的数为21021231+=，所以第21行从左到右第4个数字为228．故答案为：228.【点睛】关键点睛：本题考查合情推理、数列的前n 项和，解题关键要善于观察发现数据特征，考查了学生的逻辑思维能力、数据处理能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．四、双空题16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为______；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立的最大正整数m =______.【答案】(1,)+∞4039【分析】根据已知求得1a 的表达式，由此求得q 的取值范围.根据12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立列不等式，化简求得m 的取值范围，从而求得最大正整数m .【详解】由已知201911201911a qa q =⇒=，结合101a <<知2019101q <<，解得1q >，故q 的取值范围为(1,)+∞.由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列.要使12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 成立则1212111m ma a a a a a +++≤+++ 即()111111111m m a q a q q q⎛⎫-⎪-⎝⎭≤--，将120191a q=代入整理得：40394039m q q m ≤⇒≤故最大正整数4039m =.故答案为：(1,)+∞；4039【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列前n 项和公式，属于中档题.五、解答题17．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,DAB AB CD DD C M ∠=︒====（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线 CM 与1DD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）14.【分析】（1）易得1111//,C D MA C D MA =，则四边形11AMC D 为平行四边形，得到11//C M D A ，再利用线面平行的判定定理证明.（2）由//CM DA ，将异面直线CM 与1DD 成的角，转化为 DA 与1DD 相交所成的角，然后在1ADD ，利用余弦定理求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC .又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =.如图所示：连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形.因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD .（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD中，1C M =，所以111,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211111cos 24AD DD AD ADD AD DD +-∠==-⋅，所以异面直线CM 和1DD 余弦值为14.【点睛】方法点睛：判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)，其关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．18．已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n *∈N ，都有1，1,n n a a +成等差数列.（1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-，请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）由条件得121n n a a +=-，利用等比数列定义可得证.（2）选条件①得(21)2nn b n =+，选条件②得1(1)()2nn b n =+⋅利用错位相减法可得解.【详解】（1）由条件可知112n n a a ++=，即121n n a a +=-，∴()1121n n a a +-=-，且112a -=∴{}1n a -是以112a -=为首项，2q =为公比的等比数列，∴12nn a -=，∴()21nn a n N*=+∈（2）条件①：()1(21)(21)2nn n b a n n =-+=+，123325272(21)2nn S n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 23412325272(21)2n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅利用错位相减法:123413222222222(21)2nn n S n +-=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅- 118(12)6(21)212n n n S n -+--=++⋅--化简得()12(21)2n n S n n N +*=-+∈条件②：11(1)()12nn n n b n a +==+⋅-231111234(1)2222n nS n =⋅+⋅+⋅+++⋅ 234111111234(1)22222n n S n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ 利用错位相减法:23411111111(1)222222n n n S n +=++++-+⋅ 1111[1()]11421(1)12212n n n S n -+-=+-+⋅-化简得()13(3)(2n n s n n N *=-+∈【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解;在写“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式19．已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B .且122B B =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥ ，求直线l 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）10x +-=，或10x -=.【分析】（1）由题干条件可得c 和b 的值，进而求出2a 的值，从而求出椭圆方程；（2）首先考虑斜率不存在的情况，不符合题意；当斜率存在时，联立方程，可得()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，又110F P FQ ⋅= ，向量坐标化可得()()()2221212111110k x x k x x k F P FQ ⋅--==++++uuu r uuu r ，代入1212,x x x x +⋅，化简，即可求出k 的取值，从而求出直线方程.【详解】解（1）由条件可知：1c =，又122B B =，所以1b =，则22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++，()()1111221,,1,F P x y F Q x y =+=+ ，∵110F P FQ ⋅= ，即()()()()()22212121212111110x x y y k x x k x x k +++=+--+++=，即()()()222222221411()102121k k kk k k k -+--++=++化简得：2201172k k =+-解得217,77k k ==±.故直线l的方程为10x +-=，或10x --=.【点睛】方法点睛：（1）将向量转化为坐标的关系；（2）联立直线和椭圆，求出两根之和，两根之积；（3）将两根之和和两根之积代入坐标关系中，解出k .20．已知()cossin 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .（1）求()f B 的取值范围；（2）当4a =，433b =，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积.【答案】（1）30,12⎛+ ⎝⎦；（2）833或433【分析】（1）利用公式对函数化简，根据B 角的范围，求函数值域.（2）由（1）求出B 的大小，利用正弦定理和三角形面积公式即可求出结果.【详解】（1）2()cossin sin cos 222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,12f B ⎛∈+ ⎝⎦（2）34()11,,23333f B B B ππππ⎛⎫⎛⎫=++=+∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，,326B B πππ∴+==，由正弦定理得：4343sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=()0,,3A A ππ∈∴=，或23A π=，若3A π=，则2C π=，183sin 23ABC S ab C ==若23π=A ，则6π=C，1sin 23==ABC S ab C 【点睛】本题考查了三角恒等变换、正弦定理和三角形面积公式等基本数学知识，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.21．在直三棱柱111ABC A B C -中，112,120,,AB AC AA BAC D D ==∠=分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交,AB AC 于点,M N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）155.【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明MN ⊥平面ADD 1A 1；又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【详解】（1）证明：∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴BC ⊥AD ，∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥BC ，∴MN ⊥AD ，∵AA 1⊥平面ABC,MN ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥MN ，∵AD,AA 1⊂平面ADD 1A 1，且AD∩AA 1=A ，∴MN ⊥平面ADD 1A 1∴，又MN ⊂平面A 1MN ，所以平面A 1MN ⊥平面ADD 1A 1；（2）设AA 1=1，如图：过A 1作A 1E ∥BC ，建立以A 1为坐标原点，A 1E ，A 1D 1，A 1A 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图：则A 1(0，0，0)，A(0，0，1)，∵P 是AD 的中点，∴M ，N 分别为AB ，AC 的中点．则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,122N ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则131,,122A M ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,0,1A A =，)NM = ，设平面AA 1M 的法向量为(),,m x y z=，则100m AM m A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得10220x y z z ++=⎨⎪=⎩,令1x =，则y =，则()1,m =，同理设平面A 1MN 的法向量为(),,n x y z=，则100n A M n NM ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得310220x y z ++=⎪⎨⎪=⎩，令2y =，则1z =-，则()0,2,1n =-，则()15cos ,5m n m n m n ⋅===-⋅，∵二面角A-A 1M-N 是锐二面角，∴二面角A-A 1M-N 的余弦值是155．【点睛】本题主要考查直线垂直的判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．22．已知21()(1)2xf x e ax b x =---.其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅.（1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值；（2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <，（ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>.【答案】（1）max ()1f x e =-；（2）（ⅰ）1b >；（ⅱ）证明见解析.【分析】（1）由题得2()4(1)x f x e x x =---，()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，由[1,2]x ∈，可得()0f x ''>，即()'f x 在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即()0f x '<，可知()f x 在[1,2]上单减，求得max ()(1)1f x f e ==-.（2）（ⅰ）利用两次求导可得(,ln )x a ∈-∞时，()'f x 单减；(ln ,)x a ∈+∞时，()'f x 单增，再由()f x 有两个极值点，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-恒成立，构造函数()ln g a a a a =-，利用导数求其最大值，可得实数b 的取值范围；（ⅱ）设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，求导可得()h x 在(,1)-∞单增，得到()(2)f x f x ''<-，可得()()112f x f x ''<-，()()122f x f x ''->，结合()'f x 在(1,)+∞上单增，可得()()122f x f x >-，得到()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-，构造22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >，再利用导数证明()2(1)M x M e >=，即可得到()()12f x f x e+>【详解】（1）由2,4a b ==得，2()4(1)x f x e x x =---，求导()24x f x e x '=--，()2x f x e ''=-，[1,2]x ∈ ，2[,]x e e e ∴∈，20x e ∴->，即()0f x ''>()f x '∴在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，即[1,2]x ∀∈，()0f x '<，()f x ∴在[1,2]上单减，max ()(1)1f x f e ∴==-.（2）（ⅰ）求导()x f x e ax b '=--，因为对任意0,()a f x >均有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个根，求二阶导()x f x e a ''=-，令()0f x ''=，得ln x a=当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，由()0f x '=有两个根12,x x ，知(ln )ln 0f a a a a b =--<'，即ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，求导()ln g a a '=-，令()0g a '=，得1a =，当(0,1)x ∈时，()0g a '>，()g a 单增；当(1,)x ∈+∞时，()0g a '<，()g a 单减，max (()1)1g g a =∴=，1b ∴>又0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫''-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭Q ，所以实数b 的取值范围是：1b >.（ⅱ）当a e =时，()x f x e ex b '=--，()x f x e e ''=-，令()0f x ''=，得1x =当(,1)x ∈-∞时，()0f x ''<，()'f x 单减；当(1,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()'f x 单增，又12,x x 是()0f x '=的两根，且12x x <，121,1x x <∴>，121x ∴->设()()(2),(1)h x f x f x x ''=--<，即22(2)2()2,(1)xxx xe ex b ee x b e e ex e x h x --⎡⎤=-=-------+<⎣⎦，则2()2220x x h x e e e e e -=+->-='()h x ∴在(,1)-∞单增，()(1)0h x h ∴<=，即()(2)f x f x ''<-又11,x <，()()112f x f x ''∴<-，()()122f x f x ''∴->又()f x ' 在(1,)+∞上单增，122x x ∴->，即1222x x x <-<，又()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x ∴>-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e-∴+>-+=+-+-令22()22x x M x e e ex ex e -=+-+-，(1)x >则2()22x x M x e e ex e -'=--+，2()20x x M x e e e -''=+-≥()M x '∴在(1,)+∞单增，且(1)0M '=，()0M x '∴>，故()M x 在(1,)+∞单增又21x > ，()2(1)M x M e ∴>=，即()()12f x f x e+>【点睛】方法点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，求极值，最值，以及证明不等式，证明不等式的方法：若证明()()f x g x <，(,)x a b ∈，可以构造函数()()()F x f x g x =－，如果()0F x '<，则()F x 在(,)a b 上是减函数，同时若()0F a ≤，由减函数的定义可知(,)x a b ∈时，有()0F x <，即证明了()()f x g x <，考查学生的函数与方程思想，化归与转化思想，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属于难题.。
《精编》重庆市高三数学上学期第三次月考试题 理 新人教A版.doc
重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学〔理〕试题2021.11数学试题共4页。
总分值150分。
考试时间120分钟。
本卷须知：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题(每题5分,共50分).{x N x U *∈=＜}6，集合{}{1,3},3,5A B ==，那么()B A C U ⋃等于( ) A.{}4,1 B.{}5,1 C.{}5,2D.{}4,22.等比数列{n a }中，128a a +=,2324a a +=，那么34a a +等于 〔 〕A.40B.623.命题“2,20x Z x x m ∃∈++≤〞的否认是( )A ．2,20x Z x x m ∃∈++> B ．不存在x Z ∈使220x x m ++> C ．2,20x Z x x m ∀∈++≤ D ．2,20x Z x x m ∀∈++> 4.定义在R 上的偶函数()f x ，对任意1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有1212()()0f x f x x x -<-,那么 ( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-5.数列｛n a ｝满足11a =，12()1()n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为正奇数为正偶数，那么其前6项之和是( )A.16B.20C.33D.1206.函数sin (0)y ax b a =+>的图象如以下列图，那么函数log ()a y x b =+的图象可能是〔 〕A ．B ． C. D.7．对任意实数x ,都有|1|||2x x a +++>，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A. 1a <-或 3a > B. 3a <-或 1a > C. 13a -<< D. 31a -<<,a b 是非零向量，且(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，那么a 与b 的夹角是〔 〕A.6π B.3π C.32π D.π659．设,,,a b c d R ∈，假设,1,a b 成等比数列，且,1,c d 成等差数列，那么以下不等式恒成立的是( )A. 2a b cd +≤B. 2a b cd +≥C. ||2a b cd +≤D. ||2a b cd +≥ 10. 正实数,a b 满足1a b +=，那么2112M a b =+++的整数局部是〔 〕 Ａ．1或2 Ｂ．2 Ｃ．2或3 Ｄ．3 二.填空题(每题5分,共25分). 11．数11+2i(i 是虚数单位)的实部是 12.在约束条件：x+2y ≤5，2x+y ≤4，x ≥0，y ≥0下，z=x+4y 的最大值是3cos()45πθ-=，(,)2πθπ∈，那么cos θ= ．1)(23++-=x x x x f 在点)21(，处的切线与函数2)(x x g =围成的封闭图形的面积等于_________；15.等差数列{}n a 首项为a ，公差为b ；等比数列{}n b 首项为b ，公比为a 。
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理(含解析)
重庆市一中2021届高三数学11月月考试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每个小题只有一个正确答案） 1.在平面直角坐标系中，点sin100,cos 0()20P ︒︒位于第（ ）象限. A. 一 B. 二C. 三D. 四【答案】D 【解析】 【分析】由钝角的正弦值大于0，再由诱导公式得0cos 200<，即可得到答案. 【详解】()sin1000,cos 200cos 18020cos 200︒︒︒︒︒>=+=-<，∴点()sin100,cos 200P ︒︒位于第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查三角函数值的符号、诱导公式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．2.设,,x y z ∈R ，条件p ：22xz yz >，条件q ：x y >，则p 是q 的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 【答案】A 【解析】 【分析】条件p ：22xz yz >，⇒条件q ：x y >；反之不成立：例如取0z =，则22xz yz =即可判断出．【详解】∵条件p ：22xz yz >⇒条件q ：x y >；反之，则不成立；例如取0z =，则22xz yz =． 则p 是q 的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，考查逻辑推理能力和运算求解能力.3.设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法中正确的是（ ） A. 若m α⊆，n β⊆，则m ，n 为异面直线 B. 若m α⊥，//n α，则m n ⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβD. 若αβ⊥，m α⊆，n β⊆，则m n ⊥ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中线、面的位置关系对每个选项一一判定，即可得到答案. 详解】对A ，若m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故A 错误；对B ，若m ⊥α，则m 垂直平面α内所有的直线，又n ∥α，所以m ⊥n ．故B 正确； 对C ，若m ∥α，m ∥β，则α，β可能相交，平行．故C 错误；对D ，若α⊥β，m ⊆α，n ⊆β，则m ，n 可能平行、相交、异面．故D 错误．故选：B ．【点睛】本题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力.4.已知正数a ，b 满足1a b +=，则9a bab+的最小值为（ ） A. 4B. 6C. 16D. 25【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得99191()a b a b ab b a b a +⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式即可求解． 【详解】正数,a b ，满足1a b +=，则991919()101016a b b a a b ab b a b a a b +⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当9b aa b =且1a b +=即13,44a b ==时取得最小值16． 故选：C ．【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． 5.设函数()1sin cos f x x x =+，则下列说法中正确的是（ ） A. ()f x 为奇函数 B. ()f x 为增函数C. ()f x 的最小正周期为2πD. ()f x 图象的一条对称轴为4πx =-【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的性质分别进行判断即可． 【详解】因为1()1sin cos 1sin 22f x x x x =+=+， 对A ，函数()f x 不关于原点对称，所以不为奇函数，故A 错误； 对B ，函数()f x 在R 上不具有单调性，故B 错误； 对C ，函数()f x 的周期22T ππ==，故C 错误； 利用排除法可得D 正确. 故选：D ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用倍角公式进行化简是解决本题的关键． 6.设正项等比数列{}n a 的前n 项之和为n S ，若563S a S =+，则{}n a 的公比q =（ ）B. 1【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式即可算出结果．【详解】∵等比数列{}n a 的各项为正数，0q ∴>，∵563S a S =+，∴536S S a -=，即：546a a a +=，∴541131a q a q a q +=，化简得：210q q --=，解得q =又∵0q >，∴q =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，求解时注意公比的范围，考查运算求解能力．7.已知集合M x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，232x N y y ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭，则M N ⋃=（ ）A. (0,1]B. 1,12⎛⎤⎥⎝⎦C. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D. (0,)+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合M 和N ，由此能求出M N ⋃．【详解】∵12210,log (21)0,x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩⇒集合1|12M x x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，∵323x+>,∴22||0323x N y y y y ⎧⎫⎧⎫===<<⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎩⎭， ∴{|01}(0,1]M x x ⋃=<=N ． 故选：A ．【点睛】本题考查并集的求法、不等式的求解、函数的定义域、值域等知识，考查运算求解能力．8.已知向量a ，b 满足||2a =，3b =，4a b +=，则||a b -=（ ）B.D. 3【答案】C 【解析】 【分析】对||4a b +=两边平方求出2a b ⋅的值，再求出2()a b -的值，从而求出||a b -的值． 【详解】∵||2a =，||3b =，180，∴222()213216a b a a b b a b +=+⋅+=+⋅=， ∴23a b ⋅=，∴222()213213310a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅=-=， ∴||10a b -=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力．9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图中的圆的半径均为2，则该几何体的体积为（ ）A. 8πB.28π3 C. π D. 7π6【答案】A 【解析】 【分析】由三视图可得几何体为34个球，根据球的体积公式可求得结果. 【详解】根据几何体的三视图知，该几何体是半径为2的球体，切去14个球后所剩余部分，如图所示∴该几何体的体积为3432834V ππ=⨯⨯=故选：A【点睛】本题考查球的体积的求解，关键是能够利用三视图准确还原几何体，属于基础题. 10.王老师是高三的班主任，为了在寒假更好的督促班上的学生完成学习作业，王老师特地组建了一个QQ 群，群的成员由学生、家长、老师共同组成.已知该QQ 群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该QQ 群人数的最小值为（ ） A. 20 B. 22 C. 26 D. 28【答案】B 【解析】 【分析】设教师人数为x ，由题意判断人数关系，求出x 的值后，即可求得答案． 【详解】设教师人数为x ， ∵家长人数多于教师人数， ∴家长人数≥1x +， ∵女学生人数多于家长人数， ∴女学生人数≥2x +， ∵男学生人数多于女学生人数， ∴男学生人数≥3x +， ∴总人数≥46x +，∵教师人数的两倍多于男学生人数， ∴23x x >+， ∴3x >，当4x =时，家长人数为5，女学生人数为6，男学生人数为7，满足题意，总人数为22． 故选：B ．【点睛】本题考查集合的应用问题，考查逻辑推理能力和运算求解能力.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 中点，F 在线段1DD 上.给出下列判断：①存在点F 使得1A C ⊥平面1B EF ；②在平面1111D C B A 内总存在与平面1B EF 平行的直线；③平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置无关；④三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关.其中正确判断的有（ ）A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】运用线面垂直的定义，结合反证法即可判断①；运用线面平行的判定定理，即可判断②；由二面角的平面角的定义，结合向量法即可判断③；由线面平行，结合三棱锥的体积公式可以判断④．【详解】对于①，假设存在F 使得1A C ⊥平面1B EF ，则1A C ⊥1B E ，又BC ⊥1B E ，BC ∩1A C ＝C ，∴1B E ⊥平面1A BC ，则1B E ⊥1A B ，这与1A B ⊥1AB 矛盾，所以①错误； 对于②，因为平面1B EF 与平面1111D C B A 相交，设交线为l ，则在平面1111D C B A 内与l 平行的直线平行于平面1B EF ，故②正确；对于③，以D 点为坐标原点，以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z 轴，建立空间坐标系，则平面ABCD 的法向量为(0,0,1)m =而平面1B EF 的法向量n ，随着F 位置变化，故平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；对于④，三棱锥1B B EF -的体积即为三棱锥1F BB E -，因为1DD ∥平面11ABB A ，所以，当F 在线段1DD 上移动时，F 到平面11ABB A 的距离不变，故三棱锥1B B EF -的体积与点F 的位置无关，即④正确． 故选：D ．【点睛】本题考查线面垂直和平行的判断，以及二面角的求法和三棱锥体积，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．12.已知函数()4cos f x x x π=-，等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，则189a a a ++=（ ）A. 6B. 3C.34D.32【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得函数在R 上单调递增，由()4cos f x x x π=-，可得1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=，即()()66334f a d f a d -++=，可得612a =．再利用等差数列的性质即可得出．【详解】∵函数()4cos f x x x π=-，'0(n )4si f x x ππ+=≥，∴()f x 在R 上单调递增，∴对任意实数t ，1142cos cos 4222f t f t t ππ⎛⎫⎛⎫-++=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∵等差数列{}n a 满足条件()()394f a f a +=， ∴391a a +=，∴612a =， ∵1891633(5)32a a a a d a ++=+==. 故选：D ．【点睛】本题考查函数的性质、等差数列的性质、三角函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13.实数x ，y 满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值为________.【答案】12 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,x y ，满足402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，作出可行域如图，可得(4,0)A ，化目标函数32z x y =+为322zy x =-+， 由图可知，当直线322zy x =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大， z 有最大值为342012z =⨯+⨯=．故答案为：12．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．14.大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上最古老的数列，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.其前11项依次是：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，60，则大衍数列的第41项为________. 【答案】840 【解析】 【分析】分析数列的奇数项，得出奇数项为222113151,,,222---⋯，根据此规律代入求出即可．【详解】奇数项为 222113151,,,222---⋯,根据此规律有：第41项为24118402-=，故答案为：840．【点睛】本题考查观察分析猜想归纳求数列的通项公式的方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题.15.已知正三棱锥的底面边长为________. 【答案】100π 【解析】 【分析】先画出图形，先根据正三棱锥的边长和体积求出正三棱锥的高，再根据正三棱锥的性质，确定外接球的球心在正三棱锥的高线上，利用勾股定理即可求出外接球的半径．【详解】如图，根据正三棱锥的性质有点P 在底面ABC 的投影为三角形ABC 的外心，设为D ， 其外接球的球心在PD 上，设为点O ，设外接球半径为r ，三角形ABC 的外接圆半径为R ，∵13V sh =，∴11322PD =⨯⨯， 所以8PD =， 由正弦定理有2sin ABR C=， 所以4AD R ==，在Rt ADO ∆中有，222AD OD AO +=， 所以2224(8)r r +-=解得=5r ， 所以外接球表面积24100S r ππ==， 故答案为：100π．【点睛】本题考查正三棱锥外接球半径的求法，需要用到球心的性质，考查空间想象能力和运算求解能力．16.设函数2(0)()(0)xe xf x xx ⎧≥=⎨<⎩，若方程(())f f x λ=恰有两个不相等的实根1x ，2x ，则12x x +的最大值为________.【答案】2ln 22- 【解析】 【分析】由题意，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，画出图象，显然()()22112x x e g x eg x eλ====，进而得到()12112ln x x x x +=+-，由此即可得解．【详解】当0x ≥时，()1xf x e=，则(())xe f f x e =；当0x <时，2()0f x x =>，则2(())x f f x e =，令2,0(),0xe x e x g x e x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则函数()g x λ=有两个不相等的实根12,x x ，即函数()y g x =与直线y λ=有且仅有两个交点，作出图象如图所示，由图象可知，e λ≥，11x ≤-，0x ≥，且()()22112x xe g x e g x e λ====， ∴221xx e =，则()212ln x x =-，∴()12112ln x x x x +=+-，令()2ln()h x x x =+-，1x ≤-，则2()1h x x'=+，令()0h x '=，解得2x =-， 显然，当(,2)x ∈-∞-时，函数()h x 为增函数， 当(2,1)x ∈--时，函数()h x 为减函数，∴max()(2)2ln22h x h=-=-．故答案为：2ln22-．【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想及数形结合思想，运算求解能力及逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，将解答过程填写在答题卡上的相应位置）17.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC而言，若其内部的点P满足120APB BPC CPA∠=∠=∠=︒，则称P为ABC的费马点.如图所示，在ABC中，已知45BAC∠=︒，设P为ABC的费马点，且满足45PBA∠=︒，2PA=.（1）求PAC的面积；（2）求PB的长度. 【答案】（13；（231. 【解析】【分析】（1）由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB︒∠=，30PAC︒∠=，可得在PAC∆中，30PCA︒∠=，可得2PA PC==，利用三角形的面积公式即可求解PAC∆的面积．（2）利用特殊角的三角函数值，两角差的正弦函数公式可求sin45︒，sin15︒的值，在PAC∆中，由正弦定理可得PB的值．【详解】（1）由已知1801204515PAB∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC∠=︒-︒=︒.在PAC∆中，1801203030PCA∠=︒-︒-︒=︒，故2PA PC==.所以PAC ∆的面积113sin 22322S PA PC PAC =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=. （2）在PAB △中，由正弦定理2sin15sin15sin 45sin 45PB PA PB ︒=⇒=︒︒︒（*）而()232162sin15sin 45302-︒=-=⨯-⨯=︒︒， 2sin 452=°代入（*）式得31PB =-.【点睛】本题考查三角形的内角和定理、三角形的面积公式、特殊角的三角函数值、两角差的正弦函数公式、正弦定理在解三角形中的综合应用，考查转化与化归思想、函数与方程思想．18.数列{}n a 满足1323nn n a a +=+⨯，13a =.（1）证明：3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，并求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项之和为n S .【答案】（1）证明见解析；（2）3nn S n =⋅.【解析】 【分析】（1）将等式两边同除以13n +，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求； （2）运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【详解】（1）由已知11111323223333333n n n n n n n n n n n a a a a a ++++++⨯==+⇒-=， 由定义知3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，且公差为23，首项为1113a =，故12211(1)(21)3333nnnna nn a n-+=+-=⇒=+.（2）由已知0121335373(21)3nnS n-=⨯+⨯+⨯+++，故1233335373(21)3nnS n=⨯+⨯+⨯+++，相减得：()01212332333(21)3n nnS n--=⨯++++-+，即()13132332(21)32313nn nnS n n---=⨯+⨯-+=-⋅-，所以3nnS n=⋅.【点睛】本题考查等差数列的定义和通项公式，等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．19.已知四棱锥P ABCD-的底面为正方形，且该四棱锥的每条棱长均为2，设BC，CD的中点分别为E，F，点G在线段PA上，如图.（1）证明：EF GC⊥；（2）当//BG平面PEF时，求直线GC和平面PEF所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】（1）设AC BD O=，由正棱锥的性质可知PO⊥平面ABCD，得到PO⊥EF，再由ABCD是正方形结合EF为△BCD的中位线，可得EF⊥AC，得到EF⊥平面PAC，进一步得到EF⊥GC；（2）分别以PB，OC，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出A，P，E，F的坐标，设(,,)G x y z，且PG PAλ=，其中01λ≤≤，求得(0,,1)Gλλ--，设平面PEF的一个法向量为(,,)m a b c=，求得(0,2,1)m=，结合BG∥平面PEF，利用数量积为0求得λ，进一步得到120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又(0,1,0)C ，求出直线GC 的法向量为(0,2,1)=-n ．设GC 和平面PEF 所成角为θ，再由sin |cos ,|GC m θ=<>求解．【详解】（1）证明：由已知P ABCD -为正四棱锥，设AC ，BD 交于点O ， 由正棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，所以PO EF ⊥，由于正方形ABCD 满足AC BD ⊥，EF 为BCD ∆的中位线，故//EF BD ，所以EF AC ⊥， 所以EF ⊥平面PAC ，而CG ⊆平面PAC ，所以EF GC ⊥. （2）分别以OB ，OC ，OP 为坐标轴建立如图坐标系，此时(0,1,0)A -，(0,0,1)P ，11,,022E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,,022F ⎛⎫-⎪⎝⎭. 设(,,)G x y z ，且PG PA λ=，其中01λ≤≤， 即(,,1)(0,1,1)(0,,1)x y z G λλλ-=--⇒--， 设平面PEF 的法向量为(,,)m a b c =， 由于11,,122EP ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，(1,0,0)EF =-， 由00m EP m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩解得(0,2,1)m =，由//BG 平面PEF 知0(1,,1)(0,2,1)130BG m BG m λλλ⊥⇒⋅=⇒---⋅=-=，解得13λ=，此时120,,33G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于(0,1,0)C ，故420,,33GC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以直线GC 的方向向量(0,2,1)=-n ， 设GC 和平面PEF 所成角为θ， 则003sin |cos ,|5||||0n m GC m n m θ⋅⨯=<>===⋅+.【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题． 20.已知函数()2ln f x x x =+.（1）经过点()0,2-作函数()f x 图象的切线，求切线的方程； （2）设函数()()()1xg x x e f x =--，求()g x 在(0,)+∞上的最小值.【答案】（1）32y x =-；（2）22ln 2-. 【解析】 【分析】（1）设切点坐标为()00,x y ，斜率()0k f x '=，利用点在曲线上和切线上，可得关于0,x k 的方程；（2）对()g x 求导，设出隐零点，根据单调性求出最小值，代入化简即可． 【详解】（1）由于2()1f x x'=+，设切点坐标为()00,x y ， 则0002ln y x x =+，切线斜率()0021k f x x '==+； 另一方面0000022ln 2y x x k x x +++==， 故0000002ln 221ln 013x x x x k x x +++=⇒=⇒=⇒=， 此时切点坐标为()1,1，所以切线方程为()131y x -=-，即32y x =-.（2）由已知()22ln xg x xe x x =--，故12()(1)21(1)xx g x x e x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由于(0,)x ∈+∞，故10x +>，由于2()xh x e x=-在(0,)+∞单调递增， 同时0lim ()x h x →=-∞，lim ()x h x →+∞=+∞，故存在00x >使得()00h x =， 且当()00,x x ∈时()0h x <， 当()0,x x ∈+∞时()0h x >， 所以当()00,x x ∈时()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时()0g x '>，即函数()g x 先减后增. 故()()0min 0000()2ln xg x g x x e x x ==-+.由于()0000000202ln ln 2x x h x e x e x x x =-=⇒=⇒+=， 所以min ()22ln 2g x =-.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性和最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.21.已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅的值； （2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．【答案】（1）6；（2）⎡⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，由该点在椭圆上得出22132y x =-，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出1122PF PF PF PF +⋅的值；（2）分直线l 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线l 的斜率不存在时，可求得122S S =，在直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，根据直线l 与圆222x y +=相切，得出()2221m k =+，并将直线l 的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将12S S 表示为k 的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.【详解】（1）由已知，())12,F F ，设(),P x y ，由12PF x ⎫===⎪⎪⎭，同理22PF x ⎫=⎪⎪⎭，可得21216222PF PF x x x ⎫⋅==-⎪⎪⎭，())2212,,3x y x y x PF y PF ⋅=--⋅-=+-．结合22163x y +=，得22132y x =-，故221212116622PF PF PF PF x x ⋅+⋅=-+=；（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =由对称性，不妨设x =，此时()(),,1,1,1,1ABC D -，故12221S S ==． 若直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+，=()2221m k =+，设()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 与椭圆方程联立， 得()222214260k x kmx m +++-=，由韦达定理得122421km x x k +=-+，21222621m x x k -=+．结合OC OD ==22221122113,322x y y x =-=-， 可知22221112221sin 112122sin 2OA OB AOBS OA OB x y x y S OC OD COD ⋅⋅∠==⋅=+⋅+⋅⋅∠()()2222121212121111313392222224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++=++-+ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭． 将根与系数的关系代入整理得：()()22222212221263618319221k m m k m S S k-+++-=++，结合()2221m k =+，得()4212221284479221S k k S k ++=++． 设2211t k =+≥，(]10,1u t=∈，则221222178818813291688162,2222S t t u u S t t t ⎡⎤+-=+=-++=-++∈⎢⎥⎣⎦． 12S S ∴的取值范围是322,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查直线与椭圆的综合问题的求解，涉及椭圆上点的坐标的应用，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积比值的取值范围的计算，考查计算能力，属于中等题. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 选修4-4：坐标系与参数方程 22.已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，（α为参数）.（1）若点22M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在曲线C 上，求m 的值；（2）过点()1,0P 的直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，求11||||PA PB +的取值范围. 【答案】（1）2±；（2）. 【解析】 【分析】（1）运用平方法和同角的平方关系，以及代入法，解方程可得所求值； （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立圆的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，计算可得所求范围． 【详解】（1）已知曲线C 的参数方程为sin cos sin cos x y αααα=+⎧⎨=-⎩，等价于2sin x y α=+，2cos x y α=-，由于22sin cos 1αα+=， 所以等价于2222()()4sin 4cos 4x y x y αα++-=+=. 整理得曲线C 的普通方程为222x y +=，将2M m ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入解得m =. （2）设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），与222x y +=联立得：22cos 10t t θ+⋅-=， 由韦达定理122cos t t θ+=-，121t t =-.由于1t ，2t 异号，故2112121111||||t t PA PB t t t t -+=+==将韦达定理代入，并结合2cos [0,1]θ∈，得11[2,||||PA PB +=. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化，考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，考查化简运算能力．选修4-5：不等式选讲23.已知正实数a ，b 满足()lg lg lg a b a b +=+.（1）证明：228a b +≥；（2）证明：()()2211254a b a b ++≥+. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由已知得ab a b =+，再利用基本不等式和不等式222a b ab +≥，即可证出228a b +≥；（2）用分析法，结合a b ab +=，分析出要证原不等式只需证()()4810ab ab -⋅-≥，因为4ab ≥，所以原不等式得证．【详解】证明：（1）由已知ab a b =+，均值不等式24ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥，由均值不等式222a b ab +≥，结合4ab ≥，可知228a b +≥. （2）欲证()()2211254a b a b ++≥+， 只需证()()()2241125a b a b ++≥+， 只需证()()()2224125ab a b a b ⎡⎤⎣≥⎦++++， 即证()()()2242125ab a b ab a b ⎡⎤++-+≥+⎣⎦， 结合a b ab +=，只需证()()2242125ab ab ab ab ⎡⎤+-+≥⎣⎦， 即()283340ab ab -+≥，即证()()4810ab ab -⋅-≥，ab ，从而原不等式得证.因为4【点睛】本题主要考查对数的运算性质，以及利用基本不等式证明不等式，是中档题．。
《精编》重庆市高三数学3月联考试题 文 新人教A版.doc
三峡名校联盟高2021级3月联考数学试题〔文科〕第一卷一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．{1,2,3,4,5}U =,集合{3,4}A =,{1,2,3}B =那么([)U A BA. {3}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2,3}[答案]2．设数列{}n a 是等差数列，且23415a a a ++=，那么这个数列的前5项和5S =A. 10B. 15C. 20D. 25[答案]D3．一个几何体的三视图如以下列图，那么这个几何体的体积为 Ａ．13 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．2 [答案]D4. 以下关于命题的说法正确的选项是A ．命题“假设21x =，那么1x =〞的否命题为：“假设21x =，那么1x ≠〞B ．“A ≠∅〞是“A B ≠∅〞的充分不必要条件C ．命题“x R ∃∈ ，使得210x x +-<〞的否认是“x R ∀∈ ，均有210x x +->〞D ．命题“假设x y =，那么sin sin x y =〞的逆否命题为真命题[答案]D5. 函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+()x R ∈是 A 周期为ππ的偶函数C,周期为2π2π的偶函数[答案]Aa b 、，满足||=2，||=3，|2+|=，2,3,237a b a b ==+==那么a 与b 的夹角为 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°[答案]C0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一点，那么此点到坐标原点的距离大于1的概率为A. 12B. 14π-C. 14D. 116π- [答案]D,l m ，平面,αβ，且,l m αβ⊥⊂，给出四个命题：①假设//αβ，那么l m ⊥；②假设l m ⊥，那么//αβ；③假设αβ⊥，那么//l m ；④假设//l m ，那么αβ⊥．其中真命题的个数是A ．4B ．3C ．2D ．1[答案]C9．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>和圆2222x y a b +=+的一个交点，1F ,2F 是双曲线的两个焦点，21122PF F PF F ∠=∠，那么双曲线的离心率为A ．31+ B.312+ C ．2 D. 12 [答案]A ()y f x =在区间(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(,)a b 上的导函数为()f x ''，假设在区间(,)a b 上()0f x ''<恒成立，那么称函数()f x 在区间(,)a b 上的“凸函数〞。
《精编》重庆市高三数学上学期第三次月考试题 文 新人教A版.doc
重庆市第一中学2021届高三上学期第三次月考数学〔文〕试题20一. 选择题〔每题5分，共50分〕1sin ,(,),cos 22πααπα=∈=则〔 〕A ．32-B ．32C ．12D ．12-2．以下函数图象中不正确的选项是．．．．．．．〔 〕3．倾斜角为α的直线l 与直线220x y -+=平行，那么tan 2α的值为 ( )A.45 B. 34 C. 43 D. 234. 以下命题中，错误的选项是．．．．．．( ) A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么必与另一个平面相交α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βl 不平行平面α，那么在平面α内不存在与l 平行的直线5．“2a =〞是 “函数()2xf x ax =-有零点〞的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件()f x 在[0,)+∞单调递增，那么满足2(21)(1)f x f x x -<-+的x 的取值范围是〔 〕A ．()(),12,-∞+∞ B. ()(),21,-∞--+∞ C. ()1,2 D. ()2,1--(,1),(2,)a x z b y z =-=+，且a b ⊥，假设变量,x y 满足约束条件1325x y xx y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩那么z 的最大值为 〔 〕A.1B.2 C8．给出如下四个命题：① 假设“p 且q 〞为假命题，那么p 、q 均为假命题； ②假设等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 那么三点10100110(10,),(100,),(110,)10100110S S S共线; ③ “∀x ∈R ，x 2＋1≥1”的否认是 “∃x ∈R ，x 2＋1≤1”; ④ 在ABC ∆中，“A B >〞是“sin sin A B >〞的充要条件．其中正确．．的命题的个数是〔 〕 A ．1B ．2C ． 3D ．49．直线()0,0022>>=+-b a by ax ，被圆014222=+-++y x y x 截得的弦长为4，那么b a 11+的最小值为〔 〕 A ．41 B ．2 C ．21D ．410．定义在R 上的可导函数()x f 的导函数为()x f '，满足()()x f x f <'，且()2+x f 为偶函数， ()14=f ，那么不等式()x e x f <的解集为( )A ． ()2,-+∞B ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()4,+∞二 填空题〔每题5分，共25分〕11.一个棱锥的三视图如图〔尺寸的长度单位为m 〕，那么该棱锥的体积是________3m .正视图 侧视图 俯视图{}n a 中，81,341==a a ，假设数列{}n b 满足n n a b 3log = ，那么数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和n s = .C ：22(1)8x y -+=，过点(1,0)A - 且倾斜角为锐角的直线将圆C 分成弧长之比为1:2的两段圆弧，那么直线的方程为 .14．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=1，点P 在AM 上且满足2,()AP PM PA PB PC =⋅+则等于 .15．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，那么该棱柱体积的最大值为___________.三 解答题:〔共75分〕16．〔本小题总分值13分〕〔1〕直线1:210l mx y ++=与直线22:2430l x m y --=垂直，求直线1l 的方程；(结果要求用一般式)〔2〕假设直线:210l mx y ++=被圆22:2220C x y x y +-+-=所截得的线段长为l 的方程.(结果要求用一般式)17．〔本小题总分值13分〕函数()2sin26sin 2x x x f +⎪⎭⎫⎝⎛+=π ， 〔1〕求()x f 的单调增区间〔2〕记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，假设()3,1,1===c a A f 求b 的值.18. 〔本小题总分值13分〕为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C 〔单位：万元〕与隔热层厚度x 〔单位：cm 〕满足两个关系：①C 〔x 〕=(010),35kx x ≤≤+②假设不建隔热层，每年能源消消耗用为8万元.设()x f 为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和． 〔1〕求k 的值及()x f 的表达式;〔2〕隔热层修建多厚时，总费用()x f 到达最小，并求最小值．PFE ABM C19. 〔本小题总分值12分〕如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥平面ABC ．090=∠BCA4===CA BC PB ， E 为PC 的中点，M 为AB 的中点点F 在PA 上，且FP AF 2=． 〔1〕求证：⊥BE 平面PAC ； 〔2〕求证：//CM 平面BEF ； 〔3〕求三棱锥ABE F -的体积.20. 〔本小题总分值12分〕函数321()(2)41,()532mf x mx x xg x mx =-+++=+. (1)当4m ≥时,求()f x 的单调递增区间;(2)是否存在0m <,使得对任意的12,[2,3]x x ∈,都有12()()1f x g x -≤恒成立.假设存在,求出m 的取值范围; 假设不存在,请说明理由.21．〔本小题总分值12分〕 ()22(0)(1,(1))bf x ax a a f x=++->在图像在点处的切线与直线21y x =+平行。
重庆一中2021届高考数学三诊试卷(含答案解析)
重庆一中2021届高考数学三诊试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.已知tanα，tanβ是关于x 的方程x 2+(log a M +log b M)x −log a M ⋅log b M =0两个根，其中a ，b ，M 均不为1的正数，若sinαcosβ+cosαsinβ=2sinαsinβ，则a ，b ，M 满足的关系是( )A.a+b 2=MB. √ab =MC. a +b =MD. ab =M2. 下列关系中，正确的个数为( )①√22∈R ②{√3}∈Q③0∈N ∗④{−5}⊆Z ．A. 1B. 2C. 3D. 43.已知向量a ⃗ =(−1,2)，b ⃗ =(2,y)，若a ⃗ //b ⃗ ，则3a ⃗ +4b ⃗ =( )A. (1,−2)B. (1,2)C. (5,−10)D. (−10,−5)4.二项式(x 2−12x )6的展开式中x 3的系数为( )A. 52B. −52C. 1516D. −3165.“中国农谷杯”2012全国航模锦标赛于10月12日在荆门开幕，文艺表演结束后，在7所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果M 、N 为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先M 后N 的次序(M 、N 两高校的次序可以不相邻)，则可选择的不同航模表演顺序有( )A. 120种B. 240种C. 480种D. 600种6.如图，某景区内有一圆形花圃，其直径AB 为6，O 为圆心，且OC ⊥AB ，在OC 有一座观赏亭Q ，其中∠AQC =2π3，计划在圆弧BC⏜再建一座观赏亭P ，记∠POB =θ (0<θ<π2)，当∠OPQ 越大时，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，则观赏效果最佳时，sinθ=( )A. √33B. √22C. √32D. 127.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，G 是平面△ABC 上一点，且满足a ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c ⋅GC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则G 是△ABC 中的( ) A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心8.若sinα+cosα=√22(lnx +1lnx)，则α的值为( )A. 2kπ+π4，k ∈Z B. kπ+π4，k ∈Z C. 2kπ−π4，k ∈ZD. kπ−π4，k ∈Z二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9.任何一个复数z =a +bi(其中a,b ∈R,i 为虚数单位)都可以表示成：z =r(cosθ+isinθ)的形式，通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：z n =[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cos nθ+isin nθ)(n ∈N +)，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是( )A. |z 2|=|z|2B. 当r =1，θ=π3时，z 3=1C. 当r =1，θ=π3时，z =12−√32i D. 当r =1，θ=π4时，若n 为偶数，则复数z n 为纯虚数10. 如图所示，棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是( )A. 平面D 1A 1P ⊥平面A 1APB. AP ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不是定值C. 三棱锥B 1−D 1PC 的体积为定值D. DC 1⊥D 1P11. 已知数列{a n }的通项公式为a n =9−2n ，要下列各数中是{a n }的项的是( )A. 7B. 0C. 3D. 512. 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)是抛物线y 2=4x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB ，下列结论正确的为( )A. y 1y 2为定值B. 直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点C. S ΔAOB 最小值为16D. O 到直线AB 的距离最大值为4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={x +1,x ≤02x −1,x >0，则f(f(0))=______．14. 在一本书中，分组统计100个句子中的字数，得出下列结果：字数1～5个的5句，字数6～10个的27句，字数11～15个的32句，字数16～20个的21句，字数21～25个的9句，字数26～30个的6句．利用组中值可估计该书中平均每个句子所包含的字数为 ．x2+2ax与g(x)=3a2lnx+b(a>0)的图象的公共点，以P为切点可作15.设点P为函数f(x)=12直线与两曲线都相切，则实数b的最大值为______．16.如图，已知底面半径为r的圆柱被截后剩下部分的体积是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知函数f(x)=2sin xcos x+cos2x(x∈R)．(1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值；(2)若θ为锐角，且f=，求tanθ的值．18.数列{a n}中，a3=1，a1+a2+⋯+a n=a n+1(n∈N∗).(Ⅰ)求a1，a2，a4，a5；(Ⅱ)求数列{a n}的前n项和S n；(Ⅲ)设b n=log2S n，存在数列{c n}使得c n⋅b n+3⋅b n+4=n(n+1)(n+2)S n，试求数列{c n}的前n项和T n．19.为了解甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量(单位：mg)下表是乙厂的5件产品测量数据编号12345x169178166175180y7580777081①已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；②当产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数ξ的分布列及数学期望．20. (本题12分)已知平面，且是垂足，证明：21. 已知椭圆E：x23+y22=1，直线l：y=kx+2．(1)若直线l与椭圆E有公共点，求实数k的取值范围；(2)若直线l经过椭圆左焦点，且与椭圆交于A、B两点，求弦AB的长．．22. 已知函数f(x)=2x+2x+alnx，a∈R.若函数f(x)在[1,+∞)单调递增，求实数a的取值范围？【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵sinαcosβ+cosαsinβ=2sinαsinβ，∴tanα+tanβ=2tanαtanβ，∵tanα，tanβ是关于x的方程x2+(log a M+log b M)x−log a M⋅log b M=0的两个根，∴tanαt+anβ=−(log a M+log b M)=−log a M⋅log b Mlog M ab，tanαtanβ=−log a M⋅log b M，∴−log a M⋅log b Mlog M ab=−2log a M⋅log b M，∴log M ab=2，∴√ab=M，故选：B．根据韦达定理，得到tanαt+anβ=−(log a M+log b M)=−log a M⋅log b Mlog M ab，tanαtanβ=−log a M⋅log b M，再根据三角形函数的化简得到tanα+tanβ=2tanαtanβ，计算即可本题考查了韦达定理和三角函数的化简，属于基础题．2.答案：B解析：解：①√22∈R正确，②{√3}∈Q不正确，③0∈N∗不正确，④{−5}⊆Z正确．故选B．根据元素与集合的关系，集合间的包含关系，进行判断．本题主要考查元素与集合的关系，集合间的包含关系，属于基础题．3.答案：C解析：解：∵向量a⃗=(−1,2),b⃗ =(2,y),a⃗//b⃗ ，∴−1·y=2×2，解得y=−4，则3a⃗+4b⃗ =(5,−10)．故选：C．利用向量共线的充要条件列方程，求出y，再利用平面向量坐标运算法则能求出结果．本题考查平面向量的求法，考查向量平行的性质、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：B解析：解：二项式(x2−12x )6的展开式的通项公式为C6r(−12)r x12−3r，令12−3r=3，解得r=3，故二项式(x 2−12x )6的展开式中x 3的系数为为C 63(−12)3=−52， 故选：B ．求出通项公式，令12−3r =3，解得r =4，再代值计算即可．本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．5.答案：D解析：解：如果M 、N 为必选高校，则从其余的5个高校中任意取出3个进行排列，共有A 53种方法，将这3个高校排列，存在4个空，从中任意选取2个，按顺序插入M 、N ，有C 42种方法， 故根据分步计数原理知不同的航模表演顺序种数是A 35⋅C 42=600，故选D ．从其余的5个高校中任意取出3个进行排列，然后从4个空位中任意选取2个，按顺序插入M 、N ，由分步计数原理可得．本题考查排列与组合以及简单的计数原理，正确理解按先M 后N 的次序经过M 、N 两城市，并正确应用排列、组合公式是解题的关键，属中档题．6.答案：A解析：解：设∠OPQ =α，在△OPQ 中，OP =3，∠POQ =π2−θ， 由正弦定理得OQ sin∠OPQ =OP sin∠OQP ，即√3sinα=3sin(π−α−(π2−θ))，所以√3sinα=sin(π−α−(π2−θ))=sin(π2−(α−θ))=cos(α−θ)=cosαcosθ+sinαsinθ， 从而(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，其中√3−sinθ≠0，cosα≠0， 所以tanα=√3−sinθ，记f(θ)=√3−sinθ，则f′(θ)=√3sinθ(√3−sinθ)2，θ∈(0,π2)， 令f′(θ)=0，sinθ=√33，存在唯一θ0∈(0,π2)使得sinθ0=√33，当θ∈(0,θ0)时f′(θ)>0，f(θ)单调增，当θ∈(θ0,π2)时f′(θ)<0，f(θ)单调减， 所以当θ=θ0时，f(θ)最大，即tan∠OPQ 最大， 又∠OPQ 为锐角，从而∠OPQ 最大，此时sinθ=√33．故观赏效果达到最佳时，sinθ=√33，故选：A ．设∠OPQ =α，在△OPQ 中，由正弦定理得√3sinα=3sin(π−α−(π2−θ))，变形可得(√3−sinθ)sinα=cosαcosθ，记f(θ)=√3−sinθ求导可得，由导数与函数的单调性的关系分析可得答案．本题考查解三角形的应用，涉及函数导数的性质以及应用，关键是建立三角函数的模型．7.答案：A解析：解：∵a ⋅GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， ∴a GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )+c(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0⃗ ， ∴(a +b +c)AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =b AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +c AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AG⃗⃗⃗⃗⃗ =b a+b+cAB⃗⃗⃗⃗⃗ +c a+b+cAC⃗⃗⃗⃗⃗ =bc a+b+c⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+bca+b+c⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴G 在∠BAC 的角平分线上，同理可得：G 在∠ABC 的角平分线上， ∴G 是△ABC 的内心． 故选：A ．用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合图形即可得出G 在∠BAC 的角平分线上．本题考查了平面向量在几何中的应用，平面向量的基本运算，同时考查转化思想，属于中档题．8.答案：B解析：解：由基本不等式得：lnx +1lnx ≥2或lnx +1lnx ≤−2， ∴√22(lnx +1lnx)≥√2或√22(lnx +1lnx)≤−√2，又sinα+cosα=√2sin(α+π4)，sinα+cosα=√22(lnx +1lnx )，∴sin(α+π4)≥1或sin(α+π4)≤−1，由正弦函数的性质可知，sin(α+π4)=1或sin(α+π4)=−1， ∴α+π4=kπ+π2，k ∈Z ，∴α=kπ+π4，k ∈Z ． 故选：B ．利用对数函数的性质及基本不等式，可得lnx +1lnx ≥2或lnx +1lnx ≤−2，结合已知可得sin(α+π4)≥1或sin(α+π4)≤−1，利用正弦函数的值域可知sin(α+π4)=1或sin(α+π4)=−1，从而可求α的值．本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查基本不等式的应用与正弦函数的值域，考查综合分析与运算能力，属于中档题．9.答案：AC解析：本题考查了新定义的应用、复数的三角表示、模以及共轭复数，属于中档题． 根据新定义，逐一判定即可得出结论．解：对于A ，z =r(cosθ+ isinθ)，z 2=r 2(cos2θ+ isin2θ)，则|z 2|=r 2，|z|2=r 2，所以，故A 正确；对于B ，当r =1，θ=π3时，z 3=r 3(cos3θ+ isin3θ)=cosπ+isinπ=−1，故B 错误； 对于C ，当r =1，θ=π3时，，则z =12−√32i ，故C 正确；对于D ，当r =1，θ =π4时，，当n 为偶数时，复数z n 不一定为纯虚数，比如当n =4时，，为实数，故D 错误，故选AC ．10.答案：ACD解析：解：如图，A .由正方体的结构特征，得D 1A 1⊥平面A 1AP ，D 1A 1⊂平面D 1A 1P ， ∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故A 正确；B .AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos45°+|A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos90°=1×√2×√22=1，故AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1，故B 不正确；C .V B 1−D 1PC =V P−B 1D 1C ，△B 1D 1C 的面积是定值，A 1B//平面B 1D 1C ， ∵点P 在线段A 1B 上的动点，∴点P 到平面B 1D 1C 的距离是定值， ∴V B 1−D 1PC =V P−B 1D 1C 是定值，故C 正确；D .∵DC 1⊥A 1D 1，DC 1⊥A 1B ，A 1D 1∩A 1B =A 1，∴DC 1⊥平面A 1D 1P ， 而D 1P ⊂平面A 1D 1P ，∴DC 1⊥D 1P ，故D 正确． 故选：ACD ．由正方体的结构特征证明直线与平面垂直，进一步得到面面垂直判断A ；求解数量积判断B ；由等体积法说明体积为定值判断C ；证明线面垂直，从而得到线线垂直判断D ．本题考查点，线，面的位置关系，体积，空间向量数量积的综合判断题型，重点考查垂直关系，属于中档题型．11.答案：ACD解析：解：A：当a n=7时，9−2n=7，∴n=1，∴A正确．B：当a n=0时，9−2n=0，∴n=92，∵n∈N+，∴B错误．C：当a n=3时，9−2n=3，∴n=3，∴C正确．D：当a n=5时，9−2n=5，∴n=2，∴D正确．故选：ACD．把选项分别代入通项公式，求出n的值，若n为正整数，则是数列的项，若n不是正整数，则不是数列的项．本题考查数列的通项公式的应用，考查计算能力．是基础题．12.答案：ACD解析：解：设直线AB方程为x=my+n，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将直线AB方程代入抛物线方程y2=4x，焦点坐标(1,0)得y2−4my−4n=0，则y1+y2=4m，y1y2=−4n，∵OA⊥OB，∴k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−4n−4m2n+4m2n+n2=−1，n=4．于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点(4,0).故A正确；焦点坐标不满足直线方程，所以B不正确；y1y2=−4n=−16，1 2|OA||OB|=12×√x12+y12⋅√x22+y22 =12×√y1416+y12⋅√y2416+y22=12×|y1y2|×116×√(y12+16)(y22+16) =12×√(y12+16)(y22+16)≥12×√2√16|y12|⋅2√16|y2|2=16.当且仅当|y1|=|y2|=4时，取等号，SΔAOB最小值为16.所以C正确；O 到直线AB 的距离d =√1+m 2≤4，当m =0时，d 取得最大值4，即D 正确； 故选：ACD ．设直线AB 方程为x =my +n ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2=4x ，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB 过定点，即可判断结论．本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理，直线方程和曲线的方程联立等．13.答案：1解析：解：∵函数f(x)={x +1,x ≤02x −1,x >0，∴f(0)=0+1=1， f(f(0))=f(1)=2−1=1． 故答案为：1．推导出f(0)=0+1=1，从而f(f(0))=f(1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：14解析：试题分析：每组的组中值乘以相应的频数再求和，然后除以总频数，即为该书中平均每个句子所包含的字数．该书中平均每个句子所包含的字数为：3×5+8×27+13×32+18×21+23×9+28×65+27+32+21+9+6=14．所以可估计该书中平均每个句子所包含的字数为14． 故答案为：14．15.答案：32e 23解析：本题考查利用导数研究函数的切线方程以及构造函数法，运用导数求得单调性、函数的最值，考查方程思想和运算能力，属于中档题．设出点P 的坐标，利用P 为两函数曲线的切点，过点P 的切线相同，列出方程组求得切点P ，从而求出b 的解析式，再利用函数的性质求实数b 的最大值． 解：设点P(m,n)，由于点P 为两函数曲线的切点， 则12m 2+2am =3a 2lnm +b ，函数f(x)=12x2+2ax的导数为f′(x)=x+2a，g(x)=3a2lnx+b的导数为g′(x)=3a2x，又点P的切线相同，则f′(m)=g′(m)，即m+2a=3a2m，即(m+3a)(m−a)=0，又a>0，m>0，所以m=a，于是b=52a2−3a2lna，其中a>0，设ℎ(x)=52x2−3x2lnx，其中x>0，则ℎ′(x)=2x(1−3lnx)，其中x>0，所以ℎ(x)在(0,e13)内单调递增，在(e13,+∞)内单调递减，所以实数b的最大值为ℎ(e 13)=32e23．故答案为：32e23．16.答案：a+b2πr2解析：再取一个相同的几何体，使二者拼接为一个圆柱，求出圆柱的体积的一半，就是所求几何体的体积．本题考查几何体的体积，求体积有时将几何体扩展，转化求解，本题是拼接为圆柱，使问题简化，是基础题．解：如图取相同的几何体，使二者拼接为一个圆柱，圆柱的体积为：πr2(a+b)所以，已知底面半径为r的圆柱被截后剩下部分的体积是：a+b2πr2故答案为：a+b2πr217.答案：(1)x=kπ+(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，其最大值为．(2)解析：解：(1)f(x)=2sin xcos x+cos2x=sin2x+cos2x==sin．∴当2x+=2kπ+(k∈Z)，即x=kπ+(k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，其最大值为．(2)∵f=，∴sin=，∴cos2θ=．∵θ为锐角，即0<θ<，∴0<2θ<π，∴sin2θ==，∴tan2θ==2，∴=2，∴tan2θ+tanθ−=0，∴(tanθ−1)(tanθ+)=0，∴tan θ=或tan θ=−(不合题意，舍去)，∴tan θ=．18.答案：解：(Ⅰ)当n =1时，有a 1=a 2；当n =2时，有a 1+a 2=a 3；…∵a 3=1，∴a 1=12，a 2=12，a 4=2，a 5=4.…(4分)(Ⅱ)∵S n =a n+1=S n+1−S n ，…(6分)∴2S n =S n+1∴S n+1S n =2…(8分)∴{S n }是首项为S 1=a 1=12，公比为2的等比数列．∴S n =12⋅2n−1=2n−2…(10分)(Ⅲ)由S n =2n−2，得b n =n −2，∴b n+3=n +1，b n+4=n +2，∵c n ⋅b n+3⋅b n+4=n(n +1)(n +2)S n ，∴c n ⋅(n +1)(n +2)=n(n +1)(n +2)2n−2，即c n =n ⋅2n−2. …(12分)T n =1×2−1+2×20+3×21+4×22+⋯+n ⋅2n−2…①则2T n =1×20+2×21+3×22+⋯+(n −1)⋅2n−2+n ⋅2n−1…②②一①得T n =n ⋅2n−1−2−1−20−21−⋯−2n−2=n ⋅2n−1−2−1(1−2n )1−2=n ⋅2n−1+12.…(14分) 解析：(Ⅰ)依题意，可求得a 1=a 2；而a 1+a 2=a 3=1，从而可求a 1，a 2，继而可求得a 4，a 5； (Ⅱ)可求得2S n =S n+1，即{S n }是首项为S 1=a 1=12，公比为2的等比数列，从而可求得S n =2n−2； (Ⅲ)依题意，可求得c n =n ⋅2n−2，利用错位相减法即可求得数列{c n }的前n 项和T n ．本题考查数列的求和，考查等比数列的判定，突出考查错位相减法求和，考查等价转化思想与推理运算能力，属于难题． 19.答案：解：①设乙厂生产的产品数量为m 件，由分层抽样的方法可得1498=5m ，解得m =35． ②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x ，y 满足x ≥175，y ≥75.估计乙厂生产的优质品的数量=35×25=14件．③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有C53种方法；抽取的3件产品中优质品数ξ可能为0，1，2．P(ξ=0)=C33C53=110，P(ξ=1)=C32C21C53=35，P(ξ=2)=C31C22C53=310．可得ξ的分布列为：ξ 0 1 2P(ξ)110610310∴数学期望Eξ=0×110+1×610+2×310=1.2．解析：①设乙厂生产的产品数量为m件，由分层抽样的方法可得1498=5m，解得m即可．②由表格数据可知：只有2号和5号2件产品中微量元素x，y满足x≥175，y≥75.估计乙厂生产的优质品的数量=35×25件．③从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，共有C53种方法；抽取的3件产品中优质品数ξ可能为0，1，2.利用超几何分布即可得出．本题综合考查了分层抽样方法、利用概率估计产品数量、超几何分布列及其数学期望等基础知识与基本技能方法，属于中档题．20.答案：先证，再证，进而求得解析：试题分析：证明：因为，所以，，又因为所以，……4分同理可证，……6分又因为，所以，所以.……12分考点：本小题主要考查空间中线面垂直的证明，考查学生的空间想象能力和推理能力．点评：线面垂直的判定定理中强调平面内的两条直线相交，这点不要忘记．21.答案：解：(1)由{y=kx+2x23+y22=1，消去y得：(2+3k2)x2+12kx+6=0由于直线l与椭圆有公共点，∴△=144k2−24(2+3k2)≥0，即k2≥23，故k⩾√63,或k⩽−√63．(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l过椭圆左焦点(−1,0)，此时直线l：y=2x+2代入椭圆方程，得：7x2+12x+3=0，所以x1+x2=−127，x1x2=37，故|AB|=2|x1−x2|=√5√(x1+x2)2−4x1x2=10√37．解析：(1)当直线l与椭圆有公共点时，两方程联立，消去一个未知数，得到的关于另一个未知数的一元二次方程中，△≥0，即可得到k的范围；(2)先求出过椭圆左焦点的直线方程，再与椭圆方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，求两根之和，两根之积，再利用弦长公式求弦AB之长．本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式等，属于中档题．22.答案：解：由函数f(x)=alnx+2x+2x，得f′(x)=ax +2−2x2，若函数f(x)为[1,+∞)上的单调增函数，则f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，即不等式ax +2−2x2≥0在[1,+∞)上恒成立．也即a≥2x−2x在[1,+∞)上恒成立．又g(x)=2x−2x在[1,+∞)上为减函数，g(x)max=g(1)=0．∴a≥0．解析：通过已知条件，求出函数的导数，转化导数大于等于0恒成立，得到a的表达式，求出a的最小值即可．本题考查函数与导函数的关系，函数的单调性与导数的关系，通过函数的导数求解函数极值，考查转化思想与计算能力．。
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考(9月)数学(理)试题Word版含解析
2021届重庆市第一中学高三上学期第一次月考（9月）数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】集合是某些实数组成的数集，集合是平面的点集，因此，故选D．【点睛】集合的问题中确定集合的元素是解决问题的基础，本题中集合是数集，集合是点集，两者当然没有公共元素，交集为空集．易犯错误：联立方程组，解得，得．2. 函数图像的一个对称中心可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】把各点横坐标代入，只有，因此是图象的一个对称中心，故选D．【点睛】正弦函数的对称中心为（），对称轴为（）．解决正弦型函数的问题是把作为一个整体，与中的等同．3. 下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由奇函数的定义，只有当时，，故选B．4. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知得，所以．故选A．5. 下列说法正确的是（）A. “”是“函数是奇函数”的充要条件B. 若为假命题，则为假命题C. 已知角的终边均在第一象限，则“”是“”的充分不必要条件D. “若，则”是真命题【答案】D【解析】满足，但不是奇函数，A错；为假命题，只要中有一个为假即可，当一真一假时满足为假命题，但为真命题，B错；由于（），因此与之间没有任何关系，C错；因此时，，因此“若，则”是真命题，D正确．故选D．6. 设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，且，所以，故选B．7. 若是方程的根，则所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设，由于，，即，故选C．8. 若函数在区间内有极小值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，由题意在区间上有零点，又，在上是增函数，所以，解得，故选C．9. 已知函数是偶函数，则在上是减函数的一个值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知为偶函数，，即，故排队，当，时，，递减，当，时，，递增，故选A．10. 函数的部分图像如图所示，若将图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），在向右平移得到的图像，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，则，又，而，所以，即，所以，即，故选B．【点睛】已知三角函数图象求函数解析式，主要依据是“五点法”，要掌握正弦函数图象的“五点”：，这五点间可以得出函数的周期、振幅、相位．11. 给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域为，值域为；②函数在上是增函数；③函数是周期函数，最小正周期为；④函数的图像关于直线对称，其中正确命题的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的定义域要求真数大于0，则要，因此定义域为，①错误；当时，且，，当时，且，，显然的图象是由的图象向右平移1个单位而得，一般地当时，且，，于是可画出的图象，由图象知②、③、④正确． ... ... ... ... ... ... ...12. 记函数在点处的切线为，若直线在轴上的截距恒小于，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，切线方程为，令得截距为，由题意对，恒成立，即，令，则，∵，∴，①若，即时，，所以当时，，即在上单调递增，所以恒成立，所以满足题意；②若，即时，，即在上单调递减，所以，所以不满足题意；③若即时，，则的关系如下表：－0 +递减极小值递增所以，所以不满足题意．综合①②③，可得当时，，此时切线在轴上的截距恒小于．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知角的终边经过点，且，则__________．【答案】【解析】由题意，解得．14. 若，且，则__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴．【点睛】三角函数求值中，要注意“角”的变换，而不是随便应用两角和与差的正弦余弦公式变形，象本题，观察出“已知角”与“待求角”之间的差为，因此可用诱导公式求解，从而减少运算．15. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说：“作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”丁说：“是或作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是 __________．【答案】C【解析】若是一等奖，则甲丙丁都对，不合题意；若是一等奖，则甲乙丁都错，不合题意；若是一等奖，则乙丙正确，甲丁错，符合题意；若是一等奖，则甲乙丙错，不合题意，故一等奖是．16. 设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】设，则，由题意，所以在上是增函数，所以由得，即，所以．【点睛】已知条件中含有导数函数与的关系式时，可构造新函数，新函数的导数可利用已知不等式确定正负，从而确定单调性，这类新函数一般有，，，等等．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知二次函数满足以下要求：①函数的值域为；②对恒成立.（1）求函数的解析式；（2）设，求时的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）已知条件提供了二次函数的对称轴与最小值，因此二次函数解析式可配方为顶点式，从而列出关于的方程组，从而解得，得解析式；（2）是分式函数，由于分母是一次的，分母是二次的，可用换元法设，转化后易得函数的单调性，从而得值域．试题解析：（1）又对称轴为值域为且，则函数（2）令，则所求值域为.18. 已知函数，若对恒成立，且（1）求的解析式和单调递增区间；（2）当时，求的值域；【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由已知得出函数图象的一条对称轴是，结合正弦函数的图象的对称性可求得值，再由正弦函数的单调性与复合函数的单调性可得单调增区间；（2）由，求得，把作为一个整体利用正弦函数性质可得的值域．试题解析：（1）由，可知为函数的对称轴，则，由，可知或又由，可知，则验证或，则，所以由得：递增区间：（2）当则所以，值域为：【点睛】函数满足或，则直线是其图象的对称轴．19. 已知函数（1）若函数存在与轴垂直的切线，求的取值范围；（2）若恰有一个零点，求的取值集合；【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）存在与轴垂直的切线，说明存在导数值为0的点，即在上有解，由此可得的范围；（2）求出导数，由导数的知识求得有唯一最大值，结合函数的单调性知，只有当最大值时，函数才有唯一零点．试题解析：（1）的定义域为在上有解得：所以，的取值范围为（2），令，得当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，故①当，即时，因最大值点唯一，故符合题设；②当，即时，恒成立，不合题设；③当，即时，一方面，；另一方面，（易证：），于是，有两零点，不合题设，综上，的取值集合为20. 如图，直线与椭圆交于两点，与轴交于点，为弦的中点，直线分别与直线和直线交于两点.（1）求直线的斜率和直线的斜率之积；（2）分别记和的面积为，是否存在正数，使得若存在，求出的取值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足题意.【解析】试题分析：（1）设，由点差法可推出，由两直线相交可求得交点坐标，从而得，计算即可；（2）是直线的交点，由两直线方程联立可解得各点坐标，求得，再由求得值即可，若不能求得，则说明不存在．试题解析：（1）设，由点差法可推出：在联立可接出所以，（2）假设这样的存在，联立，在（1）问中已解得，所以；在中令得；在联立所以；由当时，点坐标为，经检验在椭圆内，即直线与椭圆相交，所以存在满足题意.21. 已知函数，其中，且（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若存在极大值，且对于的一切可能取值，的极大值均小于，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）【解析】试题分析：（1）计算出导数，由不等式得增区间，由得减区间，注意要按的正负分类讨论，的正负对定义域有影响；（2）求出导数，因此必须有，才能有两个不等实根，的两实根为，，极大值为，由求根公式得，令（作为的函数），同理由导数知识得在上单调递减，从而，由可得的范围．试题解析：（1）时，，故当时，，由，得得因此的单调递增区间为：，单调递减区间为：当时，，由得，由得因此单调递增区间为，单调递减区间为（2）由题，显然，设的两根为，则当或时，，当时，，故极大只可能是，且，知，又，故，且，从而令，则，故在单减，从而，因此，解得请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程直角坐标系中曲线的参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用同角关系及二倍角公式消去参数可得的直角坐标方程，把的极坐标化为直角坐标，由直线的标准参数方程可得直线参数方程；（2）把直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，利用参数的几何意义，有，代入计算可得．试题解析：（1）曲线的直角坐标方程点的极坐标为，化为直角坐标为，直线的参数方程为，即（为参数）（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：，显然有，则，所以23. 选修4-5：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）若函数的最小值为，正数满足，求证：【答案】（1）或；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）解这个绝对值不等式，可按绝对值的定义去掉绝对值符号，化绝对值不等式为一元一次不等式，从而求得解．（2）利用绝对值三角不等式可求得的最小值为，求和后，再得用基本不等式可证题中结论．试题解析：（1）当时，得当时，得无解当时，得所以，不等式的解集为或；（2），即又由均值不等式有：两式相加得。
重庆市重庆一中2021届高三数学上学期第一次月考试题 理 含解析（含解析）
重庆一中2021届高三上学期第一次月考数 学 试 题 卷（理科）【试卷综析】这套试题大体符合高考温习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,表现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和大体技术的考察,同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察,有相当一部份的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分表现了考素养,考基础,考方式,考潜能的检测功能.一. 选择题: 本大题共10小题，每题5分，共50分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.【题文】1. 已知复数z 知足(1)i i z +=, 那么z =( )A. 1122i +B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --【知识点】复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】A 解析：由(1)i i z +=，得．应选：A ．【思路点拨】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值． 【题文】2. 设0.53a =,3log 2b =, 0.5log 3c =, 那么（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. b c a <<【知识点】对数值大小的比较．B7【答案解析】A 解析：∵a=30.5＞1，0＜b=log32＜1，c=log0.53＜0， ∴三个数字的大小依照三个数字的范围取得c ＜b ＜a ，应选A ．【思路点拨】依照指数函数和对数函数的性质，取得三个数字与0，1之间的大小关系，利用两个中间数字取得结果．【题文】3. 函数22x xye(03x) 的值域是（ ）A. 3(,1)eB. 3[,1)eC.3(,]e e D. (1,]e【知识点】指数函数的概念、解析式、概念域和值域．菁优B6 【答案解析】C 解析：∵函数v==，当0≤x＜3时，﹣3＜﹣（x ﹣1）2+1≤1，∴e ﹣3＜≤e1，即e ﹣3＜v≤e；∴函数v 的值域是（e ﹣3，e]．应选：C ． 【思路点拨】先求出03x时﹣x2+2x 的取值范围，再依照指数函数的单调性求出值域.【题文】4. 把ln(1)yx 的图像的纵坐标不变，横坐标伸长为原先的三倍，再向右移动一个单位，取得的函数解析式是（ ）A. ln 3y xB.ln3xy C.2ln3x yD. ln(32)yx【知识点】函数的图象与图象转变．B9【答案解析】C 解析：把y=ln （x+1）的图象的纵坐标不变，横坐标伸长为原先的三倍，取得函数y=ln （），再向右移动一个单位，取得y=ln （）=ln，应选：C【思路点拨】依照函数图象之间的转变关系即可取得结论． 【题文】5. 函数2ln 25f x x x 的零点个数为（ ）A. 1B. 2C. 0D. 3【知识点】函数零点的判定定理．菁B9【答案解析】A 解析：函数f （x ）的概念域为（0，+∞），且函数f （x ）单调递增， ∵f （1）=2ln1+2﹣5=﹣3＜0，f （3）=2ln3+1＞0， ∴在（1，3）内函数存在唯一的一个零点，故函数f （x ）=2lnx+2x ﹣5的零点个数为1个，应选：A【思路点拨】依照函数f （x ）的单调性和函数零点的判定条件即可取得结论．【题文】6．假设概念在实数集R 上的偶函数)(x f 知足0)(>x f , )(1)2(x f x f =+, 对任意R x ∈恒成立, 那么(2015)f （ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【知识点】函数奇偶性的性质．B4【答案解析】D 解析：∵f（x）＞0，f（x+2）=，∴f（x+4）==f（x），∴函数f（x）的周期是4．∴f（2021）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），∵函数f（x）为偶函数，∴f（﹣1）=f（1），当x=﹣1时，f（﹣1+2）=f（1）==，∴f2（1）=1，即f（1）=1，∴f（2021）=f（1）=1．应选：D．【思路点拨】由f（x）＞0，f（x+2）=，对可得函数的周期是4，然后利用函数的奇偶性和周期性即可求值．【题文】7. 假设某程序框图如右图所示, 当输入50时, 那么该程序运算后输出的结果是( )A. 8B. 6C. 4D. 2【知识点】程序框图．L1【答案解析】B 解析：由程序框图知，n=50，S=0，i=1S=1，i=2，S＜n，继续执行循环；S=4，i=3，S＜n，继续执行循环；S=11，i=4，S＜n，继续执行循环；S=26，i=5，S＜n，继续执行循环；S=57，i=6，现在S＞n，退出循环，输出i的值为6；故答案为：B．【思路点拨】因为n=50，由程序框图写出每次循环S，i的值，判定当S≥n时，退出循环，即可求得输出i的值．【题文】8. 如下图, 医用输液瓶能够视为两个圆柱的组合体. 开始输液时, 滴管内匀速淌下液体(滴管内液体忽略不计), 设输液开始后x 分钟, 瓶内液面与进气管的距离为h 厘米, 已知当0x =时,13h =. 若是瓶内的药液恰好156分钟滴完. 那么函数()h f x =的图像为（ ）A. B. C. D. 【知识点】函数模型的选择与应用．B10【答案解析】A 解析：由题意知，每分钟淌下πcm3药液， 当4≤h≤13时，xπ=π•42•（13﹣h ），即h=13﹣，现在0≤x≤144；当1≤h＜4时，xπ=π•42•9+π•22•（4﹣h ），即，现在144＜x≤156．∴函数单调递减，且144＜x≤156时，递减速度变快． 应选：A ．【思路点拨】每分钟淌下πcm3药液，当液面高度离进气管4至13cm 时，x 分钟淌下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13﹣h ），当液面高度离进气管1至4cm 时，x 分钟淌下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4﹣h ）的和，由此即可取得瓶内液面与进气管的距离为h 与输液时刻x 的函数关系．【题文】9. 函数|1|,1()21,1xa x f x x, 假设关于x 的方程22()(25)()50f x af x a有五个不同的实数解, 那么a 的取值范围是（ ）A.55(2,)(,)22+∞ B.(2,) C.[2,) D. 55[2,)(,)22【知识点】根的存在性及根的个数判定；分段函数的应用．B9 B10 【答案解析】A 解析：由方程2f2（x ）﹣（2a+5）f （x ）+5a=0解得， f （x ）=或f （x ）=a ，那么x=1时，方程2f2（x ）﹣（2a+5）f （x ）+5a=0的一个解，那么2|x ﹣1|=﹣1与2|x ﹣1|=a ﹣1还要在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四个不同的解， 那么a ﹣1=2|x ﹣1|＞1且a ﹣1≠﹣1，即a ＞2且a．应选A ．【思路点拨】先化简方程，从而简化问题，转化为2|x ﹣1|=﹣1与2|x ﹣1|=a ﹣1在（﹣∞，1）∪（1，+∞）上有四个不同的解．【题文】10. 假设概念域在[0,1]的函数()f x 知足： ① 关于任意12,[0,1]x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x ;②(0)0f ;③1()()32x f f x ;④(1)()1f x f x ,则19()()32014f f +=（ ） A.916 B ．1732 C ．174343 D ．5121007【知识点】函数的值．B1【答案解析】B 解析：∵f（1﹣x ）+f （x ）=﹣1，令x=0； ∴f（1）+f （0）=﹣1，又∵f（0）=0；∴f（1）=﹣1； 令x=可得，2f （）=﹣1，∴f（）=﹣； 在f （x ）中令x=1，那么f （）=f （1）=﹣，又∵关于任意x1，x2∈[0，1]，当x1＜x2时，都有f （x1）≥f（x2）； ∴在[，]上，f （x ）≡﹣． f （）=•f（）=f （）=（）3•f（）=（）4•f（），=﹣．故=﹣﹣=﹣；应选B ．【思路点拨】由题意给出的四个性质可推出在[，]上，f （x ）≡﹣；从而求出的值．二. 填空题: 本大题共6小题，考生作答5小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上。
重庆市重庆一中2021届高三数学上学期第一次月考试题 文 含解析（含解析）
重庆一中2021届高三上学期第一次月考数 学 试 题 卷（文科）【试卷综析】这套试题大体符合高考温习的特点,稳中有变,变中求新,适当调整了试卷难度,表现了稳中求进的精神.,重视学科基础知识和大体技术的考察,同时偏重考察了学生的学习方式和思维能力的考察,有相当一部份的题目灵活新颖,知识点综合与迁移.以它的知识性、思辨性、灵活性,基础性充分表现了考素养,考基础,考方式,考潜能的检测功能.一、选择题：（每题5分，共计50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．）【题文】一、已知为虚数单位，假设1(,)1ia bi ab R i +=+∈-，那么a b +=（ ）A ．0B ．C ．1-D ．2 【知识点】复数相等的充要条件．L4【答案解析】B 解析：∵a+bi====i ，∴a=0，b=1．∴a+b=1．应选：D ．【思路点拨】利用复数的运算法那么和复数相等即可得出．【题文】二、命题“假设函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数，那么1>m ”的否命题是（ ） A ．假设函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上不是减函数，那么1≤m B ．假设函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上是减函数，那么1≤m C ．若1>m ，那么函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数 D ．若1≤m ，那么函数mx e x f x -=)(在),0[+∞上不是减函数 【知识点】四种命题．A2【答案解析】A 解析：否定命题的条件作条件，否定命题的结论作结论，即可取得命题的否命题．命题“假设函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上是减函数，那么1>m ”的否命题是：假设函数mx e x f x-=)(在),0[+∞上不是减函数，那么m≤1．应选：A ．【思路点拨】直接写出命题的否命题，即可取得选项．【题文】3、如下图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的 成绩（单位：分），已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，那么y x ,的值别离为（ ）A ． 5,2B ． 5,5C ． 8,5D ．8,8 【知识点】茎叶图．I2【答案解析】C 解析：∵甲组数据的中位数为15，∴10+y=15，∴y=5；又∵乙组数据的平均数为16.8，∴9+15+（10+x ）+18+24=16.8×5，∴x=8；∴x ，y 的值别离为8，5； 应选：C ．【思路点拨】由甲组数据的中位数求出y 的值，乙组数据的平均数求出x 的值． 【题文】4、以下函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）A ．()2x f x -=B ．2()1f x x =+C ．3()f x x = D ．21()f x x =【知识点】函数奇偶性的判定；函数单调性的判定与证明．B3 B4【答案解析】D 解析：只有函数21()f x x =，2()1f x x =+是偶函数，而函数3()f x x =是奇函数，()2xf x -=不具有奇偶性．而函数21()f x x =，2()1f x x =+中，只有函数21()f x x =在区间(,0)-∞上单调递增的．综上可知：只有D 正确．应选：D ．【思路点拨】利用函数函数的奇偶性和单调性即可判定出． 【题文】五、阅读右边程序框图，为使输出的数据为31， 那么判定框中应填入的条件为（ ） A ．4i ≤ B ．5i ≤ C ．6i ≤ D ．7i ≤ 【知识点】程序框图．L1乙组甲组48x 59210472y 9【答案解析】A 解析：程序在运行进程中各变量的值如下表示： S i 是不是继续循环 循环前 1 1 第一圈 3 2 是 第二圈 7 3 是 第三圈 15 4 是 第四圈 31 5 否因此当i≤4时．输出的数据为31， 应选A ．【思路点拨】析程序中各变量、各语句的作用，再依照流程图所示的顺序，可知该程序的作用是利用循环求S 的值，咱们用表格列出程序运行进程中各变量的值的转变情形，不难给出答案． 【题文】六、设0.53x =，3log 2y =，cos2z =,那么（ ）A ．z y x <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．x z y <<【知识点】对数值大小的比较．B7 【答案解析】A 解析：∵x=30.5=＞1，0=log31＜y=log32＜log33=1，z=cos2＜0，∴z＜y ＜x ．应选：A ．【思路点拨】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解．【题文】7、假设函数()sin cos f x a x x ωω=-的相邻两个零点的距离为π，且它的一条对称轴为π32=x ，那么()3f π-等于（ ） A ．2 B ． 3- C ．3 D ． 2-【知识点】两角和与差的正弦函数．C5【答案解析】D 解析：∵函数()sin cos f x a x x ωω=-的相邻两个零点的距离为π，∴ •=π，求得ω=1．再依照函数的一条对称轴为π32=x ，可得asin ﹣cos=±，平方可得=0，求得a=． 那么f （x ）=sinx ﹣cosx=2（sinx ﹣cosx ）=2sin （x ﹣），()3f π-=2sin （﹣﹣）=2sin （﹣）=﹣2sin =﹣2，应选：D ． 【思路点拨】根据函数()sin cos f x a x x ωω=-的相邻两个零点的距离为π，求得ω=1．再根据函数的一条对称轴为x=π，可得asin ﹣cos =±，平方求得a=，可得函数f （x ）的解析式，从而求得()3f π-的值 【题文】八、某几何体的三视图如下图所示,那么该几何体的体积为（ ） A ．30 B ．24 C ．18 D ．12【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：由三视图知该几何体是高为5的三棱柱截去同底且高为3的三棱锥所得几何体，棱柱的体积等于=30，所截棱锥的体积为：=6，故组合体的体积V=30﹣6=24，应选：B ．【思路点拨】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱载去一个同底不等高的三棱锥所得，求出棱柱及棱锥的底面面积和高，代入棱柱和锥体体积公式，相减可得答案．【题文】九、已知函数3()sin 1(,,)f x a x bx cx a b c R =+++∈， (lg(lg3))3f =，那么3(lg(log 10))f =（ ）A ．3B ．1-C ．3-D ．2014 【知识点】函数的值．B1【答案解析】B 解析：∵3()sin 1(,,)f x a x bx cx a b c R =+++∈，(lg(lg3))3f =， 43233正视图左视图俯视图∴asin（lg （lg3））+b （lg （lg3））3+c （lg （lg3））+1=3， ∴asin（lg （lg3））+b （lg （lg3））3+c （lg （lg3））=2，∴f（lg （log310））=f[﹣（（lg （lg3））]=﹣[asin （lg （lg3））+b （lg （lg3））3+c （lg （lg3））]+1 =﹣2+1=﹣1．应选：B ．【思路点拨】利用对数性质和函数性质求解．【题文】10、已知函数22,0()4cos 1,0x x f x x x x ⎧+≥=⎨⋅+<⎩,且方程()1f x mx =+在区间[2]ππ-,内有两个不等的实根, 那么实数m 的取值范围为（ ）A.[4,2]-B. (4,3)-C. (4,2){4}-D.[2,4] 【知识点】分段函数的应用．B9【答案解析】C 解析：直线y=mx+1过定点（0，1），作出函数f （x ）的图象如图：由图象可知，当直线y=mx+1y 与f （x ）=x2+2在第一象限相切时，知足方程f （x ）=mx+1在区间[﹣2π，π]内有三个不等的实根，现在x2+2=mx+1，即x2﹣mx+1=0，那么判别式△=m2﹣4=0，解得m=2或m=﹣2（舍去）． 当直线y=mx+1在x=0时与f （x ）=4xcosx+1相切时，有两个不等的实根， 现在f′（x ）=4cosx ﹣4sinx ，m=f′（0）=4，现在知足条件．当m ＜0，由4xcosx+1=mx+1，即m=4cosx ，当现在方程m=4cosx 在[﹣2π，0）只有一个解时，即m=﹣4，现在方程f （x ）=mx+1在区间[﹣2π，π]内有1个实根， 现在不知足条件．综上知足条件的m 的取值范围为﹣4＜m ＜2或m=4，应选：C 【思路点拨】作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可取得结论． 二、填空题：（每题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）【题文】1一、已知集合1{}A x y x ==，2{}B y y x ==，那么A B =【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】(0,)+∞ 解析：∵集合A={x|y=}={x|x≠0}，B={y|y=x2}={y|y≥0}， ∴A∩B={x|x＞0}=（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）． 【思路点拨】利用交集概念求解． 【题文】1二、假设两个非零向量,a b 知足a b a b +=-，那么向量a 与b 的夹角为【知识点】数量积表示两个向量的夹角．F3【答案解析】2π解析：∵，为非零向量，且|+|=|﹣|，∴|+|2=|﹣|2，∴=，即，∴与夹角为．故答案为：．【思路点拨】由，为非零向量，且|+|=|﹣|，知|+|2=|﹣|2，由此取得，从而取得与夹角为．【题文】13、在不等式组1 02 0 0x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域内随机地取一点P ，那么点P 恰好落在第二象限的概率为【知识点】几何概型；简单线性计划．E5 K3【答案解析】92解析：不等式组1 02 0 0x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为一直角三角形，其面积为=，点P 恰好落在第二象限平面区域为一直角三角形，其面积为=，∴点P 恰好落在第二象限的概率为=．故答案为：．【思路点拨】先依照不等式组画出平面区域，然后求出区域的面积，和点P 恰好落在第二象限区域内的面积，最后利用几何概型的概率公式解之即可．【题文】14、已知直线:l x y -+=14360和直线:pl x =-22，假设抛物线:()C y px p =>220上的点到直线l 1和直线l2的距离之和的最小值为2，那么抛物线C 的方程为 【知识点】抛物线的简单性质．H7【答案解析】y x =24 解析：设抛物线上的一点P 的坐标为（a2，2a ），那么P 到直线l2：x=﹣的距离d2=a2+；P 到直线:l x y -+=14360的距离d1=，那么d1+d2=+a2+=a2﹣a++，当a=时，P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2， ∴p=2，∴抛物线C 的方程为y2=4x 故答案为：y2=4x ．【思路点拨】设出抛物线上一点P 的坐标，然后利用点到直线的距离公式别离求出P 到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方式，求出距离之和的最小值，即可得出结论．【题文】1五、给出概念：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()''f x 是函数()'f x 的导数，假设方程()0''=f x 有实数解x ,那么称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”.重庆武中高2021级某学霸经探讨发觉：任何一个一元三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠都有“拐点”，且该“拐点”也为该函数的对称中心.假设3231()122f x x x x =-++，那么【知识点】利用导数研究函数的单调性．B12【答案解析】2014解析：由3231()122f x x x x=-++，∴f′（x）=3x2﹣3x﹣，∴f′′（x）=6x﹣3，由f′′（x）=6x﹣3=0，得x=，∴f（）=1，∴f（x）的对称中心为（，1），∴f（1﹣x）+f（x）=2，∴f（）+f（）=f（）+f（）=…=f（）+f（）=2∴=2021故答案为：2021【思路点拨】求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，可得f（1﹣x）+f（x）=2，从而取得那么122014()()() 201520152015f f f+++的值．三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解许诺写出文字说明、证明进程或演算步骤．）【题文】1六、（本小题总分值13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以知足乘客的需求，为此，重庆市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时刻作为样本分成5组，如下图（单位：min），回答以下问题．组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1(Ⅰ)估量这60名乘客中候车时刻少于10min的人数；(Ⅱ)假设从表中的第三、四组中任选两人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【知识点】列举法计算大体事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式．K2【答案解析】(Ⅰ) 32(Ⅱ)8 15解析：(Ⅰ)候车时刻少于10min 的概率为2681515+=， 故候车时刻少于10min 的人数为8603215⨯=.(Ⅱ)将第三组乘客别离用字母,,,a b c d 表示，第四组乘客别离用字母,A B 表示，那么随机选取的2人所有可能如,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB bc bd bA bB cd cA cB dA dB AB ，共有15种不同的情形，其中两人恰好来自不同组包括8种情形，故所求概率为815.【思路点拨】（Ⅰ）候车时刻少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求．（Ⅱ）从这6人当选2人作进一步的问卷调查，①用列举法列出上述所有可能情形共有15种，②用列举法求得抽到的两人恰好来自不同组的情形共计8种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率． 【题文】17、（本小题总分值13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）在ABC 中，角,,A B C 的对边别离为,,a b c ，假设向量2(,)m b c a bc =++， (,1)n b c =+-，且0m n =.（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若3a =ABC 的面积的最大值.【知识点】正弦定理；余弦定理．菁优C8【答案解析】（Ⅰ）2.3A π=（Ⅱ）3解析：（Ⅰ）因为0m n =，因此22()0b c a bc +--=，即222.b c a bc +-=- 故2221cos .222b c a bc A bc bc +--===- 又(0,)A π∈，因此2.3A π=（Ⅱ）由（Ⅰ）及3a =223.b c bc +=-又222b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号），故32bc bc -≥，即 1.bc ≤故1123sin 1sin 2234ABCSbc A π=≤⨯=【思路点拨】（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为0，列出关系式，再利用余弦定理表示出cosA ，将得出关系式代入求出cosA 的值，即可确信出角A 的大小；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosA 与a 的值代入，并利用大体不等式求出bc 的最大值，即可确信出三角形ABC 面积的最大值．【题文】1八、（本小题总分值13分，第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问7分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，且其图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为(Ⅰ)求()f x 的解析式； (Ⅱ)假设2()sin 3f αα+=，求)141tan παα-++的值.【知识点】由y=Asin （ωx+φ）的部份图象确信其解析式；同角三角函数大体关系的运用．C2 C4【答案解析】（Ⅰ）()cos f x x =（Ⅱ）59-解析：(Ⅰ)因为()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤为偶函数，故2πϕ=，从而()sin()cos 2f x x x πωω=+=.再由()f x图象上相邻的一个最高点和最低点间的距离为，知2Tπ=，从而2T π=，故1ω=. 因此()cos f x x =.(Ⅱ) 原式2sin 2cos 212sin cos 2sin 2sin cos sin cos sin 1cos cos αααααααααααα-++===++.由条件知2cos sin 3αα+=，平方得412sin cos 9αα+=，从而52sin cos 9αα=-.【思路点拨】（1）函数f （x ）=sin （ωx+ϕ）（ω＞0，0≤ϕ≤π）为偶函数，其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离，确信函数的周期，求出ω，确信ϕ的值，求出f （x ）的解析式；（2）把上一问求出的结果代入函数的解析式，取得角的正弦与余弦的和，用诱导公式和二倍角公式把所给的式子进行整理，依照同角的三角函数之间的关系取得结果．【题文】1九、（本小题总分值12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）已知函数()ln ()f x x a x a R =+∈．（I ）若1a =-时，求曲线()y f x =在点1x =处的切线方程；（II ）假设0a ≤，函数()f x 没有零点，求a 的取值范围．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性.有B12 【答案解析】（Ⅰ）1y =（Ⅱ）e 0a -<≤解析：（I ）'()(0)x af x x x +=> ，切点为(1,1)，/(1)0f =，故切线方程为1y =.（II ）当0a =时，()f x x =在概念域(0,)+∞上没有零点，知足题意； 当0a <时，函数()f x 与'()f x 在概念域上的情形如下表：()f a -是函数()f x 的极小值，也是函数()f x 的最小值，因此，当()(ln()1)0f a a a -=-->，即e a >-时，函数()f x 没有零点. 综上所述，当e 0a -<≤时，()f x 没有零点.【思路点拨】（I ）求出a=﹣1时，函数f （x ）和导数，求得切点和切线的斜率，即可取得切线方程；（II ）讨论当a=0时，当a ＜0时，求出函数的单调区间和极值，判定也是最值，且与0的关系，即可判定零点的情形． 【题文】20、（本小题总分值12分，第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分）如图，正方形ABCD 所在平面与直角三角形ABE 所在的平面相互垂直，AE AB ⊥，设,M N 别离是,DE AB 的中点，已知2AB =，1AE = （Ⅰ）求证：//MN 平面BEC ； （Ⅱ）求点E 到平面BMC 的距离．ENMD CBA【知识点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．G4 G11【答案解析】 解析：(Ⅰ)证明：取EC 中点F ，连接,MF BF .由于MF 为CDE ∆的中位线，因此1//,2MF CD MF CD =；又因为1//,2NB CD NB CD=,因此//,NB MF NB MF =因此四边形NBFM 为平行四边形，故//MN BF ，而BF ⊆平面BEC ，MN ⊄平面BEC ， 因此//MN 平面BEC ；(Ⅱ)因为//MN 平面BEC ，因此：因为,AB AD AB AE ⊥⊥,因此AB ⊥平面EAD ，故AB AM ⊥,从而： 因为//CD AB ,因此CD ⊥平面EAD ,故CD DM ⊥,从而：在BMC ∆中，22MB MC BC ===,因此BMC ∆的面积112222BMC S BC ∆=⋅=⨯=因此1133E BMC BMC V S h -∆=⋅=（其中h 表示点E 到平面BMC 的距离），即1133h =，解出h =，因此点E 到平面BMC【思路点拨】（Ⅰ）取EC 中点F ，连接MF ，BF ．由线线平行证明线面平行，（Ⅱ）将体积等价转化，求出体积，再求出底面面积，从而求高，得距离．【题文】2一、（本小题总分值12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）中心在原点，核心在x 轴上的椭圆的离心率为，且通过点Q ．假设别离过椭圆的左、右核心12,F F 的动直线12,l l 相交于点P ，且与椭圆别离交于A 、B 与C 、D 不同四点，直线OA 、OB 、OC 、OD 的斜率1234,,,k k k k 知足1234k k k k +=+．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是不是存在定点M 、N ，使得PM PN+为定值？假设存在，求出点M 、N 的坐标；假设不存在，说明理由．【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程.所有H5 H8【答案解析】（Ⅰ）22132x y +=（Ⅱ）存在定点Ｍ、Ｎ为(0,1)±，使得点Ｐ知足PM PN +为定值。
高三上学期第三次月考数学试题(含答案)
高三上学期第三次月考数学试题（含答案）考生在温习中多做题是高考数学温习中最重要的局部了，为此查字典数学网整理了2021届高三上学期第三次月考数学试题，请考生及时停止练习。
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，总分值60分.在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的.1.不等式(1+x)(1-|x|)0的解集是A. B. C. D.2.等差数列中，，，那么此数列前20项和等于A.160B.180C.200D.2203.向量，, 那么是与夹角为锐角的A.必要而不充沛条件B.充沛而不用要条件C.充沛必要条件D.既不充沛也不用要条件4.对一实在数x，不等式恒成立，那么实数a的取值范围是A.(-，-2)B.[-2，+)C.[-2,2]D.[0，+)5.命题，假定是真命题，那么实数的取值范围是A. B. C. D.6.设点是函数与的图象的一个交点，那么的值为A. 2B. 2+C. 2+D. 由于不独一，故不确定7.x、y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，那么的取值范围是A.RB.C.D.8.圆C的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C相切，那么圆C的方程为A.B.C.D.9.数列的通项公式为=，其中a、b、c均为正数，那么与的大小是A. B. C. = D. 与n的取值有关10.，是平面内两个相互垂直的单位向量，假定向量满足,那么的最大值是A.1B.2C.D.11. 函数在区间上的一切零点之和等于A. 2B. 6C. 8D. 1012.函数的周期为4，且事先，其中.假定方程恰有5个实数解，那么的取值范围为A. B. C. D.第二卷本卷包括必考题和选考题两局部.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必需做答.第22题～第24题为选考题，考生依据要求做答.二.填空题：本大题共4小题，每题5分。
13.直线ax+y+1=0与连结A(2,3)，B(-3,2)的线段相交，那么a的取值范围是_ _.14.过点的直线与圆交于、两点，为圆心，当最小时，直线的方程是 .15.、满足约束条件，假定目的函数的最大值为7，那么的最小值为。
重庆一中2021届高三数学5月月考 文(1)
2021年重庆一中高2021级高三下期第三次月考 数 学 试 题（文科）一 选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分.） 1．已知集合{}211,M xN x x x x ⎧⎫=<-=<-⎨⎬⎩⎭，那么 2．函数ln xy x=的概念域为 3．某学期地理测试中甲的成绩如下：82，84，84，86，86，88，乙的成绩如下：81，83，85，85，87，95，那么以下关于两组数据的描述相同的是.A 众数 .B 平均数 .C 中位数 .D 方差4．假设变量,x y 知足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为,最小值为,那么的值是（ ）5．已知命题:,cos p x R x a ∃∈≥，以下的取值能使“p ⌝”命题是真命题的是 6．已知数列}{n a 中，n a a a n n +==+11,1，利用如下图的程序框图计算该数列的 第10项，那么判定框中应填的语句是（ ）7. 已知双曲线2222 1 (,0)x y a b a b-=>的一条渐近线与圆8)322=+-y x （相交于N M ,两点，且4=MN ，那么此双曲线的离心率为（ ）8. 已知函数()sin (0)f x wx w =＞的一段图像如下图，△ABC 的极点与坐标原点重合，是)(x f 的图像上一个最低点，在轴上，假设内角C B A ,,所对边长为c b a ,,， 且△ABC 的面积知足22212b c a S +-=，将)(x f 右移一个单位取得)(x g ，那么)(x g 的表达式为9．已知正三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径为1，那么该三棱柱的体积是（ ） 10．已知函数)()(R x e x x f x∈=，假设关于的方程2()()10f x tf x t -+-=恰好有4个不相等的实数根，那么实数的取值范围为二． 填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分） 11．已知复数52z i =- ，那么z = ． 12．已知等差数列{}n a ，3918,a a +=那么它的前11项和11S = . 13．一个几何体的三视图如下图，那么那个几何体的体积为 .主视图 侧视图 俯视图 14．已知点是ABC ∆的重心，假设2,33A AB AC π=•=-，则AP 的最小值_____ 15. 已知直线过椭圆22143x y +=的左核心1F ，且与椭圆交于,A B 两点，过点,A B 别离作椭圆的两条切线，那么其交点的轨迹方程三． 解答题（本大题共6小题，共75分）16．（原创）（本小题总分值13分）已知数列{}n a 的前项和2=n S n ，（1）求数列{}n a 的通项；（2）求数列{}+3n an a 的前项和n T ；17.（ 原创）（本小题总分值13分）重庆市某知名中学高三年级甲班班主任近期对班上每位同窗的成绩作相关分析时，取得石周卓婷同窗的某些成绩数据如下： 第一次考试 第二次考试 第三次考试 第四次考试 数学总分 118 119 121 122 总分年级排名133127121119（1）求总分年级名次对数学总分的线性回归方程y bx a =+;（必要时用分数表示）（2）假设石周卓婷同窗想在下次的测试时考入前100名，预测该同窗下次测试的数学成绩至少应考多少分（取整数，可四舍五入）。
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重庆一中2021届高三第一学期第三次月考数学试题本卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．作答时，务必将答案书写在答题卡规定的位置上．写在本试卷上及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回．一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确选项．1．已知复数21iz i=-，则复数z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1 C ．i D ．i -2．已知集合{}2|2,A x x x Z =<∈，则A 的真子集共有（ ）个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．73．已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ） A ．10π B ．12π C ．14π D ．16π4．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足()12212.5lg lg m m E E -=-，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍．（当x 较小时，2101 2.3 2.7x x x ≈++）A ．1.22B ．1.23C ．1.26D ．1.27 5．向量,a b 满足||1a =，a 与b 的夹角为3π，则||a b -的取值范围为（ ） A ．[1,)+∞ B ．[0,)+∞ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3⎫+∞⎪⎣⎭6．已知三棱锥P ABC -，过点P 作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC 中的一点，且,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，则点O 为ABC 的（ ）A ．垂心B ．内心C ．重心D ．外心7．设sin5a π=，2log3b =2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个确定的球面上，且6BA BC ==2ABC π∠=，若三棱锥P ABC -体积的最大值为3，则其外接球的半径为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中错误．．的是（ ） A ．若,,//m n m n αβ⊆⊆，则//αβ B ．若,m n m α⊆⊥，则n α⊥ C ．若,m n αα⊥⊆，则m n ⊥ D ．若//,,m n αβαβ⊆⊆，则//m n 10．下列函数中，在(0,1)内是减函数的是（ ）A ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ．212log y x = C ．121y x =+ D ．2log sin y x =11．下列关于函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的为（ ）A ．函数()f x 的图像关于直线83x π=对称 B ．将函数()f x 的图像向右平移3π个单位所得图像的函数为12sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在区间5,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D ．若()f x a =，则1cos 232a x π⎛⎫-=⎪⎝⎭12．定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x x<'，则对任意1x 、2(0,)x ∈+∞，其中12x x ≠，则下列不等式中一定成立的有（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +<+B ．()()()()21121212x xf x f x f x f x x x +<+ C ．()1122(1)x x f f < D ．()()()1212f x x f x f x <三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡相应的位置上．13．已知球O 的体积为323π，则球O 的表面积为___________． 14．已知向量,a b 不共线，若a b λ+与2a b +平行，则λ的值为___________．15．一般把数字出现的规律满足如图的模型称为蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行，依此类推，则第21行从左至右的第4个数字应是____________．16．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且101a <<，20201a =，则q 的取值范围为_________；能使不等式12121110m m a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立的最大正整数m =_________．（注：前一空2分，后一空3分）四、解答题：本大题6个小题，共70分，各题解答必须答在答题卡相应题目指定方框内，并写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．17．（本小题满分10分）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，M 是线段AB 的中点，1160,22,2,6DAB AB CD DD C M ∠=︒====．（1）求证：1//C M 平面11A ADD ；（2）求异面直线CM 与1DD 所成角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：13a =，且对任意的n N *∈，都有1，1,n n a a +成等差数列． （1）证明数列{}1n a -等比数列；（2）已知数列{}n b 前n 和为n S ，条件①：()1(21)n n b a n =-+，条件②：11n n n b a +=-， 请在条件①②中仅选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．．来求数列{}n b 前n 和n S ． 注：若两个条件都计算了．．．．．．．．．，只按照第一个条件来评分．．．．．．．．．．．！ 9．（本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，短轴的两个端点分别为12,B B ．且122B B =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且11F P FQ ⊥，求直线l 的方程． 20．（本小题满分12分）已知()cos sin 3cos 222x x x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）求()f B 的取值范围；（2）当434,a b ==，且()f B 取（1）中的最大值时，求ABC 的面积． 21．（本小题满分12分）在直三棱柱111ABC A B C -中，12,120AB AC AA BAC ==∠=︒，D ，1D 分别是线段11,BC B C 的中点，过线段AD 的中点P 作BC 的平行线，分别交AB ，AC 于点M ，N ．（1）证明：平面1A MN ⊥平面11ADD A ；（2）求二面角1A A M N --的余弦值． 22．（本小题满分12分）已知21()(1)2xf x e ax b x =---．其中常数 2.71828e ≈⋅⋅⋅⋅⋅⋅． （1）当2,4a b ==时，求()f x 在[1,2]上的最大值； （2）若对任意0,()a f x >均有两个极值点()1212,x x x x <， （ⅰ）求实数b 的取值范围；（ⅱ）当a e =时，证明：()()12f x f x e +>．参考答案一、单项选择题：1-8：BDBCDACA二、多项选择题：9．ABD 10．ABC 11．AD 12．ABC 三、填空题13．16π 14．1215．228 16．1q > 4039 四、解答题17．解：（1）证明：因为四边形ABCD 是等腰梯形，且2AB CD =，所以//AB DC ．又由M 是AB 的中点，因此//CD MA 且CD MA =．连接1AD ，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为1111//,CD C D CD C D =，可得1111//,C D MA C D MA =，所以四边形11AMC D 为平行四边形．因此11//C M D A ，又1C M ⊄平面11A ADD ，1D A ⊂平面11A ADD ，所以1//C M 平面11A ADD ． 5分（2）因为//CM DA ，所以异面直线CM 与1DD 成的角，即为 DA 与1DD 相交所成的直角或锐角，在1ADD 中，16C M =，故116,1,2AD AD DD ===，由余弦定理可得：22211 111cos24AD DD ADADDAD DD+-∠==-⋅，故异面直线CM和1DD余弦值为14．10分18．解：（1）由条件可知112n na a++=，2分即121n na a+=-，∴()1121n na a+-=-，且112a-=4分∴{}1na-是以112a-=为首项，2q=为公比的等比数列，∴12nna-=，∴()21nna n N*=+∈6分（2）条件①：()1(21)(21)2nn nb a n n=-+=+，123325272(21)2nnS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分23412325272(21)2nnS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()12(21)2nns n n N+*=-+∈12分条件②：11(1)12nnnnb na+⎛⎫==+⋅ ⎪-⎝⎭231111234(1)2222n nS n=⋅+⋅+⋅+++⋅8分234111111234(1)22222n nS n+=⋅+⋅+⋅+++⋅10分利用错位相减法可求得()13(3)2nns n n N*⎛⎫=-+∈⎪⎝⎭12分注：若两个条件都计算了，只按照第一个条件来评分！19．解（1）易知椭圆C的方程为2212xy+=4分（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为1x=，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，22(1)12y k x xy =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214210k x k x k +-+-=，()2810k ∆=+>， 6分 设()()1122,,,P x y Q x y ，则()22121222214,2121k k x x x x k k -+=⋅=++， ()()1111221,,1,F P x y FQ x y =+=+，∵110F P FQ ⋅=， 8分 即()()()()()2221212121211110x x y y k x x k x x k i +++=+--+++=， 得217,77k k ==±． 10分 故直线l 的方程为710x +-=，或710x --=． 12分 20．解：（1）2()cossin 3sin cos 3222222x x x x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ 13(cos 1)3sin sin 2232x x x π+⎛⎫=+=++⎪⎝⎭4分 因为B 为三角形的内角，所以(0,)B π∈所以4,333B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3()0,1f B ⎛∈+ ⎝⎦ 5分 （2）3()1326f B B B πππ=+⇒+=⇒= 7分 由正弦定理得：43433sin 1sin sin sin 22a b A A B A =⇒=⇒=9分 若3A π=，则2C π=，183sin 2ABCSab C == 11分 若23A π=，则6C π=，143sin 2ABCS ab C == 12分 21．（1）证明：因为AB AC =，D 是BC 的中点，所以，BC AD ⊥． 因为//MN BC ，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点．所以MN AD ⊥．因为1AA ⊥平面ABC ，MN ⊂平面ABC ，所以1AA MN ⊥． 又因为AD ，1AA 在平面11ADD A 内，且AD 与1AA 相交， 所以MN ⊥平面11ADD A ，．又MN ⊂平面1A MN ， 所以平面1A MN ⊥平面11ADD A ； 5分（2）设11AA =．如图，过1A 作1A E 平行于11B C ，以1A 为坐标原点，分别以1111,,A E A D A A 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -（点O 与点1A 重合）．则1(0,0,0),(0,0,1)A A ．因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为,AB AC 的中点，故3131,1,,122M N ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1131,,1,(0,0,1),(3,0,0)2A M A A NM ⎛⎫===⎪⎝⎭． 6分 设平面1AA M 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111,,n A M n A A ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即11110,0,n A M n A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()11111131,,,10,22,,(0,0,1)0.x y z x y z ⎧⎛⎫⋅=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩从而1111310,220.x y z z ++=⎨⎪=⎩取11x =，则13y =- 所以1(1,3,0)n =-是平面1AA M 的一个法向量． 8分 设平面1A MN 的法向量为()2222,,n x y z =，则212,,n A M n NM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩即2120,0,n A M n NM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩故有()()22222231,,,10,2,,3,0,0)0.x y z x y z ⎧⎫⋅=⎪⎪⎨⎝⎭⎪⋅=⎩ 从而2222310,2230.x y z x ++==取22y =，则21z =-， 所以2(0,2,1)n =-是平面1A MN 的一个法向量． 10分 设二面角1A A M N --的平面角为θ，又θ为锐角， 则1212|(1,3,0)(0,2,1)|15cos 25n n n n θ⋅-⋅-===⨯ 故二面角1A A M N --1512分 22．解：（1）2()4(1)[1,2]xf x e x x x =---∈，()24,()20xxf x e x f x e ''=='--->∵()f x '在[1,2]上单增，且2(2)80f e -'=<，∴()0,()f x f x <'在[1,2]上单减，∴max ()(1)1f x f e ==-． 3分（2）（ⅰ）(),()xxf x e ax b f x e a =-'-='-'，()f x '在(,ln )a -∞单减，(ln ,)a +∞单增， ∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴(ln )ln 0f a a a a b =--<'，ln b a a a >-对任意0a >都成立，设()ln g a a a a =-，()ln ,()g a a g a '=-在(0,1)单增，(1,)+∞单减，∴(1)1b g >=，又∵0,,()ba b f e x f x a -⎛⎫-=>→+∞→+∞ ⎪⎝⎭''，∴1b >． 7分（ⅱ）当a e =时，()xf x e ex b '=--，可证()f x '在(,1)-∞单减，在(1,)+∞单增，∵12,x x 是()0f x '=两根，且12x x <．∴121,1x x >> 设()()(2),(1)h x f x f x x -'-<'=则2()2220xxh x e ee e e -=+->-='∴()h x 在(,1)-∞单增，()(1)0,()(2)h x h f x f x ''<=<-∵()()()112111,21,2x x f x f x f x <-=<''-'>，又∵()f x '在(1,)+∞上单增， ∴212x x <-，即1222x x x <-<，又∵()f x 在()12,x x 上单减，()()122f x f x >-()()()()2222122222222x x f x f x f x f x e e ex ex e -+>-+=+-+-令22()22x xM x e eex ex e -=+-+-，(1)x >22()22,()20x x x x M x e e ex e M x e e e --=--''+-'=+≥，()M x '在(1,)+∞单增，(1)0M '=，∴()0M x '>，故()M x 在(1,)+∞单增又∵x ()221,(1)x M x M e >>=，∴()()12f x f x e +> 12分。