2020定积分的概念
高数定积分定义
高数定积分定义
定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一定区间上的
积分结果的确定。
在数学中，积分是微积分中的一种基本概念，定义
了一种反向操作，即由导数得到原函数。
定积分的定义是指在函数y=f(x)的x轴某一区间[a,b]上，将其分割成许多小的矩形，并将这些矩形的面积分别求出。
当分割的小矩形
数趋向于无穷大时，这些小矩形组成的面积总和即为该函数在区间[a, b]上的定积分，用符号∫abf(x)dx表示。
其中dx代表自变量的微元，f(x)代表被积函数，而a和b是积分
的上下限。
上述式子也可以看作是在曲线y=f(x)与x轴之间的面积之
积分。
为了方便计算，往往将上述区间分割成等分的若干小区间，其中
小区间的个数记作n，区间长为Δx。
于是有Δx=(b-a)/n，而小矩形
面积为f(xi)Δx，其中xi为小区间的中点。
将这些面积相加，即可得到该函数在区间[a, b]上的近似定积分。
在极限n趋向于无穷大的情况下，上述近似定积分将趋近于函数
在区间[a, b]上的定积分，即∫abf(x)dx。
因此，定积分又可以描述为曲线y=f(x)在区间[a, b]上与x轴之
间面积大小的确定。
而由于定积分的值只与积分区间及被积函数有关，因此在定积分的计算中，被积函数函数的表达式及积分区间的范围就
成为了最为重要的关键。
定积分在实际问题中的应用非常广泛，例如可以用于求曲线与坐标轴的面积，求函数在某个区间上的平均值，以及求物体在某一时间间隔内的位移等问题。
同时，定积分也是微积分中重要的积分概念之一，有较高的理论和实际应用价值。
定积分知识点总结文字
定积分知识点总结文字一、定积分的基本概念定积分是微积分中的一个重要内容，它是对给定区间内函数值的“积分”，通俗地说就是曲线下的面积。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上有界，将[a, b]区间分成n份，在第i个区间上任取一点ξi，作出任意形式的ξi对于x的函数值f(ξi)，再用第i个小区间长度Δx为宽、f(ξi)为高的长方形来逼近曲线f(x)围成的图形，然后将n个小矩形的面积加在一块，且去极限，即可得到[a, b]上函数f(x)的定积分。
二、定积分的计算方法定积分的计算方法主要有几种：几何法、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的分部积分法、定积分的换元积分法、定积分的定积分法、定积分的换限积分法等。
(一) 几何法：如计算函数y = x^2在区间[0, 1]上的定积分，可以通过几何法计算曲线y = x^2和x轴所围成的面积。
首先画出y = x^2曲线和x轴，然后在区间[0, 1]上做垂直于x轴的线段，对于每一个x值，可以得到一个矩形，然后得到所有矩形的面积之和，即为y = x^2在区间[0, 1]上的定积分值。
(二) 牛顿-莱布尼茨公式：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]间的定积分为该函数的一个不定积分在区间[a, b]上的值。
即如果F(x)是f(x)的一个不定积分，则∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
(三) 分部积分法：设u = u(x)和v = v(x)是定义在闭区间[a, b]上具有连续导数的函数，令u(x)v'(x)dx =u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，那么∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
(四) 换元积分法：设φ(x)是[a, b]上的可导函数，且φ'(x)在[a, b]上连续，f(φ(x))φ'(x)定义在φ[a, b](a ≤ x ≤ b)上，则∫[a, b]f(φ(x))φ'(x)dx = ∫[φ(a), φ(b)]f(u)du。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分的概念分析
定积分的概念分析定积分是微积分学中的重要概念之一，是对函数在一个闭区间上的加和运算。
它在物理学、经济学和工程学等领域有广泛的应用。
本文将对定积分的概念进行分析，并介绍一些相关性质和应用。
一、定积分的定义在介绍定积分的具体定义之前，先引入一些必要的概念。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则将[a,b]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为Δx。
在每个小区间上任取一个点ξi，并设Δx的极限为0，这时ξi变成了[a,b]上的任意一点x。
那么，将每个小区间上的函数值f(ξi)与对应小区间宽度Δx的乘积相加，即可得到一个加和运算，这个加和运算就是函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分，记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分可以理解为一个求和的动作，将函数在一个区间上的无穷多个微小部分的面积或者长度，加和成一个整体。
二、定积分的几何意义几何上，定积分可以理解为曲线与坐标轴之间的有符号面积。
具体而言，设函数f(x)在闭区间[a,b]上非负，那么函数f(x)的图像与x轴之间的面积就等于定积分∫[a,b]f(x)dx。
如果函数f(x)在闭区间[a,b]上存在有负值的部分，那么对应的面积就具有有符号性，即正值部分与负值部分相互抵消。
三、定积分的性质1. 积分的线性性质：对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分的次序性：对于任意两个实数a和b，当a < b时，有∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx。
3. 积分的区间可加性：对于任意三个实数a、b和c，当a < b < c 时，有∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
4. 积分的常数性质：当f(x)在闭区间[a,b]上连续时，有∫[a,b]dx = b - a。
定积分的知识点总结
定积分的知识点总结一、定积分的基本概念定积分是微积分学中的重要概念，可以用来计算曲线下的面积，曲线的弧长，质心等物理量。
定积分的基本思想是将曲线下的面积划分为无穷多个微小的矩形，然后求和得到整体的面积。
定积分的符号表示为∫。
对于一个函数f(x)，在区间[a, b]上的定积分表示为：∫[a, b]f(x)dx其中，a和b为区间的端点，f(x)为函数在该区间上的取值。
定积分表示在区间[a, b]上的函数f(x)所确定的曲线下的面积。
二、定积分的计算方法1. 黎曼和定积分的计算基本思想是将曲线下的面积划分为很多个小矩形，然后对这些小矩形的面积求和。
这就是定积分的计算方法。
在实际计算中，根据黎曼和的定义，我们可以将区间[a, b]等分为n个小区间，每个小区间长度为Δx=(b-a)/n，然后在每个小区间上取一个样本点xi，计算f(xi)Δx的和：∑[i=1,n]f(xi)Δx当n趋近于无穷大时，这个和就可以逼近定积分的值。
这就是黎曼和的基本思想。
2. 定积分的几何意义定积分可以用来计算曲线下的面积，也可以用来计算曲线的弧长。
对于一个函数f(x)，其在区间[a, b]上的定积分表示的是曲线y=f(x)和x轴之间的面积。
这个面积就是曲线下的面积。
如果函数f(x)在区间[a, b]上非负且连续，那么函数y=f(x)、直线x=a、x=b以及x轴所围成的区域的面积就是∫[a, b]f(x)dx。
3. 定积分的物理意义定积分还可以用来计算物理量，比如质量、质心等。
在物理学中，可以用定积分来计算物体的质量、质心等物理量。
对于一个连续的物体，将其质量密度函数表示为ρ(x)，则物体的质量可以表示为定积分：M=∫[a, b]ρ(x)dx三、定积分的性质1. 线性性定积分具有线性性质，即∫[a, b](c1f1(x)+c2f2(x))dx=c1∫[a, b]f1(x)dx+c2∫[a, b]f2(x)dx。
其中c1、c2为常数，f1(x)、f2(x)为函数。
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
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4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
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1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
2020版人教A版数学选修2-2___第一章 导数及其应用 定积分的概念
知识梳理
【做一做 1】
在定积分的概念中,定积分
������ ������
������(x)dx 的大小(
)
A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关 B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关 C.与f(x)以及ξi的取法有关,与区间[a,b]无关 D.与f(x)、积分区间[a,b]和ξi的取法都有关 解析:根据定积分的概念可知,选项A正确,选项B,C,D都不正确,故
2×2sin
π 3
=
2π 3
−
3,
S 矩形=AB·BC=2 3,
所以 1
-1
4-������2dx=2
3 + 2π −
3
3 = 2π +
3
3.
题型一
题型二
(2)函数y=1+sin x的图象如图所示,
5π
所以
2 π
(1+sin
x)dx=2S
矩形
ABCD=2π.
2
典例透析
������
·1 =
������
∑
������ ������=1
3(������-1) ������ 2
+
5 ������
=
3 ������ 2
[0+1+2+…+(n-1)]+5
3 ������2-������ = 2 · ������2 + 5
13 3
= 2 − 2������.
(3)取极限
2 1
−
������+������-1 = 1.
������
������
定积分的概念和基本思想
定积分的概念和基本思想一、定积分的概念和基本思想1、定积分的概念一般地，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，用分点$a=x_0<x_l<$$\cdots<$$x_{i-l}<x_i<$S\cdots<$$x_n=b$将区间$ la, b] S等分成$n$ 个小区间，在每个小区间$[x_{iT},x_i]$上任取一点$ C _i (i=l, 2, \cdots, n)$,作和式$\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}f(4 _i)Ax=$$\underset{i=l}{\overset {n} {\sum ))\frac(b-a} {n}f(C_i)$,当Sn-8$时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数$f (x) $在区间$[a,b]$上的定积分，记作$\int_{a} * (b}f (x) (\rm d}x$,即$\int_{a}*{b}f(x){\rmd}x=$$\underset(n~* °°}{\lim}\underset{i=l}{\overset{n}{\sum}}\frac{b_ a}{n}f(g_i)$,这里,$a$与$b$分别叫做积分下限与积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量,$f(x) {\rm d}x$叫做被积式。
(1)定积分$\int_{a}*{b}f(x) {\rm d}x$不是一个函数式,而是一个数值(极限值)，它只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量无关，即$\int_{a}*{b}f(x){\rm d}x=$S\int_{a}*{b}f(t)(\rm d}t=$$\int_{a}*{b}f(u){\rm d}u$o(2)定义中区间的分法和$ g _i$的取法是任意的。
2、定积分的基本思想定积分的基本思想就是以直代曲，即求曲边梯形的而积时，将曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，用小矩形近似代替，利用矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积。
定积分的概念及性质课件
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变 换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或 系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法， 它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余 弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性 质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的 应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着 广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转 换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定 义的积分，它通常用于处理一些 在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函 数在一个区间上的总值， 其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
定积分的定义和性质
性质：区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有线性性质，可以像加法一样进行区间上的运算。
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积分中值定理
定理定义：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则在开区间(a,b)上至少存在一点ξ，使得f(ξ)=(b-a)∫f(x)dx
定理证明：通过构造辅助函数和运用中值定理证明
方法步骤：选择适当的中间变量，进行变量替换，化简积分
适用范围：被积函数或积分区间具有特定形式时
分部积分法
定义：将两个函数的乘积进行积分的一种方法
注意事项：选择合适的u和v，以便简化计算过程
应用：解决某些复杂的不定积分问题
公式：∫udv=∫vdu+∫u'vdx
有理函数的积分法
计算步骤：首先将有理函数分解为简单分式之和或差，然后分别求各简单分式的积分，最后合并各简单分式的积分结果。
,a click to unlimited possibilities
定积分的定义和性质
目录
01
单击添加目录标题
02
定积分的定义
03
定积分的性质
04
定积分的计算方法
01
添加章节标题
02
定积分的定义
积分上限函数
积分上限函数的定义：定积分被定义为积分上限函数在某区间上的值。
积分上限函数的性质：积分上限函数在区间上单调递增或递减，取决于被积函数在区间上的符号。
应用场景：在求解定积分时，可以利用微积分基本定理将复杂的积分转化为简单的积分，从而简化计算过程。
定理证明：可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行证明，该公式将定积分与不定积分联系起来。
04
定积分的计算方法
微积分基本定理的应用
2020届高三理数一轮讲义：3.3-定积分与微积分基本定理(含答案)
[思维升华] 1.定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而 与积分变量用什么字母表示无关. 2.错误!f(x)dx、错误!|f(x)|dx 与|错误!f(x)dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函
数 f(x)在闭区间[a，b]上可正可负，也就是它的图象可以在 x 轴上方、也可以在 x 轴下方、还可以在 x 轴的上下两侧，所以 错误!f(x)dx 表示由 x 轴、函数 f(x)的曲线
4 角度 2 利用定积分计算平面图形的面积 【例 2－2】 (一题多解)由抛物线 y2＝2x 与直线 y＝x－4 围成的平面图形的面积 为________.
y2＝2x，
解析 如图所示，解方程组
得两交点为(2，－2)，(8，4).
y＝x－4，
法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之 和，即 S＝2错误! 2xdx＋错误!( 2x－x＋4)dx＝18.
角度 1 利用定积分的几何意义计算定积分
【例 2－1】 (1)计算：错误!(2x＋ 1－x2)dx＝________.
(2)若错误! －x2－2x dx＝π，则 m＝________. 4
解析 (1)由定积分的几何意义知，错误! 1－x2 dx 表示以原点为圆心，以 1 为半
| 径的圆的面积的1，所以错误! 1－x2 dx＝π，又 错误!2xdx＝x2
曲边梯形的面积
2.定积分的性质
(1)错误!kf(x)dx＝k错误!f(x)dx(k 为常数).
(2)错误![f1(x)±f2(x)]dx＝错误!f1(x)dx±错误!f2(x)dx.
(3)错误!f(x)dx＝错误!f(x)dx＋错误!f(x)dx(其中 a＜c＜b).
定积分的概念课件
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指定积分在区间上的 值等于该区间内各小区间的定积分之和。
详细描述
定积分的区间可加性表明，对于任意两个不 相交的区间$[a, b]$和$[c, d]$，有
$int_{a}^{b}f(x)dx+int_{c}^{d}f(x)dx=int_ {a}^{d}f(x)dx$。这意味着可以将一个大区 间分割成若干个小区间，然后求各小区间的 定积分，再将它们相加，得到整个大区间的
体积计算
规则体积
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等 ，可以直接利用定积分的值来计算其体积。例如，对 于圆柱体，其体积可以通过定积分$int_{a}^{b} 2pi r(h) dr$来计算。
曲顶体积
对于曲顶的立体图形，如球、球缺等，也可以利用定 积分来计算其体积。通过将曲顶立体分割成若干小锥 体，然后求和这些小锥体的体积，最后利用极限思想 得到整个曲顶立体的体积。
定积分的性质
02
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指定积分具有与加法和数乘运算类似的性质。
详细描述
定积分的线性性质允许我们将一个被积函数与常数相加或相乘，其结果等于将相应的常数加到或乘到 该函数的定积分上。即，对于两个函数的定积分，有$int (k_1f+k_2g) dx = k_1int f dx + k_2int g dx$，其中$k_1$和$k_2$是常数。
应用
无穷区间上的积分在解决一些实际问题时非常有用，例如 求某些物理量（如质量、面积等）的无穷累加和。
一致收敛性
定义
01
一致收敛性是函数序列的一种收敛性质，它描述了函数序列在
某个区间上的一致收敛性。
定积分应用知识点总结
定积分应用知识点总结1. 定积分的概念定积分是微积分学中的一个重要概念，用于求解曲线下面积或者曲线围成图形的面积。
在实际问题中，定积分可以用来计算曲线与坐标轴之间的面积、质心、弧长、体积、工作、功等物理量。
2. 定积分的计算定积分的计算可以通过积分的定义或者牛顿-莱布尼茨公式来进行。
积分的定义是将一个曲线f(x)在区间[a,b]上分成无穷多段，每一段的面积为f(x)与x轴之间的面积的无限和，然后通过极限的方法求得。
而牛顿-莱布尼茨公式则是通过原函数的求导与积分的关系，直接求出定积分的值。
3. 定积分的性质定积分有很多重要的性质，包括线性性质、区间可加性、保号性等。
这些性质在定积分的计算和应用中起到了非常重要的作用，可以简化定积分的计算过程。
4. 定积分的应用定积分在实际问题中有着广泛的应用，例如可以用来求解曲线围成的图形的面积、计算质心、弧长、体积、工作、功等物理量。
在工程、物理、经济学等领域都有着重要的应用价值。
5. 定积分的计算技巧对于一些特定的函数，可以通过一些积分的技巧来简化定积分的计算，例如换元积分法、分部积分法等。
这些技巧可以帮助我们更快速、准确地求解定积分。
在实际问题中，我们经常会遇到需要利用定积分来计算一些物理量或者解决一些实际问题，下面我们通过一些实际例子来解释定积分的应用知识点。
1. 计算物体的质心在物理学中，质心是一个非常重要的概念，它可以帮助我们确定物体的平衡位置。
对于一个均匀密度的物体，我们可以通过定积分来计算它的质心位置。
假设物体在x轴上的密度分布函数为ρ(x)，则物体的质心位置可以通过如下公式计算得出：\[X=\frac{\int_{a}^{b}xρ(x)dx}{\int_{a}^{b}ρ(x)dx}\]其中，\(\int_{a}^{b}xρ(x)dx\)表示物体的动量矩，而\(\int_{a}^{b}ρ(x)dx\)表示物体的总质量。
通过这个公式，我们就可以求得物体的质心位置。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
定积分的概念讲义
定积分的概念【知识要点】(1)定积分的定义及相关概念① 分割 如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…x i －1<x i <…＜x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，区间[x i －1，x i ] 的长度1i i i x x x -∆=-。
② 近似取代 “以直代取”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．③ 求和 作和式i ＝1n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1nb －anf (ξi )， ④ 取极限 当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x .即：()()1lim ni n i bb af x dx f anξ→∞=-=∑⎰ 注：在⎠⎛ab f (x )d x 中，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式． （2）定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a,b]上的函数()f x 连续且恒有()0f x ≥。
那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
(3 )定积分的性质 ①a b dx ba-=⎰1②⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)． （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）③⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛abf 2(x )d x . （定积分的线性性质）④⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )． （定积分对积分区间的可加性）说明：①推广：1212[()()()]()()()bb b bm m aaaaf x f x fx dx f x dx f x dx f x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰②推广:121()()()()kbc c b aac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰③性质解释：PCN M B AabOyxy=1yxOba【例题精讲】例1．计算定积分21(1)x dx +⎰分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为52。
定积分的概念 课件
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①y＝ x图象为抛物线的一部分； ②x＝y2 为一条抛物线； ③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线． 解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何 意义进行表示．
[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
因此1x3dx＝14. 0
[例4] 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的 平面区域的面积．
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
0
0
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
定积分的概念