作图、读图、用图、造图

作图、读图、用图、造图――关于初中几何学习的一点思考徐汇区田林三中刘雪龙几何的学习离不开图形，图形是一种语言，图形能帮我们直观地感受线与线的位置关系，培养空间想象能力。

所以在几何的学习中，我们要树立正确的图形观，通过作图、读图、用图、造图等来培养我们的逻辑思维能力，提高几何解题能力。

一、作图是几何学习中的基本功，对培养图形概念也有积极的意义，而且在作图时还要用到许多线与线、线与基本图形、基本图形与基本图形的关系，所以作图是解决几何问题的第一步，作好图有利于问题的解决。

问题一、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE = 2，EC = 1（如图1所示）把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为___________。

（2010年上海市中考18题）分析：图形是我们解决几何问题的先行条件。

这个问题虽然提供了图形，但是个残缺图形，F 点的位置没有给出，很多人因为图上没有标注F 点，所以在解题时比较随意和放松，没有深刻领会把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处中“直线BC ”的变化，只是在线段BC 上的找到点F （如图2），求出CF=1，从而造成漏解。

正确的方法是，先把线段BC 所在的直线l 在图中画出（如图3），再将线段AE 绕点A 旋转，实际上就是以A 为圆心，AE 为半径作圆，发现这样的F 点有两个（如图4），从而求得CF=1或5。

问题二、如果直角梯形的一条底边长为7厘米，两腰长分别为8厘米和10厘米，那么这个梯形的面积是 平方厘米．（2009年浦东新区初三二模考18题）分析：这题没有直接提供图形，所以要我们先依据题意，画出符合题意的图形。

这类题包含对我们作图能力的一种考查。

很多人画出了如图5这样的图，将直角梯形的7厘米长的底边BC 作为梯形中较短的底，殊不知，底边BC 也可作为梯形中较长的底（如图6），这样又造成漏解。

那么，究竟怎样才能画出准确的图形呢？我们首先看看哪些点可以确定：两底中一底BC 可以确定，这样点B 、C 点可以确定了，另外两腰长分别为8厘米和10厘米可知，8厘米的一定是直角的那条腰，这样点A 也确定了，剩下的D 点一定在过点A 与BC 平行的直线AM 上，且CD=10厘米，无非又是以C 为圆心，10厘米为半径作圆，交直线AM 于D 点，这样的D 点也有两个，至此，不难得出正确的结果了。

图1E D ADA 图3图4D AD A 图2问题一和问题二中一个显著的特征是图形为我们解决几何计算题提供了一种化无形为有形，化抽象为直观，化局部为全面的思路与方法，由此作图的重要性可见一斑。

二、图形中往往包含着深刻的意义，对图形理解的程度影响着我们的正确解题，所以读懂图形是解决问题的重要一环。

问题三、如图8，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =900，点D 为腰BC 中点，点E 在底边AB 上，且DE ⊥AD ,则BE 的长为 。

（2011年徐汇区初三一模考18题）从2011年徐汇区初三一模考的反馈看，这题的得分率较低，那么问题出在哪里呢？是对图形的基本认识上，或者说是读图出了问题。

那么怎样才算会读图了呢？那我们还得从图9开始，在△ABC 中，AC =BC =2，∠C =900，还可以知道什么呢？很容易得到∠A=∠B=45 0，AB=22 ；然后到图10，点D 为腰BC 中点，我们又可以得到什么呢？CD=BD=1，AD=5，更深一层次得到tan ∠CAD=21，那么在△ABD 中又有什么发现呢？△ABD 的形状的大小完全确定，所以我们一定可以求出∠BAD 的三角比。

再回到题目中，要求BE 的长我们可以这样构造图形：DADA图7B AC 图8 图9B A CB A C图10图a ，过点E 作EM ⊥BC ，垂足为M 点，利用tan ∠EDB=tan ∠CAD=21，∠B=450，较为简便得到BE 的长为32. 图b ，过点D 作DF ⊥A B ，垂足为F 点，利用tan ∠EAD=tan ∠EDF=31，也可以得到BE 的长为32. 图c ，过点B 作BH ⊥BC ，交直线DE 于H 点，延长AC 交直线DE 于G 点.利用比例得到51==AG BH AE BE ，从而得到BE 的长为32. 当然，此题还可以用许多其他方法解决，但万变不离其宗的是对图形的有序有层次的解读。

如何读图的问题，一般从简单到复杂，从独立到联系，层层推进，一步一步，看清图形中不变和变的元素，理清可求与不能求，找出解题头绪。

所以，除了作图外，还需注意读图，读图同等重要。

三、在几何的学习中，我们会遇到许多似是而非的结论．要证明它我们一时无法完成，这时我们可考虑通过构造一个特殊的图形来推翻结论，这样的图形就是反例图形．若我们的心中有这样的反例图形，那就可以帮助我们迅速作出判断.问题四、判断下列命题真假：①有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形；②在圆中，平分弦的直径垂直于弦；③有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；④如果两条直线被三条直线所截，所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行（平行线分线段成比例定理逆命题）。

BAC图aBAC图bGBA①“有一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形”是一个假命题。

当然很多人自然而然地以为一定是图11所示，做出错误判断。

其实这命题还有可能是图12的样子，那么这个图12又是如何画出的呢?第一步，画出等腰⊿ABC （图13），其中AB=AC ，势必∠B=∠C ；第二步，在BC 边上取点D （不是中点），有BD ≠CD ，联结AD ，得到⊿ACD（图14）；第三步，将⊿ACD 以线段AD 的垂直平分线为对称轴进行翻折，就可以得到图12了，显然此时AB=C ’D ，∠B=∠C ’，也就是四边形ABDC ’是有一组对边和一组对角分别相等的四边形，但因为BD ≠AC ’，所以四边形ABDC ’一定不是平行四边形。

②“在圆中，平分弦的直径垂直于弦” 也是一个假命题。

又有很多人认为是图15所示，其实也有图16所示情形。

一个真命题要使符合它的条件的情况下都能成立，但在图16中直径BC 肯定将任何一条直径平分，但它们不一定互相垂直。

所以这是一个假命题，要使此命题成立，还需加注：被平分的弦不是直径，这时候该命题才是真命题。

D A B 图11A 图12 AC 图13 A B C 图14 B 图15 B 图16③“有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等”又是一个假命题。

有人自然会画出图17和图18去理解这个命题，因此深信这是一个真命题，不过一个三角形高有形内高和形外高之分，当然还有图19这种情况，所以它是假命题。

④“如果两条直线被三条直线所截，所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行”（平行线分线段成比例定理逆命题），可能大家都知道平行线分线段成比例定理逆命题是假命题，但为什么是假命题还得要作图举反例说明更清楚明了。

如图20，在直线AB 上取线段AE=BE ，在直线DC 上取线段DF=CF ，所以有1==CFDFBE AE ,但AD 、EF 、BC 之间显然是不平行的。

通过以上问题的作图操作，体会作图对于我们几何学习可以加深对命题的理解，甚至准确把握有相当大的帮助。

它使我们清晰一个命题在什么情况下真，什么情况下假，分辨是非要靠它。

四、在几何的学习中，我们可以根据题目的特征，精心构造一个相应的特殊几何模型，将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题．图17B A CC 'A 'B 图18l 图19 E B A 图20问题五、如图21，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、D C 上的点，且52==CF DF BE AE ，求证：EF ∥BC 。

有人这样证明：∵AD ∥BC ，52==CF DF BE AE ∴EF ∥BC.这显然没有搞清在现行教材中也没有这样的判定方法的，那么怎么办？只能用三角形一边的平行线的判定方法，从图中构造出能用三角形一边的平行线的判定定理的图形（如图22）。

可以这样证明：联结AF 并延长，交BC 的延长线于G 点.∵AD ∥BC ，52==CF DF BE AE ∴52==CF DFFG AF ∴52==BEAEFG AF ∴EF ∥BC.AD=3ME 图21B B图23C（1）求证：△MEF ∽△BEM ；（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； （3）若EF ⊥CD ,求BE 的长．（2011年徐汇区初三一模考25题） 我们看（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长； 这只要规规矩矩画出标准图形，EF 的长是显然的，图形已经告诉你了。

如图24、图25图形加猜测出EF=6或29，再去加以验证和说明，有图有真相。

我们再看（3）若EF ⊥CD ,求BE 的长（如图26）．我们可以分析得到 ∠EFM=∠MFC=∠EMB=45 0，这样，在△BEM 中（如图28），∠EMB=45 0，BM=3，通过对“梯形ABCD ，AD//BC ，AB=CD=BC=6，AD=3．”（如图27）的探索，可知cos ∠B=41，这就是在一个三角形中已知两个角及他们的夹边，这三角形其它元素都是可以求出的，只要过点E 构造EP ⊥BM ，垂足为P ，就可以求得BE 的长为7)115(6 .把复杂问题变为基本问题。

MB C 图24MBC图25总之，在几何学习的过程中，如何去作图、读图、用图、造图，是非常重要的一件事情，也是良好的图形观形成的必要途径，又是几何问题解决的常用方法，我们要用好它，可以积累和丰富图形经验，开阔和拓展图形思维，对几何题能做到做好题、做对题、做快题。

B C 图26 B C 图27 B图28。