极值点偏移定义及判定定理

1极值点偏移定义及判定定理

所谓极值点偏移问题,是指对于单极值函数,由于函数极值点左右的增减速

度不同,使得函数图像没有对称性。若函数()f x 在0x x =处取得极值,且函数

()y f x =与直线y b =交于1(,)A x b ,2(,)B x b 两点,则AB 的中点为12(,)2

x x M b +,而往往1202

x x x +≠.如下图所示.

极值点没有偏移

一、极值点偏移判定方法

1、极值点偏移的定义

对于函数)(x f y =在区间),(b a 内只有一个极值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若

0212x x x ≠+,则称函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 偏移；（2） 若0212

x x x >+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 左偏,简称极值点0x 左偏； （3）若0212

x x x <+,则函数)(x f y =在区间),(21x x 上极值点0x 右偏,简称极值点0x 右偏。

2、极值点偏移的判定定理

判定定理,对于可导函数)(x f y =,在区间),(b a 上只有一个极大（小）值点0x ,方程0)(=x f 的解分别为21x x 、,且b x x a <<<21,（1）若0)2(

'21>+x x f ,则021)(2

x x x ><+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 右（左）偏；（2）0若0)2('21<+x x f ,则021)(2

x x x <>+,即函数)(x f y =在区间),(21x x 上极大（小）值点0x 左（右）偏。

二、极值点偏移问题的一般题设形式：

1. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠,求证：0

212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

2. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =,求证：0212x x x >+（0x 为函数)(x f 的极值点）；

3. 若函数)(x f 存在两个零点21,x x 且21x x ≠,令2

210x x x +=

,求证：0)('0>x f ； 4. 若函数)(x f 中存在21,x x 且21x x ≠满足)()(21x f x f =,令2210x x x +=,求证：0)('0>x f

三、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、方法概述：

（1）求出函数)(x f 的极值点0x ；

（2）构造一元差函数)()()(00x x f x x f x F --+=；

（3）确定函数)(x F 的单调性；

（4）结合0)0(=F ,判断)(x F 的符号,从而确定)(0x x f +、)(0x x f -的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴,构造函数觅行踪；四个步骤环相扣,两次单调紧跟随.

2、抽化模型

答题模板：若已知函数)(x f 满足)()(21x f x f =,0x 为函数)(x f 的极值点,求证：0212x x x <+.

（1）讨论函数)(x f 的单调性并求出)(x f 的极值点0x ；

假设此处)(x f 在),(0x -∞上单调递减,在),(0+∞x 上单调递增.

（2）构造)()()(00x x f x x f x F --+=；

注：此处根据题意需要还可以构造成)2()()(0x x f x f x F --=的形式.

（3）通过求导)('x F 讨论)(x F 的单调性,判断出)(x F 在某段区间上的正负,并得出)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系；

假设此处)(x F 在),0(+∞上单调递增,那么我们便可得出0)()()()(000=-=>x f x f x F x F ,从而得到：0x x >时,)()(00x x f x x f ->+.

（4）不妨设201x x x <<,通过)(x f 的单调性,)()(21x f x f =,)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系得出结论；

接上述情况,由于0x x >时,)()(00x x f x x f ->+且201x x x <<,)()(21x f x f =,故)2()]([)]([)()(2002002021x x f x x x f x x x f x f x f -=-->-+==,又因为01x x <,0202x x x <-且)(x f 在),(0x -∞上单调递减,从而得到2012x x x -<,从而0212x x x <+得证.

（5）若要证明0)2('21<+x x f ,还需进一步讨论221x x +与0x 的大小,得出2

21x x +所在的单调区间,从而得出该处函数导数值的正负,从而结论得证.21世纪教育网版权所有

此处只需继续证明：因为0212x x x <+,故

0212

x x x <+,由于)(x f 在),(0x -∞上

单调递减,故0)2

(

'21<+x x f . 【说明】 （1）此类试题由于思路固定,所以通常情况下求导比较复杂,计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低,会分解为三问,前两问分别求)(x f 的单调性、极值点,证明)(0x x f +与)(0x x f -（或)(x f 与)2(0x x f -）的大小关系；若试题难

度较大,则直接给出形如0212x x x <+或0)2

(

'21<+x x f 的结论,让你给予证明,此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.2