2) 数值计算方法

O (Δ t ) O (Δ t )
( 2 .4 a ) ( 2 .4 b )
Fi n + 1 = Fi n − λ 2 ⎛ Fi * 1 n + 1 − Fi * 1 n + 1 ⎞ ⎜ + ⎟ − ⎝ ⎠
其中 λ2 =
cΔt 将以上两式合并可得： 2Δx
Fi *
n +1
n n n n = Fi n − λ1 ( Fi +1 − Fi −1 ) + λ22 ( Fi + 2 − 2 Fi n + Fi − 2 )
Fi n +1 = Fi n + Δt i Ein = Fi n − cΔt ( Fi+n1 − Fi−n1 ) 2Δx O(Δt ) (2.3a )
此为一阶精度的非中心(即非对称)显示格式。这种差分 格式是绝对不值定的。 2． 后差格式 设(2．2)式平松权两救屡取积分上限时的值并在积分过 程中保持不变．空间差分取中央差格式，则得到后差格 式：
§2.1 差分方法
微分方程的数值解法很多，如谱方法、有限元法等。随着高 速电子计算机的发展，谱方法越来越显示出其优越性、在大型业 务模式中广泛应用。但是数值大气预报中用得最早也最为普遍和 简便直观的是差分方法。 差分方法就是在离散的网格点上求出微分方程近似解的方 法，又叫网格法。它的基本要点是：用差商代替微商，降低微分 的阶数，以至将微分方程(组)变成代数方程(组)，再用常规 方法求解。在直角坐标系里作差分运算一般都取等距的网格点。 格点之间的距离称为格距或步长，常用d或h，或∆x等来表示。 一维函数F(x)的差分有如下定义：
§2.3 线性计算的稳定性
大气运动有着波动性和有界性的显著特点。大气中的各 种物理量不会随时间而无限增长，因此近似计算中差分方 程的解也不应随时间而无限增长，否则就是出现了计算不 稳定现象。这里我们所讨论的差分格式的稳定性是指：对 任意给定的初条件，当时间步长∆t充分小，且时间步数n 充分大时，差分方程的解是否有界。稳定性判据就是数值 解有界的条件。下面以一维线性平流方程为例来讨论差分 格式的线性计算稳定性问题。一维线性平流方程：
2 2
(2.4c)
cΔt 2 ) 即欧拉后差相当于一步前差再加上一次平滑系数为 λ = ( 2Δx 的空间平滑。
欧拉后差格式能阻尼高频振荡，这是它的主要优点。以下 证明之。设：
F ( x , t ) = Y (t ) e x p (i μ x )
代入一维平流方程则得：
dY = −i μ cY = −iσ Y dt
(2.5)
2π σ = μc = 其中 圆频率。 ，T－周期。令q T
= σ iΔt ，对
(2．5)式用欧拉后差格式作时间积分，则可得：
Y n +1 = RY n , 其中R＝1－q 2－iq
R称为增幅率或增长因子。 R 随 q 变化见图2.1。由 图可见，欧拉后差为条件性 稳定的格式，当 q ＝１时 R ， ＝１；且当 q ＝ ０．７１时， 有极小值， R 见图2．1。
前差公式： 后差公式:
Fi *
Fi
n +1
= Fi n + Δt i Ein
n * n +1 i
n +1
= Fi + Δ t i E
带上标“*”号的函数值表示第一近似值。
∂F ∂F 对线性平流方程 采用欧拉后差的迭代公式为： = −c ∂t ∂x
Fi *
n +1 n n = Fi n − λ 1 ( Fi + 1 − Fi − 1 )
一、两层格式
对(2．1)式在两个时间层上作积分可得
( n +1) Δt n +1
F
( x) = F ( x) +
n
nΔt
∫
Edt
(2.2)
注意：变量的上标在这里表示离散的时间间隔的步数，而不 是指数。
1． (欧拉)前差格式 对(2．2)式作如下近似:设被积函数E取积分下限时的 值并在积分过程中保持不变，且设E中空间差分取中央差格 式，则得到前差公式：
Fi
n +1
= Fi + Δt (α E + β E
n n i
n +1 i
)
(2.3d )
α + β =1
显然，当“α ＝ 1， β ＝0时， (2．3d)为前差格式 当“α ＝0， β ＝1时(2．3d)为后差格式； 当“α ＝ β ＝１／２， (2．3d)为梯形格式。 格式的精度与α， β的值有关 。 4． 欧拉后差格式(松野迭代格式) 由前差格式和后差格式结合构成。计算分两步进行， 用前差公式所得结果作为后差公式等号右端(n＋1)时刻 变量的第一近似值，故为迭代格式。它是一阶精度的显 式格式。
一阶中心差商(简称中央差或中差)：
O (Δx)
⎛ ΔF ⎞ Fi + 1 − Fi − 1 ⎛ dF ⎞ 2 2 = ≈⎜ ⎜ ⎟ ⎟ d ⎝ Δx ⎠i ⎝ dx ⎠ i
二阶中心差商(简称二阶中央差)：
O ( Δx )
2
⎛ Δ 2 F ⎞ Fi +1 − Fi −1 − 2 Fi ⎛ d 2 F ⎞ ≈⎜ 2 ⎟ ⎜ 2 ⎟ = 2 d ⎝ Δx ⎠i ⎝ dx ⎠i
Fi n +1 = Fi n + Δt i Ein +1 cΔt n+ n+ = Fi − Fi +1 1 − Fi −1 1 ) ( 2Δx
n
O(Δt )
(2.3b)
此为一阶精度的非中心隐式格式。它是绝对稳定的，只 是要解联立方程组才能求出未知函数。 3． 梯形格式 对(2．2)式小的被积函数E取上下限时的平均值则得到梯 形格式： Δt n n +1 n Fi = Fi + ( Ei + Ein +1 ) O ( Δt 2 ) (2.3c) 2 这是二阶精度的非中心隐式格式，绝对稳定。 以上三种格式可以综合写成：
收敛性: 当步长充分小时，差分方程的准确解趋于微分方程的解。 稳定性: 当步长充分小时，差分方程的数值解接近于它的准确解。 设f代表微分方程的解，F代表差分方程的准确解， 代 F 表差分方程的数值解。则:
f −F =( f − F)+ F − F 截断误差
(
)
舍入误差
上式中(f－F)称为截断误差或离散误差。它反映由差分代替 微分而引起的误差，与差分格式的收敛性有关。(F－F）称为 舍入误差，反映计算中舍入误差的积累，与差分格式的稳定性 有关。差分方法中最重要的是计算的稳定性。因为只有格式稳 定，才能进行大最的计算。当然也必须具有收敛性。以保证所 得结果的准确。在线性情况，拉克斯曾经证明:对于一个适定 的初值问题，若其相应的差分格式是相容的，则计算稳定性是 收敛性的必要充分条件。此即拉克斯定理。所谓“适定的”问 题，‘即方程的解存在、唯一且稳定。 气象业务中的数值计算除了要求稳定和收敛之外，另外两 点也很重要: (l)计算方法比较简明，计算速度快，以保证一定预报时 效。 (2)不宜占用过多的计算机内存，否则不利于方法在业 务中的具体实现。 总之，在选择业务计算方案时，要兼顾精确、及时、 经济等诸方而，进行综合考虑。
第二章 数值计算方法
从第一章我们知道，描写大气运动的基本方程组是多维的 非线性偏微分方程组。即使不考虑水汽的相变，且假设摩擦、 非绝热加热等项的作用为己知或忽略不计，方程组里还包含有 六个未知数(对p坐标，为u， v，ω，z，α，T)。虽然方程组 是闭合的，加上适当的初、边条件，原则上应能求解。但是实பைடு நூலகம்际上，由于方程组本身非常复杂，尤其是由于它的非线性，因 而要求出严格的解析解一般是不可能的，即使对于最简单的准 地转正压模式也很难做列。因而只能借助于高速电子计算机， 用数值方法求其近似解．以作出天气预报。这就是数值天气预 报。本章主要介绍差分近似计算中一些有关的基本问题。
2
函数F（x）关于自变量x的差商(即差比)定义如下： 一阶向前差商(简称向前差或前差)：
⎛ ΔF ⎞ Fi +1 − Fi ⎛ dF ⎞ ≈⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ d ⎝ Δx ⎠i ⎝ dx ⎠i
O(Δx)
一阶向后差商(简称向后差或后差):
Fi + 1 − Fi ⎛ d F ⎞ ⎛ ΔF ⎞ ≈⎜ ⎜ ⎟ = ⎟ d dx ⎠i Δ x ⎠i ⎝ ⎝
1 R ≈ 1－2 × 10 ＝1－ 5000
－4
即这种时间积分格式对天气尺度的波阻尼很小。 欧拉后差格式能阻尼高频振荡而对天气尺度的波影响很小， 又没有计算解，故经常使用。但它的计算量较大，且长时间地 应用对天气波也会有衰减作用，因而实际工作中往往是把它和 其他格式交替使用。
二、三层格式 这类格式在作时间积分时牵涉到三个时间层；ｎ＋1， n，n－1，故称为三层格式。其中最常用的为中央差格式(即 蛙跃格式)对(2．1)式作时间积分:
Δt 0 Fi = F + iE i 2
1 2 0 i
(2.7a) (2.7b) (2.7c)
Fi1 = Fi0 + Δt iE
1 2 i
Fi2 = Fi0 + 2Δt iE1 i
三层格式中还有一种半隐式格式，它是对方程中包含的慢 波和快波部分在作时间积分时分别取显式和隐式格式。慢波与 方程中的非线性项(如平流项)有关，计算复杂，取显式格式便 于运算，同时由于慢波波速c小，可以取较大的t而仍满足 C．F．L条件。快波与方程中的线性项(如梯度力项、利氏力 项)有关，计算较简便，因而取绝对稳定的隐式格式，以便保持 较大的∆t而不致于导致线性计算的不稳定。 除上述各种时间积分方案外，还提出一种解原始方程模式 的分离算法或称分解算法。半隐式格式是对快波解和慢波解两 部分采用不同的时间积分格式以加大时间步长∆t，但这两部分 仍包含在同一方程中。分解算法则是把这两部分分成两个方 程，对它们都取显式格式，但分别取不同的时间步长，以缩短 整个预报过程的时间。