著名机构六年级数学讲义寒假05-预初基础版-一元一次方程-教师版
著名机构数学教案讲义六年级春季班第9讲：一元一次方程的应用-教师版
一元一次方程的应用是初中数学六年级下学期第2章第二节的内容，主要考察方程的思想方法．列方程解应用题是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，即列出方程，然后解出未知数的值．本讲的重点是掌握利用方程的思想解决相关的实际问题，有利于培养学生利用数学知识解决实际问题的能力．一元一次方程的应用内容分析知识结构1、 列方程解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量之间的数量关系；（2）设未知数（元）；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验并作答．【例1】 小敏和另两位同学去春游，买了三瓶矿泉水和两瓶可乐，可乐的价格是矿泉水的1.5倍，一共花去了12.6元，求每瓶矿泉水的价格．【难度】★【答案】每瓶矿泉水的价格为2.1元．【解析】设每瓶矿泉水的价格为x 元，则可乐的价格是每瓶x 5.1元，则由题意可列方程为：6.125.123=⨯+x x ，解得：1.2=x答：每瓶矿泉水的价格为2.1元．【总结】考察列方程解应用题．【例2】 今有2分与5分硬币共27枚，它们总值为0.99元，问这两种硬币各多少枚？【难度】★【答案】2分硬币有12枚，则5分硬币有15枚．【解析】设2分硬币有x 枚，则5分硬币有()x -27枚，由题意可列方程：()99.02705.002.0=-+x x ，解得：12=x ，答：2分硬币有12枚，则5分硬币有15枚．【总结】考察列方程解应用题．模块一：和差倍分比问题 知识精讲 例题解析【例3】 一个学生有中国邮票和外国邮票共325张，中国邮票的张数比外国邮票的张数的2倍少5，这个学生有中国邮票和外国邮票各多少张？【难度】★【答案】外国邮票的张数为110张，则中国邮票的张数为215张．【解析】设外国邮票的张数为x ，则中国邮票的张数为()52-x ，由题意可列方程为：32552=-+x x ，解得：110=x ，答：外国邮票的张数为110，则中国邮票的张数为215．【总结】考察列方程解应用题．【例4】 六年级学生若干人报名参加足球队，男女生之比为4 : 3，后来走了12名女生，这时男生人数恰好是女生的2倍，求：报名时男生与女生的人数各为多少人？【难度】★★【答案】报名时男生与女生的人数各为48人、36人．【解析】设报名时男生与女生的人数各为43x x 、人，由题意可列方程为：()x x 41232=-，解得：12=x ，所以484=x ，363=x ．答：报名时男生与女生的人数各为48人、36人．【总结】考察列方程解应用题．【例5】 六一儿童节，幼儿园为学生发放小红花，如果每人3朵则还剩下23朵，若每人4朵则还少2朵，问该幼儿园有多少个学生，共有多少朵小红花？【难度】★★【答案】该幼儿园有25个学生，共有98朵小红花．【解析】设该幼儿园有x 个学生，则由题意可得：24233-=+x x ，解得：25=x ，所以9823253233=+⨯=+x ．答：该幼儿园有25个学生，共有98朵小红花．【总结】考察列方程解应用题．【例6】 小华看一本书，第一天看了全书的18再加16页，第二天看的是第一天的34还多16 页，还剩下131页未看完，问这本书共有多少页？【难度】★★【答案】这本书共有224页．【解析】这本书共有x 页，有题意可得： x x x =++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++131161681431681 去括号整理得：x x x =+++++13116123231681 移项整理可得：1753225=x ，解得：224=x 答：本书共有224页．【总结】考察列方程解应用题，注意寻找题目中的等量关系．【例7】 六年级三个班为灾区捐款，六（1）班同学共捐了380元，六（2）班捐款数是另两个班级的平均数，六（3）班捐款数是三个班级的总数的25，求六（2）班，六（3）班的捐款数．【难度】★★【答案】六（2）班的捐款数为475元，六（3）班的捐款数都为570元．【解析】设六（2）班捐了x 元，则六（3）班捐款数是2380x -，由题意可得：22380(3802380)5x x x -=++-， 解得：475x =， 所以23802475380570x -=⨯-=元．答：六（2）班的捐款数为475元，六（3）班的捐款数都为570元．【总结】考察列方程解应用题，注意准确理解另两个班级的平均数．【例8】 某公路收费站的收费标准是大客车20元，大货车10元，轿车5元，某天通过收费站的三种车子的数量之比是5 : 7 : 6，共收费4.8万元，这天通过收费站的三种车子各有多少辆？【难度】★★【答案】这天通过收费站的大客车1200辆，大货车1680辆，轿车1440辆．【解析】设这天通过收费站的大客车x 5辆，大货车x 7辆，轿车x 6辆，由题意可得：4800065710520=⨯+⨯+⨯x x x整理可得：48000200=x ，解得：240=x ，所以12005=x ，16807=x ，14406=x ．答：这天通过收费站的大客车1200辆，大货车1680辆，轿车1440辆．【总结】考察列方程解应用题，注意寻找题目中的等量关系．【例9】 已知今年甲、乙二人的年龄之和为50岁，当甲是乙那么大年龄时，甲的年龄就是乙的年龄的2倍，问今年甲、乙各多少岁？【难度】★★★【答案】今年甲30岁，乙20岁．【解析】设今年甲x 岁，则乙()x -50岁，当甲是乙那么大年龄时，过去了x x x 25050-=--年，则此时乙的年龄为x x x 310025050-=-+-， 由题意可得：()x x 3100250-=-，解得：30=x ， 所以5020x -=．答：今年甲30岁，乙20岁．【总结】考察列方程解应用题，注意寻找题目中的等量关系．【例10】 某机关有A 、B 、C 三个部门，公务员依次有84人、56人、60人，如果每个部门按相同比例裁减人员，并使这个机关仅留下公务员150人，那么C 部门留下的人数是多少人？【难度】★★★【答案】C 部门留下来45人．【解析】因为15:14:2160:56:84=设C B A 、、部门各裁减211415x x x 、、人，由题意可得：150156014562184=-+-+-x x x ， 整理可得：5050=x ，解得：1=x 所以C 部门裁减15人，留下来45人．答：C 部门留下来45人．【总结】考察列方程解应用题，本题综合性较强，要先算出比例再列方程．1、 多位数的表示方法若一个数的个位数为a ，十位数为b ，百位数为c ，则这个三位数可表示为：10010c b a ++．【例11】 一个两位数，十位上的数比个位上的数小1，十位上与个位上的数之和为这个数的15，求这个两位数． 【难度】★★【答案】这个两位数为45．【解析】这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为1-x ，由题意可得：()[]110511-+=-+x x x x ， 去括号得：251112-=-x x ，移项整理得：151=x ，解得：5=x ． 答：这个两位数为45．【总结】考察列方程解数字问题．【例12】 有一个两位数，它的十位数字比个位数字大5，并且这个两位数比它的两个数上的数字之和的8倍还要大5，求这个两位数．【难度】★★【答案】这个两位数为61．【解析】这个两位数的个位数字为x ，则十位数字为5+x由题意可得：()()558510+++=++x x x x去括号得：540165010++=++x x x ，移项整理得：55=x ，解得：1=x答：这个两位数为61．【总结】考察列方程解数字问题．模块二：数字问题 知识精讲 例题解析【例13】 一个四位数的首位数字是7，若把首位数字放在个位上，其余数字进一位，那么所得到的新的四位数比原四位数的一半多3，求原四位数．【难度】★★★【答案】原四位数为7368．【解析】设这个数7后面的数字为x ，由题意可得：()7103700021+=++x x ， 去括号可得：7103213500+=++x x ，移项整理得：34935.9-=-x ，解得：368=x ． 答：原四位数为7368． 【总结】考察列方程解应用题，本题中要设出合理的未知数．1、 盈亏问题等量关系售价 = 成本 + 利润；售价 = 成本⨯（1 + 利润率）；盈利率 = 售价-成本成本．【例14】 一双皮鞋按成本价加五成作为售价，后因季节性原因，按售价的七五折降价出售，降价后的新价格是每双63元，问这种皮鞋每双的成本是多少元？按降低以后的新价格每双还可以赚多少元？【难度】★★【答案】这种皮鞋每双的成本是56元，按降低以后的新价格每双还可以赚7元．【解析】设这种皮鞋每双的成本是x 元，由题意可得：()635.075.0=+x x ，解得：56=x ，则75663=-答：这种皮鞋每双的成本是56元，按降低以后的新价格每双还可以赚7元．【总结】考察列方程解应用题，注意准确理解成本的概念．模块三：盈亏问题 知识精讲 例题解析【例15】某商品因换季准备打折出售，如果按定价的七五折出售，那么将赔25元；而按定价的九折出售，将赚20元，这种商品的定价是多少元？【难度】★★【答案】这种商品的定价是300元．【解析】设这种商品的定价是x元，由题意可得：20x，解得：300=+xx259.0=75.0-答：这种商品的定价是300元．【总结】考察列方程解应用题，注意准确理解折数的概念．【例16】原价每件100元的服装100套，按照五成利润定价卖出，还剩30%的服装没有卖掉，降价后全部卖完，总利润只有预定利润的88%，问降价后每套服装的售价是多少？【难度】★★★【答案】降价后每套服装的售价是130元．【解析】设降价后每套服装的售价是x元，由题意可得：()()88.0⨯-⨯⨯=-⨯x⨯⨯+⨯100100100⨯5.03.010010013.05.0100整理可得：()4400+x，解得：130-1003500=30x，=答：降价后每套服装的售价是130元．【总结】此题也可以分析出答案．解法二：原价每件100元的服装按照五成利润定价，则定价为150元，则此时总售价为150005000=88⨯，差价为.0150=100⨯元，而利润为440030900=÷，则降价后每套服装的售价是130 -，那么降价后每件利润为3090070⨯504400=元．1、 利息问题等量关系利息 = 本金⨯利率⨯期数；税后利息 = 本金⨯利率⨯期数⨯（1-利息税率）；本利和 = 本金 + 利息；税后本利和 = 本金 + 税后利息．【例17】 小智的父亲将一笔年终奖金存入银行，一年后取出本金和利息，并扣除利息税90元，如果银行的定期储蓄的年利率为 2.25%，问小明的父亲存入银行的本金为多少元？（利息税 = 利息⨯20%）【难度】★【答案】小明的父亲存入银行的本金为20000元．【解析】设小明的父亲存入银行的本金为x 元，由题意可得：9025.220=⨯x ％％， 解得：20000=x ．答：小明的父亲存入银行的本金为20000元．【总结】考察列方程解决利率问题，注意对利息税的正确理解．【例18】 小方的父亲一年前存入银行一笔钱，年利率为2.25%，并缴纳20%的利息税，共得本利和16288元，求小方的父亲一年前存入的本金是多少元？【难度】★★【答案】小明的父亲存入银行的本金为16000元．【解析】设小明的父亲存入银行的本金为x 元，由题意可得：()1628825.22025.21=⨯-+x x ％％％，解得：16000=x答：小明的父亲存入银行的本金为16000元．【总结】考察列方程解决利率问题． 模块四：利息问题 知识精讲 例题解析【例19】 丽丽创造了一项小发明，获奖金10000元，她将这笔奖金存入银行，10个月后，因扶贫助学，将这笔存款取出，并要扣除利息税37.5元，求银行年利率．（利息税率为20%）【难度】★★【答案】银行年利率为2.25％．【解析】设银行年利率为x ， 由题意可得：5.3720121010000=⨯⨯％x ，解得：0225.0=x 答：银行年利率为2.25％．【总结】考察列方程解应用题．注意设的是年利率，则10个月要化为1210年．【例20】 某厂向银行申请甲、乙两种贷款共40万元，每年需利息5万元．甲种贷款年利率为14%，乙种贷款年利率为12%，那么该厂申请甲种贷款多少万元？【难度】★★【答案】该厂申请甲种贷款10万元．【解析】设该厂申请甲种贷款x 万元，则该厂申请甲种贷款x -40万元，由题意可得：()5401214=-+x x ％％去括号可得：512.08.414.0=-+x x ，移项整理得：2.002.0=x ，解得：10=x ．答：该厂申请甲种贷款10万元．【总结】考察列方程解决利率问题．【例21】 张先生有一笔钱，两年后才用，他到银行里去存定期储蓄，银行人员告诉她，有两种存款方式：一是存两年期，年利率2.7%；二是先存一年期，年利率为2.25%，到期后再转存一年期．储蓄员算了一下又说，按第一种方式存，扣除20%的利息税后可多得利息825.12元，问张先生这笔钱有多少？【难度】★★★【答案】120000元．【解析】设张先生这笔钱有x 元，第一种存款方式可得利息：()％％20127.2-⨯⨯x ；第二种存款可得利息：()[]()％％％％2012025.225.21-⨯-+x x ，则由题意可得：()[]()％％％％2012025.225.21-⨯-+x x ()12.82520127.2=-⨯⨯-％％x 去括号可得：12.8256324.332.4=-x x ％％，整理可得：12.8256876.0=x ％，解得：120000=x ．答：张先生这笔钱有120000元．【总结】考察列方程解决利率问题，注意对两种利率的正确理解．1、 工程问题等量关系 工作量 = 工作效率⨯工作时间． 【例22】 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在由甲做4小时，剩下的部分甲乙合做，求剩下的部分需几小时完成？【难度】★★【答案】6小时．【解析】一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，则甲的工作效率为201， 乙的工作效率为121；甲工作4小时，完成工作的512014=⨯，则剩下的工作总量为 54511=-，甲乙合作的工作效率为152121201=+，则还需要用615254=÷小时完成． 【总结】一般工程问题中将工作总量看作“1”，此题也可以通过列方程来求解．【例23】 一件工作，甲独做15天完成，乙独做30天完成，甲先做5天之后由乙接替，乙又做了10天，剩余工作由甲乙两人合作完成，求还需要几天？【难度】★★【答案】310． 【解析】一件工作，甲独做15天完成，乙独做30天完成，则甲的工作效率为151，乙的工 作效率为301；甲先做5天之后由乙接替，则甲完成工作的311515=⨯，乙又做了10天， 则乙完成了工作的3130110=⨯，则剩下的工作总量为3131311=--，甲乙合作的工作效 率为101301151=+，则还需要用31010131=÷天完成． 【总结】一般工程问题中将工作总量看作“1”，此题也可以通过列方程来求解． 模块五：工程问题 知识精讲 例题解析【例24】 一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，开始时3队合做，中途甲队另有任务，由乙、丙二队完成，从开始到工程完成共用6小时，问甲队实际做了几小时？【难度】★★★【答案】甲队实际做了3小时．【解析】设甲队实际做了x 小时，因为一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做15小时完成，丙队独做20小时完成，所以甲、乙、丙的工作效率分别为201151101、、 由题意可列方程为120615610=++x ，解得：3=x 答：甲队实际做了3小时．【总结】考察利用列方程解决工程问题．1、 行程问题等量关系路程 = 速度⨯时间；相遇问题：路程和 = 速度之和⨯时间；追及问题：路程差 = 速度之差⨯追及时间．【例25】 甲、乙两人从相距60千米的两地同时出发，相向而行．甲步行，每小时走5千米；乙骑自行车，3小时后两人相遇，求乙骑自行车每小时走多少千米？【难度】★【答案】乙骑自行车每小时走15千米．【解析】甲和乙骑车的速度之和为20360=÷，则乙骑自行车的速度为15520=- 所以乙骑自行车每小时走15千米．【总结】考察相遇问题，相遇问题的关键点是甲乙的时间相等，利用甲乙速度之和乘以相遇 时间等于总路程这个等量关系列方程．模块六：行程问题 知识精讲 例题解析【例26】 甲、乙两辆汽车从同一站点出发同向而行，甲每小时行36千米，乙每小时行48千米，已知甲车比乙车早出发2小时，问经过多少小时乙车赶上甲车？【难度】★【答案】经过6小时乙车赶上甲车．【解析】设经过x 小时乙车赶上甲车，由题意可列方程：()x x 48236=+，解得：6=x ，答：经过6小时乙车赶上甲车．【总结】考察追击问题、相遇问题的关键点是总路程相等．【例27】 已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A 地出发2小时后，乙从B 地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲、乙的速度．【难度】★★【答案】甲的速度为5千米每小时，则乙的速度为6千米每小时．【解析】设甲的速度为x 千米每小时，则乙的速度为()1+x 千米每小时，由题意可得：()1201102=+++x x x ，解得：5=x答：甲的速度为5千米每小时，则乙的速度为6千米每小时．【总结】考察相遇问题．相遇问题的关键点是甲、乙的时间相等．【例28】 一条环形跑道长400米，甲练习骑自行车，平均每分钟骑450米；乙练习赛跑，平均每分钟跑250米，两人同时同地出发，经过多少分钟两人首次相遇？【难度】★★【答案】经过2分钟两人首次相遇．【解析】设经过x 分钟两人首次相遇，由题意可得：400250450=-x x ，解得：2=x答：经过2分钟两人首次相遇．【总结】考察相遇问题，相遇问题的关键点是甲、乙的时间相等．【例29】 轮船沿江从A 港顺流行驶到B 港，比从B 港返回A 港少用3小时．若船速为26千米/时，水速为2千米/时，那么A 港和B 港相距多少千米？【难度】★★【答案】A 港和B 港相距504千米．【解析】设A 港和B 港相距x 千米，若船速为26千米/时，水速为2千米/时，则顺水速度为26+2=28千米每小时；逆水速度为26-2=24千米每小时． 则由题意可列方程：32824=-x x ，解得：504=x 答：A 港和B 港相距504千米．【总结】考察顺水速度和逆水速度，顺水速度等于船速加上水速，顺水速度等于船速减去水 速．【例30】 甲、乙两个车站相距162千米，一辆货车先从甲站开出，速度为每小时36千米，一辆客车从乙站开出，速度为每小时48千米．（1）两辆汽车同时开出，相向而行，多少小时后相遇？（2）货车开出1小时后客车开出，两车相向而行，货车开出几小时后两车相遇？（3）两辆汽车同时相背而行，多少小时后，两车相距280千米？（4）两辆汽车同时同向而行，客车在货车后面，几小时后客车可以追上货车？（5）两辆汽车同时同向而行，客车在货车前面，几小时后客车在货车前280千米？（6）客车开出1小时后货车开出，两车同向而行，客车在货车后面，客车开出几小时后追上货车？【难度】★★★【答案】见解析．【解析】设需要x 小时，（1）1624836=+x x ，解得：1427=x ； （2）()162483636=++x ，解得：23=x ； （3）2801624836=++x x ，解得4259=x ； （4）1623648+=x x ，解得5.13=x ；（5）2801623648+-=x x ，解得659=x ； （6）()16236148+=+x x ，解得9.5x =．【总结】考察相遇问题，相遇问题的关键点是甲、乙的时间相等．【习题1】 甲、乙两种零件共32个，每个甲种零件上钻5个孔，每个乙种零件上只钻1 个孔，共钻100个孔，甲、乙两种零件各有多少个？【难度】★【答案】甲零件有17个，则乙零件有15个．【解析】设甲零件有x 个，则乙零件有()x -32个，由题意可得：100325=-+x x ，解得：17=x答：甲零件有17个，则乙零件有15个．【总结】考察列方程解应用题，注意寻找题目中的等量关系．【习题2】 一项工程甲单独做3天完成，乙单独做7天完成，两人共同完成全部工程需要多少天？如果设两人合做共同完成全部工程需x 天，那么可列得方程（ ）A ．371x x +=B ．11137x x += C ．11137x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ D ．11137x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【难度】★【答案】B 【解析】一项工程甲单独做3天完成，乙单独做7天完成，则甲的工作效率为31，乙的工作 效率为71；运用工作效率乘以工作时间等于工作总量列方程． 【总结】考察工程问题，工程问题中通常将工作总量看作“1”．【习题3】 若干辆汽车装运一批货物，如果每辆装3.5吨，那么这批货物有2吨不能运走；如果每辆装4吨，那么装完这批货物后，还可以装其他货物1吨．问汽车多少辆？这批货物有多少吨？【难度】★★【答案】汽车6辆，这批货物有23吨．【解析】设汽车x 辆，由题意可得：1425.3-=+x x ，解得：6=x ，则2314=-x答：汽车6辆，这批货物有23吨．【总结】考察列方程解应用题，注意寻找题目中的等量关系．随堂检测【习题4】 李明买了两种免税债券共5000元，一种债券的年利率为5%，另一种债券的年利率为4%，一年后共获利息235元，两种债券各买了多少元？【难度】★★【答案】第一种债券买了3500元，则另一种债券买了1500元．【解析】设第一种债券买了x 元，则另一种债券买了()x -5000元，由题意可得：()235500045=-+x x ％％，解得：3500=x答：第一种债券买了3500元，则另一种债券买了1500元．【总结】考察列方程解觉利率问题．【习题5】 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大8，十位上的数字与个位上的数 字之差等于这个两位数的110，求这个两位数． 【难度】★★【答案】这个两位数为80．【解析】设这个两位数的个位上的数字为x ，则十位上的数字为8+x ， 由题意可得：()[]x x x x ++=-+8101018 去括号可得：810118+=x ，解得：0=x 答：这个两位数为80．【总结】考察列方程解数字问题，注意对这两位数的正确表示．【习题6】 一种节能冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元，因为商店按进价加价20%作为原售价，所以降价后商店还能赚钱，请问这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可赚多少元？【难度】★★【答案】这种节能型冰箱的进价是2250元，商店每台还可赚180元．【解析】设这种节能型冰箱的进价是x 元，则原价为()x ％201+元，由题意可得：()243020190=+x ％％，解得：2250=x ，则180********=-元答：这种节能型冰箱的进价是2250元，按新售价出售，商店每台还可赚180元．【总结】考察列方程解应用题，注意对成本、售价的正确理解．【习题7】 某工作甲单独做3小时完成，乙单独做4小时完成，甲先单独做了1小时50分钟，然后甲和乙共同完成余下的工作，合作的时间为多少小时？【难度】★★ 【答案】合作的时间为32小时． 【解析】某工作甲单独做3小时完成，乙单独做4小时完成，则甲的工作效率为31，乙的工 作效率为41；甲先单独做了1小时50分钟，则甲完成工作的181131651=⨯，则剩下的工 作总量为18718111=-，甲乙合作的工作效率为1274131=+，则还需要用32127187=÷小时 完成．【总结】考察工程问题，工程问题中通常将工作总量看作“1”．【习题8】 有一天，小明从家到校上课，他先以4千米/时的速度步行了全程的一半，再顺路搭上速度为20千米/时的班车，所以比原全程步行所需时间早到了1小时，问他家到学校的距离是多少千米？【难度】★★★【答案】他家到学校的距离是10千米．【解析】设他家到学校的距离是x 千米， 由题意可得：412021421x x x =++， 整理可得：202=x ，解得：10=x答：他家到学校的距离是10千米．【总结】考察列方程解应用题，注意根据题意寻找题目中的等量关系．【习题9】某公司有A、B两台复印机，某天上午8时30分办公室用它们给公司9时将召开的会议复印材料．若用复印机A、B单独复印，估计分别需时40分钟和50分钟．现两台机器同时工作，复印了20分钟，A机器出了故障，而材料必须在会议召开前印好．算一算：若由B机单独完成剩下的工作，则会不会影响会议的进行？【难度】★★★【答案】不会．【解析】不会，设A打印机的速度为a，B打印机的速度为b，总资料数为y，由题意可得：bay5040==，那么所需时间为()[]5202520202020=-=-=+-bbbbbabbay分钟，因为共有30分钟的时间做准备，则不会影响会议的进行．【总结】考察工程问题，本题中总工作量不变，主要是算出工作时间即可．【习题10】一个三位数的三个数字和是24，十位数字比百位数字少2．如果这个三位数减去两个数字都与百位数字相同的一个两位数所得的数也是三位数，而这个三位数的数字的顺序与原来三位数的数字的顺序恰好相反，求原来的三位数．【难度】★★★【答案】这个数字为978．【解析】设原来的三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，由题意可得：24=++cba，ab=+2；8324=÷，所以cba、、的平均数为8，因为cba、、都是0到9的自然数，所以在自然数相加等于24的有以下几种：888247892469924++=++=++=，，，因为ab=+2，所以只有24987=++符合题意，所以这个数字为978，而87999978=-，符合题意．所以这个数字为978．【总结】考察对数字问题的理解，本题也可通过设未知数来求解．【作业1】 在155米长度内装设25根水管，一部分水管每根长5米，另一部分水管每根长8米，求两种水管各多少根？【难度】★【答案】水管每根长5米的15根，则长8米的有10根．【解析】设水管每根长5米的x 根，则长8米的有()x -25根，由题意可得：()1552585=-+x x ，解得：15=x ．答：水管每根长5米的15根，则长8米的有10根．【总结】考察设未知数列方程．【作业2】 一次环保知识竞赛有25道选择题，评分细则是：每道题选对得4分，选错或不选倒扣2分，某同学得了70分，他做对了多少题？【难度】★【答案】他做对了20题．【解析】设他做对了x 题，则她做错了()x -25道，由题意可得：()702524=--x x ，解得：20=x ，答：他做对了20题．【总结】考察设未知数列方程，注意根据等量关系列出准确的方程．【作业3】 某电视的进价为1000元，出售的标价为1400元，后来商店准备打折出售，降到利润率为12%，则商店打了几折？【难度】★【答案】商店打了8折．【解析】设商店打了x 折，由题意可得：％1210001000101400⨯=-⨯x ， 解得：8=x ， 答：商店打了8折．【总结】考察设未知数列方程，注意对折数进行准确的理解．课后作业21 / 23【作业4】 用库存化肥给麦田追肥，如果每公顷施90千克，那么就缺少3000千克；如果每公顷施肥75千克，那么就剩余4500千克．有多少公顷麦田？库存化肥有多少千克？【难度】★★【答案】有500公顷麦田，库存化肥有42000千克．【解析】设有x 公顷麦田，由题意可得：450075300090+=-x x ，解得：500=x ，则42000300090=-x ．答：有500公顷麦田，库存化肥有42000千克．【总结】考察设未知数列方程．【作业5】 一个两位数，个位上的数比十位上的数少3，个位上的数与十位上的数的和恰好为15，那么这个两位数是______．【难度】★★【答案】这个两位数是96．【解析】设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为3-x ，由题意可得：153=-+x x ，解得：9=x ，所以这个两位数的十位数字为9，则个位数字为6．答：这个两位数是96．【总结】考察设未知数列方程解决数字问题．【作业6】 王英的家长为了支付三年后她上大学时的费用，现在准备将一笔钱存入银行，若供她上大学四年的费用为30000元，银行三年定期的年利率为3.24%，到期应缴纳20%的利息税，则现在应存款多少元？（只列方程不计算）【难度】★★【答案】设现在应存款x 元，则可列方程()30000201324.3=-⨯⨯+％％x x ．【解析】注意要交利息税．【总结】考察利率问题．。
一元一次方程复习讲义(1对1辅导精品)
学生： 科目： 数学 时间 教师：课 题：一元一次方程复习课知识点讲解一、等式及其性质1、等式用等号表示相等关系的式子叫等式。
如：m+n=n+m,x+2x=3,3×3+1=5×2,3x+1=5y,等等。
注意：等式中一定含有等号。
2、等式的性质等式性质1 等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等。
a=b ，那么a ±c=b ±c等式性质2 等式两边乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
a=b ，那么ac=bc ；如果a=b ，那么a ／c=b ／c （c ≠０）。
注意：①等式两边除以一个数时，这个数必须不为０；②对等式变形必须同时进行，且是同一个数或式。
思考：回答下列问题：（１）从a+b=b+c ，能否能到a=c ，为什么？（2） 从a-b=b-c ，能否能到a=c ，为什么？（3） 从ab=bc ，能否能到a=c ，为什么？（4） 从a/b=c/b ，能否能到a=c ，为什么？（5）从xy=1，能否能到x=1/y ，为什么？二、解一元一次方程的步骤：①去分母； ⇐（没有分母的项不要漏乘；去掉分数线，同时要把分子加上括号）②去括号； ⇐（当括号外面是负号，去掉括号后，要注意变号）③移项； ⇐（移项要注意变号）④合并同类项； ⇐（如果方程中有同类项，一定要合并同类项）⑤系数化为1； ⇐（记得每一项都要除系数） 例：解一元一次方程3122133---=+x x x三、一元一次方程解的实际应用1、列方程解应用题的步骤（1）审：明确已知什么，求什么及基本关系。
找出能表示题目全部含义的相等关系（2）设：设未知数。
可直接设，也可间接设，要尽量使列出的方程简单。
①直接设未知数：题目求什么就设什么。
②间接设未知数：设的未知数不是题目直接求的量。
③设辅助未知数：所设未知数仅作为题目中量与量之间关系的桥梁，它在解方程的过程中会自然消去（3）列：根据等量关系列方程。
著名机构六年级数学讲义寒假01-预初基础版-有理数-教师版
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学科数学课题名称有理数有理数知识模块Ⅰ：有理数的意义（一）相反意义的量在人们的生活和生产实践中，存在大量的相反意义的量，如温度是零上5℃和零下10℃；汽车前进5米和后退3米；盈利300元和亏本200元；珠穆朗玛峰高出海平面8844米和吐鲁番盆地低于海平面155米；…如果只用原来所学过的数很难区分具有相反意义的量，为了解决这个问题，就必须引入一种新的数一一负数，一般情况下，规定收人、增加、上升、零上高于海平面等为正，另一相反意义的量支出、减少、下降、零下、低于海平面 等规定为负；但也可随意规定． （二）正数、负数的概念像25,, 1.33+等这样比0大的数叫做正数；像370,, 1.74---等，在正数前面加上“-”号的数叫做负数。
零既不是正数，也不是负数。
（三）有理数的概念（1） 正整数、0和负整数统称为整数；正分数负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类：按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数． 【例1】⑴如果收入2000元，可以记作2000+元，那么支出5000元，记为 . ⑵高于海平面300米的高度记为海拔300+米，则海拔高度为600-米表示 .⑶某地区5月平均温度为20C ︒，记录表上有5月份5天的记录分别为 2.7+，0， 1.4+，3-， 4.7-，那么这5项记录表示的实际温度分别是 . ⑷ 向南走200-米，表示 .【答案】⑴5000-元；⑵低于海平面600米的高度；⑶22.7C ︒，20C ︒，21.4C ︒，17C ︒，15.3C ︒； ⑷ 向北走200米.【例2】把下列各数填入它所属的圈内： 10-，69， 1.7-，45，279，0，46%，0．76，23-，158．【答案】正数：69、45、279、46%、0.76、158；负数：10-、 1.7-、23-．【例3】回答问题：（1）有没有最小的正数？有没有最大的正数？有没有最小的负数？有没有最大的负数？有没有最小的有理数？有没有最大的有理数？（2）有没有最小的非负数？有没有最大的非负数？有没有最小的非正数？有没有最大的非正数？（3）有没有这样的有理数，它既是正数也是负数？有没有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数？【答案】（1）没有，没有，没有，没有，没有，没有；（2）有，没有，没有，有；（3）没有，有．【例4】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，0，5.5555，20-，0.3g，567．【答案】正整数：11，567；负数：18-，5-，158-， 5.67-，20-；正分数：215，0.3，5.5555，0.3&；非负数：11，215，0.3，π，0，5.5555，0.3&，567；有理数：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，0，5.5555，20-，0.3&，567；非负有理数：11，215，0.3，0，5.5555，0.3&，567．知识模块Ⅱ：数轴（一）数轴的概念及画法1、规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴2、数轴的定义包括3层含义（1）数轴是一条直线，可以向两端无限延伸A B C D 012345（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；（3）原点位置的选择，单位长度大小的确定都是根据实际而定的，一般取向右的方向为正方向 3、数轴的画法则是先画一条水平的直线，再在这条直线上画出数轴的三要素即可． （二）数轴的性质1、数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数。
著名机构六年级数学讲义寒假06-预初基础版-一元一次方程的应用-学生版
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学科数学课题名称一元一次方程的应用一元一次方程的应用知识模块Ⅰ：储蓄问题中的等量关系（1）利息 = 本金⨯利率⨯期数；（2）税后利息 = 本金⨯利率⨯期数⨯（1-利息税率）；（3）本利和 = 本金 + 利息；（4）税后本利和 = 本金 + 税后利息．【例1】若银行一年定期储蓄的年利率是2.25%，小丽的父亲取出一年到期的本金和利息时，扣除了利息税（利息税＝利息×20%）27元，问小丽的父亲存入的本金是多少元？【例2】小明的妈妈在银行里存入人民币5000元，国家规定存款利息的纳税办法是：利息税＝利息⨯20%，储户取款时由银行代扣代收。
存取一年，到期可得人民币5090元，求这项储蓄的年利率是多少？【例3】小王的父亲一年前存入一笔钱，年利率为2.25%，并缴纳20%的利息税，共得本利和16288元，求小王的父亲一年前存入的本金是多少？知识模块Ⅱ：盈亏问题中的等量关系（1）售价 = 成本 + 利润；（2）售价 = 成本⨯（1 + 利润率）；（3）盈利率 = 售价-成本成本．【例4】一家商店将某种服装按成本价加价40%作为标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，问这种服装每件的成本价是多少元？【例5】一种节能型冰箱，商店按原售价的九折出售，降价后的新售价是每台2430元，因为商店按进价加价20%作为原售价，所以降价后商店还能赚钱，请问：这种节能型冰箱的进价是多少元？按降价后的新售价出售，商店每台还可多赚多少元？【例6】原价每件100元的服装100套，按照五成利润定价卖出，还剩30%的服装没有卖掉，降价后全部卖完，总利润只有预定利润的88%。
问降价后每套服装的售价是多少？知识模块Ⅲ：行程问题中的等量关系（1）路程 = 速度⨯时间；（2）相遇问题：路程和 = 速度之和⨯时间；（3）追及问题：路程差 = 速度之差⨯追及时间．【例7】甲、乙两辆火车，长分别为144米和180米，甲车比乙车每秒钟多行4米，两列火车相向而行，从相遇到错开需要9秒钟，问两车的速度各是多少？【例8】一通讯员骑自行车要在规定时间内将文件送到某地。
一元一次方程复习__辅导讲义(1对1辅导精品)
龙文教育学科教师辅导讲义课 题一元一次方程复习 教学目标 1、了解一元一次方程的概念，理解等式的基本性质。
2、理解移项法则，会解一元一次方程。
3、了解一元一次方程在解决问题中的应用。
重点、难点重点：会列一元一次方程解决一些简单的应用题。
难点：利用一元一次方程解决问题教学内容知识结构：要点一：方程及一元一次方程的相关概念方程的概念：含有未知数的等式叫做方程。
一元一次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。
其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。
等式、方程、一元一次方程的区别和联系：方程的解的概念：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。
（1）解方程的概念：求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。
（2）判断一个未知数的值是不是方程的解：将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。
否则就不是方程的解。
一元一次方程的解法区别 举例 联系 等式 用等号连接的式子。
3+2=5，x+1=0 都是用等号连接的式子 方程 含有未知数的等式。
X+1=0，x+y=2 一元一次方程 方程两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。
X+1=0，52y+1=21y 方程 方程的解 等式 一元一次方程的解法 去分母 去括号 移项 合并同类两边同时除以未知数的系数 列方程应用题 审题 设元 解方检验 列方理解题制定计执行计回顾 问题解决的基本步骤 一元一次方程基础应用： 一、填空题1．在方程3x2－5＝x 中，它的未知数是______，常数项是______．2．在x ＝______时x 的7倍与3的差等于5．3．若x ＋2m ＝8与方程4x －1＝3的解相同则m ＝______．4．关于y 的方程－3（a ＋y ）＝a －2（y －a ）的解为______．5．方程ax ＝b ，（a ≠0）的解是______．6．方程（m ＋2）2＋｜n －1｜＝0，则3m －5n ＝______．7．若方程2mx －m ＋2＝0的解是x ＝1，则m ＝______．8.若单项式5225-n b a 与()121231-n b a 是同类项，则n= 。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次方程的解法
学科教师辅导讲义（课题）一元一次方程的解法【知识精要】1、等式与方程等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式；未知数：表示所要求的未知数量的字母；方程：含有未知数的等式；元：在方程中，所含的未知数又称为元。
2、列方程的方法（1）根据题设条件设未知数（一般设所求的量为未知数）；（2）找____未知数与已知数之间的等量关系________。
3、方程中的项、系数、次数等概念（1）项：在方程中，被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项；（2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；（3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数；（4）常数项。
4、方程的解和解方程（1）能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；（2）求方程解的过程叫做解方程。
5、一元一次方程（1）只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程；（2）等式性质：性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
（3）解法：去分母—去括号—移项—化成ax=b(a≠0)_的形式—去系数6.重点、难点分析本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键．学习中应注意以下几点：1．关于移项．方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号．2．关于去分母去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数．常犯错误是漏乘不含有分母的项．如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6，为避勉这类错误，解题时可多写一步．再用分配律展开．再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面．分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，如上例提到的． 3．关于去括号．去括号易犯的错误是括号前面是负号，而去括号时忘记变号；一个数乘以一个多项式，去括号时漏乘多项式的后面各项．如及都是错误的．4．解方程的思路：解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式，然后再解即可．【名题精解】【例1】 判断下列各式哪些是方程,哪些不是方程:(1)13(2)20(3)2(4)13(5)322x x y xm n a ππ=+-=-=⨯=【例2】 根据下列条件列出方程:(1)50千克含糖5%的盐水,现在要把它的浓度提高到含糖15%,需要加糖千克；（2）商店对某种商品调价，按原价的八折出售，此时商品的利润率是15%，此时商品的原价为300， 商品的进价是x 元。
一元一次方程的概念及应用教师辅导义
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六年级寒假班第5讲方程与一元一次方程-学生版
本文是六年级寒假班第五讲方程与一元一次方程的学生版，以方程的定义、解方程的基本方法、一元一次方程的解法为主要内容。
一、方程的定义在数学中，方程是由等号连接起来的含有未知数的数学式。
方程可以用来表示一种关系，并且可以通过求解方程来确定未知数的值。
在代数中，方程的解是使得方程等式成立的所有值。
二、解方程的基本方法1.通过观察、推理和实际问题解方程。
2.变量的相等原则：等式两边加减同一个数，等式仍相等；等式两边乘除同一个不等于0的数，等式仍相等。
3.通过移项化简方程。
4.通过验证解的方法验证方程的解是否正确。
三、一元一次方程的解法1.方程的基本形式：a*x+b=c，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
2.移项化简方程，将未知数x的项移动到等式的一边，将已知数项移动到等式的另一边。
3.对于方程a*x=b，未知数x的解为x=b/a。
4.对于方程a*x+b=c，通过将b移动到等式的另一边，得到a*x=c-b，再进行解方程。
四、实例分析例1：解方程3*x+4=7解：将未知数x的项移动到等式的一边，得到3*x=7-4，即3*x=3然后将等式两边除以3，得到x=1例2：解方程2*x-3=5解：将未知数x的项移动到等式的一边，得到2*x=5+3，即2*x=8然后将等式两边除以2，得到x=4五、解方程的应用解方程不仅仅是为了求解问题中的未知数值，更重要的是培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
综上所述，方程与一元一次方程是数学中重要的概念和方法，学好这部分知识对于学生的数学学习非常重要。
希望同学们在学习中能够认真思考，理解方程与一元一次方程的概念，并能够熟练运用解方程的基本方法和一元一次方程的解法解题。
通过不断的练习和实践，同学们一定能够在解题中找到快乐与成就感！。
上海预初(六年级)下册数学讲义之一元一次方程的解法 (2)
学科教师辅导讲义学员姓名：年级：预初授课时间：课时数：2 辅导科目：数学学科教师：学科组长签名组长备注课题一元一次方程的解法教学目标1．了解一元一次方程的概念，灵活运用等式的基本性质和移项法则解一元一次方程，会对方程的解进行检验；2．通过对一元一次方程的解法步骤的灵活运用，培养学生的运算能力；3．通过解方程的教学，了解“未知”可以转化为“已知”的思想．重点1、根据题设条件列方程2、一元一次方程及其解法难点1、根据题设条件列方程考点判定（简单），解方程（简单），根据条件列方程（中等）（课题）一元一次方程的解法【知识精要】1、等式与方程等式：用等号把两个值相等的量或式子连接起来得到的式子称为等式；未知数：表示所要求的未知数量的字母；方程：含有未知数的等式；元：在方程中，所含的未知数又称为元。
2、列方程的方法（1）根据题设条件设未知数（一般设所求的量为未知数）；（2）找____未知数与已知数之间的等量关系________。
3、方程中的项、系数、次数等概念（1）项：在方程中，被“+”“-”号隔开的每一部分称为一项；（2）未知数的系数：在一项中，写在未知数前面的数字或表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；（3）项的次数：在一项中，所有未知数的指数和称为这一项的次数；（4）常数项。
4、方程的解和解方程（1）能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解；（2）求方程解的过程叫做解方程。
5、一元一次方程（1）只含有一个未知数且未知数的最高次数是一次的方程叫做一元一次方程；（2）等式性质：性质1：等式两边同时加上或减去同一个数或代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。
（3）解法：去分母—去括号—移项—化成ax=b(a≠0)_的形式—去系数6.重点、难点分析本节的重点是移项法则，一元一次方程的概念及其解法，难点是对一元一次方程解法步骤的灵活运用．掌握移项要变号和去分母、去括号的方法是正确地解一元一次方程的关键．学习中应注意以下几点：1．关于移项．方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边．也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边．移项中常犯的错误是忘记变号．还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别．如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号．2．关于去分母去分母就是根据等式性质2在方程两边每一项都乘以分母的最小公倍数．常犯错误是漏乘不含有分母的项．如把变形为这一项漏乘分母的最小公倍数6，为避勉这类错误，解题时可多写一步．再用分配律展开．再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面．分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上，如上例提到的．3．关于去括号．去括号易犯的错误是括号前面是负号，而去括号时忘记变号；一个数乘以一个多项式，去括号时漏乘多项式的后面各项．如及都是错误的．4．解方程的思路：解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式的性质进行一系列的变形最终化为的形式，然后再解即可．【名题精解】【例1】判断下面的移项对不对，如果不对，应怎样改正？（1）从得到；（2）从得到；（3）从得到；（4）从得到；【例2】解方程：（1）；（2）【例题3】解方程：（1） （2）【例4】解方程：解：【例5】已知关于的方程的根是2，求的值．【例6】甲、乙两工程队共有100人，甲队人数比己队人数的3倍少20人．求甲、乙两队各有多少人？【例7】解含有绝对值的方程 432x x -+-=方法提炼 零点分段法：1、先令绝对值里面的代数式为0，求出零点2、零点将数轴划分为几段3、讨论在每段区间里，绝对值是正是负，并去绝对值，得出最终结果。
《一元一次方程》 讲义
《一元一次方程》讲义一、什么是一元一次方程在数学的世界里，一元一次方程就像是一座基础的桥梁，连接着各种数学知识和实际问题。
那到底什么是一元一次方程呢？一元一次方程，简单来说，就是含有一个未知数，并且这个未知数的最高次数是 1 的等式。
比如，“3x ＋ 5 ＝14”就是一个典型的一元一次方程，其中“x”是未知数，只有一个，而且“x”的次数是 1。
这个定义虽然听起来简单，但它却有着非常重要的作用。
它能够帮助我们解决很多生活中的实际问题，比如计算购物时的折扣、计算行程中的速度和时间等等。
二、一元一次方程的形式一元一次方程一般可以写成“ax ＋ b ＝0”的形式，其中“a”和“b”是常数，“a”不能为 0 ，“x”是未知数。
当“a ＝1”，“b ＝－5”时，方程就是“x 5 ＝0”；当“a ＝2”，“b ＝3”时，方程就是“2x ＋ 3 ＝0”。
这种形式可以让我们更清楚地看到方程中各项的系数和常数，方便我们进行计算和分析。
三、一元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。
那么，什么是一元一次方程的解呢？一元一次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值。
比如说，对于方程“2x ＋ 3 ＝7”，我们通过计算可以得出“x ＝2”，把“x ＝2”代入方程中，左边等于“2×2 ＋ 3 ＝7”，右边也是 7，方程左右两边相等，所以“x ＝2”就是这个方程的解。
那怎么求解一元一次方程呢？四、求解一元一次方程的步骤求解一元一次方程一般有以下几个步骤：1、去分母如果方程中存在分数，我们可以通过在等式两边同乘各分母的最小公倍数来去掉分母。
比如方程“（x ＋ 1)／2 ＋（x 1)／3 ＝6”，分母 2 和 3 的最小公倍数是 6，所以在等式两边同乘 6，得到“3(x ＋ 1) ＋ 2(x1) ＝36”。
2、去括号运用乘法分配律去掉括号。
对于上面得到的方程“3(x ＋ 1) ＋ 2(x 1) ＝36”，去括号后变为“3x ＋ 3 ＋ 2x 2 ＝36”。
一元一次方程教学讲义
一元一次方程教学讲义一元一次方程的解法一、知识梳理1．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的一类方程叫做一元一次方程．（一个未知数，最高次数为1，整式方程）23．一元一次方程的标准形式ax+b=0（其中x 是未知数，a 、b 是已知数，并且a≠0） 4．等式的基本性质及用等式的性质解方程。
性质1：m b m a b a ±=±=,性质2：)0(;,≠=?=?=d dbd a m b m a b a 性质3：a b b a ==,性质4：)(,,传递性则c a c b b a ===（性质是解题的依据，在使用时注意等式性质成立的条件） 5搬硬套．为了检验解方程时的计算有没有错误，可以把求得的解代入原方程，看左、右两边的值是否相等，这叫验根，一元一次方程的验根过程可以不写出来． 6．一元一次方程的基本变形与它的解法（1）变形：同加、同减、同乘、同除（不为0），解不变。
（2）步骤：去分母; (2)去括号; (3)移项; (4)合并同类项; (5)系数化为1.（3）注意：过“桥”变号 7.方程ax=b 的解的讨论1）当a ≠0时，方程ax=b 有惟一解x=ba(此时方程为一元一次方程，ax=b(a ≠0))是一元一次方程的最简形式.2）当a=0,b ≠0时，方程ax=b 无解(此方程不是一元一次方程).3）当a=0,b=0时，方程ax=b 有无穷多解(此方程不是一元一次方程).二、典例剖析（一）概念问题例1：（武汉二中模拟）下列方程中是一元一次方程的是（）。
A.3+7=10 B.2x-5 C.-x+3=1 D.2x+7y=0 变式1：下列各式中，是方程的个数为（）。
（1）－3－3＝－7 （2）3x －5＝2x ＋1 （3）2x ＋6 （4）x －y ＝0 （5）a ＋b>3 （6）a 2＋a －6＝0A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个变式2：下列说法中，正确的是。
数学六年级(下)沪教版(一元一次方程的应用B)教师版
数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版数学学科教师指导讲义年级：预初指导科目：数学课时数：3课时课题一元一次方程的应用B1.会运用题目中等量关系列出方程；教课目标2.娴熟掌握一元一次函数在实质生活中的应用.教课内容【知识梳理】列方程解决实质问题的一般步骤①审题：弄清题意及题目中的数目关系．②设元：用字母表示题目中的一个未知数．③列方程：依据题目中的等量关系列方程．④解方程；求出未知数．⑤查验：查验所求解能否切合题意．⑥作答．2.利率问题利息=本金×利率×期数本利和=本金十利息=本金×（1＋利率×期数）利息税=利息×税率税后利息=利息一利息税=利息×（1－税率）税后本利和=本金＋税后利息折扣问题收益额=成本价×收益率售价=成本价＋收益额新售价=原售价×折扣4.行程问题解行程问题的重点是抓住时间关系或行程关系，借助草图剖析来解决问题．行程=速度×时间相遇行程=速度和×相遇时间追及行程=速度差×追实时间5.工程问题解工程问题时，常将工作总量看作整体“1”．基本关系为：工作效率×工作时间=1（工作总量）【典型种类解说】题型一：按比率分派问题【点拨】此类问题，我们常常设一重量为未知数，即如已知两个量之比为a:b，则设这两个量分别为ax和bx，再依据“各部重量之和”或“各部重量之差”等等量关系来列方程求解．1/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版【例1】某一服饰师做成一件衬衣，一条裤子，一件外衣所用的时间之比为1:2:3．他用20个工时能做2件衬衣、3条裤子和4件上衣，那么他做一件衬农、一条裤子、一件外衣分别需要几个工时？【剖析】题目中出现了比率“1:2:3”，故可设未知数分别为x、2x、3x，则做2件衬衣用2x个工时，做3条裤子用(32x)个工时，做4件外衣用(43x)个工时，而后依据做这些服饰的总工时成立等量关系，列出方程．【答案】设服饰师做一件衬衣需 x个工时，则他做一条裤子、一件外衣所用的工时分别为22x和3x，依据题意，得2x 3 2x 4 3x2020x 20x1所以，他做成一件衬衣需1个工时，做成一条裤子需2个工时，做成一件外衣需3个工时．【小题大做】1.在第25届、第26届奥运会上，中国代表团共获取了60枚金牌，这两届奥运会中国获取的金牌数之比是7:8，问第25届运动会上中国代表团共获取多少枚金牌.【答案】28枚.题型二：利率问题【点拨】若利率是年利率，期数以“年”为单位计数，假如月利率，则期数以“月”为单位计数，解题时要注意.【例2】某人把若干元按三年期的按期积蓄存入银行，假定年利率为 3.69%，到期支取时扣除所得税实得利息2103.3元，求存入银行的本金．（利息税为5%）【剖析】利息=本金×利率×期数×利息税【答案】设存入银行的本金为x元，依据题意，得x 33.69％15％2103.3x 0.1051652103.3x 20000,所以，存入银行的本金是20000元．【小题大做】1.小明的妈妈在银行里存入人名币5000元，国家规定存款利息的纳税方法是：利息税=利息×20％，储户存款时由银行代扣代收.存期一年，到期可得人名币5090元，求这项积蓄的年利率是多少？【答案】50005000x11205090x2.25.题型三：折扣问题【例3】小丽和小明相约去书城买书，请你依据他们的对话内容（如图），求出小明上一次所买书本的原价．2/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版图641【剖析】设小明上一次购置书本的原价是x元，由题意，得0.8x 20 x12，解得x160．所以，小明上一次所买书本的原价是160元，【答案】160元.【小题大做】1.一家商铺将某种服饰按成本价涨价40％作为标价，又以8折（即按标价的80％）优惠卖出，结果每件服饰仍可获利15元，问这种服饰每件的成本价是多少元？【答案】125元.题型四：行程问题【例4】小杰和小丽分别在400米环形跑道上联系跑步与竞走，小杰每分钟跑320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一同点同向出发，问几分钟后小丽与小杰第一次相遇.【剖析】因为小杰、小丽在环形跑道上同时同地同向出发，所以小丽与小杰第一次相遇，一定是小杰比小丽多跑一圈，获取的等式是：小杰所跑的行程—小丽所走的行程=400.因为“速度×时间=行程”，所以三个量中只需已知此中两个量就能够获取第三个量.【答案】设x分钟后小丽与小杰第一次相遇.依据题意，得320 120x400解方程，得x2答：出发2分钟后小丽与小杰第一次相遇.【小题大做】1.小丽、小明在 400米环形跑道上练习跑步，小丽每分钟跑220米，小明每分钟跑280米，两人同时由同一同点反向而跑，几分钟此后小丽与小明第一次相遇？【答案】0.8分钟.题型五：工程问题【例5】一项工程甲做40天达成，乙做50天达成，此刻先由甲做，半途甲有事离开，由乙接着做，共用46天达成．问甲、乙各工作了多少天？3/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版【剖析】由题意知，甲每日达成所有工作量的1，乙每日达成1，设甲工作了x天，则乙工作了（46x）天，x46x 4050依据题意，得1．解得x16，则461630（天）．4050故甲工作了16天，乙工作了30天．【答案】甲工作16天，乙工作30天．【小题大做】1.某工程由甲独做需18天达成，由乙独做需12天达成，此刻乙先做2天，再甲、乙两人合作，合作几日可达成这件工程？【答案】6天.【随堂练习】1．活期积蓄月息是0.12%，假如积蓄5000元，5个月后可得的税后利息是____元．（利息税为5）2．某同学把积攒的零用钱100元存人银行，假如月利率是0．15%,那么x个月后，连本带利可取回元钱．3．一列快车和一列慢车从相距300千米的两站同时开出，相向而行，3小时相遇，若快车每小时走x千米，则慢车每小时行____千米．4．船在静水中的速度是每小时24千米，水流速度是每小时2千术，那么船顺流航行x小时行了____千米．5．某人从A地出发，先上山，再下山到B地共走0.4千米，再由B地顺原路返回，已知上山速度为m千米/时，下山速度为n千米/时，那么从A地到B地再回到A地所用时间是____小时.【答案】；2.1000.1425x；3.100x；26x；0.4 0.45..m n6．一项工程甲独做3天达成，乙独做7天达成，两人共同达成所有工程需多少天？若设两人合作共同达成所有工程需x天，可列方程().A．3x7x1B．11D．C．x137x x13 71 1x1 3 77．三个连续奇数的和比此中最小的奇数大128，则最小奇数是()．A．69B．65C．63D．614/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版8．甲组有 40人，乙组有26人，如何调换才能使甲组人数是乙组人数的2倍？设从甲组调x人到乙组，列方程，得40 x 226 x，则x4，答案应是()．A．无解B．从甲组调4人到乙组C从乙组调4人到甲组D．没法确立【答案】BDC.9．甲、乙、丙三个乡合修水利工程，依据得益土地的面积比3:2:4分担花费1440元，三个乡各分担多少元？【答案】三个乡个分担：480元、320元、640元.10．已知A、B两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲、乙的速度．【答案】甲的速度为5千米/小时，乙的速度是6千米/小时.11．天气转冷了，大明爸爸去为外公外婆买了一台空调，零售价为4400元，因为正当圣诞节，商铺搞促销活动，按零售价的80％降低销售，营业员说这样商铺盈余10%，问照此说法空调的进价是多少元？【答案】3200元.12．小丽的妈妈在银行里存入人民币10000元，存期一年，取款时银行代扣20%的利息税，实质取走10180元，求这项积蓄的年利率是多少？【答案】2.25.【讲堂总结】【课后作业】（一）基础复习稳固一、填空题：1.化简：8:6=______________；30:80=________________.2.已知：x:y2:3;y:z6:7，则x:y:z=__________________.3.已知三角形的三个内角的度数比是1:2:7，则这三个内角的度数分别是_________________.4.某同学买了一些80分邮票和1元邮票共花了16元，已知所买1元邮票2枚，80分邮票若干枚，设买了80分邮票x枚，则依据题意可列得方程________________________.5.利息=____________________；税前本利和=_________________．5/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用 B ）教师版6．某商品按原价的九折销售，买这种商品 2件需要126元，这件商品原价 _____________元．7．在银行里积蓄2000元，假如月利率为x ，那么一年后的本利和是 ______________（不计利息税）．8．小杰和小丽分别在 400米环形跑道上练习跑步与竞走，小杰每分钟跑 320米，小丽每分钟走120米，两人同时由同一同点同向出发，问 ____分钟后，小杰与小丽第一次相遇 . 【答案】1.4:3；3:8；2.4:6:7 ；3.18°、36°、126°；4.2 1 80x 16；5本金×利率×期数；本金 +利息； 70元；20002000x ； 8.2分钟.二、选择题：9．一双皮鞋此刻售价为1OO 元，比原价降低了20%，原价为()A ．80元B．125元C.120元D．145元10．有x 位学生疏派宿舍，如每间住 4人，最后剩余 1间，那么宿舍的间数是()A ．x1B ．x1 C ．4x1D ．x144411．第一小队有52人，第二小队有42人，从第一小队调人到第二小队，令人数相等，那么第一小队应调（）A.2人B.3人 C.4人D.5人【答案】BBD.三、解答题：13.有银和铜的合金 200克，此中含银2份，含铜3份，此刻要改变合金成分，使它含银4份，含铜7份，应当加入铜多少克？【答案】设应当加入铜2 :2003x 克.2002x4:7.x202 3314．某班属羊的学生占全班的 80%，比属其余生肖的学生多 30人．这个班的学生人数是多少？【答案】设该班人数为 x .80 x180 30.x 50.长方形的长与宽的比为5:2，它的周长为56厘米，求这个长方形的面积．【答案】160cm 2.16.2000元人民币存入银行，按期2年，年利率为 x ，扣除20%的利息税后，到期获得本利和2086.4 元．求年利率6/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用 B ）教师版为多少？【答案】200012x1202086.4.x2.7.17. 某商场购进一种电器，进货的成本为每件 400元，元旦时期，该商场决定对这种电器按售价的 8折销售，此时 每卖出一件这种电器，商家只好获取 10%的收益．这种电器本来的售价是多少？ 【答案】假定售价为 x 元.x80 400 40010 .x 550（元）18. 甲、乙两辆汽车从A 站出发，同向而行，甲每小时走 36千米，乙每小时走 48千米．若甲车比乙车早出发 2小时，则乙车经过多少时间才能追上甲车？【答案】设乙车经过 x 小时追上甲车.48x36x 2.x 6.19. 要加工200个部件，甲先独自加工了 5小时，而后又与乙一同加工了 4小时，达成了任务，假如甲每小时比乙 多加工2个部件，那么甲、乙每小时各加工多少个部件？【答案】设乙每小时加工 x 只部件.4x9x 2 200.x 14.x 216.二、综合能力提升 已知船在静水中的速度为10米／秒，若水速为2米／秒，求顺流、逆水速度；(2)若船顺流行驶了5小时以后，又沿原路返回行驶了7小时30分，问水速是多少？【剖析】解决这个问题，只需明确：顺流速度（或顺风速度） =静水速度（或无风速度）＋水速（或风速），逆水速度（顶风速度）=静水速度（无风速度）－水速（风速），再由行程问题的基本公式svt 就能够进行求解.这种问题，对本例中(1)直接依据上述公式可求，对本例中 (2)，因为去与回的行程同样，不过速度与所用时间不一样，则依据不一样状况也可列方程．【答案】(1)设顺流速度为x 米／秒，依据题意得x 102x 12y 米／秒设逆水速度为10 y2y8答：顺流速度12米/秒，逆水速度 8 米/秒．(2)设水速为x 米／秒，则顺流速度为 ( 10x )米／秒，逆水速度(10x )米/秒，依据题意得，510 x 30 10 x760解得,505x 15 1510 x2 27/8数学六年级（下）沪教版（一元一次方程的应用B）教师版25x 252x 2答：水速为2米／秒.【点拨】在解应用题时，所用的单位必定要一致，不然将会犯错．如本例中时间的单位有小时．有分钟，一致为同一单位后列方程才不会致使错误．8/8。
著名机构六年级数学寒假班讲义列方程解应用题
著名机构六年级数学寒假班讲义列方程解应用题列方程解应用题学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容列方程解应用题课型一对一教学目标1、理清题意，学会寻找等量关系式2、灵活设未知数，根据等量关系式列出方程3、解决一般应用题，和倍、差倍应用题4、解决较复杂的分数、百分数、比和比例应用题重、难点重点：教学目标1、4 难点：教学目标3、4课首沟通1、你学过列方程解决问题吗？如果学过，你觉得列方程解决问题的解题关键是什么？2、你能说说列方程解决问题的方法吗？知识导图课首小测1.鸡、兔同笼，共有头48个，脚120只，问鸡、兔各有多少只？2.某车间生产甲、乙两种零件，生产的甲种零件比乙种零件多12个，乙种零件全部合格，甲种零件只有合格，两种零件合格的共有42个，两种零件各生产了多少个？3.一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，将个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是132。
求原来的两位数。
导学一：以总量为等量关系建立方程知识点讲解1：根据公式找出数量关系式（部分量+部分量=总量）列出方程；例 1. (2013年白云区期末测试题)两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？我爱展示1.降落伞以每秒10米的速度从18000米高空下落，与此同时有一热汽球从地面升起，20分钟后降落伞与热气球在空中相遇，热汽球每秒上升多少米？2.甲、乙两个进水管往一个可装8吨水的池里注水，甲管每分钟注水400千克，要想在8分钟注满水池，乙管每分钟注水多少千克？3.某生产小组9个工人要生产1926个零件，每人每小时可生产20个，工作5.5小时后，要求剩下的任务必须在4小时内完成，每人每小时必须生产多少个？导学二：以相差数为等量关系建立方程知识点讲解 1：常用的数量关系式：较大量-较小量=相差量例1. （2012年白云区单元测试题）化肥厂三月份用水420吨，四月份用水380吨，四月份比三月份节约水费60元，这两个月各付水费多少元？【学有所获】在多个数量都不知道的应用题中，我们一般间接地设中间量为X；其他几个相关的量用含有X的式子来表示，然后再根据等量关系式列方程。
(精品)数学讲义六年级寒假班第5讲：方程与一元一次方程-教师版
方程与一元一次方程是初中数学六年级下学期第2章第1节和第2节的内容．在预习阶段，本讲主要讲解方程和一元一次方程的相关概念，方程的解的检验，一元一次方程的解法及一元一次方程的简单应用．重点在于理解一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程的解法，为后续重点学习一元一次方程的应用做好准备．1、方程及其相关概念（1）未知数：用字母x、y…等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数；（2）方程：含有未知数的等式叫做方程；（3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程；（5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50x+=和252y-=中，x、2.5、25、2y-都是方方程与一元一次方程内容分析知识结构模块一：方程与方程的解知识精讲2 / 16程中的一项；（6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x的系数为1，2y -的系数为12-；（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2y -的次数都是1；（8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25． 2、 方程的解如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解．【例1】 判断下列各式，哪些是方程？（1）17x +=；（2）514-+=-；（3）1a a =+；（4）395yx +=； （5）32m n -；（6）2t =；（7）26p =；（8）33ππ⨯=．【难度】★【答案】（1）、（3）、（4）、（6）、（7）．【解析】含有未知数的等式叫做方程．故（1）是；（2）不含有未知数，不是；（3）是； （4）是 ；（5）不是等式，不是；（6）是；（7）是；（8）π不是未知数，不是． 【总结】考查方程的概念．【例2】 （1）方程2405y x -=中，项25y-的系数是______，次数是______； （2）方程360mn -=中，项3mn 的次数是______，常数项是______． 【难度】★【答案】（1）25-、1 （2）2、-6．【解析】（1）在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数； （2）在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数． 【总结】考查方程的系数及次数的概念．【例3】 列方程：（1）x 的23与3的和为5；（2）m 的相反数与2的差为2；（3）a 的三次方与b 的平方的和为10；（4）x 、y 的积减去19的差的一半为23． 【难度】★例题解析【答案】（1）2353x +=；（2）22m --=；（3）3210a b +=；（4）()121923xy -=．【解析】根据题意即可列出方程．【总结】考查列方程的运用．【例4】 检验1x =是不是方程97124x x --=--的解．【难度】★【答案】是．【解析】当1x =时，左边=-16，右边=-16，左=右，所以1x =是方程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．【例5】 在下列问题中，引入未知数，列出方程：（1）某数的3倍与7-的和等于91，求这个数；（2）一个数与它的一半的和为56，求这个数；（3）长方形的长比宽多4厘米，长方形的周长是30厘米，求长方形的长．【难度】★★【答案】（1）3791x -=； （2）1526x x +=； （3）()2430x x +-=⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）设这个数为x ，则3791x -=； （2）设这个数为x ，则1526x x +=；（3）设长为x ，则()2430x x +-=⎡⎤⎣⎦．【总结】本题主要考查列方程的运用，注意本题不需要解方程．【例6】 检验4-、1是不是方程2340x x --=的解． 【难度】★★【答案】均不是．【解析】当4x =-时，2234(4)3(4)40x x --=--⨯--≠，所以4x =-不是方程的解； 当1x =时，223413140x x --=-⨯-≠ ，所以1x =不是方程的解． 【总结】考查方程的解的概念及判断．【例7】 根据条件，引入未知数列方程：学校开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安 排住3人，就有100人没有床位，那么在学校住宿的学生有多少人？【难度】★★【答案】100543x x -+=．【解析】设有x 个学生，则根据题意，可列方程：100543x x -+=． 【例8】 根据下列条件列出方程：（1）50千克含糖5%的糖水，现在要把它的浓度提高到含糖15%，需加糖x 千克； （2）商店对某种商品调价，按原价的8折出售，此时商品的利润率是15%，此商品的原价4 / 16为300元，商品的进价为x 元．【难度】★★★【答案】（1）2.5100%15%50x x +⨯=+； （2）3000.815%xx ⨯-=．【解析】（1）原来的糖为505% 2.5g ⨯=，现在的糖为(2.5+x )g ，现在溶液的重量为 （50+x ）g ，所以可列方程：2.5x100%15%50x+⨯=+； （2）因为=利润利润率成本，所以可列方程：3000.8-15%xx⨯=． 【总结】本题主要考查根据题意列方程，注意找到等量关系．【例9】 试写出一个方程使它的解分别是： （1）7x =；（2）2x =或3x =． 思考：满足条件的方程是唯一的吗？【难度】★★★【答案】（1）70x -=等； （2）()()230x x --=等． 【解析】根据方程的解去列方程，可以随意组合，只要等式成立就可以． 【总结】主要考查对方程的解的理解及运用．【例10】 引入未知数，列出方程：如图，足球上的黑色皮都是五边形的，白色皮都是六边形的，白色皮共有20块，则有多少块黑色皮？【难度】★★★【答案】12【解析】设有x 块黑色皮，因为每块白色皮上都有3边是与黑色皮公共的边，所以共有20×3=60条边是与黑色皮 公共的边，又因为每块黑色皮有5条边是与白色皮的公共边，所以5203x =⨯，解得：12x =． 故共有12块黑色皮．【总结】本题综合性较强，主要是观察黑色皮与白色皮的特征，找到等量关系，从而列出方程求出方程的解．1、一元一次方程的概念只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程． 2、解方程求方程的解的过程叫做解方程．3、解一元一次方程的一般步骤模块二：一元一次方程及其解法知识精讲（1）去分母； （2）去括号； （3）移项；（4）化成ax b =（0a ≠）的形式（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解b x a=．【例11】 判断下列方程是否是一元一次方程？如果不是，请说明理由．（1）30x =； （2）29x y -=； （3）538+=； （4）()234m m --=； （5）61x=； （6）3443x x +=+；（7）0x a +=； （8）2221x x x x ++=+． 【难度】★【答案】（1）、（4）、（6）、（8）是一元一次方程，其余不是． 【解析】（1）是；（2）不是，二元一次；（3）不是，无未知数；（4）是 ； （5）不是，不是整式方程；（6）是；（7）不是，是二元一次方程； （8）不是，是一元二次方程．【解析】本题主要考查一元一次方程的概念及运用．【例12】 当m 为______时，()231m m x -+=是一元一次方程． 【难度】★【答案】3【解析】由3021m m +≠-=，，解得3m =． 【总结】考查利用一元一次方程的概念求字母的值．【例13】 方程()2123x x -=变形为13x x -=，其根据是（ ） A ．方程两边同时加上x B ．方程的两边同时乘以43xC ．方程的两边同时乘以23D ．方程的两边同时乘以32【难度】★【答案】D 【解析】考查一元一次方程的解法．【例14】 解方程：（1）4354x x +=-；（2）0.30.66 1.2x x -=-； （3）93277575x x +=-；（4）()()547715x x ---=．【难度】★【答案】（1）7x =； （2） 4.4x =； （3）2x =-； （4）7x =． 【解析】（1）移项，得：5434x x -=+，解得：7x =；例题解析（2）移项，得：0.3 1.260.6x x +=+，合并，得：1.5 6.6x =，解得： 4.4x =；（3）移项，得：92737755x x -=--， 解得：2x =-；（4）去括号，得：52049715x x --+=，化简，得：1284x =，解得：7x =． 【总结】本题主要考查一元一次方程的解法，注意移项是要改变符号．【例15】 下列解方程过程中，变形正确的是（ ）A ．由213x -=得231x =-B ．由9798x -=得9798x =-C ．由0.311 1.240.1x x ++=+得31011241x x ++=+D ．由132x x-=得236x x -=【难度】★★【答案】D 【解析】A 、2x=3+1；B 、9897x =-；C 、右边乘了10，左边没变，所以不正确． 【总结】本题主要考查一元一次方程的化简，注意移项和去括号都要改变符号．【例16】 若方程()2310n a x bx c +++=表示关于x 的一元一次方程，则常数a 、b 、c 、n 必须满足怎样的条件？【难度】★★【答案】13a =-；0b ≠；1n =；c 为任意实数．【解析】因为方程是一元一次方程，所以31001a b n c +=⎧⎪≠⎪⎨=⎪⎪⎩为任意实数，解得：1301a b n c ⎧≠-⎪⎪⎪≠⎨⎪=⎪⎪⎩为任意实数．【总结】考查一元一次方程的概念的运用．【例17】 解方程：（1）()()()2234191x x x ---=-；（2）()30%70%440%x x x ++=-；（3）32122234x x ⎡⎤⎛⎫---= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（4）()()()21133336424x x x -+-=-+；（5）0.40.31.60.20.5x x +--=-． 【难度】★★【答案】（1）10x =-（2）2x =-；（3）8x =-；（4）92x =；（5） 1.4x =-． 【解析】（1）去括号，得：2412399x x x --+=-，移项，得：1292493x x x --=--+，解得：10x =-，所以原方程的解为10x =-；（2）两边同乘100，得：()3744x x x ++=-，化简，得：1428x =-，解得：2x =-； （3）去括号，得：1324x x ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，化简，得：364x -=，解得：8x =-；（4）去分母，得：()213623924x x x -+-=-+，去括号，得：216362315x x x -+-=+， 合并，得：1957315x x -=+，化简，得：1672x =，解得：92x =； （5）去分母，得：()()50.420.3 1.6x x +--=-，去括号，得：5220.6 1.6x x +-+=-， 化简，得：3 4.2x =-， 解得： 1.4x =-，所以原方程的解为 1.4x =-． 【总结】本题主要考查一元一次方程的解法，注意按照步骤一步一步去解．【例18】 当x =______时，代数式()1316x +与233x -的值为互为相反数． 【难度】★★【答案】19．【解析】由题意知，()1231363x x ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，去括号，得：31184x x +=-+，解得：19x =．【总结】考查相反数的概念及一元一次方程的解法．【例19】 已知关于x 的方程()()324x a x a +=-的解为3x =，求a 的值． 【难度】★★★【答案】67a =-．【解析】由题已知当3x =时原等式成立，将3x =代入原式，得()()32343a a ⨯⨯+=⨯-，去括号，得：183124a a +=-，解得：67a =-．【总结】本题先将方程的解代入方程从而得到关于a 的一元一次方程，再求出解即可．【例20】 解方程：235x +=． 【难度】★★★【答案】1x =或4x =-．【解析】①当235x +=时，1x =；②当235x +=-时，4x =-．【总结】本题综合性较强，主要考查含有绝对值的方程的解法，注意要分类讨论．【例21】 解方程：100813355720152017x x x x++++=⨯⨯⨯⨯．【难度】★★★【答案】2017x =．8 / 16【解析】逆用乘法分配律，得：1111100813355720152017x ⎛⎫++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭裂项，得：11111111100823355720152017x ⎛⎫-+-+-++-= ⎪⎝⎭即11100822017x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，去分母，得：2016100820172x⋅=， 解得：2017x =，所以，原方程的解为2017x =．【总结】本题综合性较强，一方面考查了分数裂项的运用，另一方面考查了一元一次方程的 求解，计算时要细心一些．【例22】 若a 、b 、c 是正数，解方程：3x a b x b c x c ac a b------++=． 【难度】★★★【答案】x a b c =++．【解析】由题意，可得：3x a b x b c x a cc c a a b b +++-+-+-=，通分，得：()()()()3ab a b bc b c ac a c ab ac bc xabc abc+++++⎡⎤++⎣⎦-= 去分母，得：()()()()3ab ac bc x abc ab a b bc b c ac a c ++=++++++ 即()()()()ab ac bc x abc ab a b abc bc b c abc ac a c ++=++++++++进一步变形，得：()()()()ab ac bc x ab a b c bc a b c ac a b c ++=++++++++ 解得：x a b c =++， 所以原方程的解为x a b c =++．【总结】本题综合性非常强，主要考查含字母的一元一次方程的解法，解题时要注意方法，认真观察每一项的特征，找出公共的因式，然后逆用乘法分配律从而求出方程的解．1、 列方程解应用题的一般步骤（1）审题：分析题中的条件，什么是所求的，什么是已知的，并了解已知量和所求量 之间的数量关系； （2）设未知数（元）；模块三：一元一次方程的应用知识精讲（3）列方程； （4）解方程； （5）检验并作答．【例23】 列方程求解：（1）某数与6的和的3倍等于21，求这个数；（2）矩形的周长是40，长比宽多10，求矩形的长和宽． 【难度】★【答案】（1）1； （2）长是15，宽是5．【解析】（1）设这个数为x ，则()6321x +⨯=，解得：1x =，故这个数为1；（2）设矩形的长为x ，则宽为x -10，故可列方程为：()21040x x +-=，解得15x =， 所以这个矩形的长是15，宽是20155-=． 【总结】本题主要考查列方程解应用题的运用．【例24】 三个连续整数的和为93，求这三个数． 【难度】★【答案】30、31、32．【解析】设这三个数分别为x 、x +1、x +2，则()()1293x x x ++++=， 解得：x =30 所以这三个数分别为30、31、32．【总结】本题主要考查列方程解应用题的运用．【例25】 甲、乙两桶油质量相等．甲桶用去26千克，乙桶加入14千克，此时乙桶油的质量是甲桶油的3倍，两桶油原来各多少千克？【难度】★★【答案】46千克．【解析】设两桶油原来各有x 千克，则可得：()32614x x -=+ ，解得：46x =， 所以原来各有46千克．【总结】考查方程在实际问题中的运用．【例26】 一根电线，第一次用去13，第二次用去16米，还剩全长的25，这根电线的原长多少米？【难度】★★【答案】60【解析】解设原长x 米，则由题意得，211653x x x =--，解得60x =，所以这根电线原厂60米．【总结】考查方程在实际问题中的运用．例题解析【例27】 某班学生合买一件纪念品，每人出0.6元，则多出4.8元，若每人出0.5元，则差0.3元，求该班的学生人数．【难度】★★【答案】52．【解析】解设有x 名学生，则0.6 4.80.50.3x x -=+，解得51x =， 故该班的学生人数为51人． 【总结】考查方程在实际问题中的运用．【例28】 鸡和兔一共20只，共有70条腿，求鸡和兔各有几只？ 【难度】★★★【答案】鸡5只、兔15只．【解析】设鸡有x 只，则兔有（20-x ）只，列方程，得：()242070x x +-=，解得5x =． 故鸡有5只，兔子有15只．【总结】考查方程在实际问题中的运用．【例29】 希腊数学家丢番图（公元3~4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他的寿命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感动很幸福；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”请回答： （1）他结婚的年龄；（2）他开始当爸爸的年龄；（3）他儿子死时他的年龄； （4）他去世时的年龄．【难度】★★★【答案】（1）21岁；（2）38岁；（3）80岁； （4）84岁． 【解析】设他的寿命为x 岁，则由题意，得：11115461272x x x x x +++++=，解得：84x =．（1）故结婚的年龄为：11848421612⨯+⨯=岁；（2）故他开始当爸爸的年龄为：121845387+⨯+=岁；（3）他儿子死时他的年龄为：84480-=岁； （4）他去世时的年龄为84岁．【总结】考查列方程解应用题的运用，本题中要注意分析题目中条件，找到等量关系，求出 方程的解，从而得到不同阶段的年龄．【例30】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问可供25头牛吃几天？（假设每头牛每天吃草量相同）【难度】★★★【答案】5天．【解析】设牛每天吃草x ，草每天生长量为y ，原草量为z ，则201020z y x +=⨯， 101510z y x +=⨯， 可得：5y x =，100z x =，设25头牛吃t 天，则25z t y t x +⨯=⨯⨯，即100525x xt xt += ，解得：5t =， 故可供25头牛吃5天．【总结】本题综合性较强，是著名的“牛吃草”问题，解题时一定要注意分析题目中的条件， 设出恰当的量，从而找到等量关系求出方程的解来．【习题1】 下列式子中，不是方程的是（ ）A ．5x y +=B ．3y =-C ．2x y -D ．21x =-【难度】★【答案】C 【解析】C 不是等式．【总结】考查方程的概念．【习题2】 判断下列方程是不是一元一次方程：（1）511x =；（2）2100x -=； （3）392yx -=；（4）()4320t t -+=．【难度】★【答案】（2）、（3）不是一元一次方程． 【解析】（2）是一元二次方程；（3）是二元一次方程． 【总结】本题主要考查一元一次方程的概念．【习题3】 和方程334x x -=+的解不完全相同的方程是（ ）A ．74511x x -=-B ．1203x +=+C ．()()()()2213134a x a x +-=++ D ．()()()()7415111x x x x --=-- 【难度】★★【答案】D【解析】易得方程334x x -=+的解为72x =-， 方程A 的解为72x =-；方程B 的解为72x =-；方程C 的解为72x =-；方程D 的解为72x =-或1x =．故选D ．【总结】本题主要考查一元一次方程的解法．随堂检测【习题4】 当a ______，n =______时，方程()2232n a x -+-=是一元一次方程． 【难度】★★【答案】2a ≠-，3n =．【解析】由一元一次方程的概念，可得：20a +≠且21n -= ，解得：2a ≠-，3n =． 【总结】本题主要考查对一元一次方程的概念的理解．【习题5】 检验下列各数是不是方程124326x x x+-+-=的解． （1）1x =；（2）2x =．【难度】★★【答案】（1）不是； （2）是．【解析】（1）当1x =时，左边=111221732326+--=+=，右边=5766≠，所以1x =不是原方程的解；（2）当2x =时，左边=2122132+--=，右边=4216+==左边，所以2x =是原方程的解．【总结】本题主要考查方程的解的概念．【习题6】 根据条件，设未知数，列方程．（1）学校举办科技节，航模组16人，小明加入车模组后，航模组的人数比车模组人数的14多5人，求原车模组人数；（2）小智和小方交流暑假活动，小智说：“我参加了夏令营，外出五天，这五天的日期之和为40，你知道我是几号出去的吗？”请你帮小方解决这个问题．【难度】★★【答案】（1）()115164x +⨯+=；（2）()()()()123440x x x x x ++++++++=．【解析】（1）设原车模组有x 人，由题意得()115164x +⨯+=；（2）设小智x 号出去的，由题意得：()()()()123440x x x x x ++++++++=． 【总结】本题主要考查根据题意列出方程，主要是找到题目中的等量关系．【习题7】 解方程：（1）111128612345x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫--+=⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭； （2）()0.370%20020054%x x +-=⨯；（3）0.20.50.030.0250.50.032x x x ++--=． 【难度】★★ 【答案】（1）70x =-； （2）80x =； （3）7523x =． 【解析】（1）去大括号，得：1112831645x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，去中括号，得：1182312456x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，去小括号，得：12831120246x --+=，解得：70x =-， 所以70x =-是方程的解；（2）去括号，得：0.31400.7108x x +-=， 合并，得：0.432x =，解得：80x =， 所以80x =是方程的解；（3）小数化整数，得：22511532x x x -+--=， 合并，得：225532x x x --=，去分母，得：81575x x -=-，解得：7523x =，所以7523x =是方程的解． 【总结】本题主要考查解一元一次方程．【习题8】 若x = 2是方程40ax -=的解，求方程243xax x a -=+的解． 【难度】★★【答案】3x =．【解析】因为x = 2是方程40ax -=的解，所以420a -=，解得：2a =， 所以243x ax x a -=+可变行为483x x x -=+，即883x =，解得：3x =．【总结】本题主要考查对方程的解的概念的理解及运用．【习题9】 小智今年的年龄是妈妈的13，两年前母子的年龄相差24岁，那么四年后母子的年龄和为多少？【难度】★★【答案】56岁．【解析】设今年小智的年龄为x 岁，则妈妈的年龄为3x 岁， 根据题意，可得：324x x -=，解得：x =12， 所以4年后母子年龄和为：12+3×12+4×2=56岁．【总结】本题主要考查列方程解应用题，注意母子的年龄差是永远不变的．【习题10】 方程()72234x x -=-和方程()()7463x a x a ++=--+的解相同，求a 的值． 【难度】★★★【答案】a 的值为3．【解析】由方程714234x x -=-，得：520x =-，解得：4x =-；14 / 16将4x =-代入()()7463x a x a ++=--+中， 得：()()744634a a -++=---+， 去括号，得：72846123a a -+=-+-， 化简，得：1030a = 解得：3a =．【总结】本题综合性较强，要理解两个方程的解相同的真正含义，从而求出字母的值．【作业1】 判断下列各式是不是方程，如果不是说明理由．（1）41y x =-；（2）232x x ++；（3）8998⨯=⨯；（4）1 = 0． 【难度】★【答案】（1）是；（2）不是，不是等式；（3）不是，无未知数；（4）不是，无未知数． 【解析】含有未知数的等式叫做方程．【总结】本题主要考查方程的概念．【作业2】 下列方程中是一元一次方程的是（ ）A ．12x x+= B ．2520x x -+=C ．2163x-= D ．40xy -=【难度】★【答案】C【解析】A 分母中含有未知数；B 是一元二次方程；D 是二元一次方程，故选C ． 【总结】本题主要考查一元一次方程的概念．【作业3】 方程5324x x +=-移项可得（ ）A ．5234x x +=-B ．5234x x -=-C ．5234x x +=--D ．5234x x -=--【难度】★【答案】D 【解析】在解方程中，移项时要改变符号．【作业4】 检验2、3-是不是方程2560x x -+=的解． 【难度】★★【答案】2是，3-不是．【解析】当2x =时，225260-⨯+=， 所以2x =是方程的解；当3x =-时，()()235369156300--⨯-+=++=≠，所以3x =-不是方程的解．课后作业【总结】本题主要考查方程的解的概念及判断．【作业5】 解方程：（1）211136x xx +---=+；（2）()35%25%10030024%x x +-=⨯； （3）1.7210.30.7x x-=-． 【难度】★★【答案】（1）1x =-； （2）470x =； （3）1417x =． 【解析】（1）去分母，得：()()221166x x x -+--=+， 去括号，得： 42166x x x ---+=+， 合并，得：99x =-，解得：1x =-，所以原方程的解为1x =-；（2）去分母，得：0.35250.2572x x +-= ，合并，得：0.147x =，解得：470x =， 所以470x =是原方程的解；（3）分母化为整数，得：172010137x x-=-，去分母，得： ()717203021x x -=-，去括号，得：1191403021x x -=-，解得：1417x =，所以1417x =是原方程的解． 【总结】本题主要考查解一元一次方程方程，注意符号的变化．【作业6】 关于x 的方程()22450k x kx k ++-=是一元一次方程，则方程的解x =___． 【难度】★★【答案】54． 【解析】因为原方程为一元一次方程，所以20k +=，即2k =-，则原方程变为：8100x -+= ，解得：54x =．【总结】本题主要考查一元一次方程概念的理解及运用，及一元一次方程的求解．【作业7】 方程32x -=的解是______． 【难度】★★【答案】1x =或5x =．【解析】当32x -=时，解得：1x =； 当32x -=时，解得：5x =． 【总结】本题主要考查含绝对值方程的求解，注意要分类讨论．【作业8】 已知2-是关于x 的方程()21523mx x =+-的解，则()201721117m m -+=______．【难度】★★【答案】1-．【解析】由题意，得：()()125243m ⨯-=⨯-+，即263m -=-， 解得：9m =，所以()()()20172017201722111791191711m m -+=-⨯+=-=-．【总结】本题主要考查方程的解及一元一次方程求解的综合运用．【作业9】 甲、乙两人各有钱若干元，已知甲的钱数是乙的4倍，当甲花去13后，又花去余下的13，如果这时甲给乙7元钱，甲、乙两人的钱数正好相等，问甲原来有多少钱？【难度】★★★ 【答案】72元．【解析】设甲、乙原来各有4x 元钱、x 元钱，由题意得111744447333x x x x x ⎛⎫+=-⨯-⨯-⨯- ⎪⎝⎭，解得：x =18所以甲原来有18×4=72元．【总结】本题主要考查利用列方程解决实际问题．【作业10】 已知方程124123x x +--=的解是2a +， 那么方程()()2233x x a +--=⎡⎤⎣⎦3a 的解是______． 【难度】★★★【答案】212x =．【解析】由题意，得：()22421123a a +-++-= ， 即32123a a+-= ，解得：3a =， 所以原方程可化为：()()43639x x +--=， 去括号，得：4126189x x +-+=，解得：212x =．【总结】本题综合性较强，主要考查方程的解及解一元一次方程的综合运用．。
六年级寒假班第5讲方程与一元一次方程-教师版
第五讲：方程与一元一次方程教学目标：1.理解方程的概念，并能够解决一元一次方程；2.能够运用方程的解法解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学重点：1.方程的概念与解法；2.一元一次方程的求解方法。
教学难点：1.运用方程解决实际问题；2.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备：1.教师准备一些已知的方程实例，以及一些实际问题；2.教师需要准备黑板和白板，方便教学。
教学过程：一、导入新知识（10分钟）教师可以提问学生“你们在日常生活中遇到过哪些问题可以用方程来解决？”引导学生思考。
学生回答完毕后，教师可以列举一些常见的例子，如：购物时的找零问题、速度与时间的关系问题等。
通过这样的导入，引导学生了解到方程的概念和作用。
二、讲授方程的概念与解法（10分钟）1.教师向学生解释什么是方程：方程是一个等于号连接两个代数式的式子。
例如：2x+3=9就是一个方程。
2.教师通过实例向学生解释如何解方程：-举例1：2x+3=9，解方程x=3-举例2：2(x+3)=10，解方程x=2-举例3：3x-2=13，解方程x=5三、讲授一元一次方程的求解方法（10分钟）1.教师向学生解释什么是一元一次方程：一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的方程。
例如：2x+3=9就是一个一元一次方程。
2.教师向学生解释一元一次方程的解法：-方程两边同时加上（或减去）相同的数；-方程两边同时乘（或除）以相同的数。
四、运用方程解决实际问题（20分钟）1.教师向学生提供一些实际问题，并引导学生运用方程来解决问题，例如：小明购买了一本书，书的价格是x元，他还支付了5元的邮费，最后他支付了17元，请问这本书的价格是多少？2.学生根据问题描述，设未知数x为书的价格。
根据题目给出的信息，可以得出方程x+5=17、然后通过解方程可以得到x的值。
3.教师可以给学生提供更多的实际问题，让学生继续运用方程解决。
五、练习与巩固（10分钟）教师给学生布置一些练习题，让学生通过练习巩固所学的知识。
人教版小学数学寒假班讲义05 A 寒假六年级 复习 第5讲 圆(一) 基础版
第5讲 圆知识点一：圆的认识1. 圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
2. 2. 一个圆有无数条半径，有无数条直径。
圆有无数条对称轴。
3. 3. 在同圆或等圆中，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
4. 4. 在同圆或等圆中，r=d 或d=2r 。
典例精讲【典例1】（2017秋•龙华区期末）圆有 无数 条半径，圆半径的长度是它直径的 一半 ；半圆有 一 条对称轴【思路分析】根据轴对称图形的性质分析：一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义可知：圆有无数条对称轴，半圆有一条对称轴；根据圆周率的含义：圆周率等于圆的周长和它直径的比值，用字母“π”表示；同圆中，圆的直径是半径的2倍；由此解答即可．【规范解答】解：圆有 无数条半径，圆半径的长度是它直径的 一半；半圆有 一条对称轴； 故答案为：无数，一半，一．【名师点评】本题主要考查了轴对称图形的定义以及圆的基础知识．【典例2】（2019•衡水模拟）在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的圆，这个圆的半径是 1.5 厘米．【思路分析】在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，长方形的宽已知，从而可以求出这个圆的半径．【规范解答】解：圆的半径：3÷2＝1.5（厘米）；答：这个圆的半径是1.5厘米．故答案为：1.5．【名师点评】解答此题的关键是明白：在这个长方形中画的最大圆的直径应等于长方形的宽，12据此即可逐步求解．知识点二：圆的周长及圆周率的意义1.测量圆的周长的方法：绕绳法和滚动法。
2.圆的周长除以直径的商是一个固定的数。
我们把它叫做圆周率，用字母π表示。
3.圆的周长的计算公式：C=πd，C=2πr典例精讲【典例1】（2016•舟山校级模拟）李师傅想把3根横截面直径都是10厘米的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起（如图），捆一圈（接头处不计）至少需铁丝71.4厘米．【思路分析】由图可知铁丝紧紧地捆绑一圈，最左边和最右边各一个半圆，上面的铁丝是2个直径，下面的铁丝是2个直径，所以总的长度实际上是由一个圆的周长加上4个直径的长度．【规范解答】解：C＝πd，＝3.14×10，＝31.4（厘米）；31.4+4×10，＝31.4+40，＝71.4（厘米）；故答案为：71.4．【名师点评】此题考查了学生的观察能力以及求圆的周长的方法．【典例2】（2012•福州）一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为20厘米．【思路分析】根据题干：一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上，可知大圆的直径等于所有小圆的直径之和．根据圆周长公式可解决．【规范解答】解：每个小圆的半径未知，但所有小圆直径加起来正好是大圆的直径．大圆直径径为D，小圆直径为d1，d2，d3…，大圆周长C＝πD，小圆周长之和＝πd1+πd2+πd3…，＝π（d1+d2+d3…），＝πD；所以所有小圆的周长之和等于大圆周长，即20厘米；答：所有小圆周长之和是20厘米．故填：20．【名师点评】此题属于较复杂的圆周长的计算，解决本题的关键是所有的小圆都在大圆的一条直径上，即所有小圆的直径之和等于大圆的直径，理解了这一点，此题就非常简单了．综合练习一．选择题（共9小题）1．（2019秋•任丘市期末）下列图形中，涂色部分不是扇形的是（）A．B．C．【答案】C【分析】扇形是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形；据此解答．【解答】解：由扇形的意义可知，选项A、B都是扇形，选项C两条线段不经过圆心，不是半径，所以不是扇形；故选：C．【点评】此题考查了对扇形的认识和判断．2．（2019秋•大田县期末）下面图形的阴影部分是扇形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】圆上一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，据此判断即可．【解答】解：图形的阴影部分是扇形的是；故选：C．【点评】解答本题关键是深刻理解扇形的意义．3．（2020•隆回县）圆的大小与圆的（）无关．A．周长B．圆心C．半径【答案】B【分析】因为圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，圆的直径大，半径就大，圆的面积就大；同理圆的周长大，圆的半径就大，则圆的面积就大；所以圆的大小和圆的半径、直径和周长有关，和圆心无关；据此解答．【解答】解：半径决定圆的大小，圆心决定圆的位置在A ，B ，C 三个答案中都与半径r 的大小有关选项B ，圆心的位置只能确定圆的位置，与圆的面积无关，圆的大小与半径有关，也就是周长有关；故选：B ．【点评】解答此题应明确：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．（2019•郴州模拟）一个半圆形，半径为r ，它的周长为（ ）A ．2πr 2B ．πrC ．πr +2rD ．π+r【答案】C【分析】半圆形的周长＝整圆的周长÷2+直径＝2π×半径÷2+2×半径，当半径用r 表示时，列式计算即可得解．【解答】解：半圆形的周长：C ＝2π×r ÷2+2×r ，＝πr +2r ，故选：C ．【点评】此题考查用字母表示计算公式，解决此题关键是明确半圆的周长是圆周长的一半再加上一条直径的长度．5．（2019•保定模拟）圆的周长是直径的（ ）倍．A ．3.14B ．πC ．3.146D ．3.142【答案】B【分析】根据圆周率是圆的周长与直径的比值，即可得出圆的周长是直径的π倍．【解答】解：根据圆周率是圆的周长与直径的比值，即可得出圆的周长是直径的π倍．A 、C 、D 项可看作是π的近似数，不如B 项答案准确．答：圆的 周长是直径的π倍．故选：B ．【点评】此题主要是考查的圆的周长与直径的关系．6．（2019•河南模拟）一个半圆的半径为2cm，则这个半圆的周长为（）cm A．12.56B．6.28C．10.28D．3.14【答案】C【分析】如图所示，半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径，圆的半径已知，从而可以求出半圆的周长，据此进一步解答即可．．【解答】解：2×3.14×2÷2+2×2＝6.28+4＝10.28（厘米）答：这个半圆的周长是10.28厘米．故选：C．【点评】解答此题的关键是明白：半圆的周长等于圆的周长的一半加上一条直径．7．（2019•绵阳）一张圆形的纸，至少要对折（）次，才能看到圆心．A．1B．2C．3【答案】B【分析】圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．【解答】解：将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心．故选：B．【点评】本题考查了确定圆心的方法．8．（2018秋•朝阳区期末）下面图形中的角是圆心角的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据圆心角的含义：顶点在圆心上，且角的两个端点在圆上的角叫做圆心角；据此解答即可．【解答】解：根据圆心角的含义可知：在所给的四个选项中，是圆心角；故选：A．【点评】此题主要考查了圆心角的含义，注意基础知识的积累．9．（2019秋•焦作期末）两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是6分米，当另一个轮子转一周时，它要转3周，另一个轮子的直径是（）分米．A．2B．3C．6D．18【答案】D【分析】两个皮带相连的轮子，它们在圆周走过的距离相等，所以大圆的周长×圈数＝小圆的周长×圈数，可设大圆的直径是x分米，代入相关数据计算得解．【解答】解：设大圆的直径是x分米，由题意得：3.14x×1＝3.14×6×3，x＝18；答：另一个轮子的直径是18分米．故选：D．【点评】此题考查有关圆的应用题，解决此题关键是根据两轮子走过的皮带长度是一样的，等于轮子的圈数乘轮子的圆周长，而圆周长＝圆周率×直径，那么圈数就与直径成反比．即：大轮圈数×大轮直径＝小轮圈数×小轮直径．二．填空题（共6小题）10．（2019秋•永州期末）圆的周长与它的直径的比是一个固定数，我们把它叫做圆周率．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆周率的定义知，圆的周长与直径的比值叫做圆周率，由此解答即可．【解答】解：圆的周长与它的直径的比是一个固定数，我们把它叫做圆周率；故答案为：周长，它的直径．【点评】此题考查了圆周率的定义，应注意基础知识的积累和理解．11．（2019秋•丰台区期末）如图，正方形的对角线是10厘米，圆的半径是5厘米．【答案】见试题解答内容【分析】由题意可知：圆的直径应该等于正方形的对角线，再根据“r＝d÷2”即可求出圆的半径．【解答】解：10÷2＝5（厘米）答：圆的半径是5厘米．故答案为：5．【点评】此题考查了圆的认识和直径与半径的关系．12．（2020秋•会宁县期中）一圆的周长是12.56厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚的距离是2厘米．【答案】见试题解答内容【分析】根据画圆的方法可知，圆规两脚叉开的距离就是所画圆的半径，那么可根据圆的周长公式计算圆的半径即可得到答案．【解答】解：12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（厘米）答：画周长是12.56厘米的圆，圆规两脚间的距离是2厘米．故答案为：2．【点评】此题主要考查的是画圆时圆规两脚叉开的距离就是所画圆的半径．13．（2020秋•岳池县期中）一根铁丝刚好围成一个直径3cm的圆，如果现在用这根铁丝围成一个最大正方形，这个正方形的周长是9.42cm。
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教师姓名冯娜娜学生姓名年级预初上课时间单击此处输入日期。
学科数学课题名称一元一次方程
一元一次方程
知识模块Ⅰ：方程与方程的解
1、 方程及其相关概念
（1）未知数：用字母x 、y …等表示所要求的未知的数量，这些字母称为未知数； （2）方程：含有未知数的等式叫做方程； （3）元：在方程中，所含的未知数又称为元；
（4）列方程：为了求得未知数，在未知数和已知数之间建立一种等量关系式，就是列方程； （5）项：在方程中，被“+”、“-”号隔开的每一部分（包括这部分前面的“+”、“-”号在内）称为一项；如在方程 2.50x +=和
2052y -=中，x 、2.5、25、2
y
-都是方程中的一项； （6）系数：在一项中，数字或者表示已知数的字母因数叫做未知数的系数；如x 的系数为1，2
y
-的系数为12
-；
（7）次数：在一项中，所含有的未知数的指数和称为这一项的次数；如x 、2
y
-的次数都是1； （8）常数项：不含未知数的项称为常数项；如2.5，25
． 2、 方程的解
如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等，那么这个未知数的值叫做方程的解． 【例1】判断下列各式，哪些是方程？
（1）01>-；
（2）267x -=； （3）2y y -=； （4）2736x x -+=； （5）57x -； （6）69.14π+=； （7）325p +≤；
（8）
23
x y
=；
（9）431-+=-．
【答案】（2）、（3）、（4）、（8）．
【例2】（1）方程23503x mn -+=中，项3x 的系数是______，次数是______；项23
mn -的系数是______，
次数是______；常数项是______． 【答案】3，1，2
3
-
，2，5． 【例3】检验下列各数是不是方程71102x x +=-的解．
（1）1x =； （2）2x =-．
【答案】（1）是，（2）不是．
知识模块Ⅱ：等式的概念与性质
1、等式的性质：
（1）等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，所得的结果仍是等式。
（2）等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为零的数）,所得的结果仍是等式。
2、去括号法则：
（1）括号前面带“＋”号，去掉括号和“＋”号，括号内各项都不变号； （2）括号前面带“﹣”号，去掉括号和“﹣”号，括号内各项都变号。
【例4】下列等式的变形正确吗？为什么？ （1）由213x -=得231x =-； （2）由
0.311 1.240.1x x ++=+得310
11241
x x ++=+； （3）由7576x -=得75
76
x =-； （4）由
132
x x
-=得236x x -= 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√
知识模块Ⅱ：一元一次方程及其解法
1、 一元一次方程的概念
只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程． 2、 解方程
求方程的解的过程叫做解方程． 3、 解一元一次方程的一般步骤 （1）去分母； （2）去括号； （3）移项；
（4）化成ax b =（0a ≠）的形式
（5）两边同除以未知数的系数，得到方程的解b
x a
=
．
所以40
61
x =-
是原方程的解。
【例8】解方程：435%(21)30%(152)20%1x x ⨯+-⨯=-⨯- 【提示】关键去百分号。
【答案】解：原方程变形为：435(21)30(152)20100x x ⨯+-⨯=-⨯-
去括号，得 1406303030040100x x +-=-- 移项，化简，得 10570x =-，
两边同时除以x 的系数10，得 57x =- 所以57x =-是原方程的解。
【例9】解关于x 的一元一次方程：21
302
m mx m ++
-=。
【提示】根据一元一次方程的定义可得21m +=，可得m 的值，即可得一元一次方程。
【答案】解：由一元一次方程的定义可得，21m +=，所以1m =- 将1m =-代入原方程得：1
(1)302
x -+⨯--= 解方程得：13
2
x = 【例10】解关于x 的方程).)(()(b a b x b a x a =/+=- 【答案】解：去括号，得 2
2
ax a bx b -=+
移项，化简，得 2
2
()a b x a b -=+， 因为a b ≠，所以0a b -≠
两边同时除以x 的系数()a b -，得 22
a b
x a b -=
+
所以22
a b
x a b -=
+是原方程的解。
【习题1】由方程354x -
=，得到20
3
x =-的依据是_____________________________. 【答案】等式的性质。