线性代数-线代模拟题(III)

线性代数模拟试题(Ⅲ)一 填空题◆1. 设3阶方阵],,[321ααα=A ，],,[321ααβ=B ，m A =，n B =，则______=+B A提示： B A B A 442,2,2,2,2,2,3213213211+=+=+=+ααβαααααβα答案： )(4n m +◆2. 设E A A A =-+23，且0≠-E A ，则______1=-A提示： 由条件得O E A E A A =+-+)()(2，O E A E A =-+)()(2由E A -可逆，得O E A =+2)(即O E A A =++22再变形E E A A -=+)2(从而A 可逆并且有下面答案答案： )2(1E A A +-=-◆3. 设T)3,2,1(=α，T)31,21,1(=β，T A αβ=，则______=n A 提示： )()()()(1Tn T T T T n A αβαββαβαβα-==Λ答案： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--12/333/2123/12/113311n n A◆4. 设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111a a a A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=211b ，线性方程组b Ax =有解但不唯一，则____=a 提示： 0)1)(2(2=-+-=a a A ，2-=a 或1=a ，但1=a 时无解，应排除。

答案： 2-=a◆5. 设A 为n 阶方阵（2≥n ），0=A ，0*≠A ，则0=Ax 的基础解系中向量的个数(即解空间的的维数)是______提示： 参见教材P11０第27题结论：⎪⎩⎪⎨⎧-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r由此得知1)(-=n A r 答案： １二 选择题◆1. 设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（ ）也是一个基础解系。

（Ａ）3213321,,,ααααααα++- （Ｂ）3221,αααα++； （Ｃ）133221,,αααααα--- （Ｄ）133221,,αααααα+++提示： 基础解系含3个向量，故（Ａ）（Ｂ）排除，（Ｃ）（Ｄ）中向量虽都是解但要找线性 无关的，观察知（Ｃ）相关，因为组合系数全取１则等于零，剩下的只有（Ｄ）可选。

实际上教材Ｐ89例6已证明了此结论。

在前面的模拟题中重点强调了遇到一个 向量组表示另一个向量组的问题要转化为矩阵的乘法关系，这样可处理更复杂而不 易观察的问题。

比如对于（Ｃ）令133322211,,ααβααβααβ-=-=-=，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=110011101],,[],,[321321αααβββ],,[321ααα是列满秩，最右边的矩阵不可逆，故3)110011101(],,[321<⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=r r βββ，知321,,βββ线性相关答案： （Ｄ）◆2. 设O P ≠⨯33，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=96342321t Q ，且O PQ =，则（ ）。

(Ａ)6=t 时，必有1)(=P r (Ｂ) 6=t 时，必有2)(=P r (Ｃ)6=/t 时，必有1)(=P r (Ｄ) 6=/t 时，必有2)(=P r提示： 再次强调，遇到O B A p n n m =⨯⨯要想到n B r A r ≤+)()(这里3)()(≤+Q r P r ，由假设1)(≥P r ，1)(≥Q r ，如果6=t ，则1)(=Q r ，此时)(P r 可以是1或2，故（Ａ）（Ｂ）排除 当6=/t 时，此时2)(=Q r ，故只有1)(=P r答案： （Ｃ）◆3. 设A 与B 都是n 阶的方阵，则下面不对的是（ ）(Ａ) BA AB = (Ｂ) AB 与BA 有相同的特征值 (Ｃ) AB 与BA 相似 (Ｄ) AB 与BA 的对角元素之和相等提示： 由行列式的乘法定理知（Ａ）是对的；由教材P138习题10知，AB 与BA 有相同的非零特征值，又它们是同阶方阵，故 零特征值也相同，所以（Ｂ）是对的，从而（Ｄ）是对的，因为特征值之和等于对 角元素之和（见教材P119），根据排除法只能选（Ｃ）。

注意：如果A ，B 中有一个可逆，则AB 与BA 一定相似，这是教材P138习题13.。

举个例子吧：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010AB ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0000BA显然AB 与BA 不相似，因为如果O BA P AB P ==-)(1，则O AB =，矛盾。

答案： （Ｃ）◆４. 与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100001011A 合同的矩阵是（ ） （A ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111 （B ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111（C ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111 （D ）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111提示： 看一看两个矩阵正的特征值和负的特征值的个数（两正一负） 答案： （Ｂ）◆５. 设B A ,均为n 阶对称矩阵，则使B A ,合同的充要条件是（ ）（A ）B A ,的秩相同 （B ）B A ,都合同于对角矩阵 （C ）B A ,有相同的特征值 （D ）B A ,的二次型有相同的标准形提示： 两个对称矩阵合同等价地说法是它们的二次型等价（即可以用可逆变换互化）是否合同由它们的秩和正惯性指数（也是正的特征值的个数）所决定。

合同必秩相 等但反之不然，故（Ａ）错。

任何对称矩阵都与对角矩阵合同（也就是任何二次型 都可化为标准形），故（Ｂ）错。

有相同的特征值一定合同，但合同不一定有相同的特征值，故（Ｃ）错。

自己想想为什么（Ｄ）对。

答案： （Ｄ）三 计算题◆1. 计算行列式121111a x a a a x xxD n n n +---=-ΛOO （教材P27习题5（5））提示 [方法一]按第1列展开得递推关系式n n n a xD D +=-1[方法二]从最后一列开始每一列乘x 加到其前一列上1101010a x t D n +⨯⨯---=ΛOO 其中n n n n a x a x a x t ++++=--111Λ再按第1列展开t t D n n n =---⨯-⨯=-+11111)1(On n n n a x a x a x ++++=--111Λ◆2. 解矩阵方程E XA AXA 311+=--，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=8030010100100001*A （教材P55习题22） 提示 由1*-=n AA (教材P55习题18)，得8*=A ，2=A ，方程两边右乘A 左乘*AA A X A AX A ***3+=，E A X A X A 3*+=，E X A E 6)2(*=-1*)2(6--=A E X⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=-60300101001000012*A E 用教材P56习题29（2）求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11111B CA B O A BC O A 求*2A E -逆，()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=--6/102/1001010010000121*AE ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1030606606X◆3. 问b a ,为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+++=+-+bx x x x x ax x x x x x x 261723032432143214321 有解，无解，有解时求通解。

提示 由于该方程组系数矩阵A 不是方阵，只能用初等变换的方法进行讨论。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=b a b b b a A r 108002210140121611172303211~ 当8-≠a 时，b 任意，43)~()(<==A r A r ，方程组有无穷多解；当8-=a 且1≠b 时，)~()(,3)~(,2)(A r A r A r A r ≠==，方程组无解； 当8-=a 且1=b 时，42)~()(<==A r A r ，方程组有无穷多解。

求通解你自己来完成。

◆4. 设向量组()T T T)9,2,2,1(,)6,6,1,1(,3,4,1,2321---=--==αααT T )9,4,4,2(,)7,2,1,1(54=-=αα求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

提示 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---−→−=00000310003011040101],,,,[54321rA ααααα 其余的你来完成◆5. 设二次型Ax x x x x f T=),,(321经正交变换Py x =化为标准形2322213y y y f ++=并已知A 的对应于特征值3=λ的一个特征向量为T)0,1,1(-，求原二次型),,(321x x x f 。

提示 此题与模拟题（II ）第3个计算题实质是一样的。

)1,3,1(1diag AP P AP P T ==-，A 的特征值为1,3321===λλλ且31=λ对应的特征向量为T)0,1,1(1-=α，要求原二次型相当于求对称矩阵A解01=x Tα即021=-x x 即得基础解系（这里直接求得正交的）：T T )1,0,0(,)0,1,1(32==αα32,αα就是属于132==λλ的特征向量，把三个特征向量单位T )0,1,1(211-=β，T )0,1,1(212=β，T )1,0,0(3=β把它们排成矩阵（注意顺序）即得正交矩阵：==],,[312βββP ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10021******* 则)1,3,1(1diag AP P AP P T ==-，由此得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==100021012)1,3,1(T P Pdiag A所以原二次型为21232221321222),,(x x x x x Ax x x x x f T -++==四 证明题（1，2，3任选一个，4必做）◆1. 设x 是n 维列向量，1=x x T，令Txx E H 2-=，证明H 是对称正交矩阵。

提示 直接用定义证明（这是教材P138习题3）◆2. 证明正交的向量组一定是线性无关的。

提示 见教材P114定理1◆3. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1α和2α，证明2211ααk k +（其中0,021≠≠k k ）不是A 的特征向量提示 仿教材P123例10◆4. 证明二次型Ax x f T=，在1=x 时最大（小）值为A 的最大（小）特征值。

提示 这是教材P140习题29。

设n λλ,1分别是A 的最小，最大的特征值，存在正交变换Qy x =使2222211n n T y y y Ax x f λλλ+++==Λ再由假设n i λλλ≤≤1得y y y y y Ax x f y y T n n n T T λλλλλ≤+++==≤22222111Λ又y y Qy Q y x x TT T T ==（正交变换保持向量长度不变），所以x x Ax x x x Tn TTλλ≤≤1，即n T T xx Axx λλ≤≤1。