高一数学含参数不等式的解法
人教版高一必修一数学不等式解法步骤
人教版高一必修一数学不等式解法步骤高中数学不等式是数学学科的一个重要部分，不等式在实际生活和科学技术领域中都有着广泛的应用。
在高中必修一数学课程中，学生需要学习不等式的解法步骤，掌握不等式的基本概念和解题方法，提高解决实际问题的能力。
人教版高一必修一数学不等式解法步骤主要包括以下内容：1.不等式的基本概念和性质：首先，学生需要了解不等式的基本概念和性质。
不等式是指两个数或者两个代数式之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等式关系。
在学习不等式的过程中，学生还需要掌握不等式的可加性、可乘性等基本性质，这些性质是解不等式问题的关键。
2.不等式的解法方法：解不等式是数学学科中的一个重要问题，不等式的解法方法有很多种，包括直接法、间接法、分情况讨论法、参数法等。
学生需要掌握这些解法方法，根据不同的不等式问题选择合适的解法，并且要熟练运用这些解法方法解决实际问题。
3.一元一次不等式的解法：在学习不等式的过程中，学生首先需要掌握一元一次不等式的解法。
一元一次不等式是指不等式中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一次的不等式。
解一元一次不等式的关键是通过变形和等价变换将不等式化为标准形式，然后通过对不等式进行加减乘除等操作来求解未知数的取值范围。
4.一元二次不等式的解法：学生在学习一元一次不等式之后，需要进一步学习一元二次不等式的解法。
一元二次不等式是指不等式中含有一个未知数，并且未知数的最高次数为二次的不等式。
解一元二次不等式一般需要借助图像或者特殊的代数方法来求解，学生需要掌握各种解法方法，并熟练应用到实际问题中去。
5.不等式组的解法：在学习一元不等式之后，学生还需要学习不等式组的解法。
不等式组是由多个不等式组成的一种复合不等式，解不等式组的关键是找出其解的交集或者并集，并求出满足所有不等式的未知数的取值范围。
学生需要通过练习不等式组的解题方法，提高解决实际问题的能力。
6.不等式问题的应用：在学习不等式的过程中，学生还需要了解不等式在实际问题中的应用。
含参数的一元二次不等式的解法教学设计(邓慧明)
含参数的一元二次不等式的解法教学设计授课班级：高一（3）班授课教师：邓慧明一、设计思路：1、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（北师大版）第三章第2节第三课时。
从教材中的地位与作用来看，一元二次不等式在陕西高考数学考试大纲中要求：通过函数图像了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系，并会解一元二次不等式。
二次型不等式是联系不等式、函数、方程、几何、三角等知识的桥梁和纽带，在高考中常常作为考查学生的综合应用知识的能力出现。
含参数的一元二次不等式的解法是一元二次不等式的重点内容之一，而且在解含参数的一元二次不等式的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程思想等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
2、学生学习情况分析学生已经学习过系数为常数的一元二次不等式的解法，对解法的本质有了一定的了解，把系数变为参数后怎么解？通过对比、点拨让学生去发现含参数的一元二次不等式的解法与系数为常数的解法本质是相同的；通过教师设置的问题链（即变式）进一步感受参数对解决问题的影响；通过自主探究、合作交流，明确分类的原因以鼓励学生在学习过程中养成独立思考、积极探究的习惯；通过变式过程让学生明白变与不变的辩证关系，激发学生的数学学习兴趣，发展他们的创新意识。
3、设计指导思想与理念《数学课程标准》指出，学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。
本节课将在教师引导下，使用自主探究、合作交流等方式，充分发挥学生学习的主动性，为学生形成积极主动地、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。
二、教学目标:1.知识与技能掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有参数的一元二次不等式的解法.2.过程与方法通过体验解题的过程，培养数形结合的能力，分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；提高学生的逻辑分析能力.3.情感态度价值观通过分类讨论的过程激发学习数学的热情，培养学生思维的严密性.三、教学重、难点：教学重点:含有参数的一元二次不等式的解法.教学难点:分类讨论标准的划分.（“分类讨论”是高中数学中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
高一数学知识点专题练习8 含参数的二次不等式解法
高一数学知识点专题练习高一数学知识点专题练习含参数的二次不等式解法专练一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.当时，不等式恒成立，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题的求解，解题的关键是熟练应用二次函数的性质．分“当时“，“当时“两种情况讨论，综合可求k的范围．【解答】解：当时，不等式可化为，显然恒成立；当时，若不等式恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x轴无交点，则，解得：，综上k的取值范围是．故选C．2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，属于中档题．本题易忘记讨论的情况导致漏解．【解答】3.不等式的解集为，则m的取值范围A. B.C. D. 或【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了二次函数恒成立问题，即根据二次函数图象开口方向和判别式的符号，列出等价条件求出对应的参数的范围，属于基础题．关于x的不等式的解集为，可转化成不等式恒成立，然后讨论二次项系数和判别式可得结论．【解答】解：关于x的不等式的解集为，不等式恒成立，当，即时，不等式化为，解得，不是对任意恒成立，当时，即时，，使，即且，化简得：，解得或，应取，综上，实数m的取值范围是．故选B．4.不等式对恒成立，则a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查恒成立问题，考查导数知识的综合运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最大值，问题得以解决．学_科网【解答】解：对恒成立，，设，，令，解得，函数单调递增，，解得，函数单调递减，，，故选B．5.已知关于x的不等式对任意恒成立，则k的取值范围是A. B. C. 或 D. 或【答案】A对k进行分类讨论，当时恒成立，时不等式不能恒成立，当时，只需求得k的范围，最后综合得到答案．本题主要考查了二次函数的性质考查了学生分类讨论思想，数形结合思想以及不等式的相关知识．6.关于x的不等式在区间上有解，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的单调性、分离参数法，考查了等价转化能力，是综合性题目．【解答】解：关于x的不等式在区间上有解，等价于，，设，，则函数在单调递减，且当时，函数取得最大值．所以实数a的取值范围是．故选A．7.如果关于x的不等式的解集是，那么等于A. B. 81 C. D. 64【答案】B【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式的解集的计算以及指数的计算问题，属于基础题目根据跟与系数的关系可以得到a，b的值．学_科网【解答】解：不等式可化为，其解集是，那么，由根与系数的关系得，解得，；所以．故选B．8.若关于x的不等式的解集不是空集，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式与对应方程根的应用问题，是基础题目．由已知得方程有实数根，，由此求出a的取值范围．9.设函数是定义在上的增函数，实数a使得对于任意都成立，则实数a的取值范围是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：法一：由条件得对于恒成立令，只需在上的最小值大于0即可．．当，即时，，，故；当，即时，，，故；当，即时，，满足，故．综上．法二：由得，，，当时，恒成立，此时；当时，恒成立．求当时，函数的最小值．令，则，而函数是上的减函数，所以当且仅当，即时，．故要使不等式在上恒成立，只需，由得．故选：A解法一：由条件得对于恒成立，令，只需在上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由，得，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键注意要利用分类讨论的数学思想．10.x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不等式的解集得出，再化简不等式，求出它的解集即可．本题考查了一元一次不等式与一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．【解答】解：关于x的不等式的解集是，即不等式的解集是，；不等式可化为，解得，该不等式的解集是．故选：C．11.已知不等式的解集为A，不等式的解集是B，是不等式的解集，则A. B. C. 1 D. 5【答案】A【解析】解：不等式的解集为，不等式的解集是，所以，所以不等式的解集为，所以，；．故选：A．求出不等式的解集A、B，计算，再由根与系数的关系求出a、b的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的关系与应用问题，是基础题目．12.若关于x的不等式在区间上恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：令，，，关于x的不等式在区间上恒成立，转化为关于x的不等式在区间上恒成立，，当时，，所以，故选：C．本题考查了函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查换元思想，是一道中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数与x轴交于，两点，则关于x的不等式的解集是______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的性质，考查解不等式问题，是一道基础题．根据二次函数的性质得到，解出即可．【解答】解：二次函数与x轴交于，两点，，，即，解得：，不等式的解集是，故答案为．14.已知函数的定义域为R，值域为，则实数a的取值集合为______ ．【答案】本题考查了函数的值域和函数图象的关系，函数定义域为即被开方数非负恒成立，利用抛物线图象即可求解．15.若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：依题意，当时，恒成立．当时，；当时，即，解之得．故答案为．利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母m满足的不等式本题考查偶次根式的定义域的求解，考查不等式恒成立问题的解决办法，关键要进行等价转化．16.关于t的不等式有解，则实数m的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：关于t的不等式有解，，解得，实数m的取值范围是．故答案为：．根据一元二次不等式与二次函数的关系，利用判别式列出不等式求出m的取值范围．本题考查了一元二次不等式与二次函数的关系和应用问题，是基础题目．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知函数在区间上有最大值1和最小值．求a，b的值；若在区间上，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：，，函数的图象开口向上，对称轴为，在上递减；，且，．等价于，即，要使此不等式在上恒成立，只需使函数在上的最小值大于0即可．在上单调递减，，由得，．因此满足条件的实数m的取值范围是．【解析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．函数图象开口向上，对称轴，故在递减；进而根据在区间上有最大值1和最小值，可得a，b的值；若在区间上，不等式恒成立，函数在上的最小值大于0，进而可得实数m的取值范围．18.已知不等式的解集为A，不等式的解集为B．求；若不等式的解集为，求a、b的值．【答案】解：，，解得：，，，，解得：，，；由得：，2为方程的两根，，．【解析】通过解不等式求出集合A、B，从而求出即可；问题转化为，2为方程的两根，得到关于a，b的方程组，解出即可．本题考查了不等式的解法，考查集合的运算，是一道基础题．19.已知不等式的解集为或．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ解不等式．【答案】解：Ⅰ由题知1和2是方程式的根，由根与系数关系得，解得，．Ⅱ方程两根为，，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为，当时，所求不等式的解集为．【解析】本题考查了一元二次不等式与对应方程的解的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是中档题．Ⅰ由一元二次不等式与对应方程的关系，结合根与系数关系，即可求出a、b的值；Ⅱ根据方程的两根，讨论m的值，即可求出对应不等式的解集．20.已知函数．若，求的值域；当时，解方程；若对于任意的实数x，都有恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：时，分母，故即函数的值域为；时，，则或1即的根为，1．由题意恒成立，恒成立，只要恒成立即可，即恒成立当时，恒成立，符合题意当时，．综上所述：．【解析】将的值带入，从而求出函数的值域即可；将带入，令，解方程即可；问题转化为恒成立，通过讨论a的符号，结合二次函数的性质求出a的范围即可．本题考查了求函数的值域，解方程问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，是一道中档题．21.已知函数，当时，，当时，．求的解析式；若不等式的解集为R，求c的取值范围；当时，求的最大值．，因为，，当且仅当，即时取等号，当时，．【解析】本题考查的知识点是二次函数的性质，一元二次不等式的解法，基本不等式，函数的最值，其中根据函数的零点与对应方程根的关键，结合韦达定理，构造关于a，b的方程，进而求出a，b的值，是解答本题的关键．由已知中函数，当时，，当时，，可得的两根为，2，由韦达定理根与系数的关系我们易求出a，b的值，进而得到函数的解析式；由的结论，根据不等式的解集为R，可得，由此构造关于c的不等式，解不等式即可求出c的取值范围；根据的结论，我们易求出的解析式，结合基本不等式，分析出函数的值域，即可得到其最大值．22.已知关于x的不等式．当时，解不等式；当时，解不等式．学_科网【答案】解：当时，此不等式为，可化为，化简得，解得即或；不等式化为，当时，；当时，不等式化为，若，即，解不等式得；若，即，解不等式得；若，即，解不等式得；当时，不等式，解得或；综上所述：当，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【解析】本题考查了含参数的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，解题时应对参数进行讨论，是综合性题目．时，不等式化为，求解即可；不等式化为，讨论、和时，对应不等式的解集是什么，从而求出对应的解集．。
高一数学含参数不等式的解法
作业：
满足3 x x 1的x的集合为A,满足x2 (a 1)x a 0 的x的集合为B. (1)若A B,求a的取值范围 (2)若A B,求a的取值范围 (3)若A B为仅含一个元素的集合,求a的值
见菜碟铜舌鬼扭动瘦瘦的犹如蒜头样的屁股，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的深灰色花蕾 一样绽开……五条暗灰色螃蟹模样的疯狂尾巴急速从里面伸出……接着，一颗浅灰色花生模样的阴暗巨大狐头快速探了出来……一簇簇暗灰色糖块模样的奇妙巨大翅 膀飘然向外伸展……突然！两只暗灰色足球模样的贪婪巨爪威武地伸了出来……随着亮白色白菜模样的奇特幽光的狂速飞舞，无数钢灰色马心模样的梦幻羽毛和亮灰 色鳞甲飞一样射出……突然，无数亮灰色飞盘模样的风光鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个鸡毛硬泪仙模样的武士……与此 同时壮扭公主朝鸡毛硬泪仙变成的巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……鸡毛硬泪仙的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被 壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看鸡毛硬泪仙的真身也被月光妹妹一顿飞拳 云腿，直玩得满 脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们不玩了！”女樵夫Ｍ． 翁贝叶娆仙女见无法取胜，急忙变成长着离奇大腿的亮白色古怪锁孔朝西南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！跟我玩换马甲，这回你们可撞鱼雷上了，我正愁找 不到对手呢……”月光妹妹一边说着一边变成长着怪异下巴的水红色超级小号追了上去……女樵夫Ｍ．翁贝叶娆仙女见月光妹妹快要追上，又急忙变成长着离奇犄角 的纯红色古怪小旗朝正南方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！又换一套马甲，我也把从远古时代积压下来卖不出去的存货拿出来让你们瞧瞧……”月光妹妹一边说 着一边变成长着怪异舌头的暗青色超级药片追了上去……只见Ｘ．妮什科招待和另外四个校精怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的卵石刀肝仙！这个巨大的卵石刀肝 仙，身长四百多米，体重二百多万吨。最奇的是这个怪物长着十分壮丽的刀肝！这巨仙有着紫红色椰壳似的身躯和紫玫瑰色细小旗杆般的皮毛，头上是暗白色陀螺一 样的鬃毛，长着淡红色水母似的铁锅蛇筋额头，前半身是墨紫色腰带似的怪鳞，后半身是脏乎乎的羽毛。这巨仙长着淡灰色水母模样的脑袋和墨黑色海参似的脖子， 有着墨灰色陀螺样的脸和钢灰色扫帚模样的眉毛，配着浓黑色瓜子一样的鼻子。有着乳白色臂章样的眼睛，和纯红色牛肝似的耳朵，一张乳白色车厢似的嘴唇，怪叫 时露出碳黑色地灯模样的牙齿，变态的墨紫色樱桃般的舌头很是恐怖，紫玫瑰色小号般的下巴非常离奇。这巨仙有着很像牙签模样的肩胛和酷似粉条一样的翅膀，这 巨仙变异的紫宝石色猪肚般的胸脯闪着冷光，特像螃
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法不等式是数学中的重要概念之一，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。
在高中数学中，学生将接触到基本不等式的概念和解题方法，这是数学学习的重要内容之一。
本文将介绍高一基本不等式的题型及解题方法，帮助学生更好地掌握不等式的知识。
一、基本不等式的概念在数学中，不等式是指两个数或表达式之间的大小关系。
基本不等式是指形如a < b、a > b、a ≤ b、a ≥ b这样简单的不等式，其中a和b是实数。
不等式的解集是所有满足不等式关系的实数集合。
在高一阶段，学生将学习不等式的基本性质、解法和应用。
掌握不等式的基本概念是解决各种不等式问题的重要基础。
二、不等式的解法不等式的解法主要有两种：代入法和图像法。
1.代入法代入法是解决不等式问题的常用方法，它的基本思想是根据题目的给定条件，找到合适的实数值代入不等式进行验证，从而确定不等式的解集。
例如，对于不等式3x + 5 > 1，可以通过代入x的不同取值进行验证。
找到一个合适的x值，使得3x + 5 > 1成立，这样就确定了不等式的解集。
2.图像法图像法是通过解不等式对应的方程，将不等式表示的数学关系用图像表示出来，从而直观地看出不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 ≤ 5，可以将不等式表示的数学关系用数轴上的图像表现出来，找出满足不等式关系的实数解。
通过代入法和图像法，可以有效地解决各种不等式问题，帮助学生更好地理解不等式的概念和解题方法。
三、常见的基本不等式题型在高一数学中，常见的基本不等式题型主要包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指不等式中只有一个变量，并且变量的次数是一次的不等式。
解决一元一次不等式的关键是要找到不等式的解集，通常可以通过代入法或图像法来解题。
例如，解不等式2x - 3 > 5，可以通过将给定条件代入不等式进行验证，找到满足不等式关系的实数解。
高一数学含参数不等式的解法(PPT)5-1
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
当a 1时,则a2 a 1,原不等式的解集为 {x | x 1}
当a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x为
若b 0， 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
（多用来洗衣服）。②指外行（多用于戏剧界）。 【棒喝】动比喻促人醒悟的警告：一声～。参看页〖当头棒喝〗。 【棒球】名①球类运动项目之一，规则 和用具都像垒球而稍有不同，场地比垒球的大。②棒球运动使用的球，较垒球小而硬。 【棒儿香】名用细的竹棍或木棍做芯子的香。 【棒针】名一种编织毛 线衣物的用具，较粗，多用竹；配资平台：https:/// ； 子削制而成。 【棒子】?名①棍子（多指粗而短的）。②〈方〉玉米：～面。 【棒子面】?〈方〉名玉米面。 【棓】〈书〉同“棒”。 【傍】①动靠；靠近：船～了岸｜依山～水。②临近（指时间）：～晚。③动依靠；依附：～人门 户。 【傍边儿】∥〈方〉动靠近；接近。 【傍黑儿】〈方〉名傍晚：一早出的门，～才回家。 【傍角儿】〈方〉①动为主角配戏或伴奏。②名指为主角配戏 或伴奏的人。 【傍亮儿】〈方〉名临近天明的时候：天刚～他们就出发了。 【傍明】〈方〉名临近天明的时候：～，雨停了。 【傍人门户】比喻依附别人， 不能自主。 【傍晌】（～儿）〈方〉名临近正午的时候。 【傍晚】名时间词。临近晚上的时候。 【傍午】名时间词。临近正午的时候：～时分，突然下起 了大雨。 【傍依】ī动靠近；挨近：住宅小区～碧波荡漾的太平湖。 【谤】（謗）〈书〉诽谤：毁～｜～议｜～书。 【谤书】〈书〉名诽谤人的信件或书籍。 【谤议】〈书〉动诽谤议论。 【塝】〈方〉田边土坡；沟渠或土埂的边（多用于地名）：张家～（在湖北）。 【搒】（榜）〈书〉摇橹使船前进；划船。 【蒡】见页〖牛蒡〗。 【稖】［稖头］（）〈方〉名玉米。 【蜯】〈书〉同“蚌”。 【膀】见页〖吊膀子〗。 【磅】①量英美制质量或重量单位，符号。 磅等于盎司，合。千克。②名磅秤：过～｜搁在～上称一称。③动用磅秤称轻重：～体重。［英］ 【磅秤】名台秤?。 【镑】（鎊）名英国、埃及等国的本 位货币。［英］ 【艕】〈书〉船和船相靠。 【包】①动用纸、布或其他薄片把东西裹起来：～书｜～饺子｜头上～着一条白毛巾。②（～儿）名包好了的东
高一数学(含参不等式的解法)
对 切 ∈R都 立 求 取 范 一 x 成 ， a的 值 围
要注意对二次项系数的讨论
题型2、不等式对 ∈ 恒成立问题 题型 、不等式对x∈R恒成立问题
练 1、 等 ax + 5x + 4 < 0 习 不 式 的
2
解 是 ,求 的 值 围 集 R a 取 范 ；
练 2、 等 ax + 5x + 4 ≥ 0 习 不 式
2
的 集 R, 求 的 值 围 解 是 a 取 范 .
题型3、 题型 、解含参数的不等式 1、解关于x的不等式 解关于 的不等式
x − ax − 2a > 0
2 2
要注意对方程的根的大小的讨论
x −a 解关于x的不等式 2、解关于 的不等式 >0 1− x
题型3、解含参数的不等式 题型 、
3、解关于x的不等式 解关于 的不等式
ax + 2x +1 > 0 ( a > 0)
2
ax + 2x +1 > 0 (a ∈R)
2
解含参二次不等式的多层讨论问题， 解含参二次不等式的多层讨论问题， 学海》 页方法点拨 页方法点拨。 见《学海》54页方法点拨。
布置作业
1、《学海》第4课时 学海》 P80习题3.2A组 习题3.2A 2、P80习题3.2A组：3,4. B组: 2,3.
2
或 {x x > −1 x < −4}, 求 , b 值 a 的 ；
一元二次方程的根就是对应二次不等式 的解集的端点值。 的解集的端点值。
2、 知 等 ax + bx + 4 > 0 解 已 不ห้องสมุดไป่ตู้式 的 集
高一解不等式的解法步骤
我们要了解高一解不等式的解法步骤。
不等式是数学中用来描述数之间大小关系的工具，它表示一个数相对于另一个数是大还是小。
在解决不等式问题时，我们需要遵循一定的步骤来确保答案的准确性和完整性。
解不等式的通用步骤如下：
1. 首先，确定不等式的类型，例如：一元一次不等式，一元二次不等式等。
2. 根据不等式类型，选择合适的解法。
例如，一元一次不等式可以通过移项直接求解；一元二次不等式则需要考虑判别式等。
3. 对不等式进行简化，合并同类项，移项等，使其变得更易于解决。
4. 求解简化后的不等式，并给出解集。
5. 最后，根据实际情况，可能需要进一步确定解集的范围，例如：确定解集在实数范围内还是整数范围内。
总结：解不等式的关键在于确定不等式类型，然后选择合适的策略进行简化和求解。
不同类型的不等式可能有不同的解法，所以在开始解不等式之前，一定要明确其类型。
高一数学基本不等式知识点
高一数学基本不等式知识点在高中数学学习的过程中，不等式是一个重要的部分。
不等式是数学中研究各种数量之间大小关系的一种数学关系。
在高一阶段，基本不等式是学习不等式的基础，也是进一步研究不等式的前提。
1. 不等式的定义与性质不等式是指两个数或者两个算式之间的大小关系。
常见的不等式符号包括大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）。
在解不等式的过程中，我们需要注意不等式的性质，比如对称性、传递性以及与等式的关系等。
2. 基本不等式基本不等式是高一阶段不等式学习的核心内容。
在基本不等式中，包括了重要的三个不等式：算术平均数与几何平均数的大小关系、平均数不等式、柯西-施瓦茨不等式。
a. 算术平均数与几何平均数的大小关系：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于几何平均数。
即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。
b. 平均数不等式：对于任意一组正数，它们的算术平均数大于等于它们的四次方平均数，四次方平均数大于等于它们的几何平均数。
即若a1、a2、...、an为正数，则有(a1+a2+...+an)/n ≥ ((a1^4+a2^4+...+an^4)/n)^1/4 ≥ (a1*a2*...*an)^(1/n)。
c. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意两组实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，有(a1*b1+a2*b2+...+an*bn)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
该不等式在向量和内积的研究中具有重要的应用。
3. 不等式的解法在解不等式的过程中，我们需要运用相关的性质和定理，结合具体的不等式形式进行推导。
a. 基本不等式的应用：基本不等式是解决各类不等式问题的基础。
我们可以将待解决的不等式通过恰当的变形和不等式的运算性质转化成基本不等式，再利用基本不等式求解。
高一数学含参数不等式的解法
解: 原不等式可化为:
(x a)( x a2 ) 0
当a 0时,则a a2,原不等式的解集为 {x | x a或x a2}
当a 0时,则a a2 0,原不等式的解集为 {x | x 0}
当0 a 1时,则a2 a,原不等式的解集为 {x | x a2或x a}
若b 0,则原不等式的解集为
若b 0， 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解集为：
当a 0时， 解集为{x | x b}
a 当a 0时， 解集为{x | x b}
a
当a 0且b 0时， 解集为
当a 0且b 0时， 解集为R
例2．解关于x的不等式
x2 (a a2 )x a3 0(a R)
|
a 7
x
a 8
(2) ax2 (2a 1)x 2 0
当a
0时，
解集为x
|
1 a
x
2
当a 0时， 解集为x | x | x 2
当0
a
1 2
时，
解集为x
|
x
1 a
或x
2
当a 1 时， 解集为x | x 2
log
a
(1
1 x
)
1
分析： 因为a作为对数的底数，故a的取值为 a 1或0 a 1
所以要分成 a 1或0 a 1
两种情况进行讨论．
解：
原不等式可化为：
log
a
(1
1 x
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精讲)(解析版)
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法【考纲要求】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式：(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式.3.会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c 型不等式.4.掌握不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|及其应用.5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.【知识清单】1．实数的大小(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a和b，如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b是负数，那么a<b；如果a－b等于零，那么a＝b.2．不等关系与不等式我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做不等式.3．不等式的性质(1)性质1：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)性质2：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)性质3：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)性质4：①如果a>b，c>0那么ac>bc.②如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)性质5：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)性质6：如果a >b >0，c >d >0，那么ac >bd . (7)性质7：如果a >b >0，那么a n >b n ，(n ∈N ，n ≥2)． (8)性质8：如果a >b >0，那么n a >nb ，(n ∈N ，n ≥2)． 4．一元二次不等式的概念及形式(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． (2)形式：①ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)； ②ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)； ③ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)； ④ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)．(3)一元二次不等式的解集的概念：一般地，使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集. 5．分式不等式的解法定义：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为__分式不等式__. f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )__>__0，f (x )g (x )<0⇔f (x )·g (x )__<__0. f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x ) ≥ 0，g (x )≠0. ⇔f (x )·g (x )__>__0或⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )＝0g (x )≠0.f (x )g (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )·g (x ) ≤ 0，g (x )≠0⇔f (x )·g (x )__<__0或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝0g (x )≠0. 6．简单的高次不等式的解法高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式. 解法：穿根法①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 7.不等式恒成立问题 1．一元二次不等式恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧ a >0Δ<0；(2)ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ≤0；(3)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎨⎧a <0Δ<0；(4)ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立(或解集为R )时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ≤0.2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k <f (x )或k >f (x )形式．则可以转化为函数值域求解． 设f (x )的最大值为M ，最小值为m .(1)k <f (x )恒成立⇔k <m ，k ≤f (x )恒成立⇔k ≤m . (2)k >f (x )恒成立⇔k >M ，k ≥f (x )恒成立⇔k ≥M . 8．绝对值不等式的解法1．形如|ax ＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解． 2．形如|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式 (1)绝对值不等式|x|>a 与|x|<a 的解集(2)|ax ＋b|≤c(c>0)和|ax ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax ＋b|≤c ⇔－c≤ax ＋b≤c (c>0)，|ax ＋b|≥c ⇔ax ＋b≥c 或ax ＋b≤－c(c>0)． 9．绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．【考点梳理】考点一 ：用不等式表示不等关系【典例1】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 【答案】见解析【解析】提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －2.50.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售的收入不低于20万元”用不等式可以表示为：(8－x －2.50.1×0.2)x ≥20.【规律总结】用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示．【变式探究】某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【答案】见解析 【解析】分析：应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负．于是可列不等式组表示上述不等关系．详解：设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根，依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥yx ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y x ≥0y ≥0考点二：比较数或式子的大小【典例2】(1)比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； (2)设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1a 的大小．【答案】见解析【解析】 (1)x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝x 2－2x ＋1＋y 2－2y ＋2＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， ∴x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． (2)由a －1a ＝(a －1)(a ＋1)a当a ＝±1时，a ＝1a；当－1＜a ＜0或a ＞1时，a ＞1a ；当a ＜－1或0＜a ＜1时，a ＜1a.【领悟技法】 1.比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论． (3)函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 【变式探究】已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小． 【答案】见解析【解析】∵x ＜y ＜0，xy ＞0，x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )． 考点三：不等式性质的应用【典例3】（2020·黑龙江省佳木斯一中高一期中（理））对于任意实数a b c d ,,,，下列正确的结论为（ ） A ．若,0a b c >≠，则ac bc >； B ．若a b >，则22ac bc >； C ．若a b >，则11a b <； D ．若0a b <<，则b a a b<． 【答案】D 【解析】A ：根据不等式的基本性质可知：只有当0c >时，才能由a b >推出ac bc >，故本选项结论不正确；B ：若0c时，由a b >推出22ac bc =，故本选项结论不正确；C ：若3,0a b ==时，显然满足a b >，但是1b没有意义，故本选项结论不正确； D ：22()()b a b a b a b a a b ab ab-+--==，因为0a b <<，所以0,0,0b a ab a b ->>+<， 因此0b a b aa b a b-<⇒<，所以本选项结论正确. 故选：D【典例4】 若a ＝ln33，b ＝ln44，c ＝ln55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 【答案】B【解析】方法一 易知a ，b ，c 都是正数， b a ＝3ln44ln3＝log 8164＜1，所以a ＞b ； b c ＝5ln44ln5＝log 6251 024＞1，所以b ＞c .即c ＜b ＜a . 方法二 对于函数y ＝f (x )＝ln xx ，y ′＝1－ln x x2， 易知当x ＞e 时，函数f (x )单调递减． 因为e ＜3＜4＜5，所以f (3)＞f (4)＞f (5)， 即c ＜b ＜a .【典例5】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4”，则f (－2)的取值范围是 ． 【答案】[5,10]【解析】方法一(待定系数法)设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 方法二(解方程组法)由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， ⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)].所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)． 又因为1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，所以5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.【规律总结】1．判断不等式的真假．(1)首先要注意不等式成立的条件，不要弱化条件．(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．(3)若要判断某结论正确，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若要说明某结论错误，只需举一反例． 2．证明不等式(1)要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推证时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 3．求取值范围(1)建立待求范围的代数式与已知范围的代数式的关系，利用不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．4．掌握各性质的条件和结论．在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同时乘(除)以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定． 【变式探究】1.（2020·陕西省西安中学高二期中（文））已知0a b <<，则下列不等式成立的是 （ ） A ．22a b < B ．2a ab <C ．11a b< D ．1ba< 【答案】D 【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.2. （2020·江西省崇义中学高一开学考试（文））下列结论正确的是（ ） A ．若ac bc >，则a b >B ．若88a b >，则a b >C ．若a b >，0c <，则ac bc <D <a b >【答案】C 【解析】对于A 选项，若0c <，由ac bc >，可得a b <，A 选项错误；对于B 选项，取2a =-，1b =，则88a b >满足，但a b <，B 选项错误； 对于C 选项，若a b >，0c <，由不等式的性质可得ac bc <，C 选项正确；对于D a b >，D 选项错误.故选：C. 3.已知12<a <60,15<b <36，求a －b 及ab的取值范围．【错解】∵12<a <60,15<b <36，∴12－15<a －b <60－36，1215<a b <6036，∴－3<a －b <24，45<a b <53.【辨析】错解中直接将12<a <60,15<b <36相减得a －b 的取值范围，相除得ab 的取值范围而致错．【正解】∵15<b <36，∴－36<－b <－15.∴12－36<a －b <60－15， 即－24<a －b <45.又15<b <36，∴136<1b <115.又12<a <60，∴1236<a b <6015，即13<a b <4.综上，－24<a －b <45，13<ab <4.【易错警示】错用不等式的性质致错. 考点四：一元二次不等式的解法【典例6】（2020·全国高考真题（文））已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D. 【规律方法】1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式． (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 【易错警示】忽视二次项系数的符号致误 【变式探究】1．（2019·全国高考真题（理））已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=（ ）A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．2. （2020·黑龙江省大庆实验中学高三一模（文））已知集合1|03x A x x -⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，集合{|15}B x N x =∈-≤≤，则A B =（ ）A ．{0,1,4,5}B ．{0,1,3,4,5}C ．{1,0,1,4,5}-D ．{1,3,4,5}【答案】A 【解析】 因为集合{1|033x A x x x x -⎧⎫=≥=⎨⎬-⎩⎭或}1x ≤， 集合{|15}{0,1,2,3,4,5}B x N x =∈-≤≤=，所以A B ={0,1,4,5}.故选：A考点五：绝对值不等式的解法【典例7】（2020·江苏省高考真题）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++<． 【答案】2(2,)3- 【解析】1224x x x <-⎧⎨---<⎩或10224x x x -≤≤⎧⎨+-<⎩或0224x x x >⎧⎨++<⎩21x ∴-<<-或10x -≤≤或203x <<所以解集为：2(2,)3-【典例8】（2020·周口市中英文学校高二月考（文））(1)求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集；(2)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，求a 的值.【答案】(1) {x |x ≤－3或x ≥2} (2) a ＝－3 【解析】(1)当x <－2时,不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5,解得x ≤－3； 当－2≤x <1时,不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5,即3≥5,无解； 当x ≥1时,不等式等价于x －1＋x ＋2≥5,解得x ≥2. 综上,不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}. (2)∵|ax －2|<3,∴－1<ax <5. 当a >0时,15x a a -<< , 153a -=-,且513a =无解； 当a ＝0时,x ∈R ,与已知条件不符； 当a <0时,51x a a <<-,553a =-,且113a -=, 解得a ＝－3. 【规律方法】形如|x －a|＋|x －b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a ，b]，(b ，＋∞)(此处设a<b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x －a|＋|x －b|>c(c>0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a|＋|x －b|≥|x－a －(x －b)|＝|a －b|.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a|＋|x －b|和y 2＝c 的图象，结合图象求解． 【变式探究】1.（2017天津，文2）设x ∈R ，则“20x -≥”是“|1|1x -≤”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】20x -≥，则2x ≤，11x -≤，则111,02x x -≤-≤≤≤，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤ ，据此可知：“20x -≥”是“11x -≤”的的必要的必要不充分条件，本题选择B 选项. 2.（2014·广东高考真题（理））不等式的解集为 .【答案】(][),32,-∞-⋃+∞. 【解析】令()12f x x x =-++，则()21,2{3,2121,1x x f x x x x --<-=-≤≤+>，（1）当2x <-时，由()5f x ≥得215x --≥，解得3x ≤-，此时有3x ≤-； （2）当21x -≤≤时，()3f x =，此时不等式无解；（3）当1x >时，由()5f x ≥得215x +≥，解得2x ≥，此时有2x ≥； 综上所述，不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.考点六：绝对值不等式的应用如果a ，b 是实数，那么|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．【典例9】（2020·陕西省西安中学高二期中（理））已知不等式53m x x ≤-+-对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．2m ≤B ．2m ≥C ．8m ≤-D ．8m ≥-【答案】A【解析】()()-+-≥---=，∴根据题意可得2x x x x53532m≤.故选：A【典例10】（2018年理新课标I卷）已知．（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围．【答案】(1).(2)．【解析】分析：(1)将代入函数解析式，求得，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式的解集为；(2)根据题中所给的，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式可以化为时，分情况讨论即可求得结果.（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．【总结提升】1.两类含绝对值不等式的证明问题一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2.含绝对值不等式的应用中的数学思想(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．3.求f(x)＝|x＋a|＋|x＋b|和f(x)＝|x＋a|－|x＋b|的最值的三种方法(1)转化法：转化为分段函数进而利用分段函数的性质求解.(2)利用绝对值三角不等式进行“求解”，但要注意两数的“差”还是“和”的绝对值为定值. (3)利用绝对值的几何意义. 【变式探究】1．（2020·宁夏回族自治区高三其他（理））已知函数()|21||2|f x x x =-+-． (1)若()4f x <，求实数x 的取值范围；(2)若对于任意实数x ，不等式()|21|f x a >-恒成立，求实数a 的值范围．【答案】(1) 17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2) 15,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】(1)由题，()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩；当12x ≤时，334x -+<，解得1132x -<≤；当122x <<时，14x +<恒成立，解得122x <<； 当2x ≥时，334x -<，解得723x ≤<.综上有3137x -<<.故实数x 的取值范围为17,33⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)因为()133,211,2233,2x x f x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，当12x ≤时，()1322f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭；当122x <<时，()332f x <<；当2x ≥时，()()23f x f ≥=. 故()f x 的最小值为32.故3212a -<，即332122a -<-<，解得1544a -<<.故实数a 的值范围为15,44⎛⎫-⎪⎝⎭2.已知函数f(x)=|x−1|．（1）解不等式f(x)+f(x+4)≥8；（2）若|a|<1，|b|<1，且a≠0，求证：f(ab)>|a|f(ba)．【答案】(1) {x|x≤−5或x≥3} (2)见解析【解析】（1）f(x)+f(x+4)=|x−1|+|x+3|={−2x−2,x<−3, 4,−3≤x≤1, 2x+2,x>1,当x<−3时，由−2x−2≥8，解得x≤−5；当−3≤x≤1时，f(x)≥8不成立；当x>1时，由2x+2≥8，解得x≥3.所以不等式f(x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤−5或x≥3}.（2）f(ab)>|a|f(ba)，即|ab−1|>|a−b|．因为|a|<1，|b|<1，所以|ab−1|2−|a−b|2=(a2b2−2ab+1)−(a2−2ab+b2)=(a2−1)(b2−1)>0，所以|ab−1|>|a−b|，故所证不等式成立．。
高一数学不等式知识点
不 等 式1、 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。
不等式的基本性质有： （1） 对称性：a>b ⇔b<a ；（2） 传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ； （3） 可加性：a>b ⇒a+c>b+c ；（4） 可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。
不等式运算性质：（1） 同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ； （2） 异向相减：b a >，d c <d b c a ->-⇒. （3） 正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。
（4） 乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （5） 开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； （6） 倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。
2、基本不等式定理：假如R b a ∈,，则ab b a222≥+（当且仅当a=b 时取“=”号）推论：假如0,>b a ，则ab ba ≥+2（当且仅当a=b 时取“=”号） 算术平均数2ba +；几何平均数ab ；推广：若0,>ba ，则ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+当且仅当a=b 时取“=”号； 3、肯定值不等式（1）｜x ｜＜a （a ＞0）的解集为：{x ｜－a ＜x ＜a}；｜x ｜＞a （a ＞0）的解集为：{x ｜x ＞a 或x ＜－a}。
（2）|b ||a ||b a |||b ||a ||+≤±≤- 4、不等式的证明：(1) 常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法； (2) 在不等式证明过程中，应注意与不等式的运算性质联合运用； (3) 证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。
高一基本不等式知识点大全
高一基本不等式知识点大全不等式在数学中起着重要的作用，它是数学分析和数学推理的基础。
在高一学年，学生需要掌握并理解基本不等式的概念、性质和解法。
下面将详细介绍高一基本不等式的知识点。
一、不等式的基本概念不等式是数学中比大小关系的一种表示方式，用符号“<”（小于）、“>”（大于）、“≤”（小于等于）、“≥”（大于等于）等表示。
二、不等式的性质1. 加减性质：对于不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等号方向不变。
例如：若 a < b，则 a + c < b + c（其中 c 为常数）。
2. 乘除性质：对于两个不等式，若乘（除）以同一个正数，则不等号方向不变；若乘（除）以同一个负数，则不等号方向相反。
例如：若 a < b 且 c > 0，则 ac < bc；若 a < b 且 c < 0，则 ac > bc。
3. 倒置性质：若不等号两边同时倒置，则不等号方向改变。
例如：若 a < b，则 -a > -b。
三、不等式的解法1. 一元一次不等式的解法：(1) 将不等式看作等式，求解得到解集；(2) 在数轴上用表示不等式的符号表示解集。
2. 一元二次不等式的解法：(1) 将不等式化为一元二次函数的解析式；(2) 求解得到关于未知数的区间。
3. 绝对值不等式的解法：(1) 分情况讨论绝对值的取正负；(2) 求解得到关于未知数的区间。
4. 一元分式不等式的解法：(1) 得到分子和分母的符号条件；(2) 求解不等式。
5. 二元一次不等式的解法：(1) 将不等式化为方程组的解析式；(2) 求解得到关于两个未知数的区域。
四、不等式的应用不等式在各个学科中都有广泛应用，下面列举几个常见领域的应用：1. 几何应用：用不等式表示线段长度、角度大小等几何关系。
2. 经济学应用：用不等式表示供需关系、利润大小等经济问题。
3. 物理学应用：用不等式表示速度、加速度等物理量之间的关系。
高一数学函数和不等式中恒成立问题的教案
函数和不等式结的恒成立问题的解法“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。
另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用恒成立问题的基本类型：一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。
一般地，对于二次函数,有),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=1）对恒成立; 0)(>x f R x ∈⎩⎨⎧<∆>⇔00a 2）对恒成立 0)(<x f R x ∈.00⎩⎨⎧<∆<⇔a 例1：若不等式的解集是R ，求m 的范围。
02)1()1(2>+-+-x m x m 例2 设函数f(x)＝ mx 2-mx-1．(1)若对于一切实数x ，f(x)＜0恒成立，求m 的取值范围；(2)对于x∈[1,3]，f(x)＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围二、最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1）恒成立a x f >)(min)(x f a <⇔2）恒成立a x f <)(max)(x f a >⇔例1、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
[]2,2x ∈-23x ax a ++≥a 例2．设，当时，恒成立，求实数的取22)(2+-=mx x x f ),1[+∞-∈x m x f ≥)(m 值范围。
巩固．已知函数，若对任意，恒),1[,2)(2+∞∈++=x xa x x x f ),1[+∞∈x 0)(>x f 成立，求实数的取值范围。
a 练习2 已知，若恒成立，求a 的取值范围.a ax x x f -++=3)(22)(],2,2[≥-∈x f x 22210[0,1]x mx m x x m -++>∈练习1：若不等式对满足的所有实数都成立，求的取值范围。
2.1-2.2高一上不等式的性质与解法
数学学科辅导讲义教学目标：知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式；会解一元二次不等式、高次不等式和分式不等式；过程与方法：通过对不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并由运用基本性质的意识。
能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。
利用分类讨论的思想解含参不等式情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来练习不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。
教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。
会解基本的一元二次不等式；教学难点：通过运用基本性质来解不等式。
知识点一：不等式的基本性质比较两个实数a与b之间的大小关系，可以通过它们的差与零相比较来确定：a＞b的充要条件是a - b ＞0；a = b的充要条件是a -b = 0；a＜b的充要条件是a - b ＜0；知识点二：一元二次不等式的解法1、概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式称为一元二次不等式。
它的一般形式是ax²+bx+c＞0,或ax²+bx+c＜0（a≠0）2、解法（总结）判别式△=b²-4ac △＞0 △=0 △＜0二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图像一元二次方程ax²+bx+c=0（a＞0）的根有两相异实根x1，x2（x1＜x2）有两相等实根x1=x2=-a2b没有实数根ax²+bx+c＞0（a＞0）的解集｛x | x＜x1或x＞x2｝｛a | x≠-a2b｝Rax²+bx+c＜0（a＞0）的解集｛x | x1＜x＜x2｝∅∅注：不等式的解集经常用区间来表示：设a、b都为实数，并且a＜b，（1）集合｛x|a≤x≤b｝叫做闭区间，表示[a，b]；（2）集合｛x|a＜x＜b｝叫做开区间，表示（a，b）；（3）集合｛x|a≤x＜b｝或｛x|a＜x≤b｝叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)或(a，b]在上述所有的区间中，a、b叫做区间的端点，以后我们可以用区间表示不等式的解集。
高一数学两种不等式的解法知识精讲
高一数学两种不等式的解法【本讲主要内容】两种不等式的解法绝对值不等式、一元二次不等式的解法【知识掌握】 【知识点精析】1.的解集是；2.的解集是{}x x a x a＞，或＜-解绝对值不等式时要注意不要丢掉这部分解集。
或型的绝对值不等式，若把看成一个整体一个字母，就可以归结为或型绝对值不等式的解法。
3. 一元二次不等式的解法：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a>0),△＝b 2－4ac,（1）△>0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1,x 2，设x 1<x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x<x 1或x>x 2}一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：{x ∣x 1<x<x 2}（2）△＝0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)的两个根为：x 1＝x 2一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：{x ∣x ≠x 1} 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：。
（3）△<0时，方程ax 2+bx+c ＝0(a>0)无实根，一元二次不等式ax 2+bx+c>0的解集是：实数集R 一元二次不等式ax 2+bx+c<0的解集是：【解题方法指导】例1. 解不等式（）分析：此题关键在于绝对值符号里有字母系数，解题过程中要注意分类讨论． 解：原不等式可化为即当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭51＜＜ 当时，解集为x a x a --⎧⎨⎩⎫⎬⎭15＜＜ 评析：1. 遇到字母系数要合理进行讨论，尤其是字母系数为负时，利用不等式性质化简不等式时一定要改变不等号的方向。
2. 若遇的系数为负的含绝对值不等式，如，等，可利用绝对值的性质将其转化为系数为正的情况去解，如将上述两不等式变为，后再解，以减小错误的发生率。
例2. 解不等式x x ++-214＜点拨一 这是一个含有两个绝对值的符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论。
高一数学不等式解法举例1
【例5】（备用）解关于x的不等式
a(x ab) b(x ab)
练习：
1.解不等式 ax b 3 2x
2．解不等式 2x2 ax 2 0
3．解不等式 x2 (aa2)xa3 0
4.解关于x的不等式
a(x ab) b(x ab)
作业：
1．解关于 x的不等式：
a(x a) b(x b)
2．解关于 x的不等式：
ax2 ax 1 0
不等式解法举例（第一课时）Βιβλιοθήκη １．一元一次不等式的解法：
ax b
(a
0)
a a
0 0
时 时
，x ，x
b a b a
; .
【例１】解关于的不等式：
2x 3 bx a
２．一元二次不等式的解法：
【例2】解关于 x的不等式：
56x2 x ax a2
说明：当不等式的解区间含有参数时， 要比较区间端点值的大小． 即根据根的大小进行讨论。
【例3】解关于 x的不等式：
x2 k 3 x k 2 0
x
x 【例4】解关于 的不等式：
ax2 (a 1)x 1 0
颈椎病是指因颈椎病变引起颈椎管或椎间孔变形、狭窄，刺激、压迫颈部脊髓、神经根，并引起相应临床症状的疾病，此病多见于40岁以上患者。颈椎病对患者的生活带来各种不便的影响，所以 发现和及时的对于颈椎病患者尤为重要。 那么如何尽早发现颈椎病的症状呢？颈椎病的症状有： 头颈活动受限，闭眼时左右旋转头颈，引起偏头痛或眩晕。 ②活动时有疼痛，颈部有僵直。 ③伴有手肩臂感觉异常疼痛（皮肤过敏、蚁走感、手指发热、发冷等），手指无力等。 如果发现自己有颈椎病的症状，读者朋友就应当尽早到正规进行诊断。另外，颈椎病的自我也是一种很好的辅佐方法。 掐捏踝筋：两手变替掐捏足踝后大筋。 摇动上肢：左臂摇动二十次，再右臂摇动二十次。 颈椎病的自我方法，抓空练指;两臂平伸，双手五指作屈伸运动，可作五十次。 颈部运动：头向前倾十次，向后仰十次，向左倾十次，向右倾十次。然后缓慢摇头，左转十次，右转十次。 用拇、食指掐揉人中穴。 擦掌摩腰：将两手掌合并擦热，随即双手磨擦腰部，可上下方向擦动，作五十次。注意事项 上面提到的颈椎病的自我方法乃是辅佐的一种，更多的方法请参考下面的地址。还有一种方法就是用颈椎枕辅佐，效果也是蛮不错的！下面的地址也有说明。 另外，如果患者朋友是重度颈椎疼痛，还是需要到正规的接受，以助早日康复。 网站优化
高一数学不等式题型及解题技巧
高一数学不等式题型及解题技巧1. 不等式的基本概念不等式是一种数学表达式，用来描述两个数之间的关系，如大于、小于、小于等于、大于等于等。
它们可以用来表达不同的数学问题，并且可以用来求解这些问题。
不等式的解可以是一个数，也可以是一个集合。
2. 不等式的分类一元不等式：一元不等式是指只有一个未知数的不等式，如：x+3>2。
二元不等式：二元不等式是指含有两个未知数的不等式，如：x+y>2。
不等式的分类：不等式可以根据其符号分为大于、小于、大于等于、小于等于四类。
3. 不等式的解法：1）将不等式中的变量移到一边，另一边变成常数；2）将不等式中的常数项和系数项分别进行同符号的相加或相减；3）解出变量的取值范围；4）根据变量取值范围，分别绘制大于等于、小于等于的不等式图象；5）根据不等式图象，求出解集；6）将解集写出来，并且检查结果的正确性。
4. 不等式的解题技巧1、要把不等式中的变量抽象出来，把不等式看作一个整体；2、把不等式化为一元一次不等式，将非线性的不等式化为线性的不等式；3、把不等式中的系数和常数分别放在不等号的两边，并且把不等号变为等号；4、根据给定的数值，画出不等式的解集图象；5、根据不等式的解集图象，求出不等式的解集；6、根据解集的范围，把解集的范围用正确的方式表示出来。
5. 不等式的应用不等式可以用来解决实际问题，常见的应用有：1. 用不等式表达物理量的取值范围，如温度的取值范围；2. 用不等式表达经济问题的最优解，如最小成本、最大利润等；3. 用不等式表达几何问题的解，如求三角形的最大面积等；4. 用不等式表达统计问题的解，如求概率的上下界等。
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