高考数学二轮复习-统计与统计案例知识点总结

统计与统计案例

1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.

2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中低档题．

1．随机抽样

(1)简单随机抽样特点为从总体中逐个抽取，适用范围：总体中的个体较少． (2)系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取，适用范围：总体中的个体数较多．

(3)分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取，适用范围：总体由差异明显的几部分组成． 2．常用的统计图表

(1)频率分布直方图 ①小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率； ②各小长方形的面积之和等于1；

③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形的高的和为1

组距.

(2)茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好． 3．用样本的数字特征估计总体的数字特征

(1)众数、中位数、平均数

(2)方差：s 2＝n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2

]．

标准差：

s ＝

1n

[ x 1－x 2＋ x 2－x 2＋…＋ x n －x 2

].

4．变量的相关性与最小二乘法

(1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数．

(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，通过求Q

＝ i ＝1

n

(y i －a －bx i )2

最小时，得到线性回归方程y ^

＝b ^

x ＋a ^

的方法叫做最小二乘法．

5．独立性检验

对于取值分别是{x 1，x 2}和{y 1，y 2}的分类变量X 和Y ，其样本频数列联表是：

则K 2

＝n a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d

(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量).

考点一 抽样方法

例1 (2012·山东)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机

编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为

( )

A ．7

B ．9

C ．10

D ．15

答案 C

解析 由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为

960

32

＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n 项，显然有729＝459＋(n －1)×30，解得n ＝10.所以做问卷B 的有10人．

在系统抽样的过程中，要注意分段间隔，需要抽取几个个体，样本就需要分

成几个组，则分段间隔即为N

n

(N 为样本容量)，首先确定在第一组中抽取的个体的号码数，再从后面的每组中按规则抽取每个个体．解决此类题目的关键是深刻理解各种抽样方法的特点和适用范围．但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，

都等于样本容量和总体容量的比值．

(1)(2013·江西)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为

( )

(2)某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是________．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．

答案(1)D (2)37 20

解析(1)从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.

(2)由分组可知，抽号的间隔为5，又因为第5组抽出的号码为22，即第n组抽取的号码为5n－3，所以第8组抽出的号码为37；40岁以下年龄段的职工数为200×0.5＝100，

则应抽取的人数为40

200

×100＝20人．

考点二用样本估计总体

例2 (1)(2013·四川)某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是

( )

(2)(2013·江苏)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：

答案(1)A (2)2

解析(1)由于频率分布直方图的组距为5，去掉C、D，又[0,5)，[5,10)两组各一人，

去掉B ，应选A.

(2)x 甲＝1

5

(87＋91＋90＋89＋93)＝90，

x 乙＝1

5

(89＋90＋91＋88＋92)＝90，

s 2甲＝15[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2

]＝4，

s 2乙＝15

[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2

]＝2.

(1)反映样本数据分布的主要方式有：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．

(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

在“2012魅力新安江”青少年才艺表演评比活动中，参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如图，据此回答以下问题：

(1)求参赛总人数和频率分布直方图中[80,90)之间的矩形的高，并完成直方图； (2)若要从分数在[80,100]之间任取两份进行分析，在抽取的结果中，求至少有一份分数在[90,100]之间的概率．

解 (1)由茎叶图知，分数在[50,60)之间的频数为2. 由频率分布直方图知，分数在[50,60)之间的频率为 0．008×10＝0.08.

所以参赛总人数为20.08

＝25(人)．

分数在[80,90)之间的人数为25－2－7－10－2＝4(人)， 分数在[80,90)之间的频率为

4

25

＝0.16， 得频率分布直方图中[80,90)间矩形的高为0.16

10＝0.016.

完成直方图，如图．

(2)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4；[90,100]之间的2个分数编号为5和6. 则在[80,100]之间任取两份的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，