第三章信号检测与估计理论(3)
合集下载
信号检测与估计理论
平方检测算法是一种简单而有效的信 号检测算法，它通过比较输入信号的 平方和与阈值来判断是否存在信号。
信号估计理论
02
信号估计的基本概念
信号估计
利用观测数据对未知信号或系统状态进行推断或预测 的过程。
信号估计的目的
通过对信号的处理和分析，提取有用的信息，并对未 知量进行估计和预测。
信号估计的应用
在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有 广泛应用。
阈值设置
03
在信号检测中，阈值是一个关键参数，用于区分信号和噪声。
通过调整阈值，可以控制错误判断的概率。
信号检测的算法
最大后验概率算法
最大后验概率算法是一种常用的信号 检测算法，它基于贝叶斯决策准则， 通过计算后验概率来判断是否存在信 号。
平方检测算法
多重假设检验算法
多重假设检验算法是一种处理多个假 设的信号检测算法，它通过比较不同 假设下的似然比来确定最佳假设。
医学影像信号处理
X光影像处理
通过对X光影像进行去噪、增强、分割等处理，可以提取出 病变组织和器官的形态特征，为医生提供诊断依据。
MRI影像处理
磁共振成像（MRI）是一种无创的医学影像技术，通过对MRI 影像进行三维重建、分割、特征提取等技术处理，可以更准确
地诊断疾病。
超声影像处理
超声影像是一种实时、无创的医学影像技术，通过对超声影像 进行实时采集、动态分析、目标检测等技术处理，可以为临床
03
估计的精度和效率。
深度学习在信号检测与估计中的应用
01
深度学习是人工智能领域的一种重要技术，在信号检
测与估计中信号进行高效的特征
提取和分类，提高信号检测的准确性和稳定性。
第三章信号的检测 ,信号检测与估计
作业：
1 z2 exp( )dz 1 [ (1 ) E / N0 ] 2 2
x
[ x]
1 e 2
z2 2
dz
1 同理 ＝ p(G | H1 )dG＝ [ (1 ) E / N0 ]
l0*
Pe 1 [ (1 ) E / N0 ]
• 对于通信最佳检测系统，通常用最小总错误概 率准则。即贝叶斯准则C11=C00=0,C01=C10=1
(C10 C00 )q q l0 (C01 C 11 ) p p
• 通常先验概率p及q一般都设计得近似相等，这 样可得到更小的总错误概率。
• 假设p=q=1/2 ， 此时l0=q/p=1，则
H1
2 1 T T x ( s1 s0 ) ln l0 ( s1 s1 s0 s0 ) 2
H0
T
H1
代入得
T
0
x(t ) s1 (t )dt
0
* 1 1 x(t ) s0 (t )dt l0 N 0 ln l0 ( E1 E0 ) 2 2
H0
H1
0
T
Var[G | H 0 ] E{[G E (G | H 0 )]2 } N0 = 2
T
0
[s1 (t ) s0 (t )]2 dt N 0 E (1 )
[G ( E E0 )]2 1 p(G | H 0 ) exp{ } 2 N0 E (1 ) 2 N0 E (1 )
xt s1 t nt
xt s0 t nt
0t T
3.3.2 二元信号检测系统
信号检测与估计理论(3)
机变量；而对于任意的固定的Kos, x(t,kos)是概率空间上的随机函数, 则称
x( t ,ζ ),t T ,ζ Ω为一随机过程， 和 t 都是ζ变量。
由随机过程的定义可知：
x(tk ,ζ ) （tk T，）是一随机变量； x(t ,ζ i ) （ζ i Ω，）是一随机函数。 可以看出其定义域和值域。
2021/2/6
25
这样xs ( )的概率密度函数为
由前面已知,对N个相互统计独立的随机变量,其
和的概率密度函数的求解方法有两种方法
i)根据联合概率密度函的定义,首先求得雅克比变换,
再利用边缘概率密度函数的方法
ii)利用特征函数法;
2021/2/6
26
例子2.2.2(教材p23)
相互统计独立的随机变量x1( ), x2 ( )的概率密度函数分别为
哈佛校训是拉丁文“Amicus Plato，Amicus Aristotle， sed Magis VERITAS”。意 思是“与柏拉图为友，与亚 里士多德为友，更要与真理 为友”。哈佛校徽上的文字，就是真理一 词的拉丁文“Veritas”。
《真理》19世纪 法7国
朱里斯. 约瑟夫. 利弗贝尔
实事求是的科学精神
2021/2/6
19
3 复随机变量
如果与都是概率空间(,F,P)上的实值随机变量, 则 = i为复随机变量.
其本质是对二维随机变量的研究.
如果复随机变量为 i则其数学期望可以定义 为E E iE
2021/2/6
20
4 随机变量特征函数的定义 (a)一维随机变量特征函数的定义
设随机变量x( ),其概率密度函数为p(x),则复随机变量 exp( jx)的均值2.2.54称为x( )的特征函数.
x( t ,ζ ),t T ,ζ Ω为一随机过程， 和 t 都是ζ变量。
由随机过程的定义可知：
x(tk ,ζ ) （tk T，）是一随机变量； x(t ,ζ i ) （ζ i Ω，）是一随机函数。 可以看出其定义域和值域。
2021/2/6
25
这样xs ( )的概率密度函数为
由前面已知,对N个相互统计独立的随机变量,其
和的概率密度函数的求解方法有两种方法
i)根据联合概率密度函的定义,首先求得雅克比变换,
再利用边缘概率密度函数的方法
ii)利用特征函数法;
2021/2/6
26
例子2.2.2(教材p23)
相互统计独立的随机变量x1( ), x2 ( )的概率密度函数分别为
哈佛校训是拉丁文“Amicus Plato，Amicus Aristotle， sed Magis VERITAS”。意 思是“与柏拉图为友，与亚 里士多德为友，更要与真理 为友”。哈佛校徽上的文字，就是真理一 词的拉丁文“Veritas”。
《真理》19世纪 法7国
朱里斯. 约瑟夫. 利弗贝尔
实事求是的科学精神
2021/2/6
19
3 复随机变量
如果与都是概率空间(,F,P)上的实值随机变量, 则 = i为复随机变量.
其本质是对二维随机变量的研究.
如果复随机变量为 i则其数学期望可以定义 为E E iE
2021/2/6
20
4 随机变量特征函数的定义 (a)一维随机变量特征函数的定义
设随机变量x( ),其概率密度函数为p(x),则复随机变量 exp( jx)的均值2.2.54称为x( )的特征函数.
信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限
exp ⎧⎨− ⎩
1
2σ 2
N
−1
(
x[
n]
−
s[n;θ
])2
⎫ ⎬
n=0
⎭
3.3 WGN中信号的CRLB
一阶偏导
∑ ∂ ln
p(x;θ ) ∂θ
=
1
σ2
N −1
( x[n] −
n=0
s[n;θ ])
∂s[n;θ ] ∂θ
二阶偏导 数学期望
∑ ∂2
ln p(x;θ ) ∂θ 2
=
1
σ2
N −1 ⎨⎧( x[n] −
ln p (x;θ ∂θ 2
)⎤ ⎥ ⎦
（3-16）
显然，当估计获得CRLB时，其方差就是Fisher 信息的倒数。下界越小，信息越多。Fisher信 息有如下性质：
1、Fisher信息是非负的（根据（3-11）式）。 2、对于独立的观测，Fisher信息满足可加性。
由此，可以得出如下结论：对N个IID观测的 CRLB是单次观测的1/N倍。
3.3 WGN中信号的CRLB
(3-5)
与 p(x[0]; A) 有关，仅是A的函数。上式值越大，估计量的方差 就越小。
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
定理3-1（标量形式的CRLB）假设PDF p(x;θ ) 对
所有可能的 θ 满足“正则”条件
E
⎡ ⎢⎣
∂
ln
p(x;θ ∂θ
)
⎤ ⎥⎦
=
0
那么任何无偏估计 θˆ 的方差一定满足
−
1
2σ 2
N −1
(x[n] −
n=0
A)2
⎤ ⎥
⎦
第三章信号检测与估计理论3
判决的代价因子cij （i , j 0,1,,M 1）赋定的条件下，使平 均代价
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
M 1
因为判决域Ri可表示为 Ri R Rj ,
jj0i
平均代价C的分析表示式为
其中, s0 1,
s1 2 ,
s2 3 ,
s3
4;
nk
~
N
0,
2 n
,相互统计独
立;先验概率 PH j 相等; cij 1 ij。设计最佳检测系统。
解 由题意得各假设下的似然函数为
p x | H j
1
2
2 n
N
2 exp
p l | H j
N
2
2 n
1
2
exp
N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
Pe
13
3
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
M 1
因为判决域Ri可表示为 Ri R Rj ,
jj0i
平均代价C的分析表示式为
其中, s0 1,
s1 2 ,
s2 3 ,
s3
4;
nk
~
N
0,
2 n
,相互统计独
立;先验概率 PH j 相等; cij 1 ij。设计最佳检测系统。
解 由题意得各假设下的似然函数为
p x | H j
1
2
2 n
N
2 exp
p l | H j
N
2
2 n
1
2
exp
N
l sj
2
2 n
2
，j 0,1,2,3
于是各判决概率为
P Hi | H j Li p l | H j dl
其中，Li 是各假设成立的判决域。最小平均错误概率为
Ii x 0
于是应当满足Ii x＝MinI0 x, I1 x..., IM 1 x
的x划归R i 域，判决假设Hi 成立，即当满足
Ii x I j x ，j 0,1, , M 1, j i
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域 是通过求解M-1个不等式组成的联立不等式获得的。
Pe
13
3
信号检测与估计第三章
+∞
th1
⎛ N1μ − th1 ⎞ = Φ⎜ ⎟ ⎜ N 1σ ⎟ ⎝ ⎠
⎛ N1μ − N1σΦ −1 (1 − α1 ) ⎞ ⎛ N1 μ ⎞ −1 PD1 = Φ ⎜ = Φ⎜ − Φ (1 − α1 ) ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ σ N σ 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
• 若采用符号检测器，其检验统计量为：
0 2,1
ARE
N1 = N2
0 2,1
渐近相对效率定义如下:
N1 ARE2,1 = lim ARE = lim H1 → H 0 H1 → H 0 N 2 N →+∞ N →+∞
N 2 →+∞
1
N 2 →+∞
1
渐近相对效率是检测器在 H1 → H 0 条件下样本数趋于无穷时 的相对效率。它是比较两种检测器性能的一种指标。
⎧ H 0 : f ( xi ) = f ( − xi ) ⎨ ⎩ H1 : f ( Asi + xi ) = f ( Asi − xi )
2）若只知道噪声分布的中位数为零，可表示为： 1 ⎧ H0 : F ( 0) = ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎪ H : F ( As ) = 1 1 i ⎪ ⎩ 2
定义非随机检验函数（连续型）：
( ) ( ) ( )
k >0
• 混合型噪声的概率密度函数为：
⎧ ⎧ x2 ⎫ ε 1− ε ⎪ 2 x f ( x) = exp ⎨ − 2 ⎬ + exp ⎨ − 2πσ 1 2σ 2 ⎩ 2σ 1 ⎭ ⎪ σ2 ⎩ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
3.2.1 衡量检测器性能的指标
1. 检测器渐近相对效率 假设二元假设检验问题有两个检测器，若它们具有相同的 虚警概率和检测概率所需的观测样本数分别为 N1 , N 2 ， 则定义第2个检测器对于第1个的相对效率为:
信号检测与估计理论
x~N (μx,Cx),互不相关等 计价 独 , 独 于 立 立 相同 互分 统布 概率密度函数 。
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 内容提要
三. 离散随机信号的函数
1.一维雅可比特变别换是, 简单线性 的函 变数 。 换时 2. N维雅可比变换。
四. 连续随机信号
1任 .tk 时 意刻采 x (tk) 样 (x k ； tk)所 k ( 1 ,2 , 得 ,N )的 样 概 本 率 函数描述。
平均似然 广 比 义 检 似 验 然 ,比-检 皮验 尔和 逊奈 检曼 验的基
和方法。
第3章 信号状态的统计检测理论 例题解答
例3.1 设二元信号检测的模信型号为
H 0： x1n H1： x2n
其中 观,测n噪 服声 从对称三 如3 角 图 .1(a)分 所布 。 示,
若似然 1 ,求 比最 检 图 佳 测 示 判 门 计 判 P ( 决 H 限 算 1|H 0 决 )。 式域
也相互统计独立。
七. 信号模型及统计特性
确知信号 (未和 )知 参随 量机 ； 信 随号 机参量信性 号描 的述 统
第2章 信号检测与估计理论的基础知识 例题解答
例 2.1设离散x随 服机 从信 对号 称 其 三 概 角 率 分 密 布 度 , 函
p(x)
11|x| a a2
axa (a0)
0
其他
第3章 信号状态的统计检测理论 内容提要
一.信号状态统计检测 的理 基论 本概念
信号状态观 的测 假信 设号 , 的数 概合 ,率理 密判 判 度决 决 函,结果 与判决概最 率佳 , 判决的概 。念
二.二元信号状态统计 的检 三测 个准则
贝叶斯最 检小 测平 准均 则准 错 , 奈 则 误 曼 , 皮 概尔 率逊 检 测准则的概 检 念 验 、 判 似 决 然 为 式 比 最 、简 化判 简决 能 式
《信号检测与估计》第三章习题解答
解：由题意可得
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
( ) f x H0 =
1
− x2
e2
2π
N
∑ 根据定理：当 xi ~ N (0,1) ，且 i = 1,2,L, N 之间相互独立时， x = xi2 服从 χ 2 分布，其概率密 i =1
度函数为
fi(x) =
1
2
i 2
Γ
⎜⎛
i
⎟⎞
i −1 − x
x2 e 2
。得到
⎝2⎠
( ) f
i =1
H1 > <
H0
1 M
ln l0
+1=
β
即判决门限为
β
=
1 M
ln l0
+1
（2）
3.7 在二元假设检验问题中，两假设下的接收信号分别为
H1：x(t ) = r12 + r22 H0：x(t) = r1
其中， r1 和 r2 是独立同分布的高斯随机变量，均值为零，方差为 1。求 Bayes 最佳判决公式。
信号检测与估计第三章习题解答经济法基础第三章习题热学第三章习题答案教育学第三章练习题信号与系统习题解析电磁学习题解答数值分析习题解答控制工程基础习题解答数学模型习题参考解答材料力学习题解答
《信号检测与估计》习题解答
《信号检测与估计》第三章习题解答
3.1 在二元数字通信系统中，发送端等概发送 2V 和 0V 的脉冲信号，信道上迭加的噪声服从均值
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
⎡ ⎢1 + ⎣
erf
⎜⎜⎝⎛
β
−1 2σ
⎟⎟⎠⎞⎥⎦⎤
=
1 2
2014年信号检测与估计各章作业参考答案(1~9章)
输入信号 的能量为
匹配滤波器输出最大的信噪比
（3）可以求出匹配滤波器的输出有用信号
选取观察时间点 ，按照 可以求出匹配滤波器的输出为
简写成
（4）选取观察时间点 ，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：
第五章随机参量信号的检测
思考题1.什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？
解：由于
按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则
可得
这里
选用最大后验概率准则时
接收机的结构为
下面考虑平均错误概率
令检验统计量为
判决规则为
两种错误概率为
平均错误概率为
由于
定义两信号的平均能量为 ，
两信号的时间相关系数为
有
故两种假设下检验统计量的条件概率密度为
所以
同理
所以可得
7.设矩形包络的单个脉冲信号为
要点：
答：略
2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为 ，再设代价因子 。信号存在的先验概率 。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。
计算得出
结果：答：略ຫໍສະໝຸດ 3、只用一次观察值 对下面两个假设作出选择， 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量； 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量，且 。试用最大似然函数准则回答下述问题：
得到
又由于 是正态分布的，且
所以有
于是
即
而判决门限
（2）检测概率
或者
要点：（1）
（2）
7、设观察信号 在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。
式中贝叶斯门限
附：高斯误差函数表
匹配滤波器输出最大的信噪比
（3）可以求出匹配滤波器的输出有用信号
选取观察时间点 ，按照 可以求出匹配滤波器的输出为
简写成
（4）选取观察时间点 ，可画出单个矩形中频脉冲信号的各个波形：
第五章随机参量信号的检测
思考题1.什么是复合假设和简单假设？有何区别？复合假设检验和简单假设检验各适用于何种场合？
解：由于
按照高斯白噪声下二元确知信号的判决规则
可得
这里
选用最大后验概率准则时
接收机的结构为
下面考虑平均错误概率
令检验统计量为
判决规则为
两种错误概率为
平均错误概率为
由于
定义两信号的平均能量为 ，
两信号的时间相关系数为
有
故两种假设下检验统计量的条件概率密度为
所以
同理
所以可得
7.设矩形包络的单个脉冲信号为
要点：
答：略
2、在存在加性噪声的情况下，测量只能是1V和0V的直流电压。设噪声均值为零、均方根电压为 ，再设代价因子 。信号存在的先验概率 。试确定贝叶斯准则下的门限值并给出判决结果，同时计算出相应的统计平均代价。
计算得出
结果：答：略ຫໍສະໝຸດ 3、只用一次观察值 对下面两个假设作出选择， 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量； 样本 是均值为零、方差为 的高斯变量，且 。试用最大似然函数准则回答下述问题：
得到
又由于 是正态分布的，且
所以有
于是
即
而判决门限
（2）检测概率
或者
要点：（1）
（2）
7、设观察信号 在两种假设下的似然函数如下图所示，求贝叶斯准则的判决公式。
式中贝叶斯门限
附：高斯误差函数表
信号检测与估计--第三章-信号的检测
N(2xjsi si2)
j1
i 1,2,3,
上式最大等效为
N 1jN 1(2 xjsisi2)（ N 2jN 1xjsi)si2,i 1 ,2 ,3最大
计算
（
2 N
N
x j) 1,
j1
i1
（
4 N
N
x j) 4,
j1
i 2
哪个大就判决哪个假设成立
（ 2
N
N
x j) 1,
j1
i 3
除以p(x),得
m
C ijp (xH j)P (H j) m
R i(x)j 1 p (x)
j 1C ijP (H j x) i m 1 ,2 i,n m判 决 H i成 立
即在给定观测数据x的条件下,哪个假设带来的代价 小就判决哪个假设成立
贝叶斯准则的证明
把观测X分成互不重叠的m个子空间
X X 1 X 2 X m X 1 U X 2 U U X m
– C00 = C11=0,C10 = C01=1
• 最大似然准则
p(x p(x
| |
H H
1) 0)
H1
H0
1
– C00 = C11，C10 = C01，且P(H0) = P(H1)
• 最大后验概率准则
– (C10-C00)=( C01-C11)
p(H p(H
1 0
| |
x) x)
H1
H0
1
以取样平均值
sˆ
1 N
N
xj
j 1
作为检验统计量
判决规则为:
0
sˆ
3 2
,判
决
H
成
1
信号检测与估计(3)
2 xk s1k 2 x(t ) f k (t )dt s1 (t ) f k (t )dt
T T 0 0
[2 x (t ) s1 (t )] f k (t )dt
T 0
2 xk s0 k [2 x(t ) s0 (t )] f k (t )dt
T 0
N T s1k f k (t ) 1 N s1k 1 (2 xk s1k ) 0 [ x(t ) 2 s1 (t )] dt 2 k 1 k k 1 k
G E{G} n(t )[h1 (t ) h0 (t )]dt
T 0
var{G} E{[G E{G}]2 }
T 0 T
T
0
Rn (t )[ h1 () h0 ()][h1 (t ) h0 (t )]ddt
[ s1 (t ) s0 (t )][ h1 (t ) h0 (t )]dt
注意
T
0 T
s0 (t )h1 (t )dt [ Rn (t )h0 ()d]h1 (t )dt
T T 0 0
0
s1 (t )h0 (t )dt [ Rn (t )h1 ()d]h0 (t )dt
T T 0 0
2
可得
G E{G | H1} E{G | H 0 } 2
N
k
f k (t ) x k f k (t )
k 1
条件是 x k f k (t ) 均方收敛于 x (t ) ，即
k 1
N
lim E{[ x ( t ) x k f k ( t )]2 } 0
k 1
N
信号检测与估计 第三章 答案
0
e−t(a+2πf ) dt =
(3)
and Sy (f ) = Problem 3.2
a2 e−2aT Sx (f ) a2 + 4π 2 f 2
(4)
Using the definitions of bandpass noise processes, we can write E {z(ti )z(tj )} = E {[nI (ti ) + nQ (ti )] [nI (tj ) + nQ (tj )]} = E {nI (ti )nI (tj )} − E {nQ (ti )nQ (tj )} +E {nI (tj )nQ (ti )} + E {nI (ti )nQ (tj )} Since it is assumed that this bandpass process is stationary, we can rewrite this correlation as E {z(ti )z(tj )} = RI (τ ) − RQ (τ ) + [RQI (τ ) + RIQ (τ )] where τ = ti − tj . Using the properties of Eq. 3.61 in the text completes the proof. A similar proof can easily be written for E {z∗ (ti )z∗ (tj )}. Problem 3.3 Using 3.68 in the text, it follows that RI (τ ) = N0 δ (τ ), RQ (τ ) = N0 δ (τ ), and RIQ (τ ) = 0. In order to get to the desired answer, we make the following reasonable assumptions: 1. The integral of cos 2πfc t from 0 to T is approximately zero. 2. The integral of sin 2πfc t from 0 to T is also approximately zero. 3. The integrate parts of the correlators suppress any “double-frequency” terms. (6) (5)
e−t(a+2πf ) dt =
(3)
and Sy (f ) = Problem 3.2
a2 e−2aT Sx (f ) a2 + 4π 2 f 2
(4)
Using the definitions of bandpass noise processes, we can write E {z(ti )z(tj )} = E {[nI (ti ) + nQ (ti )] [nI (tj ) + nQ (tj )]} = E {nI (ti )nI (tj )} − E {nQ (ti )nQ (tj )} +E {nI (tj )nQ (ti )} + E {nI (ti )nQ (tj )} Since it is assumed that this bandpass process is stationary, we can rewrite this correlation as E {z(ti )z(tj )} = RI (τ ) − RQ (τ ) + [RQI (τ ) + RIQ (τ )] where τ = ti − tj . Using the properties of Eq. 3.61 in the text completes the proof. A similar proof can easily be written for E {z∗ (ti )z∗ (tj )}. Problem 3.3 Using 3.68 in the text, it follows that RI (τ ) = N0 δ (τ ), RQ (τ ) = N0 δ (τ ), and RIQ (τ ) = 0. In order to get to the desired answer, we make the following reasonable assumptions: 1. The integral of cos 2πfc t from 0 to T is approximately zero. 2. The integral of sin 2πfc t from 0 to T is also approximately zero. 3. The integrate parts of the correlators suppress any “double-frequency” terms. (6) (5)
信号检测与估计理论
式
3.3.2 最佳判决式 直接极小化平均代价
C P( H j )cij P( H i | H j )
j 0i 0
1
1
(3.3.3)
得到最佳判决式是不方便的，为此利用如下关系式：
P( H i | H j ) Ri p( x | H j )dx
R p( x | H j )dx 1 j 0,1
(4) 判决规则：观测信号 x 是 ( x | H 0 ) 还是 ( x | H1 ) 需要 判决。为此，根据 ( x | H j )( j 0,1) 的统计特性, 将观测空 间 R 划分为两个子空间 R0 和 R1 , 对硬判决而言, 要满足：
R0 i, j 0,1 判决H1成立 R1 i j (3.2.1b) 如图3.2.2所示。 图3.2.2 判决空间划分
观测信号的概率密度函 数
判决域划分 Ri
p( x | H j )
j 0,1
判决结果 ( H i | H j )
i, j 0,1
判决概率 P( H i | H j ) Ri p( x | H j )dx
P( H1 | H j ) 1 P( H 0 | H j )
最佳检测 最佳划分判决域 Ri (i 0,1)
i, j 0,1
(3.3.4a )
(3.3.4b)
R0 p( x | H j )dx 1 R1 p( x | H j )dx
j 0,1
(3.3.4c)
第3章 信号状态检测 3.3 二元信号的贝叶斯检测准则－最佳判决
式
可将平均代价 C 式改写为
C c00 P ( H 0 ) c01 P ( H1 ) R1 P( H 0 )(c10 c00 ) p( x | H 0 ) P ( H1 )(c01 c11 ) p ( x | H1 )dx P ( H 0 )(c10 c00 ) p ( x | H 0 )dx (3.3.5a )
信号检测与估计理论(3)第三章 克拉美-罗下限
(3-7)
则估计量 θˆ = g (x) 是MVU估计，其方差为1/I( θ )是 CRLB。
ˆ var( A) = σ 2 = 1 I (θ )
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
例3-2 例3-1的CRLB
考虑例3-1，根据式（3-3）和式（3-6）对于所有可能的A
ˆ var( A) ≥ σ 2
N −1 2
3.3 WGN中信号的CRLB
由定理3-1有
var(θˆ ) ≥
σ2
⎛ ∂s[ n; θ ] ⎞ ∑0 ⎜ ∂θ ⎟ ⎠ n= ⎝
N −1 2
(3-14)
上式看出，信号随着未知参量的变化而快速变化将导致准确 的估计。将上式应用于例3-3，这时 s[n;θ ] = θ ，可得CRLB 为σ 2 N 。大家也可验证例3-4的结果。
3.1 估计的准确性
例3-1 PDF与未知参量的依赖关系 如果单个观测值
x[0] = A + w[0]
作为A的估计，这里 若
σ2
w[0] 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ，那么，
很小，则期望得到一个较好的估计。
ˆ A = x[0] 是一个无偏估计，且方差为 σ 2，因此，随
着 σ 2的减少，估计的准确性得到提高。
θ=A
I (θ ) =
σ2
g ( x[0]) = x[0]
ˆ 则式（3-2）满足式（3-7），因此，A＝ g ( x[0]) = x[0] 是MVU估 ˆ 计， var( A) = σ 2 = 1 I (θ ) 是CRLB。
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
例3.3高斯白噪声（WGN）中直流量的CRLB
(3-3)
ˆ A = x[0]
则估计量 θˆ = g (x) 是MVU估计，其方差为1/I( θ )是 CRLB。
ˆ var( A) = σ 2 = 1 I (θ )
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
例3-2 例3-1的CRLB
考虑例3-1，根据式（3-3）和式（3-6）对于所有可能的A
ˆ var( A) ≥ σ 2
N −1 2
3.3 WGN中信号的CRLB
由定理3-1有
var(θˆ ) ≥
σ2
⎛ ∂s[ n; θ ] ⎞ ∑0 ⎜ ∂θ ⎟ ⎠ n= ⎝
N −1 2
(3-14)
上式看出，信号随着未知参量的变化而快速变化将导致准确 的估计。将上式应用于例3-3，这时 s[n;θ ] = θ ，可得CRLB 为σ 2 N 。大家也可验证例3-4的结果。
3.1 估计的准确性
例3-1 PDF与未知参量的依赖关系 如果单个观测值
x[0] = A + w[0]
作为A的估计，这里 若
σ2
w[0] 服从正态分布 N (0, σ 2 ) ，那么，
很小，则期望得到一个较好的估计。
ˆ A = x[0] 是一个无偏估计，且方差为 σ 2，因此，随
着 σ 2的减少，估计的准确性得到提高。
θ=A
I (θ ) =
σ2
g ( x[0]) = x[0]
ˆ 则式（3-2）满足式（3-7），因此，A＝ g ( x[0]) = x[0] 是MVU估 ˆ 计， var( A) = σ 2 = 1 I (θ ) 是CRLB。
3.2 克拉美-罗下界（CRLB）
例3.3高斯白噪声（WGN）中直流量的CRLB
(3-3)
ˆ A = x[0]
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2. 贝叶斯准则 各假设 H j的先验概率P H j （j 0 ,1, , M 1）已知；各种
判决的代价因子 cij （i , j 0 ,1, , M 1）赋定的条件下，使平 均代价
最小的准则，就是M元信号检测的贝叶斯准则。 平均代价 C 的分析表示式
• 根据判决域Ri的划分3.6.1式，将3.6.2式写为3.6.3式
如果定义似然比函数为
和函数
即利用似然比表示判决规则，那么判决规 则就是选择使Ji(x)为最小的对应假设成立。
因为判决域Ri可表示为 R R i 平均代价C的分析表示式为
M 1 j 0 j i
R ,
j
P H i | H j Ri p x | H j d x
C cii P H i R P H j cij c jj p x | H j d x i
j 0 j i
M 1
3.6.5
则判决规则应选择使Ii最小的假设为判决成立的假设
因为，对所有的i和j，有 P(H j ) 0 cij -c jj 0 P(x|H j ) 0 所以3.6.5式所示的Ii ( x)满足 于是应当满足I i x ＝Min I 0 x , I1 x ..., I M 1 x 的x划归R i 域，判决假设H i 成立，即当满足 I i x I j x ， 0,1, , M 1, j ji Ii x 0
12
12
N ( l A) 2 exp 2 2 n
于是，根据最佳判决式，判决概率为
P H1 | H 0 pl | H 0 d l
N Nl 2 exp 2 dl 2 2 A n ln 2 n 2 n NA 2
PF＝P( H1 | H 0 ) PD＝P( H1 | H1 )
图3.12接收机工作特性（ROC）
图3.13检测概率PD与信噪比d的关系
在不同的问题中，观测空间中的关测量x的统计特性 P(x|H j )会有所不同，但接收机的工作特性却总有大 致相同的形状，如果似然比函数是x的连续函数，则 接收机工作特性有如下的共同点。 所有连续似然比检验的接收机工作特性都是上凸的； 所有连续似然比检验的接收机工作特性均位于对角线 PD =PF之上。 接收机工作特性在某点处的斜率等于该点上PD和PF要 求的检测门限值。
12 u2 1 exp d u N A 2 2 2
n
12
n
NA
ln
Q Qln d d 2
式中
NA2 ，是功率信噪比。 d 2
2
pu
Qu0
n
12 u2 1 Qu0 u0 exp d u 2 2
u
0
u0
类似地，有
P H1 | H1 pl | H1 d l
Qln d d 2
Q Q 1 P H1 | H 0 d
这说明，在 P H1 | H 0 一定的条件下， 功率信噪比 d 2 越大，检测性能越好。
在例3.3.1中，检验统计量和检测门限分别为
显然，通过检测门限，将P(H1|H0)和P(H1|H1)联系了起来 通常，似然比检验又进行化简，得到检验统计量l（x）的形式
判决概率P(H1|H0)和P(H1|H1)可表示为
例3.3.1 在二元数字通信系统种,假设为H1时,信源输出为常值 正电压A,假设为H 0时,信源输出为零电平; 信号在通信系统传输
价因子 cij 1 ij （i , j 0 ,1） 使平均错误概率 ，
Pe P H 0 P H1 | H 0 P H1 P H 0 | H1 最小；
奈曼－皮尔逊准则
在 P H1 | H 0 约束下，使 P H1 | H1 最大。
1 N 1 2 Var l | H1 E ( A nk A)2 n N k 1 N
这样
N Nl 2 p l | H0 exp 2 2 2 n 2 n
N pl | H 1 2 2 n
时，判决假设Hi成立。这意味着判决假设Hi成立的判决域
是通过求解M-1个方程组成的联立方程获得的。
例如H 0成立的判决域R 0，由解 I 0 x I1 x I0 x I2 x I x I x M 1 0
当M＝2时，结果就是二元信号检测贝叶斯准则时的 似 然比检验。
第三步,计算判决概率
H 0 (3)由(2)得到的判决表示式的最简形式l x H1 可以看出, 检验
统计量l ( x)是个随机变量, 它与检测门限比较作出各种判决, 所以 为了计算判决概率,首先求得检验统计量l(x)在两个假设下的概 率密度函数p l | H 0 , p l | H1 , 然后根据判决式在相应区间的积分 来求P H i | H j
1 nk 2 p nk exp(- 2 ) 2 2 n 2 n 同理, 在两个假设下, 观测信号xk的概率密度函数,即通常所说的 似然函数分别为 1 xk 0 ) p x | H0 exp( 2 2 2 n 2 n
N
两边取自然对数得 NA2 H1 xk 2 2 H0 ln 2 n k 1 n A
N
化为最简判决式为 1 l x N
2 n A H xk H ln N
1 0
k 1
NA
2
经过上面的化简,信号检测的判决式表示由似然比检验形式 简化为检验统计量l(x)与检测门限 相比较作出判决的形式 1 N 检验统计量l x xk 是观测信号xk的数学期望, 它是xk的 N k 1 函数,是个随机变量.
2 过程中叠加了高斯噪声n(t)～N(0, n ),每种信号的持续时间为
(0,T);在接收端对接收到的信号x(t)，在(0,T)时间内进行了N次 独立采样,样本为xk(k=1,2...N).已知噪声样本n k是均值为零,
2 方差为 n的高斯噪声.
(1)建立信号检测系统的信号模型 (2)若似然比检测门限已知,确定似然比检验的判决表示式; (3)计算判决概率P(H1|H 0 ),P(H1|H1 ).
3.6.1
图3.15 M元信号检测模型
合理划分判决域，以得到最佳判决；
判决结果 H i | H j （i , j 0 ,1, , M 1），共 M 2 种；
M 正确判决概率， M 1 种是错误判决概率。
判决概率P H i | H j）（i，j 0，，M 1） ，其中， 种是 M （ 1，
1 N E l | H 0 E nk 0 N k 1
1 2 1 N 2 Var l | H 0 E ( nk 0 n N k 1 N
和
1 N E l | H 1 E A nk A N k 1
2 式子中, A 0, n k～N(0, n ),xk 之间相互统计独立,即为模型.
对N个独立样本xk 进行处理后, 与检测门限相比较, 就可以作出 信号属于哪个状态的判决.
图3.7二元信号检测系统模型
第二步求判决表达式
2 (2)因为噪声样本n k : N(0, n ),易得其概率密度函数为
证明：
图3.14接收机工作特性在不同准则下的解
在极小化极大准则下，求解的条件是满足极小 化极大方程，即
* 1g * 1g
PM P ）=1-PD P ）代人上式得方程 （ （
3.6 M 元信号的统计检测
实际问题中，除了常用的二元信号检测外，还会遇到 M （M 2 ）元信号检测的问题，例如，多元通信问题，天气 预报问题等。
3.6.1 M 元信号统计检测的贝叶斯准则 1. M元信号统计检测的基本概念（见3.2节）
信号有M 种状态，相应假设为 H 0 , H1 , , H M 1 ； 判决域 R 分成 R0 , R1 , , RM 1 ，且满足
R Ri ,
i 0 M 1
Ri R j , i j,
其判决概率为
图3.11判决概率P（H1|H0）和P（H1|H1）示意图叶斯准则 先验概率 P H j （j 0,1） 已知，代价因子
cij （i , j 0,1） 指定，使平均代价 C 最小；
最小平均错误概率准则
先验概率 P H j （j 0,1） 已知，代
N 2
N xk 0 2 exp 2 k 1 2 n
N xk A 2 1 p x | H1 exp 2 2 k 1 2 n 2 n 这样,由定义知道, 似然比函数 x 为
分析：
i 0 i 0 j 0 ji
M 1
M 1
M 1
C中第一项为固定代价；
C中第二项是M个积分项之和，为贝叶斯平均代价的可变项，与判 决域的划分有关。 为得到使平均代价C最小的最佳判决域，令
I i x P H j cij c jj p x | H j ， 0,1,, M 1 i
N 2
A x exp 2 p x | H0 n
p x | H1
NA xk 2 2 k 1 n
N 2
于是, 似然比检验为 A exp 2 n NA2 H1 xk 2 2 H0 k 1 n
1 N 因为检验统计量为l x xk N k 1 因此,在两个假设下xk 都是相互统计独立的高斯随机变量, 1 N 所以l x xk 也是相互统计独立的高斯随机变量, 此 因 N k 1 只要求得在两种假设条件下l(x)的均值和方差,就能得到 检验统计量的概率密度函数p l | H j