平行四边形综合证明题

33．（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF ＝BE ．求证：CE ＝CF ；（2）如图2，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，G 是AD 上一点，如果∠ECG ＝45°，请你利用（1）的结论证明：ECG BCE CDG s s s ∆∆∆=+．（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCG 中，AG ∥BC （BC ＞AG ），∠B ＝90°，AB ＝BC=6，E 是AB 上一点，且∠ECG ＝45°，BE ＝2．求△ECG 的面积．【答案】（1）先根据正方形的性质可得BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，即可证得△CBE ≌△CDF ，从而得到结论；（2）延长AD 至F ，使DF=BE ．连接CF ．由（1）知△CBE ≌△CDF ，即可得到∠BCE ＝∠DCF ．又∠GCE ＝45°，可得∠BCE+∠GCD ＝45°．即可得到∠ECG ＝∠GCF ．又CE ＝CF ，GC ＝GC ，即可证得△ECG ≌△FCG ，即可证得结论；（3）15【解析】试题分析：（1）先根据正方形的性质可得BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，即可证得△CBE ≌△CDF ，从而得到结论；（2）延长AD 至F ，使DF=BE ．连接CF ．由（1）知△CBE ≌△CDF ，即可得到∠BCE ＝∠DCF ．又∠GCE ＝45°，可得∠BCE+∠GCD ＝45°．即可得到∠ECG ＝∠GCF ．又CE ＝CF ，GC ＝GC ，即可证得△ECG ≌△FCG ，即可证得结论；（3）过C 作CD ⊥AG ，交AG 延长线于D ．证得四边形ABCD 为正方形．由（2）中△ECG ≌△FCG ，即得GE ＝GF ．GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ，设DG ＝x ，可得AE=4，AG ＝6—x ，EG=2+ x ．在Rt △AEG 中，根据勾股定理即可列方程求得x 的值，再根据三角形的面积公式即可求得结果．（1）在正方形ABCD 中，∵BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF ．∴CE ＝CF ．（2）如图2，延长AD 至F ，使DF=BE ．连接CF ．由（1）知△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF ．又∠GCE ＝45°，∴∠BCE+∠GCD ＝45°．∴∠DCF ＋∠GCD ＝∠GCF ＝45°A B C D EF A BCGE A B C D E 图1 图2图3 G A B C D EF 图2 G即∠ECG ＝∠GCF ．又∵CE ＝CF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG ．∴ECG CFG S S ∆∆==CDG CDF S S ∆∆+．∴ECG BCE CDG S S S ∆∆∆=+．（3）如图3，过C 作CD ⊥AG ，交AG 延长线于D ．在直角梯形ABCG 中，∵AG ∥BC ，∴∠A ＝∠B ＝90°，又∠CDA ＝90°，AB ＝BC ，∴四边形ABCD 为正方形．已知∠ECG ＝45°．由（2）中△ECG ≌△FCG ，∴ GE ＝GF ．∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD ．设DG ＝x ，∵BE=2，AB=6，∴AE=4，AG ＝6—x ，EG=2+ x ．在Rt △AEG 中，222GE AE AG =+，即()222(2)46x x +=+-．解得：x ＝3． ∴CEG BCE CDG S S S ∆∆∆=+=11263622⨯⨯+⨯⨯=15．∴△CEG 的面积为15．考点：正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，直角梯形的性质，勾股定理点评：此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．34．如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是AD 边上的动点，从点A 沿AD 向D 运动．．，以BE 为边，在BE 的上方作正方形BEFG ，连接CG 。

请探究：（1）线段AE 与CG 是否相等？请说明理由。

（2）若设AE=x ，DH=y ，当x 取何值时，y 最大？（3）连接BH ，当点E 运动到AD 的何位置时，△BEH ∽△BAE ？ 【答案】三角形全等；当21=x 时，y 有最大值为41；相似三角形的判定定理 【解析】试题分析：（1）CG AE =理由：正方形ABCD 和正方形BEFG 中 ︒=∠+∠9053︒=∠+∠9054∴ 43∠=∠又BG BE BC AB ==, 2分∴△ABE ≌△CBG ……3分∴ CG AE = …… ……4分（2）∵正方形ABCD 和正方形BEFG∴︒=∠=∠=∠90FEB D A∴ ︒=∠+∠9021︒=∠+∠9032∴ 31∠=∠又∵D A ∠=∠∴△ABE ∽△DEH …… …6分∴ABDE AE DH = ∴ 11x x y -= … 7分 ∴ x x y +-=241)21(2+--=x 8分 当21=x 时，y 有最大值为41 9分 （3）当E 点是AD 的中点时，△BEH ∽△BAE 10分理由：∵ E 是AD 中点∴ 41=DH 11分 又∵△ABE ∽△DEH∴21==AE DH BE EH 12分 又∵ 21=AB AE ∴ BEEH AB AE = …14分 又︒=∠=∠90FEB DAB ∴ △BEH ∽△BAE … 15分考点：全等三角形的性质和判定点评：解答本题的关键是熟练掌握判定两个三角形全等的一般方法：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ，注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．35．如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从A 开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动；动点Q 从点C 开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动．P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为t s ．（1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形PQCD 为等腰梯形？（3）当t 为何值时，四边形PQCD 为直角梯形？【答案】t =6(秒). t =7(秒). t =213(秒) 【解析】试题分析：解：（1）∵AD ∥BC ，∴当PD=CQ 时，四边形PQCD 为平行四边形.∵AP=t cm,AD=24cm ，∴PD=24－t (cm),∴24－t =3t ,∴t =6(秒).（2）过点D 作DE ⊥BC 于E ，得矩形ABED ，∴ AD=BE=24 cm ，∴CE=26－24=2(cm)，∵AD ∥BC ，∴当CQ=PD ＋2CD 时，四边形PQCD 为等腰梯形.∴3t =24－t ＋2×2， t =7(秒).（3）∵AD ∥BC ，∴当BQ=AP 时，四边形PQCD 为直角梯形.∴26－3t = t ，考点：动点与图形点评：本题难度较大，动点问题为中考常见题型，经常为压轴题。

准确分析动点列式是解题关键。

36．在平面直角坐标系xOy 中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求∠BAO 的度数；（2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点Q 在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ．求证：PF ＝PQ ；（3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若P 为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．【答案】（1）45BAO ∠=o （2）证明：在等腰直角三角形APD 中，90PDA ∠=︒，DA=DP ，145APD ∠=∠=︒，∴DP ⊥AD 于D ，由（1）可得45BAO ∠=︒，∴1BAO ∠=∠，又∵PG ⊥x 轴于G ，∴PG = PD ，∴90AGP PGF D ∠=∠=∠=︒，∴445BAO ∠=∠=︒，∴490APD DPG ∠+∠=∠=︒，即390GPQ ∠+∠=︒，又∵PQ ⊥PF ，∴290GPQ ∠+∠=︒，∴23∠=∠，在△PGF 和△PDQ 中，PGF D ∠=∠，PG PD =，23∠=∠，∴△PGF ≌△PDQ ，∴PF=PQ （3）OP ⊥DP ，OP ＝DP 证明：延长DP 至H ，使得PH=PD ，∵P 为BE 的中点，∴PB=PE ，在△PBH 和△PED 中，PB PE =，12∠=∠，PH PD =，∴△PBH ≌△PED ，∴BH=ED ，∴34∠=∠，∴BH ∥ED ，在等腰直角三角形ADE 中，AD=ED ，45DAE DEA ∠=∠=︒，∴AD=BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒，∴DE ∥x 轴，BH ∥x 轴， BH ⊥y 轴，∴90DAO HBO ∠=∠=︒，由（1）可得 OA=OB ，在△DAO 和△HBO 中，AD BH =，DAO HBO ∠=∠，OA OB =，∴△DAO ≌△HBO ，∴OD=OH ，∠5=∠6，∵590AOB DOB ∠=∠+∠=︒图2 图1 图2∴690DOH DOB ∠=∠+∠=︒，∴在等腰直角三角形△DOH 中，∵DP=HP ，∴OP ⊥DP ，12745DOH ∠=∠=︒，∴7ODP ∠=∠，∴OP=PD【解析】试题分析：（1） 直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （－6，0），B （0，6），∴OA=OB ，∴BAO ABO ∠=∠，在△AOB 中，90AOB ∠=︒，∴45BAO ABO ∠=∠=︒（2）由90PDA ∠=︒，DA=DP ，145APD ∠=∠=︒推出DP ⊥AD ，再利用（1）中的结论，结合图像，以及全等三角形的判定，可以推出，∴PF=PQ 。

（3）由于PB=PE ，以及全等三角形的判定定理推出△PBH ≌△PED ，由此可以推出BH ∥ED ，又因为在等腰直角三角形ADE 中，AD=BH ，90DAE BAO DAO ∠+∠=∠=︒，所以利用全等三角形的判定定理，推出△DAO ≌△HBO ，同时利用等腰直角三角形的特殊性，可以推出OP=PD考点：全等三角形的判定定理点评：本题看似复杂，实则许多地方都用到了全等三角形的判断，全等三角形在中考中是重点，也是难点，学生应该加强这方面的练习，做到举一反三。