集合间的基本关系习题
集合的包含关系练习题
集合的包含关系练习题集合的包含关系练习题在数学中，集合是一种基本的概念，它用来描述一组具有共同特征的对象。
而集合的包含关系则是研究集合之间的相互关系的重要内容之一。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对集合包含关系的理解。
1. 练习题一：集合的相等给定两个集合A和B，如果A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则称A和B相等。
现在考虑以下情况，请判断集合A和集合B是否相等：- A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}- A = {a, b, c}，B = {c, b, a}- A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}解答：- A和B不相等，因为B中有一个元素4不属于A。
- A和B相等，因为它们的元素相同，只是顺序不同。
- A和B相等，因为它们的元素相同，只是顺序不同。
2. 练习题二：真子集和超集给定两个集合A和B，如果A中的每个元素都属于B，但B中存在一个元素不属于A，则称A是B的真子集，B是A的超集。
现在考虑以下情况，请判断集合A和集合B的关系：- A = {1, 2, 3}，B = {1, 2, 3, 4}- A = {a, b, c}，B = {c, b, a}- A = {1, 2, 3}，B = {3, 2, 1}解答：- A是B的真子集，B是A的超集，因为A中的每个元素都属于B，但B中有一个元素4不属于A。
- A是B的真子集，B是A的超集，因为A和B的元素相同，只是顺序不同。
- A是B的真子集，B是A的超集，因为A和B的元素相同，只是顺序不同。
3. 练习题三：交集和并集给定两个集合A和B，A与B的交集是由同时属于A和B的元素组成，A与B 的并集是由属于A或B的元素组成。
现在考虑以下情况，请计算集合A和集合B的交集和并集：- A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}- A = {a, b, c}，B = {c, d, e}- A = {1, 2, 3}，B = {4, 5, 6}解答：- A与B的交集为{2, 3}，并集为{1, 2, 3, 4}。
(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)
（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。
集合训练题
第一节集合知识回顾1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法A B或B A集合的并集集合的交集集合的补集A∪B＝A∩B＝∁A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课前检测1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )A ．{x |x ≠－2}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}D ．x ∈R2.下列判断正确的命题个数为( )①a ∈{a };②{a }∈{a ,b }；③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( )A ．3个B ．6个C ．7个D ．8个4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ .5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b .例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)考点二. 集合间的关系例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________．变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.考点三 集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2D ．4变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．6变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( ) A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是( ) A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝R C ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2} D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2} 变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3}课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381xB x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,42．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则AB =（ ）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2-4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N =--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ）A ．1B ．[)1,2C ．{}1D ．{}1x x ≥5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则P ∩Q =A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x <<7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( ) A ．15 B ．16 C ．20 D ．218．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅ B ．{(4,0)，(3,0)} C ．[－3,3]D ．[－4,4]10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C ．[0,1)∪(1,2]D ．[－2,0]11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}； ②{x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln xx ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．1二．多选12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，ab ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数 B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集 三．填空14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________.四．解答题16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．参考答案1.已知数集A ＝{0,1,x ＋2},那么x 的取值集合为 ( )A ．{x |x ≠－2}B ．{x |x ≠－1}C ．{x |x ≠－2且x ≠－1}D ．x ∈R答案：C解析：因为集合的元素满足互异性,所以x ＋2≠0且x ＋2≠1,得x ≠－2且x ≠－1,故选C ． 2.下列判断正确的命题个数为( ) ①a ∈{a };②{a }∈{a ,b }；③{a ,b }⊆{b ,a };④∅⊆{0}． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案：C解析：①元素与集合的关系的表示方法,正确； ②两个集合之间的关系,不正确； ③正确； ④∅是任何集合的子集,正确,故选C ．3.集合A ＝{1,2,3}的非空真子集的个数为( ) A ．3个 B ．6个 C ．7个D ．8个 答案：B解析：若一个集合的元素个数为n ,则其子集个数为2n , 真子集的个数为2n －1,非空子集的个数为2n －1, 则非空真子集的个数为2n －2,故选B.4.已知{1,2}⊆A ⊆{1,2,3,4,5},则集合A 的个数为 ____________ . 答案：8解析：问题可转化为求集合{3,4,5}的子集个数,即集合A 的个数为8.5.设全集U ＝R ,A ＝{x |1≤x ≤3},B ＝{x |2＜x ＜4},则A ∩B ＝ ____________；A ∪B ＝____________；A ∪∁U B ＝____________．答案：{x |2＜x ≤3} {x |1≤x ＜4} {x |x ≤3或x ≥4}解析：在数轴上分别表示出集合A ,B ,∁U B ,即得∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}． 课中讲解考点一. 集合的基本概念例1. 若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝{0，ba，b }，求b －a 的值．解题导引 解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解，但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性．解 由{1，a ＋b ，a }＝{0，ba ，b }可知a ≠0，则只能a ＋b ＝0，则有以下对应法则：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，ba ＝a ，b ＝1① 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，b ＝a ，b a ＝1.②由①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，符合题意；②无解．∴b －a ＝2.变式1.设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，且A ＝B ，求实数a ，b . 解 由元素的互异性知，a ≠1，b ≠1，a ≠0，又由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝1，ab ＝b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b ，ab ＝1，解得a ＝－1，b ＝0. 例2．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98.变式2．已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为( ) A ．(8，＋∞) B ．[8，＋∞) C ．(16，＋∞)D ．[16，＋∞)解析：选C 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k >4，所以k >24＝16，故选C. 考点二. 集合间的关系例1.设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}，则( ) A ．P ⊆Q B ．Q ⊆P C ．∁R P ⊆QD ．Q ⊆∁R P变式1.已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________． [解析] 例1.因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R}＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R}＝{y |y >0}，所以∁R P ＝{y |y >1}，所以∁R P ⊆Q ，故选C.变式1.∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． [答案] (1)C (2)(－∞，3]例2 设集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }，N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }，则M 与N 之间有什么关系？ 解题导引 一般地，对于较为复杂的两个或两个以上的集合，要判断它们之间的关系，应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他，属性如何．然后将所给集合化简整理，弄清每个集合中的元素个数或范围，再判断它们之间的关系．解 集合M ＝{x |x ＝5－4a ＋a 2，a ∈R }＝{x |x ＝(a －2)2＋1，a ∈R }＝{x |x ≥1}， N ＝{y |y ＝4b 2＋4b ＋2，b ∈R }＝{y |y ＝(2b ＋1)2＋1，b ∈R }＝{y |y ≥1}．∴M ＝N .变式2 设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m |mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立，且m ∈R }，则集合P 与Q 之间的关系为________． 答案 P ⊆Q解析 P ＝{m |－1<m <0}，Q ：⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝16m 2＋16m <0，或m ＝0.∴－1<m ≤0.∴Q ＝{m |－1<m ≤0}．∴P ⊆Q变式3.已知集合A ={x |x 2+4x =0},B ={x |x 2+ax +a =0},是否存在这样的实数a ,使得B ⊆A ?若存在这样的实数a ,求出a 的取值范围;若不存在,说明理由.【思路点拨】判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直接观察或通过元素特征，求同存异，定性分析．解:A ={0,-4}.若B ⊆A ,则B =∅,{0},{-4},{0,-4}.当B =∅时,则x 2+ax +a =0无解,所以a 2-4a <0,解得0<a <4; 当B ={0}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根0,所以a =0;当B ={-4}时,则x 2+ax +a =0有两个相等的根-4,所以a 2-4a =0且14-4a +a =0,无解; 当B ={0.-4}时,则x 2+ax +a =0有两个根0和-4,无解.综上,存在实数 a 满足 0≤a <4,使得B ⊆A .【点评】在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对于每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤：①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．空集是任意集合的子集,解题时不能忽视! 考点三 集合的运算例1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】求解二次不等式240x -≤可得{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭. 由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故12a-=， 解得2a =-.故选B ．【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 变式1．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U2,3A B =-.故选A【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.例2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．6【答案】C 【解析】 【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，AB 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y ∈N ，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)， 故AB 中元素的个数为4.故选C ．【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题..变式2．（2020·全国新课标Ⅰ理科试卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C【详解】由题意，A B 中的元素满足8y x x y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.例3．(多选)已知集合A ＝{x |－1<x ≤3}，集合B ＝{x ||x |≤2}，则下列关系式正确的是( )A ．A ∩B ＝∅B ．A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}C ．A ∪∁R B ＝{x |x ≤－1或x >2}D ．A ∩∁R B ＝{x |2<x ≤3}答案 BD解析 ∵A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x ||x |≤2}＝{x |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |－1<x ≤2}，A 不正确；A ∪B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |－2≤x ≤2}＝{x |－2≤x ≤3}，B 正确；∵∁R B ＝{x |x <－2或x >2}，∴A ∪∁R B ＝{x |－1<x ≤3}∪{x |x <－2或x >2}＝{x |x <－2或x >－1}，C 不正确；A ∩∁RB ＝{x |－1<x ≤3}∩{x |x <－2或x >2}＝{x |2<x ≤3}，D 正确．变式3．(多选)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |2<2x ≤8}，则下列判断不正确的是() A ．A ∪B ＝B B ．(∁R B )∪A ＝RC ．A ∩B ＝{x |1<x ≤2}D ．(∁R B )∪(∁R A )＝R答案 ABD解析 因为x 2－3x ＋2≤0，所以1≤x ≤2，所以A ＝{x |1≤x ≤2}；因为2<2x ≤8，所以1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．所以A ∪B ＝{x |1≤x ≤3}，A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2或x >3}，(∁R B )∪(∁R A )＝{x |x ≤1或x >2}．考点四．集合的新定义问题例1.如图所示的Venn 图中，A ，B 是两个非空集合，定义集合A ⊗B 为阴影部分表示的集合．若x ，y ∈R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝3x ，x >0}，则A ⊗B 为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1或x >2}变式1.给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的序号是________．[解析] 例1.因为A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y >1}，A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}，所以A ⊗B ＝∁A ∪B (A ∩B )＝{x |0≤x ≤1或x >2}．(2)①中，－4＋(－2)＝－6∉A ，所以①不正确；②中，设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1－n 2∈A ，所以②正确；③中，令A 1＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z}，则A 1，A 2为闭集合，但3k ＋2k ∉(A 1∪A 2)，故A 1∪A 2不是闭集合，所以③不正确．[答案] (1)D (2)②例2．定义集合的商集运算为A B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合B A∪B 中的元素个数为( ) A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13， 则B A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2， 共有7个元素，故选B.变式2．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x ＜1}，Q ＝{x ||x －2|＜1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |2≤x ＜3} 解析：选B 由log 2x ＜1，得0＜x ＜2，所以P ＝{x |0＜x ＜2}．由|x －2|＜1，得1＜x ＜3，所以Q ＝{x |1＜x ＜3}．由题意，得P －Q ＝{x |0＜x ≤1}.课后习题一 单选1．（2020·河北衡水中学高三月考）已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}|1381x B x =<<，{}|2,C x x n n N ==∈，则()A B C ⋃⋂=（ ）A ．{}2B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,4 【答案】B【详解】∵集合{}2|20A x x x =-≤∴{}02A x x =≤≤∵集合{}|1381x B x =<<∴{}04A x x =<< ∴{}04A B x x ⋃=≤<∵集合{}|2,C x x n n N ==∈∴{}()0,2A B C ⋃⋂=故选B.2．（2020·山东济宁·高三其他模拟）已知集合{}|21x A x =>，{}2|560B x x x =+-<，则A B =（ ）A ．()1,0-B ．()0,6C ．()0,1D ．()6,1-【答案】C 【详解】{}{}{}0|21|22=|0x x A x x x x =>=>>， {}{}{}2|560|(6)(10|61B x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<），∴A B =()0,1．故选：C.3．（2020·阳江市第一中学高三其他模拟）已知全集为实数集R ，集合{}36A x x =-<<，{}29140B x x x =-+<，则()U A B ⋂=（ ）A ．()2,6B ．()2,7C ．(]3,2-D ．()3,2- 【答案】C 【详解】{}{}2914027B x x x x x =-+<=<<, {2U B x x ∴=≤或}7x ≥，{}(]()323,2U A B x x ∴⋂=-<≤=-.故选：C.4．（2020·云南高三其他模拟（理））设集合{}2*20,A x x x x N=--<∈，集合{B x y ==，则集合A B 等于（ ） A ．1B ．[)1,2C ．{}1D ．{}1x x ≥ 【答案】C 【详解】由题得{}{}{}2**20,12,1A x x x x x x x =--<∈=-<<∈=N N ， {{}{}{}222log 0log log 11B x y x x x x x x ===≥=≥=≥，{}1A B ∴⋂=.故选： C. 5．【2020年新高考全国Ⅰ卷】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4} 【答案】C【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)AB ==. 故选C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.6．【2020年高考浙江】已知集合P ={|14}x x <<，Q={|23}x x <<，则PQ = A ．{|12}x x <≤B ．{|23}x x <<C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}x x << 【答案】B【解析】【分析】根据集合交集定义求解【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==.故选B.【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题.7. 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.8．已知全集U ＝{x ∈Z|0＜x ＜8}，集合M ＝{2,3,5}，N ＝{x |x 2－8x ＋12＝0}，则集合{1,4,7}为( )A ．M ∩(∁U N )B ．∁U (M ∩N )C ．∁U (M ∪N )D ．(∁U M )∩N解析：选C 由已知得U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，N ＝{2,6}，M ∩(∁U N )＝{2,3,5}∩{1,3,4,5,7}＝{3,5}，M ∩N ＝{2}，∁U (M ∩N )＝{1,3,4,5,6,7}，M ∪N ＝{2,3,5,6}，∁U (M ∪N )＝{1,4,7}，(∁U M )∩N ＝{1,4,6,7}∩{2,6}＝{6}，故选C.9．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x 216＋y 29＝1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |x 4＋y 3＝1，则M ∩N ＝( ) A ．∅B ．{(4,0)，(3,0)}C ．[－3,3]D ．[－4,4]解析：选D 由题意可得M ＝{x |－4≤x ≤4}，N ＝{y |y ∈R}，所以M ∩N ＝[－4,4]．故选D.10．在实数集R 上定义运算*：x *y ＝x ·(1－y )．若关于x 的不等式x *(x －a )>0的解集是集合{x |－1≤x ≤1}的子集，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2，－1)∪(－1,0]C ．[0,1)∪(1,2]D ．[－2,0]解析：选D 依题意可得x (1－x ＋a )>0.因为其解集为{x |－1≤x ≤1}的子集，所以当a ≠－1时，0＜1＋a ≤1或－1≤1＋a ＜0，即－1＜a ≤0或－2≤a ＜－1.当a ＝－1时，x (1－x ＋a )>0的解集为空集，符合题意．所以－2≤a ≤0.11．非空数集A 满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集： ①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}；②{x |x 2－4x ＋1＜0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝ln x x ，x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1∪1，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪ y ＝⎩⎨⎧ 2x ＋25，x ∈[0，1，x ＋1x ，x ∈[1，2]. 其中“互倒集”的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选C 对于①，当－2＜a ＜2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x 2－4x ＋1＜0}＝{x |2－3＜x ＜2＋3}，所以12＋3＜1x ＜12－3，即2－3＜1x ＜2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x是增函数，当x ∈⎣⎡⎭⎫1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝⎛⎦⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎡⎭⎫25，125∪⎣⎡⎦⎤2，52＝⎣⎡⎦⎤25，52且1y ∈⎣⎡⎦⎤25，52，所以④是“互倒集”．故选C.二．多选12. (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( )A ．数域必含有0,1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b＝1∈P ，故可知A 正确． 当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确． 当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确．根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．13．(多选)设S 为复数集C 的非空子集．若对任意x ，y ∈S ，都有x ＋y ，x －y ，xy ∈S ，则称S 为封闭集．下列命题中是真命题的有( )A ．集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集B ．若S 为封闭集，则一定有0∈SC ．封闭集一定是无限集D ．若S 为封闭集，则满足S ⊆T ⊆C 的任意集合T 也是封闭集答案 AB解析 两个复数的和、差、积仍是复数，且运算后的实部、虚部仍为整数，所以集合S ＝{a ＋b i|a ，b 为整数，i 为虚数单位}为封闭集，A 正确．当S 为封闭集时，因为x －y ∈S ，取x ＝y ，得0∈S ，B 正确．对于集合S ＝{0}，显然满足所有条件，但S 是有限集，C 错误．取S ＝{0}，T ＝{0,1}，满足S ⊆T ⊆C ，但由于0－1＝－1不属于T ，故T 不是封闭集，D 错误．三．填空14. 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．15．当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”．对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，1，若M 与N “相交”，则a ＝________. 答案 1解析 M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1,1}，满足题意．四．解答题16．已知集合A ＝{x |3≤3x ≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1＜x ＜a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}．(2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A .当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1；当C 为非空集合时，可得1＜a ≤3.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，3]．。
子集、真子集、相等
11.已知A＝{x | 1 ≤ x ≤ 2 }, B＝{x | 1≤ x ≤ a},
(1)若A≠ ⊂B, 求实数a的值; (2)若B⊆A, 求实数a的值; (3)若A＝B, 求实数a的值．
解：(1)a > 2 (2)a ≤ 2
(3)a = 2
3.已知A={x| -4 x5}, B={x|a-1 x 2a+1}, BA,求实数a的取值范围.
若B⊆A, 求实数a的值．
{ { 8. 已知集合A = x 1 < x < 2 } ,B = x 0 < x < 1 }
判断 A、B 的关系；
9. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x-a≥0}，若A是B
的真子集，实数a的取值范围（ a≤1 ）.
a1
3
10. 已知集合 A={ x|a<x<5}， B= {x|x≥ 2} ，且 满足 A ⊆B ，求 实数a的取值范围。
习题选集
集合的基本关系
1. 下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两
个子集；③空集是任何集合的真子集；④若Ø A，
则A≠Ø. 其中正确的有( A ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2. 在下列各式中错误的个数是( A )
①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}；
5.满足{1,2}⊂ ≠M⊆{1,2,3,4,5} 的集合M有（ 7 ）个.
6.已A 知 = {x a 2 + x 集 2 x + a = 0 ,a 合 ∈ R } ,
若集合A有且仅有2个子集，则由a的取值组成的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
集合为（{0,1，－1}
）.
7. 已知A＝{x | x2－2x－3＝0}, B＝{x | ax－1＝0},
集合的基本运算交集并集练习题
集合的基本运算交集并集练习题1.1. 集合间的基本运算考察下列集合，说出集合C与集合A，B之间的关系： A?{1,3,5}，B?{2,4,6},C??1,2,3,4,5,6?；A?{xx是有理数}，B?{xx是无理数},用Venn图分别表示上面各组中的3组集合。
思考：上述每组集合中，A,B,C之间均有怎样的关系？1、交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫作集合A、B的交集。
记作：A∩B 读作：“A交B” 。
即：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}用Venn图表示：常见的3种交集的情况：说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？A∩A＝A∩?＝A∩BB∩AA∩B＝A ? A∩B＝B?：1、A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝;2、A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝3、A＝{x|x>3}，B＝{x|x 2、并集定义：一般地，由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B 的并集，记作A∪B，读作：“A 并B”即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
用Venn图表示：说明：定义中要注意“所有”和“或者”这两个条件。
讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？A∪A＝, A∪Ф＝, A∪B∪AA∪B＝A? , A∪B＝B?：1、A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝2、设A ＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝;3、A＝{x|x>3}，B＝{x|x 3、一些特殊结论⑴若A?B,则A∩B=A；⑵若B?A,则A∪B=A；⑶若A，B两集合中，B=?，,则A∩?=?, A∪?=A。
1求A∪B。
2、设A={x|x>-2}，B={x|x3、已知集合A＝｛y|y=x2-2x-3,x∈R｝,B=｛y|y=-x2+2x+13,x∈R｝。
集合间的基本关系练习题含答案
集合间的基本关系练习题（1）1. 如图，已知全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，则图中阴影部分所表示的集合是()A.{3, 4}B.{−2, −1, 0}C.{1, 2}D.{2, 3, 4}2. 已知集合A＝{−1, 0, 1}，则含有元素0的A的子集的个数为（）A.2B.4C.6D.83. 设集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，则B=()A.{−1}B.{2}C.{−1, 2}D.{1, 2}4. 已知A={−2, 2011, x2−1}，B={0, 2011, x2+3x}，且A=B，则x的值为（）A.1或−1B.0C.−2D.−15. 定义：设A，B是非空的数集，a∈A，b∈B，若a是b的函数且b也是a的函数，则称a与b是“和谐关系”．如等式b=a2，a∈[0, +∞)中a与b是“和谐关系”，则下列等中a与b是“和谐关系”的是（）A.b=sin aa ，a∈(0,π2) B.b=a3+52a2+2a+1，a∈(−2,−23)C.(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]D.|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]6. 已知集合：①{0}；②{⌀}；③{x|3m<x<m}；④{x|a+2<x<a}；⑤{x|x2+ 2x+5＝0, x∈R}．其中，一定表示空集的是________（填序号）．7. 当a满足________时，集合A＝{x|3x−a<0, x∈N+}表示集合{1}．8. 已知集合M＝{1, 2, 3, ..., n}(n>1, n∈N∗)，则M的所有非空子集的元素和为________（只需写出数学表达式）=a+2}，B={(x,y)|(a2−4)x+(a−2)y=7}，若A∩9. 已知集合A={(x,y)|y−2x−1B=⌀，则实数a=________．10. 集合A={1, 2}共有________子集．11. 已知集合A={1,2,3,4}.(1)若M⊆A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M有多少个？(2)若B={x|ax−3=0}，且B⊆A，求实数a的取值集合.12. 已知集合A={x|2m−10<x<m−1}，B={x|2<x<6}.(1)若m=4，求A∩B；(2)若A⊆B，求m的取值范围．参考答案与试题解析集合间的基本关系练习题（1）一、选择题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）1.【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由阴影部分可知对应的集合为B∩∁U A，即可得到结论．【解答】解：阴影部分可知对应的集合为B∩(∁U A)，∵全集U=Z，集合A={−2, −1, 0, 1, 2}，B={1, 2, 3, 4}，∴B∩(∁U A)={3, 4}，故选A.2.【答案】B【考点】元素与集合关系的判断【解析】由集合子集的定义找出集合A的所有子集可得答案，【解答】已知集合A＝{−1, 0, 3}，则由集合的子集定义可得A集合的所有子集为：⌀，{−1}，{1}，8}，1}，1}，4，1}，则含有元素0的A的子集为{6}，{−1，{0，{−2，0，个数为4个，3.【答案】C【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】本题的关键是认清集合B的研究对象，利用列举法写出集合B的元素即可．【解答】解：∵集合A={−1, 1, 2}，集合B={x|x∈A 且2−x∉A}，−1∈A，且2−(−1)=3∉A，故1∈B；1∈A，但2−1=1∈A，不满足题意；2∈A，且2−2=0∉A，故2∈B；故B={−1, 2}.故选C．4.【答案】D【考点】集合的相等【解析】直接应用集合相等则集合中的元素完全相同来解决问题．【解答】解：∵A=B，即A和B中的元素完全相同，∴有{x2−1=0x2+3x=−2，解得：x=−1．故选D．5.【答案】A【考点】元素与集合关系的判断【解析】只要判断所给出的函数单调即可．【解答】解：A．∵a∈(0,π2)，则a>sin a，∴b′=a cos a−sin aa2=cos a(a−sin a)a2>0，因此函数b在a∈(0,π2)上单调递增，正确；B．∵a∈(−2,−23)，b′=3a2+5a+2=(3a+2)(a+1)，∴a∈(−2, −1)时单调递增；a∈(−1, −23)时单调递减，因此不符合题意；C．∵(a−2)2+b2=1，a∈[1, 2]，∴b=±√1−(a−2)2，b不是a的函数，舍去；D．∵|a|+|b|=1，a∈[−1, 1]，∴b=±(1−|a|)，b不是a的函数，舍去．故选：A．二、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）6.【答案】④⑤【考点】空集的定义、性质及运算【解析】利用单元素集、空集的定义直接求解．【解答】①{0}是单元素集；②{⌀}是单元素集；③当m<0时，{x|8m<x<m}不是空集；④{x|a+2<x<a}是空集；⑤{x|x2+7x+5＝0, x∈R}是空集．∴一定表示空集的是④⑤．7.【答案】【考点】集合的含义与表示【解析】先解不等式3x−a<0，得，根据已知条件需限制a为：1<≤2，解不等式即得a满足的条件．【解答】解3x−a<0得．根据已知条件知：x＝1，∴1<．解得3<a≤6．8.【答案】(n2+n)⋅2n−2【考点】子集与真子集【解析】由题意可知，集合中的元素出现的次数都是相等的，从而确定每个元素出现的次数，从而利用等差数列求和公式求和．【解答】若M＝{1, 2, 3, ...n}，则集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一个元素出现的次数都是相等的；考查1出现的次数，可看成集合{2, 3, 4, ...n}的子集个数，故共有2n−1个1，故M的所有非空子集的元素和为2n−1(1+2+3+4+...+n)＝(n2+n)⋅2n−29.【答案】【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】4【考点】子集与真子集【解析】对于有限集合，我们有以下结论：若一个集合中有n个元素，则它有2n个子集．【解答】解：集合A有2个元素，故有22=4个子集．故答案为：4．三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）11.【答案】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.(2)因为B ⊆A ,所以集合B 有两种可能：B =⌀,B ≠⌀.当B =⌀时，显然a =0,当B ≠⌀时，则a ≠0，得x =3a ,则有3a =1或3a =2或3a =3或3a =4, 解得a =3或a =32或a =1或a =34.综上，实数a 的取值集合是{0,34,1,32,3}.【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由M ⊆A ，且M 中至少有一个偶数，得满足条件的集合M 为:{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}，{4}，{1,4}，{3,4}，{1,3,4}，{2,4}，{1,2,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}，共12个.12.【答案】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）当m =3时，化简A ={x 2−3x −10≤0}=[−2, 5]，B =(2, 7)；从而求交集．（2）讨论当B ≠⌀时，{m −1<2m +1m −1≥−22m +1≤5；当B =⌀时，m −1≥2m +1，从而解得．【解答】解：(1)当m =4时，A ={x|2×4−10<x <4−1}={x|−2<x <3}，B ={x|2<x <6}，则A ∩B ={x|2<x <3}．(2)∵ A ⊆B ，当A ≠⌀时，{2m −10<m −12m −10≥2m −1≤6；解得，6≤m ≤7；当A =⌀时，由2m −10≥m −1得，m ≥9；故m 的取值范围为{m|m ≥9或6≤m ≤7}．。
集合间的基本关系练习题及答案
1．集合{a，b}的子集有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】集合{a，b}的子集有Ø，{a}，{b}，{a，b}共4个，故选D.【答案】D2．下列各式中，正确的是( )A．23∈{x|x≤3} B．23∉{x|x≤3}C．23⊆{x|x≤3} D．{23}{x|x≤3}【解析】23表示一个元素，{x|x≤3}表示一个集合，但23不在集合中，故23∉{x|x≤3}，A、C不正确，又集合{23}⃘{x|x≤3}，故D不正确．【答案】B3．集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________．【解析】若A＝Ø，则满足A⊆B，A⊆C；若A≠Ø，由A⊆B，A⊆C知A是由属于B 且属于C的元素构成，此时集合A可能为{a}，{b}，{a，b}．【答案】44．已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合．【解析】将数集A表示在数轴上(如图所示)，要满足A⊆B，表示数a的点必须在表示4的点处或在表示4的点的右边，所以所求a的集合为{a|a≥4}．一、选择题(每小题5分，共20分)1．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( )A．5 B．6C．7 D．8【解析】由题意知A＝{0,1,2}，其真子集的个数为23－1＝7个，故选C.【答案】C2．在下列各式中错误的个数是( )①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}⊆{0,1,2}； ④{0,1,2}＝{2,0,1}A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 ①正确；②错．因为集合与集合之间是包含关系而非属于关系；③正确；④正确．两个集合的元素完全一样．故选A.【答案】 A 3．已知集合A ＝{x|－1<x<2}，B ＝{x|0<x<1}，则( )A ．A>B B ．A BC ．B AD ．A ⊆B【解析】 如图所示，，由图可知，B A.故选C.【答案】 C4．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若ØA ，则A≠Ø.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解析】 ①空集是它自身的子集；②当集合为空集时说法错误；③空集不是它自身的真子集；④空集是任何非空集合的真子集．因此，①②③错，④正确．故选B.【答案】 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知Ø{x|x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________．【解析】 ∵Ø{x|x 2－x ＋a ＝0}，∴方程x 2－x ＋a ＝0有实根，∴Δ＝(－1)2－4a≥0，a≤14. 【答案】 a≤146．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}，若B ⊆A ，则实数m ＝________.【解析】 ∵B ⊆A ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0∴m＝1，当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}满足B ⊆A.【答案】 1三、解答题(每小题10分，共20分)7．设集合A ＝{x ，y}，B ＝{0，x 2}，若A ＝B ，求实数x ，y.【解析】 从集合相等的概念入手，寻找元素的关系，必须注意集合中元素的互异性．因为A ＝B ，则x ＝0或y ＝0.(1)当x ＝0时，x 2＝0，则B ＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y ＝0时，x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.由(1)知x ＝0应舍去．综上知：x ＝1，y ＝0.8．若集合M ＝{x|x 2＋x －6＝0}，N ＝{x|(x －2)(x －a)＝0}，且N ⊆M ，求实数a 的值．【解析】 由x 2＋x －6＝0，得x ＝2或x ＝－3.因此，M ＝{2，－3}．若a ＝2，则N ＝{2}，此时N M ；若a ＝－3，则N ＝{2，－3}，此时N ＝M ；若a ≠2且a≠－3，则N ＝{2，a}，此时N 不是M 的子集，故所求实数a 的值为2或－3.9．(10分)已知集合M ＝{x|x ＝m ＋16，m∈Z }，N ＝{x|x ＝n 2－13，n∈Z }，P ＝{x|x ＝p 2＋16，p∈Z }，请探求集合M 、N 、P 之间的关系． 【解析】 M ＝{x|x ＝m ＋16，m∈Z } ＝{x|x ＝6m ＋16，m∈Z }． N ＝{x|x ＝n 2－13，n∈Z } ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|x ＝3n －26，n∈Z P ＝{x|x ＝p 2＋16，p∈Z }＝{x|x ＝3p ＋16，p∈Z }． ∵3n－2＝3(n －1)＋1，n∈Z .∴3n－2,3p ＋1都是3的整数倍加1， 从而N ＝P.而6m ＋1＝3×2m＋1是3的偶数倍加1， ∴M N ＝P.。
集合与集合间的基本关系习题
1.集合M＝(x，y)|x＋y<0，xy>0}，P＝{(x，y)|x<0，y<0}那么( )A. P⊆MB. M⊇P C . M＝P D. M⫋P2.若集合A＝{1,3，x}，B＝{x²,1}且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是()A．1B．2C．3D．43.若集合M={a,b,c},M中元素是△ABC的三边长,则△ABC一定不是()4. 锐角三角形B.直角三角形C .钝角三角形D.等腰三角形5. 已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a⫋R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是（）A . 1B . －1C . 0 , 1D . －1 , 0 , 16. 设A={x|1<x<2},B={x|x<a},若A⫋B,则实数a的取值范围( )A. {a|a≥2}B. {a|a>2}C. {a|a≥1}D. {a|a≤1}8. 集合P={x|x=2k，k∈Z}，M={x|x=2k+1，k∈Z}，S={x|x=4k+1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c=a+b，则有（）A．c∈P B．c∈M C．c∈S D．以上都不对9.用适当的符号填空(∈,∉,⊆,⊇,＝)a____{(a,b)}; {a,b,c}___{a,b}；{2,4}___{2,3,4}; ∅___{a}.10.集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C.则集合A的个数是________．11.已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.12.集合{x|x²-2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件为＿.13.已知集合A=x|ax2-3x+2=0a∈R若集合A中只有一个元素则实数a取值为＿＿＿.14.已知⫋{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是＿＿＿.15.已知集合A={-1，3，2m-1}，集合B={3，m2}．若B∈A，则16.已知∅⊊{x|x2-x+a=0}，则实数a的取值范围是___．17.下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，E分别是哪种图形的集合？18.已知A＝{x∈R|5＜x＜－1}，B＝{x∈R|a≤x＜a＋4}，若B⫋A，求实数a的取值范围．19.已知A＝{x|2＜x＜－1}，B＝{x|4x＋a<0}，当B⊆A时，求实数a的取值范围．20.已知集合A＝{x|1≤x<4}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，求实数a的取值集合.21.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x²}，若A＝B，求实数x.y22.若集合M＝{x|x²＋x－6＝0}，N＝{x|(x－2)(x－a)＝0}，且N⊆M，求实数a的值．23.设集合A＝{x|x²－5x＋6＝0}，B＝{x|x²－(2a＋1)x＋a²＋a＝0}，若B⊆A,求a的值.24.已知集合P={x|4＜x<-1｝,Q={x|a+1≤x≤2a-1}.若Q⫋P,求a的取值范围.。
集合间的基本关系练习题
集合间的基本关系练习题集合间的基本关系一、选择题1.集合 $A=\{x\leq x<3 \text{ 且 } x\in Z\}$ 的真子集的个数为（）A。
5 B。
6 C。
7 D。
82.已知集合 $A=\{x-1<x<2\}$，$B=\{x<x<1\}$，则（）A。
$A>B$ B。
$A\subseteq B$ C。
$A\capB=\varnothing$ D。
$A$ 与 $B$ 的关系不确定3.已知 $M=\{1,2,a^2-3a-1\}$，$N=\{1,3\}$，若 $3\inM$ 且 $N\nsubseteq M$，则 $a$ 的取值为（）A。
1 B。
4 C。
$-1$ 或 $-3$ D。
$-4$ 或 14.已知集合$A=\{x^3=3k,k\in Z\}$，$B=\{x^6=k,k\in Z\}$，则（）A。
$A>B$ B。
$A\subseteq B$ C。
$A\capB=\varnothing$ D。
$A$ 与 $B$ 的关系不确定5.满足 $\{a\}\subseteq M\subseteq \{a,b,c,d\}$ 的集合$M$ 共有（）A。
6个 B。
7个 C。
8个 D。
15个6.已知集合 $A=\{x_1<x<2\}$，$B=\{x<x<a\}$，满足$A\cap B\neq \varnothing$，则（）A。
$a\geq 2$ B。
$a\leq 1$ C。
$a\geq 1$ D。
$a\leq 2$二、填空题1.集合 $A$ 中有 $m$ 个元素，若在 $A$ 中增加一个元素，则它的子集增加的个数为 $\underline{\qquad}$。
2.设 $A=\{1,3,a\}$，$B=\{1,a^2-a+1\}$，若 $B\subseteqA$，则 $a$ 的取值为 $\underline{\qquad}$。
3.已知集合 $P=\{x|x^2=1\}$，$Q=\{x|ax=1\}$，若$Q\subseteq P$，则 $a$ 的取值 $\underline{\qquad}$。
集合间的基本关系试题(含答案)
集合间的基本关系试题(含答案)1.“A⊆B”不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，因此选C。
2.根据xy>0知x与y同号，又x＋y<0，因此x与y同为负数，等价于M＝P，因此选C。
3.A＝{－1,1}，B＝{0,1,2,3}，A⊆C，B⊆C，因此集合C中必含有A与B的所有元素－1,0,1,2,3，故C中至少有5个元素，因此选C。
4.由于B⊆A，因此x2∈A，又x2≠1，因此x2＝3或x2＝x，因此x＝±3或x＝0，因此满足条件的实数x的个数是3，因此选C。
5.由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，因此选D。
6.由于A⊆B，A⊆C，因此集合A中的元素只能由a或b构成，因此这样的集合共有22＝4个，即A＝∅，或A＝{a}，或A＝{b}或A＝{a，b}，因此选C。
7.M＝{x|x＝2k+4，k∈Z}，N＝{x|x＝4k+2，k∈Z}，因为2k+4=2(k+2)和4k+2=2(2k+1)都是偶数，因此M和N都是偶数的集合，但M和N不相等，因为M中的元素都比N中的元素大2，因此选B。
1b，b∈Z}，则A与B的交集为________．答案]空集或∅解析]A的元素形如x＝a＋6a∈Z，而B的元素形如x＝231b，b∈Z，所以A与B的交集为空集或∅．15．集合A＝{x|2x＋1＜5}，B＝{x|x2－3x＋2≥0}，则A∩B＝________．答案][1,2)解析]2x＋1＜5得x＜2，x2－3x＋2≥0得x≤1或x≥2，故A∩B＝[1,2)．16．集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩B＝________．答案][1,2)∪(3,＋∞)解析]x2－5x＋6＜0得x∈(2,3)，2x－1≥0得x≥12故A∩B＝[1,2)∪(3,＋∞)．17．集合A＝{x|2x＋1＜5}，B＝{x|x2－3x＋2≥0}，则A∪B＝________．答案](-∞,1]∪[2,+∞)解析]2x＋1＜5得x＜2，x2－3x＋2≥0得x≤1或x≥2，故A∪B＝(-∞,1]∪[2,+∞)．18．集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A×B＝________．答案]{(x，y)|x＜2，y＞1}解析]A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}＝{(x，y)|x＜2，y＞1}．16.已知 $A=\{x\in R|x5\}$，$B=\{x\in R|a\leq x<a+4\}$，求 $A,B$ 的关系并求实数 $a$ 的取值范围。
集合的基本关系练习题(含答案解析)
一、选择题1.下列四个结论中,正确的是( )A.0={0}B.0∈{0}C.0⊆{0}D.0∈{∅}【解析】选B.{0}是含有1个元素0的集合,故0∈{0}.2.如果M={x|x+1>0},则( )A.∅∈MB.∅=MC.{0}∈MD.{0}⊆M【解析】选D.M={x|x+1>0}={x|x>-1},所以{0}⊆M.3.下列四个集合中,是空集的是( )A.{x|x+3=3}B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}C.{x|x2≤0}D.{x|x2-x+1=0,x∈R}【解析】选 D.对A,{x|x+3=3}={0};对B,{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R}={(0,0)};对C,{x|x2≤0}={0};对D,由于Δ=(-1)2-4=-3<0,即方程x2-x+1=0无解,故{x|x2-x+1=0,x∈R}=∅.4.已知集合A={x|3≤x2≤5,x∈Z},则集合A的真子集个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选C.由题意知,x=-2,2,即A={-2,2},故其真子集有3个. 【误区警示】本题易忽视真子集这一条件而误选D.5.已知集合M={x|y2=2x,y∈R}和集合P={(x,y)|y2=2x,y∈R},则两个集合间的关系是( )A.M PB.P MC.M=PD.M,P互不包含【解析】选D.由于两集合代表元素不同,即M表示数集,P表示点集,因此M与P互不包含,故选D.【误区警示】解答本题易忽视集合的属性而误选C.6.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2+x=0}关系的Venn图是( )【解析】选B.由N={x|x2+x=0}={-1,0},得N M.7.设集合S={x|x≥2},T={x|x≤5},则S∩T= ( )A.{x|x≤5}B.{x|x≥2}C.{x|2<x<5}D.{x|2≤x≤5}【解析】选D.依题意计算得S∩T=,故选D.8.已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},则A∪B= ( )A.∅B.{2}C.{0,-1,2}D.{-2,-1,0,2}【解析】选D.因为B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},所以A∪B= {-2,-1,0,2}.9.设集合A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R︱x2+ x-6=0},则图中阴影表示的集合为( )A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}【解析】选A.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2},由题意可知,阴影部分即为A∩B,故A∩B={2}.【补偿训练】若集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},则集合A ∩B等于( )A.{x|x≤3或x>4}B.{x|-1<x≤3}C.{x|3≤x<4}D.{x|-2≤x<-1}【解析】选D.将集合A,B表示在数轴上,由数轴可得A∩B={x|-2≤x<-1},故选D.10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算⊕和⊗如下:那么d⊗(a⊕c)的运算结果为( )A.aB.bC.cD.d【解题指南】先计算(a⊕c)的结果,再计算d⊗(a⊕c)的值.【解析】选A.由上表可知:(a⊕c)=c,故d⊗(a⊕c)=d⊗c=a.11.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.8【解题指南】由并集中的元素可知集合B中至少含有一个元素3,由此分类求解.【解析】选C.因为A={1,2},A∪B={1,2,3},所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},故选C.12.集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是( )A.A∈BB.A BC.A∉BD.A=B二、填空题1.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<8,x∈N},用适当符号填空:A B,A C,{2} C,2 C.【解析】A={1,2},B={1,2},C={0,1,2,3,4,5,6,7},所以A=B,A C,{2}C,2∈C.答案:= ∈2.已知集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x≥m},若A⊆B,则实数m的取值范围为.【解题指南】根据集合间的关系,借助数轴求解.【解析】将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≤-2.答案:m≤-23.设x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则A,B的关系是.【解析】因为B=={(x,y)|y=x,且x≠0},故B A.答案:B A【误区警示】解答本题易忽视集合B中x≠0而误认为A=B.4.设集合A={5,a+1},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A∪B= .【解题指南】由交集求出a,b,再求并集.【解析】因为A∩B={2},所以2∈A,故a+1=2,a=1,即A={5,2};又2∈B,所以b=2,即B={1,2},所以A∪B={1,2,5}.答案:{1,2,5}三、解答题1.已知集合A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集.【解析】因为A={(x,y)|x+y=2,x,y∈N},所以A={(0,2),(1,1),(2,0)}.所以A的子集有:∅,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)}, {(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}.2.若集合A={x|(k+1)x2+x-k=0}有且仅有两个子集,求实数k的值. 【解析】集合A有且仅有两个子集说明A中仅有一个元素,那么对于方程(k+1)x2+x-k=0,若k+1=0,即k=-1,方程即为x+1=0,x=-1,此时A={-1},满足题意;若k+1≠0,则需Δ=0,即12-4(k+1)(-k)=0,解得k=-,此时A={-1},满足题意.所以实数k的值为-1或-.3.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)|x∈M,y∈N},B={(x,y)|x∈N,y ∈M},求A∩B和A∪B.【解析】因为A={(1,2),(1,1)},B={(1,1),(2,1)}.所以A∩B={(1,1)},A∪B={(1,1),(1,2),(2,1)}.【误区警示】本题易忽视集合A,B是点集而致错.4.已知A={1,x,-1},B={-1,1-x}.(1)若A∩B={1,-1},求x.(2)若A∪B={1,-1,},求A∩B.(3)若B⊆A,求A∪B.【解析】(1)由条件知1∈B,所以1-x=1,所以x=0.(2)由条件知x=,所以A=,B=,所以A∩B=.(3)因为B⊆A,所以1-x=1或1-x=x,所以x=0或,当x=0时,A∪B={1,0,-1},当x=时,A∪B=.。
集合练习题(含答案)
集合练习题通过本节练习，应掌握以下几点：1.知识目标：巩固和深化对基础知识的理解与掌握2.知识重点：掌握好集合间的关系与集合的基本运算3.知识难点：集合间的运算一、选择题1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．符合条件{a}P⊆{a，b，c}的集合P的个数是()A．2B．3C．4D．53．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N*}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N*}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素4．如图所示，M，P，S是V的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩S)∩(∁S P) D．(M∩P)∪(∁V S)5．已知集合A＝{x|a－1≤x≤a＋2}，B＝{x|3<x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的范围是()A．{a|3<a≤4}B．{a|3≤a≤4}C．{a|3<a<4}D．∅二、填空题6．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x>a}，如果A∪B＝R，那么a的取值范围是________．7．集合A＝{1,2,3,5}，当x∈A时，若x－1∉A，x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，则A中孤立元素的个数为____．8．已知全集U＝{3,7，a2－2a－3}，A＝{7，|a－7|}，∁U A＝{5}，则a＝________.9．设U＝R，M＝{x|x≥1}，N＝{x|0≤x<5}，则(∁U M)∪(∁U N)＝________________.三、解答题10．已知集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a>0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．11．某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A，B，C三道知识题作答情况如下：答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A，B者5人，答错A，C者3人，答错B，C者4人，A，B，C都答错的有1人，问A，B，C都答对的有多少人？12．对于k∈A，如果k－1∉A且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有几个？13．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合U＝{x|0≤x≤1}的子集，定义b－a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”，求集合M∩N 的长度的最小值．参考答案1．B [Q ＝{x |－2<x <2}，可知B 正确．]2．B [集合P 内除了含有元素a 外，还必须含b ，c 中至少一个，故P ＝{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }共3个．]3．B [∵a ∈N *，∴x ＝a 2＋1＝2,5,10，….∵b ∈N *，∴y ＝b 2－4b ＋5＝(b －2)2＋1＝1,2,5,10，….∴M P .]4．C [阴影部分是M ∩S 的部分再去掉属于集合P 的一小部分，因此为(M ∩S )∩(∁S P )．]5．B [根据题意可画出下图．∵a ＋2>a －1，∴A ≠∅.有⎩⎨⎧ a －1≤3，a ＋2≥5.解得3≤a ≤4.]6．a ≤2解析 如图中的数轴所示，要使A ∪B ＝R ，a ≤2.7．1解析 当x ＝1时，x －1＝0∉A ，x ＋1＝2∈A ；当x ＝2时，x －1＝1∈A ，x ＋1＝3∈A ；当x ＝3时，x －1＝2∈A ，x ＋1＝4∉A ；当x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ；综上可知，A 中只有一个孤立元素5.8．4解析 ∵A ∪(∁U A )＝U ，由∁U A ＝{5}知，a 2－2a －3＝5，∴a ＝－2，或a ＝4.当a ＝－2时，|a －7|＝9,9∉U ，∴a ≠－2.a＝4经验证，符合题意．9．{x|x<1或x≥5}解析∁U M＝{x|x<1}，∁U N＝{x|x<0或x≥5}，故(∁U M)∪(∁U N)＝{x|x<1或x≥5}或由M∩N＝{x|1≤x<5}，(∁U M)∪(∁U N)＝∁U(M∩N) ＝{x|x<1或x≥5}．10．解(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)∵C＝{x|x>－a2}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴－a2<2，∴a>－4.11.解由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B 表示答错B的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1,2,3,4,10,7,5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人．12．解依题意可知，“孤立元”必须是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素．因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．13．解在数轴上表示出集合M与N，可知当m＝0且n＝1或n－13＝0且m＋34＝1时，M∩N的“长度”最小．当m＝0且n＝1时，M∩N＝{x|23≤x≤34}，长度为34－23＝112；当n＝13且m＝14时，M∩N＝{x|14≤x≤13}，长度为13－14＝112.综上，M∩N的长度的最小值为1 12.。
集合知识点及习题
集合一、集合：1、定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合与元素的关系：（1）如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。
3、常见集合：非负整数集(或自然数集) ：N ；正整数集合：*N 或+N ；整数集合：Z ；有理数集合：Q ；实数集合：R 。
注意：（1）自然数集N 含有0；（2）整数集Z 、有理数Q 、实数集R 内排除0的集合分别表示为： Z*或Z+、Q*或Q+、R*或R+。
4、集合三要素：确定性、互异性、无序性。
特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。
5、集合的表示方法：（1）列举法 （2）描述法 （3）韦恩图 （4）区间表示法 二、集合间的基本关系：1、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。
记作：A ⊆B 或(B ⊇A).性质：①Φ⊆A （特别地Φ⊆Φ）； ②A ⊆A ； ③ 若A ⊆B,B ⊆C,则A ⊆C 。
2、真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B ⇔A ⊆B ，A ≠B性质：①若A Φ≠,则有Φ⊂A 。
②如果A ⊂B,B ⊂C ，那么A ⊂C 。
③规定：空集合是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
三、集合间的基本运算：1、并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。
记作：A ∪B={x| x ∈A,或x ∈B}. 性质：①A ∪A=A ②A ∪Φ=A ③A ∪B=B ∪A④A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ⑤A ∪B=B ⇔A ⊆B2、交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∩B={x| x ∈A,且x ∈B}。
集合间的基本关系(习题作业)原卷版--2023年初升高暑假衔接之高一数学
1.2集合间的基本关系一、单选题1．已知集合{}{}|21,Z ,|21,Z A x x k k B x x k k ==+∈==-∈，则（）A ．A B ⊆B ．B A ⊆C ．A B=D ．A B 2．下列与集合{}2023,1表示同一集合的是（）A ．()2023,1B ．(){},2023,1x y x y ==∣C ．{}2202420230x x x -+=∣D ．{}2023,1x y ==3．下列各式：①{}10,1,2⊆，②{}{}10,1,2∈，③{}{}0,1,20,1,2⊆，④{}0,1,2∅⊆，⑤{}{}2,1,00,1,2=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．给出下列关系式:①{}10,1,2∈；②∅⊆{}1,2,3；③{}{}11,2,3∈；④{}{}0,1,21,2,0=，其中错误的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．有下列四个命题：①{}0⊇∅；②{}∅∈∅③若N a ∈，则N a -∉；④{}2R 210A x x x =∈-+=∣集合有两个元素；⑤集合6N N B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭∣是有限集.；其中正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．46．若集合{N ,P x x a =∈≤=则（）A ．a P ∈B ．{}a P ∈C ．{}a P⊆D ．a P ∉7．已知非空集合M满足:对任意x M ∈，总有2x M ∉，M .若{0,1,2,3,4,5}M ⊆，则满足条件的M 的个数是（）A ．11B ．12C ．15D ．168．若一个集合含有n 个元素，则称该集合为“n 元集合”.已知集合12,,3,42A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则其“2元子集”的个数为（）A ．6B ．8C ．9D ．109．设集合{|M x x A =∈，且}x B ∉，若{1,3,5,6,7}A =，{2,3,5}B =，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．1510．已知非空集合M ⊆{1，2，3，4，5}，若a ∈M ，则6-a ∈M ，那么集合M 的个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．811．已知集合{}0,4,M x =，{}20,N x =，若N M ⊆，则实数x 组成的集合为（）A ．{}0B ．{}2,2-C ．{}2,1,2-D ．{}2,0,1,212．集合{}70,N A x x x *=-<∈，则*6{|N ,}B y y A y =∈∈的子集的个数为（）A ．4B ．8C ．15D ．1613．已知集合{}260A xx x =+-=∣，{}10B x mx =+=∣，且B A ⊆，则实数m 的取值构成的集合为（）A ．110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,23⎧⎫-⎨⎩⎭C ．11,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．110,,23⎧⎫-⎨⎬⎩⎭14．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中a ，b ∈R ，下列说法正确的是（）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的真子集，对任意的b ，1Q 是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集15．已知集合{1,2,3,4,5,6,7,8}S =，对于它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以(1)k -再求和，例如{2,3,8}A =，则可求得和为238(1)2(1)3(1)87-⋅+-⋅+-⋅=，对S 的所有非空子集，这些和的总和为A ．508B ．512C ．1020D ．1024二、多选题16．下列关系式正确的为（）A ．{}00⊂B ．{}0=∅C ．{}{},,a b b a ⊆D ．{}0∅⊆17．已知集合*{|2}N M x x =∈≤，则以下关系正确的是（）A ．0M ∉B ．2M∉C ．{}0,1,2M ⊆D ．{}0,1,2M ⊆18．下列说法正确的有（）A ．集合{}1,2,4,5有16个真子集B ．对于任意集合A ，A ∅⊆C ．任何集合都有子集，但不一定有真子集D ．若∅A ，则A ≠∅19．下列各组中,M P 表示相同集合的是（）A ．{}{}3,1,1,3M P =-=-B ．{}(){}2,Z ,21,Z M xx n n P x x n n ==∈==+∈∣∣C ．{}{}221,R ,1,R M yy x x P x x t t ==+∈==+∈∣∣D ．{}(){}221,R ,,1,R M y y x x P x y y xx ==-∈==-∈∣∣20．已知集合{}1,3,0A =，{}23,B m =，若B A ⊆，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1-D21．给出下列四个结论，其中正确的结论有（）A ．{}0∅=B ．若a ∈Z ，则a -∈ZC ．集合{}2,y y x x =∈Q 是无限集D ．集合{}12,x x x -<<∈N 的子集共有4个22．已知集合{}1,1A =-，非空集合{}320B x x ax bx c =+++=，下列条件能够使得B A ⊆的是（）A ．3,3,1a b c =-==-B ．3,3,1a b c =-=-=C ．1,1,1a b c =-=-=D ．10a b c +++=且2(1)40a c ++<23．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-ÎZ ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有A ．4nB ．41n +C ．42n +D ．43n +三、填空题24．满足{}{},,,a M a b c d ⊆Ü的集合M 共有___________个.25．已知集合{}{}21,20,R A B x x x a x ==++=∈，且A B ⊆，则实数a 的值是_________．26．设,a b ∈R ，{}1,P a =，{}23,Q a b =+，若P Q =，则a b -=______．27．已知{}2230M x x x =--=，{}210,R N x x ax a =++=∈，且N M ，则a 的取值范围为_________．28．给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =，对于x S ∈，如果11x S x S +∉-∉,，那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．四、解答题29．设集合{|16}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =-≤≤+，且B A ⊆．(1)求实数m 的取值范围；(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．30．已知{|15},{|1},RA x xB x a x a a =<<=-<<∈(1)当N x ∈时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围．31．设集合{}|25A x x =-≤≤，{}|121B x m x m =+≤≤-.（1）若B A ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；（3）当x R ∈时，不存在元素x 使x A ∈与x B ∈同时成立，求实数m 的取值范围.32．已知{}2|3100A x x x =--<，{|121}B x m x m =+-，B A ⊆，求m 的取值范围.33．（1）已知集合(){}222,133A a a a a =++++,，当1A ∈，求2020a 的值；（2）已知集合{}2202020190A x x x =-+<，{}B x x a =<，若A B ⊆，求实数a 的取值范围．34．已知集合{}2|8120A x x x =-+=，{}21,23B a a =+-，{}2|60C x ax x =-+=(1)若集合=A B ，求实数a 的值；(2)若集合C A ⊆，求实数a 的取值范围.35．已知集合A 为非空数集，定义：{}{},,,,,S xx a b a b A T x x a b a b A ==+∈==-∈∣∣(1)若集合{}1,3A =，请直接写出集合,S T ：(2)若集合{}12341234,,,,A x x x x x x x x =<<<，且T A =，求证：1423x x x x +=+；36．已知集合{}22,,Z A x x m n m n ==-∈.(1)判断8，9，10是否属于集合A ；(2)集合{}|21,Z B x x k k ==+∈,证明：B 是A 的真子集.37．已知{}{}222|280,|120A x x x B x x ax a =--==++-=.(1)若A B ⊆，求a 的值；(2)若B A ⊆，求实数a 的取值范围.38．已知集合{}2,6A =.(1)若集合{}2+123B a a =-，，且A B =，求a 的值；(2)若集合{}260C x ax x =-+=，且A 与C 有包含关系，求a 的取值范围.。
《集合间的基本运算》习题
《集合的基本运算》习题一、选择题1下列表述中错误的是( )A .若 A B,则AIB AB. 若AUB B,则A BC. (AI B) u A u (AUB)D. ? u(A QB )= (?u A) U (? U B)2. 已知全集U = { - 1,0,1,2}，集合A = { - 1,2} , B = {0,2}，则(? u A) AB=( )A.{0}B.{2}C. {0,1}D.{ - 1,1}3. 若全集u = R,集合M = {x| - 2 w x < 2}N= {x|x 2- 3x< 0},贝V MA(?u N) =( )A. {x|x<0}B.{x| - 2 w x<0}C.{x|x>3}D.{x| - 2w x<3}4. 若集合M = {x € R|- 3<x<1} , N = {x € Z|- 1 w x w 2}则MQ N =( )A . { - 1} B.{0}C. { - 1,0}D. { - 1,0,1}5. 已知全集U = A U B中有m个元素，(?u A) U (?u B)中有n个元素.若A PB非空，则A PB 的元素个数为()A.mB.m + nC.m —nD.n —m6. 设U = {n|n是小于9的正整数} ,A = {n € U|n是奇数} ,B = {n € U|n是3的倍数}，则？u(A U B) =( )A. {2,4}B. {2,4,8}C. {3,8}D. {1,3,5,7}二、填空题7. _________________________________________ 某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的有人.& 若集合{(x , y)|x + y-2= 0 且x-2y + 4= 0}{(x , y)|y = 3x + b}，则b = _____________ .9•已知集合A {x|ax23x 2 0}至多有一个元素，则a的取值范围是 ___________ ;若至少有一个元素，则a的取值范围是_____________ .三、解答题2 2 2 210.集合A x| x ax a 19 0 , B x |x 5x 6 0 ,C x |x 2x 8 0 ,满足Al B , Al c ,求实数a的值•11. (15 分)已知集合A ={x € Rlax2—3x + 2= 0}.(1) 若A =，求实数a的取值范围；(2) 若A是单元素集，求a的值及集合A.12. 设集合A= {x|x2—3x＋2= 0}，B={x|x2＋2(a＋1)x＋(a2—5)= 0}.(1)若A QB = {2}，求实数a的值；⑵若A U B=A，求实数a的取值范围、选择题1. C 解析：当 A B 时，AIB A AUB .2. A 解析：？ u A = {0,1}，故(？u A) AB = {0}.3. B 解析：根据已知得 MQ(?u N) = {x| — 2< x < 2} n {x|x 或 x>3} = {x| — 2< x<0}4. C 解析：因为集合 N = { — 1,0,1,2}，所以 MQ N = { — 1,0}.5. C解析：••• U = A U B 中有m 个元素，(e u A) U (e u B) = e u (A n B 中有n 个元素,••• A nB 中有m — n 个元素. 6. B解析：U ={123,4,5,6,7,8} , A = {1,3,5,7} , B = {3,6} , • A U B = {1,3,5,6,7},则 e u (A U B) = {2,4,8}.、填空题7.26 解析：全班分4类人：设既爱好体育又爱好音乐的有x 人；仅爱好体育的有（43x ）人；仅爱好音乐的有（34x ）人；既不爱好体育又不爱好音乐的 有 4 人，• 43x34xx4=55 , • x=26.若a 刊 要使方程ax 2 — 3x + 2 = 0无解，则△= 9 — 8a<0，则a>；.9综上可知，若 A =，贝U a 的取值范围应为a>9.82 2⑵当a = 0时，方程ax 2— 3x + 2= 0只有一根x =3 A = {3}符合题意.b = 2.三、9. a | a 9,或a 0 ,8a| a9 8解析：当A 中仅有一个兀素时， a 0 ,或9 8a 0 ；当A 中有0个兀素时， 9 8a 0 ；当A 中有两个兀素时，答题 9 8a0.口10.解：B 2,3 , C 4,2 ，而 AI B，则2,3至少有一个兀素在 又 AI C ,• 2 A ,3 A , 即 9 3a a 219 0，得 a 5或a2,而a 5时，A B,与AIC矛盾，11解: （1）A 是空集, 即方程 ax 2 — 3x + 2 = 0 无解.若a = 0,方程有一解2x= 3， 不合题意.2.二aA 中.x = 0,8.2 解析：由得点(0,2)在y = 3x + b 上，• y = 2.9 4 4当a^0寸，=9—8a= 0，即a=-时，方程有两个相等的实数根= 孑，贝A = {-}.8 3 3综上可知，当12.解：由x2—3x + 2 = 0 得x= 1 或x = 2,故集合A ={1,2}.⑴•/ A QB = {2}，二2€ B,代入 B 中的方程，得a2+ 4a+ 3= 0,解得a=—1 或a=—3.当a=— 1 时，B = {x|x2—4= 0} = { —2,2}，满足条件；当a= — 3 时，B = {x|x2—4x + 4= 0} = {2}，满足条件.综上，a的值为一1或一3.(2)对于集合B , △= 4(a+ 1)2—4(a2—5) = 8(a+ 3). v A U B = A, A BA.①当△ <Q即a< —3时，B =满足条件；②当△= 0，即a=—3时，B = {2}满足条件；③当△ >Q即a> —3时，B = A = {1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得5解得2矛盾.a2= 7,综上，a的取值范围是am 3.。
高中数学集合练习题160题,包含所有题型,附答案
第一节：集合的含义与表示练习题123 已知集合2=++∈若，则a的值为_______．A a a a A{2,2},34567891011121314151617181920212223242526(2,3]B(2,3]-(2,3]D(2,3]-272{|0}a xxax=，若2∉，则实数a的取值范围是（）B．C．D．(-282{|axxx-=-3,5M∈∉，则实数a的取值范围是（）答案：第二节：集合间的基本关系练习题12345678910111213 B，则a14 B，则实数15 B⊆，求实数161}-，若BD．1718192021222324 A，求a25A⊆，则实数26 A⊆，则实数27R x∈28293031323334353637答案：第三节：集合的基本运算练习题1 B．2 B．为整数集，则A B=（3-D．{1,0,1,2}为整数集，则A B=（）4-1,0}N=（）56 {0,1,2,3,9}B=，求实数7 1}A B=，求+，{3,2,0}8 {3,5}B=，求a的取值．9 1,5,}a，{5}A B=，求10 {1,4}U M =11 R{|0P x =<12 60}x n -+=，且{2,1,4}B =13 {1,2,3,5}B =，则k=______． 14 {1,2,3,4}B =，则m=_______． 15 {0,1,2,3}B =的值为_______．16 ，{5}A B =，求17 4}，{3}A B =，则实数18 ，{2,3}A B =，则19 满足{2}A B =，则实数20 ，若{3}A B =，则实数21 1,3,21}m m --，若{3}B =-22 {3}A B =，则实数a=_______23 ，若{1,2}U A =，则实数m=_______24 {0,1}U A =，则_______． 250}p +=，若{2,3}UM =26 ，且R A B =，求m 的取值范围．27 6}，{|2A B x =-28 230}x -->，若R B =，求29 B =∅，求a 的取值范围．30 1}+，若{|47}A B x x =<<31 B=∅，求321}a≥-，若RB=，则33RB=，则实数的取值范围是（3a≥34 8}，RS T=，则31a-≥或D．35，若A B=∅，则36B=∅，实数[2,)+∞[2,)+∞][2,)+∞[2,)+∞37{|}x x a=≤0}，若M N=∅，则B．0a≥．2a<-38|2x x-≤≤||,}y x x M=∈，若N N=，则实数39B≠∅，则的取值范围为（2,3]4021}-<，若(){UN x=3-41 B≠∅，实数m的取值集合是42*R=∅，则实数2>-D．43 {1,4,5}=，求()UA B．44 {1,4,5}=，求()()U UA B．45 40}ax+=，其中A B A B=，求a的值．4640}ax+=，其中A B=∅且A B A=，47 ()UA=∅，求a的值．48 )UA B．49 {1,3,5,7,9}=，则()UA B=________50 ，则()UA B=（）51 ()UA B=________．52(){4}UA B=，{1,2}B=，则UB=（∅53 ，全集U A B=，则集合()UA B中的元素共有（个545}x≤，则RB=（）3,3)-55，则下列关系中与A B⊆等价的事（）．B A=（B B=（UB=∅（UA=∅）（2）B）（3）（4）．（1）（2）（3D．（2）（3）56 2{|30}x x=+≥，241B x m=-+-，若A B=∅，且B A=，则57 B =∅，B A =，58 B A =，求59的关系是（N N = N N =603}x <<，12}M x x <>或N =∅ R M N =61 22}y b b =-+，A 、B 的关系？62且AB A =，则的值为（ 或-1或06320}ax -=，满足B B =，则实数64 B A =，则实数65，则下列结论成立的是（ ）N M = N N = D ．{2}M N =66{|1}x x >，则（ ）P ⊆ C ．RP Q ⊆ D ．RQ P ⊆67，{2,3,4}N =，则（ ）．{2,3}M N =D ．{1,4}M N =68{|5x x =-<<，则（ ） B =∅ R B = ．B A ⊆69 已知集合{20}A x =-<，{|1B x x -<<）B B ．AC ．B =∅70{|4}x x <2{|Q x x =<Q ⊆ B ．P ⊆ C RQ D ．RQ P ⊆71 ,)|}x y x y -，{(3}B x y =+=，求A B ． 72 1}1y=+，求AB ．73 ,)|40}x y x y +=，则A B =______74，则AB =（ ）．{(0,0),(1,1)} 7521}x x =++，则M N =（ {(0,1),(2,7)}76两个集合的关系是（ 7778 {(2,5)}B =7953}x =-，)B ，则80 A C ．81 M =∅，求8221)(x a -+-B =∅，则832ay a --=B =∅，则a84B =∅，则8512人，学生总数86(){2,3}U B =(){0,6}U A =()(){1,7}U U A B =87 人，物理及格人，化学及格25人，数学物理都及格20人，物理化学都及格人，数理化都不及格10人，学生总数88 8990 91(){2,3}U B =(){0,6}U A =()(){1,7}U U A B =92{1,2,3,4,5}N =，{2,4}UMN =，则N= ）B ．{1,3,5}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4}93 {1,2,3,4,5}N ={2,5}UN =94 均为集合U =的子集，且{3}AB =，){9}U B A =，则．{3,7,9}{3,5,9} D ．{3,9}95 3}x ≥，途中阴影部分所表示的集合为（A ．{1}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}96已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5} 97()I M =∅N =（ 98 B 中有m )()U U A B 中有n 个元素，若AB 非空，则A B 的元）m+n C ．m-n 99C 为三个集合，B B C =，则一定有（．C A ⊆ A C ≠D ．A =∅100 {,}a b ，{,,}B b c d =，则)()U U A B =_______101 ,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合{0,1,3,5,8}A =，集合B =)()U U A B =（ A ．{5,8} B ．{7,9}102设全集{1,2,3,4,5,6}U =A ．M N B ．MN C ．()()U U M N D ．()()U U M N答案：BD2 2,0,}3或23D。
人教A版高中数学必修一第一章 集合间的基本关系练习题
集合间的基本关系1．下列图形能表示A ⊇B 的是( ).A ．B ．C ．D ．2．已知集合A ＝{x|x ＝3k ，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝6k －3，k ∈Z }，则A 与B 之间最适合的关系是( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A B D ．B A3．集合A ＝{－1,0,1}的子集中含有元素0的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个4．能正确表示集合M ＝{x ∈R|0≤x ≤2}和集合N ＝{x ∈R|x 2－x ＝0}关系的Ven n 图是( )A ．B ．C ．D ．5．有如下关系：①0∈{0}；②Ø{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．上述关系中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．已知集合A ＝{x |x 2－1＝0}，则有( ) A ．1∉A B ．0⊆A C ．Ø⊆A D ．{0}⊆A 7．已知集合N ＝{1,3,5}，则集合N 的真子集个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 8．下列四个集合中，是空集的为( )A ．{0}B ．{x|x >8，且x <5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x >4}9．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z}，则下列集合是集合M 的子集的为( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z }D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N }10．已知集合M ＝{x|x =k 2＋13，k ∈Z }，N ＝{x|x =k ＋13，k ∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M N11．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 12. 下列结论正确的是（ ）A. ∅AB. {0}∅∈C. {1,2}Z ⊆D. {0}{0,1}∈ 13. 设{}{}1,A x x B x x a =>=>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ） A. 1a < B. 1a ≤ C. 1a > D. 1a ≥14．若集合{1，a }⊆{1,2,3}，则a ＝________.15．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x<a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是________.16．已知集合A ＝{0,1,2}，B ＝{1，m }．若B ⊆A ，则实数m 的值是________． 17．已知集合A ＝{x|a ＋1<x <2a }，若A ＝Ø，则实数a 的取值范围是___________． 18．已知集合A ＝{x ∈R|x <－1或x ≥2}，B ＝{x |2x －a ≤1}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是__________．19．设A ＝{1,4,2x }，若B ＝{1，x 2}，若B ⊆A ，则x ＝________.20．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x|ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．21．已知集合A ＝{x |0≤x ＜4，x ∈N }，则A 的子集共有 个， 其中含有元素0的子集共有 个．22．满足{1,2,3,4}⊆M {x ∈N|x －5<4}的集合M 有 个23．已知集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x ∈A }，用列举法表示集合B ＝_____________. 24．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}恰有两个子集，则实数a ＝________.25．集合M ＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }，P ＝{y |y ＝3n ＋1，n ∈Z }，S ＝{z |z ＝6m ＋1，m ∈Z }之间的关系 __ _．26.写出满足条件ØM ⊆{0,1,2}的所有集合M ．27.已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{}2,3m B =。
集合的表示与集合间基本关系练习题
集合的表示与集合间基本关系练习题一．选择题1．给出以下四个对象，其中能构成集合的有()①教2011届高一的年轻教师；②你所在班中身高超过1.70米的同学；③2010年广州亚运会的比赛项目；④1,3,5.A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1B．2C．3 D．43．设集合M＝{x∈R|x≤33}，a＝26，则()A．a∉M B．a∈MC．{a}∈M D．{a|a＝26}∈M4．若集合M＝{a，b，c}，M中元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形5．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，S＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则有()A．c∈P B．c∈MC．c∈S D．以上都不对6．定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B 的所有元素之和为()A．0 B．2 C．3 D．67．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是()A．16 B．8 C ．7 D．48．设集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|x是不大于3的自然数}，A⊆C，B⊆C，则集合C中元素最少有()A．2个B．4个C．5个D．6个9．如果集合A满足{0,2}⊆A⊆{－1,0,1,2}，则这样的集合A个数为() A．5 B．4C．3 D．2二．填空题10．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z .其中正确的个数为________．11．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．12．对于集合A ＝{2,4,6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的取值是________．13．集合{x |x 2－2x ＋m ＝0}含有两个元素，则实数m 满足的条件为________．三．解答题14．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a ∈R .若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A .15．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}，若A 中元素至多只有一个，求实数a 的取值范围．16．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围．17.设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若A B ⊆，求a 的值。
子集
如果 A ⊆ B，但存在元素 x ∈B x ∉ A ，则 且 称集合A是集合B的真子集. 称集合A是集合B的真子集. 思考4:如果集合A是集合B的真子集， 思考4:如果集合A是集合B的真子集，我们怎 4:如果集合 样用符号表示？ 样用符号表示？ A ⊂ B或B ⊃ A 思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A 思考5:若集合A是集合B的子集，则集合A一 5:若集合 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B 定是集合B的真子集吗？若集合A是集合B的 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？ 真子集，则集合A一定是集合B的子集吗？
2
思考题:已知集合A={x ∈R | x + ax +1 = 0} , 思考题:已知集合A= B={x|x<0}, 0},若 B,求实数 的取值范围. B={x|x 0},若A ⊂ B,求实数a的取值范围.
A ⊆ B 或 B ⊇ A），读作：“A含于B” ），读作 读作： 含于B” （
（或“B包含A”） 包含A”） A”
思考4:我们经常用平面上封闭曲线的内部代 思考4:我们经常用平面上封闭曲线的内部代 4: 表集合，这种图称为venn venn图 那么，集合A 表集合，这种图称为venn图，那么，集合A 是集合B的子集用图形如何表示？ 是集合B的子集用图形如何表示？
思考3 思考3：对于实数 a, b 如果 a ≥ b且 b ≥ a ， , 的大小关系如何？ 则 a与 b的大小关系如何？
a =b
思考4 从子集的关系分析， 思考4：从子集的关系分析，在什么条件下集 与集合B相等？ 合A与集合B相等？
A ⊆ B且B ⊆ A
问题提出
的含义是什么？从子集的关系分析， 1. A ⊆ B的含义是什么？从子集的关系分析， A=B可怎样理解 可怎样理解？ A=B可怎样理解 2.若 则集合A 一定相等吗？ 2.若 A ⊆ B，则集合A与B一定相等吗？ 3.若 A ⊆ B，则可能有A=B，也可能 A ≠ B. 则可能有A=B A=B， 3.若 当 A ⊆ B，且 A ≠ B 时，我们如何进行数学解 释？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《集合间的基本关系》习题
一、选择题
1．下列说法：
①空集没有子集；
②任何集合至少有两个子集；
③空集是任何集合的真子集；
④若∅⊂≠A ，则A≠∅，
其中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值 是( )
A ．1
B ．－1
C ．0,1
D ．－1,0,1
3．设B ＝{1,2}，A ＝{x|x ⊆B}，则A 与B 的关系是( )
A ．A ⊆
B B ．B ⊆A
C ．A ∈B
D ．B ∈A
4．下列五个写法：①{0}∈{0,1}；②∅⊂≠{0}；③{0，－1,1}{－1,0,1}；④0∈∅；⑤ {(0,0)}＝{0}，其中写法错误的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
5.}0352|{2
=--=x x x M ，}1|{==mx x N ，若M N ≠⊂，则m 的取值集合为（ ） A.{2}-
B.13⎧⎫⎨⎬⎩⎭
C.12,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
D.12,0,3⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
6. 满足{1,2,3}{1,2,3,4,5,6}M ⊂⊂≠≠的集合的个数为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
二、填空题
7．满足{1}A{1,2,3}的集合A 的个数
是________．
8．已知集合A＝{x|x＝a＋1
6，a∈Z}，B＝{x|x＝
b
2－
1
3，b∈Z}，C＝{x|x＝
c
2＋
1
6，c∈Z}，
则A、B、C之间的关系是________．
9．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________. 三、解答题
10．下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A，B，C，D，分别是哪种图形的集合？
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
(3)若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
12设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0}，若B⊆A，求a的值
答案
一、选择题
1.B 解析：空集只有一个子集，就是它本身，空集是任何非空集合的真子集，故仅④是正确的．
2.D 解析：因为集合A 有且仅有2个子集，所以A 仅有一个元素，即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈)仅有一个根或两个相等的根．
(1)当a ＝0时,方程为2x ＝0，此时A ＝{0}，符合题意．
(2)当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a ＝0，即a 2＝1，
∴a ＝±1.
此时A ＝{－1}或A ＝{1}，符合题意．
∴a ＝0或a ＝±1.
3. D 解析:∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，，
∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，}，∴B ∈A.
4. B 解析：只有②③正确.
5. D 解析： 1{,3},2
M =- （1）0,N m =∅⇒=（2）1{}2,2N m =-⇒=-（3）1{3},3
N m =⇒= ∴ 的取值集合为12,0,.3⎧⎫-⎨⎬⎩
⎭ 6. B 解析：集合M 真包含集合}3,2,1{，M 中一定有元素1，2，3且除此之外至少还有一个元素. 又集合M 真包含于集合}6,5,4,3,2,1{，所以M 中最少有4个元素，最多有5个元素，集合M 的个数等于集合}6,5,4{非空真子集的个数，即6223=-.
二、填空题
7. 3 解析：A 中一定有元素1，所以A 可以为{1,2}，{1,3}，{1,2,3}． 8. A B ＝C 解析：用列举法寻找规律．
9. 1 解析：∵BA ，∴m 2＝2m －1，即(m －1)2＝0，∴ m ＝1.
当m ＝1时，A ＝{－1,3,1}，B ＝{3,1}，满足BA.
三、解答题
10.解:观察Venn 图，得B 、C 、D 、E 均是A 的子集，且有E
D ，D C.
梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，
故A ＝{四边形}；
梯形不是平行四边形，而菱形、正方形是平行四边形，
故B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}；
正方形是菱形，故D ＝{菱形}，E ＝{正方形}．
11.解：由A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝，则m ＋1>2m －1，即m<2，此时满足B ⊆A.
②若B≠，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，
2m －1≤5.解得2≤m≤3.
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1>m －6，m －6≤－2，
2m －1≥5.
解得⎩⎪⎨⎪⎧ m>－5，m≤4，m≥3.故3≤m≤4， ∴m 的取值范围是[3,4]．
(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧
m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈，即不存在m 值使得A ＝B. 12.解:(方法一) A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，
由B ⊆A ，得B ＝，或B ＝{2}，或B ＝{3}，或B ＝{2,3}.
因为Δ＝(2a ＋1)2－4a 2－4a ＝1>0，
所以B 必有两个元素．
则B ＝{2,3}，需2a ＋1＝5和a 2＋a ＝6同时成立，所以a ＝2. 综上所述：a ＝2.
(方法二) A ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，
B ＝{x|x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ＝0}＝{x|(x －a)(x －a －1)＝0}＝{a ，a ＋1}， 因为a≠a ＋1，所以当B ⊆A 时，只有a ＝2且a ＋1＝3.
所以a ＝2。