最新二次根式化简练习题含答案(培优)
二次根式的化简练习题(带答案)
二次根式的化简题集一、二次根式的性质1.若、为实数，且满足，则的值为．【答案】【解析】∵，∴，，∴．【标注】【知识点】非负性的应用2.，那么．【答案】【解析】∵原式，∴，，，∴．【标注】【知识点】二次根式的性质3.若，则的值为．【答案】【解析】，，，，，．故答案为：．【标注】【知识点】二次根式的性质4.已知，则．【答案】【解析】，由二次根式的非负性可知，，∴，，∴．【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值5.已知，求值．【答案】．【解析】∵；．∴；．∴．∴原式．【标注】【知识点】二次根式的性质6.代数式的最大值为，此时与的关系是．【答案】 ;【解析】∵，∴．当时，取得最大值．【标注】【知识点】算术平方根的双重非负性7.已知，则的值为．【答案】【解析】，．，，，，，，．故答案为：．【标注】【知识点】二次根式的性质8.已知实数，满足：，则．【答案】【解析】∵，∴，∴．【标注】【知识点】二次根式的性质9.已知实数满足，求的值．【答案】【解析】由，可得，∵，∴，∴，∴，∴，可得:，解得：．【标注】【知识点】利用二次根式非负性化简求值二、二次根式的化简A. B. C. D.1.若，则满足的条件是（）．【答案】D【解析】∵，∴，∴．【标注】【知识点】二次根式的性质2.若时，试化简．【答案】．【解析】∵；；．∴原式．【标注】【知识点】二次根式的性质A. B. C. D.3.已知，化简二次根式的正确结果是（）．【答案】A【解析】根据题意，，得和同号，又∵中，∴，∴，，则原式．故选：．【标注】【知识点】把根号外的因式化到根号内4.已知是整数，则正整数的最小值为 ．【答案】【解析】∵，若是整数，则也是整数；∴的最小正整数值是．故答案为：．【标注】【知识点】已知二次根式的值为整数确定字母的取值范围5.已知是整数，则满足条件的最小正整数是 ．【答案】【解析】，∵是正整数，∴的最小值应为，此时．【标注】【知识点】已知二次根式的值为整数确定字母的取值范围（1）（2）6.不改变根式的值，把根号外的因式移到根号内．． ．【答案】（1）（2）【解析】（1）（2）．故答案为：．由可知，∴．故答案为：．【标注】【知识点】把根号外的因式化到根号内7.先化简再求值：当时，求的值，甲乙两人的解析如下：甲的解析为：原式乙的解析为：原式．两种解析中，的解析是错误的，错误的原因是未能正确地运用二次根式的性质：．【答案】甲 ;【解析】甲的解析是错误的．理由：∵时，，∴原式，，，，．【标注】【知识点】二次根式的性质8.将下列式子分母有理化：①．②（a＞0）．③．④．【答案】见解析．【解析】①．②．③．④．【标注】【知识点】分母、分子有理化9.化简．【答案】【解析】∵，∴．故答案为：．【标注】【知识点】多重二次根式10.化简：．【答案】．【解析】令，∴∵，∴，∴．故答案为：．【标注】【知识点】多重二次根式三、化简求值1.已知：，，求的值．【答案】．【解析】∵，，∴，，，∴，∴．【标注】【知识点】二次根式直接化简求值2.已知：，，求代数式的值．【答案】．【解析】，，∴，，∴，即代数式的值为．【标注】【知识点】二次根式的化简求值——共轭二次根式类。
《二次根式》培优试题及答案
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52． 【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义．（四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）． 22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）； 【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）÷a 2b 2mn； 【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2m n－mab mn ＋mn n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m m n ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221ba ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）． 【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值． 【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1． 七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-） ＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy y x +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ y x ＜x y ．∴ 原式＝x y y x+－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
《二次根式》培优试题及答案精编版
《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×．2．3－2的倒数是3＋2．（）【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、31b a 3、ba x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】31b a 3、ba x 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－81527102÷31225a ＝_．【答案】－2aa ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________．【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3．10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222d c ab d c ab +-＝______．【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12．比较大小：－721_________－341．【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________．【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．【答案】40． 【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．【提示】∵ 3＜11＜4，∴_______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0【答案】D ． 【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y 【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（）（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（）（A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x 2－5y 2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y 2＝2)5(y ．【答案】（3x ＋5y ）（3x －5y ）．22．4x 4－4x 2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(2x ＋1)2(2x －1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（235+-）（235--）；【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215．24．1145-－7114-－732+；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．25．（a 2m n －m ab mn ＋m n nm）÷a 2b 2m n ；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2mn－m ab mn ＋m n n m ）·221ba n m＝21bn m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n n m n m ⋅ ＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-． 26．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a ba ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝ba b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐． （六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值． 【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232y x y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy yx +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 28．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x22a x +＝－x （22a x +－x ）．【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x1．七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算． 【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--）＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）]＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法． 30．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求xy y x ++2－xyy x +-2的值．【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x 【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x - ＝|xy yx +|－|x y y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴yx＜xy ．∴ 原式＝x y y x +－y x xy+＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
数学二次根式的专项培优练习题(附解析
数学二次根式的专项培优练习题(附解析一、选择题1．下列计算正确的是（ ）A =B =C =D =2．下列各式计算正确的是（ ）AB ．C =3D ．3．下列运算正确的是（ ）A =B ． 3C ＝﹣2D =4．下列各式中，正确的是（ ）A 2=±B =C 3=-D 2=5．下列计算正确的是（ ）A =B 3=C =D ．21= 6．下列式子中，是二次根式的是( )A B CD ．x7．若化简的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ． x ≤48．已知a ( )A ．0B ．3C ．D ．99．如果a ，那么a 的取值范围是（ ） A ．a 0=B ．a 1=C ．a 1≤D ．a=0a=1或10．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是0.01)＝5；④如果点P （3－2n ，1）到两坐标轴的距离相等，那么n ＝1，其中假命题的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．若|x 2﹣4x+4|x+y 的值为（ ） A ．3B ．4C ．6D ．912．230x -=成立的x 的值为（ ）A ．-2B ．3C ．-2或3D ．以上都不对二、填空题13．使函数212y x x=+有意义的自变量x 的取值范围为_____________14．已知实数,x y 满足(2008x y =，则2232332007x y x y -+--的值为______.15．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____．16．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．17．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．18．()()22223310x y x y ++-+=，则222516x y +=______.19．已知4a2(3)|2|a a +--=_____．20．化简：3222＝_____．三、解答题21．阅读下面问题： 阅读理解：2221(21)(21)==++-1； 323232(32)(32)==++-(55252(52)(52)==-++-．应用计算：（176+（211n n++（n 为正整数）的值．归纳拓展：（3122334989999100++++++【答案】应用计算：（17621n n + 归纳拓展：（3）9． 【分析】由阅读部分分析发现式子的分子、分母都乘以分母的有理化因式，为此（17-6分母利用平方差公式计算即可，（2n 1-n +（3）根据分母的特点各项分子分母乘以各分母的有理化因式，分母用公式计算化去分母，分子合并同类项二次根式即可． 【详解】（1（2（3+98+，(+98+，++99-， =10-1， =9． 【点睛】本题考查二次根式化简求值问题，关键找到各分母的有理化因式，用平方差公式化去分母．22．计算： 21)3)(3--【答案】. 【解析】 【分析】先运用完全平方公式、平方差公式进行化简，然后进行计算. 【详解】解：原式22]-322]-4【点睛】本题主要考查了二次根式的化简；特别是灵活运用全平方公式、平方差公式是解答本题的关键.23．（112=3==；……写出④ ；⑤ ；（2）归纳与猜想．如果n 为正整数，用含n 的式子表示这个运算规律； （3）证明这个猜想．【答案】（12=5==；（2n=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目中的例子直接写出结果； (2)根据(1)中的特例，可以写出相应的猜想；(3)根据(2)中的猜想，对等号左边的式子进行化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题. 【详解】解：（1）由例子可得，④5=25，（2）如果n 为正整数，用含n （3）证明：∵n 是正整数，n ．n．故答案为5=25 n；(3)证明见解析. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a ﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a2﹣4a=﹣1∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1（2）若，求4a2﹣8a+1的值．【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a1，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a-的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a===，解法一：∵22(1)11)2a-=-=，∴2212a a-+=，即221a a-=∴原式=24(2)14115a a-+=⨯+=解法二∴原式=24(211)1a a-+-+24(1)3a=--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．先化简，再求值：a＝1007．如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （22a （a ＜0） （3）原式＝()23a -a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.26．先观察下列等式，再回答下列问题： 2211111111121112++=+-=+； 2211111111232216++=+-=+ 22111111113433112++=+-=+ (1)2211145++ (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）． 【答案】(1)1120(2)()111n n ++（n 为正整数）【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子． 试题解析：(1)2211145++=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．观察下列一组等式，然后解答后面的问题1)1=，1=，1=，1=⋯⋯（1）观察以上规律，请写出第n 个等式： (n 为正整数）． （2（3【答案】（1）1=；（2）9；（3【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小. 【详解】解：（1）根据题意得：第n 个等式为1=；故答案为1=；（2）原式111019==-=；（3-==，<∴>．【点睛】本题是一道利用规律进行求解的题目，解题的关键是掌握平方差公式.28．先化简，再求值：24224x xx x x x ⎛⎫÷- ⎪---⎝⎭，其中2x =．【答案】22x x +-，1 【分析】先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可． 【详解】 原式(2)(2)22(2)2x x x x x x x x +-+=⋅=---，当2x =时，原式1==.【点睛】本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．29．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知b =，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2．（2）12a ===，12b ===，2222()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭【点睛】本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．30．（1）计算：21)-（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =【答案】（1）5-2（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（1）原式21)=-(31)(23)=---5=-；（2）原式=== a ，b 为正数， ∴原式=把4a b +=，8ab =代入，则原式== 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键. 2．C解析：C【分析】根据二次根式的化简进行选择即可．【详解】AB、C，故本选项正确；D、=18，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的化简是解题的关键．3．D解析：D【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案．【详解】解：AB、＝，故此选项错误；C2，故此选项错误；D，正确；故选：D．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握计算法则是关键．4．B解析：B【分析】本题可利用二次根式的化简以及运算法则判断A、B、C选项；利用立方根性质判断D选项．【详解】A，故该选项错误；B===，故该选项错误；C3D11223334=(2)2==，故该选项错误；故选：B．【点睛】本题考查二次根式以及立方根，二次根式计算时通常需要化为最简二次根式，然后按照运算法则求解即可，解题关键是细心．5．A解析：A【分析】分别进行二次根式的乘除法、加减法运算，然后选择正确答案．【详解】解：======，原式计算错误；D. 2220=-=，原式计算错误；故应选：A【点睛】本题考查了二次根式的乘除法和加减法，掌握运算法则是解答本题的关键．6．A解析：A【分析】a≥0）的式子叫做二次根式，据此可得结论．【详解】解：A是二次根式，符合题意；B是三次根式，不合题意；C、当x＜0D、x属于整式，不合题意；故选：A．【点睛】此题考查二次根式的定义，关键是根据二次根式的定义理解被开方数是非负数．7．B解析：B【分析】根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x的取值范围分别讨论，求出符合题意的x的值即可．【详解】原式可化简为|1-x|-|x-4|，当1-x≥0，x-4≥0时，可得x无解，不符合题意；当1-x≥0，x-4≤0时，可得x≤1时，原式=1-x-4+x=-3；当1-x≤0，x-4≥0时，可得x≥4时，原式=x-1-x+4=3；当1-x≤0，x-4≤0时，可得1≤x≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5，据以上分析可得当1≤x≤4时，多项式等于2x-5，故选B．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．8．B解析：B【解析】=，可知当（a﹣3）2=0，即a=3故选B．9．C解析：C【解析】试题解析：∵a1，a∴1-a≥0，a≤1，故选C．10．D解析：D【分析】利用平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：①两条平行线直线被第三条直线所截，同位角相等，故错误；②0.01的算术平方根是0.1，故错误；)＝17322+=，故错误；④如果点P（3-2n，1）到两坐标轴的距离相等，则n=1或n=2，故错误，故选D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是熟悉平行线的性质、算术平方根的定义、实数的运算及点的坐标的性质，难度一般．解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．12．B解析：B【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的乘法进行分析即可得答案.【详解】x30-=，=0=，∴x=-2或x=3，又∵2030 xx+≥⎧⎨-≥⎩，∴x=3，故选B.【点睛】本题考查了二次根式的乘法以及二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键.二、填空题13．【分析】利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，解得：①当时，解得：即：①当时，解得：即：故自变量x的取值范围为【点睛】解析：11,0 22x x-≤≤≠利用二次根式有意义的条件和分式中分母不为零，即可完成.【详解】根据题意，220x x +≠解得：0,2x x ≠≠-12||0x -≥①当0x >时，120x -≥ 解得：12x ≤ 即：102x <≤①当0x <时，120x +≥ 解得：21x ≥-即：102x -≤< 故自变量x 的取值范围为11,022x x -≤≤≠ 【点睛】本题考查二次根式以及分式有意义的条件，熟练掌握分类讨论和解不等式组是解题关键. 14．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值． 【详解】解：设x 2−a 2=y 2−b 2=2008， ∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b ，x−a=y+b∴x=y ，a+b=0，∴， ∴x 2=y 2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系.15．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）= 12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．16．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a．b都是数轴上的实数，注意符号的变换．17．【分析】先根据确定m的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．【详解】 解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．18．【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】移项得，两边平方得，整理得，两边平方得，所以，两边除以400得，1.故答案为1.【点睛】解析：【解析】【分析】把带根号的一项移项后平方，整理后再平方，然后整理即可得解.【详解】10=-两边平方得，()()22223=1003x y x y ++--+整理得，253x =- 两边平方得，22225150225256251509x x y x x -++=-+ 所以，221625400x y +=两边除以400得，222516x y +=1. 故答案为1.【点睛】本题考查了非负数的性质，此类题目难点在于把两个算术平方根通过移项分到等式左右两边.19．-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∵,∴a+3<0,2-a>0,∴-a-3-2+a=-5，故答案为：-5.【点睛】此解析：-5【分析】根据a 的取值范围化简二次根式及绝对值，再根据整式的加减法计算法则计算得到答案.【详解】∴a+3<0,2-a>0,-=-a-3-2+a=-5，|2|a故答案为：-5.【点睛】此题考查二次根式的化简，绝对值的化简，整式的加减法计算法则，正确化简代数式是解题的关键.20．【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．解析：【分析】直接合并同类二次根式即可．【详解】解：=．故答案为【点睛】合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无27．无28．无29．无30．无。
中考数学数学二次根式的专项培优练习题(及解析
一、选择题1．下列二次根式中是最简二次根式的为（ ） ABCD2．a 的值可能是（ ） A ．2-B ．2C ．32D ．83．已知x 1x 2，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8 B ．9C ．10D ．114．化简） ABCD5．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．536．已知a 满足2018a -a ，则a －2 0182＝( ) A ．0B ．1C ．2 018D ．2 0197．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5个数是（）123A ．BC ．D8．有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．下列说法中正确的是（ ）A ±5B ．两个无理数的和仍是无理数C ．-3没有立方根.D .10．已知，5x y +=-，3xy =则y x x y x y+的结果是（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-二、填空题11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）514-_______12 12．已知实数,x y 满足()()22200820082008x x y y ----=，则2232332007x y x y -+--的值为______.13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72[72]=8[8]=2[2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．14．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b |+2()a b +的结果是_____．15．观察下列等式：第1个等式：a 12112=+， 第2个等式：a 23223=+， 第3个等式：a 332+3， 第4个等式：a 45225=+， …按上述规律,回答以下问题： (1)请写出第n 个等式：a n =__________. (2)a 1+a 2+a 3+…+a n =_________16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行7223 10 11 233第行13 154173219254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是（用含 n 的代数式表示）． 17．把 18．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13＝_____. 19．3y =，则2xy 的值为__________．20．下列各式：是最简二次根式的是:_____（填序号）三、解答题21．计算及解方程组： （1-1-）（2)2+（3）解方程组：251032x y x y x y -=⎧⎪+-⎨=⎪⎩【答案】（1）2）7；（3）102x y =⎧⎨=⎩．【分析】（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可；（2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】（11-1+（11=1 （22+）=34-=7-=7-（3）251032x y x y x y-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩①②由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2 ∴原方程组的解是：102x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．22．小明在解决问题：已知a2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的： 因为a＝2，所以a －2所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：= － .(2)…(3)若a ，求4a 2－8a ＋1的值． 【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5 【分析】（11==；（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2413a --代入求解即可. 【详解】(1)计算：1=； (2)原式)1...11019=++++==-=；(3)1a ===，则原式()()224213413a a a =-+-=--，当1a =时，原式2435=⨯-=.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.23．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．计算（11)1)⨯； （2）【答案】（12+；（2）. 【解析】分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.详解：（1)11+；＝()31-2 ；（2）原式＝(22⨯,＝＝3⨯＝＝点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．26．一样的式子，其实我3====，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n+++【答案】（1-2.【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式2n+++=.考点：分母有理化．27．已知a，b（1）求a2﹣b2的值；（2）求ba+ab的值．【答案】（1）；（2）10【分析】(1)先计算出a+b、a-b的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可.【详解】(1)∵ab，∴a+ba﹣b＝，∴a2﹣b2＝(a+b)(a﹣b)＝＝；(2)∵ab，∴ab＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b aab+＝()22a b abab+-＝(2211-⨯＝10．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．计算（1（2）21)-【答案】（1）4；（2）3+【分析】（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可；（2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可．【详解】解：（1）解：原式=4 =+4 =-（2）解：原式()22161=---63=-+3=+【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用最简二次根式定义判断即可． 【详解】解：A =不是最简二次根式，本选项错误；BC =不是最简二次根式，本选项错误；D =故选：B ． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解题的关键．2．B解析：B 【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案． 【详解】∴a ≥0，且a故选项中-2，32，8都不合题意， ∴a 的值可能是2． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．3．C解析：C 【详解】12x x +==12321x x ==-=，所以()2221212122x x x x x x +=+-=(22112210-⨯=-=，故选：C ． 【点睛】对于形如2212x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211+x x ，1221x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．4．C解析：C 【解析】根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．5．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0， a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数，∴x ＞0，y ＜0．将x=-y 代入原式得：原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ．【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．6．D解析：D【解析】【分析】根据二次根式的被开数的非负性，求的a 的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．【详解】解：等式2018a -＝a 成立，则a ≥2019，∴，，∴a-2019=20182，∴a-20182=2019．故选D ．【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a 的取值范围是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】由图形可知，第n(n =案．【详解】由图形可知，第n (n=∴第8=， 则第9行从左至右第5=， 故选B ．【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据题意得出第n 行最后一个数为8．A解析：A【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab ＞0，解得a ＞0，b ＞0，因此可知A （a ，b ）在第一象限.故选A9．D解析：D【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．【详解】5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=，故C 选项错误；D 选项正确；故选D ．【点睛】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键．10．B解析：B【分析】由x+y=-5，xy=3可得到x ＜0，y ＜0，再利用二次根式的性质化简得到原式==-，然后把xy=3代入计算即可． 【详解】∵x+y=−5，xy=3，∴x<0，y<0，∴原式===-（x ＜0，y ＜0），当xy=3时,原式=-故选B.【点睛】此题考查二次根式的化简求值，解题关键在于先化简.二、填空题11．【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)(2)∵∴∴故答案为： ，．解析：< <【分析】(1)根据两个负数比较大小、绝对值大的反而小比较即可；(2)先求出两数的差，再根据差的正负比较即可．【详解】(1)<(2)113424-=∵3=∴304<< 12 故答案为：< ，<．【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则的内容是解此题的关键． 12．1【分析】设a=，b=，得出x ，y 及a ，b 的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x −a)=(y+b)(y −b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 13．255【解析】解：∵[]=1，[]=3，[]=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和解析：255【解析】解：]=1，=3，=15，所以只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．点睛：本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和逆推思维能力．14．﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣b|+=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对解析：﹣2b【解析】由题意得：b＜a＜0，然后可知a-b＞0，a+b＜0，因此可得|a﹣=a﹣b+[﹣（a+b）]=a﹣b﹣a﹣b=﹣2b．故答案为﹣2b ．点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换．15．【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a1=，第2个等式：a2=，第3个等式：=1-【分析】（1）由题意，找出规律，即可得到答案；（2）由题意，通过拆项合并，然后进行计算，即可得到答案．【详解】解：∵第1个等式：a11=，第2个等式：a 2=，第3个等式：a 3，第4个等式：a 42=， ……∴第n==（2）123(21)(32)(23)(1)n a a a a n n +++=-+-+-+++-=121n +++=1-；1-．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，以及数字规律问题，解题的关键是掌握题目中的规律，从而进行解题16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n（n≥3且n是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．﹣【解析】解：通过有意义可以知道≤0，≤0，所以＝﹣＝﹣．故答案为：．点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键．解析：【解析】解：通过a≤0，，所以故答案为：点睛：此题主要考查了二次根式的性质应用，正确判断二次根式的整体符号是解题关键． 18．5【解析】◇==5.故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则解析：5【解析】32==5. 故本题应填5.点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a ，b ，即将，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.19．【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，代入可得=-2××3=-15.解析：15-【解析】试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=52，y=-3，代入可得2xy =-2×52×3=-15. 20．②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】② ③ 是最简二次根式，故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解析：②③【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．【详解】是最简二次根式，③4故答案为②③．【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式化简求值练习题及答案
25.把根号外的因式移动到根号内：0?a?b时，26.
?a?b?
3ab?a
2
2
=_______.
?2?
5
?
1999
?2?
?
5
?
2000
=__________.
2
|x|??2x?x=______________.7.当-1 28.小明和小芳解答题目：”先化简下式，再求值：a+
3.若
?
2
?1
,则a的取值范围是
A.2≤a≤B.a≥3或a≤2C.a≤2D.a≥3
4.化简a+
2
等于
A.2a-1 B.1C.1或-1 D.2a-的值是
A.2-4a或4a-2B.0 C.2-4
aD.4a-2
6.当x3?3x2
??xx?3时，x的取值范围是
A.x≤0B.x≤- C.x≥- D.-3≤x≤0
?2a?a
2
,其中a=9”时，得出了不同的答案.小明的解答
是：原式=a+
2
=a+=1;
小芳的解答是：原式=a+
2
=a+=2a-1=2×9-1=17.
_________的解答是错误的.
错误的解答错在未能正确运用二次根式的性质：________.
三、解答题
1.已知a为实数，
化简
?a
3
?a?
1a
a?
1b?
二次根式化简求值练习题及答案
练习题
二次根式的化简
年级__________班级_________学号_________姓名__________分数____
最新二次根式化简练习题含答案
（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义． 7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ ）（A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）（A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（ ）（A ）x 2 （B ）－x2（C ）－2x （D ）2x 19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ）（A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a ---（四）计算题：（每小题6分，共24分）21．（235+-）（235--）；22．1145-－7114-－732+；23．（a 2mn －m ab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ；24．（a ＋ba abb +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．（五）求值：（每小题7分，共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26．当x ＝1－2时，求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、解答题：（每小题8分，共16分）27．计算（25＋1）（211+＋321+＋431+＋…＋100991+）．28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xyy x +-2的值．（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1、【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2、【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4、【提示】31b a 3、bax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9．7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11、【提示】22d c ＝|cd |＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、【提示】(－7－52)2001＝(－7－52)2000·（_________）[－7－52．] （7－52）·（－7－52）＝？[1．]【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0，3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．[4，5]．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题：（每小题3分，共15分） 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、（C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝|x －y |＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝|x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝|a |．18、【提示】(x －x 1)2＋4＝(x ＋x 1)2，(x ＋x 1)2－4＝(x －x 1)2．又∵ 0＜x ＜1， ∴ x ＋x 1＞0，x －x 1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0． 19、【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0，b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、（B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四）计算题：（每小题6分，共24分）21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝(35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ）·221b a nm＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nmn m ⋅＝21b－ab 1＋221b a ＝2221b a ab a +-．24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ba ab b ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（五）求值：（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10，x －y ＝46，xy ＝52－(26)2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷．26、【提示】注意：x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x ）． 【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x -++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++ ＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x xa x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1．六、解答题：（每小题8分，共16分） 27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--） ＝（25＋1）[（12-）＋（23-）＋（34-）＋…＋（99100-）] ＝（25＋1）（1100-）＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵x y y x ++2－xyy x +-2＝2)(x y y x +－2)(xy y x -＝|xy yx +|－|xy y x -|∵ x ＝41，y ＝21，∴ yx ＜xy．∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值，进而求出y 的值．。
二次根式12套培优练习题及答案
二次根式练习（03）一、选择题（每小题2分，共30分） 1、25的平方根是（ ）A 、5B 、–5C 、5±D 、5± 2、2)3(-的算术平方根是（ ）A 、9B 、–3C 、3±D 、3 3、下列叙述正确的是（ ）A 、0．4的平方根是2.0±B 、32）（--的立方根不存在 C 、6±是36的算术平方根 D 、–27的立方根是–3 4、下列等式中，错误的是（ ） A 、864±=±B 、1511225121±= C 、62163-=- D 、1.0001.03-=-5、下列各数中，无理数的个数有（ ） 10.1010017231642π--，， ， ，， 0, - A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 6、如果x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A 、2≥xB 、2<xC 、2≤xD 、2>x7、化简1|21|+-的结果是（ ） A 、22-B 、22+C 、2D 、28、下列各式比较大小正确的是（ ） A 、32-<-B 、6655->- C 、14.3-<-π D 、310->-9、用计算器求得333+的结果（保留4个有效数字）是（ ）A 、3．1742B 、3．174C 、3．175D 、3．1743 10、如果mm m m -=-33成立，则实数m 的取值范围是（ ）A 、3≥mB 、0≤mC 、30≤<mD 、30≤≤m 11、计算5155⨯÷，所得结果正确的是（ ）A 、5B 、25C 、1D 、5512、若0<x ，则xx x 2-的结果为（ ）A 、2B 、0C 、0或–2D 、–213、a 、b 为实数，在数轴上的位置如图所示，则2a b a +-的值是（ ） A ．－b B ．b C ．b －2a D ．2a －b 14、下列算式中正确的是( )A 、333n m n m -=-B 、ab b a 835=+C 、1037=+x xD 、52523521=+15、在二次根式：①1281827中，与3是同类二次根式的是（ ）A 、①和③B 、②和③C 、①和④D 、③和④ 二、填空题（每小题2分，共20分）16、–125的立方根是_____． 17、如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________．18、要使53-x 有意义，则x 可以取的最小整数是 ． 19、平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______ 20、x 是实数，且02122=-x ，则.____=x 21、若b a 、是实数，012|1|=++-b a ，则._____22=-b a 22、计算：①____;)32(2=-②._____1964522=-23 2.645=== ．24、计算：._____1882=++25、已知正数a 和b ，有下列命题：（1）若2=+b a ，则ab ≤1 （2）若3=+b a ，则ab ≤23 （3）若6=+b a ，则ab ≤3根据以上三个命题所提供的规律猜想：若9=+b a ，则ab ≤________． 三、解答题（共50分） 26、直接写出答案（10分）② ④⑦348- ⑧()225+ ⑨27、计算、化简：（要求有必要的解答过程）（18分） ①8612⨯ ②)7533(3-③32 －321+2④123127+- ⑤(2⑥2363327⨯-+28、探究题（10=____，，=______． 根据计算结果，回答：（1a 吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．（2）利用你总结的规律，计算 ①若2x 〈②=_____29、（6分）已知一个正方形边长为3cm ，另一个正方形的面积是它的面积的4倍，求第二个正方形的边长。
二次根式化简练习题含答案(培优)
基本巩固：2.最简二次根式与同类二次根式：一个二次根式知足被开方数不含有分母,且不含有能开得尽方的因数或因式,叫做最简二次根式（simplest quadratic radical）．几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们被开方数雷同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式．3.移因式到根号内.外的办法：①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时,把负号留在根号外面,然后把这个数的平方移到根号外：当根号内的数是正数时,直接开方移到根号外,即演习：1、有如许一类标题：将b a 2±化简,假如你能找到两个数m.n,使a n m =+22且b mn =,则将将变成m 2+n 2±2mn,即变成(m ±n)2开方,从而使得b a 2±化简．请依据提醒化简下列根式：(1)625-(2)324+2.数a.b 在数轴上的地位如图所示,化简()()()22211b a b a ---++=_____．3、盘算：4、已知m 是2的小数部分,则122+-m m 的值是()．5、对随意率性不相等的两个数a.b,界说一种运算※如下：a ※b=b a ba -+,则12※4=_____．答案与解析：1、解析：依据提醒做出解答即可答案：（1）23- （2）13+2、解析：依据数a.b 在数轴上的地位肯定a+1,b-1,a-b 的符号,再依据二次根式的性质进行开方运算,再归并同类项． 答案：由数轴可知,a ＜-1,b ＞1,∴a+1＜0,b-1＞0,a-b ＜0,∴原式=-（a+1）+b-1-（b-a ）=-a-1+b-1-b+a=-2．3.解析：本题涉及零指数幂.负整数指数幂.幂的运算. 二次根式化简四个考点．在盘算时,须要针对每个考点分离进行盘算,然后依据实数的运算轨则求得盘算成果．。
专题42 二次根式 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（ ） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2． 故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为 ．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为 ．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10． 故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝ ． 【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9， 即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0， 则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。
二次根式的化简习题(1)(最新整理)
)
A.-b
B.2a-b
C.b-2a
D.b
10.计算 (2 5)2 (3 5)2 等于(
)
A.5-2 5
B.1
C.2 5 -5
D.2 5 -1
11.下列二次根式中,是同类二次根式的是( )
a 与 a3c A. bc b
B. a 3b 2 与 ab
C. 2a 与 4a3
二、填空题(共 28 题，题分合计 112 分)
b b2 a
21.已知 ab 8 +(a+b+6)2=0,求a2 a
b 的值.
x 1 1 x 1
26.若x、y为实数且y<
2 ,化简|2y-1|
x
2x x2 a2 1
22.当 x 1 2 时,化简下式并求值: x2 a2 x x2 a2 x2 x x2 a2
x2 a2
二次根式的化简答案
)
(2)若 a 2 =-a,则a一定是负数.(
)
(3) (π 3.14)2 =π-3.14.(
)
(4)∵(-5)2=52,∴. (5)2 52 , 又 52 5, (5)2 5 (
)
(5) ( 5 7 )2 ( 5 7 ) 7 5. (
)
(6)当a>1时，|a-1|+ 1 2a a 2 =2a-2.(
23.已知x 5 2 6, y 5 2 6, 求 x 2 2xy y 2的值 24.若 a b 2 3 ， b c 2 3 ，求代数式 a 2 b2 c 2 ab bc ac 的值.
4x2
4x
1
2
|
x
2
|
1 (
20.化简:(1)
2 <x<2)
二次根式化简练习题含答案
二次根式化简练习题含答案二次根式化简练题含答案（培优）一）判断题：（每小题1分，共5分）1.(−2)2ab=-2ab.（正确）2.3-2的倒数是3+2.（错误）3.(x-1)2=(x-1).（错误）4.ab、xb、1/3a3b、-2a/xb是同类二次根式.（正确）5.8x、1/9+ x2都不是最简二次根式.（正确）二）填空题：（每小题2分，共20分）6.当x=0时，式子1/(x-3)有意义.7.化简-15/8÷1025/2712a3= -3a3/205.8.a-a2-1的有理化因式是a/(a+1).9.当1<x<4时，|x-4|+x2-2x+1= (x-3)2.10.方程2(x-1)=x+1的解是x=3.11.已知a、b、c为正数，d为负数，化简(ab-c2d2)/(ab+cd2)2= (ab-cd2)/(ab+cd2)2.12.比较大小：-1/27-1/43<0<-1/27+1/43.13.化简：(7-5√2)2000·(-7-5√2)2001= 1/5.14.若x+1+y-3=0，则(x-1)2+(y+3)2=26.15.x，y分别为8-11的整数部分和小数部分，则2xy-y2=-0.15.三）选择题：（每小题3分，共15分）16.已知x3+3x2=-xx+3，则x≤-3.17.若x<y<√2，则x-2xy+y+x+2xy+y=2y.18.若0<x<1，则(x-√2)2+4-(x+√2)2-4=-2x.19.化简a/(a3-b3)=-1/b.20.当a<1/2，b<1/2时，-a+2ab-b可变形为-(a-b)2.四）计算题：（每小题6分，共24分）21.(5-3+2)(5-3-2)=0.22.5/(4-11)-24/(11-7)=-1/3.23.(a2-1)/(a-1)+(a-1)/(a2-1)=2a/(a-1).24.(a+5)/(4-11)-(11-7)/(24-7)=-a/3b.第一段没有明显的格式错误，但需要改写：给定一个分式 $\frac{m^2n}{a^2b^2}$，将其化简得到$\frac{n}{a+b} \cdot \frac{m}{a-b}$（当 $a \neq b$ 时）或者$\frac{2m}{a+b}$（当 $a=b$ 时）。
完整版二次根式培优练习题
第1页（共4页）二次根式培优练习题一•选择题（共14小题）1 •使代数式有意义的自变量x 的取值范围是（）x-4A . x > 3 B. x >3 且 X M 4 C. x > 3 且 X M 4 D . x >32•若.■ .... .=3-a ,则a 与3的大小关系是（ ）A . a v 3 B. a W 3C . a >3D . a 》33.如果等式（x+1） °=1和寸⑶€=2- 3x 同时成立，那么需要的条件是（）A . X M - 1 B. x v 二且 X M - 1 C. x W 二或 X M 1D . x <3 3 4.若ab v 0，则代数式 仁呪可化简为（ ）A . a . • B. a* C .- a. 1 ‘ D .- a 1 ‘5.已知xy v 0,则—•化简后为（）A .丁 B .6 .如果实数a 、b 满足需％3=-曲麻，那么点（a , b ） A .第一象限B .第二象限C.第二象限或坐标轴上7.化简二次根式；一，结果正确的是（ ）A . ■8.若 a+ 「=0 成立，贝U a 的取值范围是（ ）A . a >0 B . a >0 C. a w 0 D . a v 09.如果ab >0，a+b v 0,那么下面各式：①命书，②濡=1,③*‘丸十濡=-b ，其 中正确的是（）A .①② B •②③C .①③D .①②③10.下列各式中正确的是（ ）A .寸（_¥）2二但 的=± 3 C .（-占）2=4 D . 迈-五=2 11.在二次根式 '中与小是同类二次根式的有（）X M - 1-一 丁 C .D .在（ ）D .第四象限或坐标轴上 B. - :. C. 、D .■'A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 若.，「「是一个实数，则满足这个条件的a的值有（）A . 0个B. 1个C. 3个D.无数个13 .当a v0 时，化简一，一的结果是（）A . —■. B . 一•、 C.亍 .D .—.14 .下列计算正确的是（）A . : 二7(3)7(3)(1) 观察上面的解题过程，请直接写出式子 (2) 观察上面的解题过程，请直接写出式子利用上面所提供的解法，请求血十1十忑+忑+五“用十忑换+••+ —I — 7100 W99 的值.B•也丿以二如'b C + 5生田"5=13D4/252 -24Mt25+24） （25-24）-V49-7二•填空题（共13小题）15.二次根式讥十与.二-：••的和是一个二次根式，贝U 正整数 a 的最小值为 _________ ;其和 为^16 •已知 a 、b 满足7（2-a ） 2=&+3?且｛二巧+1 =a - b+1,则 ab 的值为 ______ . 17.已知 | a-2007|+ . .- __________ i ：-=a ,则 a - 20072 的值是 .18. ________________________________________________________________________ 如果・」泊勺值是一个整数，且是大于1的数，那么满足条件的最小的整数 a= _____________ . 19•已知 mn=5, m ：+n J= ________ . 20.已知 av0,那么 | .： - 2a| 可化简为 _____ .21 .计算：：_的结果为 _________________ .V322 .若最简二次根式2血尹1与-莎药是同类二次根式，则x ______________ .23 .若厂-f.，则 x= ________ ;若 x 2= （- 3） 2，则 x= _____ ；若（x - 1） 2=16，x= ______ . 24 .化简a的最后结果为 _______ .25 .观察分析，探求出规律，然后填空： 二，2, ■■，2. ■：， I ， _____ ，…， _______ （第 n 个数）.26 .把根号外的因式移到根号内：• I - J =-“*：'[-；p 27 .若a 是.丨的小数部分，则a （a+6） = ______ . 三.解答题（共7小题） 28 .阅读下列解题过程:鮎爲=〔暑誥黑巳=勝爲 ?砸卫卫-2低十界_ （晶+妬〕（讥i ）2-（亦）2请回答下列问题:29•—个三角形的三边长分别为 厝、知莎、*桧(1) 求它的周长(要求结果化简)；(2) 请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.30.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简:31 •先阅读下列的解答过程，然后作答: 形如.厂丄■，的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b=m，ab=n，这样(.J 2+ ( b) 2=m，，那么便有Vb) + Vb (a> b)例如：化简占+4翻解：首先把.I I :;化为J • ： . I ：，这里m=7，n=12;由于4+3=7, 4X 3=12,即（.）2+ （■；）2=7, ? = ■:,••• .II：-2+.:'；由上述例题的方法化简：(1) 1 ；• 一「；(2) .. H；(3 )『'-.；.32. 已知x=2-二，求代数式(7+4. ；) x2+ (2+ :；) x+ -；的值.33. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：| a| -:-：：.请你猜想:(3) 请你将猜想到的规律用含有自然数n (n》1)的代数式表达出来第4页（共4页）参考答案一•选择题（共14小题）1. C;2. B;3. D;4. C;5. B;6. C;7. D;8. C;9. B; 10. A; 11. B; 12. B; 13. A;14. D;二.填空题（共13小题）15. 6；^^E；16.±j-; 17. 2008; 18. 1; 19.土述;20.- 3a; 21.丄；22. 0; 23.±5;± 3; 5 或-3; 24.- 2^23; 25. 2^5;炼；26. 27. 2;三.解答题（共7小题）28. 一二_二-1 ; 29.; 30. ; 31. ; 32.; 33. ; 34.77第3页(共4页)。
2020年八年级数学下册 二次根式化简求值 重难点培优练习(含答案)
2020年八年级数学下册二次根式化简求值重难点培优练习1.设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．2.已知，，，其中A,B都是最简二次根式，且A+B=C，分别求出a和x的值．3.已知点A(5,a)与点B(5,-3)关于x 轴对称，b为的小数部分，求:（1）a+b的值；（2）化简：4.已知a=，b=，分别求下列各式的值．（1）a2+b2；（2）5.先化简，再求值：，其中.6.已知，求的值．7.先化简，再求代数式的值：，其中.8.已知：a=﹣2，b=+2，分别求下列代数式的值：（1）a2+2ab+b2（2）a2b﹣ab2．9.先化简，再求值：其中10.化简求值：(a+b)2+(a-b)(2a+b)-3a2.其中.11.先化简,再求值: ,其中.12.已知a2+b2-6a-2b+10=0，求代数式的值.13.观察下列各式：，请你猜想：（1）_______，.（2）计算（请写出推导过程）：（3）请你将猜想到的规律用含有自然数n（n≥1）的代数式表达出来：14.观察下列各式及其验证过程：（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4的变形结果并进行验证；（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．15.阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式乘除时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：(1)请用不同的方法化简．①参照（三）式得=______；②参照（四）式得=______．(2)化简：．参考答案1.解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，则原式=|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|=a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c=4c．2.解：，，A,B都是最简二次根式，，且A+B=C，，解得：a=2，，，，，，，x=8．3.解：有题意可知：a=3,b=,所以(1)a+b=；(2).4.解：5.解：.6.解：．7.解：；8.解：当a=﹣2，b=+2时，（1）a2+2ab+b2=（a+b）2=（﹣2++2）2=（2）2=12；（2）a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=（﹣2）（+2）（﹣2﹣﹣2），=[（）2﹣22]×（﹣4），=﹣1×（﹣4），=4．9.解：原式当时，10.解：原式=3.11.解：原式.把代入中，有12.解：(a-3)2+(b-1)2=0，所以a=3,b=1.所以原式=.13.解：（1）；；（2）原式===，14.解：（1）（2）15.解：（1）①== ；②====．（2）∵==，∴=；=；…；=，∴＋＋＋…＋=＋＋…＋=．。
二次根式化简题50道
二次根式化简题50道一、基础化简题（1 - 20）1. √(12)- 解析：将12分解因数，12 = 4×3，而√(4)=2，所以√(12)=√(4×3)=2√(3)。
2. √(18)- 解析：18 = 9×2，√(9) = 3，则√(18)=√(9×2)=3√(2)。
3. √(20)- 解析：20=4×5，√(4)=2，所以√(20)=√(4×5)=2√(5)。
4. √(24)- 解析：24 = 4×6，√(4)=2，故√(24)=√(4×6)=2√(6)。
5. √(27)- 解析：27 = 9×3，√(9)=3，因此√(27)=√(9×3)=3√(3)。
6. √(32)- 解析：32 = 16×2，√(16)=4，所以√(32)=√(16×2)=4√(2)。
7. √(40)- 解析：40 = 4×10，√(4)=2，于是√(40)=√(4×10)=2√(10)。
8. √(45)- 解析：45 = 9×5，√(9)=3，则√(45)=√(9×5)=3√(5)。
9. √(48)10. √(50)- 解析：50 = 25×2，√(25)=5，故√(50)=√(25×2)=5√(2)。
11. √(54)- 解析：54 = 9×6，√(9)=3，因此√(54)=√(9×6)=3√(6)。
12. √(60)- 解析：60 = 4×15，√(4)=2，于是√(60)=√(4×15)=2√(15)。
13. √(63)- 解析：63 = 9×7，√(9)=3，则√(63)=√(9×7)=3√(7)。
14. √(72)- 解析：72 = 36×2，√(36)=6，所以√(72)=√(36×2)=6√(2)。
(2021年整理)二次根式化简练习题含答案(培优)
（完整）二次根式化简练习题含答案(培优)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）二次根式化简练习题含答案(培优)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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基础巩固：1、二次根式的性质2、最简二次根式与同类二次根式：一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式（simplest quadratic radical）．几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式．3、移因式到根号内、外的方法:①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时,把负号留在根号外面，然后②把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即③()2a 中a 的取值范围是0≥a ,2a 中a 的取值范围是全体实数．练习：1、有这样一类题目:将b a 2±化简，如果你能找到两个数m 、n ，使an m =+22且b mn =，则将将变成m 2+n 2±2mn ，即变成(m ±n ）2开方，从而使得ba 2±化简．请根据提示化简下列根式：(1)625- (2)324+2、数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简()()()22211b a b a ---++=_____．3、计算：()()[]()021212332225.0-+---+-π4、已知m 是2的小数部分,则122+-m m 的值是(）．5、对任意不相等的两个数a 、b ，定义一种运算※如下:a ※b=b a ba -+，则12※4=_____．答案与解析：。
二次根式化简练习题含答案(K12教育文档)
二次根式化简练习题含答案(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（二次根式化简练习题含答案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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（一）判断题：（每小题1分,共5分）1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ） 4．ab 、31b a 3、bax 2-是同类二次根式．…（ ) 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） （二)填空题：(每小题2分，共20分）6．当x __________时，式子31-x 有意义．7．化简－81527102÷31225a＝ ． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．9．当1＜x ＜4时，｜x －4|＋122+-x x ＝________________．10．方程2(x －1）＝x ＋1的解是____________．11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2222dc abd c ab +-＝______．12．比较大小：－721_________－341．13．化简：(7－52)2000·(－7－52）2001＝______________．14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1）2＋(y ＋3）2＝____________．15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y 2＝____________． （三)选择题:（每小题3分,共15分)16．已知233x x +＝－x 3+x ，则………………（ )(A)x ≤0 (B)x ≤－3 （C ）x ≥－3 (D ）－3≤x ≤017．若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝………………………（ ）(A ）2x （B ）2y (C ）－2x （D ）－2y18．若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 等于………………………（ )（A ）x 2 （B ）－x 2（C ）－2x （D ）2x19．化简aa 3-(a ＜0)得………………………………………………………………（ ） (A ）a - （B)－a （C ）－a - （D ）a20．当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为………………………………………（ ） （A ）2)(b a + (B ）－2)(b a - (C ）2)(b a -+- (D ）2)(b a ---(四）计算题：（每小题6分，共24分)21．(235+-）（235--）；22．1145-－7114-－732+;23．(a 2mn －m ab mn ＋m nn m ）÷a 2b 2mn ；24．(a ＋ba abb +-）÷(b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．(五）求值：（每小题7分,共14分）25．已知x ＝2323-+，y ＝2323+-，求32234232y x y x y x xy x ++-的值．26．当x ＝1－2时,求2222ax x a x x+-+＋222222ax x x a x x +-+-＋221ax +的值．六、解答题：（每小题8分,共16分）27．计算（25＋1)（211+＋321+＋431+＋…＋100991+)．28．若x ，y 为实数，且y ＝x 41-＋14-x ＋21．求x y y x ++2－xy y x +-2的值．（一）判断题:(每小题1分，共5分） 1、【提示】2)2(-＝|－2｜＝2．【答案】×． 2、【提示】231-＝4323-+＝－（3＋2）．【答案】×．3、【提示】2)1(-x ＝|x －1｜,2)1(-x ＝x －1（x ≥1)．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x可取任何数．【答案】×．4、【提示】31b a 3、b ax 2-化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5、29x +是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分） 6、【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义?分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7、【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8、【提示】（a －12-a )(________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ．9、【提示】x 2－2x ＋1＝（ )2,x －1．当1＜x ＜4时,x －4，x －1是正数还是负数？x －4是负数,x －1是正数．【答案】3． 10、【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后,a 、b 分别是多少?12-，12+．【答案】x ＝3＋22．11、【提示】22d c ＝|cd ｜＝－cd ．【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0）,∴ ab －c 2d 2＝(cd ab +）(cd ab -）． 12、【提示】27＝28，43＝48．【答案】＜．【点评】先比较28，48的大小，再比较281，481的大小，最后比较－281与－481的大小． 13、【提示】(－7－52）2001＝（－7－52)2000·（_________）［－7－52．］(7－52）·（－7－52)＝?[1．］【答案】－7－52．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式． 14、【答案】40．【点评】1+x ≥0,3-y ≥0．当1+x ＋3-y ＝0时，x ＋1＝0，y －3＝0．15、【提示】∵ 3＜11＜4，∴ _______＜8－11＜__________．［4,5］．由于8－11介于4与5之间，则其整数部分x ＝？小数部分y ＝？[x ＝4，y ＝4－11]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了． （三）选择题:（每小题3分，共15分) 16、【答案】D ．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A ）、(C ）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义． 17、【提示】∵ x ＜y ＜0，∴ x －y ＜0，x ＋y ＜0．∴222y xy x +-＝2)(y x -＝｜x －y ｜＝y －x ．222y xy x ++＝2)(y x +＝｜x ＋y |＝－x －y ．【答案】C ． 【点评】本题考查二次根式的性质2a ＝｜a |．18、【提示】(x －x 1）2＋4＝(x ＋x 1)2，（x ＋x 1）2－4＝(x －x 1）2．又∵ 0＜x ＜1，∴ x ＋x 1＞0，x －x1＜0．【答案】D ．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A ）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x ＜1时，x －x1＜0．19、【提示】3a -＝2a a ⋅-＝a -·2a ＝|a ｜a -＝－a a -．【答案】C ． 20、【提示】∵ a ＜0,b ＜0，∴ －a ＞0，－b ＞0．并且－a ＝2)(a -，－b ＝2)(b -，ab ＝))((b a --．【答案】C ．【点评】本题考查逆向运用公式2)(a ＝a （a ≥0）和完全平方公式．注意（A ）、(B ）不正确是因为a ＜0，b ＜0时，a 、b 都没有意义． （四)计算题：(每小题6分，共24分） 21、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝（35-)2－2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 22、【提示】先分别分母有理化,再合并同类二次根式．【解】原式＝1116)114(5-+－711)711(4-+－79)73(2--＝4＋11－11－7－3＋7＝1．23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a 2m n －m ab mn ＋m n n m )·221b a nm ＝21b n m m n ⋅－mab 1n m mn ⋅＋22b ma n nm n m ⋅ ＝21b －ab 1＋221ba ＝2221b a ab a +-．24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝ba abb ab a +-++÷))(())(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+--＝b a b a ++÷))((2222b a b a ab b a b ab b ab a a -++----＝b a b a ++·)())((b a ab b a b a ab +-+-＝－b a +．【点评】本题如果先分母有理化,那么计算较烦琐．（五）求值:（每小题7分，共14分） 25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x ＝2323-+＝2)23(+＝5＋26，y ＝2323+-＝2)23(-＝5－26．∴ x ＋y ＝10,x －y ＝46，xy ＝52－(26）2＝1．32234232yx y x y x xy x ++-＝22)())((y x y x y x y x x +-+＝)(y x xy y x +-＝10164⨯＝652． 【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要,先分别求出“x ＋y ”、“x －y ”、“xy ”．从而使求值的过程更简捷． 26、【提示】注意:x 2＋a 2＝222)(a x +，∴ x 2＋a 2－x 22a x +＝22a x +（22a x +－x ），x 2－x 22a x +＝－x （22a x +－x )． 【解】原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)()()2(22222222222x a x a x x x a x x a x x a x x -++-+++-+-＝)()(22222222222222x a x a x x x a x x a x a x x x-++-+++++-=)()(222222222x a x a x x a x x a x -+++-+＝)()(22222222x a x a x x x a x a x -++-++＝x 1．当x ＝1－2时，原式＝211-＝－1－2．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝)(2222x a x a x x-++－)(22222x a x x a x x -++-＋221ax +＝)11(2222a x x a x +--+－)11(22x x a x --+＋221a x +＝x 1．六、解答题:（每小题8分，共16分)27、【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝(25＋1）（1212--＋2323--＋3434--＋…＋9910099100--)＝（25＋1）[（12-）＋(23-)＋（34-)＋…＋（99100-）］ ＝（25＋1）(1100-) ＝9（25＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数,从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．28、【提示】要使y 有意义，必须满足什么条件？].014041[⎩⎨⎧≥-≥-x x 你能求出x ，y 的值吗？].2141[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y x【解】要使y 有意义，必须⎩⎨⎧≥-≥-014041[x x ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤.4141x x ∴ x ＝41．当x ＝41时，y ＝21．又∵xyy x ++2－xy y x +-2＝2)(xy y x+－2)(xy y x - ＝|xyyx+｜－｜xy y x -｜∵ x ＝41，y ＝21,∴ y x ＜xy．∴ 原式＝x y y x +－y x x y +＝2yx 当x ＝41，y ＝21时，原式＝22141＝2．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x 的值,进而求出y 的值．。
二次根式培优题
二次根式培优1．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如的化简，只要我们找到两个数a ，b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b =>，例，这里7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+==∴2==由上述例题的方法化简：（1（2（32．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如23(1+=+．设2(a m +=+（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有2222a m n +=++，222a m n ∴=+，2b mn =．这样可以把部分a + 请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若2(a m ++，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a = ，b = ．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： +(= +2；（33．观察下列等式：1=；==⋯，（1= ．(n 为正整数）（2．4．观察下列各式：11111122=+-=11111236+-=；111113412=+-=，⋯ 请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①= = ；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用(n n 为正整数）表示的等式： ；③．52 ===；===请解答下列问题：（1；（2的结果．(1)n（3）利用上面的解法，．6．阅读下列解题过程：1===；==请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．=；=；（2的值；（3=．7．我们知道平方运算和开方运算是互逆运算，如：2222()a ab b a b±+=±，那么||a b=±0a>，0b>，0)a±>化简呢？如能找到两个数m，(0,0)n m n>>，使得22a+=即m n a+=，且使m n b=即m n b==，双重二次根式得以化简；312=+且212=⨯，223∴+++∴1=+由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成的形式，且能找到m，(0,0)n m n>>使得m n a+=，且m n b=，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：（1；；（2）化简：（38．阅读下列材料，然后解答下列问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上如53，231+这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一5535)33333⨯==⨯； （二222(31)2(31))3131(31)(31)(3)1⨯--===-++--；（三22231(3)1(31)(31))3131313131--+-====-++++．以上这种化简的方法叫分母有理化．（1）请用不同的方法化简2:53+①参照（二)式化简253=+ ． ②参照（三)式化简253=+ ． （2）化简：11113153759997+++⋯+++++．9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．222(1)12OA =+=，112s =；22231(2)3OA =+=，222S =；⋯22241(3)4OA =+=，332S =；⋯（1）请用含有(n n 为正整数）的等式表示上述变化规律：2n OA = ，n S = ． （2）若一个三角形的面积是22，计算说明它是第几个三角形？（3）求出22221239S S S S +++⋯+的值．10．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如2222()a ab b a b ±+=±，那么||a b ±．如何将双重二次根式化简？我们可以把5±222±=完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点(,)P x y 和(,)Q x y '给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点(2,5)-的“横负纵变点”为(2,5)--．请选择合适的材料解决下面的问题：（1）点的“横负纵变点”为 ，点(2)--的“横负纵变点”为 ；（2；（3）已知a 为常数(12)a ，点(M )m 且m =，点M '是点M 的“横负纵变点”，则点M '的坐标是 ．11．阅读下面的问题：1=；==2==⋯⋯（1与（2）已知n（3．12．阅读材料：若能找到两个数m 、n ，是22m n x +=且mn =则把x ±变成2222()m n mn m n +±=±解：22232212121(1+=++++⨯∴1==请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1（213．小芳在解决问题：已知a =，求2281a a -+的值．他是这样分析与解的：2a ===2a ∴=2(2)3a ∴-=，2443a a -+=，241a a ∴-=-，222812(4)12(1)11a a a a ∴-+=-+=⨯-+=- 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：（1+． （2）若a =．①求2481a a --的值；②求32312912a a a -+-的值．。
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基础巩固：
1、二次根式的性质
①二次根式.a中被开方数一定是非负数，并且二次根式a_0 ;
②(柘 f =a(a^0)；
a(a 色0)
③+'a = |a| = 0(a = 0)
-a(a 乞0)
2、最简二次根式与同类二次根式：
一个二次根式满足被开方数不含有分母，且不含有能开得尽方的因数或因式，叫做最简二次根式(simplest quadratic radical ).
几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.
3、移因式到根号内、外的方法：
①把根号外的数移到根号内：当根号外的数是负数时，把负号留在根号外面，然后把这个数的平方移到根号内，即 a.b二- a2b (a<0)；当根号外的数是正
数时，直接把它平方后移到根号内，即 b = a 2b (a>0);
②把根号内的数移到根号外：当根号内的数是正数时，直接开方移到根号外，即a2b二a b (a>0)；当根号内的数是负数时，开方移到根号外后要添上负号，即,a2b = -a b (a<0).
4、a2与 a $的联系与区别
①存，(需2都是非负数；
a(a 色0)
②Q a j =a(a 王0)，M a2=|a| = 0(a = 0)结果不同；
—a(a 兰0)
③、.a中a的取值范围是a 一0，a2中a的取值范围是全体实数.
练习：
1、有这样一类题目：将詐±2扁化简，如果你能找到两个数m n, 使m2
且mn = . b ,则将将变成m+n2士2mn,即变成(m± n)2开方,
从而使得a二2 .. b化简.
请根据提示化简下列根式：
(1) Q-2.6
⑵.4 23
2、数a、b在数轴上的位置如图所示，化简
3、计算:
_ 1
0.25 2 2 -3 厂一j.-3 2 2什気一』2 °
4、已知m是2的小数部分，则.m2-2m ■ 1的值是().
5、对任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下：b二'a+ b
a -
b 则代※4= _____ .
答案与解析：
1、解析：根据提示做出解答即可
答案：(1 ) 3一..2 (2) 31
2、
3、解析：根据数a、b在数轴上的位置确定a+1，b-1，a-b
的符号，再根据二次根式的性质进行开方运算，
再合并同类项.
答案：由数轴可知，a v -1 , b > 1 ,
/a+1 v 0, b-1 > 0, a-b v 0,
•••原式=-(a+1 ) +b-1- (b-a)
=-a-1+b-1-b+a
=-2 .
3、解析：本题涉及零指数幕、负整数指数幕、幕的运算、
二次根式化简四个考点.在计算时，需要针对每个考点
分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果.
答案：解：原式=0.5 •—1—3 1
2J2 -3
2逅+3
= 0.5 +一「——= ---- 3 + 1
(2T2+3I2J2—3)
= 0.5-鸟占-3-3+1
=-4.5-242
4、
5、解析：首先确定m二2-1，再化简，最后代值.
答案：2一2 2
6、解析：利用已知得出与12探4相等的式子，进而求出即
可.
答案：••飞※b=旦卫,
a —b
/. 12^ 4=^^
12-4
= 1
2。