运筹学第五章_目标规划

第一节目标规划实例与模型
如 8x1+10x2≥56 8x1+10x2+d-－d+=56 d-表示：当决策变量x1,x2取定一组值后，由原始目标式左端 计算出来的值与ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ想值之偏差—不足理想值的偏差 d+表示超过理想值之偏差 计算值与理想值关系： 不足：d+=0 超过：d-=0 等于：d-=d+=0 因此将总有：d+*d-=0必成立
第一优先级 决策目标 正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分 负偏差：决策 值小于目标值的 偏差部分
指标偏离函数
min( x1 , x2 ) {P1 (d1 d 2 ), P2 (d 3 ), P3 (d 4 ), P4 (d1 1.5d 2 )} s.t. 8 x1 12x2 d 3 d 3 1000 x1 2 x2 d 4 d 4 40 决 策 x d d 变 1 1 1 30 量 x2 d 2 d 2 15 x1 , x2 , d , d 0
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第二节目标规划的求解方法
一、图解法
(1)先作硬约束与决策变量的非负约束，同一般线性规划作图法 即先作：2x1+x2=11 及 x1≥0,x2≥0 (2)作目标约束，此时，先让di-=di+=0。然后标出di- 及di+的增 加方向(实际上是目标值减少与增加的方向) 对例1 x1-x2=0 x1+2x2=10 8x1+10x2=56 (3)按优先级的次序，逐级让目标规划的目标函数中极小化偏差 变量取0，从而逐步缩小可行域，最后找到问题的解
对fi(x)+di--di+=gi，要求选取一组x使： (1)若希望fi(x) ≥gi，即fi(x)超过gi可以接受，不足则不能 接受，则其对应目标函数为mindi(2)若希望fi(x) ≤gi，即fi(x)不能超过gi值，不足可以接受， 超过则不能接受，则其目标函数为：mindi+ (3)若希望fi(x)=gi，即fi(x)既不能超过也不能不足gi，只能 恰好等于gi，则其目标函数为：min(di-+di+)
第一节目标规划实例与模型
一、实 例
例1：某工厂生产甲乙两种产品，生产单位产品所需要的原材料及占用 设备台时如下表所示，该工厂每天拥有设备台时为10，原材料最大供 应量为11kg/天，已知生产 每单位甲产品可获利800元，乙产品为 1000元，工厂在安排生产计划时，有如下一系列考虑： (1)由于市场信息反馈，产品甲销售量有下降趋势，故决定产品甲的生产 量不超过产品乙的生产量 (2)尽可能不超过计划使用原材料，因为超过计划后，需高价采购原材料， 使成本增加 (3)尽可能充分利用设备，但不希望加班 (4)尽可能达到并超过计划利润5600元
约束条件
第一节目标规划实例与模型
二、建立目标规划模型的步骤

第一步：定义决策变量和有关的常量
定义决策变量和决策目标约束等式右边的常数。等 式右边的常数是可利用的资源或是决策者特定的目标值。

第二步：建立决策目标约束
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值 之间的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中， 找出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法 实现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定 其余目标的优先级。
第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
例2：设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一 个需要1小时，另一种为豪华型，装配一个需要2小时。正 常的装配时间每周限定为40小时。市场调查表明每周销售 普通型不超过30件，豪华型不超过15件。普通型每件的净 利润为8元，豪华型为每件12元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 1．总利润最大 2．装配线尽可能少加班 3．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 4．根据市场调研要求每周生产的产品数不能多于销售 的数量，即普通型电扇为30件，豪华型电扇为15件。
第二节目标规划的求解方法
x1-x2=0 x1+2x2=10 8x1+10x2=56 x2
B
8x1+10x2=56
d1-
x1-x2=0 d1+
P1:mind1+ P2:min(d2-+d2+) P3:min(d3
-) E
F D G C
d2
+ A O
d3
+
满意解为线段DG上所有点 (无穷多个解)
x1 d2
xj 0 d l , d l 0
( j 1,2, , n) (l 1,2, , L)
第一节目标规划实例与模型
其中
xj（j=1,2,…n）为决策变量； Pk（ k=1,2….K）为第k级优先因子； Wkl+,wkl- 分别为第l个目标约束的正负偏差变量的权 系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。 el（ l=1,2,….L）为目标的预期目标值；
第一节目标规划实例与模型
2、目标规划的基本概念与特点
(1)理想值(期望值) 是指决策者事先对每个目标都有个期望值 如上例的右端值：0,11,10,56 (2)正负偏差变量d+,d目标规划不是对每个目标求最优值，而是寻找使每个 目标与各自的理想值之差尽可能小的解，为此对每个原始 目标表达式(等式或不等式)的左端都加上负偏差变量d-及 减去正偏差变量d+后，都将变成等式.
甲 原材料 设备 利润/元 2 1 800 乙 1 2 1000 拥有量 11(kg) 10(台时)
第一节目标规划实例与模型
显然这是一个多目标问题，若设x1,x2分别为该厂每日生产甲，乙两种产 品的产量，则工厂决策者的考虑则可表示成： x1-x2≤0 2x1+x2 ≤11 X1+2x2 ≤10 8x1+10x2≥56
第一节目标规划实例与模型
目标规划正是为了解决这类多目标问题而产生的一种 方法。它要求决策者预先给每个目标定出一个理想值(期 望值) 目标规划就是在满足现有的一组约束条件下，求出尽 可能接近理想值的解，这个解称为满意解(不称为最优解， 因为一般情况不，它不是使每个目标都达到最优值的解)
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
绝对约束与目标约束从形式上可以转化的 如上例的绝对约束可以转化为 2x1+x2+d4--d4+=11 和附加约束d4+=0 一般地 fi(x)+di--di+=bi 附加约束 di-=0 相当于绝对约束fi(x) ≥bi 附加约束di+=0 相当于约束约束fi(x) ≤bi 附加约束di-=di+=0 相当于fi(x)=bi
第一节目标规划实例与模型
对于上例目标约束为： x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 考虑甲的生产量不能超过乙的生产量 第1优先级目标函数为：minp1d1+ 考虑尽可能地充分利用设备，但不希望加班 第2级的目标函数为：minp2(d2-+d2+) 工厂希望达到并超过计划利润5600 第3级的目标函数为:minp3(d3-)
-
d3 2x1+x2=11
x1+2x2=10
第二节目标规划的求解方法
由上图知G点坐标方程组 x1+2x2=10 8x1+10x2=56 解得x1=2,x2=4 D点坐标方程组为： x1+2x2=10 x1-x2=0 解得x1=x2=10/3

此时d1+=0,d2-+d2+=0,d3-=0都已满足
第二节目标规划的求解方法
第一节目标规划实例与模型
(3)绝对约束与目标约束 绝对约束(硬约束)是指必须严格满足的等式或不等式 约束，如线性规划问题中的所有约束条件都是绝对约束。 如上例2x1+x2 ≤11 目标约束是目标规划特有的约束，它是把要追求的目 标的理想值作为右端常数项，在目标表达式左端加减正负 偏差变量构成的等式约束，目标约束是由决策变量、正负 偏差变量及理想值构成的软约束 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3-+d3+=56
bj 为系统的资源量。
第二节目标规划的求解方法
一、图解法
用图解法求目标规划的数学模型：
minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第五章 目标规划
学习目的
了解目标规划在多目标决策中的作用
掌握目标规划的建模方法和线性目标规划基本 求解方法 了解目标规划在经济和管理中的基本应用方法
第一节目标规划实例与模型
线性规划只有一个目标函数，但实际问题中往往要考 虑多个目标，如设计一个新产品的工艺过程，不仅希望利 润大而且希望产量高、消耗低、质量好、投入少等，由于 同时考虑多个目标，使这类多目标问题要比单目标问题复 杂得多 另一方面，这一系列目标之间，不仅有主次之分，而 且有时会互相矛盾，这就给用传统方法来解决目标问题带 来了一定的困难

第三步：建立指标偏差函数
第一节目标规划实例与模型
目标规划的一般模型为：
~ min a Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K L
s.t.
a
j 1 n j 1
n
ij
x j (, )b j (l 1,2, , L)
c x d d lj j l l el
第一节目标规划实例与模型
有时在同一优先级中有几个不同的偏差变量要求极 小，而这几个偏差变量之间重要性又有区别，这时可以用 权因子来区别同一优先级中不同偏差变量的重要性，重要 性大的在偏差变量前赋予大的系数如 P3(2d3-+d3+) 表示偏差变量d3-,d3+处于同一优先级，但d3-的重要 性比d3+的大，前者重要程度约为后者的2倍
min( x1 , x2 ) {P ( d d ), P ( d ), P ( d ), P ( d 1 . 5 d 1 3 4 2 1 3 2 4 3 4 )}
s.t. G1 : G2 : G3 : G4 :
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。
第一节目标规划实例与模型
与线性规划的区别

在线性规划中，要求单个目标的优化，而目标规划 则强调使多个目标得到满意的解答 线性规划中，为得到一个可行解，必须满足所有的 约束条件。 在目标规划中，并不认为所有约束都是绝对的，因 此对于非绝对的约束，目标规划并不要求绝对满足， 而是设法使各目标离原先设定的意向指标值的偏差 尽可能的小。