线性代数-线代模拟题(III)

线性代数模拟试题(Ⅲ)

一填空题

◆1. 设3阶方阵],,[321ααα=A ，],,[321ααβ=B ，m A =，n B =，

则______=+B A

提示： B A B A 442,2,2,2,2,2,3213213211+=+=+=

+ααβαααααβα

答案： )(4n m +

◆2. 设E A A A =-+23，且0≠-E A ，则______1

=-A

提示：由条件得O E A E A A =+-+)()(2，O E A E A =-+)()(2

由E A -可逆，得O E A =+2

)(即O E A A =++22再变形

E E A A -=+)2(从而A 可逆并且有下面答案

答案： )2(1

E A A +-=-

◆3. 设T

)3,2,1(=α，T

1,21,

1(=β，T A αβ=，则______=n A 提示： )()()()(1T

n T T T T n A αβαββαβαβα-==Λ

答案： ??

?????=--12/333/2123/12/113311n n A

◆4. 设??????????=111111a a a A ，????

??????-=211b ，线性方程组b Ax =有解但不唯一，则____=a 提示： 0)1)(2(2

=-+-=a a A ，2-=a 或1=a ，但1=a 时无解，应排除。答案： 2-=a

◆5. 设A 为n 阶方阵（2≥n ），0=A ，0*≠A ，则0=Ax 的基础解系中向量的个数

(即解空间的的维数)是______

提示：参见教材P11０第27题结论：

??-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r

由此得知1)(-=n A r 答案：１

二选择题

◆1. 设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（）也是一个

基础解系。

（Ａ）3213321,,,ααααααα++- （Ｂ）3221,αααα++；（Ｃ）133221,,αααααα--- （Ｄ）133221,,αααααα+++

提示：基础解系含3个向量，故（Ａ）（Ｂ）排除，（Ｃ）（Ｄ）中向量虽都是解但要找线性无关的，观察知（Ｃ）相关，因为组合系数全取１则等于零，剩下的只有（Ｄ）可

选。实际上教材Ｐ89例6已证明了此结论。在前面的模拟题中重点强调了遇到一个向量组表示另一个向量组的问题要转化为矩阵的乘法关系，这样可处理更复杂而不易观察的问题。比如对于（Ｃ）

令133322211,,ααβααβααβ-=-=-=，则

??????---=110011101

],,[],,[321321αααβββ

],,[321ααα是列满秩，最右边的矩阵不可逆，故

3)110011101

(],,[321

??????---=r r βββ，知321,,βββ线性相关

答案：（Ｄ）

◆2. 设O P ≠?3

3，????

?????=96342321t Q ，且

O PQ =，则（）。

(Ａ)6=t 时，必有1)(=P r (Ｂ) 6=t 时，必有2)(=P r (Ｃ)6=/t 时，必有1)(=P r (Ｄ) 6=/t 时，必有2)(=P r

提示：再次强调，遇到O B A p n n m =??要想到n B r A r ≤+)()(

这里3)()(≤+Q r P r ，由假设1)(≥P r ，1)(≥Q r ，

如果6=t ，则1)(=Q r ，此时)(P r 可以是1或2，故（Ａ）（Ｂ）排除当6=/t 时，此时2)(=Q r ，故只有1)(=P r

答案：（Ｃ）

◆3. 设A 与B 都是n 阶的方阵，则下面不对的是（）

(Ａ) BA AB = (Ｂ) AB 与BA 有相同的特征值 (Ｃ) AB 与BA 相似 (Ｄ) AB 与BA 的对角元素之和相等

提示：由行列式的乘法定理知（Ａ）是对的；

由教材P138习题10知，AB 与BA 有相同的非零特征值，又它们是同阶方阵，故零特征值也相同，所以（Ｂ）是对的，从而（Ｄ）是对的，因为特征值之和等于对角元素之和（见教材P119），根据排除法只能选（Ｃ）。

注意：如果A ，B 中有一个可逆，则AB 与BA 一定相似，这是教材P138习题13.。

举个例子吧：??????=0001A ，??????=0010B ，??????=0010AB ，??

????=0000BA

显然AB 与BA 不相似，因为如果O BA P AB P ==-)(1

，则O AB =，矛盾。

答案：（Ｃ）

◆４. 与矩阵????

??????=100001011A 合同的矩阵是（）（A ）

??????????111 （B ）????

??????-111

（C ）

??????????--111 （D ）????

??????---111

提示：看一看两个矩阵正的特征值和负的特征值的个数（两正一负）答案：（Ｂ）

◆５. 设B A ,均为n 阶对称矩阵，则使B A ,合同的充要条件是（）

（A ）B A ,的秩相同（B ）B A ,都合同于对角矩阵（C ）B A ,有相同的特征值（D ）B A ,的二次型有相同的标准形

提示：两个对称矩阵合同等价地说法是它们的二次型等价（即可以用可逆变换互化）

是否合同由它们的秩和正惯性指数（也是正的特征值的个数）所决定。合同必秩相等但反之不然，故（Ａ）错。

任何对称矩阵都与对角矩阵合同（也就是任何二次型都可化为标准形），故（Ｂ）错。

有相同的特征值一定合同，但合同不一定有相同的特征值，故（Ｃ）错。自己想想为什么（Ｄ）对。

答案：（Ｄ）

三计算题

◆1. 计算行列式1

111

a x a a a x x

D n n n +---=

-ΛO

O （教材P27习题5（5））

提示 [方法一]按第1列展开得递推关系式n n n a xD D +=-1

[方法二]从最后一列开始每一列乘x 加到其前一列上

0a x t D n +?

?---=ΛO

O 其中n n n n a x a x a x t ++++=--11

1Λ

再按第1列展开

t t D n n n =---?

-?=-+1

111

)1(O

n n n n a x a x a x ++++=--111Λ

◆2. 解矩阵方程E XA AXA 311+=--，其中

???

???-=803

0010100100001*

A （教材P55习题22）提示由1

-=n A

A (教材P55习题18)，得8*=A ，2=A ，方程两边右乘A 左乘*A

A A X A AX A ***3+=，E A X A X A 3*+=，E X A E 6)2(*=-

1*)2(6--=A E X

???

???--=-6030

01010010

012*A E 用教材P56习题29（2）求逆公式

???-=??????-----1111

B CA B O A B

C O A 求*

2A E -逆，(

)

???

???-=--6/102/100101001000

0121

E ????

????

???-=1030606606X

◆3. 问b a ,为何值时，方程组

???

??=---=+++=+-+b

x x x x x ax x x x x x x 2617230324321

43214321 有解，无解，有解时求通解。

提示由于该方程组系数矩阵A 不是方阵，只能用初等变换的方法进行讨论。

??????-+--?→???????????----=b a b b b a A r 1080022101

40121611172303211~ 当8-≠a 时，b 任意，43)~

()(<==A r A r ，方程组有无穷多解；

当8-=a 且1≠b 时，)~

()(,3)~(,2)(A r A r A r A r ≠==，方程组无解；当8-=a 且1=b 时，42)~

()(<==A r A r ，方程组有无穷多解。求通解你自己来完成。

◆4. 设向量组()T T T

)9,2,2,1(,)6,6,1,1(,3,4,1,2321---=--==ααα

T T )9,4,4,2(,)7,2,1,1(54=-=αα

求此向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。

提示 ?

???

??????---?→?

=00000

310003011040

101],,,,[54321r

A ααααα 其余的你来完成

◆5. 设二次型Ax x x x x f T

=),,(321经正交变换Py x =化为标准形

322213y y y f ++=

并已知A 的对应于特征值3=λ的一个特征向量为T

)0,1,1(-，求原二次型

),,(321x x x f 。

提示此题与模拟题（II ）第3个计算题实质是一样的。

)1,3,1(1diag AP P AP P T ==-，A 的特征值为1,3321===λλλ且31=λ对应的

特征向量为T

)0,1,1(1-=α，要求原二次型相当于求对称矩阵A

解01=x T

α即021=-x x 即得基础解系（这里直接求得正交的）：

T T )1,0,0(,)0,1,1(32==αα

32,αα就是属于132==λλ的特征向量，把三个特征向量单位

T )0,1,1(2

11-=

β，T )0,1,1(2

12=

β，T )1,0,0(3=β

把它们排成矩阵（注意顺序）即得正交矩阵：

==],,[312βββP ???????

?????

-10

021******* 则)1,3,1(1

diag AP P AP P T ==-，由此得

?????--==100021012)1,3,1(T P Pdiag A

所以原二次型为212

32221321222),,(x x x x x Ax x x x x f T -++==

四证明题（1，2，3任选一个，4必做）

◆1. 设x 是n 维列向量，1=x x T

，令T

xx E H 2-=，证明H 是对称正交矩阵。提示直接用定义证明（这是教材P138习题3）

◆2. 证明正交的向量组一定是线性无关的。提示见教材P114定理1

◆3. 设1λ和2λ是矩阵A 的两个不同的特征值，对应的特征向量依次为1α和2α，证明

2211ααk k +（其中0,021≠≠k k ）不是A 的特征向量

提示仿教材P123例10

◆4. 证明二次型Ax x f T

=，在1=x 时最大（小）值为A 的最大（小）特征值。

提示这是教材P140习题29。

设n λλ,1分别是A 的最小，最大的特征值，存在正交变换Qy x =使

222211n n T y y y Ax x f λλλ+++==Λ

再由假设n i λλλ≤≤1得

y y y y y Ax x f y y T n n n T T λλλλλ≤+++==≤22222111Λ

又y y Qy Q y x x T

T T T ==（正交变换保持向量长度不变），所以

x x Ax x x x T

n T

λλ≤≤1，即n T T x

x Ax

x λλ≤≤1。

由题设1=x ，所以n T

Ax x λλ≤≤1

下面再证明最大（小）值可达到)(1λλn 。特别地取，n λ对应的单位特征向量

n α，此时n n T n n n T n

a A a f λαλα===，同理可证最小值为1λ。

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数模拟试题及答案1

一、判断题（本题共5小题，每小题３分, 共15分.下列叙述中正确的打√，错误的打×．） 1. 图解法与单纯形法，虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的. （） 2. 若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也一定具有多重最优解. （） 3. 如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化. （） 4. 对于极大化问题max Z = ij n i n j ij x c ∑∑==11 ,令 {}ij ij ij c c b c c -==,max 转化为极小化问题 ij n i n j ij x b W ∑∑===11m in ，则利用匈牙利法求解时，极大化问题的最优解就是极小化问题的最优解，但目标函数相差： n+c. （） 5. 影子价格是对偶最优解，其经济意义为约束资源的供应限制. （）二、填空题(本题共8小题, 每空3分, 共36分.把答案填在题中横线上.) 1、在线性规划问题的约束方程,0m n A X b X ?=≥中，对于选定的基B ，令非基变量X N =0，得到的解X= ；若，则称此基本解为基本可行解. 2、线性规划试题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加的方法来产生初始可行基。 3、用单纯形法求解线性规划问题的迭代步骤中，根据k λ= 确定k x 为进基变量；根据最小比值法则θ= ，确定r x 为出基变量。 4、原问题有可行解且无界时，其对偶问题，反之，当对偶问题无可行解时，原问题。 5、对于Max 型整数规划问题，若其松弛问题的最优单纯形表中有一行数据为：

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单（1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分）（）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；（）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ；（）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

线性代数模拟试卷一

2018—2019学年第二学期期末考试课程名称：线性代数(模拟试卷一) 闭卷 A 卷 120分钟一、选择填空题：（每题2 分，共14分） 1）行列式3 15 4 12231---中，元素4的代数余子式为。 2）设行列式11 121321222331 32 33 3a a a a a a a a a =，则313233 2131 2232 233311 12 13 222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。 3）设112311131111A --?? ??=--????--?? ，则A 的秩()r A = 。 4）设向量组 123,,ααα线性无关，则当t =_____ 时，向量组21α-α，32t α-α，13α+α 线性相关。 5）线性方程组121232 343414 1 x x a x x a x x a x x a -=-??-=??-=??-=?有解的充要条件是。 6）若A 的特征值为1,0,2-，则2 A 的特征值为。 7) 已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是对应齐次线性方程组0Ax =的基础解系，12,k k 是任意常数，则方程组Ax b =的通解为。二）计算下列行列式（10分） 1110110110110111 ；

三）（12分）设矩阵A 和B 满足关系式2AB A B =+，且已知301110014A ????=?????? ，求矩阵B 。四）已知向量组[ ]1132 0α=，[]270143α=，[]32101α=-， []45162α=，求该向量组的秩和一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示。（12分）五）设有线性方程组12312312336 32334x x x x x x x x ax b ++=?? ++=-??-++=? ，问a b 、为何值时，方程组①有唯一解？② 无解？③有无穷多解？在有无穷多解时求通解（用基础解系表示）。（12分）六）（14分） 1、求一正交变换X PY =，将二次型222 123121233322(,,)f x x x x x x x x =+-+化为标准形。（线性代数A 的同学选做） 2）已知矩阵310130002A -?? ??=-?????? 求一正交矩阵p ，使得T P AP 为对角矩阵。（线性代数 B 的同学选做）七）设向量组123120347110 ,,,011234b a αααβ???????? ? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ????????? 。 (1) 当,a b 取何值时，β不能由123,,ααα线性表示？ (2) 当,a b 取何值时，β可由123,,ααα线性表示？并写出此表示式。（12分）八）若矩阵0102040a A b ?? ? = ? ??? 有三个线性无关的特征向量，问a 与b 应满足什么条件？（10 分）九）已知A 为降秩矩阵，证明：矩阵A 至少有一个特征值为零。（4分）

线性代数模拟试题

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则 B A B A +=+. ……………………( × ) 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆. ……………………………( √ ) 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…( ) 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………( ) 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合. …………………………………………………………( ) 二、填空题：(每空2分，共20分) 1、,A B 为 3 阶方阵，如果 ||3,||2A B ==，那么 1|2|AB -= 12 . 2、行列式中元素ij a 的余子式和代数余子式,ij ij M A 的关系是 . 3、在5阶行列式中，项5541243213a a a a a 所带的正负号是 . 4、已知()?? ?? ? ??-==256, 102B A 则=AB 10 . 5、若? ?? ? ??--=1225A ，则=-1 A . 6、设矩阵???? ? ??--2100013011080101是4元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵,则b Ax =的通解为 . 7、()B A R + 《 ()()B R A R +. 8、若*A 是A 的伴随矩阵，则=*AA E . 9、设=A ??? ? ? ??-50021 011 1t ，则当t 5 时，A 的行向量组线性无关. 10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为 . 三、计算：(每小题8分，共16分)

线性代数-线代模拟题(III)

线性代数模拟试题(Ⅲ) 一填空题 ◆1. 设3阶方阵],,[321ααα=A ，],,[321ααβ=B ，m A =，n B =，则______=+B A 提示： B A B A 442,2,2,2,2,2,3213213211+=+=+= +ααβαααααβα 答案： )(4n m + ◆2. 设E A A A =-+23，且0≠-E A ，则______1 =-A 提示：由条件得O E A E A A =+-+)()(2，O E A E A =-+)()(2 由E A -可逆，得O E A =+2 )(即O E A A =++22再变形 E E A A -=+)2(从而A 可逆并且有下面答案答案： )2(1 E A A +-=- ◆3. 设T )3,2,1(=α，T )3 1,21, 1(=β，T A αβ=，则______=n A 提示： )()()()(1T n T T T T n A αβαββαβαβα-==Λ 答案： ?? ?? ? ?????=--12/333/2123/12/113311n n A ◆4. 设??????????=111111a a a A ，???? ??????-=211b ，线性方程组b Ax =有解但不唯一，则____=a 提示： 0)1)(2(2 =-+-=a a A ，2-=a 或1=a ，但1=a 时无解，应排除。答案： 2-=a ◆5. 设A 为n 阶方阵（2≥n ），0=A ，0*≠A ，则0=Ax 的基础解系中向量的个数 (即解空间的的维数)是______

提示：参见教材P11０第27题结论： ?? ? ??-≤-===2)(01)(1)()(*n A r n A r n A r n A r 由此得知1)(-=n A r 答案：１二选择题 ◆1. 设321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则（）也是一个基础解系。（Ａ）3213321,,,ααααααα++- （Ｂ）3221,αααα++；（Ｃ）133221,,αααααα--- （Ｄ）133221,,αααααα+++ 提示：基础解系含3个向量，故（Ａ）（Ｂ）排除，（Ｃ）（Ｄ）中向量虽都是解但要找线性无关的，观察知（Ｃ）相关，因为组合系数全取１则等于零，剩下的只有（Ｄ）可选。实际上教材Ｐ89例6已证明了此结论。在前面的模拟题中重点强调了遇到一个向量组表示另一个向量组的问题要转化为矩阵的乘法关系，这样可处理更复杂而不易观察的问题。比如对于（Ｃ）令133322211,,ααβααβααβ-=-=-=，则 ?? ?? ??????---=110011101 ],,[],,[321321αααβββ ],,[321ααα是列满秩，最右边的矩阵不可逆，故 3)110011101 (],,[321

线性代数-线代模拟题(II)

线性代数模拟试题(II) 一填空题 ◆1．设??? ? ??????=0011100y x A 有3个线性无关的特征向量，则y x ,应满足的关系为 0 =+y x 【提示】按题意 A 是可对角化的，求其特征值，重根的重数应满足什么关系？参照教材P125例11 ◆2．设 A 是3阶实对称矩阵且E A A A 223=--，则A 的二次型经正交变换化为标准形为 222 232221y y y f ++= 【提示】设A 的特征值为λ，它必满足：0)1)(2(2223=++-=---λλλλλλ，由于实对称矩阵特征值全是实数，故A 的特征值全是2。 ◆3．设3阶方阵 A 的特征值为3,2,1-，则=+-E A A 23* 637 【提示】参考教材P122例9 ◆4．设矩阵 A 的各行元素之和都等于2，则A 必有特征值为 2 ，对应的特征向量为 ]1,,1,1[ T Λ 【提示】??? ? ??????=??????????=??????????1122211M M M A ◆5．设非齐次方程组b x A m =?4系数矩阵的秩为3，且它的三个解向量321,,ηηη满足 [][] T T 4,3,2,1,5,4,3,2321=η+η=η，则b Ax =的通解为 ,]5,4,3,2[]6,5,4,3[ R k k T T ∈+ 【提示】这是教材P111的第29题

二选择题 ◆1．设B A ,都是n 阶方阵，如果O AB =，必有（Ｃ）（Ａ）O A =或O B =；（Ｂ）O BA =；（Ｃ） A 与 B 有一个不可逆；（Ｄ）A 与B 有一个可逆【提示】取行列式0=B A ◆2．方阵 A 与 B 相似的充分条件是（Ｃ） (Ａ) B A =；（Ｂ）)()(B r A r =； (Ｃ) A 与 B 有相同的特征值且这些特征值互异；（Ｄ）A 与B 有相同的特征值【提示】注意题中是充分条件，而（Ａ）（Ｂ）（Ｄ）都是必要条件如果（Ｃ）成立，则Ａ与Ｂ都可对角化到同一个对角矩阵， ),,diag(1212111n AP P AP P λλΛ==-- ◆3．设?????? ????? ?=????????? ???=0004,111111111111 1111 B A ，则A 与B （Ｃ） (Ａ) 不合同但相似 (Ｂ) 合同但不相似 (Ｃ) 合同且相似 (Ｄ) 既不合同也不相似【提示】Ａ是对称矩阵，易求得Ａ的特征值为４和０（三重）［参见教材P139第21题］ A 可正交对角化（既合同又相似），对角矩阵对角元就是其特征值。 ◆４．设21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个不同的解，21,αα是0=Ax 的基础解系，则b Ax =的通解是(Ｃ) （Ａ）2)(2 121211ββααα-+ ++k k ；（Ｂ）2)(2 121211ββββα-+ ++k k （Ｃ）2 )(2 121211ββααα++ ++k k ；（Ｄ）2 )(2 121211ββββα++ -+k k

线代模拟题

模拟试卷线性代数模拟试卷（一）班级________ 姓名_______ 学号_______ 成绩 ________ 1、填空题（每小题3分，共6小题，总分18分） 1、四阶行列式展开式中，含有因子且带正号的项为___________ 2、设A为n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B，则AB-1=_________ 3、已知向量组线性相关，则 t =_________ 4、设三阶方阵，其中都是三维列向量且，则_________ 5、A为n阶正交矩阵，为A的列向量组，当i ≠j时，=_________ 6、三阶方阵A的特征值为1，-2，-3，则=_______; E+A-1的特征值为______ 2、单项选择题（每小题2分，共6小题，总分12分） 1、设齐次线性方程组AX=0有非零解，其中A=，A ij为a ij(i,j=1,2,…n) 的代数余子式，则（） (A) (B) (C) (D) 2、若A-1+ E, E+A, A均为可逆矩阵，E为单位矩阵，则(A-1+ E)-1=( ) (A) A+E (B) (A+E)-1 (C) A-1+ E (D) A(A+E)-1 3、设A, B为n阶方阵，A*,B*分别为A, B对应的伴随矩阵，分块矩阵，则C的伴随矩阵C* =( ) (A) (B) (C) (D) 4、若向量组的秩为r，则（） (A) 必有 r

(D) 向量组中任意 r+1个向量必线性相关 5、已知是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解，且r(A)=3, 已知，C为任意常数，则AX=B通解X=( ) (A) (B) (C) (D) 6、设A为三阶方阵，有特征值1=1，2= -1，3=2，其对应的特征向量分别为，记P=()，则P-1AP=( ) (A) (B) (C) (D) 三、计算下列行列式（12分） 1、D= 2、D n= 四、已知A、B同为3阶方阵，且满足AB=4A+2B (12分) （1）证明：矩阵A-2E可逆（2）若B=，求A

线性代数模拟题2

试题（二）一．本题共15小题，每小题2分，满分30分。 1-5题为判断题，正确打√，错误打×： 1．对任意的实数a 、b 、c ，向量组),,(),,,(,),,(321c a b b c a c b a ===ααα， ),,(4a b c =α都线性相关。（） 2．若二次型x x x A f T =)(正定，则存在正交变换Py x =将x x x A f T =)(化为 22221n y y y +++ 。（） 3．若A 为正交矩阵，则矩阵)2(E A -可逆（）。 4．若矩阵A 经过初等变换化为B ，则方程组0=Ax 与0=Bx 同解。（） 5．若B A ,是两个n 阶非零矩阵，并且O AB =，则行列式B A ,都为零。（） 6-10题为填空题： 6．若可逆矩阵???? ??=d c b a A ，???? ??++=d d c b b a AB ，则矩阵=B 。 7．若矩阵()33?=ij a A ，并且???? ? ??-=????? ??021111A ，则矩阵A 的所有元素之和=∑=31.j i ij a 。 8．已知二阶矩阵A 的特征值1,121-==λλ，则2008A = 。 9．二次型2122 21212),(x x x x x x f -+=通过可逆线性变换???? ?????? ??=???? ??21211011y y x x 化为。 10．已知方程组?????=++=++=++04033032321 321321ax x x x x x x x x 有非零解，那么常数=a 。 11-15题为单项选择题： 11．下列矩阵中秩等于2的是（）。

线性代数模拟试题及答案

《线性代数B 》模拟试卷二参考答案时间：120分钟一、填空题（每空3分，共30分） 1．设(1,2,1)α=-，(1,1,1)β=，则T αβ= 0 ；T αβ=1 11222111?? ? --- ? ???；解：1(1,2,1)(1,1,1)(1,2,1)111(2)11101T T αβ?? ?=-=-=?+-?+?= ? ???， 1111(1,2,1)(1,1,1)2(1,1,1)2221111T T αβ???? ? ? =-=-=--- ? ? ? ????? 。 2．设cos sin sin cos A θ θθθ-?? = ??? ，则A 的行列式det()A = 1 ;方阵A 的秩为 2 ; 解：22cos sin det()cos (sin )1sin cos A θθ θθθ θ -= =--=，所以A 可逆，故()2R A = 3．设向量组A ：1(1,4,1,0)α=，2(2,1,1,3)α=--，3(1,0,3,1)α=--，4(0,2,6,3)α=-，则A 的秩为： 3；A 的一个最大线性无关向量组为：123,,ααα；解：因为122131341 41 014102 113073321031044102630263r r A r r αααα?????? ? ? ? ------ ? ? ? == ????→ ? ? ?------ ? ? ? ?--?????? 433 2324314 101 14 10332 01 33770 1 (7)(7)77165140 00 01657725000000 8 2r r r r r r r r ?? ??? + ? ? ? ??-÷- ??????→?????→ ?+ ?- ? +- ? ? ? ?? ?- ?? ? 所以A 的秩为3，123,,ααα是一个最大无关组。 4．设四元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵A 的秩为3，已知1η，2η，3η是

线性代数模拟试卷一及答案

线性代数模拟试卷一及答案线性代数模拟试卷一及答案一、填空题 1.行列式D 中第2行元素的代数余子式之和A21+11-11111-11111-10120??3?4??A22+ A23+A24=，其中D=111。 2.设3??2?阶矩阵A??0?0?,则A?1等于。 3.设向量组?1,?2,?3线性相关，而向量组?2,?3,?4线性无关，则向量组?1,?2,?3的最大线性无关组是。阶实对称矩阵A的特征值为2、5、5，A属于特征值2的特征向量是?1?T，则A属于特征值5的两个线性无关的特征向量可以取为__。2x4?3???4??4???2?_；?3?5.已知3则x?5?阶矩阵A??4?6?和3?1?阶矩阵对角矩阵B??0?0?0200??0?相似,3???___ _____。二、单项选择题 1.设向量组?1

A.?C.??0???,1,1?T,?2??1,?,1?T,?3??1,1,??线性相关，则必有T 或??1 B.? D.???1 或??2 ?1 或??2 ?1 或???2 2.设?是n维列向量，?为实数，则向量λα的长度??= A.?? ( ) nB.??? C.?n?? D.??? 第1页 3.若向量组?1,?2,?,?r可另一向量组?1,?2,?,?s线性表示，则( ) ?s r(?1,?2,?,?s) ?s r(?1,?2,?,?s)(?1,?2,?,?r）?(?1,?2,?,?r）? 4．设n阶矩阵A与B相似，则必有,B 同时可逆或同时不可逆,B均与同一个对角矩阵相似 5. 设A为n阶矩阵，满足A2A. C. AA -A与λ,B有相同的特征向量 D.矩阵λE，且A1B. D. AAE相等=A，则为可逆矩阵为不可逆矩阵为零矩阵为对称矩阵三、计算题1?1302011043426371.计算行列式D?32?1的值骣1??2.设A=??1???0桫0-11骣1÷3?÷?÷?10÷B=，?÷?÷?÷?2÷0桫1÷÷÷0÷，X÷÷÷4÷为未知矩阵，且满

山东大学专升本网络教育线性代数模拟题与答案

山东大学网络教育线性代数模拟题(A) 一．单选题. 1.下列（ A ）是4级偶排列．（A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341． 2. 如果 133 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，33 32 3131 23222121 131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---=，那么=1D （ D ）．（A ） 8； (B) 12-； (C) 24； (D ) 24-． 3. 设A 与B 均为n n ?矩阵，满足O AB =，则必有（ C ）．（A ）O A =或O B =；（B ）O B A =+；（C ）0=A 或0=B ；（D ）0=+B A ． 4. 设A 为n 阶方阵)3(≥n ，而* A 是A 的伴随矩阵，又k 为常数，且1,0±≠k ，则必有() * kA 等于（ B ）．（A ）*kA ；（B ）*1A k n -；（C ）*A k n ；（D ）*1A k -． 5.向量组s ααα,....,,21线性相关的充要条件是（ C ）（A ）s ααα,....,,21中有一零向量 (B) s ααα,....,,21中任意两个向量的分量成比例 (C ) s ααα,....,,21中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) s ααα,....,,21中任意一个向量都是其余向量的线性组合

6. 已知21,ββ是非齐次方程组b Ax =的两个不同解，21,αα是0=Ax 的基础解系，21,k k 为任意常数，则b Ax =的通解为（ B ） (A) 2 )(2 121211ββααα-+ ++k k ; (B ) 2 )(2 121211ββααα++ -+k k (C) 2 )(2 121211ββββα-+ ++k k ; (D) 2 )(2 121211ββββα++ ++k k 7. λ＝2是A 的特征值，则（A 2/3）－1的一个特征值是（B ） (a)4/3 (b )3/4 (c)1/2 (d)1/4 8. 若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式|B -1-I|=(B) (a)0 (b )24 (c)60 (d)120 9. 若A 是（ A ），则A 必有A A ='．（A ）对角矩阵； (B) 三角矩阵； (C) 可逆矩阵； (D) 正交矩阵． 10. 若A 为可逆矩阵，下列（ A ）恒正确．（A ）()A A '=' 22； (B) () 11 22--=A A ； (C) [ ][] 1 1 1)() (---''='A A ； (D) [] [] ' =''---111 )()(A A ．二．计算题或证明题 1. 设矩阵 ??? ? ? ??----=324122 3k k A (1)当k 为何值时，存在可逆矩阵P ，使得P －1AP 为对角矩阵？ (2)求出P 及相应的对角矩阵。参考答案：

线性代数模拟题1答案

模拟题六参考答案一、填空题（每题3分，共计15分）1.????? ??600530421181 2.23．-44．15．64 二、选择题（每题3分，共计15分） 1、A ； 2、D ； 3、D ； 4、C ； 5、C 。三、（本题8分）解：6 11113211 43113 151=-四、（本题8分） 4=A ，2246)6 1(111*1==-=-----A A A A A 五.（本题8分）解：()T A αβ=????? ??=????? ??=111321333222111，???? ? ??=????? ??=111,321βα，6=αβT 。???? ? ??====3332221116662A A T T T αβαβαβ???? ? ??====3332221116636332224A A A A A ????? ??==333222111669999100 A A

解：????? ??--→????? ??----=310020101001302111104321A 则方程组0=Ax 的一个基础解系为() T 1,3,2,1-=α七、（本题12分）解：对增广矩阵作初等行变换[]?????? ? ??----=b a b A 121051315133163113211,??????? ??+--→53000422001121013 211b a ，当2≠a 时4),()(==b A R A R ，唯一解；当2=a 时[]??????? ??--=10000210001121013 211,b b A 若1≠b ，4),(3)(=<=b A R A R ，方程组无解；若1=b ，3),()(==b A R A R ，方程组无穷多解。易求通解为.)2,0,3,8()0,1,2,0(T T k -+-（注意这里解法不唯一）。八、（本题12分）解：???? ? ??+--→????? ??--=70003/51103/1610121191122121),,,(321a a βααα所以，当7-=a 时向量β可由向量组321ααα，，线性表示，且表达式不唯一.表达式为R k k k k ∈+-++=,)3/5()3/16(321αααβ。

中国矿业大学线代模拟题(I)

线性代数试题(I) 一填空题 ◆1．设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A 231 ；【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到行列式的展开定理，E A A A AA ==* *，从中推你要的结论。这里1 1 *2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231 3 1 1 -= -=-=---* - 注意：为什么是3)1(- ◆2．设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。参阅教材P89例6 ??? ? ? ??? ??=11 1 010 101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 如321,,ααα线性无关，则],,[321ααα=A 是列满秩矩阵，它左乘一个矩阵不改变这个矩阵的秩（可以用这个结论），这里)()()(K r AK r B r ==，这样B 的秩就等于 K 的秩，如果3=（所含向量个数），B 的列向量321,,βββ就是无关的，否则 K 是相关的。切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！你来做下面的三个题：（1）已知向量组m ααα,,,21 （2≥m ）线性无关。设 111322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m 试讨论向量组m βββ,,,21 的线性相关性。（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关）（2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组 312312,,αααααα---m k

线性代数-模拟题

《线性代数》模拟题一、单选题 1.向量组线性相关其秩为,则() A. B. C. D. [答案]:D 2.已知向量,则(). A. B. C. D. [答案]:A 3.设是维列向量,则线性无关额充分必要条件是() A.向量组中任意两个向量线性无关 B.存在一组不全为0的数使得 C.向量组中存在一个向量不能由于其他向量线性表示 D.向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 [答案]:D 4.已知矩阵满足,其中,,则() A. B. C. D. [答案]:A 5.设,其秩()

A.0 B.1 C.2 D.3 [答案]:D 6.A为矩阵,则非其次线性方程有唯一解的充要条件是() A.R(A,b)

10.设矩阵A,B均为不可逆方阵,则以下结论正确的是() A.可逆,且其逆为 B.不可逆 C.可逆,且其逆为 D.可逆,且其逆为 [答案]:D 11.设A是n阶可逆矩阵,则() A. B. C. D. [答案]:A 12.设A为n阶方阵,且,则() A. B. C. D. [答案]:A 13.设三阶方阵A的行列式,则() A. B. C. D. [答案]:B 14.设矩阵A,X为同阶方阵,且A可逆,若,则矩阵X=() A.

线代模拟题(I

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１线性代数模拟试题(I) 一填空题 ◆1．设A 为3阶方阵且2=A ，则=-*-A A 231 ；【分析】只要与*A 有关的题，首先要想到行列式的展开定理，E A A A AA ==**，从中推你要的结论。这里11*2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意：为什么是3 )1(- ◆2．设133322211,,α+α=βα+α=βα+α=β，如321,,ααα线性相关，则321,,βββ线性______(相关) 如321,,ααα线性无关，则321,,βββ线性______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。参阅教材P89例6 ???? ??????=111010101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 如321,,ααα线性无关，则],,[321ααα=A 是列满秩矩阵，它左乘一个矩阵不改变这个矩阵的秩（可以用这个结论），这里)()()(K r AK r B r ==，这样B 的秩就等于 K 的秩，如果3=（所含向量个数），B 的列向量321,,βββ就是无关的，否则 K 是相关的。切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定是方阵！！你来做下面的三个题：（1）已知向量组m ααα,,,21Λ（2≥m ）线性无关。设 1 11322211,,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=--m m m m m Λ 试讨论向量组m βββ,,,21Λ的线性相关性。（答案：m 为奇数时无关，偶数时相关）（2）已知321,,ααα线性无关，试问常数k m ,满足什么条件时，向量组

线性代数模拟试题及答案

模拟试题C 一．填空或选择填空（每小题4分） 1．设???? ??????--=11314221a A ，B 为三阶非零矩阵，且0=AB ,则=a 2．已知二次型3231212 32221244552x tx x x x x x x x f ++----=经正交变换化为标准形23222110y y y f ---=，则=t 3．设B A ,均为n 阶可逆矩阵，则下列结论成立的是（a ）BA AB =; （b ）存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1；（c ）存在可逆矩阵Q P 和,使B PAQ = （d ）存在可逆矩阵C ，使B AC C T = 4．设向量321ααα，，线性无关，则下列向量组中线性无关的是（a ）;,,133221αααααα-++ （b ）;,,3213221ααααααα++++ （c ）;2,,3213221ααααααα++++ （d ）.,,133221αααααα--- 5．设m 个方程的n 次齐次线性方程组为b Ax =，且r rankA =则下列结论中正确的是（a ）b Ax n r ==时，有唯一解；（b ）b Ax n m ==时，有唯一解；（c ）时，n r

????????????????----=111 1111111 11ΛΛM M M M ΛΛn n n n A 求det 1-A 三．（10分）已知???? ??????=103020101A 满足222A B E BA -=-,求矩阵B 四．（10分）设四维向量空间V 的两个基（Ⅰ）：4321,,,αααα和（Ⅱ）：4 321,,,ββββ满足 ???=+=+43232122βααβαα ???=+=+4 3232122αββαββ 1．求由基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的过渡矩阵C ： 2．求向量4321432ααααα+++=在基（Ⅱ）下的坐标。五．（13分）设四元齐次线性方程组（Ⅰ）为???=-=+0 04221x x x x ，又知一齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+。 1．求线性方程组（Ⅰ）的基础解系及通解； 2．问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。六．（13分）已知矩阵???? ??????---=2135212b a A 的一个特征向量为T x )1,1,1(-=。 1．求b a ,之值及特征向量x 所对应的特征值； 2．A 能否与对角矩阵相似？说明理由。七．（15分）已知二次型3231212 3222132166255),,(x x x x x x tx x x x x x f -+-++=的秩为2。 1．求参数t ； 2．用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换； 3．指出方程1),,(321=x x x f 表示何种二次曲面。

线性代数模拟试题一

线性代数模拟试题一一、填空题（每小题2分，共50分） 1．=-===ij n ij n a D a a D 则若, (1) ； 2．()的系数是中在函数32 1 1 12x x x x x x x f ---= (2) 3．对于方程?? ? ??=-+-=-++-=+-. ,,013222321321321x x x x x x x x x ，其系数矩阵A = (3) ； 4．排列()()32121Λ--n n n 的逆序数等于 (4) ； 5．n 阶行列式共有（5）项，正负号由（6）决定. 6．对于行列式|A |，当i=j ，时， =∑=n k kj ki A a 1 （7） . 7．用克拉默法则解方程组的两个条件：系数行列式不等于0和（8） . 8．若n 元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为r ，则当（9）时，方程组有无穷多解． 9．矩阵与行列式有本质的区别，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是（10），它的行数和列数可以不同. 10．只有当（11）时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律. 11．若A 方阵可逆，则|A -1|= （12） . 12．对于分块对角阵???? ?? ? ? ?=s A A A A O 2 1 ，|A |= （13） . 13．矩阵等价具有的三个性质为：反身性、（14）、传递性 .

14. 矩阵的初等行变换包括（15）、k r i ?、（16）三种. 15．把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，非0行的行数就是矩阵的秩，可逆矩阵的秩等于（17），故可逆矩阵又称为满秩矩阵 . 16．奇次线性方程组Ax =0，当（18）只有0解，非奇次线性方程组Ax=b ，当（19）有唯一解，当（20）没解. 17．用m 阶初等矩阵E m (i (k ))左乘矩阵A =(a ij )m x n ，相当于对A 实施（21）变换. 18．{ } b x a x a x a x x x x n n n T =+++==πΛΛ221121),,,(称为叫做n 维向量空间中（22） . 19．向量组只包含一个向量a 时，当（23）时该向量组线性相关. 20．矩阵的秩与向量组的秩的关系为：（24） . 21．要证明某一向量组是方程组AX =0的基础解系，需要证明三个结论:（a ）该组向量都是方程组的解、（b ）（25）、（c ）方程组的任何一个解都可以由该向量组线性表示. 二、计算题（每小题10分，共30分） 1．计算行列式的值.4 321321 3213211 x a a a a a a x a a a a a x a a a a a x D n n n n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ=+ 2．求下述矩阵的逆矩阵??? ? ? ??----=111211 120A . 3．研究下列向量组的线性相关性.201,520,321321??? ? ? ??-=????? ??-=????? ??-=ααα

线性代数模拟试题2及答案

线性代数模拟试题二 1、填空题（本题满分30分,每空3分） 1．设是两个二维向量，，，若，则 2．已知，，则 3．设向量组线性无关，线性相关，则（能或不能）由线性表示，（能或不能）由线性表示. 4．若三阶对称方阵有特征值，则，行列式 5．设，，其中是非齐次线性方程组的解，为矩阵，，则线性方程组的通解为 6．已知四阶矩阵的秩，则奇次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量. 7．已知实二次型正定，则常数的取值范围是 8．设为正交矩阵，则 . 二、（本题满分10分）计算行列式. 三、（本题满分10分）设3阶方阵满足方程，试求矩阵以及行列式，其中. 四、（本题满分12分）已知，，，，问（1）为何值时，向量组线性相关；（2）在向量组线性相关时求出此时它的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示. 五、（本题满分12分）设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解. 六、（本题满分12分）已知实二次型 =，（1）写出二次型对应的矩阵；（2）用正交变换把二次型化为标准形并写出所用的正交变换矩阵. 七、（本题满分6分）设为矩阵，证明：存在非零矩阵，使的充分必要条件为秩. 八、（本题满分8分）设为三阶实对称阵，且满足，已知是对应特征值的特征向量，求矩阵. 线性代数模拟题试卷二答案 1、填空题（本题满分30分,每空3分） 1．设是两个二维向量，，，若，则；

2．已知，，则； 3．设向量组线性无关，线性相关，则不能（能或不能）由线性表示，能（能或不能）由线性表示. 4．若三阶对称方阵有特征值，则，行列式； 5．设，，其中是非齐次线性方程组的解，为矩阵，，则线性方程组的通解为； 6．已知四阶矩阵的秩，则奇次线性方程组的基础解系含个线性无关的解向量； 7．已知实二次型正定，则常数的取值范围是； 8．设为正交矩阵，则. 二、（本题满分10分）计算行列式. 解：原式三、（本题满分10分）设3阶方阵满足方程，试求矩阵以及行列式，其中. 解：由，得四、（本题满分12分）已知，，，，问（1）为何值时，向量组线性相关；（2）在向量组线性相关时求出此时它的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示. 解:（1）若向量线性相关, 即令行列式, 而，于是当或时向量组线性相关. （2）当时,显然是的极大无关组, 且当时, 是的极大无关组，且五、（本题满分12分）设线性方程组为，问：、取何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解. 解：当－2时，方程组有唯一解当－2，－1时，方程组无解当－2，－2时，＝2 < 3，方程组有无穷多组解, 其通解为，为任意常数。