最新3[1]1微分中值定理及其应用汇总
3_1 微分中值定理与导数应用
罗尔（Rolle）定理 罗尔（ ） 设函数 f ( x ) 满足条件： 满足条件： (1) f ( x )在闭区间[a , b] 上连续; 上连续; (2) 内可导; f ( x ) 在开区间 ( a , b ) 内可导; (3) 在区间端点的函数值相等，即 f (a ) = f (b ), 在区间端点的函数值相等， 那末在 ( a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使得函数 在该点的导数等于零， f ( x ) 在该点的导数等于零，即
利用泰勒公式证明不等式
上二阶可导， 例1 设函数 y = f ( x ) 在区间 [0,1]0, max f ( x ) = 2, 证明在 证明在(0,1)至少存在一 至少存在一
0 ≤ x ≤1
点 ξ , 使得 f ′′(ξ ) ≤ −16. 证
0 ≤ x ≤1
矛盾, 但 f ′( x ) = 5( x 4 − 1) < 0, ( x ∈ (0,1)) 矛盾,∴ 为唯一实根 .
拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理 (Lagrange)
如果函数f 满足下列条件 如果函数 (x)满足下列条件 (1) 在闭区间 b]上连续； 在闭区间[a, 上连续 上连续； (2)在开区间(a, b)内可导； )在开区间( )内可导； 那末在(a , b ) 内至少有一点ξ ( a < ξ < b ), 使等式 f ( b ) − f (a ) = f ′(ξ )(b − a ) 成立. 成立.
即
f ′(ξ ) = 2ξ [ f (1) − f ( 0)].
泰勒(Taylor)中值定理 泰勒(Taylor)中值定理 (Taylor)
微分中值定理及其应用
第2章 微分和微分法·导数的简单应用90 §2-4 微分中值定理及其应用读者知道，常数(作为区间上的常值函数)的导数恒等于零，那么相反的结论也是正确的吗？又当函数)(x f 在区间),(b a 内单调增大时，由于0(0)()()0(0)x f x x f x x ≥∆>⎧+∆-⎨≤∆<⎩， 从而0)()(≥∆-∆+x x f x x f , 所以它的导数(若存在的话)()()()lim0∆→+∆-'=≥∆x f x x f x f x x那么反过来，若)(0)(b x a x f <<≥'时，函数)(x f 在区间),(b a 内一定是单调增大的吗？要回答这样的问题，就要用到微分学中最重要的一个定理，即微分中值定理(或称拉格朗日中值定理).1.微分中值定理 为了证明微分中值定理，通常都是先证明罗尔定理作为引理. 罗尔定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b f a f ，则至少有一点),(b a c ∈，使()0f c '=(图2-14)（*）.证 因为函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，所以它在区间],[b a 上有最大值M 和最小值m .若=m M ，则()0()≡≤≤f x a x b ，结论显然成立；若<m M ，则)(x f 在区间),(b a 内某点c 取到最大值或最小值（即不可能同时在两个端点上取到最大值和最小值）.根据定理2-1，有()0f c '=.【注】下面的结论有时也称为罗尔定理： 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续且()()f a f b =.若()f x 在开区间(,)a b 内有导数，则至少有一点(,)c a b ∈，使()0f c '=.(图2-15)只要作辅助函数()()()F x f x f a =-，则()()0F a F b ==.根据已证的罗尔定理，就会有点),(b a c ∈，使()()0F c f c ''==.微分中值定理 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数，则至少有一点),(b a c ∈使)()()()(b c a ab a f b fc f <<--=' （2-6）（*）罗尔一生从未接受微积分.他是一个代数学家.他可能是在研究代数方程的根时得出类似的结论.后来人们习惯上称它为罗尔定理（他的结论不可能是这种形式）.)图2-14)§2-4 微分中值定理及其应用 91特别，当)()(b f a f =时，它就是罗尔定理（见罗尔定理后的注）.因此，微分中值定理是罗尔定理的推广.[分析] 如图2-16，曲线)(x f y =上必有一点(,())C c f c ，它在该点处切线的斜率等于弦AB 的斜率(切线与弦平行)，即式(2-6).证 考虑函数(曲线与弦的差))]()()()([)()(a x ab a f b f a f x f x ---+-=δ（图2-17）显然，函数)(x δ在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内有导数，且0)()(==b a δδ(在区间两端等于零).根据罗尔定理，必有点),(b a c ∈，使0)(='c δ，即)()()()(b c a ab a f b fc f <<--='【注】微分中值定理的上述证明方法的优点是直观, 而下面的证明方法容易推广（用于证明§2-9中的泰勒公式）.设待定常数C 满足条件()()()f b f a C b a =+- （※）再作辅助函数()()[()()]()F t f t f a C t a a t b =-+-≤≤, 则函数()F t 在区间[,]a b 上满足罗尔定理的条件，因此有中值(,)c a b ∈, 使()0F c '=, 即()()0()F c f c C C f c '''=-=⇔=.把它代入上面的等式（※）, 则得()()()()()f b f a f c b a a c b '=+-<< 或 ()()()()f b f a f c a c b b a-'=<<-等式(2-6)又称为拉格朗日中值公式或微分中值公式.它有很多变形，例如，若令)10(<<--=θθab a c则拉格朗日中值公式为()()[()]()(01)f b f a f a b a b a θθ'-=+--<< (2-7)它对b a >也成立.又如，若函数)(x f 在开区间),(b a 内有导数，则对任意),(b a x ∈和()(,)x x a b +∆∈，都有)10()()()(<<∆∆+'=-∆+θθx x x f x f x x f (2-8) 通常称它为有限增量公式(其中x ∆为有限增量．．．．)，以便区别于无穷小量形式(或极限形式)的公式图2-17图2-16第2章 微分和微分法·导数的简单应用92 ()()()()f x x f x f x x o x '+∆-=∆+∆其中x x d =∆为无穷小量.请读者注意两者的区别．．．．．．．．．．. 微分中值定理和罗尔定理，只断定那个中值)(b c a c <<的存在性，而没有指出它在区间),(b a 内的具体位置.尽管如此，仍不失它在微积分中的重要性，因为在几乎所有的应用中，并不需要知道它在区间),(b a 内的具体位置.微分中值定理使我们能够根据函数的导数．．．．．．．．．．．．．．．．．．)(x f '所提供的信息，反过来去推断函数本身所具有的某些特性或变化状态．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 推论 若函数)(x f 在区间),(b a 内处处有导数，且0)(≡'x f )(b x a <<，则()≡f x 常数()<<a x b证 设),(0b a x ∈为任意固定一点.根据拉格朗日中值公式，对于任意),(b a x ∈，都有)10(0))](([)()(0000<<=--+'=-θθx x x x x f x f x f即))(()(0b x a x f x f <<≡.对于定义在区间,a b 上的函数)(x f ，若另有定义在区间,a b 上的可微函数()F x 使d ()()d F x f x x = 或 ()()F x f x '=则称函数()F x 为)(x f 的一个原函数.函数)(x f 在区间,a b 上的原函数不是唯一的，若函数()G x 也是它在区间,a b 上的原函数，因为[]()()()()()()0F x G x F x G x f x f x '''-=-=-=根据上述推论，所以()()F x G x c -≡(常数)或()()F x G x c ≡+.因此，若函数()f x 在区间,a b 上有原函数，则它在该区间上就会有无穷多个原函数，而且每两个原函数之间只能相差一个常数.2.函数单调性的判别法 下面的结论实际上也是微分中值定理的推论.它指出了用导数判别函数单调性的方法.定理2-2 设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内处处有导数. ⑴ 若()0()f x a x b '><<，则)(x f 在区间],[b a 上是增函数； ⑵ 若()0()f x a x b '<<<，则)(x f 在区间],[b a 上是减函数. （在有限个点上有0)(='x f 时，结论仍成立）证 设1x 和2x 为区间],[b a 上任意两点且21x x <，根据拉格朗日公式，则有2112121()()[()]()f x f x f x x x x x θ'-=+--若()0()f x a x b '><<，则21()()0f x f x ->，即)()(21x f x f <，因此()f x 是增函数；若()0()f x a x b '<<<，则21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >，因此()f x 是减函数. 例18 设13)(23-+=x x x f ，则)2(363)(2+=+='x x x x x f 于是，方程0)(='x f 有根12x =-和20x =. 用这两个根把函数)(x f 的定义域),(+∞-∞分§2-4 微分中值定理及其应用 93成三个小区间 (图2-18)：]0)([),0(],0)([)0,2(],0)([)2,(>'+∞<'->'--∞x f x f x f可见，函数)(x f 在区间)2,(--∞和),0(+∞内增大，而在区间)0,2(-内减小.3.证不等式的方法情形Ⅰ 设函数)(x f 和)(x g 在区间),[b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(a g a f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<>.(见图2-19)情形Ⅱ 设函数)(x f 和)(x g 在区间],(b a 上连续且在),(b a 内有导数.若满足条件：()i )()(b g b f = 和 ()ii ()()()f x g x a x b ''><<则))(()(b x a x g x f <<<.(见图2-20)证 譬如证情形Ⅰ(图2-19).令)()()()(b x a x g x f x h <≤-=.根据条件()i ，则0)(=a h ；根据条件()ii ，()0()h x a x b '><<.因此，)(x h 是增函数.于是，)()()(0b x a x h a h <<<=所以有))(()(b x a x g x f <<>.例19 证明：⑴ 当0>x 时，x x <+)1ln(； ⑵ 当1->x 且0≠x 时，xx x +>+1)1ln(.因此，当0>x 时，有x x xx <+<+)1ln(1.证 ⑴令)1ln()(,)(x x g x x f +==，则0)0()0(==g f 且)0(11)(1)(>+='>='x xx g x f [属于情形Ⅰ]因此，有)0()1ln(>+>x x x .图2-19图2-20图2-18•2-·0x第2章 微分和微分法·导数的简单应用94 ⑵ 令)1ln()(,1)(x x g xx x f +=+=. 在区间]0,1(-上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+>+=' [属于情形Ⅱ]因此，有)1ln(1x xx +<+)01(<<-x .其次，在区间),0[+∞上，0)0()0(==g f 且 )(11)1(1)(2x g xx x f '=+<+=' [属于情形Ⅰ]因此，有)1ln(1x xx +<+)0(+∞<<x .习 题1.不求导数，而根据罗尔定理证明：函数22)(23+--=x xx x f在区间)1,1(-内必有点c ，使0)(='c f .2.证明：不论m 为何值，多项式m x x x P +-=3)(3在区间]1,1[-上不会有两个实根.3.设多项式nn x a x a x a a x P ++++= 2210)(的系数满足等式01321210=+++++n a aa a n 证明：多项式)(x P 在区间)1,0(内必有实根. 提示：考虑函数1210121)(+++++=n n x n a x a x a x f .4.设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内有导数，且A x f x f bx ax ==-+→→)(lim )(lim （有限值）证明：在),(b a 内至少有一点c ，使0)(='c f .提示：将函数()f x 连续延拓到闭区间[,]a b 上.5.设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间),(b a 内可微分，且()()0f a f b ==.证明：对任意实数λ，必存在点(,)a b ξ∈，使()()f f ξλξ'=提示：令()e()xF x f x λ-=.6.对于下列函数，在所示区间上应用拉格朗日中值公式，求出中值c ：⑴)51()(2≤≤=x x x f ； ⑵)42(1)(≤≤=x xx f ；⑶)94()(≤≤=x x x f ； ⑷)e 1(ln )(≤≤=x x x f .答案：⑴3=c ；⑵22=c ；⑶4/25=c ；⑷1e -=c .7.证明：对于0≥x ，则有)(x θθ=使§2-4 微分中值定理及其应用 95θ+=-+x x x 211而且)(x θθ=满足01111;lim ;lim 4242x x θθθ+→+∞→≤≤==8.设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且在开区间),(b a 内有导数.证明：必有点),(b a c ∈，使)()()()(c f c c f ab a af b bf '+=-- [ 提示：考虑函数)()(x xf x g =]9.设函数()f x 在点a 连续且有极限lim ()x af x →'.证明：必有导数()f a '且()lim ()x af a f x →''= [点a 的导数等于近旁导数的极限]同样，若函数()f x 在点a 左连续[右连续]且有左极限lim ()x af x -→'[右极限lim ()x af x +→']，则必有左导数()f a -'[右导数()f a +']且()lim ()x a f a f x --→''= ()lim ()x a f a f x ++→⎡⎤''=⎢⎥⎣⎦提示：()()()f a x f a f a x x θ'+∆-=+∆∆(01)θ<<.【注1】根据这个结论, 函数1,()0,x a f x x a=⎧=⎨≠⎩在含点a 的区间内没有原函数（用反证法证）。
微分中的中值定理及其应用
微分中的中值定理及其应用微分中的中值定理是微积分中的基本定理之一，它在数学和物理学中具有重要的应用。
本文将介绍微分中的中值定理及其应用，并展示其在实际问题中的解决方法。
一、中值定理的概念与原理中值定理是微分学中的重要理论，它涉及到函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率之间的联系。
其中最常见的三种形式为：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点c，使得f'(c) = 0。
罗尔定理可通过对函数在该区间的最大值和最小值进行讨论得出，它主要用于证明函数在某一区间上恒为常数的情况。
2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种推广，它的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的证明可以通过构造辅助函数g(x) = f(x) - [(f(b) - f(a))/(b - a)]x来完成，它可以将任意两点间的斜率与函数在某一点的导数联系起来。
3. 柯西中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的进一步推广，它的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理可以用来研究函数间的关系，它提供了一种描述两个函数在某一区间上的变化率相等的条件。
二、中值定理的应用中值定理不仅仅是一种理论工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍中值定理在实际问题中的应用案例。
1. 最速下降线问题最速下降线问题是求解两个给定点之间的最短路径问题。
中值定理的内容及应用
中值定理的内容及应用中值定理是微分学中的重要定理之一，它是基于连续函数的连续性与导数的连续性之间的关系而得出的。
中值定理包括鲁尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
这三个定理都是基于函数连续性与导数连续性的条件，从而得到函数在某一区间上的性质。
1. 鲁尔中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
鲁尔中值定理的几何意义是：存在一点c，使得函数在左右两个点的切线斜率等于函数在这两个点间的平均变化率。
2. 拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：存在一点c，使得函数在左右两个点的切线斜率等于函数在这两个点间的平均变化率。
3.柯西中值定理：设函数f(x)和g(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，并且g'(x)≠0，则在(a,b)内至少存在一点c，使得[f(b) - f(a)]/[g(b) - g(a)] = f'(c)/g'(c)。
柯西中值定理的几何意义是：存在一点c，使得函数f(x)和g(x)在左右两个点的切线斜率之比等于函数在这两个点间的平均变化率之比。
中值定理的应用非常广泛，其中最为常见的应用是求函数在某个区间内的极值和方程的根。
首先，中值定理可以用来证明函数在某个区间内的极值存在性。
根据鲁尔中值定理，如果函数在某个区间上连续，并在这个区间内可导，且函数的导数在这个区间内的某个点等于零，那么这个点就是函数在这个区间上的一个极值点。
其次，中值定理也可以用来求函数在某个区间内的极值。
首先可以根据拉格朗日中值定理找到函数在该区间内的一个极值点，然后再通过导数的正负性和二阶导数的存在性来确定这个点是极大值还是极小值。
微分中值定理及其应用
（1） f ( x ), g ( x ) 在 (a −δ , a +δ ) 可导且g '( x ) ≠ 0 , 其中 δ > 0; （2）lim
x→a
f ( x) = lim g ( x ) = 0；
x→a
f '( x) lim = A; （3） x → a g '( x )
则
f ( x) =A lim x →a g ( x)
1
1
lim cos +
1
ξ
=0
§2 洛必达法则
前面遇到几种类型的极限：
定理5.6 若 f （1） ( x ) , g ( x) 在（a, a +δ ）可导且 g ′( x ) ≠ 0 ,其中 δ > 0 f '( x) =A lim （2） + f ( x) = lim g ( x) = 0 （3） lim+ + x → a g '( x ) x→a x→a 则 f ( x) lim+ =A x→a g ( x) 0 （ 型）在自变量的某个变化过程中 0 （1）f ( x ), g ( x )都为无穷小，即 xlim+ f ( x ) = 0, xlim+ g ( x ) = 0 →a →a
f '( x) ε | − A |< . g '( X ) 2
有
在(a, a + δ1 )内取定 x0，则对a < x < a + δ1 中任意x ≠ x0
| f ( x) − f ( x0 ) ε f '(ξ ) − A |=| − A |< , 2 g ( x) − g ( x0 ) g '(ξ )
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它表述为：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)，其中c属于(a,b)。
拉格朗日中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个点a和b上的斜率相等，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线在c点和a、b两点之间的切线斜率相等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理的推广形式，它给出了两个函数的导数的关系。
设f(x)和g(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导且g'(x)≠0，则存在一个数c，使得[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=[f'(c)]/[g'(c)]。
柯西中值定理的几何意义是：如果曲线f(x)和g(x)在两个点a和b上的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比，则在这两个点之间必然存在一点c，使得曲线f(x)和g(x)在c点的切线斜率之比等于f'(c)和g'(c)的比。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理的特殊形式，它给出了导数为零的充分条件。
设函数f(x)在[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一个数c，使得f'(c)=0。
罗尔中值定理的几何意义是：如果一条曲线在两个端点上的函数值相等，则在这两个端点之间必然存在一个点c，使得曲线在c点的切线斜率为零。
微分中值定理的应用非常广泛，例如在证明极限存在或连续性、研究函数增减性和函数极值、解方程和不等式等问题中都有重要的作用。
在实际生活中，微分中值定理可以应用于求解速度、加速度、距离等问题，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
二、导数的应用导数作为微积分的重要概念，具有很多实际应用。
微分中值定理及其应用
微分中值定理及其应用一、本文概述《微分中值定理及其应用》是一篇深入探讨微分学中值定理及其在实际应用中的作用的学术性文章。
微分中值定理是数学分析领域中的一个核心概念，它建立了函数在特定区间内的变化与其导数之间的紧密联系。
本文旨在通过对微分中值定理的深入剖析，揭示其在理论研究和实际应用中的广泛价值。
文章首先介绍了微分中值定理的基本概念，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。
这些定理不仅在数学分析中占有重要地位，而且在实际应用中发挥着重要作用。
接着，文章通过一系列实例展示了微分中值定理在几何、物理、工程等领域的应用，如曲线形状的判定、物体运动的分析、工程设计的优化等。
本文还关注微分中值定理在经济学、生物学等社会科学领域的应用。
通过引入这些领域的实际案例，文章进一步强调了微分中值定理在解决实际问题中的重要作用。
文章对微分中值定理的应用前景进行了展望，探讨了其在未来科学研究和技术发展中的潜在影响。
《微分中值定理及其应用》是一篇系统介绍微分中值定理及其在各个领域应用的综合性文章。
通过本文的阅读，读者可以全面了解微分中值定理的基本知识和应用技巧，为深入研究和实际应用打下坚实基础。
二、微分中值定理概述微分中值定理是微积分理论中的核心内容之一，它揭示了函数在某区间内与导数之间的紧密联系。
这些定理不仅为函数的研究提供了重要的工具，还在解决实际问题中发挥了重要作用。
微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。
罗尔定理是微分中值定理的基础，它指出如果一个函数在某闭区间上连续，在开区间内可导，并且区间两端点的函数值相等，那么在这个开区间内至少存在一点，使得该点的导数值为零。
拉格朗日定理是罗尔定理的推广，它进一步指出，如果存在满足上述条件的点，那么该点的导数值等于函数在区间两端点值的差与区间长度的商。
柯西定理则是拉格朗日定理的推广，它涉及到两个函数在相同区间上的性质。
这些定理在实际应用中具有广泛的价值。
微分中值定理的应用小结
微分中值定理的应用小结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它在实际应用中有着广泛的应用。
下面我们将总结一下微分中值定理的应用。
微分中值定理分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理两种形式。
它们都是从微分的角度出发，研究了函数在一定条件下的均匀变化规律，因此在实际应用中具有重要的意义。
下面我们将从几个方面来讨论微分中值定理的应用。
一、曲线的切线微分中值定理最基本的应用之一就是用来求曲线上某点的切线。
当我们需要求曲线在某一点的切线时，可以先求出该点的导数，然后根据微分中值定理，可以得到该点的切线的斜率，从而得到切线的方程。
这在工程计算和物理问题中有广泛的应用，如求曲线上某一点的切线斜率，可以用来分析曲线在该点的变化趋势，从而得出相关的结论。
二、误差估计微分中值定理还可以用来进行误差估计。
在实际测量和计算中，往往难以得到准确的数值，只能得到数值的近似值。
此时，我们可以利用微分中值定理来进行误差估计。
通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点附近的变化规律，从而可以利用微分中值定理来估计函数值的误差范围，这在工程测量和科学实验中有着重要的应用。
三、最优化问题微分中值定理还可以用来解决最优化问题。
最优化问题是指在一定条件下寻找函数的极值点的问题，常常出现在工程设计和经济管理中。
通过对函数进行微分，可以得到函数在某一点的变化规律，从而可以利用微分中值定理来寻找函数的极值点，从而得到最优解。
这在工程设计和市场调研中有着广泛的应用。
四、速度和加速度在物理学中，微分中值定理也有着重要的应用。
通过对物体的位置函数进行微分，可以得到物体的速度函数；再对速度函数进行微分，可以得到物体的加速度函数。
从而可以利用微分中值定理来分析物体的运动规律，这在工程设计和交通管理中有着广泛的应用。
微分与积分中值定理和应用
第二讲 微分与积分中值定理与其应用1 微积分中值定理01.1 微分中值定理0 1.2 积分中值定理2 2 微积分中值定理的应用34.1 证明方程根〔零点〕的存在性3 4.2 进行估值运算6 4.3 证明函数的单调性7 4.4 求极限7 4.5 证明不等式8引言Rolle 定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。
微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一,它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础,是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。
1 微积分中值定理微分中值定理罗尔<Rolle>定理: 若函数f 满足如下条件 <ⅰ>f 在闭区间[a,b]上连续； <ⅱ>f 在开区间〔a,b 〕内可导； <ⅲ>)()(b f a f =,则在〔a,b 〕内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf ．朗格朗日<Lagrange>中值定理: 设函数f 满足如下条件： <ⅰ>f 在闭区间[a,b]上连续； <ⅱ>f 在开区间〔a,b 〕上可导； 则在〔a,b 〕内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理:设函数f 和g 满足 <ⅰ>在[a,b]上都连续； <ⅱ>在〔a,b 〕内都可导； <ⅲ>)('x f 和)('x g 不同时为零； <ⅳ>)()(b g x g ≠, 则存在),(b a ∈ξ,使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ． 微分中值定理的推广罗尔定理的推广定理1: 设函数)(x f 在〔a,b 〕内可导,且有)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+→→或为有限值或A A x f b f a f x f bx a x ,则存在点),(b a ∈ξ,使得0)(='ξf ．证明：首先对A 为有限值进行论证：令⎩⎨⎧==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()(则易知函数)(x f 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导且)()(b F a F =．由Rolle 定理可知,在<a,b>内至少存在一点ξ,使得0)(='ξF ,而在<a,b>内有)()(x f x F '=',所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+〔∞-〕进行论证：由引理1,)(x f 在〔a,b 〕内能取得最小值〔最大值〕．不妨设：函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值〔最大值〕．此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值〔极大值〕．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导,由Fermat 引理,可得0)(='ξf ． 综上所述,从而定理得证．定理2: 设函数)(x f 在<a,∞+>,内可导,且)(lim )(lim x f x f x ax +∞→→=+,证明：在〔a,∞+>中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．定理3: 设函数)(x f 在〔∞-,b>,内可导,且)(lim )(lim x f x f bx x -→-∞→=,证明：在〔∞-,b>中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．定理4: 设函数)(x f 在〔∞-,∞+>,内可导,且)(lim )(lim x f x f x x +∞→-∞→=,证明：在〔∞-,∞+>中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．朗格朗日中值定理的推广定理5: 如果函数)(x f 满足条件：在开区间〔a,b 〕上可导且)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+→→b f x f a f a f x f bx a x 存在,则在〔a,b 〕内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=')()()(ξ．柯西中值定理的推广定理6: 如果函数f<x>和F<x>满足条件： ①都在有限区间<a,b>内可导；②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f bx ax bx ax ====-+-+→→→→③;0)(),,('≠∈∀x F b a x 有 则在<a,b>内至少有一点ξ,使得 证明：作辅助函数A<x>,B<x>,并且令则A<x>,B<x>在闭区间[a,b]上连续,开区间<a,b>内可导,且对,0)(),,('≠∈∀x B b a x 由Cauchy 中值定理可知,至少有一点),(b a ∈ξ使得 又当),(b a x ∈时,)()(),()(x F x B x f x A ==∴2211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=--==ξξξξ 即：2211'')()(m M m M F f --=ξξ 1.2积分中值定理积分中值定理: 若)(x f 在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ使得()()()b a a b f dx x f b≤≤-=⎰ξξ,a.积分中值定理的推广推广的积分第一中值定理: 若()()x g x f ,在闭区间[]b a ,上连续,且()x g 在[]b a ,上不变号,则在[]b a ,至少存在一点ξ,使得第一型曲线积分中值定理: 若函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续,则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη,使(,)(,)Cf x y ds f S ξη=⎰。
第三章 微分中值定理及其应用
第三章 微分中值定理及其应用3.1 中值定理 3.1.1 费马引理设函数)(x f 在点0x 处可导且在点0x 处取得极值，则0)(0'=x f 。
备注：费马引理实质上是可导函数极值存在的必要条件。
3.1.2 罗尔定理设函数)(x f 在[]b a ,上连续，),(b a 上可导，且)()(b f a f =，则至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)('=εf 。
（1）罗尔定理的三个条件缺一不可。
（2）罗尔定理的几何意义是曲线)(x f 存在水平切线。
（3）罗尔定理只给出了导函数零点的存在性，通常这样的零点是不易具体求出的。
例1：设函数)(x f 在[]3,0上连续，在)3,0(上可导，3)2()1()0(=++f f f ，1)3(=f 。
证明：至少存在一点)3,0(∈ε，使得0)('=εf 。
例2：设函数)(x f 在[]b a ,上连续，0)()(==b f a f ，且)(x f 在),(b a 内可导，试证：对任意的实数α，存在一点),(b a ∈ξ，使得αξξ=)()('f f 例3：设函数)(x f 在[]b a ,上具有二阶导数，且0)()(==b f a f ，0)()('' b f a f 。
证明：（1）至少存在一点),(b a ∈ε，使得0)(=εf（2）至少存在一点),(b a ∈η，使得0)(''=ηf 。
例4：设n a a a 21,满足n i R a n a a a a i nn ,2,1,,012)1(531321=∈=--+++-- 证明：方程0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n 在)2,0(π内至少有一个实根。
例5：设函数)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，在),(b a 内二阶可导且存在相等的最大值，又)()(),()(b g b f a g a f ==。
3.1.1 微分中值定理
证 任取两点 x1、x2 [a, b], 设 x1< x2,
则
f (x2 ) f (x1 ) x2 x1
f (x ),
x ( x1 , x2 )
因为 f (x) = 0，所以 f (x) = 0， 即 f ( x2 ) f ( x1 ) 0，
x2 x1
故 f (x1) = f (x2)， 由于x1、x2的任意性,
※然后相应确定一个区间
※选定的函数在所确定的区间上要满足拉格朗日中
值定理的条件，则有拉格朗日公式成立
※由ξ 所在区间范围，即可导致等号成为不等号
例5
设a
b
0, 证明：a-b
a
ln b
a-b
.
a
b
例6 证明 当 x 1 时, e x ex
证明: 设 f ( x) e x , f ( x) e x ,
1 x
证 设 f ( x) ln(1 x),
f ( x)在[0, x]上满足拉氏定理的条件 ,
f ( x) f (0) f (x)(x 0), (0 x x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x , 1 x
解 显然, f (x) 在区间 [1, 2]，[2, 3] 上都满
足罗尔定理，所以至少有 x1 (1, 2)，x2 (2, 3)， 使 f (x1) = 0， f (x2) = 0， 即方程 f (x) = 0 至少
有两个实根，又因为 f (x) = 0 是一个一元二次方程， 最多有两个实根，所以方程 f (x) = 0 有且仅有两个 实根，且分别在区间(1, 2) 和 (2, 3)内.
(完整word版)微分中值定理及其应用
第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。
中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.3．教学内容：§1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足(ⅰ)在[]ba,上连续;(ⅱ)在)a内可导;(b,(ⅲ))af=f)((b则),(b a ∈∃ξ使0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.如: 1º ⎩⎨⎧=<≤=1 010x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立.2º x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.3º x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.如:[]1,1)(22-∈⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f .(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根.证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式nnn n n dxx d n x P )1(!21)(2-⋅= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点.将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广泛的Lagrange 中值定理.定理6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设f 满足 (ⅰ)在[]b a ,上连续; (ⅱ)在),(b a 内可导 则),(b a ∈∃ξ使ab a f b f f --=')()()(ξ (2)[分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB 的方程为)()()()(a x ab a f b f a f y ---+=问题是证明),(b a ∈∃ξ,使)(ξf '与割线在ξ处导数ξ='x y 相等 即证0])()()()()([='-----ξa x ab a f b f a f x f 证 作辅助函数],[),()()()()()(b a x a x ab a f b f a f x f x F ∈-----=注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形式(5)10,) ()()((4) 10),))((()()((3) ),)(()()(<<+'=-+<<--+'=-<<-'=-θθθθξξh h a f a f h a f a b a b a f a f b f b a a b f a f b f 另外,无论b a >,还是b a <, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange 中值定理应用更为广泛的原因之一.(ⅲ) Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数],[),()()()()()(b a x a x ab a f b f a f x f x F ∈-----=然后验证)(x F 在[],b a 上满足Rolle 定理的三个条件,从而由Rolle 定理推出)(x F '存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(x F .我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.1º 注意到(2)式成立),(b a ∈∃⇔ξ使得0)()()(=---'ab a f b f f ξ⇔a b a f b f x f ---')()()(在),(b a 内存在零点])()()(['---⇔x ab a f b f x f 在),(b a 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数x ab a f b f x f x G ---=)()()()((注意这种构造辅助函数的方法是常见的).2º 辅助函数)()()()()()()(111)(a f x f a f b f ax a b x f b f a f x b ax H ----==例3 证明对,0,1≠->∀h h 有h h hh<+<+)1ln(1 证 [法一]令),1ln()(x x f +=在],0[h 或]0,[h 上利用Lagrange 中值定理可证之.[法二]令,ln )(x x f =在]1,1[h +或]1,1[h +上利用Lagrange 中值定理可证之.推论1 若f 在区间I 上可导, I x x f ∈≡',0)(,则f 在I 上为常数. 推论2 若f ,g 都在区间I 上可导, 且)()(,x g x f I x '='∈∀,则在I 上,f 与g 仅相差一个常数,即存在常数C ,使对I x ∈∀有C x g x f +=)()(推论 3 (导数极限定理) 设f 在0x 的某邻域)(0x U 内连续,在)(00x U 内可导,且)(lim 0x f x x '→存在,则)(0x f '存在,且)()(lim 0x f x f x x o ''=→注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间),(b a 上导函数)(x f '不会有第一类间断点.(ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.例4 证明恒等式2cot arctan ,2arccos arcsin ππ=+=+x arc x x x例5 求⎩⎨⎧>+≤+=0),ln(10,sin )(2x x x x x x f 的导数解 (ⅰ)先求0),(≠'x x f ;(ⅱ)利用推论3(先验证f 在0=x 处连续)求)0(f '. 二 单调函数函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.定理6.3 设f 在区间I 上可导,则f 在区间I 上单调递增(减))0(0)(,≤≥'∈∀⇔x f I x定理 6.4 设f 在区间),(b a 内可导,则f 在区间),(b a 内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ) )0(0)(),,(≤≥'∈∀x f b a x(ⅱ)在),(b a 的任何子区间上,)(x f ' 不恒等于0推论 设f 在区间I 上可导,若)0(0)(,<>'∈∀x f I x ,f 在区间I 上严格单调递增(减).注 (ⅰ)若 f 在区间),(b a 内(严格)单调递增(减),且在点a 右连续,则f 在区间),[b a 内(严格)单调递增(减).对],(b a 上的函数有类似结论.(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出)(x f ',再判定其符号.为此,需求出使得f '取得正负值区间的分界点.当f '连续时,这些分界点必须满足0)(='x f .例6 求31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 例7 证明0 ,1≠+>x x e x .证 令,1)(x e x f x --=考察函数)(x f 的严格单调性.§2 柯西中值定理与不定式极限本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L ＇Hospital 法则.一 柯西中值定理定理6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设f ,g 满足 (ⅰ)在[]b a ,上都连续; (ⅱ)在),(b a 内都可导; (ⅲ) )(x f '与)(x g '不同时为零; (ⅳ) )()(b g a g ≠ 则),(b a ∈∃ξ,使)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ (1) [分析] 欲证(1),只须证0])()()()()()([='---ξx f x g a g b g a f b f 且0)(≠'ξg . 令),()()()()()()(x f x g a g b g a f b f x F ---=由Rolle 定理证之.注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广(当x x g =)(情形).(ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材126页图6-5）:令],[ )()(b a x x g v x f u ∈⎩⎨⎧== 它表示uov 平面上的一段曲线AB.弦AB 的斜率即为(1)式右边,而(1)式左边ξξξ==''x dvdug f )()(表示与ξ=x 相对应的点))(),((ξξf g 处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB 平行.(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy 中值定理的辅助函数 1)))]()(()()()()()([)()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---+-=;2))]()()][()([)]()()][()([)(a g b g a f x f a g x g a f b f x F -----=; 3))]()()[()()]()([)(a g b g x f x g a f b f x F ---=; 4)1)()(1)()(1)()(21)(x f x g b f b g a f a g x F ±= 例1设f 在[]b a ,()0>>a b 上都连续, 在),(b a 内都可导,则),(b a ∈∃ξ,使ab f a f b f ln)()()(ξξ'=- 证 取x x g ln )(=,对f ,g 利用Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 00型不定式极限定理6.6(L ＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ)0)()(lim lim 0==→→x g x f x x x x ;(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U 内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''→)()(lim(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x →存在且) ,或()()(lim 0∞∞±=→A x g x f x x注 (ⅰ)定理 6.6中0x x →可换为∞→±∞→→±x x x x ,,0,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.(ⅱ)若)()(x g x f ''当0x x →时仍属0型,且)(),(x g x f ''分别满足定理中)(x f ，)(x g 的条件,则可继续施用L ＇Hospital 法则Ⅰ,从而确定)()(limx g x f x x →,即 )()()()()()(lim lim lim 000x g x f x g x f x g x f x x x x x x ''''=''=→→→ 且可以依次类推.(ⅲ)“一花独秀不是春”，L ＇Hospital 法则虽是计算极限的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.例2 求)0,0(lim 0>>-→b a x b a xx x 例3 求xe e xxx 1sin11lim-∞→-(提示:先令xt 1=)例 4 求)1ln()21(2210limx x e xx ++-→(利用)1ln(2x +等价于2x )0(→x 原式转化为2210)21(lim x x e x x +-→) 例5 求xx ex -→1lim(提示:先令x t =)2. ∞∞型不定式极限定理6.7(L ＇Hospital 法则Ⅱ)设(ⅰ)∞==++→→)()(lim lim 00x g x f x x x x ;(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U +内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''+→)()(lim0(或∞∞±,).则 )()(lim 0x g x f x x +→存在且) ,或()()(lim 0∞∞±=+→A x g x f x x 注 定理6.7中+→0x x 可换为,,,00±∞→→→-x x x x x ∞→x 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.例6 求)0(ln lim>∂∂∞→x xx 例7 求xxx 3tan tan lim2π→例8 求3lim xe xx --∞→例9 求)0(lim >∂∂∞→n n e n (提示:先证0)0(lim =>∂∂∞→x x ex )注 (ⅰ)当)()(lim 0x g x f x x ''→或)()()()(lim 0x gx f n n x x →不存在时, L ＇Hospital 法则不能用.如:1º x x x x x e e e e --∞→+-lim 不能用L ＇Hospital 法则(x x xx e e e e --+-=11122→+---xxe e ) 2º x x x x sin lim+∞→不能用L ＇Hospital 法则(xxx sin += 1sin 1→+xx) (ⅱ)只有不定式极限且满足L ＇Hospital 法则条件才能使用L ＇Hospital 法则求极限.3.其他类型不定式极限还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为∞∞⋅∞=⋅∞=∞=∞=∞⋅⋅∞∞- );01ln (1 ;011001ln e (通分或提取公因式转化);).0);00ln 0(0ln 000ln 00∞⋅==∞∞⋅=⋅=∞⋅⋅e e例10 求x x x ln lim 0+→例11 求)11ln 1lim(1--→x x x 例12 求x x x )arctan 2(lim π+∞→例13 求x x x )(sin lim 0+→例14 求x x x ln 10)(cot lim +→例15 求数列极限n n n n )111(2lim ++∞→ (注意此题先求极限x x x x)111(2lim +++∞→) 例16 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠= 00 0 )()(x x x x g x f ,,3)0(,0)0()0(=''=='g g g 求)0(f '. 注 23)0(212)(2)()()0(lim lim lim 0020=''=''='=='→→→g x g x x g x x g f x x x ,对否? §3 泰勒公式本节包含两个泰勒(Taylor)公式,即分别带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,统称为泰勒定理.它们分别是上一章的有限增量公式和本章中的Lagrange 中值定理的推广.两个公式所要解决的问题是用多项式函数(各类函数中最简单的函数)去逼近一个函数,而这种逼近思想在近似计算和理论分析中有着重要意义.一 带有皮亚诺型余项的泰勒公式设f 在点0x 存在n 阶导数,称n 次多项式nn n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000-+⋅⋅⋅+-''+-'+=(1)为f 在点0x 处的泰勒多项式,)(x T n 的各项系数),2,1(!)(0)(n k k x f k ⋅⋅⋅=称为f 的泰勒系数. 定理6.8(Taylor) 设f 在点0x 存在直到n 阶的导数,则))(()(!)())(()()(0000)(0n k n k k nn x x o x x k x f x x o x T x f -+-=-+=∑= (2) 注 (ⅰ) (2)式称为f 在点0x 处的Taylor 公式, )()()(x T x f x R n n -= 称为Taylor 公式的余项,形如))((0n x x o -的余项称为Peano 型余项,于是(2)式也称为带有Peano 型余项的Taylor 公式.(ⅱ) 若f 在点0x 附近满足+=)()(x P x f n ))((0n x x o - (3) 其中)(x P n 为形如n n x x a x x a x x a a )()()(0202010-+⋅⋅⋅+-+-+n 次多项式,这时并不意味着)(x P n 就是f 的Taylor 多项式)(x T n例如⋅⋅⋅==+2,1),()(1n x D x x f n其中)(x D 为Dirichlet 函数.易知f 仅在点00=x 处连续,可导且0)0(='f ,从而对)0(,,1)(k f N k k +∈>∀皆不存在.故f 在点00=x 处的Taylor 多项式)(x T n )1(>n 是不存在的.然而0)()(lim lim 00==→→x xD x x f x n x 即)()(n x o x f =,从而若取)(x P n =000002≡⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+n x x x ,则(3)式对+∈N n 皆成立.(ⅲ)满足(3)式要求(带有Peano 型误差)的n 次逼近多项式)(x P n 是唯一的,从而若f 满足定理6.8的条件,则满足(3)式要求的逼近多项式)(x P n 只能是f 的Taylor 多项式)(x T n .当00=x 时, Taylor 公式(2)成为 )(!)0()(0)(n k n k k x o x k f x f +=∑= (4) (4)式称为(带有皮亚诺型余项的)马克劳林(Maclaurin)公式.例1 验证下列函数的马克劳林公式(ⅰ) )(!1!2112n n x x o x n x x e ++⋅⋅⋅+++=; (ⅱ) )()!12(1)1(!51!31sin 212153m m m x o x m x x x x +--+⋅⋅⋅+-=--; (ⅲ) )()!2(1)1(!41!211cos 12242++-+⋅⋅⋅++-=m m m x o x m x x x ; (ⅳ) )(1)1(3121)1ln(132n n n x o x nx x x x +-+⋅⋅⋅+-=+-; (ⅴ) )(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x ++-∂⋅⋅⋅-∂∂+⋅⋅⋅+-∂∂+∂+=+∂; (ⅵ) )(1112n n x o x x x x ++⋅⋅⋅+++=-. 上述几个简单函数的马克劳林公式是通过直接求出f 在点0=x 处的各阶导数)0()(k f ,代入公式(4)得到的.这种方法叫做马克劳林(或泰勒)公式的直接求法.利用这些公式,可以间接求得一些函数的马克劳林(或泰勒)公式,还可用来求某些类型的极限.例2 求22)(x e x f -=的马克劳林公式,并求)0()98(f 与)0()99(f .例3 求x ln 在2=x 处的Taylor 公式.例4 求下列极限(ⅰ)30)1(sin lim x x x x e x x +-→; (ⅱ)x x e x x sin )1(lim 0∂+-→ [提示] )(!21122x o x x e x +++=;)(!31sin 43x o x x x +-=. 定理6.8告诉我们, 若f 在点0x 处具有直到n 阶导数,我们可用一个n 次多项式)(x T n 去逼近)(x f 而且这样产生的误差)()(x T x f n -当0x x →时是比n x x )(0→更高阶的无穷小量.但这只是定性的估计,并不能提供误差的定量估计.下面给出的第二个Taylor 公式余项有确定的表达式(尽管出现了不确定的“中值”)从而给误差估计提供了理论依据.二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式定理6.9 若f 在],[b a 上有直到n 阶的连续导函数,在),(b a内存在1+n 阶导函数,则对),(],,[,0b a b a x x ∈∃∈∀ξ,使10)1(00)(200000)()!1()( )(!)()(!2)()(!1)()()(++-++-+⋅⋅⋅+-''+-'+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ(5) 注 (ⅰ)(5)式也称为Taylor 公式,其余项为10),(,)()!1()()()()(0010)1(<<-+=-+=-=++θθξξx x x x x n f x T x f x R n n n n 称其为拉格朗日型余项,(5)式也称为带Lagrange 型余项的Taylor 公式.(ⅱ)若0=n ,则(5)式即Lagrange 中值公式))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ故定理6.9是Lagrange 中值定理的推广.当00=x 时, Taylor 公式(5)成为10,)!1() (!)0()(1)1(0)(<<++=++=∑θθn n k n k k x n x f x k f x f (6) 称(6)式为带Lagrange 型余项的马克劳林公式.例5 把例1中六个马克劳林公式改写为带Lagrange 型余项的形式.Taylor 公式是一元微分学的顶峰,它可以解决很多数学问题.本节最后一部分介绍其在近似计算上的应用,后面几节将会介绍在其它方面上的应用.三 在近似计算上的应用例6 (1)计算e 的值,使其误差不超过610-(2)证明e 是无理数[提示] (1)由例5(1)的结果有 )10()!1(!1!2111<<+++⋅⋅⋅+++=θθn e n e (7) (2)由(7)式得1)143!!(!+=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅++-n e n n n n e n θ,用反证法证之. 例7 用Taylor 多项式逼近正弦函数x sin ,要求误差不超过310-.试以1=m 和2=m 两种情形分别讨论x 的取值范围.§4 函数的极值与最大(小)值函数在一区间上的极值是函数局部性态的重要特征.利用极值确定函数的整体性态－最大值和最小值在实际问题中有着广泛的应用.一 极值判别费马定理(定理5.3)已经告诉我们极值的必要条件－函数在点0x 可导且0x 为f 的极值点则必有0)(0='x f .下面给出极值的三个充分条件.定理 6.10(极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续,在0x 某邻域);(00δx U 内可导.(ⅰ)若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则f 在0x 取得极小值;(ⅱ) 若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ,则f 在0x 取得极大值.若f 是二阶可导函数,则有如下判别极值定理.定理6.11(极值的第二充分条件) 设f 在0x 某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f .(ⅰ)若0)(0<''x f ,则f 在0x 取得极大值;(ⅱ)若0)(0>''x f ,则f 在0x 取得极小值.例1 求32)52()(x x x f -=的极值点与极值.例2 求xx x f 432)(2+=的极值点与极值. 对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别.定理 6.12(极值的第三充分条件) 设f 在0x 某邻域内直到1-n 阶导函数, 在0x 处n 阶可导, 且0)(0)(=x f k ),1,,2,1(-⋅⋅⋅=n k 0)(0)(≠x f n ,则(ⅰ)当n 为偶数时, f 在0x 取得极值,且当0)(0)(<x f n 时取得极大值, 当0)(0)(>x f n 时取得极小值;(ⅱ)当n 为奇数时, f 在0x 不取得极值.例3求34)1()(-=x x x f 的极值.注 定理6.12仅是判定极值的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-000)(21x x e x f x 显然它在0=x 处取得极小值,但此时)(0)0()(+∈=N n f n .二 最大值与最小值极值是局部性概念,而最值是全局概念.极值是函数在极值点的某邻域内的最大值或最小值.最值是函数在所考察的区间上全部函数值中的最大值或最小值.若最值在区间内部取得则最值必是极值.在第四章中我们知道,闭区间],[b a 上连续函数一定存在最大值与最小值.下面我们给出求闭区间上连续函数且不可导点和驻点个数为有限个的函数的最大值和最小值的方法:(1)求出导函数)(x f ';(2)求)(x f 在),(b a 内的驻点和不可导点;(3)计算)(a f 、)(b f 及函数在所有驻点和不可导点处的函数值;(4)比较上述各值大小从而确定最大值和最小值.例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间]25,41[-上的最大值与最小值.在实际问题中,求函数的最大值或最小值往往碰到如下两种特殊情形,此时最值的求法可不必按照上述四个步骤.情形 1 函数)(x f 在一个区间上可导且只有一个极值点,则此极值点即为最值点.例5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h),燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1 km 所消耗的费用最小?情形 2 如果由实际问题的性质可判定可导函数)(x f 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,这时若)(x f 在定义区间内部只有一个驻点0x ,那么不必讨论)(0x f 是不是极值就可以断定)(0x f 是最大值或最小值.例6 一张1.4米高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8米,问观察者应站在距墙多远处看图最清楚?(即视角最大)下面我们再看两个“最值应用”的例题.例7 用最值方法证明不等式1 ,1)1(211>≤-+≤-p x x p p p[提示] 令1],1,0[,)1()(>∈-+=p x x x x f p p ,可求出)(x f 在]1,0[上的最大值为1,最小值为121-p ,从而得所证不等式.例8 求数列{}n n 的最大项.[提示] 令),0()(1>=x x x f x可求出)(x f 在点e x =取得最大值,进一步地分析可知数列的最大项应是第三项.§5 函数的凸性与拐点凸函数是有着广泛应用的一类函数.本节将介绍凸函数的基本性质并以凸函数为工具来证明一些不等式.一 函数的凸性定义1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对∈∀∈∀λ,,21I x x )1,0(总有 )()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (1) 则称f 为I 上的凸函数.反之,若总有)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2) 则称f 为I 上的凹函数.若(1),(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.不难证明:若f -为I 上的凸函数, 则f 为I 上的凹函数.故今后只需讨论凸函数及其性质.引理1 f 为I 上的凸函数⇔对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈∀总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- (3) 引理2 f 为I 上的凸函数⇔对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈∀总有232313131212)()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤--≤-- (4) (仿引理1可证)对于可导函数,有定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: (ⅰ) f 为I 上的凸函数;(ⅱ) f '为I 上的增函数;(ⅲ) I x x ∈∀21,,有))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥ (5) 注 论断(ⅲ)的几何意义是:曲线)(x f y =总是在它的任一条切线的上方.这是可导凸函数的几何特征.定理 6.14 设f 为区间I 上的二阶可导函数,则f 为I 上的凸(凹)函数的充要条件是I x x f ∈∀≤≥''),0(0)( .证 由定理6.3和定理6.13得. 例1 讨论2)(x e x f -=的凸性. 例 2 若f 为定义在开区间),(b a 内的可导凸(凹)函数,则),(0b a x ∈为f 的极大(小)值的充要条件是0x 为f 的稳定点,即0)(0='x f .下面的例子是定义1的一般情况.例 3 (詹森(Jensen)不等式)若f 为],[b a 上的凸函数,则对1),,,2,1(0],,[1=⋅⋅⋅=>∈∀∑=n i i i i n i b a x λλ,有)()(11i ni i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ (6)证 应用数学归纳法并结合凸函数的性质证之.注 以Jensen 不等式为工具可以证明H Ölder 不等式、Minkowski 不等式等经典不等式.例4 证明0,, ,)(3>≤++c b a c b a abc c b a cb a证明 令)0(ln )(>=x x x x f 应用Jensen 不等式证之.例 5 设f 为开区间I 内的凸(凹)函数,则f 在I 内任一点都存在左、右导数.二 拐点定义 2 设曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 有穿过曲线的切线,且在切点附近,曲线在切线的两侧分别是严格凸的和严格凹的,则称点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点.注 (ⅰ)拐点是曲线凸凹性的分界点.(ⅱ)拐点是曲线上的点.例6 正弦曲线x y sin =,其拐点为Z k k ∈),0,(π.定理 6.15 若f 在点0x 二阶可导,则))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点的必要条件是0)(0=''x f .定理6.16 设f 在点0x 可导, 在)(00x U 内二阶可导,若在)(00x U + 和)(00x U -上f ''的符号相反,则))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点.注 拐点的的可疑点为两类:一类是0)(0=''x f 相应的点))(,(00x f x ,另一类是二阶导数不存在的点))(,(00x f x .例7 求2x e y -=的拐点例8.函数3x y =上点(0,0)是其拐点,但)0(f '不存在(在点(0,0)处有垂直切线).由此可见,若点))(,(00x f x 为)(x f y =的拐点, f 在点0x的导数未必存在.§6 函数图像的讨论在中学里,我们主要依赖描点作图法画出一些简单函数的图像.一般来说,这样得到的图像比较粗糙,无法确切反映函数的性态(如单调区间,极值点,凸性区间,拐点等).这一节里,我们将综合应用在本章前几节学过的方法,再综合周期性、奇偶性、渐近线等知识,较完善地作出函数地图像.作出函数图像的一般程序是:1.求函数地定义域;2.考察函数的奇偶性、周期性;3.求函数的某些特殊点,如与两个坐标轴的交点,不连续点,不可导点等;4.确定函数的单调区间,极值点,凸性区间以及拐点;5.考察渐近线;6.综合以上讨论结果画出函数的图像.例 作出函数23)1(2-=x x y 的图像。
3.1 微分中值定理
π
自证: arctan + arccot = , ∈ (−∞, +∞).
2
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
例3 证明当 > 0时,
< ln( 1 + ) < .
1+
证
设 () = ln( 1 + ), 则()在[0, ]上满足拉格朗日中值定理的条件,
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
二、拉格朗日中值定理
拉格朗日定理
如果函数()满足
(1) 在闭区间[, ]上连续;
(2) 在开区间(, )内可导,
() − ()
.
则在开区间 , 内至少存在一点 , 使得 ′( ) =
−
几何解释∶
在曲线弧 上至少有一点 , 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用
分析:
欲证 ′ (
() − ()
)=
−
将 变为
逆
向
思
维
′ ()
() − ()
=
−
适当变形
() − ()
() −
−
′
=0
设为辅助函数
验证辅助函数满足罗尔定理条件, 得出结论.
则在开区间 , 内至少存在一点 ,使得
() − () ( )
(( ), ( ))
几何解释∶
在曲线弧上至少有一点, 在该点处的切线平行于弦.
第一节 微分中值定理
第三章 微分中值定理与导数的应用
微分中值定理及其应用
第五章 微分中值定理及其应用§1 微分中值定理引言在前一章中，我们引进了导数的概念，详细地讨论了计算导数的方法。
这样一来，类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决。
但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题，那么，只知道怎样计算导数是远远不够的，而要以此为基础，发展更多的工具。
另一方面，我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数；（2）导数只是反映函数在一点的局部特征；（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态，因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥，这个“桥”就是微分中值定理。
本章以中值定理为中心，来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用。
一 费马定理定义1（极值） 若函数f 在区间X 上有定义，0x X ∈。
若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0(,)x O x δ∈，有0()()f x f x ≥，则称f 在点0x 取得极大值，称点0x 为极大值点。
若存在0x 的邻域0(,)O x δ，使得对于任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤，则称f 在点0x 取得极小值，称点0x 为极小值点。
极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点。
极值存在的必要条件――费马定理费马定理 若函数在点0x 的邻域内有定义，且在点0x 可导。
若0x 为f 的极值点，则比有0()0f x '=。
几何意义：可导极值点的切线平行于x 轴。
由费马定理可知, 可导极值点是稳定点，反之不然。
如3()f x x =,点x=0是稳定点，但不是极值点。
二 中值定理Lagrange 定理 若函数f 满足以下条件：（1）f 在[],a b 上连续；（2）f 在(),a b )内可导。
则在(),a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-。
特别地，当()()f a f b =时，有如下Rolle 定理：Rolle 定理 若f 满足如下条件：（1）()f x 在[],a b 上连续；（2）()g x 在(),a b )内可导；（3）()()f a f b =，则存在ξ∈(),a b ，使得()0f ξ'=。
微分中值定理与导数的应用总结
微分中值定理与导数的应用总结一、微分中值定理1.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微分中值定理的最基本形式，它描述了导数在其中一区间上的平均变化等于该区间两端的导数之差。
拉格朗日中值定理的数学表达为：若函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么存在一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=(b-a)f′(c)。
利用拉格朗日中值定理，可以证明函数在一些区间上的一些点必然具有特定的性质，例如存在极大值和极小值点等。
2.柯西中值定理柯西中值定理是微分中值定理中的进一步推广，在拉格朗日中值定理的基础上增加了另一个函数的条件。
柯西中值定理的数学表达为：若函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导且g(x)不为零，那么存在一个c∈(a,b)，使得[f(b)-f(a)]g′(c)=[g(b)-g(a)]f′(c)。
利用柯西中值定理，可以对两个函数的导数之间的关系进行研究，从而得到有关函数的性质，如凸性、单调性等。
3.罗尔中值定理罗尔中值定理是微分中值定理中的特殊情况，它描述了一个连续函数在(a,b)内可导，并且在a处和b处的函数值相等，则在(a,b)内存在一个c∈(a,b)，使得f′(c)=0。
利用罗尔中值定理，可以证明函数在一些区间上的导数为零的点，进而得到函数的极值点、拐点等。
二、导数的应用导数是微积分中最重要的概念之一，它具有丰富的应用，以下列举几个常见的应用：1.极值问题函数的极值问题是导数应用中的经典问题之一，通过求函数的导数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点和极值值。
2.函数的单调性导数可以反映函数的增减情况，通过分析函数的导数的正负变化可以确定函数的单调性，即函数是递增还是递减的。
3.函数的凹凸性函数的凹凸性可以通过分析函数的二阶导数来确定，二阶导数大于零时为凹函数，二阶导数小于零时为凸函数。
4.函数的拐点函数的拐点是函数图像由凹变凸或由凸变凹的点，可以通过分析函数的二阶导数的变化情况来确定。
《高等数学课件：微分中值定理及其应用》
总结及展望
微分中值定理的应用 前景
微分中值定理在数学、物理、 工程、生物等领域都有着广泛 的应用，并且仍有很大的拓展 空间。
பைடு நூலகம்微分中值定理在其它 学科的应用
微分中值定理不仅在数学中有 着广泛的应用，还被用于描述 自然界中各种现象，如气体分 布、电场、声波等。
未来研究方向
未来的研究方向包括微分中值 定理的进一步推广、新的微分 中值定理的发现、微分中值定 理的计算机化研究等。
拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是微分中 值定理的基本形式之一，它 不仅易于掌握，而且具有广 泛的应用。
多元函数微分中值定理
多元函数微分中值定理是微 积分学中的重要内容之一。 与单变量函数的微分中值定 理不同的是，多元函数微分 中值定理中需要用到偏导数 的概念。
微分中值定理的应用
函数极值问题
微分中值定理在函数极值问题中 有广泛应用，可以用来证明存在 极值，求出极值等。
弧长公式及其应用
泰勒公式及其应用
微分中值定理可以用来证明弧长 的计算公式，进而在计算弧长、 曲率半径等方面有着重要的应用。
泰勒公式是微积分学中的重要内 容之一，其应用涉及到数值计算、 极值、最小二乘拟合、函数逼近 等方面。
微分中值定理的证明
1
利用可导函数的解析表示证明微
2
分中值定理
微分中值定理可以通过用可导函数的解
1 广义中值定理
2 高阶微分中值定理
广义中值定理是微分中值定 理的一般化，它允许函数在 某些点上不必连续或不可导。
高阶微分中值定理是微积分 学中的重要内容之一，它比 基本的微分中值定理更加深 入，适用范围也更广。
3 各类变形微分中值定理
除了基本的微分中值定理、广义中值定理、高阶微分中值定理外，还 有各种各样的变形微分中值定理，如反常中值定理、位相中值定理等。
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3[1]1微分中值定理
及其应用
3.2 微分中值定理及其应用
教学目的：
1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基
础；
2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限；
3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题；
4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象；
5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。
教学重点、难点：
本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。
教学时数：2学时
一、微分中值定理:
1. Rolle中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,且有.则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
grange中值定理: 设函数在区间上连续,在内可导,
则«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函
数.
推论2 函数和在区间I上可导且
推论3 设函数在点的某右邻域上连续,在内可导.
若存在,则右导数也存在,且有
(证)
但是, 不存在时, 却未必有不存在. 例如对函数
虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).
Th ( 导数极限定理 ) 设函数在点的某邻域内连续,在
内可导. 若极限存在, 则也存在, 且( 证 ) 由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函
数的连续点,要么是的第二类间断点.这就是说,当函数在区间I
上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.
推论4 ( 导函数的介值性 ) 若函数在闭区间上可导, 且
( 证 )
Th ( Darboux ) 设函数在区间上可导且. 若
为介于与之间的任一实数, 则
设对辅助函数, 应用系4的结果. ( 证 )
3.Cauchy中值定理:
Th 3 设函数和在闭区间上连续, 在开区间内可导, 和在内不同时为零, 又则在内至少存在一点
使.
证分析引出辅助函数. 验证在
上满足Rolle定理的条件,
必有, 因为否则就有.这与条件“和在内不
同时为零”矛盾.
Cauchy中值定理的几何意义.
（二）中值定理的简单应用:
1. Rolle中值定理的应用
例1设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明: .
提示：设«Skip Record If...»
例2设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,且«Skip Record If...».试证明:«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
例3设函数«Skip Record If...»在区间上连续,在内可导,对«Skip Record If...»,试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»
提示：设«Skip Record If...»
例4 已知函数«Skip Record If...»具有二阶导数,且«Skip Record If...»试证在区间«Skip Record If...»内至少存在一点«Skip Record If...»
例5 证明方程在内有实根.
例6 证明方程在内有实根.
练习设函数在区间«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»内可导,且«Skip Record If...»,试证明(1)«Skip Record If...»;
(2) 对任意实数«Skip Record If...»,必存在«Skip Record If...».
提示：(2)«Skip Record If...», «Skip Record If...»
广义Rolle中值定理：设函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»可微，«Skip Record If...»存在且等于«Skip Record If...»，
则存在«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...».
例7设函数在«Skip Record If...»上连续可微,«Skip Record If...»,证明存在一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».
练习设函数在«Skip Record If...»上可微,«Skip Record If...», 试证«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».
grange中值定理的应用
例8 设是可微函数, 导函数«Skip Record If...»严格单调增加,若«Skip Record If...»,试证对一切«Skip Record If...»,有«Skip Record If...».(不得直接利用凸函数的性质)
3.Cauchy中值定理的应用
例1 设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...».
练习设函数在区间上连续, 在内可导,«Skip Record If...»则«Skip Record If...»使得«Skip Record If...»
(三).Jensen不等式及其应用:
Jensen 不等式: 设在区间上恒有( 或, 则对
上的任意个点, 有Jensen不等式:
( 或,
且等号当且仅当时成立.
证令, 把表为点处具二阶Lagrange型余项的Taylor公式，仿前述定理的证明，注意即得所证.
对具体的函数套用Jensen不等式的结果, 可以证明一些较复杂的不等式. 这种证明不等式的方法称为Jensen不等式法或凸函数法. 具体应用时, 往往还用到所选函数的严格单调性.
例2证明: 对有不等式.
例3证明均值不等式: 对, 有均值不等式
.
证先证不等式.
取.在内严格上凸, 由Jensen不等式, 有
. 由↗↗.
对用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端.
例4证明: 对, 有不等式
. ( 平方根平均值 )
例5设，证明.
解取, 应用Jensen不等式.
Jensen不等式在初等数学中的应用举例: 参阅荆昌汉文: “凸(凹)函数定理在不等式证明中的应用”,《数学通讯》1980.4. P39.
例6在⊿中, 求证.
解考虑函数
在区间内凹, 由Jensen不等式, 有
.
.
例7 已知. 求证
.
解考虑函数, 在内严格上凸. 由Jensen不等式, 有
.
.
例8已知求证.( 留为作业 ) 解函数在内严格下凸. 由Jensen不等式, 有
.。