点到平面的距离计算(人教A版)
高中数学人教A版 选择性必修第一册 两点间的距离公式 课件
勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问4 ：如何求 1 2 ？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问5：如果直线 与坐标轴平行，或在坐标轴上，两点间距离是否满足
经典例题
题型一
两条直线的交点问题
跟踪训练1
(1)若两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，则 k＝________；
(2)求经过点 P(1,0)和两直线 l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0 交点的直线方程.
k
k
(1)在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0，得 y＝3，将(0，3)代入 x－ky＋12＝0，解得 k＝±6.
课堂小结
已知平面内两点 , ， , ，能否说出两点间的距离
公式？
y
P2
能否描述这句话对应的几何图形？
2 −1
证明两点间距离公式的基本方法
x
O
P1
2 − 1
A
课堂小结
回归两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈一谈你的感受？
几何
代数
坐标
几何
随堂检测
1.求下列两点间的距离:
跟踪训练2
(1)已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，对角线为 AC 和 BD.求证：|AC|＝|BD|.
解：
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
思考：已知直线的单位方向向量为，是直线上的定点，直线外一点.
|| =
设 = ，如何利用这些条件求点到直线的距离？
Ԧ
追问1：与有何关系？
是在直线上的投影向量，
且 = ||
Ԧ ∙ cos∠ ∙ = (Ԧ ∙ ) ∙
面的距离公式为？
点到平面的距离就是在直线上投影向量的长度.
因此 = | ∙
|
||
=
∙
|
|
||
=
|∙|
.
||
追问：如何求直线与平面间的距离？
两个平行平面间的距离？
⟺点到平面的距离
α
典例精析
例题：如图，在棱长为1的正方体 − 1 1 1 1 中，为线段1 1 的中
(4)求距离 =
|∙|
.
||
α
归纳总结
与用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”类似，我们可以得出用
空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
2
2
2
2
1
因为 = 1 = (−1, , 0)，所以//1 ，即//平面1 .
2
所以点到平面1 的距离即为直线到平面1 的距离.
设平面1 的法向量为 = (, , )，
1
2
− =0
∙ = 0
则
，即
，取 = 1，则 = (1,2,1)，
(完整word版)人教A版高中数学必修2知识点
必修2知识点归纳第一章 空间几何体1、空间几何体的结构：空间几何体分为多面体和旋转体和简单组合体⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。
简单组合体的构成形式：一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中（1）（2）物体表示的几何体； 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示的几何体。
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
1、空间几何体的三视图和直观图把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
（1）定义：正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图； 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图； 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。
几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。
（2）三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等”2、空间几何体的直观图（表示空间图形的平面图）. 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.3、斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''xOy∠=450（或1350），注意它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；一般地，原图的面积是其直观图面积的22倍，即22S S 原图直观＝4、空间几何体的表面积与体积⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面⑶圆台侧面积：l R lr S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面⑷体积公式：h S V ⋅=柱体；h S V ⋅=31锥体；()13V h S S S S =+⋅+下下台体上上⑸球的表面积和体积：32344R V R S ππ==球球，.一般地，面积比等于相似比的平方，体积比等于相似比的立方。
人教A版高中数学选择性必修第一册第1章 1.4.2 第1课时 距离问题讲义
1．4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时距离问题学习目标1.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.2.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想．知识点一点P 到直线l 的距离已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l 的距离为a 2－(a ·u )2 (如图)．知识点二点P 到平面α的距离设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |(如图)．思考怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？ 答案两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到这个平面的距离．1．空间内有三点A (2,1,3)，B (0,2,5)，C (3,7,0)，则点B 到AC 的中点P 的距离为() A.102B ．5C.3102D ．3 5 答案C2．已知直线l 过点A (1，－1,2)，和l 垂直的一个向量为n ＝(－3,0,4)，则P (3,5,0)到l 的距离为()A ．5B ．14C.145D.45答案C解析∵P A →＝(－2，－6,2)，P A →·n ＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14，|n |＝5， ∴点P 到直线l 的距离为d ＝|P A →·n ||n |＝145.3．已知直线l 与平面α相交于点O ，A ∈l ，B 为线段OA 的中点，若点A 到平面α的距离为10，则点B 到平面α的距离为________． 答案54．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________． 答案103解析点P 到平面α的距离 d ＝|P A →·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝103.一、点到直线的距离例1如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，求点B 到直线A ′C 的距离．解因为AB ＝1，BC ＝2，AA ′＝3，所以A ′(0,0,3)，C (1,2,0)，B (1,0,0)， 所以直线A ′C 的方向向量A ′C ———→＝(1,2, －3)． 又BC →＝(0,2,0)，所以BC →在A ′C ———→上的投影长为|BC →·A ′C ———→||A ′C ———→|＝414.所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C ———→|A ′C ———→|2＝4－1614＝2357. 反思感悟用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练1已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1C ，D 1A 1的中点，求点A 到EF 的距离．解以D 点为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设DA ＝2，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，则EF →＝(1，－2,1)，F A →＝(1，0，－2)． |EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6，F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1，F A →在EF →上的投影长为|F A →·EF →||EF →|＝16.所以点A 到EF 的距离d ＝|F A →|2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746. 二、点到平面的距离与直线到平面的距离例2如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离． 解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0. 设DH ⊥平面PEF ，垂足为H ，则DH →＝xDE →＋yDF →＋zDP →＝⎝⎛⎭⎫x ＋12y ，12x ＋y ，z ， x ＋y ＋z ＝1，PE →＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF →＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1， 所以DH →·PE →＝x ＋12y ＋12⎝⎛⎭⎫12x ＋y －z ＝54x ＋y －z ＝0. 同理，DH →·PF →＝x ＋54y －z ＝0，又x ＋y ＋z ＝1，解得x ＝y ＝417，z ＝917. 所以DH →＝317(2,2,3)，所以|DH →|＝31717.因此，点D 到平面PEF 的距离为31717.(2)连接AC ，则AC ∥EF ，直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离， 平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)， 所求距离为|AE →·n ||n |＝117＝1717.反思感悟用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )． (4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.跟踪训练2如图所示，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱．若点C 到平面AB 1D 1的距离为43，求正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高．解设正四棱柱的高为h (h >0)，建立如图所示的空间直角坐标系，有A (0,0，h )，B 1(1,0,0)，D 1(0,1,0)，C (1,1，h )， 则AB 1—→＝(1,0，－h )，AD 1—→＝(0,1，－h )，AC →＝(1,1,0)， 设平面AB 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －hz ＝0，y －hz ＝0，取z ＝1，得n ＝(h ，h ，1)，所以点C 到平面AB 1D 1的距离为d ＝|n ·AC →||n |＝h ＋h ＋0h 2＋h 2＋1＝43，解得h ＝2.故正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的高为2.1．已知A (0, 0, 2) ，B (1, 0, 2) ，C (0, 2, 0) ，则点A 到直线BC 的距离为() A.223B ．1C.2D.2 2答案A解析∵A (0, 0,2)，B (1, 0,2)，C (0, 2,0)， AB →＝(1, 0,0) ，BC →＝(－1, 2，－2) ， ∴点A 到直线BC 的距离为d ＝|AB →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →·BC →|BC →|2＝1－⎝⎛⎭⎪⎫－132＝223. 2．若三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，且满足P A ＝PB ＝PC ＝1，则点P 到平面ABC 的距离是() A.66B.63C.36D.33答案D解析分别以P A ，PB ，PC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1)， 则d ＝|P A →·n ||n |＝33.3．已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离为() A.36B.33C.233 D.32答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0) , C 1(0,1,0) , D (0,0,1) , A (1,0,1) ，所以DA 1—→＝(1,0，－1) ，DC 1—→＝(0,1，－1) , AD →＝(－1,0,0) ，设平面A 1C 1D 的一个法向量为m ＝(x ，y ，1) ， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥DA 1→，m ⊥DC 1→，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝0，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故m ＝(1,1,1)，显然平面AB 1C ∥平面A 1C 1D ，所以平面AB 1C 与平面A 1C 1D 之间的距离d ＝|AD →·m ||m |＝13＝33.4．已知直线l 经过点A (2,3,1)，且向量n ＝(1,0，－1)所在直线与l 垂直，则点P (4,3,2)到l 的距离为________． 答案22解析因为P A →＝(－2,0，－1)，又n 与l 垂直， 所以点P 到l 的距离为|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F ，G 分别是C 1C ，D 1A 1，AB 的中点，则点A 到平面EFG 的距离为________． 答案33解析建系如图，则A (2,0,0)，E (0,2,1)，F (1,0,2)，G (2,1,0)，所以AG →＝(0,1,0)， GE →＝(－2,1,1)，GF →＝(－1，－1,2)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面EFG 的法向量，点A 到平面EFG 的距离为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·GE →＝0，n ·GF →＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋y ＋z ＝0，－x －y ＋2z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝z ，y ＝z ，令z ＝1，此时n ＝(1,1,1)， 所以d ＝|AG →·n ||n |＝13＝33.即点A 到平面EFG 的距离为33.1．知识清单： (1)点到直线的距离．(2)点到平面的距离与直线到平面的距离． 2．方法归纳：数形结合、转化法．3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的理解是应用的基础．。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
——夹角问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量. 下 面我们用向量方法研究直线 与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角，先看线线角.
1. 线线角 (异面直线所成的角)
一般地，两条异面直线所成的角，可以转化为两条异面直线的方向向量的夹角
或d PQ |AP n | |AP n| . |n| |n|
P n
d
α
A
Q
4. 直线到平面的距离： 直线到平面的距离可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
P•
l
n
d
α
Q A
3. 两个平行平面之间的距离：
两个平行平面之间的距离也可转化为点到平面的距离求解.
d |AP n| . |n|
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
z
G
d | n BE | 2 11 .
n
11
D x
F
A
E
C
B y
【巩固训练3】如图，正方体ABCD和ABEF的边长都是1，且它们所在平面互相垂
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第二章 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离
故所求最小值为 a ,此时点 P 的坐标为(0, 6 a).
2
探究点三 求点到直线的距离
【例3】 (1)点P(-1,2)到直线2x+y-10=0的距离为
(2)点P(-1,2)到直线3x=2的距离为
.
.
(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则实
数m的值为
(3)已知点A(-2,-1),B(a,3),且|AB|=5,则a的值为1.( × )
(4)已知A(4,0),B(0,4),从点P(1,0)射出的光线被直线AB反射后,再射到直线
OB上,最后经OB反射后回到P点,则光线所经过的路程是 √34 .( √ )
2.两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式能否表示为|P1P2|= (x1 -x2 )2 + (y1 -y2 )2 ?
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
的距离d=|x0-b|.
知识点3 两条平行直线间的距离
1.概念:夹在两条平行直线间的 公垂线段
的长就是两条平行直线间的
距离.
2.求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
新教材高中数学第二章点到直线的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册ppt
∴l1:x+3y+7=0. 又正方形另两边所在直线均与l垂直,
∴设另两边所在直线的方程分别为3x-y+a=0,3x-y+b=0(a≠b).
∵正方形的中心到四条边所在直线的距离相等,
∴ | 3 a | = | 3 b | = | 1 5 | ,
32 (1)2 32 (1)2 12 32
解得a=9,b=-3或a=-3,b=9, ∴另两边所在直线的方程分别为3x-y+9=0,3x-y-3=0. ∴正方形其他三边所在直线的方程分别为x+3y+7=0,3x-y+9=0,3x-y-3=0.
夹在两条平行直线间的公垂线 段的长
点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)的距离d=①
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l 2:Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)
| Ax0 By0 C | A2 B2
间的距离d=②
| C1 C2 | A2 B2
判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.点到直线的垂线段的长度就是点到直线的距离.( √ )
2.点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 b | . ( ✕ )
1 k2
提示:直线方程化为一般式为kx-y+b=0,P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 | kx0 y0 b | .
解析 (1)设l2的方程为3x+4y+d=0(d≠-5),由条件知l1与l之间的距离等于l2与l之间
的距离,则 | 5 1| =
32 42
|d 32
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
用空间向量研究立体几何中的直线、平面的距离问题(课时教学设计)-高中数学人教A版2019选择性必修一
课时教学设计用空间向量研究距离一、教学内容点到直线、点到平面、相互平行的直线、直线到平面（直线与平面平行）、相互平行的平面的距离。
二、教学目标2.1课前预习目标复习空间两点间的距离公式，向量夹角公式，向量投影概念及求法。
2.2课时目标（1）通过利用投影向量，勾股定理能够得到点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。
（2）通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公式能用向量方法解决点到直线、平行线间、点到平面、直线到平面（直线与平面平行）、平行平面间的距离问题，发展学生直观想象、逻辑推理、数学运算等素养。
2.3内容层次能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．能把相互平行的直线间的距离、直线到平面的距离（直线与平面平行）、相互平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离。
能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用。
提升学生直观想象和数学运算核心素养。
三、教学重点与难点重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式．难点：利用投影向量统一研究空间距离问题.四、教学过程设计前面我们学习了用空间向量及其运算研究立体几何中点、直线、平面这些几何元素的平行、垂直的位置关系．除了上述平行、垂直这些特殊的位置关系外，立体几何中还经常需要研究距离、角度等度量问题．现在，我们仍然通过空间向量及其运算研究这些几何元素之间产生的距离与夹角等问题．进一步体会空间向量解决立体几何的向量法法。
距离是欧氏几何中最基本的度量，回顾立体几何的学习，我们发现空间中点、直线、平面之间的距离问题包括：两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离等．距离是这些几何要素之间最短的路径，除两点间距离外，其他距离都需要用垂直刻画．问题1：你能把这些空间中的距离问题归类吗？师生活动：首先学生思考讨论，教师引导得到结果，点到直线的距离、两条平行线之间的距离可以归结为一类，因为两条平行线之间的距离可以转化为一直线上的点到另一条直线的距离问题；其次，点到平面的距离、直线到平面的距离以及平行平面之间的距离可以归结为点（或直线上的点，或一平面上的点）到平面的距离．所有的距离问题，都可以归结为两点间的距离．追问：如何用空间向量研究距离？师生活动：学生思考讨论，类比平面向量的知识，距离可以通过向量的模获得．例如，空间两点间的距离可以转化为空间向量的模的计算．教师可进一步点拨，除两点间的距离外，其他距离问题都需要通过垂直来刻画，投影向量和勾股定理势必在这些距离的计算中发挥重要作用．设计意图:明确研究内容和研究思路，将距离问题归类，引导学生研究其中最基本的问题问题2：如图，在空间中任取一点O ，作OM =a ，ON =b .（1）怎样表示向量b 方向上的单位向量u ？（2）如何作出向量a 在向量b 方向上的投影向量？（3）怎样用单位向量u表示向量a 在向量b 方向上的投影向量及投影向量的模？师生活动：学生回忆已学的概念、讨论交流．给出结果预设的答案（1）||bu =b ； （2）过点M 作1MM 垂直于直线ON ，垂足为1M ，向量1OM 即为向量a 在向量b 方向上的投影向量；（3）1=cos =cos |)|(OM θθ|a |u |u u =a |u a u ，即1=()OM a u u ，1||=||OM a u .设计意图:投影向量的概念是一个比较抽象的概念，不易被学生理解，而本节课距离公式的推导主要依赖于投影向量.投影向量的几何意义、代数表示及模，既体现了几何直观，又体现了代数定量刻画，从而提供了研究距离的方法. 复习回顾求任意非零向量方向上的单位向量，及投影向量的相关知识点，以便于学生更好的参与后续公式的推导过程，以及对公式的理解，进而突破难点.问题3：已知直线l的单位方向向量u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点. 如何利用这些条件求点P到直线l的距离？师生活动：学生结合已有知识，小组讨论思考，每组选出代表回答. 连接AP，AQ.进而利用得到向量AP在直线直线l上的投影向量AQ，表示投影向量AQ，求||勾股定理，可以求出点P到直线l的距离PQ.预设的答案：如图，设AP =a ，则向量AP 在直线l 上的投影向量|cos |cos |()AQ PAQ PAQ =∠=∠=a |u a |u |u a u u .在Rt AQP △中，由勾股定理，得222||||)PQ AP AQ =-=a a u .设计意图：学生多思考，多发言，老师引导学生实现问题的转化，让学生经历公式的推导过程， 发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.追问1：若AP 与直线l 垂直，点P 到直线l 2)a u 吗？师生活动：学生思考后作答，若AP 与直线l 垂直，则0=a u ，2)||||PA PQ ==a u .追问2：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P 以及直线l ，那么点A 应该如何确定？师生活动：学生思考后作答，点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度不会随着点A 的变化而变化，故点A 可以是直线l 上的任意一点.追问3：求解距离的过程中是否需要确定垂线段的垂足？师生活动：学生思考后作答，不需要，只需要参考向量和直线的单位方向向量.设计意图：通过问题串，引导学生继续深入理解用空间向量的方法解决点到直线距离问题的方法，理解利用向量求解点P到直线l距离问题时，只需该点P和直线l上的任意一点A确定的参考向量，不必确定垂足的位置，体会向量方法的的优越性.师生活动：教师总结，要理解公式中各字母的含义，明确点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.因此，求解点P到直线l距离问题时，只需直线l的方向向量及直线上l的任意一点A，这样得到参考向量AP或PA，再求得直线的单位方向向量带入公式即可.追问4：求点到直线距离的主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答，(1)作点到直线的垂线,点到垂足的距离即为点到直线的距离；(2)在三角形中用等面积法求解；(3)向量法，即点到直线的距离为参考向量的平方与投影向量的平方差的算术平方根.问题4：类比点到直线的距离的求法,如何求两条平行线间的距离？2师生活动：教师引导学生分析，问题中条件是什么，如何利用条件实现问题转化，学生思考后作答，在其中一条直线上任取一点P，将求两条平行直线之间的距离转化为求点P到另一条直线的距离.设计意图：根据已有知识类比学习，引导学生明确平行直线间的距离的求法：转化为一条直线上的任一点到另一条直线的距离，让学生感悟转化思想，化未知为已知．为后续把直线与平面间的距离、两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，在思想方法上做铺垫.问题5：已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点，P是平面α外一点.过点比点到直线距P作出平面α的垂线l，交平面α于点Q.类离的研究过程，如何用向量AP表示QP？追问1:类似于直线可由一个点和方向向量确定，确定一个平面的条件是什么？ 师生活动：由学生回答法向量追问2:你能类比求点到直线的距离的方法，利用向量投影求出点到平面的距离吗？师生活动：学生独立思考，然后分组讨论交流；教师巡视、点拨；学生分享研究成果，多媒体投影展示，师生评价，梳理成果，得出用空间向量求点到平面的距离的步骤第一步，确定平面α的法向量n ;第二步，选择“参考向量”AP ;第三步，确定“参考向量”AP 向法向量的n 的投影向量QP ;第四步，求投影向量QP 的模长，得到|||||||||cos |||||AP QP AP PAQ ⋅=∠=n n n n 设计意图 ：教师提出问题串，类比点到直线距离的研究过程，合作探究，得到点到平面的距离公式，让学生进一步体会平面的法向量在刻画平面、求距离中的作用.在求解点到平面的距离的过程中，平面的法向量的方向和法向量上投影向量的长度既体现了图形直观，又提供了代数定量刻画.在这个过程中，向量与起点无关的自由性也为求距离带来了便利.问题6：在立体几何图形中求解距离的问题时，已知条件中一般只会给出点P以及平面α，那么点A应该如何确定？求解距离的过程中是否需要找出点P在平面α内的投影以及垂线段？师生活动：学生思考后作答，点A可以是平面α内的任意一点.不需要找出点P 在平面α内的投影以及垂线段.教师讲授：求解点P到平面α距离问题时，理解公式中各字母的含义，只需平面α的法向量及平面α内的任意一点A，这样得到“参考向量”，明确点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比，即参考向量与法向量方向上的单位向量的数量积取绝对值.设计意图：类比点到直线距离的研究方法，以类似的方法研究点到平面的距离，使学生学会距离公式的同时，体会数学中常见的研究问题的方法“类比”.追问：如果直线l与平面α平行，如何求直线与平面的距离？如何求两平行平面之间的距离？师生活动：学生思考后作答，先证明直线与平面平行或面面平行，再转化为点到平面的距离.设计意图：通过对所提问题的思考，引导学生明确直线到平面的距离以及两平行平面的距离的求法：都可以转化为点到平面的距离．师生共析，将平行于平面的直线和两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离，得到统一的向量表达式，进一步体会转化的思想.问题7：求点到平面的距离主要有哪些方法？师生活动：学生思考后作答， (1)作点到平面的垂线,点与垂足的距离即为点到平面的距离. (2)在三棱锥中用等体积法求解. (3)向量法，即点到平面的距离为参考向量与法向量数量积的绝对值与法向量的模之比.2.初步应用，解决问题例1 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点.(1)求点B 到直线1AC 的距离；(2)求直线FC 到平面1AEC 的距离.师生活动：学生分析解题思路，教师给出解答示范.让学生注意到点A 在直线1AC 上，因此，可以选择AB 作为参考向量.事实上，可以选择直线1AC 上的任意一点和F 确定“参考向量”，另外，让学生注意到平面的法向量1AEC 不唯一.解：以1D 为原点， 11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1,0,1)A ，(1,1,1)B ，(0,1,1)C ，1(0,1,0)C ，1(1,,0)2E ，1(1,,1)2F ，所以(0,1,0)AB =，1(1,1,1)AC =--,1(0,,1)2AE =-,11(1,,0)2EC =-,1(1,,0)2FC =-,1(0,,0)2AF =.（1） 取(0,1,0)AB ==a ，1133||1,1,1)AC AC ==--u ，则 21=a ，3⋅=a u ．所以，点B 到直线1AC 2)13=-=a u ． (2) 因为11(1,,0)2FC EC ==-，所以1//FC EC ，又FC ⊄面1AEC ，1EC ⊂面1AEC ，所以//FC 平面1AEC ，所以点F 到平面1AEC 的距离，即为直线FC 到平面1AEC 的距离．设平面1AEC 的法向量为(,,)x y z =n ，则10,0.AE EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 所以 10,210.2y z x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩所以 2,.y z x z =⎧⎨=⎩取1z =，则1x =，2y =,所以，(1,2,1)=n 是平面1AEC 的一个法向量, 又因为1(0,,0)2AF=，所以点F到平面1AEC 的距离为 1|(0,,0)(1,2,1)|||||AF ⋅⋅==n n 即直线FC 到平面1AEC 的距离为6设计意图 ：通过典型例题，使学生巩固并逐步掌握利用向量方法求空间距离的方法，体会向量方法再解决距离问题中的作用，渗透用空间向量解决立体几何问题的一般过程,并注意培养学生规范的解题能力.追问：求两种距离的步骤是怎样的？师生活动：学生结合具体实例及公式特征，尝试总结解题步骤，教师总结.点P到直线l的距离：第一步：建系，在直线l上任取一点A (注：选择特殊便于计算的点)，求“参考向量AP(或PA)”的坐标.第二步：依据图形先求出直线l的单位方向向量u.第三步：带入公式求解.点P到面α的距离 :第一步：建系，选择“参考向量”AP；第二步：确定平面α的法向量n；第三步：带入公式求值.设计意图：总结求解距离问题的步骤，培养学生抽象概括的数学素养.3. 梳理归纳，感悟本质思考：回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？用的是什么方法？【预设的答案】本节课我们一起应用空间向量及其运算研究了求空间中的距离问题，包括两点间的距离，点到直线的距离，平行直线之间的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离，平行平面之间的距离等，结合投影向量、勾股定理以及向量数量积运算等，我们得到了这些距离问题的计算公式，并通过例题的解决，体会了公式的使用，在很多问题中，我们需要建立空间直角坐标系，求出点的坐标，以及直线的方向向量、平面的法向量的坐标表示，代入公式进行计算．我们用类比和转化的研究方法，把要解决的五个距离问题转化为两个距离问题，几何问题转化为向量问题，求解距离转化为向量运算，在此过程中提升直观想象、数学运算和逻辑推理等数学学科核心素养．教师讲授：本节课的学习你体会到向量方法解决立体几何问题的“三步曲”吗？与用平面向量解决平面几何问题的 “三步曲”类似，我们可以得出用空间向量解决立体几何问题的 “三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 五、课堂检测与评价1．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，点A 到平面1B C 的距离等于_________；直线CD 到平面1AB 的距离等于________；平面1DA 到平面1CB 的距离等于__________．2．已知直线l 过定点(2,3,1)A ，且(0,1,1)=n 为其一个方向向量，则点()4,3,2P 到直线l 的距离为（ ） A ．322 B ．22 C ．102D ．2 3．已知平面α的一个法向量()2,2,1=--n ，点()1,3,0A -在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为（ ）A ．10B ．3C ．83D ．1034．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，求平面1A DB 与平面11D CB 的距离．设计意图 ：作业中的4个题目，包括了求点到直线的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离以及两平行平面间的距离等主要的距离问题，尤其突出训练了本节课的重点以及难点，即点到直线、点到平面的距离.这样可以使学生巩固课上所学习的知识，提升对公式的应用能力.六、教学反思教学中主要突出了几个方面：一是进一步突出运用向量法解决立体几何问题的基本程序，发展学生的数学建模思想和逻辑推理能力。
高中数学直线和圆的方程 点到直线的距离公式3_4两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位素养阐释
1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.
2.掌握两条平行直线间的距离公式.
3.会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离.
4.培养逻辑推理和数学运算素养.
自主预习 新知导学
一、点到直线的距离公式
【问题思考】
1.如图,平面上点P到直线l的距离是指什么?
d=
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
.
7.做一做:原点到直线x+2y-5=0的距离为(
A.1
C.2
B. 3
D. 5
解析:由点到直线的距离公式,得 d=
答案:D
)
|-5|
12 +22
=
|-5|
5
= 5.
二、两条平行直线间的距离
【问题思考】
1.两条平行直线间的距离是指什么?
提示:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的
把Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0两式相减,得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.
由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直.
向量
1
2 + 2
我们取 n=
(A,B)就是与直线 l 的方向向量垂直的一个单位向量,
1
2 + 2
(A,B).
5.根据问题3,4的内容,你能求出|PQ|的值吗?
(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.
分析:对于(1)可用点到直线的距离公式求解,对于(2)(3)除了公式法求距
2.3.2两点间的距离公式2023-2024学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第一步：建立坐标
系, 用坐标表示有
关的量
第二步：进行
有关代数运算
第三步：把代数运
算的结果“翻译”
成几何结论
小试身手
辨析1.判断正误.
(1) ( − 1)2 + 2 表示的是平面内点(, )到点(1,0)的距离.(
(2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关.(
OP
O
x2 y2 .
P1
x
探究交流
追问：你能利用P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 )构造直角三角形, 再用勾股定理
推导两点间距离公式吗 ? 与向量法比较, ，你有什么体会 ?
y
O
P1 ( x1 , y1 )
y
x
Q( x2 , y1 )
P1Q x2 x1
y
P2 ( x2 , y2 )
0 ，PA 2 2
P
探究交流
例3 已知点A( 1, 2), B(2, 7 ), 在x轴上求一点P , 使 PA PB ,
并求 PA 的值.
设
列
解
法1：设点 P 坐标， 法2：由| PA |= | PB|判断出点
P 在线段 AB 的垂直平分线上，
由线段相等，建立关
于点 P 的方程，
求线段 AB 的垂直平分线方程，
的最大值和最小值.
x2
y 3 y (3)
析:
的几何意义是点C (2,3)
x 2 x (2)
2
和动点M ( x, y)的连线斜率.
依题意得点M在曲线AB上运动,
其中A( 1,5), B(1,1).
向量法求空间距离(人教A版)
向量法求空间距离（人教A版）
一、单选题(共7道，每道14分)
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是与的交点，则点O到平面
的距离为( )
A. B.
C. D.
2.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别是棱、的中点，则点到平面的距离是( )
A. B.
C. D.
3.如图，已知四边形是正方形，平面，且．若是中点，则点到平面的距离是( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知四棱锥中，平面．是直角梯形，
∥，，，，则点到平面的距离是( )
A. B.
C. D.
5.在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面
的距离是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在四棱锥A-BCDE中，AC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1．点D与平面ABE的距离为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在正三棱柱中，，点为中点．若二面角
的大小为，则点到平面的距离是( )
A. B.
C. D.。
2.3.3点到直线的距离公式-高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
.
当 = ，或 = 时，上述公式仍然成立.
课本P77 练习
2．求下列点到直线的距离:
(1)(− ，)， ： + + = ；
(2)(，)，： + − = ；
(3)(， − )，： + = .
课本P77 练习
3．已知点(− ，)到直线 ： − + = 的距离为1，求的值.
−1 + 0 − 4
5
ℎ=
=
2
12 + 12
1
5
2
因此， = × 2 × = 5
2
2
y
A
2
1
h
B
C
-1 O
1
2
3
x
利用两点距离公式求三边长度
利用余弦定理求角
利用正弦定理面积公式进行计算
点 , 到直线： + + = 的距离
=
+ +
+
代入上式，得 ⋅ =
l
P
+
因此 = = ⋅ =
− − −
+ +
+
.
P1
x
上述两种方法：
第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算
得到结果，思路自然；
第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．
y
P
l
Q
O
x
问题1 我们该如何求 到直线 的距离？
首先，作图，先做出点到直线的距离
如图，点到直线的距离，就是从点到直线的垂
y
(新教材)人教A版选择性必修第一册：空间向量与立体几何
人教A 版选择性必修第一册：空间向量与立体几何一．选择题（共9小题）1．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=2．若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( )A ．,,b c b b c -+B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+3．已知空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，则实数k 的值是( ) A ．2B ．4C ．4-D ．2-4．空间点(A x ，y ，)z ，(0O ，0，0)，B ，若||1AO =，则||AB 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．45．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点2(4M a a -，3b +，21)c +关于y 轴的一个对称点M '的坐标为(4，2-，15)，则a b c ++的值( ) A ．等于10B ．等于0C ．等于11-D ．不确定6．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN 的取值范围为( ) A ．[0，4] B ．[0，2]C ．[1，4]D ．[1，2]7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．28．已知直线l 的一个方向向量(2m =，1-，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)和(1B -，2，)z 两点，则(y z -= ) A ．0B ．1C ．32D ．39．已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD 的值为( ) A ．14 B ．14-C ．3 D ．3-二．多选题（共3小题）10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是( )A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90︒ B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形C ．二面角11D BC B --的大小为30︒D ．正方体1111ABCD A B C D -31-11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)12．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗ 三．填空题（共2小题）13．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，SD AB =，则异面直线SB 与AC 所成角的大小为 ，二面角S AB D --的大小为 ．14．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与面11ABB A 所成的角为 ．四．解答题（共7小题）15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F ，G 分别为1AA ，11A C ，AB 的中点．（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值； （2）求二面角1B EG F --的余弦值．16．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA PD =，底面ABCD 为棱形，60BAD ∠=︒，点E 为AD 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若PE AB ⊥，二面角D PA B --的余弦值为5，且4BC =，求PE 的长．17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，E 为棱1BB 上一点，且1AE AC ⊥． （1）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分． ①证明：AE ⊥平面1ACD ． ②证明：1//BC 平面1ACD ． （2）若2AB =，13AA =，求二面角11A BC C --的余弦值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（1）求证：1AA ⊥平面ABC ； （2）求二面角111A BC B --的余弦值； （3）求点C 到平面11A BC 的距离．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AD AA ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面CDE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为24时，求二面角1N A P M --的余弦值．20．四棱锥P ABCD-中，侧面PAB为正三角形，底面ABCD是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD，E，F分别为PB，BC中点，2AB=．（Ⅰ）求证：平面AEF⊥平面PBC；（Ⅱ）棱AD上是否存在点M，使得BM与平面PAD所成角为45︒？若存在，求AM的长度；若不存在，说明理由．21．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．人教A 版选择性必修第一册：空间向量与立体几何参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =-- B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=【解答】解：在C 中，由0MA MB MC ++=，得MA MB MC =--，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面；对于A ，由OM OA OB OC =--，得11111--=-≠，不能得出M 、A 、B 、C 四点共面；对于B ，由111532OM OA OB OC =++，得1111532++≠，所以M 、A 、B 、C 四点不共面；对于D ，由0OM OA OB OC +++=，得()OM OA OB OC =-++，其系数和不为1，所以M 、A 、B 、C 四点不共面．故选：C ．【点评】本题考查了空间向量基本定理，也考查了分析问题、解决问题的能力，是基础题． 2．若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量不共面的是( ) A ．,,b c b b c -+ B ．,,a b c a b c +++C ．,,a b a b c +-D ．,,a b a b a -+【解答】解：向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量A ，b c -与b c +共面，进而得出三个向量共面．.()B a b c a b c ++=++，因此三个向量共面． C ．三个向量不共面；D ．不含有c ，三个向量一定共面．故选：C ．【点评】本题考查了向量共面定理、向量的基，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．已知空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上，则实数k 的值是( ) A ．2B ．4C ．4-D ．2-【解答】解：(1AB =，2，3)，(2AC =，4，2)k -，空间三点(0A ，1，2)，(1B ，3，5)，(2C ，5，4)k -在一条直线上， 则存在实数m ，使得AC mAB =， ∴24223m m k m =⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得2m =，4k =-． 故选：C ．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，基础中档题．4．空间点(A x ，y ，)z ，(0O ，0，0)，B ，若||1AO =，则||AB 的最小值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：空间点(A x ，y ，)z ，(0O ，0，0)，B ，||1AO =，A ∴是以O 为球心，1为半径的球上的点，B，||3OB ∴=．||AB ∴的最小值为：|||||312OB OA -=-=．故选：B ．【点评】本题考查线段长的最小值的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．在空间直角坐标系Oxyz 中，若点2(4M a a -，3b +，21)c +关于y 轴的一个对称点M '的坐标为(4，2-，15)，则a b c ++的值( ) A ．等于10B ．等于0C ．等于11-D ．不确定【解答】解：在空间直角坐标系Oxyz 中，点2(4M a a -，3b +，21)c +关于y 轴的一个对称点M '的坐标为(4，2-，15)，∴244322115a a b c ⎧-=-⎪+=-⎨⎪+=-⎩，解得2a =，5b =-，8c =-，25811a b c ∴++=--=-．故选：C ．【点评】本题考查代数式的值的求法，考查空间直角坐标系中点的对称的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN 的取值范围为( ) A ．[0，4]B ．[0，2]C ．[1，4]D ．[1，2]【解答】解：以1D 为坐标原点，以11D A ，11D C ，1D D 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示；设正方体内切球球心为S ，MN 是该内切球的任意一条直径， 则内切球的半径为1，所以2()()()()1[0PM PN PS SM PS SN PS SM PS SM PS =++=+-=-∈，2]． 所以PM PN 的取值范围是[0，2]． 故选：B ．【点评】本题以正方体为载体，考查了线面、面面位置关系，以及空间向量的数量积应用问题，是中档题．7．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB y AD =++则(x y += )A ．12B ．1C ．32D ．2【解答】解：正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为上底面11A C 的中心，111111111()222AE AA A E A B A D AB AD =+=+=+，1AE AA xAB y AD =++，11122x y ∴+=+=． 故选：B ．【点评】本题考查代数式求值，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知直线l 的一个方向向量(2m =，1-，3)，且直线l 过(0A ，y ，3)和(1B -，2，)z 两点，则(y z -= ) A ．0B ．1C ．32D ．3【解答】解：(1AB =-，2y -，3)z -． ∴AB km =．12k ∴-=，2y k -=-，33z k -=．解得12k =-，32y z ==．0y z ∴-=．故选：A ．【点评】本题考查了直线的方向向量、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．已知正四面体D ABC -的各棱长为1，点E 是AB 的中点，则EC AD 的值为( ) A ．14 B ．14-C ．3 D ．3-【解答】解：如图所示，正四面体ABCD 的棱长是a ，E 是AB 的中点；∴111()11cos6011cos60224EC AD EA AC AD AB AD AC AD =+=-+=-⨯⨯⨯︒+⨯⨯︒=；故选：A ．【点评】本题考查了向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题． 二．多选题（共3小题）10．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是( )A ．异面直线1BD 与1BC 所成的角大小为90︒ B ．四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形C ．二面角11D BC B --的大小为30︒D ．正方体1111ABCD A B C D -31-【解答】解：如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， 11D C ⊥平面11BB C C ，则111D C B C ⊥，又11B C BC ⊥， 1111D C BC C =，1B C ∴⊥平面11BC D ，则11B C BD ⊥，即异面直线1BD 与1B C 所成的角大小为90︒，故A 正确；1DD ⊥底面ABCD ，1DD DB ∴⊥，1DD DC ⊥，再由BC ⊥平面11DD C C ，可得BC DC ⊥，1BC D C ⊥，得四面体1D DBC 的每个面都是直角三角形，故B 正确； 由BC ⊥平面11DD C C ，可得1BC D C ⊥，1BC CC ⊥，即11D CC ∠为 二面角11D BC B --的平面角，大小为45︒，故C 错误； 正方体1111ABCD A B C D -的内切球的半径为12，外接球的半径为3，则正方体1111ABCD A B C D -的内切球上一点与外接球上一点的距离的最小值为31-，故D 正确． 故选：ABD ．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．11．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(8，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)． 因此ACD 正确． 故选：ACD ．【点评】本题考查了空间点的对称性、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．定义空间两个向量的一种运算||||sin a b a b a =<⊗，b >，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( ) A ．a b b a =⊗⊗ B ．()()a b a b λλ=⊗⊗C ．()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗D ．若1(a x =，1)y ，2(b x =，2)y ，则1221||a b x y x y =-⊗【解答】解：对于A ，||||sin a b a b a =<⊗，b >，||||sin b a b a b ==<⊗，a >，故a b b a =⊗⊗恒成立；对于:()(||||sin B a b a b a λλ=<⊗，)b >，()||||||sin a b a b a λλλ=<⊗，b >， 故()()a b a b λλ=⊗⊗不会恒成立；对于C ，若a b λ=，且0λ>，()(1)||||sin a b c b c b λ+=+<⊗，c >，()()||||sin a c b c b c b λ+=<⊗⊗，||||sin c b c b >+<，(1)||||sin c b c b λ>=+<，c >，显然()()()a b c a c b c +=+⊗⊗⊗不会恒成立；对于D ，cos a <，1212||||x x y y b a b +>=，sin a <，212121()||||x x y y b a b +>=-， 即有22212121212||||1()||||()||||||x x y y x x y y a b a b a b a a b ++=-=-⊗22222121211222211()x x y y x y x y x y +=++-+22222222211221212122112121221()()()2||x y x y x x y y x y x y x x y y x y x y =++-+=+-=-．则1221||a b x y x y =-⊗恒成立． 故选：AD ．【点评】本题考查了向量的数量积和向量的模的公式，利用给出的定义进行证明结论，计算量很大．三．填空题（共2小题）13．如图，四棱锥S ABCD -的底面为正方形，SD ⊥面ABCD ，SD AB =，则异面直线SB 与AC 所成角的大小为 90︒ ，二面角S AB D --的大小为 ．【解答】解：连接BD ，交AC 于点O ，取SD 的中点M ，连接OM 、AM 、CM ，则//OM SB ， AOM ∴∠即为异面直线SB 与AC 所成角．SD ⊥面ABCD ，90ADS CDS ∴∠=∠=︒，正方形ABCD ，AD CD ∴=，又DM DM =，ADM CDM ∴∆≅∆，AM CM ∴=， O 为AC 的中点，OM AC ∴⊥，90AOM ∠=︒，故异面直线SB 与AC 所成角的大小为90︒．SD ⊥面ABCD ，SAD ∴∠即为二面角S AB D --的平面角． SD AB AD ==，Rt ADS ∴∆为等腰直角三角形，45SAD ∴∠=︒．故二面角S AB D --的大小为45︒． 故答案为：90︒；45︒．【点评】本题考查空间中角的求法，通过平移的思想找出异面直线的平面角，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力，属于基础题．14．如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22，则1AC 与面11ABB A 所成的角为6π．【解答】解：取11A B 中点D ，连结1C D ，AD ，正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，侧棱长为22 111C D A B ∴⊥，11C D AA ⊥，1111A B AA A =，1C D ∴⊥平面11ABB A ，1AC ∴与面11ABB A 所成的角为1DAC ∠， 221213C D =-=，22(22)13AD =+=，113tan C D DAC AD ∴∠==，16DAC π∴∠=． 1AC ∴与面11ABB A 所成的角为6π． 故答案为：6π．【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 四．解答题（共7小题）15．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F ，G 分别为1AA ，11A C ，AB 的中点．（1）求异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值； （2）求二面角1B EG F --的余弦值．【解答】解：（1）连接1AC ，E ，F 分别为1AA ，11A C 的中点，1//EF AC ∴，1AC B ∴∠即为异面直线1BC 与EF 所成角．由正三棱柱的性质可知，221114422AC BC CC BC ==+=+=，在1ABC ∆中，由余弦定理知，222111113cos 2422222AC BC AB AC B AC BC +-∠===⨯⨯． 故异面直线1BC 与EF 所成角的余弦值为34．（2）以C 为原点，CA 、1CC 分别为x 和z 轴，作Cy ⊥面11ACC A ，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，0，2)，3(2G 3，0)，∴1(2EG =-3，1)-，(1EF =-，0，1)，设平面EFG 的法向量为(m x =，y ，)z ，则00m EG m EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13020x y z x z ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩， 令1x =，则1z =，3y =，∴(1m =31)． 由正三棱柱的性质可知，1AA ⊥面ABC ， CG ⊂面ABC ，1AA CG ∴⊥，ABC ∆为正三角形，且G 为AB 的中点，CG AB ∴⊥， 1AA AB A =，1AA 、AB ⊂面1B EG ，CG ∴⊥面1B EG ，即平面1B EG 的法向量n 与CG 平行，∴(3n =，1，0)．cos m ∴<，3315||||1312m n n m n +>===++⨯，由图可知，二面角1B EG F --为锐二面角， 故二面角1B EG F --的余弦值为15． 【点评】本题考查空间中异面直线夹角和二面角的求法，通过平移的思想找到异面直线的平面角，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．16．如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA PD =，底面ABCD 为棱形，60BAD ∠=︒，点E 为AD 的中点．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若PE AB ⊥，二面角D PA B --的余弦值为5，且4BC =，求PE 的长．【解答】（1）证明：连接BD ，四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形， E 为AD 的中点，BE AD ∴⊥，又PA PD =，PE AD ∴⊥，BE 、PE ⊂面PBE ，BE PE E =，AD ∴⊥面PBE ，//AD BC ，BC ∴⊥面PBE ，BC ⊂面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBE ．（2）解：由（1）知，PE AD ⊥，BE AD ⊥，PE AB ⊥，AB 、AD ⊂面ABCD ，ABAD A =，PE ∴⊥面ABCD ，PE BE ∴⊥，故PE 、AD 、BE 两两相垂．以E 为原点，EB 、ED 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设(0)PE x x =>，则(0P ，0，)x ，(0A ，2-，0)，(0D ，2，0)，(23B ，0，0)， ∴(0AP =，2，)x ，(0AD =，4，0)，(23AB =，2，0)，设平面PAD 的法向量为(m a =，b ，)c ，则0m AP m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即2040b cx b +=⎧⎨=⎩，令1a =，则(1m =，0，0)．同理可得，平面PAB 的法向量(n x =，3x -，23)，|cos m ∴<，225|||||||||1312m n n m n x x >===⨯++23x =±，23PE ∴=【点评】本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练运用空间中线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，E 为棱1BB 上一点，且1AE AC ⊥． （1）在下列两个问题中任选一个作答，如果两个都作答，则按第一个解答计分． ①证明：AE ⊥平面1ACD ．②证明：1//BC 平面1ACD ． （2）若2AB =，13AA =，求二面角11A BC C --的余弦值．【解答】（1）选择① 证明：D 为AB 的中点，AC BC =，CD AB ∴⊥，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，则1AA CD ⊥， 1ABAA A =，AB 、1AA ⊂平面11ABB A ，CD ∴⊥平面11ABB A ，AE ⊂平面11ABB A ，CD AE ∴⊥，又1AE AC ⊥，1CD A C C =，CD 、1A C ⊂平面1ACD ，AE ∴⊥平面1ACD ． 选择②证明：连接1AC ，交1A C 于点O ，连接OD ，侧面11ACC A 为平行四边形，O ∴为线段1AC 的中点，D 为AB 的中点，1//OD BC ∴，OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊂/平面1ACD ，1//BC ∴平面1ACD ．（2）解：以D 为原点，DB 、DC 分别为x 和y 轴，作Dz ⊥面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系，则(1B ，0，0)，(0C ，3，0)，1(0C，3，3)，1(1A -，0，3)， ∴11(1A C =，3，0)，1(1BC =-，3，3)，(1BC =-，3，0)，设平面11A BC 的法向量为(m x =，y ，)z ，则11100m AC m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即30330x y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，令3x =，则3y =-，2z =，∴(3m =，3-，2)． 同理可得，平面1BC C 的法向量(3n =，1，0)． cos m ∴<，3333||||9342m n n m n ->===++⨯．由图可知，二面角11A BC C --为钝角， 故二面角11A BC C --的余弦值为3-． 【点评】本题考查空间中线与面的位置关系、二面角的求法，熟练运用空间中线面、面面平行或垂直的判定定理与性质定理，以及掌握利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（1）求证：1AA ⊥平面ABC ； （2）求二面角111A BC B --的余弦值； （3）求点C 到平面11A BC 的距离．【解答】证明：（1）因为11AA C C 为正方形，所以1AA AC ⊥． 因为平面ABC ⊥平面11AA C C ，且平面ABC ⋂平面11AAC C AC =， 所以1AA ⊥平面ABC ．（3分）解：（2）由（1）知，1AA AC ⊥，1AA AB ⊥． 由题意知3AB =，5BC =，4AC =， 所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则(0B ，3，0)，1(0A ，0，4)，1(0B ，3，4)，1(4C ，0，4)． 设平面11A BC 的法向量为(n x =，y ，)z ， 则11100n A B n A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即34040y z x -=⎧⎨=⎩．令3z =，则0x =，4y =， 所以(0,4,3)n =．同理可得，平面11BC B 的法向量为(3,4,0)m =． 所以16cos ,||||25m n m n m n <>==．由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BC B --的余弦值为1625．（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为以(0,4,3)n =，1(0,0,4)CC = 所以点C 到平面11A BC 距离112||5C C n d n ==．【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力．19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14AD AA ==，2AB =，E 、M 、N 分别是BC 、1BB 、1A D 的中点．（1）证明：//MN 平面CDE ； （2）求点C 到平面1C DE 的距离；（3）设P 为边AB 上的一点，当直线PN 与平面11A ADD 所成角的正切值为2时，求二面角1N A P M --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结1B C ，M ，E 分别为1BB ，BC 的中点，1//ME BC ∴，且112ME B C =， N 为1A D 的中点，112ND A D ∴=， 由题设知11//A B DC ，且11A B DC =，可得11//B C A D ，且11B C A D =， //ME ND ∴，且ME ND =，又MN ⊂/平面1EDC ，//MN ∴平面1C DE ．（2）解：在Rt △1C CE 中，221125C E C C CE =+ 在Rt △11C D D 中，22111125C D D C D D =+=， 在Rt ECD ∆中，2222DE DC CE =+= 可得等腰三角形1C DE 中，底边上的高为32∴11223262C DES=⨯⨯=， 设点C 到平面1C DE 的距离为h ， 1C C ⊥平面DEC ，∴由11C DEC C C ED V V --=，得122462h ⨯⨯⨯=，解得43h =．∴点C 到平面1C DE 的距离43h =． （3）解：AP ⊥平面11A ADD ，ANP ∴∠为直线PN 与平面11A ADD 所成角，∴222AP NA ==，解得1AP =， 取1AA 中点Q ，连结NQ ，过点Q 作1QH A P ⊥，交1A P 于点H ，连结NH ， 由题意得NQ ⊥平面11A ABB ，NHQ ∴∠是二面角1N A P A --的平面角， 由题意得△1A AD ∽△1A NQ ，∴11AQ A P QH AD=，∴217QH =， 在Rt NQH ∆中，6217NH =，解得2cos NHQ ∠=， 二面角1N A P A --与二面角1N A P M --互补， ∴二面角1N A P M --的余弦值为26-．【点评】本题考查线面平行的证明，点到平面的距离、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．四棱锥P ABCD -中，侧面PAB 为正三角形，底面ABCD 是正方形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F 分别为PB ，BC 中点，2AB =． （Ⅰ）求证：平面AEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）棱AD 上是否存在点M ，使得BM 与平面PAD 所成角为45︒？若存在，求AM 的长度；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：PAB ∆为等边三角形，E 为PB 的中点，AE PB ∴⊥． 底面ABCD 是正方形，BC AB ∴⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB ⋂平面ABCD AB =， BC ∴⊥平面PAB ，则BC AE ⊥，又AE PB ⊥，PB BC B =，AE ∴⊥平面PBC ，而AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面PBC ；（Ⅱ）取PA 中点G ，连接BG ，同（Ⅰ）可证BG ⊥平面PAD ．假设棱AD 上存在点M ，使得BM 与平面PAD 所成角为45︒，连接BM ，GM ， 则BGM ∠为BM 与平面PAD 所成角为45︒，则GM BG =， 在等边三角形PAB 中，由2AB =，得3BG GM ==， 在Rt GAM ∆中，由3GM =，1GA =，得2AM =．故棱AD 上存在点M ，使得BM 与平面PAD 所成角为45︒，AM 的长度为2．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了存在性问题的求解方法，是中档题．21．如图所示，直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形EDCF 为矩形，3CF EDCF ⊥平面ABCD ．（Ⅰ）求证：//DF 平面ABE ；（Ⅱ）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 所成角的正弦值为3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示；则(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(0E ，03)，(1F -，23)， (1BE =-，2-3)，(0AB =，2，0)，设平面ABE 的法向量为(n x =，y ，)z ， ∴23020x y z y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩，不妨设(3n =，0，1)， 又(1DF =-，23)， ∴3030DF n =-+=， ∴DF n ⊥；又DF ⊂/平面ABE ，//DF ∴平面ABE ；（Ⅱ）(1BE =-，2-3)，(2BF =-，03)，设平面BEF 的法向量为(m x =，y ，)z ， ∴230230x y z x z ⎧--+=⎪⎨-=⎪⎩，则(23m =，3，4)，531|cos ||||||231m n m n θ∴===⨯⨯， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值是531； （Ⅲ）设(1DP DF λλ==-，2，3)(λ=-，2λ，3)λ，[0λ∈，1]； (P λ∴-，2λ，3)λ，(1BP λ=--，22λ-，3)λ， 又平面ABE 的法向量为(3n =，0，1)， sin |cos BP θ∴=<，|n > ||||||BP n BP n =⨯ 222|3(1)3|(1)(22)(3)2λλλλλ--+=--+-+⨯ 3=， 化简得28610λλ-+=， 解得12λ=或14λ=； 当12λ=时，3(2BP =-，1-，3)，||2BP ∴=； 当14λ=时，5(4BP =-，32-，3)，||2BP ∴=； 综上，||2BP =．。
2.3.2 两点间的距离公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
如何由平行四边 形的性质得到点C
的坐标
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条相邻的平方和的两倍.
坐标法的应用
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤可以概括为：
第一步：建立 坐标系，用坐 标表示有关的
量
第二步：进行 有关的代数运
04课堂小结
PART
ONE
课堂小结
1.平面内两点P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式为
|P1P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
2.用坐标法(解析法)解决几何问题的基本步骤
第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系． [注意] 建系时让图形中尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算．
法一：
解:∵|AB|= (3 + 3)2 + (-3-1)2 = 52,
|AC|= (1 + 3)2 + (7-1)2 = 52, |BC|= (1-3)2 + (7 + 3)2 = 104,
∴|AB|=|AC|,且|AB|2+|AC|2=|BC|2. ∴△ ABC 是等腰直角三角形.
两点间的距离公式
|P1 P2| ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 .
特别地, 原点O(0, 0)与任一点P(x, y)间的距离为
|OP| x2 y2 .
O
x
•
P1(x1,y1)
你还能用其他
方法证明这个
公式吗？
两点间的距离公式
思考1：在数轴上已知两点A、B，如何求A、B两点间的距离？
直线、平面专题复习——距离ppt 人教课标版
（ 1 ）求证： AD // 平面 PBC ；
P （ 2 ）求点 A 到平面 PBC 的距离
F
C
E
B
D
A
2已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1，AB=1，AA1=2，点E 为CC1中点，点F为BD1中点. (1)求证：EF为BD1与CC1的公垂线 (2)求点D1到平面BDE的距离 2√3 3 D1 C1 A1 B1
B
B’
一 复习回顾
各种距离的求法：
※1 直接法 2 转化法 线线距离→面面距离→ 线面距离 →点面距离→点线距离 3 等积法 4 公式法 5 向量法 6 构造函数法
两条异面直线间的距离公式 1 d=√l2-m2-n2 + 2mncosθ l=√m2+d2+n2 cosθ= ∣ +2cosθ
A
m
E
A 1 D 2
A B1
O
C1
2 6 D 0 3 2 2 3 ∕3
∕3 D 1 O 3
A1 D1
B
O VA1-AB1C=VC-AA1B1
A B1
C
D
C1
A1
D1
B
M
A B1
设AE=x ME=x EN=√2∕2 ·(1-x) NM=y y2=x2+[√2∕2(1-x)2]2 C 1 3 1 2 (x)+ = 3 2 3
a
l d
a′
﹚ θ或π-θ
d2+m2+n2-l2 2mn
∣
A1 n
F
b
︱EF︱2=︱EA+AA1+A1F︱2
=︱EA︱2+︱AA1︱2+︱AF︱2+2EA· A1F
2.3.3 点到直线的距离公式-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第一册)
分析：点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长
度，其中Q为垂足。求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公
y
式求出|PQ|即可。
P
l
法一：坐标法求距离
设 ≠ 0， ≠ 0. 由 ⊥ ,直线l
则由点到直线的距离公式知，
|3×－1－0＋m| |m－3| 3 10
d＝
＝
＝ 5 .
10
32＋－12
所以|m－3|＝6，即m－3＝±6.
得m＝9或m＝－3，
故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.
点到直线距离的应用
3.已知点 A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，求△ABC 的面积．
1
设 AB 边上的高为 h，则 S△ABC＝ |AB|·h.
2
|AB|＝ （3－1）2＋（1－3）2＝2 2.
AB 边上的高 h 就是 C 到 AB 的距离．
y－3 x－1
AB 边所在直线方程为
＝
，即 x＋y－4＝0.
1－3 3－1
|－1＋0－4| 5 2
点 C(－1，0)到 x＋y－4＝0 的距离 h＝
可得l
的垂线段PQ的斜率为
因此，PQ的方程为：
的斜率为−
，
，
− = 0 − 0 .
Q
x
点到直线的距离公式
y
P
l
解方程组
+ + ==
− = −
Q
x
得到直线l与PQ的交点坐标，即垂足Q的坐标为
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点到平面的距离计算（人教A版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.正四面体的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离为( )
A. B.
C. D.
2.在正方体中，，则点A到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
3.如图，在棱长为1的正方体中，为中点，则点到平面
的距离为( )
A. B.
C. D.
4.如图，在三棱锥中，底面，，，为的中点，
，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
5.如图，在正三棱柱中，，则点C到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
6.如图，三棱锥的侧棱两两垂直，且，，则点O到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在四面体中，E为BC中点，，，则点E到平面ACD的距离为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正三棱柱中，若，D是的中点，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.
9.如图，已知四边形ABCD是正方形，平面．分别是的中点，若点到平面的距离为，则点到平面的距离为( )
A. B.
C. D.。