矢量函数的导数

（1-18）
❖ (2) 矢量的标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义，标量积（点乘）和矢量积 （叉乘）。
❖ ◆ 标量积: AB 是一标量，其大小等于两个矢量模值 相乘，再乘以它们夹角（取小角，即）的余弦：
A B AB cosAB
（1-19）
是一个矢量的模与另一矢量再该矢量上的投影的乘 积。符合交换律：
电磁场与电磁波
参考教材:《电磁场与电磁波》 孙玉发 郭业才等 编 合肥工业大学出版社
第一章 矢量分析
1.1基本概念
一、标量场与矢量场
如果在空间中一个区域内的每一点都有一物理量的 确定值与之对应，在这个区域中就构成该物理量的 场。
❖ 标量场：如果物理量是一个确定的数值的标量，这 种场就叫标量场（scalar field），如温度场、密度 场、电位场等。
A(BC) B(AC) C(A B)
（1-28）
❖ 上式右边为“BAC－CAB”，称为“Back－Cab”法
4 矢量函数的微积分 （一）矢量函数的概念
❖ 常矢：模和方向都保持不变的矢量称为常矢。
❖ 变矢：模和方向或其中之一会改变的矢量称为变矢。
❖ 矢量函数：表示物理量的矢量一般都是一个或几个 （标量）变量的函数，叫矢量函数。例如，静电场 中的电场强度矢量，它的三个坐标分量一般也是 x, y, z 的函数，即
u12 u1u2
一些矢量函数。若至少有连续的二阶偏导数，则有
2F 2F u1u2 u2u1
❖ 在直角坐标系中，坐标单位矢量和都是常矢量，其 导数为零。
❖ 利用式（1-50）有
E
x x
Exex Exey Ezez

Ex
ex x

Ex x
ex

（1-22）
它不符合交换律。由定义知
并有
A B B A
e来自百度文库 ex ey ey ez ez 0 ex ey ez, ey ez ex, ez ex ey
（1-23） （1-24）
A B (Axex Ayey Azez )(Bxex Byey Bzez ) (AyBz AzBy )ex (AzBx AxBz )ey (AxBy AyBx )ez
r r x2 y2 z
（1-7）
er

r r

ex
cos
ey
cos
ez
cos
（1-8）
空间点的矢径在三个坐标轴上的投影数值分别等于
点 M 的坐标值。
空间一点对应着一个矢径；反之，与每一矢径对应
着空间确定的一个点，即矢径的终点。所以又叫做 位置矢量。
如果空间任一矢量的起点是 Px, y, z，终点是 ， Qx, y, z
du u0
u
u0 u
u0 u u0 u
当u 0 时，上式右端第三项趋向于零。因此
d fF f dF F df
du
du du
（1-31）
❖ f 和F 之积的导数在形式上与两个标量函数之积的导 数运算法则相同。
❖ 如果 F 是多变量(如)的函数，则对一个变量的偏导数 的定义是
F u1,u2,u3 lim F u1 u1,u2,u3 F u1,u2,u3
u1
u1 0
u1
（1-32）
由式（1-32）可以证明
fF f F F f
（1-33） F
u1
u1 u1
2F 2F
对 再次取偏微分又可以得到象 ， 等等这样 u1
Ex,y,z Ex x, y,zex + Ey x, y,zey + Ez x, y,zez
（1-29）
❖ 如果给定矢量场中任一点的坐标，式（1-29）就给 出该点的一个确定的矢量（电场强度）。
（二）矢量函数的导数 ◆ 矢量对空间坐标的导数 ❖ 设是单变量的矢量函数，它
对u 的导数定义是
（1-25）
各分量的下标次序具有规律性。（1-25）式可以写 成行列式
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
（1-26）
◆ 矢量的三重积：矢量的三连乘也有两种。
❖ 标量三重积为
A (B C) B (C A) C (A B)
（1-27）
因为，的模值就是 A与 B 所形成的平行四边行面积， 因此，C (AB)就是该平行四边行与C所构成的平行六 面体的体积。矢量三重积为
❖ 按矢量与数量乘积的定义，有
A = A eA AeA
由式（1-4），在直角坐标系中，有
eA

A A

ex
cos
ey
cos
ez
cos
（1-5）
❖ ❖ 直角坐标系中以坐标原点为起点，引向空间任一 点的矢量，称为点的矢径，如图1-2。有
r xex yey + zez
（1-6）
在直角坐标系中，某一矢量物理函数可表示为
F Fx, y, z
（1-14）
用分量表示为
F F x, y, z Fx x, y, zex Fy x, y, zey Fz x, y, zez （1-15）
上式中 Fx x, y, z 、Fx x, y, z 、Fx x, y, z 分别是矢量 Fx, y, z在三个 坐标轴上的投影。
为描绘矢量场在空间的分布状况，引入矢量线的概 念。矢量线上每一点的切线方向都代表该点的矢量 场的方向。
❖ 一般说来，矢量场的每一点均有唯一的一条矢量线 通过，所以矢量线充满了整个矢量场所在的空间。 电场中的电力线和磁场中的磁力线等，都是矢量线 的例子。
❖ 为绘出矢量线，求出矢量线方程。在矢量线上任一 点的切向长度元与该点的矢量场的方向平行，即
由式（1-12），
F dl 0
dl dx ex dy ey dz ez
式（1-15）简写为
F Fx ex Fy ey Fz ez
（1-16）
❖ 式（1-16）可写为
ex ey ez F dl Fx Fy Fz 0
dx dy dz
展开上式，并根据零矢量的三个分量均为零的性质， 或两矢量平行的基本条件，可得
❖ 在直角坐标系内的任一矢量(图1-2)可表示
A Axex Ayey Azez
（1-1）
❖ Ax, Ay, Az分别是矢量 A 在方向 ex ,ey ,ez 上的投影。
❖ 矢量的长度或模值 A（记为 A）可从图1-2中写出
A Ax2 Ay2 Az2
（1-2）
❖
分量是矢量 Ax, Ay, Az
（1-11）
式中三个分量的系数也就是矢量R 的方位余弦。
❖ 如果空间有一长度元矢量，它在直角坐标单位矢 量上的投影值分别是 dx,dy,dz ，则
dl = dxex + dyey + dzez
（1-12）
dl dx2 dy2 dz2
（1-13）
2 矢量场的矢量线
❖ 一个矢量场，可以用一个矢量函数来表示。
象地描绘出点电荷电场的分布状况。
3 矢量代数运算
❖ 假设两个矢量，
A Axex Ayey Azez B Bxex Byey Bzez
❖ (1) 矢量的和差
把两个矢量的对应分量相加或相减，就得到它们的 和或差，即
A B ( Ax Bx )ex ( Ay By )ey ( Az Bz )ez
e
e
（1-34b）
e
e
（1-34c）
❖ 结论：在柱坐标系下，ez 是常矢，它对任何一个坐标
变量求导都为零，e , e , ez 都不随 , z 变化而变化，也
就是它们对 , z 求导也为零。从单位矢量在空间坐
标系中随位置的变化情况能够体会到这一点。
❖ 在球坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地 偏导数是
（1-9）得
R x x2 y y2 z z2
（1-10）
❖ 矢量的单位矢量
eR

R R

x x x x2 y y2 z z2 ex
y y
z z
x x2 y y2 z z2 ey x x2 y y2 z z2 ez
◆ 在柱坐标和球坐标系中，由于一些坐标单位矢量不
是常矢量，在求导数时，不能把坐标单位矢量提到 微分符号之外。
❖ 在柱坐标系中，各坐标单位矢量对空间坐标变量地
偏导数是
e e e e ez ez ez 0 z z z
（1-34a）
Ey
e y x

Ey x
ey

Ez
ez x

Ez x
ez

Ex x
ex

Ey x
ey

Ez x
ez
❖ 结论：在直角坐标系中，矢量函数对某一坐标变量 的偏导数（或导数）仍然是个矢量，它的各个分量 等于原矢量函数各分量对该坐标变量的偏导数（或 导数）的矢量和。简单地说，只要把坐标单位矢量 提到微分号外就可以了。
A
分别在坐标单位矢量方向上的投
影，即

Ax Ay

A ex Aey

A cos Acos
Az A ez Acos
（1-3）
式（1-1）可写为
A Acos ex Acos ey Acos ez
（1-4）
❖ 模等于1的矢量叫做单位矢量。
由式（1-17）化简后得矢量线微分方程
dx x

dy y

dy

dz
y z
此方程的通解是

y z

C1x C2 y
（C1,C2 为任意常数）
❖ 将此解综合，可以写为 z D1x D2 y ：（ D1, D2为任意常
数）可以看出，电力线是一簇从点电荷所在点（原
点）向空间发散的径向辐射线。这样一簇矢量线形
F F (u)
F (u u)
图 1-12 矢量微分示意图
dF lim F lim F u +Δu F u
du u0 u u0
u
（1-30）
❖ 这里假定此极限存在（即极限是单值的和有限的）。
如图1-4所示，在一般情况下，矢量的增量不一定与
矢量的方向相同。如果
dx dy dz Fx Fy Fz
（1-17）
这就是矢量线的微分方程。
❖ 【例1-1】设点电荷位于坐标原点，它在周围空间的 任一点所产生的电场强度矢量
E q r 4 0r 3
求E 的矢量方程的通解。
【解】
q E 40r3 (xex yey zez ) Exex Eyey Ezez
F 是一个常矢量；则
dF du
必等
于零。一阶导数仍然是一个矢量函数。逐次求导，
就可得到 F 的二阶导数以及更高阶导数。
❖ 如果 f 和F 分别是变量的标量函数和矢量函数，则它 们之积的导数由式（1-30）可得
d fF f f F + F fF
F
f
F
lim
f lim F lim lim f
根据式（1-6）及矢量的加法规 则，矢量 R表示为
R= r r x xex y yey z zez （1-7）
z P(x, y, z)
x1 O
y
❖ 矢量的模值记为R ，是点 Px, y,z 与点Qx, y,z 之间的距离，由式
x 图1-3 空间矢量表示方法
AB B A
（1-20）
A B Ax Bx Ay By Az Bz
（1-21）
◆ 矢量积: AB是一个矢量，其大小等于两个矢量的模
值相乘，再乘以它们夹角的正弦，实际就是与所形
成的平行四边行面积，其方向与 A 、 乘B 右手螺旋 关系，为 A 、 所B 在平面的右手法向：
A B n AB sin AB
❖ 矢量场：如果物理量是一个既有确定数值又有确定 方向的矢量，这种场就叫矢量场（vector field）。 如水流中的速度场、地球表面的重力场、 带电体周 围的电场等。
z
x1
x1
x1
o y
图1-1 直角坐标系的单位矢量
x
z
o y
x
图1-2 直角坐标系矢量的分解
1.直角坐标系中矢量表示法 过空间任意点的坐标矢量记为 。 ex,ey,ez ex,ey,ez 的方向不随点位置的变化而变化。