经典最优化方法优秀课件
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《最优化方法》课件
7பைடு நூலகம்
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
5
2. 学习本课程所需的数学知识
向量、向量的模（范数）、向量的运算、 线性相关与无关、基. 矩阵的运算及性质、矩阵的秩、特征值、正定性。 向量函数、连续性、可微性、 梯度、海森矩阵、向量函数（多元函数）的Taylor定 理
6
3. 学习要求
掌握主要的优化模型的数学计算方法. 了解优化方法的数学原理. 了解现代优化方法. 熟练掌握应用数学软件计算优化问题.
3
二次大战以后，在军事运筹小组中工作过的一部分科 学家开始转入民用部门，他们把对军事系统最优化的研究 成果拓展到各种民用系统的研究上。
1947年美国数学家G.B.Dantzig在研究美国空军资源 配置时,提出了求解线性规划的有效方法—单纯形法。二 十世纪五十年代初，应用计算机求解线性规划获得成功。
2
运筹学这一名词最早出现于1938年。当时英，美等国盟军 在与德国的战争中遇到了许多错综复杂的战略和战术问题难以 解决，比如
(１)防空雷达的布置问题：
(２)护航舰队的编队问题：
为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业 背景的科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是 军事性质的，在英国称为“Operational Research”，其他英语 国家称为“Operations Research”，意思是军事行动研究。这些 研究小组运用系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题， 取得了非常理想的效果。
至五十年代末，一些工业先进国家的大型企业已经较 普遍地使用运筹学方法解决在生产经营管理中遇到的实际 问题，并取得了良好的效果，至六十年代中期，运筹学开 始应用于一些服务性行业和公用事业。
4
我国运筹学的研究始于五十年代中期，当时由钱学森教 授将运筹学从西方国家引入我国，以华罗庚教授为首的一大 批科学家在有关企事业单位积极推广和普及运筹学方法，在 建筑，纺织，交通运输，水利建设和邮电等行业都有不少应 用。关于邮递员投递的最佳路线问题就是由我国年轻的数学 家管梅谷于1962年首先提出的，在国际上统称为中国邮递员 问题。我国运筹学的理论和应用研究在较短时间内赶上了世 界水平。
最优化方法及其应用[优质ppt]
![最优化方法及其应用[优质ppt]](https://img.taocdn.com/s3/m/80a9d4f0dd3383c4ba4cd22c.png)
一 最优化问题总论
解 设四间车房长为 x 1 ，宽为 x 2．由题意可 知面积为 f(x1, x2)x1x2 且变量 x 1 ，x 2 ，应满足
2x15x240 x10，x2 0
即求 mfa(x1x ,x2)x1x2，
2x1x10， 5xx22
40， 0．
一 最优化问题总论
一 最优化问题总论
概括地说，凡是追求最优目标的数学问 题都属于最优化问题作为最优化问题，一般 要有三个要素：第一是目标；第二是方案； 第三是限制条件．而且目标应是方案的“函 数”．如果方案与时间无关，则该问题属于
静 态最优化问题；否则称为动态最优化问题
本书只讨论静态最优化问题．
一 最优化问பைடு நூலகம்总论
最简单的最优化问题实际上在高等数学 中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯 上又称之为经典极值问题．
例1.1 对边长为a的正方形铁板，在四
个 角处剪去相等的正方形以制成方形无盖 水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
一 最优化问题总论
解 设剪去的正方形边长为x，由题意易知，与
此相应的水槽容积为
f(x)(a2x)2x
一最优化问题总论 二一维搜索法 三常用无约束最优化方法 四常用约束最优化方法 五程序设计及其他优化方法
一 最优化问题总论
无论做任何一件事，人们总希望以最少 的代价取得最大的效益，也就是力求最好， 这就是优化问题．最优化就是在一切可能的 方案中选择一个最好的方案以达到最优目标 的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、 铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标 是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票 价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目 标．这是最简单的最优化问题，实际优化问 题一般都比较复杂．
最优化方法图解法和LP基本定理PPT课件
为非基向量.
3. 基变量: 基向量对应的变量称为基变量，非基向量对应的变
量称为非基变量(自由变量)。
x1 x4
5 1
A
10
6
1 1 0
2
0
1
5 1
B2
10
0 ,
例如：对于基B2而言，x1 , x4是基变量，x2 , x3 , x5是非基变量。
思考：基变量的选取唯一吗？取法有多少种？
第20页/共25页
x1 1.9x2 3.8
第4页/共25页
max z 3x1 5.7 x2
例2. x1 1.9x2 10.2
s.t
.
x1 x1
1.9 x2 1.9 x2
3.8 3.8
x1 1.9x2 3.8
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
max Z
2) xj hj (hj 0) 引入 yj xj hj , 则 yj 0;
3) x j 0 令 yj xj , 则 yj 0;
4)
x
的符号无限制
j
引入
y' j
0,
y'' j
0,
n
令x
n
j
y' j
y'' j
, 代入模型消去x j
5) aij x j bi
aij x j xi' bi , xi' 0
第一节 图解法
➢确定可行域： 画约束直线，确定满足约束条件的半平
面，所有半平面的交集，即为线性规划的 可行域。
➢确定目标函数的等值线及优化方向： 画一条目标函数等值线，并确定目标函数 优化的方向。
最优化方法之单纯形法PPT课件
3 5
4 2
1 0
0 1
9 8
x3 9 3x1 0 x4 8 5x1 0
x1 3
x1 1.6
第5页/共76页
x1取min3,1.6 1.6,
即x4 0 x4出基
得到新基
3 5
1
0
• 迭代（求新的基本可行解）
3 4 1 0 9
5
2
0
1
8
主元素
3 4 1 0 9
1
25 0
s.t 3x1 4x2 x3 9
5x1 2x2 x4 8
x1, x2 , x3 , x4 0
• 找初始基可行解
系数的增广矩阵
取初始可行基为B1
1
0
0 1
3 4 1 0 9
A
5
2
0
1
8
得基可行解 X (0) (0 0 9 8)T
目标函数值 z(0) 0
• 判断是否最优解?能否找到另一个基可行解使目标函数 值下降?
x3
3 14
x4
3 2
x1
-
1 7
x3
2 7 x4 1
x2
3 2
5 14
x3
3 14
x4
x1
1
1 7
x3
-
2
7
x4
代入目标函数：
z
17.5
5 14
x3
25 14
x4
最优解： X * (1 1.5 0 0)T z* 17.5
第10页/共76页
X (0) (0 0 9 8)T z(0) 0
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
zj cj cBB1Pj cj
最优化计算方法(精选)共80页PPT
最优化计算方法（精选）
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
ห้องสมุดไป่ตู้
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
ห้องสมุดไป่ตู้
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
谢谢！
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
最优化计算方法PPT课件
0.91
0.91
3 (x 5)2 ( y 3)2 18 (x 1)2 ( y 1)2
0.91
0.91
8 (x 3)2 ( y 1)2 6 (x 5)2 ( y 1)2 ] / 84
▪ 问题为在区域0=<x=<6, 0=<y=<6上求z=f(x,y)的 最小值。
•15
绘制目标函数图形
xnew=a+(b-a)*rand(1); ynew=c+(d-c)*rand(1); znew=subs(z,[x,y],[xnew,ynew]); if znew<zmin
xmin=xnew; ymin=ynew; zmin=znew; fprintf('%4.0f %1.6f %1.6f %1.6f\n', n, xmin, ymin, zmin); end end
•16
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200
20
15
10
5
5 0
5 0
-5
-5
y
x
•17
绘制等值线图
ezcontourf(z,[0 6 0 6])
colorbar, grid on
16/5+...+17/140 (x2-10 x+26+y2-2 y)91/200 6
据的统计分析给出：对离救火站r英里打来
的求救电话，需要的响应时间估计
为
。下图给出了从消3.防21管.7r0员.91 处得到
的从城区不同区域打来的求救电话频率的
估计数据。求新的消防站的最佳位置。
•13
最优化方法课件
Cabinet Bookshelf With Doors With Drawers Wood 10 12 25 Labor 2 4 8 Revenue 100 150 200
Custom
20
12
400
6
2. 数学模型 （定量优化计算：不增加投入而 增加产出的手段） 第一，无约束极值问题（例1.3）
min f x, y x 2 y 1
2
2
图解法的步骤： 2 2 ①令 f x, y x 2 y 1 c ，显然 ③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
c0 ；
②取 c 0,1, 4,9,并画出相应的曲线（称之为等值线）.
。由此
min f x s.t. h x 0
（2）
以向量为变量的实向量值函数最优化问题的一般形式
min f x1 , x2 ,, xn s.t. hi x1 , x2 ,, xn 0, i 1, 2,, l (l n) s j x1 , x2 , , xn 0, j 1, 2,, m
1
,
arccos
向量的夹角 ， , 向量的正交 , 1.可微
,
0 ,
2
, 0 （正交性）
设 .如果存在 n 维向量 l , 对于可任意小的 n 维非零向量 p ，总有
f : D R R , x0 D
Example Suppose that a manufacturer of kitchen cabinets is trying to maximize the weekly revenue of a factory. Various orders have come in that the company could accept. They include bookcases with open shelves(开架书橱), cabinets with doors（带门橱柜）, cabinets with drawers（带抽屉橱柜） , and custom-designed ( 定 制 的 ) cabinets. The following Table indicates the quantities of materials （ 原 材 料 ） and labor required to assemble the four types of cabinets, as well as the revenue earned. Suppose that 5000 units of wood and 1500 units of labor are available.
Custom
20
12
400
6
2. 数学模型 （定量优化计算：不增加投入而 增加产出的手段） 第一，无约束极值问题（例1.3）
min f x, y x 2 y 1
2
2
图解法的步骤： 2 2 ①令 f x, y x 2 y 1 c ，显然 ③确定极值点位置，并用以往所学方法求之。
c0 ；
②取 c 0,1, 4,9,并画出相应的曲线（称之为等值线）.
。由此
min f x s.t. h x 0
（2）
以向量为变量的实向量值函数最优化问题的一般形式
min f x1 , x2 ,, xn s.t. hi x1 , x2 ,, xn 0, i 1, 2,, l (l n) s j x1 , x2 , , xn 0, j 1, 2,, m
1
,
arccos
向量的夹角 ， , 向量的正交 , 1.可微
,
0 ,
2
, 0 （正交性）
设 .如果存在 n 维向量 l , 对于可任意小的 n 维非零向量 p ，总有
f : D R R , x0 D
Example Suppose that a manufacturer of kitchen cabinets is trying to maximize the weekly revenue of a factory. Various orders have come in that the company could accept. They include bookcases with open shelves(开架书橱), cabinets with doors（带门橱柜）, cabinets with drawers（带抽屉橱柜） , and custom-designed ( 定 制 的 ) cabinets. The following Table indicates the quantities of materials （ 原 材 料 ） and labor required to assemble the four types of cabinets, as well as the revenue earned. Suppose that 5000 units of wood and 1500 units of labor are available.
数学建模优化课件
一、数学建模的理解例子：二、经典最优化方法1、微分与极值2、无约束极值问题3、约束极值问题三、无约束优化问题数值解法（向量）1、最优梯度法（梯度下降法）2、牛顿法3、共轭梯度法4、阻尼牛顿法5、变尺度法1.1 无约束优化的一般形式无约束非线性规划问题为其最优解通常都是局部最优解，寻找全局最优解需要对局部最优解进行比较以后得到（如果能够求出所有局部最优解的话）。
1.2 最优性条件是最优解的必要条件为；充分条件为，且正定。
1.3 下降法的基本思想在迭代的第k步，确定一个搜索方向和一个步长，使沿此方向、按此步长走一步到达下一点时，函数值下降。
其基本步骤为1）选初始解；2）对于第次迭代解，确定搜索方向并在此方向确定搜索步长令，使<；3）若符合给定的迭代终止原则，停止迭代，最优解；否则，转2。
搜索方向的选择（不同方向产生不同的算法）：1）最速下降法（梯度法）2）牛顿法3）拟牛顿法：利用第和步得到的，用BFGS公式，DFP公式，GM公式等迭代公式构造正定矩阵近似代替，或直接构造近似代替，从而由，或得到下降方向d k+1。
搜索步长的确定——线性搜索：用二分法、黄金分割法（即0.618法）、Fibonacci 法，牛顿切线法和割线法，插值方法等近似方法求一维优化问题：来确定步长。
2.1 非线性最小二乘拟合问题有一组数据要拟合一个已知函数y=f(x, t), x=(x1,x2,…,xm),, x为待定系数。
记误差，，拟合误差定义为的平方和，于是问题表示为如下的优化模型：当对（的某些分量）是非线性函数时，称非线性最小二乘拟合。
四线性规划1、线性规划的数学模型某工厂安排生产1、2两种产品，2、线性规划的图解法单纯形及其求解法1.1 线性规划的图解法线性规划的图解法只能用于求解两个决策变量（2维）的情形。
由于线性规划的约束条件和目标函数均为线性函数，所以对于2维情形，可以在平面坐标系下画出可行域和目标函数的等值线。
最优化方法课件05-3
qi
18
两阶段法的思路 第一阶段的任务是求解LP,将人工变量 尽快迭代出去，从而找到一个没有人工变 量的基可行解；
• 第二阶段以第一阶段得到的基可行解为 初始解，采用原单纯型法求解(LP)； • 若第一阶段结束时，人工变量仍在基变 量中，则原问题无解.
19
练习1 求解线性规划
min f ( x ) 10 x1 8 x2 7 x3 6 2 x1 x2 s .t . x1 x2 x3 4 x1 , x2 , x3 0
M是相当大的正数(可以理解为正无穷),对人工 变量起到惩罚的作用,逼迫辅助线性规划的最优 解中人工变量均为0.
5
考虑辅助规划中的目标函数
c x
j 1 j
n
n m j
M
j n1
x
j
定理：若辅助规划的最优解(x1,x2,· · · ,xn+m)中人 工变量不全为0(设xr≠0),则原规划无可行解. 如若不然,设原规划有可行解 x ( x1 , x2 , , xn ) 则 x ' ( x1 , , xn , 0, , 0)T 是辅助规划可行解.
T
6
大M方法算例
例5.5.1 用大M单纯 引入松弛变量x5,人工变量 形法求解线性规划 x6,x7,构造辅助线性规划 min f(x)=-3x1+x2+x3 min –3x1+x2+x3+Mx6+Mx7 s.t. x1-2x2+x3 ≤11 s.t. x1-2x2 +x3 +x5 =11 -4x1+x2+2x3-x4=3 –4x1+x2+2x3-x4 +x6 =3 -2x1 +x3 =1 –2x1 +x3 +x7=1 x1,x2,x3,x4≥0 x1, · · · ,x7≥0
最优化方法线性规划单纯形法ppt(共76张PPT)
ii) 如果任何替换都产生不了新的BFS，则问题无界.
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
◆ 退化基本可行解：某个或某些基变量取零的基本可行解！ 问题：基本可行解与基的对应关系？
◎相对费用系数的经济解释！(合成价格、相对价格)
4. 计算过程－单纯形法
单纯形表：BFS对应规范形的表格＋
既约费用系数和BFS目标值的相反数
单纯形法的步骤
步2 选取 q 满足
最优值：
原问题的极大值：
退化(degenerate)与循环(cycling)
◎退化问题
⊙ 单纯形法可能出现循环！ ⊙ 实际中经常碰到退化问题，但很少出现循环 ⊙ 避免出现循环的措施：摄动法、Bland法则、字典序法
基本可行解是退化的当且仅当单纯形表最后一列有一个或者
多个零！一次转轴是退化的当且仅当目标函数没有发生变化！
B=(a1,a2,a3)
X=(4,3,1,0,0,0)
a4进基
转轴
x=(0,1,3,2,0,0)
3. BFS→目标值减小的相邻BFS
设x是BFS，且规范形如前，则有
◎问题：确定进基变量，转轴后使新BFS的目标值变小？ ⊙ 将Ax=b的任一解用非基变量表示； ⊙ 将目标函数
用非基变量表示. ——选取进基变量的依据
一般形式 转化 标准形
称 松弛(slack)/盈余(surplus)变量；自由变量
例5. 化成标准形
等价表示为
基本解与基变量
其中 满秩假定：m×n矩阵A满足m<n，且A的行向量线性无关
• 在满秩假定下，方程组Ax=b总有解，且至少有一个基本 解
定义： 给定含有n个变量，m个方程的线性方程组Ax=b，设B 是由A 的列组成的任一非奇异m×m子阵，则如果置x的所有与B 无关的n-m个分量为零后，所得方程组的解是Ax=b关于基B的 基本解(basic solution) ，称x中与基B对应的分量为基变量(basic
《最优化理论》课件
递归法
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
谢谢您的聆听
THANKS
线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
递归地求解子问题，并存 储子问题的解以避免重复
计算。
备忘录法
使用备忘录存储子问题的 解，以避免重复计算，同 时避免因重复计算而导致
的内存消耗。
迭代法
通过迭代的方式求解子问 题，并逐渐逼近最优解。
动态规划的应用
生产计划问题
在生产过程中，需要制定生产计 划以满足市场需求，同时最小化 生产成本。动态规划可以用于求 解此类问题。
线性规划问题具有形式化 的特征，包括决策变量、 目标函数和约束条件。
线性规划问题通常用于解 决资源分配、生产计划、 运输和分配等问题。
线性规划的解法
线性规划的解法有多种，包括 单纯形法、椭球法、分解算法
等。
单纯形法是最常用的线性规 划解法，它通过迭代过程寻 找最优解，每次迭代都使目
标函数值减小。
椭球法和分解算法也是常用的 解法，但它们在处理大规模问
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线性规划问题
在目标函数和约束条 件均为线性时，寻找 最优解的问题。
非线性规划问题
在目标函数或约束条 件为非线性时，寻找 最优解的问题。
整数规划问题
在变量取整数值且约 束条件为整数时，寻 找最优解的问题。
最优化问题的求解方法
牛顿法
通过构造一个二次函数近似目 标函数，并利用牛顿公式求解 最优解。
共轭梯度法
要点二
详细描述
在生产领域，整数规划可以用于生产计划、资源分配等问 题，如安排生产线的生产计划、分配原材料等资源。在管 理领域，整数规划可以用于物流调度、车辆路径等问题， 如优化物流配送路线、制定车辆行驶计划等。在经济领域 ，整数规划可以用于投资组合、风险管理等问题，如优化 投资组合以实现最大收益或最小风险。
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由此可见：
当f ' x* 0时，函数f x 是单调上升；当f ' x* 0时，函数
函数f x是单调上升；
当f ' x* ＝0时，若f '' x* 0，则x*为极小点，若f '' x* 0，则x*为极大点
微分学中求极值
• 二元函数的极值
(1)二 元 函 数 的 台 劳 展 开 式
( 4 ) 二 元 函 数 极 值 的 充 分 条 件 定 理 ： 二 元 函 数 f(X )存 在 极 值 点 的 充 分 条 件 是 ： 梯 度 g f(X )＝ 0 。 且 A 2f(X ) 正 定 ， 则 有 极 小 点 。 反 之 ， 则 有 极 大 点 。
无约束最优化问题
• 由上一节可知，对于无约束最优化问题，其数学模型中只有目标函 数
f ' (x) 0
这里有个前提，即函数 f ( x ) 在设计区间要连续可导。凡是满足 上述的点都叫函数 f ( x ) 的驻点。我们可知驻点并不完全是极值 点，它还有拐点，当然，极值点必定是驻点。因此，还必须有判 别函数极值的更充分条件。
微分学中求极值
充分条件：
当函数的一阶导数f '(x)0,二阶导数f '' x0,并且 1）f '' x0时，函数f (x)取极大值，有极大值点； 2）f '' x0时，函数f (x)取极小值，有极小值点；
经典最优化方法优秀课件
内容介绍
微分学中求极值 无约束最优化问题 常用微分公式 凸集与凸函数 等式约束最优化问题 不等式约束最优化问题 变分学中求极值
微分Байду номын сангаас中求极值
• 一元函数的极值 1.一元函数极值的求法与判别 必要条件： 设函数 f ( x ) 在点 x 0 处具有导数，且在x 0 处 f ( x )取得极值，则该函数 f ( x )在 x 0 处的导数
等式约束最优化问题
1.消元法 消元法就是将等式约束最优化问题转化为无约束最优化问题的一种最为简单的方法， 这里以二维为例，对其方法加以说明： 已知问题的数学模型为 Smi.tn.gf((xX1,)x＝2)f(x01,x2) 先由约束方程g(x1,x2)＝0，解出x2 h(x1),即消去x2； 然后把所得的表达式代入目标函数中，便可得到无约束的极值问题 minf (X)min f (x1,h(x1))
故台劳展开式也可写成
f ( X ) f ( X *) gT X 1 X T AX 2
微分学中求极值
(2)梯 度 与 方 向 导 数
梯 度 的 定 义 ： 梯 度 是 函 数 f(X)的 一 阶 偏 导 数 组 成 的 向 量 。 记 为 ： g f(X)f X
梯 度 g在 x1方 向 上 的 投 影 ， 即 g在 x1方 向 上 的 分 量 ， 就 是 函 数 f(X)在 x1方 向 的 偏 导 数 ， 即 函 数 在 x1方 向 的 变 化 率 。
找出函数的极值点，函数的极值自然容易计算出来。
微分学中求极值
2.在 x *附 近 展 成 台 劳 极
f x f x* f ' x* x 1 f '' x* x2 2!
.
=f
x* f '
x* x 1 f ''
x* x2
2!
.
= f x* f ' x* x
minf ( X )
XEn
采用解析法求解，其求解过程可以归结为一下三个步骤： 1.令梯度g=0，解出各个驻点。 2.计算各驻点的矩阵 A,判断矩阵A正定或负定，得到相对应的极小点
或极大点； 3.计算极值。
常用微分公式
对于多元函数，在求解运算过程中，常用到以下微分公式： 1.C＝ 0 式 中 C为 常 数 ；
微分学中求极值
(3)赫森矩阵（Hesse）
定义：赫森矩阵，是二阶偏导数矩阵，且是2×2对称方阵 ，用记号A代表 A2f(X)X 2f2 性质：1.A是目标函数的二阶偏导数，是梯度的一阶偏导数。
2.A是对称方阵。 3.A为正定的条件是：各阶主子式大于零。 4.若矩阵A正定，则二次型XTAX0，若矩阵A负定，则二次型XTAX0
由梯度与方向导数的概念，我们可以得到：
1.函数f ( X )在该点沿方向的方向导数等于梯度g沿方向的
投影。 2.梯度g在自身方向上的投影最大，最大值为 g .因而，函数 f (x)沿梯度方向上升最快。 3.梯度g在与自身垂直的方向上投影为0, 所以函数沿与梯度 垂直方向变化最慢，变化率为0； 4.与梯度成锐角方向，函数是上升的；与梯度成钝角方向， 函数是下降的。
等式约束最优化问题
2 . 拉 格 朗 日 乘 子 法 消 元 法 的 特 点 在 于 改 写 约 束 条 件 ， 消 除 约 束 方 程 。 但 是 ， 当 等 式 约 束 是 多 维 ， 高 次 或 非 线 性 时 ， 这 种 方 法 就 显 得 十 分 烦 琐 。 拉 格 朗 日 乘 子 法 是 引 进 一 个 代 定 系 数 ， 构 造 一 个 新 的 无 约 束 条 件 的 目 标 函 数 ， 而 使 数 学 变 换 过 程 简 化 。 这 里 也 以 二 维 为 例 。
0为 n维 0向 量 ； 2. B＝ 0 式 中 B为 n维 常 向 量 ；
0为 n*n阶 矩 阵 ； 3. BTX＝ B 式 中 B为 n维 常 向 量 ；
X为 n维 变 向 量 ； BTX为 标 量 4. (X T X )＝ 2X； 5. (X T Q X )＝ 2QX； 6. X=I；
凸集与凸函数
f (X)
f
(
X
*
)
f X
*
T
X
1 X T 2
2 X
f
*2
X
其中
T
g f (X ) f X
f x1
,
f x2
叫梯度，是一阶偏导向量。
A
2
f
(X
)
2 f X 2
2 f x12
,
2 f x1x2
叫赫森矩阵，是二阶偏导向量，对称方阵。
2 f x1x2
,
2 f x22
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
凸集与凸函数
等式约束最优化问题
等式约束最优化问题的数学模型式
minf (X )
S
.t.g i
(
x)
0
X En
i 1,2,...,m
这里介绍两种比较常用的方法：消元法和拉格朗日乘子法。
方 向 导 数 的 定 义 ： 二 元 函 数 f(X)沿 任 意 方 向 取 长 度 为 X 的 点 ， 该 点 的 函 数 的 极 限
limf(x1 x1,x2 x2)f(x1,x2)
0
存 在 ， 就 称 极 限 值 为 函 数 f(X)在 该 点 沿 方 向 的 方 向 导 数
微分学中求极值