解直角三角形中考题型

《解直角三角形》复习及中考题型练习

一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余

几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°

2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2

1

AB

3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2

1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+

5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD •=2

AB AD AC •=2

AB BD BC •=2

6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h •=•） 由上图可得：AB •CD=AC •BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90°

c a

sin =∠=

斜边的对边A A

c b

cos =∠=

斜边的邻边A A

b

a

tan =∠∠=

的邻边的对边A A A

锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0，

三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形

在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

三种基本关系：1:、边边关系：2

2

2

a b c +=

2、角角关系：∠A+∠B=90°

3、边角关系：即四种锐角三角函数

类型

已知条件 解法

两边

两直角边a 、b

2

2

c a b =+，tan a

A b

=

，90B A ∠=︒-∠ 直角边a ，斜边c 22b c a =-，sin a

A c

=，90B A ∠=︒-∠

一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin a

c A

=

斜边c ，锐角A 90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =

五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角.

（3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）.

仰角

俯角

北

东

南

α h

L

i

i=h/L=tg α A

C B

D

《解直角三角形》经典练习题

1、某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30o,又航行了半小时到D

处，望灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）

2、某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅．如图所示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定．小明为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E 处，测得点A的仰角为45°．已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°．请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数．参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，

cos31°≈0.86）．

3、如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65°方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45°方向（点A、B、C在同一平面上），请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据sin25°≈0.4226，cos25°≈0.9063，tan25°≈0.4663，sin65°≈0.5563，cos65°≈0.4226，tan65°≈2.1445）

4、（2009 湛江第24题）（10分）如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距182

海里．求：

（1）军舰N在雷达站P的什么方向？

（2）两军舰M N

、的距离．（结果保留根号）

5、中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/

时”．•一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示），在距离路边25米处有“车速检测仪O”，•测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1．5秒．（1）试求该车从A点到B的平均速度；

（2）试说明该车是否超过限速．

P

北

6、（2011 南京第25题）（7分）如图，某数学课外小组测量电视塔AB的高度，他们借助一个高度为30 m 的建筑物CD进行测量，在点C测得塔顶B的仰角为45º,在E处测得B的仰角为37º（B、D、E三点在同一直线上），求电视塔的高度h．（参考数据：sin37º≈0.60，cos37º≈0.80，tan37º≈0.75）

C

（第25题）