反比例函数图像的画法
《反比例函数的图像》课件
VS
与曲线交点
反比例函数图像也可能与一些曲线相交， 这些交点同样可以通过联立方程求解得到 。
反比例函数图像与坐标轴的关系
渐近线
反比例函数图像会无限接近于坐标轴，但不会与坐标轴相交。
截距
在$x$轴或$y$轴上，反比例函数图像可能会与坐标轴相交于某一点，这个点称为截距。
THANKS
感谢您的观看
反比例函数的应用
在物理学中，反比例函数可以用 于描述一些物理量之间的关系，
例如电流与电阻之间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用 于描述一些经济量之间的关系， 例如生产成本与生产量之间的关
系。
在实际生活中，反比例函数的应 用还有很多，例如在工程、航空
航天等领域都有广泛的应用。
02
反比例函数的图像 绘制
02
该函数在平面坐标系上的图像是 一个双曲线，随着 k 的正负不同 ，图像分布在第二、四象限或第 一、三象限。
反比例函数的性质
当 k > 0 时，图像分布在第一、三象 限；当 k < 0 时，图像分布在第二、 四象限。
随着 x 的增大或减小，y 的值会无限 趋近于 0，但永远不会等于 0。
反比例函数的图像在 x 轴和 y 轴上都 没有渐近线。
在经济学中的应用
描述人口变化
在人口统计学中，人口变化率与 当前人口数量成反比，可以用反
比例函数来描述。
分析供需关系Βιβλιοθήκη 在经济学中，供需关系可以用反比 例函数来描述，例如当供应量增加 时，需求量会减少。
预测股票价格
股票价格的变化与市场供求关系密 切相关，可以用反比例函数来预测 股票价格的走势。
在日常生活中的应用
04
反比例函数图像的 实际应用
17.1.2反比例函数的图像和性质(1)
6 作函数图像 画出反比例函数 y = x 和 y = 的函数图象。 的函数图象。
函数图象画法 列 表 描 点 连 线
6 x
x y= 6 x y= 6 x
注意： 注意：①列表时自变量 取值要均匀和对称② 取值要均匀和对称②x≠0 选整数较好计算和描点。 ③选整数较好计算和描点。
x
… -6 1
y
6 5 4 3 2 1
0
y
0
x
y= 6 x
反比例函数的性质
y
1.当k>0时,图象的两个分支 1.当k>0时 分别在第一 三象限内 第一、 分别在第一、三象限内,在 每个象限内, 每个象限内,y随x的增大而 减小。 减小。 2.当k<0时,图象的两个分支 2.当k<0时 分别在第二 四象限内 第二、 分别在第二、四象限内，在 每个象限内，y随x的增大而 每个象限内， 增大。 增大。
问题3 问题3：观察反比例函数 y=- 1 与 y= 1 的图像， y= 1 的图像分布在 的图像， y=6 6 6 y=象限,图像在每一个象限内y 第 象限,图像在每一个象限内y随x的增大而 ；而 y=- 1 6 的图像分布在第 而 。 象限，图像在每一个象限内y随x的增大 象限，图像在每一个象限内y
两条性质都是 两条性质都是 0） 在y=kx-1（k ≠ 0）中
课外作业本节课的人生感悟
第47页（综合运用第5 47页
、 6两小题）
“学如逆水行我舟，不进则退”。学习和 学如逆水行我舟，不进则退” 学习和 玩乐成反比， 玩乐成反比，此消彼长，此长彼消，故我 们在学习和生活中要学会控制自已，要努 学习和生活中要学会控制自已， 中要学会控制自已 力做好该做的和能做的事。 做好该做的和能做的事。 该做的和能做的事
反比例函数
第十七章 反比例函数一、基础知识1. 定义：一般地，形如xk y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
x ky =还可以写成kxy =1-2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。
分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。
⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
45. 点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xky =中的两个变量必成反比例关系。
7. 反比例函数的应用二、例题【例1】如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数xk y =，（0≠k ）即kx y =1-（0≠k ）又在第二，四象限内，则0<k 可以求出的值 【答案】由反比例函数的定义，得：⎩⎨⎧<-=-+01222k k k 解得⎪⎩⎪⎨⎧<=-=0211k k k 或 1-=∴k1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为xy 1-=【例2】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
反比例函数及其图像画法
的函数，称y是x的反比例函数.
还可表示为：xy=k 或y=kx-1 想一想:
反比例函数的自变量x能不能是0? 为什么?
练一练 比一比
在下列函数表达式中,哪些是反比例 函数?并指出每一个反比例函数相应的 k值是多少?
1y 5 ;2y 0.4 ;3y x ;4xy 2.
（2）当 S = 0.5 时，求物体承受的压强 p 的值.
解（1）根据题意，设 p k . s
函数图象经过点（0.1，1000），代入上式，得 1000 k . 0.1
解方程，得 k = 100 .
答：p 与 S 之间的函数表达式为 p 100（p＞0，S＞0）.
S
（2）当 S = 0.5 时， p 100 200.
某市距省城248 km，汽车行驶全程所需的时间t h 与平均速度v km/h之间有怎样的函数关系？
t 248 . v
合作探究 获取新知
问 题（三）
在一个电路中，当电压U一定时，通过电路的 电流I的大小与该电路的电阻R的大小之间有怎样的
函数关系？
IU. R
合作探究 获取新知
观察思考：
y 200 . x
随堂练习 巩固提高
6.已知y与x-1成反比例,当x=2时,y=4.求y与x的函 数关系式.
解：设y k ,则 k 4 x 1 21
k 4
y 4 x 1
7.若 y =（a+2）x a2 2a 1为反比例函数关系式，则a=＿0 .
解：∵y =（a+2）xa2 2a 1为反比例函数， ∴a+2≠0且a2+2a-1=0， ∴a=0.
2 x2
2、已知函数 y = xm -7 是x -1正= 比1x 例函数,则 m = _8__ ； 已知函数 y = xm -7 是反比例函数,则 m = __6_ 。
反比例函数的图象和性质课件
３.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
反比例函数的性质
y
1.当k>0时,图象的两个分
支分别在第一、三象限内，
x
在每一个象限内，y随x的
0
增大而减小；
y
2.当k<0时,图象的两个分
-4
函数y=kx-k 与 y k k 0在同一条直角坐标系中的 图象
x
可能是
:D
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)
在每一象限内，Y 随x 的增大而___增___大___.
3. 函数y=—x5— ,当x>0时,图象在第__一__象限, Y 随x 的增大而___减__小____.
4.下列函数中,图象位于第二、四象限的
有 (3)、；(在4)图象所在象限内，y的值随x
的增大而增大的有
(2).、(3)、(5)
(1)y 2 (2)y 2x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5 -5
-6 -6
y
6
5
y
=-
6 x
4
y
=
6 x
3
2
请大家仔细观察反比例函数
y 6
和
y
6
的函数
x
x
1
图象，找找看，他们有什么共同
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
反比例函数的图像和性质ppt课件
7、若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数 y = - 1 0 0 的图象上，则（
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
）
A、y1>y2>y3 C、y3>y1>y2
B、y2>y1>y3 D、y3>y2>y1
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
已知点A(2,y1)， B（5,y2)C是（反-3比,y例3)函是数y 象上的两点．请比较y1,y2的,y大3的小大．小．
4 x
图
y
⑴代入求值
y1 A B
-3 y2 O2 5
C y3
⑵利用增减性
⑶根据图象判断
x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
1、反比例函数y= - 5 的图象大致是（ D ）
y
x
y
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
2、我校食堂有5吨煤，用y表示可以用的天数
，用x表示每天的烧煤量，则y关于x的函数的
10
１、这几个函数图象有 8 什么共同点？
２、函数图象分别位于 6 哪几个象限？
4
３、y随的x变化有怎
反比例函数的图象和性质 课件
5
y =-
6 x
4
3
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
反比例函数的图象和性质
反比例函数 y k
x
（k为常数，k≠0)
y
· K<0
Байду номын сангаас
A k>0
O
X
B·
图象
双曲线
k>0
性 质
k<0
双曲线的两支分别 位于第一、第三象限， 在每个象限内 y值随x值的增大而减小。
1
1.2 1.5
2
3
y
6
5
4 3
y
=
6 x
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
-1 1 2 3 4 5 6 …
-6 6 3 2 1.5 1.2 1 …
6 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 -1 …
y
6
5
y =-
6 x
4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
例1
画出反比例函数 y =
6 x
和y=
6 x
的函数图象。
函数图象画法
描点法
列 表
描 点
连 线
x
y
=
6 x
y=
6 x
注意：①自变量取值范围x≠0
②列表时自变量取值要均匀和对称 ③选整数较好计算和描点。
26.1.2反比例函数的图像和性质1
——老师与同学们共勉
26.1.2 反比例函数图像及性质
6 1、画反比例函数 x 分析：所要画的图象是反比例函数的图象，自变量的取值 范围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？
y
活动一、类比联想，探索交流
1、在每一个象限内
比较： １．当自变量为－３，－２， －１时，函数值的大小？ ２．当自变量为１，２，３时 ，函数值的大小？
-
6 观察 y 的图象 x
2、在整个自变量的取值范围内
6 y x
C
·
6 5 4 3
y
2
1
思考：你发现了什么？
３．你能利用你的发现来比较 ：当自变量为－３，２时，函 数值的大小吗？
x
… -6 1
-5 -4
1.2 1.5
-3 -2 2 3
-1 -6 6
1 6
2 3
3 2
4
5
6 1
… … …
-1 -1.2 -1.5 -2 -3
1.5 1.2
-6 -3
-2 -1.5 -1.2 -1
y
6 5
y= 6 x
y =- 6 x
4 3 2 1
1
2
3
4
5
6
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
5
6
3 (1) y 2x 1 (2) y 2x 7 (3) y 4x
, 。
1 (4) y 800 x
练一练
7.若点（-2，y1）、（-1，y2）、（2，y3）在
反比例函数的图像和性质讲解和练习
反比例函数的图像和性质知识点一：反比例函数的图像和性质思考：1.画函数图像的方法是什么？其一般步骤有那些？应注意什么？2.从反比例函数的解析式判定，你能否猜想它的图像应该具备那些特征呢？ 在同一坐标系中作反比例函数y 2=和y 2-=图象．x观察y 2=和y 2-=的图像，你能总结出它们的图像性质和函数性质吗？请思考)0(≠=kky 的图像及性质注意：（1）双曲线的两条双曲线是断开的，研究反比例函数的性质时，要将两条曲线分别讨论，不能一概而论。
（2）反比例函数图像的两条双曲线无限接近 轴和 轴，但永远不会与x 轴和y 轴 。
（3）反比例函数的图像是对称图形反比例函数的图像既是轴对称图形又是中心对称图形； ① )0(≠=k xky 的图象是轴对称图形，其对称轴是 和 两条直线② )0(≠=k x ky 的图像是中心对称图形，对称中心是 ③)0(≠=k x k y 和)0(≠-=k xky 在同一坐标系中的图像关于x 轴、y 轴成轴对称例1：已知反比例函数23(1)m y m x -=-的图象在第二、四象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？练习1：已知反比例函102)2(--=m x m y 的图象在第一、三象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？练习2：已知反比例函52)1(--=m x m y 的图象在第一、三象限，求m 值，并指出在每个象限内y 随x 的变化情况？例2：在函数xky =(k>0)的图像上有三点),(111y x A ，),(222y x A ，),(333y x A ，已知3210x x x <<<，则下列各式中正确的是（ ）A 、321y y y <<B 、323y y y <<C 、312y y y <<D 、213y y y <<例3： 反比例函数2y x=-， 当x =－2时，y = ；当x ＜－2时，y 的取值范围是 ； 当x ＞－2时，y 的取值范围是 ． 练习1：反比例函数:xy 1=， 当x =1时，y = ；当x ＜1时，y 的取值范围是 ； 当x ＞1时，y 的取值范围是 ． 练习2：反比例函数:xy 3=， 当y =3时，x = ；当y ＜3时，x 的取值范围是 ； 当y ＞3时，x 的取值范围是 ． 练习3：画出反比例函数6y x=的图象，并根据图象回答下列问题： (1)根据图象指出x =－2时y 的值．(2)根据图象指出当－2＜x ＜1时，y 的取值范围． (3)根据图象指出当－3＜y ＜2时，x 的取值范围．知识点二：反比例函数中比例系数K 的几何意义 平面直角坐标系中有六点A （1,5），B （-3,35-），C （-1,-5），D （2, 25-），E （3,35），F（25,2），其中五个点在同一反比例函数图像上，不在这个反比例函数图像上的点是总结：反比例函数xky =中比例系数K 的几何意义 （1） 过双曲线)0(≠=k x ky 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为 过双曲线)0(≠=k xky 上任意一点作x 轴或y 轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为例1：下列变式图中，哪些可以直接应用结论？练习1：在反比例函数xy 4=的图像中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）练习2：在反比例函数xy 2-=的图像中，阴影部分的面积不等于2的是（ ）例2： 如图，A 、C 是函数1y x=的图象上任意两点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，过C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记Rt△AOB 的面积为S 1，Rt△OCD 的面积为S 2，则( )A ．S 1＞S 2B ．S 1＜S 2C ．S 1=S 2D ．不能确定练习1：如图，过点O 作直线与双曲线)0(≠=k xky 交于A 、B 两点，过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥y 轴于点D ，在x 轴上分别取点E 、F ，使点A 、E 、F 在同一条直线上，且AE=AF ，设图中矩形ODBC 的面积为S 1，△EOF 的面积为S 2，则S 1、S 2的数量关系是（ ）A 、S 1=S 2 A 、2S 1=S 2 A 、3S 1=S 2 A 、4S 1=S 2练习2：如图，A 、B 是反比例函数)0(2>=x xy 图象上的两点，AC ⊥y轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，OB 与AC 相交于点E ，记△AOE 的面积为S 1，四边形BDCE 的面积为S 2，则S 1、S 2的大小关系是（ ） A 、S 1=S 2 B 、S 1<S 2 C 、S 1>S 2 D 、不能确定例3： 如图，点A 、B 是双曲线3yx=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若S 阴影=1，则S 1+S 2=________．练习1：如图，过点P （2,3）分别作PC ⊥x 轴于点C ，PD ⊥y 轴于点D ，PC 、PD 分别交反比例函数)0(2>=x xy 的图像于点A 、B ，则图中阴影部分的面积为练习2：如图，双曲线)0(>=kxky 与⊙O 在第一象限内交于点P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x 轴、y 轴作垂线，已知点P 坐标为（1,3），则图中阴影部分的面积为例4：如图，点A 、B 在反比例函数xky =的图像上，且A 、B 的横坐标分别为a 、2a(a>0),如果S △AOB =2，则反比例函数的解析式为练习1：如图，双曲线)0(>=k xky 经过矩形OABC 的边BC 的中点 E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为练习2：已知A 是xky =图象上一点，E 是横轴上一点，△AEB 中AE ⊥EB,AE=EB.DE ⊥AB 交纵轴于D ，若△DEB 的面积为2，则双曲线的解析式为练习3：双曲线1y 、2y 在第一象限的图象如图所示，已知14y x=，过1y 上任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若S △AOB =1，则2y 的解析式是( ) A.22y x = B.23y x = C.25y x = D.26y x=练习4：如图，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4。
反比例函数、一次函数及二次函数性质及图像
反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以为对称中心的中心对称的反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与相交（K≠0）。
2、性质：1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
为x≠0；为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的，与坐标轴围成的面积为S1，S2则S1＝S2=|K|5. 反比例函数的图象既是，又是，它有两条y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），是坐标原点。
6.若设y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于。
7.设在内有反比例函数y=k/x和y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。
8.反比例函数y=k/x的：x轴与y轴。
9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x,并且关于原点中心对称.10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的越远。
13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
反比例函数及其图像
反比例函数及其图象一、知识点讲解1．反比例函数的概念定义：一般地，函数y=(k是常数，k≠0)叫做反比例函数，其中自变量x的取值范围是x≠0。
注意：①反比例函数三种形式：反比例函数y=(k是常数，k≠0)可以写成y=k·x-1(k是常数，k≠0), 自变量x的指数是-1；也可写成xy=k(k是常数，k≠0)。
②注意k≠0的条件，否则不是反比例函数。
③反比例函数中，两个变量成反比例关系：由xy=k，因为k为常数，k≠0，两个变量的积是定值，所以y与x成反比变化，而正比例函数y=kx(k≠0)是正比例关系：由=k(k≠0)，因为k 为不等于零的常数，两个变量的商是定值。
2．反比例函数的图象和性质反比例函数y=(k≠0)的图象是双曲线，其图象和性质如下表y=(k≠0)3．与正比例函数y=kx(k≠0)比较：反比例函数y=kx-1(k≠0)的图象是双曲线，与坐标轴没有交点。
正比例函数y=kx(k≠0)的图象是直线，经过原点。
y=(k≠0)4．反比例函数y=(k≠0)的图象的画法及应注意的问题画图方法：描点法。
由于双曲线的图象有关于原点对称的性质，所以只要描出它在一个象限内的分支，再对称地画出另一分支。
一定要注意：k>0，双曲线两分支分别在第一、三象限。
k<0，双曲线两分支分别在第二、四象限。
特点：y==kx-1(k≠0)中，∵x≠0，∴y≠0，则有双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交。
但无限靠近x轴、y轴。
画图时图象要体现这种性质，千万注意不要将两个分支连起来。
5．反比例函数解析式的确定。
在反比例函数y=(k≠0)定义中，只有一个常数，所以求反比例函数的解析式只需确定一个待定系数k，反比例函数即可确定。
所以只要将图象上一点的坐标代入y=中即可求出k值。
二、例题分析：例1.选择题：1．已知函数y=的图象经过（1，-2）点，那么函数y=kx+1的图象，不经过（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限解：∵y=经过（1，-2）点，∴-2=，∴k=-2。
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
高中数学之反比例函数类的图像画法与性质总结
反比例函数类的图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。
也是比较常考常用的。
下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。
1、画图方法步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。
例1 作321xyx+=+的图像解：()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。
因此渐近线的交点就是（-1,2）。
画出渐近线并画图函数图像如下注意到该函数恒过点（0,3），中点为（-1,2）例2 作341xyx-=-的图像解析：()3113413111xxyx x x---===----显然是将（0,0）平移到了（1,3）画出渐近线并作函数图像如下。
这里需要注意，分子为-1，实际上该函数图像是由1y x=-平移得来的。
2、核心性质 通过以上作图，很容易观察到ax b y cx d +=+具备如下性质 （1）d x c ≠-（2）a y c≠ （3）恒过点(0,)bd（4）中心对称点为,d a c c ⎛⎫⎪⎝⎭3、习题小练 求值域：（1）32(0)1x y x x+=>+ （2）4[3,6]2y x x =∈- （3）1(1,2]3x y x x -+=∈-+ （4）34[3,5]1x y x x -=∈- （5）42(1,0]1x y x x -+=∈-- 解：画图各个函数的图像，从图像上看即可。
画图略。
答案如下（1）(2,3)y ∈（2）[2,4]y ∈（3）1[,1)5y ∈-（4）511[,]24 y∈（5）(3,2]y∈--。
反比例函数图象的画法不同象限分比例函数图像反比例函数图像与k的关系意义
一、反比例函数图象的画法步骤①列表：自变量的取值应以原点为中心，在原点的两侧取三对(或三对以上）互为相反数的值，填写 y值时，只需计算一侧的函数值，另一侧的函数值是与之对应的相反数；②描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；③连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲钱的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。
二、反比例函数的图像及性质反比例函数的图象：1.反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2.反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线，反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
不同象限分比例函数图像：常见画法：反比例函数图象的画法：（1）列表：（2）描点：在平面直角坐标系中标出点。
（3）连线：用平滑的曲线连接点。
当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。
当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。
常见画法当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用：过反比例函数（k≠0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积。
过反比例函数过一点，作垂线，三角形的面积为。
研究函数问题要透视函数的本质特征。
反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x 轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。
从而有k的绝对值。
反比例函数的图像和性质
回顾思考
反比例函数的一般表达式是怎样的？ 学校本学年设立了10000元助学金，设被评选助学金人数 x（人）、人均助学金y（元）,y与x的函数关系式是 函数的表示方法有哪些？
函数的三种表示方法：表达式法、列表法、图象法。 画函数图象的一般步骤： 根据表达式列表——坐标系中描点——连线（平滑的曲线）
写出一个图象位于二、四象限的反比例函数的表达式。
反比例函数 值范围是
图象经过点（-2, 它的图象位于
的图象位于一三象限， .当x 时，图象
）的反比例函数关系式是 象限。
y C B
如图，正方形OABC的面积为5,则过 点B的反比例函数的关系式是
0
。
A
x
巩固提高 函数
y 0 x y 0 x
y=2x, y=-2x 的图象分别是哪一个？
y 0 x y 0 x
A
B y=-2x
C
D
y=2x,
议
一
议 的图象。
在同一坐标系内作出一次函数y=x+2和反比例函数 观察这两个函数的图象，你能找出它们的交点吗？
y 5 4 3 2 1
（1,3）
不画图你能求出它 们的交点坐标吗？ 解方程组的方法 y=x+2
y
反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点。
0
y
0 0 x
x
性质探索 k>0 图象位于一、三象限 K<0 图象位于二、四象限 反比例函数的图象是轴对称图形，有两条对称轴，分别是: y=x和y=-x. y x x 0 y
y
反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点。
0
y
0 0 x
人教版九下数学26-1-2反比例函数的图像和性质 课时1
1.经历画反比例函数图象的过程，归纳得到反比例函
数的图象特征和性质.
2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图
象和性质.
3.能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
课堂导入
2017游泳世锦赛在西班牙布达佩斯的多瑙河体育
中心落下帷幕. 孙杨在此次世锦赛中收获了个人世锦
赛首枚 200 米自由泳金牌.
A.-4
B.-3
C.-2
D.-1
B在 =
xB= 3
3
上
B（3,1）
圆、反比例函数
的中心对称性
C （-3,-1）
2.在同一平面直角坐标系中,函数 =
(k≠0)与 y=-kx+1(k≠0)
的图象可能是( B )
k＞0（＜0）
反比例函数过一、
三（二、四）象限
一次函数过一、二、四
（一、二、三）象限
1-2
-3
-4
-5
-6
12
y
x
1 2 3 4 5 6 x
反比例函数图象的画法：
步骤
方法
一般情况下，以坐标原点 O 为中心，在 O 的
列表 左右两侧各取三对或三对以上互为相反数的数，
并计算对应的函数值，列出表格.
以表格中各对对应值作为点的坐标，在直角坐
描点
标系中描出各点.
按照从左到右的顺序，用平滑的曲线顺次连接
-3
4y 值逐渐减小.
56
k
(3) 对于反比例函数 y (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你
x
能得出同样的结论吗？
当 k>0 时，反比例函数
y=
反比例函数的图像和性质课件1
xp(m,n)是反比例函数 上任意 一点，过P作X轴、Y轴的垂线，垂足为A、B， 求S矩形OAPB （用K的绝对值表示）
y
面积性质（一）
k 设P(m, n )是 双 曲 线 y (k 0)上 任 意 一 点 ,有 : x (1)过P作x轴 的 垂 线 ,垂 足 为 A, 则 1 1 1 SOAP OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
上，则n等于（
A ）
A、10
B、5
C、2
D、-6
2 3、下列各点在此曲线 y x 上的是（ B ）
4 3 A、（ ， ） 3 2 4 3 C、（ ， ） 3 4
3 4 B、（ ， ） 2 3 3 8 D、（ ， ） 4 3
例4：如图是反比例函数 的图象一支， 根据图象回答下列问题 ： （1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值 范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A（a， b）和b（a′，b′），如果a>a′，那 么b和b′有怎 样的大小关系？
A. 面积分别为S1 , S2 , S3 , 则有 __ A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
A S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
本节收获
1、进一步巩固复习了作函数图象的一般方法和步骤 2、亲手画出函数的图象，用类比的方法，数形结合的思想， 有了对图形进行观察、分析和归纳的体验，掌握了反比例函 数的图象和性质 k 3、反比例函数 y （k为常数，k≠0)的图象是双曲线 x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个象 限内y值随x值的增大而减小。 当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大。