运筹学第五章_目标规划
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第五章运筹学目标规划
目标约束（软约束）：引入正、负偏差变量后，对各 个目标建立的目标约束方程。
c x d d kj j k k Ek j 1 n
原来的目标函数变成了约束条件的一部分，即目标约 束(软约束)
原来的目标函数，在目标规划中只是成了问题要达到的
目标之一 ,“目标利润不低于12（百元 ）”, 可以表示 成 min{d1-}
利润（元/件）
I 5 4 6
II 10 4 8
资源限量 60 40
• 设产品I和II的产量分别为X1和X2，当用 线性规划来描述和解决这个问题时，其 数学模型为： max z 6 x1 8 x2
5 x1 10x2 60 4 x1 4 x2 40 x ,x 0 1 2
例1.某企业计划生产甲、乙两种产品，这些产品分别要在 A、B、C、D四种不同的设备上加工。各产品占用资源数 量，资源拥有量及产品利润见下表。问如何安排生产，才 能获得最大的总利润？
消耗 产品 甲 乙
设备
设备工作 台时
A
B C D 利润（百元/件）
2 1 4 0 2
2 2 0 4 3
12 8 16 12
解：设 x1， x2 分别表示甲乙产品的产量，则相应的线性 规划模型为： max z 2 x1 3 x2
2 x1 2 x2 12 x1 2 x2 8 s.t . 4 x1 16 4 x2 12 x1 , x2 0
它的最优解为: x1 =4, x2 =2, z =14
ｄ＋——超出目标的差值，称正偏差变量； ｄ-——未达到目标的差值，称负偏差变量。
ｄ＋与ｄ－两者必有一个为零
（1）ｄ-＝0，ｄ＋>0 表示实际值超出规定目标值； （2）ｄ->0，ｄ＋＝0 表示实际值未达到目标值； （3）ｄ-=0，ｄ＋＝0 表示实际值同规定目标值恰好一致。
运筹学第五章 目标规划PPT课件
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2
OORR:S:SMM
6
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
OORR:S:SMM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
李军
桂林电子科技大学商学院
第5 章 目标规划
内S容ub 提titl要e
第一节 多目标规划问题 第二节 目标规划数学模型
目标的期望值 正负偏差变量 目标达成函数 目标优先级别 第三节 目标规划的图解法 第四节 目标规划单纯形法 第五节 目标规划应用案例
2
OORR:S:SMM
6
OORR:S:SMM
第二节 目标规划的数学模型
一、目标期望值
▪ 每一个目标希望达到的期望值(或目标值、理想值)。 ▪ 根据历史资料、市场需求或上级部门的布置等来确定。
二、偏差变量
▪ 目标的实际值和期望值之间可能存在正的或负的偏差。
▪
正偏差变量
d
k
表示第k个目标超过期望值的数值；
▪
负偏差变量
d
k
(i 1.2 m )
x j 0 (j 1.2 n) d l . d l 0 (l 1.2 L )
OORR:S:SMM
试试看——目标规划模型的实例
例1 某厂生产A、B、C三种产品，装配工作在同一生产线上 完成，三种产品时的工时消耗分别为6、8、10小时，生产线 每月正常工作时间为200小时；三种产品销售后，每台可获 利分别为500、650和800元；每月销售量预计为12、10和6台。 该厂经营目标如下：
负偏差变量dk- 尽可能小,不关心超出量dk+ ：minSk= dk 若允许某个目标低于期望值，但希望不超过
正偏差变量dk+尽可能小,不关心低于量dk- ：minSk= dk+
四、优先等级权数
目标重要度不同，用优先等级因子Pk 表示第k等级目标。 优先等级因子Pk 是正的常数， Pk >> Pk+1 。 同一优先等级下目标的相对重要性赋以不同权数w。
运筹学第5章-目标规划
[1/2] -1 1 1/2 -1/2
1/2 0 0 -3/2 3/2 1 -1
1
1
-1/2
3/2 -3/2
1
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注意：此时， P2行仍有负检验数，要选X2进基，因为d2+
的 检验数是
p1
3 2
p2 0
。
0
0
P1 0
0
P1 P2 0
CB XB b
x1
X2
d1-
d1+ d2-
d2+ d3-
min d
5x2
d
d
15
（4） “设备B既要充分利用，又要尽量不加班”可表示
为
min d d
4x1
d
d
16
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10
3、目标的优先级和权系数
不同的目标重要程度不同，优先级不同；
同一层次优先级的不同目标，重要程度不同，权重不同
优先级因子：P1, P2 , P3，,...且
n
aij x j bi ,
i 1,2,....m
j1
n
clj x j
dl
d
l
gl ,
l 1,2,....L
j1
xi
0,
d
l
,
dl
0, i
1,...,m;
j
1,...L
刚性约束 柔性约束
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§5.2 目标规划的图解分析法
求解目标规划的思路： 刚性约束必须严格满足； 按优先级次序，从高层到低层逐层优化； 在不增加高层偏差值的情况下，使本层的偏差达到最小。
P1 d1- 10 [1] 0 1 -1
运筹学-目标规划
目标规划的数学模型
三.优先因子(优先等级)与优先权系数 优先因子Pk是将决策目标按其重要程度排序并表示出 来。P1>>P2>>…>>Pk>>Pk+1>>…>>PK ，k=1,2…,K。表 示Pk比Pk+1有更大的优先权。即首先保证P1级目标的实 现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级 目标的基础上考虑的；依此类推。 若要区别具有相同优先因子的两个目标的差别，这时 可分别赋予它们不同的权系数ωj,这些都由决策者按具 体情况而定。
• 优先等级法：
各目标按重要性归不同优先级而化为单目标。
• 有效解法：
寻求能照顾到各目标而使决策者感到满意的解。 但可行域大时难以列出所有有效解的组合。
• 目标规划法：
对每一个目标函数引入正的或负的偏差变量； 引入目标的优先等级和加权系数。
22
OR:SM
第二节 目标规划的数学模型
这些目标之间 相互矛盾，一 般的线性规划 方法不能求解
根据市场预测：
maxZ1=70 x1 + 120x2 minZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 ≤3600 4 x1 +5 x2 ≤ 2000 3 x1 +10 x2 ≤3000 x1 ， x2 ≥0
第一节 多目标规划问题
二、多目标规划的提出
第二节 目标规划的数学模型
1.目标约束表示
n
ckj x j
d
k
-
d
k
E*
j 1
引入正负偏差变量，对各个目标建立目标约束(软约束)
例：甲乙产品的最优生产计划。
运筹学第五章 目标规划
3x1 5x2 d 2 d2 0
2 x1 3x2 d3 d3 100
s.t.
4 x1 2 x2 d4 d4 128
x1
x2
40 30
l 1,2,3,4
x1 , x2 , dl , dl 0
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
二、目标规划模型
产品 甲 乙 资 源 拥有量
例5.1 问题的提出：对例1.1[某企业生 资源 ２ ３ 100 产两种产品，需要两种原料,有关数据 Ａ Ｂ ４ ２ 120 见表。如何安排生产计划可使总的收 益最大。]企业管理人员又提出如下目 单件收益 ６ ４ （千元） 标要求: 第一目标P1：收益不低于180千元； 第二目标P2：甲乙的产量尽量满足5:3的关系； 第三目标P3：A资源要充分利用，但不能超额。B资源可超额利用， 但最多不能超额8个单位。A、B资源的权系数分别为7和3。 由市场预测可知，甲、乙的产量不能超过40和30件。如何制定 满足上述目标要求的生产计划方案. 试建立该问题的目标规划模型。
§5.1 问题的提出与目标规划模型
请思考:目标函数怎么写? 如果这么写:
min z d1 (d2 d2 ) (d 3 d3 ) d4
目标函数：管理目标和实际可能完成的目标之间的偏差最小。
是否能反应出目标的重要性程度，或层次关系?
东北林业大学
(d1-→0) (d２-，d2+ →0) (d3-， d3+ →0) (d4+→0)
东北林业大学
§5.3 应用举例
例 5.3 问题的提出：某纺织厂生产两种布料，窗帘布和衣料。 平均生产能力是1000米/小时，正常生产能力是每周80小时。 根据市场顶测，下周的销售量为：窗帘布70000米，衣料45000 米；每米窗帘布和衣料的利润分别为2.50元和1.50元。 工厂经理考虑实际管理日标如下： P1：避免开工不足，使职工正常就业； P2：加班时间不超过10小时; P3：努力达到最大销量,即窗帘布70000米，衣料45000米；目标 相对重要性程度按两种布料利润比值确定。 P4:尽可能减少加班.
2 x1 3x2 d3 d3 100
s.t.
4 x1 2 x2 d4 d4 128
x1
x2
40 30
l 1,2,3,4
x1 , x2 , dl , dl 0
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
东北林业大学
§5.1 问题的提出与目标规划模型
二、目标规划模型
产品 甲 乙 资 源 拥有量
例5.1 问题的提出：对例1.1[某企业生 资源 ２ ３ 100 产两种产品，需要两种原料,有关数据 Ａ Ｂ ４ ２ 120 见表。如何安排生产计划可使总的收 益最大。]企业管理人员又提出如下目 单件收益 ６ ４ （千元） 标要求: 第一目标P1：收益不低于180千元； 第二目标P2：甲乙的产量尽量满足5:3的关系； 第三目标P3：A资源要充分利用，但不能超额。B资源可超额利用， 但最多不能超额8个单位。A、B资源的权系数分别为7和3。 由市场预测可知，甲、乙的产量不能超过40和30件。如何制定 满足上述目标要求的生产计划方案. 试建立该问题的目标规划模型。
§5.1 问题的提出与目标规划模型
请思考:目标函数怎么写? 如果这么写:
min z d1 (d2 d2 ) (d 3 d3 ) d4
目标函数：管理目标和实际可能完成的目标之间的偏差最小。
是否能反应出目标的重要性程度，或层次关系?
东北林业大学
(d1-→0) (d２-，d2+ →0) (d3-， d3+ →0) (d4+→0)
东北林业大学
§5.3 应用举例
例 5.3 问题的提出：某纺织厂生产两种布料，窗帘布和衣料。 平均生产能力是1000米/小时，正常生产能力是每周80小时。 根据市场顶测，下周的销售量为：窗帘布70000米，衣料45000 米；每米窗帘布和衣料的利润分别为2.50元和1.50元。 工厂经理考虑实际管理日标如下： P1：避免开工不足，使职工正常就业； P2：加班时间不超过10小时; P3：努力达到最大销量,即窗帘布70000米，衣料45000米；目标 相对重要性程度按两种布料利润比值确定。 P4:尽可能减少加班.
【哈工大 运筹学】第五章目标规划
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目标：
•访问时间最好不超过680小时； •访问时间最好不少于600小时； •销售收入尽量不少于70,000； •访问老顾客数最好不少于200个 ； •访问新顾客数最好不少于120个
模型－顾客访问策略
Min
Z
P1d1
P2
d
2
P3
d
3
P4
d
4
P5
d
5
22xx11
3x2 3x2
d1
+
x1 4
最优区域在直线上
目标规划的求解---图解法
min
z
P1(d1 )
P2
(d
2
d
2
)
3P3 (d3
d3 )
2x1 2x2 12
2x1 3x2 d1 d1 15
s.t. 2 x1
x2
d
2
d2
0
4x1 d3 d3 16
x1, x2 , di , di 0 (i 1, 2, 3, 4)
2x1
x2
d
2
d
2
0
s.t.
4
x1
5x2
d3 d4
d3 d4
16 15
d1 0
d
2
d2
0
x1, x2 , di , di 0 (i 1, 2, 3, 4)
小结
• 会建立目标规划模型 • 会用图解法 • 会用目标规划单纯形法 • 会用层次法
可能的弹性约束： 最好等于 最好不大于 最好不小于
弹性约束的处理方法
实际量＋ d－－d+ = 目标值
负偏差变量
正偏差变量
管理运筹学讲义第5章目标规划
C
•2
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• 2 • A • 6• 8 • 1 • x
管理运筹学讲义第5章目标规划 0
1
•二、升级调资问题
例 某单位领导在考虑本单位职工的升级调资方案时，依次遵 守以下规定： • (1) 不超过月工资总额60000元； • (2) 每级的人数不超过定编规定的人数； • (3) Ⅱ、Ⅲ级的升级面不低于现有人数的20%且无越级提升； • (4) Ⅲ级不足编制的人数可录用新职工，又Ⅰ级的职工中有 10%要退休。 • 有关资料汇总于表中，问该领导应如何拟订一个满意的方案。
• (4) 按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回(2)。 • (5) 当所有检验数 j≥0时，计算结束。表中的解即为满意解。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
例4 试用单纯形法来求解例2。 将例2的数学模型化为标准型：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
① 取xs，d1-，d2-，d3-为初始基变量，列初始单 纯形表，见表5-1。
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管理运筹学讲义第5章目标规划
解 按决策者所要求的，分别赋予这三个目标P1，P2， P3优先因子。这问题的数学模型是：
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管理运筹学讲义第5章目标规划
目标规划的一般数学模型为
•
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为权系数。
管理运筹学讲义第5章目标规划
课堂练习：
某公司经销两种货物，售出每吨甲货物可盈利202元， 乙货物可盈利175元，各种货物每吨所占用的流动资 金为683元，公司现有流动资金1200万元，货物经销中 有8.48%的损耗。公司的决策者希望下月能达到以下 目标。 （1）第一目标：盈利5030000元以上； （2）第二目标：经销甲货物5000吨以上； （3）第三目标：经销乙货物18000吨以上； （4）第四目标：经销损耗在1950吨以下。 试问应怎样决策？
运筹学(第5章 目标规划)
解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：
max z 2x1 3x2
2x1 2x2 12
s.t
4
x1 x1
2x2
8 16
4x2 12
x1 , x2 0
其最优解为x1＝4，x2＝2，z＊＝14元
但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如： (1) 力求使利润指标不低于12元； (2) 考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持1:1的比
20x1＋50x2≤90000
x1
0
1000
2000
3000
4000
5000
图2 图解法步骤2
针对优先权次高的目标建立线性规划
优先权次高（P2）的目标是总收益超过10000。 建立线性规划如下：
Min d2s.t.
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 d1+＝0 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
显然，此问题属于目标规划问题。它有两个目标变量：一是限制风险，一 是确保收益。在求解之前，应首先考虑两个目标的优先权。假设第一个目 标（即限制风险）的优先权比第二个目标（确保收益）大，这意味着求解 过程中必须首先满足第一个目标，然后在此基础上再尽量满足第二个目 标。 建立模型：
设x1、x2分别表示投资商所购买的A股票和B股票的数量。 首先考虑资金总额的约束：总投资额不能高于90000元。即 20x1＋50x2≤90000。
目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简 便，把它们用一个模型来表达，如下：
运筹学课件 第五章-目标规划
第二步：建立决策目标约束
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间 的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找 出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实 现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定其 余目标的优先级。
第三步：建立指标偏差函数
目标规划的一般模型为：
其中
xj（ j 1,2,, n ）为决策变量；
Pk（ k 1,2,, K）为第k级优先因子； wkl , wkl 分别为第l 个目标约束的正负偏差变量的权
系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。
el（ l 1,2,, L）为目标的预期目标值；
d1+
d11+
1
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
3
-1
1
-1
单纯形方法——解决
在选择最优列时，先从检验数栏中最优等级 P1 行开始寻找最大正检验数。 如 P1行内有最大正检验数，就确定它为最优列，进行迭代。直到 P1行内检验 数没有正值为止，再转入P2 行寻找最大检验数。如此继续下去，直到所有检 验数全部检查完毕。找关键行是常数项被最优列系数除所得数的最小值所在的行。
来实现；
模型建立
指标偏离函数
第一优先级 决策目标
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
负偏差：决策 值小于目标值 的偏差部分
(mx1,ixn2 ){P1(d1
d
2
),
P2
(d3
),
P3
(d4
),
P4
(d1
1.5d
2
通过分析决策变量之间的关系以及决策变量与目标值之间 的关系，建立一组目标约束。并从所有的决策目标中，找 出绝对决策目标（即，如果不满足将导致最终结果无法实 现的目标），将这些目标作为第一优先级。而后再确定其 余目标的优先级。
第三步：建立指标偏差函数
目标规划的一般模型为：
其中
xj（ j 1,2,, n ）为决策变量；
Pk（ k 1,2,, K）为第k级优先因子； wkl , wkl 分别为第l 个目标约束的正负偏差变量的权
系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。
el（ l 1,2,, L）为目标的预期目标值；
d1+
d11+
1
1
-1
1
1
1
1
1
-1
-1
3
-1
1
-1
单纯形方法——解决
在选择最优列时，先从检验数栏中最优等级 P1 行开始寻找最大正检验数。 如 P1行内有最大正检验数，就确定它为最优列，进行迭代。直到 P1行内检验 数没有正值为止，再转入P2 行寻找最大检验数。如此继续下去，直到所有检 验数全部检查完毕。找关键行是常数项被最优列系数除所得数的最小值所在的行。
来实现；
模型建立
指标偏离函数
第一优先级 决策目标
正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分
负偏差：决策 值小于目标值 的偏差部分
(mx1,ixn2 ){P1(d1
d
2
),
P2
(d3
),
P3
(d4
),
P4
(d1
1.5d
2
第五章 目标规划目标规划的层次解法运筹学基础及其应用胡运权第五版
约束条件含（5.2b）至（5.2e）全部各式， 第二步：接着对P2层次进行优化。根据下一层次优化时应 在前面各层次优化的基础上进行额要求，若第一层次目标 函数最优值为z1*,则构建的P2层次的线性规划模型LP2,,其 L 目标函数为： min z 2 ( w2l d1 w2l d 2 )
因有z2*=0,故P3层次的优化模型为在LP2基础上再增 加约束d2-+d2+=0,得：
LP3 : min z 3 （d d ） d 3
3
3
4
§5.4目标规划的层次解法
Ch5 Goal Programming
2 x1 2 x 2 12 2 x1 3 x 2 d1 d1 15 2 x1 x 2 d 2 - d 2 0 4 x1 d 3 d 3 16 5 x 2 d 4 d 4 15 s.t. d1 0 d2 d2 0 x1 , x 2 , d i , d i 0(i 1,2,3,4)
L l 1 1l 1 1l 1 * 1
例：用层次算法求解§5.1中例5.1的目标规划模型 解：根据上述步骤，本例P11
1
§5.4目标规划的层次解法
Ch5 Goal Programming
2 x1 2 x 2 12 2 x 3x d d 15 1 2 1 1 2 x1 x 2 d 2 - d 2 0 s.t. 4 x1 d 3 d 3 16 5 x 2 d 4 d 4 15 x1 , x 2 , d i , d i 0(i 1,2,3,4)
§5.4目标规划的层次解法 Ch5 Goal Programming
运筹学第五章 目标规划
第五章 目标规划§5.1重点、难点提要一、目标规划的基本概念与模型特征 （1）目标规划的基本概念。
当人们在实践中遇到一些矛盾的目标，由于资源稀缺和其它原因，这些目标可能无法同时达到，可以把任何起作用的约束都称为“目标”。
无论它们是否达到，总的目的是要给出一个最优的结果，使之尽可能接近制定的目标。
目标规划是处理多目标的一种重要方法，人们把目标按重要性分成不同的优先等级，并对同一个优先等级中的不同目标赋权，使其在许多领域都有广泛应用。
在目标规划中至少有两个不同的目标；有两类变量：决策变量和偏差变量；两类约束：资源约束（也称硬约束）和目标约束（也称软约束）。
（2）模型特征。
目标规划的一般模型：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≥=≥==-+=≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-=+-===++--∑∑∑∑.,,2,1;0,;,,2,10,,2,1,,2,1..)(min 1111K k d d n j x K k g d d x c m i b x a t s d d P Z k k j n j k k k j kj i nj j ij Lr K k k rk k rk r ωω 其中r P 为目标优先因子，+-rk rk ωω,为目标权系数，+-k k d d ,为偏差变量。
1）正、负偏差变量,i i d d +-。
正偏差变量i d +表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量i d -表示决策值未达到目标值的部分。
因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，所以有0i i d d +-⨯=。
2）硬约束和软约束。
硬约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束；软约束是目标规划特有的。
我们可以把约束右端项看成是要努力追求的目标值，但允许发生正、负偏差，通过在约束中加入正、负偏差变量来表示努力的结果与目标的差距，于是称它们为目标约束。
3）优先因子与权系数。
一个规划问题通常有若干个目标，但决策者在要求达到这些目标时，是有主次或缓急之分的。
运筹学第五章
A 原材料（kg) 设备（台时） 2 1 B 1 2 限量 11 10
单位利润
8
10
minZ=P1 d1+ +P2 (d2-+ d2+) +P3 d3OR2 4
例2的解法
解：问题分析：找差别、定概念（与单目标规划相 比） 1）绝对约束：必须严格满足的等式约束和不 等式约束，称之为绝对约束。 2x1+1.5x2≤50 (1) (2) 2）目标约束：那些不必严格满足的等式约束和 不等式约束，称之为目标约束（软约束）。目标 约束是目标规划特有的，这些约束不一定要求严 格完全满足，允许发生正或负偏差，因此在这些 约束中可以加入正负偏差变量。
16
例4：min Z
x1 x1 s .t . x 1 x2 x1
OR2
p d p d p (2 d d x d d 40 x d d 50 d d 24 d d 30 , x ,d ,d 0 ( i 1, 2 , 3 ,4 )
OPERATIONS RESEARCH
运筹学
徐 玲
OR2
1
第五章
目标规划
要求 1、理解概念 2、掌握建模 3、掌握图解法和单纯形解法 4、理解目标规划的灵敏度分析
OR2
2
5.1目标规划的概念及数学模型1
多目标问题 多目标线性规划 产品 例1
资源 原材料（kg) 设备（台时） 单位利润
OR2 8
7）目标规划的目标函数： 目标规划的目标函数是按各约束的正、负偏 差变量和赋予相应的优先因子而构造的。 目标函数的基本形式有三种： 1、要求恰好达到目标值，即正负偏差变量都要尽 可能地小，这时， minZ＝f(d+＋d-). 2、要求不超过目标值，即允许达不到目标值但正 偏差变量要尽可能地小，这时， minZ＝f(d+). 3、要求超过目标值，即超过量不限但负偏差变量 要尽可能的小，这时， minZ＝f(d-) 显然，本题目标函数表示为：
运筹学课件 第五章多目标规划
目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
运筹学(第5章 目标规划)
解：本问题中有3个不同优先权的目标，不妨用P1、P2、P3表 示从高至低的优先权。
对应P1有两个目标：每周总耗费人力资源不能低于600工 时,也不能超过680工时；
对应P2有一个目标：每周的利润超过70000元； 对应P3有两个目标：每周产品A和B的产量分别不低于200和 120件。
采用简化模式，最终得到目标线性规划如下：
把等式转换，可得到 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700。
再来考虑年收入: 年收入=3x1+4x2
引入变量d2+和d2-，分别表示年收入超过与低于10000 的数量。 于是，第2个目标可以表示为
3x1+4x2-d2++d2-=10000。
有优先权的目标函数
本问题中第一个目标的优先权比第二个目标大。即最重要的目标 是满足风险不超过700。分配给第一个目标较高的优先权P1,分配给第 二个目标较低的优先权P2。
2 x1
2x2
d
d
12
3. 目标的优先级与权系数
在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些 目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低 可分别通过优先因子P1,P2,…表示。对于同一层次优先级的不同 目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个 具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。
Min P1(d1+)+ P1(d2－)+P2(d3-)+ P3(d4-)+ P3(2d5-) s.t.
2x1+3x2-d1++d1-=680
对应第1个目标
2x1+3x2-d2++d2-=600
运筹学第四、五章目标规划
（1）产品Ⅱ销售疲软，产量不超过产品Ⅰ的一半 （2）原材料短缺，避免过量消耗 （3）最好节约4h设备工时 （4）计划利润不少于48元
min{ P1 d1- ,P2 d2+ ,P3 d3- } 5x1 + 10x2
st.
x1 - 2x2 + d1- - d1+ 4x1 + 4x2 + d 2- - d 2+ 6x1 + 8x2 + d 3x1,x2,di=,di+ ≥0 i=1,2,3
a、对无◎的行√
√ √ b、在已√ 的行中对Ø 所在列√ c、在已√ 的列中对 ◎ 所在行√
d、重复b、c直到无法 打√
e、对没有√的行，有√ 的列画直线
0 0 0 0 0
√
3 1 2 0 2 3 0 1 1 2 0 2
0 11 8 7 7 3 3 2 1 5 0 4 3 4 0 0 11 8 6 6 2 7 7 3 2 1 0 3 2 1 5 0 4 3 4 0
≤60 =0 =36 - d3+ =48
图解法求解目标规划
x2 9
d2+
6
min{ P1 d1- ,P2 d2+ ,P3 d3- } 5x1 + 10x2 ≤60 st. x1 - 2x2 + d1- - d1+ =0 4x1 + 4x2 + d2- - d2+ =36 6x1 + 8x2 + d3- - d3+ =48 x1,x2,di-,di+ ≥0 i=1,2,3
d1-
d3x1
0 8 9 12
min{ P1d1- ,P2d2+ ,P3(5d3-+4d4-), P4d1+}
运筹学05目标规划
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
目
录
目标规划实例与模型 目标规划求解方法 用Excel求解目标规划的解
一、建立模型举例：例5.1
设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一个 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 需要 1 小时，另一种为豪华型，装配一个需要 2 小时。正常的 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 装配时间每周限定为 40 小时。市场调查表明每周销售普通型 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 不超过 30 件，豪华型不超过 15 件。普通型每件的净利润为 8 元，豪华型为每件 12 元。 8 元，豪华型为每件 12 元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 公司经理提出如下优先次序的要求： ．总利润最大（显然的） 1 1 ．总利润最大（显然的） ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） 2 2 ．装配线尽可能少加班（避免装配线超负荷损坏） ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 3 3 ．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 1.5 倍，因此公 致）。 由于每件豪华型的利润是普通型的 由于每件豪华型的利润是普通型的 1.5 倍，因此公 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 司对销售豪华型的愿望是销售普通型的 1.5 倍 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 同时，根据市场调研要求每周生产的产品数不能多 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 于销售的数量，即普通型电扇为 30 件，豪华型电扇为 15 件。 件。
2.目标约束 绝对目标约束（或硬约束）是指必须要严格满 足的等式或不等式约束，如线性规划问题的所有 约束条件，具有最高优先级。 目标约束（软约束）是把约束右端项看作是目 标值，在达到此目标值时允许发生正或负偏差， 在约束中加入正、负偏差变量。 可根据问题的需要将绝对目标约束变换为目标 约束，目标约束的形式为：f ( x) d d b
运筹学：第5章 目标规划
n
aij x j bi ,
i 1,2,....m
j1
n
clj x j
dl
d
l
gl ,
l 1,2,....L
j1
xi
0,
d
l
,
dl
0, i
1,...,m;
j
1,...L
刚性约束 柔性约束
2021/4/18
14
§2 目标规划的图解分析法
求解目标规划的思路： 刚性约束必须严格满足； 按优先级次序，从高层到低层逐层优化； 在不增加高层偏差值的情况下，使本层的偏差达
d
3
d
4
d
4
3(d
3
d
3
)
d
4
29
0.25
5x2 15
满意解 F
d1
O
4x1 16
d1 2x1 3x2 15
x1
2021/4/18
16
§3 目标规划的单纯形解法
单纯形法求解目标规划的思路：
1.求解步骤与一般线性规划问题的单纯形法基本相同；
2.根据目标函数中的优先级次序，从高层到低层逐层优
26
1、第一优先级：检验和销售费用每月不超过4600元； 2、第二优先级：每月销售录音机不少于50台； 3、第三优先级：两车间的工时得到充分利用（重要 性权系数按每小时的管理费用比）； 4、第四优先级：甲车间加班不超过20小时； 5、第五优先级：每月销售电视机不少于80台； 6、第六优先级：两车间的加班总时间要控制（权系 数分配如3） 试确定该厂为达到上述目标的最优月度生产计划。
[1/2] -1 1 1/2 -1/2
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第一节目标规划实例与模型
看起来有 点繁～ 有点 ‘烦’… … …★
因此其目标规划的数学模型： minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
第一节目标规划实例与模型
(5)目标函数—准则函数 目标函数是由各目标约束的正负偏差变量及其相应 的优先级、权因子构成的函数，且对这个函数求极小值， 其中不包含决策变量xi.因为决策者的愿望总是希望尽可能 缩小偏差，使目标尽可能达到理想值，因此目标函数总是 极小化。有三种基本形式：
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
(4)优先级与权因子 多个目标之间有主次缓急之分，凡要求首先达到的目 标，赋于优先级p1,要求第2位达到的目标赋于优先级 p2,…设共有k0个优先级则规定 p1>>p2>>p3……Pk0>0 P1优先级远远高于p2,p3，只有当p1级完成优化后，再考 虑p2,p3。反之p2在优化时不能破坏p1级的优先值，p3级 在优化时不能破坏p1,p2已达到的优值 由于绝对约束是必须满足的约束，因此与绝对约束相 应的目标函数总是放在p1级
第一节目标规划实例与模型
该问题的决策目标是： （1）总利润最大； （2）尽可能少加工； （3）尽可能多销售电扇； （4）生产数量不能超过预销售数量。 （5）绝对目标约束。所谓绝对目标约束就是必须要严格 满足的约束。绝对目标约束是最高优先级，在考虑较低 优先级的目标之前它们必须首先得到满足。
第一节目标规划实例与模型
bj 为系统的资源量。
第二节目标规划的求解方法
一、图解法
用图解法求目标规划的数学模型：
minz=p1d1++p2(d2-+d2+)+p3d3s.t 2x1+x2≤11 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 x1,x2≥0,di-,di+≥0，i=1,2,3
-
d3 2x1+x2=11
x1+2x2=10
第二节目标规划的求解方法
由上图知G点坐标方程组 x1+2x2=10 8x1+10x2=56 解得x1=2,x2=4 D点坐标方程组为： x1+2x2=10 x1-x2=0 解得x1=x2=10/3
此时d1+=0,d2-+d2+=0,d3-=0都已满足
第二节目标规划的求解方法
第一优先级 决策目标 正偏差：决策 值超过目标值的 偏差部分 负偏差：决策 值小于目标值的 偏差部分
指标偏离函数
min( x1 , x2 ) {P1 (d1 d 2 ), P2 (d 3 ), P3 (d 4 ), P4 (d1 1.5d 2 )} s.t. 8 x1 12x2 d 3 d 3 1000 x1 2 x2 d 4 d 4 40 决 策 x d d 变 1 1 1 30 量 x2 d 2 d 2 15 x1 , x2 , d , d 0
对fi(x)+di--di+=gi，要求选取一组x使： (1)若希望fi(x) ≥gi，即fi(x)超过gi可以接受，不足则不能 接受，则其对应目标函数为mindi(2)若希望fi(x) ≤gi，即fi(x)不能超过gi值，不足可以接受， 超过则不能接受，则其目标函数为：mindi+ (3)若希望fi(x)=gi，即fi(x)既不能超过也不能不足gi，只能 恰好等于gi，则其目标函数为：min(di-+di+)
xj 0 d l , d l 0
( j 1,2, , n) (l 1,2, , L)
第一节目标规划实例与模型
其中
xj（j=1,2,…n）为决策变量； Pk（ k=1,2….K）为第k级优先因子； Wkl+,wkl- 分别为第l个目标约束的正负偏差变量的权 系数，在同一等级的目标中，根据对各因子考虑的先 后次序的不同，赋予不同权系数。 el（ l=1,2,….L）为目标的预期目标值；
第一节目标规划实例与模型
例2：设某公司生产两种型号的电扇，一种为普通型，装配一 个需要1小时，另一种为豪华型，装配一个需要2小时。正 常的装配时间每周限定为40小时。市场调查表明每周销售 普通型不超过30件，豪华型不超过15件。普通型每件的净 利润为8元，豪华型为每件12元。 公司经理提出如下优先次序的要求： 1．总利润最大 2．装配线尽可能少加班 3．销售尽可能多的电扇（这同尽可能获取最大利润一 致）。 4．根据市场调研要求每周生产的产品数不能多于销售 的数量，即普通型电扇为30件，豪华型电扇为15件。
第一节目标规划实例与模型
对于上例目标约束为： x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3--d3+=56 考虑甲的生产量不能超过乙的生产量 第1优先级目标函数为：minp1d1+ 考虑尽可能地充分利用设备，但不希望加班 第2级的目标函数为：minp2(d2-+d2+) 工厂希望达到并超过计划利润5600 第3级的目标函数为:minp3(d3-)
与线性规划的区别
在线性规划中，要求单个目标的优化，而目标规划 则强调使多个目标得到满意的解答 线性规划中，为得到一个可行解，必须满足所有的 约束条件。 在目标规划中，并不认为所有约束都是绝对的，因 此对于非绝对的约束，目标规划并不要求绝对满足， 而是设法使各目标离原先设定的意向指标值的偏差 尽可能的小。
第一节目标规划实例与模型
(3)绝对约束与目标约束 绝对约束(硬约束)是指必须严格满足的等式或不等式 约束，如线性规划问题中的所有约束条件都是绝对约束。 如上例2x1+x2 ≤11 目标约束是目标规划特有的约束，它是把要追求的目 标的理想值作为右端常数项，在目标表达式左端加减正负 偏差变量构成的等式约束，目标约束是由决策变量、正负 偏差变量及理想值构成的软约束 x1-x2+d1--d1+=0 x1+2x2+d2--d2+=10 8x1+10x2+d3-+d3+=56
第一节目标规划实例与模型
目标规划正是为了解决这类多目标问题而产生的一种 方法。它要求决策者预先给每个目标定出一个理想值(期 望值) 目标规划就是在满足现有的一组约束条件下，求出尽 可能接近理想值的解，这个解称为满意解(不称为最优解， 因为一般情况不，它不是使每个目标都达到最优值的解)
第一节目标规划实例与模型
第一节目标规划实例与模型
如 8x1+10x2≥56 8x1+10x2+d-－d+=56 d-表示：当决策变量x1,x2取定一组值后，由原始目标式左端 计算出来的值与理想值之偏差—不足理想值的偏差 d+表示超过理想值之偏差 计算值与理想值关系： 不足：d+=0 超过：d-=0 等于：d-=d+=0 因此将总有：d+*d-=0必成立
第三步：建立指标偏差函数
第一节目标规划实例与模型
目标规划的一般模型为：
~ min a Pk ( wkl d l wkl d l ) k 1 l 1 K L
a
j 1 n j 1
n
ij
x j (, )b j (l 1,2, , L)
c x d d lj j l l el
第二节目标规划的求解方法
x1-x2=0 x1+2x2=10 8x1+10x2=56 x2
B
8x1+10x2=56
d1-
x1-x2=0 d1+
P1:mind1+ P2:min(d2-+d2+) P3:min(d3
-) E
F D G C
d2
+ A O
d3
+
满意解为线段DG上所有点 (无穷多个解)
x1 d2
第一节目标规划实例与模型
2、目标规划的基本概念与特点
(1)理想值(期望值) 是指决策者事先对每个目标都有个期望值 如上例的右端值：0,11,10,56 (2)正负偏差变量d+,d目标规划不是对每个目标求最优值，而是寻找使每个 目标与各自的理想值之差尽可能小的解，为此对每个原始 目标表达式(等式或不等式)的左端都加上负偏差变量d-及 减去正偏差变量d+后，都将变成等式.
第一节目标规划实例与模型
绝对约束与目标约束从形式上可以转化的 如上例的绝对约束可以转化为 2x1+x2+d4--d4+=11 和附加约束d4+=0 一般地 fi(x)+di--di+=bi 附加约束 di-=0 相当于绝对约束fi(x) ≥bi 附加约束di+=0 相当于约束约束fi(x) ≤bi 附加约束di-=di+=0 相当于fi(x)=bi
第一节目标规划实例与模型
一、实 例
例1：某工厂生产甲乙两种产品，生产单位产品所需要的原材料及占用 设备台时如下表所示，该工厂每天拥有设备台时为10，原材料最大供 应量为11kg/天，已知生产 每单位甲产品可获利800元，乙产品为 1000元，工厂在安排生产计划时，有如下一系列考虑： (1)由于市场信息反馈，产品甲销售量有下降趋势，故决定产品甲的生产 量不超过产品乙的生产量 (2)尽可能不超过计划使用原材料，因为超过计划后，需高价采购原材料， 使成本增加 (3)尽可能充分利用设备，但不希望加班 (4)尽可能达到并超过计划利润5600元