线性代数-线代模拟题(III)

线性代数模拟试题(Ⅲ)

一 填空题

◆1. 设3阶方阵],,[321ααα=A ，],,[321ααβ=B ，m A =，n B =，

则______=+B A

提示： B A B A 442,2,2,2,2,2,3213213211+=+=+=

+ααβαααααβα

答案： )(4n m +

◆2. 设E A A A =-+23，且0≠-E A ，则______1

=-A

提示： 由条件得O E A E A A =+-+)()(2，O E A E A =-+)()(2

由E A -可逆，得O E A =+2

)(即O E A A =++22再变形

E E A A -=+)2(从而A 可逆并且有下面答案

答案： )2(1

E A A +-=-

◆3. 设T

)3,2,1(=α，T

)3

1,21,

1(=β，T A αβ=，则______=n A 提示： )()()()(1T

n T T T T n A αβαββαβαβα-==Λ

答案： ⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=--12/333/2123/12/113311n n A

◆4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111a a a A ，⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211b ，线性方程组b Ax =有解但不唯一，则____=a 提示： 0)1)(2(2

=-+-=a a A ，2-=a 或1=a ，但1=a 时无解，应排除。 答案： 2-=a

◆5. 设A 为n 阶方阵（2≥n ），0=A ，0*≠A ，则0=Ax 的基础解系中向量的个数

(即解空间的的维数)是______

提示： 参见教材P11０第27题结论：

⎪⎩

⎪

⎨⎧-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r

由此得知1)(-=n A r 答案： １

二 选择题

◆1. 设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（ ）也是一个

基础解系。

（Ａ）3213321,,,ααααααα++- （Ｂ）3221,αααα++； （Ｃ）133221,,αααααα--- （Ｄ）133221,,αααααα+++

提示： 基础解系含3个向量，故（Ａ）（Ｂ）排除，（Ｃ）（Ｄ）中向量虽都是解但要找线性 无关的，观察知（Ｃ）相关，因为组合系数全取１则等于零，剩下的只有（Ｄ）可

选。实际上教材Ｐ89例6已证明了此结论。在前面的模拟题中重点强调了遇到一个 向量组表示另一个向量组的问题要转化为矩阵的乘法关系，这样可处理更复杂而不 易观察的问题。比如对于（Ｃ）

令133322211,,ααβααβααβ-=-=-=，则

⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=110011101

],,[],,[321321αααβββ

],,[321ααα是列满秩，最右边的矩阵不可逆，故

3)110011101

(],,[321<⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=r r βββ，知321,,βββ线性相关

答案： （Ｄ）

◆2. 设O P ≠⨯3

3，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，且

O PQ =，则（ ）。

(Ａ)6=t 时，必有1)(=P r (Ｂ) 6=t 时，必有2)(=P r (Ｃ)6=/t 时，必有1)(=P r (Ｄ) 6=/t 时，必有2)(=P r

提示： 再次强调，遇到O B A p n n m =⨯⨯要想到n B r A r ≤+)()(

这里3)()(≤+Q r P r ，由假设1)(≥P r ，1)(≥Q r ，

如果6=t ，则1)(=Q r ，此时)(P r 可以是1或2，故（Ａ）（Ｂ）排除 当6=/t 时，此时2)(=Q r ，故只有1)(=P r

答案： （Ｃ）

◆3. 设A 与B 都是n 阶的方阵，则下面不对的是（ ）

(Ａ) BA AB = (Ｂ) AB 与BA 有相同的特征值 (Ｃ) AB 与BA 相似 (Ｄ) AB 与BA 的对角元素之和相等

提示： 由行列式的乘法定理知（Ａ）是对的；

由教材P138习题10知，AB 与BA 有相同的非零特征值，又它们是同阶方阵，故 零特征值也相同，所以（Ｂ）是对的，从而（Ｄ）是对的，因为特征值之和等于对 角元素之和（见教材P119），根据排除法只能选（Ｃ）。

注意：如果A ，B 中有一个可逆，则AB 与BA 一定相似，这是教材P138习题13.。

举个例子吧：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010AB ，⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=0000BA

显然AB 与BA 不相似，因为如果O BA P AB P ==-)(1

，则O AB =，矛盾。

答案： （Ｃ）

◆４. 与矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001011A 合同的矩阵是（ ） （A ）

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 （B ）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111

（C ）

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 （D ）⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111

提示： 看一看两个矩阵正的特征值和负的特征值的个数（两正一负） 答案： （Ｂ）

◆５. 设B A ,均为n 阶对称矩阵，则使B A ,合同的充要条件是（ ）

（A ）B A ,的秩相同 （B ）B A ,都合同于对角矩阵 （C ）B A ,有相同的特征值 （D ）B A ,的二次型有相同的标准形

提示： 两个对称矩阵合同等价地说法是它们的二次型等价（即可以用可逆变换互化）

是否合同由它们的秩和正惯性指数（也是正的特征值的个数）所决定。合同必秩相 等但反之不然，故（Ａ）错。

任何对称矩阵都与对角矩阵合同（也就是任何二次型 都可化为标准形），故（Ｂ）错。

有相同的特征值一定合同，但合同不一定有相同的特征值，故（Ｃ）错。 自己想想为什么（Ｄ）对。

答案： （Ｄ）

三 计算题

◆1. 计算行列式1

2

1

111

a x a a a x x

x

D n n n +---=

-ΛO

O （教材P27习题5（5））

提示 [方法一]按第1列展开得递推关系式n n n a xD D +=-1

[方法二]从最后一列开始每一列乘x 加到其前一列上

1

10

1

01

0a x t D n +⨯

⨯---=ΛO

O 其中n n n n a x a x a x t ++++=--11

1Λ