12-13 线代期末考试卷 A

安徽师范大学2012－2013学年第一学期

化材学院专业基础课2012级《线性代数》课程期末考试试卷

(A 卷 闭卷 120分钟)

1. 设α, β, γ1, γ2均为3维列向量，3阶方阵A =(α, γ1, γ

2), B =(β, γ1, γ2)，且已知行列式

3=A , 2=B ，则行列式=+B A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )

(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 40

2. 设A , B 均为n 阶方阵，则

(A +B )(A -B )=A 2

-B 2

成立的充分必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )

(A) A =O (B)

B =E (C) A =B (D) AB =BA

3. 下列矩阵中为初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )

(A) ⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛0001001001001000

(B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-001010100 (D) ⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-100010021 3. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021α,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=3002α，则下列向量中可以用α1, α2线性表示的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )

(A) ⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-403 (B)

⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛010 (C) ⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛011 (D) ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-110 5. 若矩阵A 与B 相似，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )

(A) 存在正交矩阵P ，使得P -1AP =B (B) 存在正交矩阵P ，使得P T AP =B (C) 存在可逆矩阵P 和Q ，使得A =PBQ (D) 存在可逆矩阵P ，使得A =P -1BP

1. 已知3阶方阵A 中的元素全部为1，则A 2013 = .

2. 已知矩阵()4 ,0 ,30201⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛=A ，则矩阵A 的秩等于 .

3. 已知n 阶方阵A 的秩为n -1，且A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组Ax =0 的通解是 .

4. 已知2阶方阵A 的特征值是1和2，则伴随矩阵A * 的特征值是 和 .

5. 二次型f (x 1,x 2,x 3)= x 12-2x 1x 2+x 22的矩阵是 .

一、单项选择题（每小题4分，共20分）

二、填空题（每小题4分，共20分）

1. 已知⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=200120112A ，求矩阵B ，使得A +B =AB

2. 已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202λα,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=1113α线性相关，求参数λ 的值.

3. 设三维向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ113α,⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=112β，已知β 不能由α1, α2, α3线性表示， 求

参数λ 的值.

4. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛---=2135

212b a A 的一个特征向量. 求：① 参数a , b 的值；② 特征向量ξ 所对应的特征值.

三、计算题（每小题7分，共35分）

5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112α,⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=0213α规范正交化

1. 已知A 是n 阶方阵，B 是n ⨯s 矩阵(n ≤s )，并且B 是行满秩矩阵. ① 证明：R (AB )=R (A )； ②

证明：如果AB =B ，则A =E .

2. 已知向量组(I): α1, α2, α3与向量组(II): β1, β2, β3满足关系式⎪⎩⎪

⎨⎧++=+=++=3211

2113211 2 3 α

ααβααβαααβ.

证明：向量组(I)和(II)等价.

四、证明题（每小题8分，共16分）

设3阶矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=00000111a A .

① 求矩阵A 的特征值；

② 参数a

取何值时，矩阵A 可对角化，说明理由；

③ 当A 可对角化时，求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ.

五、解答题（9分）