特征根法求数列的通项公式

an
⎩ an
−
1⎫ ⎬
是以
+ 1⎭
a1 a1
−1= 1 为首项，以 − +1 3
1 为公比的等比数列，∴ an
3
an
−1 +1
=
1 3
⋅
⎛ ⎜⎝
−
1 3
⎞ ⎟⎠
n−1
，
∴
an
=
3n 3nห้องสมุดไป่ตู้
− (−1)n + (−1)n
例 4.
已知数列{an }满足 a1
= 2,an+1
=
2an 4an
− +
1 6
(n
can + d
=
can + a − 2α c (a −α c)an − (α 2c + aα
− 2α 2 c)
=
can + a −2α c (a − α c)( an − α )
=
can + a −2α c
a
+ 2
d
(an
−
α)
= 2can + 2a − 4αc = 2can + (a − 2αc ) + d = 2c (an − α )+ (a + d )
将a
=
1 2
,b
=
4 5
代入上式化简得
an
=
2an−1 +1 an−1 + 2
考虑特征方程 x = 2x +1 得特征根 x = ±1 x+2
2an−1 +1 −1
所以
an an
−1 = +1
an−1 + 2 2an−1 +1
+
1
=
1⋅ 3
an−1 an−1
−1 +1
an−1 + 2
所以数列
⎧ ⎨
an
2
.
设 an+1 − tan = s(an − tan−1 ) ，则 an+1 = (s + t)an − stan−1 ,
令
⎧ ⎨ ⎩
s+t st =
=p −q
（*）
（1） 若方程组（*）有两组不同的解 (s1 , t1 ), (s2 , t 2 ) ,
则 an+1 − t1 an = s1 (an − t1 an −1 ) ,
为①的特征方程,该方程的根称为数列 { an}
的特征根,记为
α
,
β
.
定理 1:若 α , β
≠ a1 且 α
≠
β
,则
an+1 −α an+1 − β
=
a − cα a − cβ
⋅
an an
−α −β
.
证明: x = ax + b ⇒ cx2 + (d − a) x − b = 0 ⇒ α + β = a − d ,αβ = −b
an+1 − t 2 an = s2 (an − t2 an−1 ) ,
由等比数列性质可得 an+1 − t1an = (a2 − t1a1 )s1 n−1, an+1 − t 2an = (a2 − t 21 a1 )s2 n −1 ,
∵ t1 ≠ t 2 ,由上两式消去 an+1 可得
3
an
=
1
am + an
=
ap + aq
.
(1 + am )(1 + an ) (1+ ap )(1+ aq )
(1)当
a
=
1 2
,b
=
4 5
时,求通项
an
;(2)略.
解:由 am + an
=
ap + aq
得 a1 + an
=
a2 + an−1
(1 + am )(1 + an ) (1+ ap )(1+ aq ) (1 + a1 )(1 + an ) (1+ a2 )(1 + an−1 )
=
2,an
=
an−1 + 2 (n 2an−1 +1
≥
2)，求数列 {an }的通项
an
解：其特征方程为
x
=
x+2 2x +1
，化简得 2x2
−2
=
0
，解得
x1
= 1,
x2
=
−1，令
an+1 an+1
−1 +1
=
c
⋅
an an
−1 +1
2
由 a1
=
2,得
a2
=
4 ，可得 5
c
=
−
1 3
，
∴数列
⎧ ⎨
1 =
1
= 1 = an −1 =1 + 1
an −1
1 (2− ) −1
1 1−
an−1 −1
an−1 −1
an−1
an−1
⎧ 所以数列 ⎨
1
⎫ ⎬ 是以
1
= 1为首项,公差为 1 的等差数列
⎩ an −1⎭
a −1 1
故 1 =n an −1
即
an
=
n +1 n
例 3.
已知数列{an }满足
a1
=
4x
−1 ，解得
x1
=
x2
=
1 2
，令
an
=
( c1
+
nc
2
)
⎛ ⎜⎝
1 2
n
⎞ ⎟
，
⎠
由
⎧ ⎪⎪
a1
⎨
⎪ ⎪⎩
a2
1 = (c1 + c2 ) × 2 = (c1 + 2c2 ) ×
=1 1= 4
2
，得
⎧c1 ⎨ ⎩c2
= =
−4
，
6
3n − 2 ∴an = 2n−1
{ } 例 7. 已知数列 an 满足 a1 = 2,a2 = 8,an+2 = 4an+1 − 4an ,求通项 an .
特征根法求数列的通项公式
求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.
1.已知数列{an}
满足 an +1
=
a ⋅ an + b c ⋅ an + d
......①
其中 c ≠ 0,ad ≠ bc,n ∈ N *.
定义
1: 方程
x
=
ax + b cx + d
− t1an−2)
=…
=
s n−1 1
a2
− t1a1
，
∴
a n+1 s n+1
1
−
an s1n
=
a2
− t1 a1 s12
,即
⎧ ⎨ ⎩
an s1n
⎫ ⎬ ⎭
是等差数列，
( ) 由等差数列性质可知 an
s1n
= a1 s1
+
n
−1
.
a2
− s1
t1 a1
2
，
所以 a n
=
⎡⎛
⎢ ⎢⎣
⎜ ⎜ ⎝
a1 s1
∈
N
*
)
，求数列
{an
}的通项
a
n
解：其特征方程为 x=
2x−1 ，即 4x2 4x + 6
+
4x
+1=
0
，解得
x1
=
x2
=
−
1 2
，令
1 an+1 +
1 2
=
an
1 +
1 2
+
c
由 a1
=
2,得
a2
=
3 14
，求得
c
=
1，
⎧⎫
∴数列
⎪
⎨
⎪ ⎩
an
1 +
⎪
1
⎬ ⎪
2⎭
是以
1 a1 +
1 2
=
2 5
为首项，以 1为公差的等差数列，∴ an
1 +
1 2
=
2 5
+ (n
−1) ⋅1
=n
3 −
5
，
13 − 5n ∴an = 10n − 6
{ } 2.已知数列 an 满足 an +2 = c1an +1 + c2an ② 其中 c1 , c2 为常数,且 c2 ≠ 0, n ∈ N * . 定义 2:方程 x2 = c1x + c2 为②的特征方程,该方程的根称为数列 {an} 的特征根,记为 λ1, λ2 .
由
⎧ a1
⎨ ⎩
a2
= c1 + 2c2 = c1 + 4c2
=2
，得
=3
⎧⎪c1 ⎨⎪⎩c2
=1 =1
2
，
∴an =1 + 2n−1
例 6. 已知数列{an }满足 a1 =1,a2 = 2, 4an+2 = 4an+1 − an (n ∈ N * ) ，求数列 {an }的通项 an