江苏省南京物理竞赛讲义-1.2圆周运动
讲义1-2、3 圆周运动、相对运动剖析
第一章 质点运动学
物理学
第五版
1-2 圆周运动
例 一歼击机在高空 A 点A时的水平速率为1 940
vA
B
km·h-1 ,沿近似圆弧曲线 r
俯冲到点B，其速率为2
192 km·h-1 , 经历时间为3 o
vB
s , A设B 的半径约为 3.5
飞km机, 从A到B过程视为匀变速率圆周运动，不
计重力加速度的影响，求：(1) 飞机在点B的
加速度；(2)飞机由点A到点B所经历的路程.
第一章 质点运动学
物理学
1-2 圆周运动
第五版
解（1）飞机是匀变速率圆周运动， A
v A
即切向加速度大小不变。
at
vB
vA t
而B点
an
vB2 r
解得： at 23.3m s2，
r an
o
B
a
at
v B
an 106 m s2
a at2 an2 109m s2
与速度的夹角
arctan an 77.6o
at
第一章 质点运动学
物理学
第五版
（2）矢径r 所转过的角度
At
1t 2
2
飞机走过的路程
s r
vAt
1 2
at
t
2
1722 m
1-2 圆周运动
A
v A
B
r
o
v B
第一章 质点运动学
物理学
第五版
§1-3 相对运动
Relative Movement
第一章 质点运动学
物理学
第五版
S系：基本参考系
S'系：运动参考系
高考物理 圆周运动讲义
2011高考物理圆周运动讲义温故自查1．线速度(1)物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢．(2)方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的方向．(3)大小：v＝(s是t时间内通过的弧长)．切线2．角速度(1)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢．(2)大小：ω＝(rad/s)，φ是连结质点和圆心的半径在t时间内转过的角度．3．周期T、频率f做圆周运动的物体运动一周所用的叫周期．做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速．4．v、ω、f、T的关系时间考点精析描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向心加速度五个物理量，线速度描述质点沿圆周运动的快慢，角速度描述质点绕圆心转动的快慢，周期和频率表示质点做圆周运动的快慢，向心加速度描述线速度方向变化的快慢．其中T、f、ω三个量是密切相关的，任意一个量确定，其它两个量就是确定的，其关系为当T、f、ω一定时，线速度v还与r有关，r越大，v越大；r越小，v越小．向心加速度是按效果命名的，总是指向圆心，方向时刻在变化，是一个变加速度．当ω一定时，a与r成正比，当v一定时，a与r成反比，关系式为a＝＝ω2r.注意对公式中v、r的理解，严格地说，v是相对圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径.温故自查匀速圆周运动的向心力，是按作用效果命名的，其动力学效果在于向心加速度，即只改变线速度方向，不会改变线速度的大小．表达式：对于做匀速圆周运动的物体其向心力应由其所受合外力提供，mω2r考点精析1．向心力的作用效果：产生向心加速度以不断改变物体的线速度方向，维持物体做圆周运动．2．向心力的来源向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是各力的合力或某力的分力，总之，只要达到维持物体做圆周运动效果的力，就是向心力．向心力是按力的作用效果来命名的．对各种情况下向心力的来源应明确．如：水平圆盘上跟随圆盘一起匀速转动的物体[如图(a)]和水平地面上匀速转弯的汽车，其摩擦力是向心力；圆锥摆[如图(b)]和以规定速度转弯的火车，向心力是重力与弹力的合力．3．圆周运动中向心力的分析(1)匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件．(2)变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小．4．圆周运动中的动力学方程无论是匀速圆周运动，还是非匀速圆周运动，向心力和向心加速度关系仍符合牛顿第二定律即：温故自查1．定义做匀速圆周运动的物体，在合外力突然消失或者不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就做逐渐圆心的运动，叫做离心运动．远离2．离心运动的应用和危害利用离心运动制成离心机械，如：离心干燥器、洗衣机的脱水筒等．汽车、火车转弯处，为防止离心运动造成的危害，一是限定汽车和火车的转弯速度不能太；二是把路面筑成外高内低的斜坡以向心力．大增大考点精析物体做离心运动的条件：(1)做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动，只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中B情形所示．(2)当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示．(3)当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力F′＝mrω2，即合外力不足以提供所需的向心力的情况下，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动，如图中C 所示．命题规律同轴转动或皮带传动过程中，确定线速度、角速度、向心加速度之间的关系．[考例1]某种变速自行车，有六个飞轮和三个链轮，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前、后轮直径约为660mm，人骑该车行进速度为4m/s时，脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值约为()A．1.9rad/s B．3.8rad/sC．6.5rad/s D．7.1rad/s[解析]车行驶速度与前、后车轮边缘的线速度相等，故后轮边缘的线速度为4m/s，后轮的角速度飞轮与后轮为同轴装置，故飞轮的角速度ω1＝ω＝12rad/s，飞轮与链轮是用链条连接的，故链轮与飞轮线速度相同，所以ω1r1＝ω2r2，r1，r2分别为飞轮和链轮的半径，因此周长L＝NΔL＝2πr，N为齿数，ΔL为两邻齿间的弧长，故r∝N，所以ω1N1＝ω2N2.[答案] B[总结评述]皮带传动、齿轮传动装置，两轮边缘各点的线速度大小相等，根据v＝ωr、a ＝v2/r即可讨论两轮的角速度和边缘的向心加速度的关系．在同一轮上，各点的角速度相同，根据v＝ωr、a＝ω2r即可讨论轮上各点的线速度和向心加速度的关系．如图所示，甲、乙、丙三个轮子依靠摩擦传动，相互之间不打滑，其半径分别为r1、r2、r3.若甲轮的角速度为ω1，则丙轮的角速度为()[解析]对甲轮边缘的线速度v1＝r1ω1对乙轮边缘的线速度v2＝r2ω2对丙轮边缘的线速度v3＝r3ω由各轮边缘的线速度相等得：r1ω1＝r2ω2＝r3ω3[答案] A命题规律物体在水平面内做匀速圆周运动，确定轨道平面，确定圆心位置，确定向心力的方向，根据牛顿运动定律，求向心力或向心加速度、线速度、角速度．[考例2]如图所示，质量M＝0.64kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m＝0.3kg的物体相连．假定M与轴O的距离r＝0.2m，与平台的最大静摩擦力为2N.为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω应在什么范围？(g＝10m/s2)[解析]m保持静止状态时，M做圆周运动的半径不变，M的向心力由绳的拉力和静摩擦力的合力提供，由于静摩擦力的大小、方向不定，所以存在临界问题．当ω最小时，M受到的最大静摩擦力的方向与拉力的方向相反，则有mg－F fm＝代入数据得ω1＝2.80rad/s当ω增大时，静摩擦力减小，当ω′＝4.84rad/s时，静摩擦力为零．当ω继续增大时，M受到的静摩擦力方向反向，与拉力方向相同，静摩擦力与拉力的合力提供做圆周运动的向心力．当ω最大时有mg＋F fm＝Mωr代入数据得ω2＝6.25rad/s因此ω的取值范围为2．80rad/s≤ω≤6.25rad/s[答案] 2.80rad/s≤ω≤6.25rad/s一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是4 rad/s.盘面上距圆盘中心0.10m的位置有一个质量为0.10kg的小物体能够随圆盘一起运动，如下图所示．(1)求物体做匀速圆周运动时所受向心力的大小．(2)关于物体的向心力，甲、乙两人有不同意见：甲认为该向心力等于圆盘对物体的静摩擦力，指向圆心；乙认为物体有向前运动的趋势, 摩擦力方向和相对运动趋势的方向相反，即向后，而不是和运动方向垂直，因此向心力不可能是静摩擦力．你的意见是什么？说明理由．[解析](1)根据牛顿第二运动定律得：F＝mω2r＝0.1×42×0.1N＝0.16N.(2)甲的意见是正确的．静摩擦力的方向与物体相对接触面运动的趋势方向相反．设想一下，如果在运动过程中，转盘突然变得光滑了，物体将沿轨迹切线方向滑动，这就如同在光滑的水平面上，一根细绳一端固定在竖直立柱上，一端系一小球，让小球做匀速圆周运动，突然剪断细绳一端，小球将沿轨迹切线方向飞出．这说明物体在随转盘匀速转动的过程中，相对转盘有沿半径向外的运动趋势．[答案](1)0.16 N(2)同意甲的意见命题规律(1)根据物体在竖直平面内做圆周运动的临界条件，确定物体在最高点或最低点的速度大小或物体受力情况．(2)根据物体在竖直平面内做圆周运动的速度，由牛顿运动定律确定物体所受合力或物体所受的压力或拉力．[考例3]如图所示，LMPQ是光滑轨道，LM水平，长为5.0m，MPQ是一半径为R＝1.6m 的半圆，QOM在同一竖直线上，在恒力F作用下，质量m＝1kg的物体A由静止开始运动，当达到M时立即停止用力．欲使A刚好能通过Q点，则力F大小为多少？(取g＝10m/s2)[解析]物体A经过Q点时，其受力情况如图所示．由牛顿第二定律得mg＋F N＝物体A刚好过Q点时有F N＝0＝4m/s对物体从L到Q全过程，由动能定理得Fx LM－2mgR＝m v2解得F＝8N.[答案]8N[总结评述](1)正确理解A物体“刚好能通过Q点”的含义是解决本题的关键．常用来表达临界状态的词语还有“恰好”“恰能”“至少”“至多”等，同学们在审题时必须高度注意．小球沿圆弧M→P→Q通过最高点Q时，应服从圆周运动的规律，即应从向心力与线速度的关系求解小球经过Q点的临界速度．(2)圆周运动常与机械能守恒定律、动能定理、电荷在磁场中的偏转等知识相联系，构成综合性较强的题目．如图所示的“S”形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切．弹射装置将一个小球(可视为质点)从a点水平弹射向b点并进入轨道，经过轨道后从P点水平抛出．已知小物体与地面ab段间的动摩擦因数μ＝0.2，不计其他机械能损失，ab段长L＝1.25m，圆的半径R＝0.1m，小物体质量m＝0.01kg，轨道质量为M＝0.15kg，g＝10m/s2.求：(1)若v0＝5m/s，小物体从P点抛出后的水平射程；(2)若v0＝5m/s，小物体经过轨道的最高点时管道对小物体作用力的大小和方向；(3)设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力．当v0至少为多大时，可出现轨道对地面的瞬时压力为零．[解析](1)小物体运动到P点时的速度大小为v，对小物体由a点运动到P点过程应用动能定理得小物体自P点做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为s，则：(2)设在轨道最高点时管道对小物体的作用力大小为F，取竖直向下为正方向F＋mg＝联立代入数据解得F＝1.1N，方向竖直向下．(3)分析可知，要使小球以最小速度v0运动，且轨道对地面的压力为零，则小球的位置应该在“S”形轨道的中间位置，设此时速度为v1，解得：v0＝5m/s.[答案](1)0.4 m(2)1.1N方向竖直向下(3)5m/s命题规律生活中的圆周运动随处可见，和分析一般圆周运动类似，对物体正确的受力分析，确定向心力、轨迹圆是求解的关键．[考例4]铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道处的行驶速率．下面表格中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨道的高度差h.(g取10m/s2)(1)根据表中数据，试导出h和r的关系表达式，并求出当r＝440m时，h的设计值；(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨道均不向车轮施加侧向压力，又已知我国铁路内外轨的间距设计值为L＝1435mm，结合表中数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数)．(设轨道倾角θ很小时，tanθ≈sinθ)[解析](1)分析表中数据可得，每组h与r的乘积都等于常数C＝660×50×10－3m2＝33m2，因此，hr＝C，得h＝当r＝440m时，有h＝＝0.075m＝75mm(2)若转弯时，内外轨对车轮均没有侧向压力，火车的受力如图甲所示．由牛顿第二定律得mg tanθ＝代入数据解得v≈15m/s＝54km/h[答案](1)75mm(2)54km/h[总结评述]近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯处对应的速率也要提高，由题中表达式v＝可知，提高速度可采用两种方法：(1)适当增加内外轨的高度差h；(2)适当增加轨道半径r.如图所示，医学上常用离心分离机加速血液的沉淀，其“下沉”的加速度可这样表示：而普通方法靠“重力沉淀”产生的加速度为a′式子中ρ0，ρ分别为液体密度和液体中固体颗粒的密度，r表示试管中心到转轴的距离，ω为转轴角速度，由以上信息回答：(1)当满足什么条件时，“离心沉淀”比“重力沉淀”快？(2)若距离r＝0.2m，离心机转速度n＝3000r/min，求a a′.[解析](1)比较两个加速度a和a′可知：只要rω2>g，即ω> 离心沉淀就比重力沉淀快．命题规律物体做圆周运动具有周期性，正确分析物体运动过程，确定物体运动的多解．[考例5]在半径为R的水平圆板中心轴正上方高为h处，水平抛出一小球，圆板匀速转动．当圆板半径OA与初速度方向一致时开始抛出小球，如图所示，要使球与圆板只碰一次，且落点为A，则小球的初速度v0为多大？圆板转动的角速度为多大？[解析]对做平抛运动的小球的运动情况分析可得在竖直方向：如图所示，小球从光滑的圆弧轨道下滑至水平轨道末端时，光电装置被触动，控制电路会使转筒立刻以某一角速度匀速连续转动起来．转筒的底面半径为R，已知轨道末端与转筒上部相平，与转筒的转轴距离为L，且与转筒侧壁上的小孔的高度差为h；开始时转筒静止，且小孔正对着轨道方向．现让一小球从圆弧轨道上的某处无初速滑下，若正好能钻入转筒的小孔(小孔比小球略大，小球视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g)，求：(1)小球从圆弧轨道上释放时的高度H；(2)转筒转动的角速度ω.[解析](1)设小球离开轨道进入小孔的时间为t，则由平抛运动规律得ωt＝2nπ(n＝1,2,3…)．命题规律根据物体受力分析和物体运动情况，确定物体做圆周运动时的角速度(或转速)大小范围．[考例6]如图所示，两绳系一个质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？[解析]两绳张紧时，小球受的力如图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值．(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度ω1，则有F x＝F1sin30°＝mωL sin30°，①F y＝F1cos30°－mg＝0, ②代入已知解①②得，ω1≈2.40rad/s.(2)AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有F x＝F2sin45°＝mωL sin30°，③F y＝F2cos45°－mg＝0, ④代入已知解③④得ω2≈3.16rad/s.可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2．4rad/s≤ω≤3.16rad/s.[答案] 2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s如图所示，把一个质量m＝1kg的物体通过两根等长的细绳与竖直杆上A、B两个固定点相连接，绳a、b长都是1 m，AB长度是1.6m，直杆和球旋转的角速度等于多少时，b绳上才有张力？[解析]已知a、b绳长均为1 m，即sinθ＝0.6，θ＝37°小球做圆周运动的轨道半径b绳被拉直但无张力时，小球所受的重力mg与a绳拉力F Ta的合力F为向心力，其受力分析如图所示，由图可知小球的向心力为F＝mg tanθ根据牛顿第二定律得F＝mg tanθ＝mr·ω2解得直杆和球的角速度为＝3.5rad/s.当直杆和球的角速度ω>3.5rad/s时，b中才有张力．[答案]ω>3.5rad/s命题规律考查识别图象、分析物体在各位置的运动状态等主要知识内容．[考例7]如图甲所示，在同一竖直平面内的两条正对着的相同半圆形的光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点与最低点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如图乙所示，g取10m/s2，不计空气阻力，求：(1)小球的质量为多少？(2)若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？[解析](1)设轨道半径为R，由机械能守恒定律：由图象可得：截距6mg＝6，即m＝0.1kg[答案](1)0.1kg(2)15m[总结评述]随着高考改革的深入，新高考更加突出对考生应用能力及创新能力的考查，本题就是构建了新的情景：将常见的竖直平面内的圆周变换成两正对着的相同半圆光滑轨道，同时将环内圆周运动和机械能综合，并结合了利用传感器所得的图象，考查了识别图象、分析小球在各位置的状态(特别是特殊点处，如最高点与最低点)等重要知识内容．在本题中既考查了中学阶段很重要的受力分析能力，又对圆周运动的相关知识进行考查，更重要的是考查了同学们在新情景下构建模型、从图象获取信息进行解题的能力．。
江苏专版2019年高考物理总复习第15讲圆周运动及其应用讲义2018100336
第15讲圆周运动及其应用考查内容考纲要求考查年份考查详情能力要求圆周运动的描述、匀速圆周运动的向心力Ⅰ、Ⅱ14年T2—选择，考查圆周运动及其应用应用数学处理物理问题15年T14—计算，考查圆周运动中力与能的综合应用分析、推理、应用数学处理物理问题16年T21—计算，考查洛伦兹力充当向心力问题分析、推理17年T5—选择，考查圆周运动及应用理解、推理弱项清单,曲线运动是变速运动，运动状态改变必须有外力．知识整合第1课时圆周运动一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周________快慢的物理量．v ＝Δs Δt ＝2πr T . 2．角速度：描述物体绕圆心________快慢的物理量．ω＝ΔθΔt ＝2πT. 3．周期T 、频率f ，转速n ：匀速圆周运动中转一周的时间叫________，频率的含义是单位时间内转过的________，如果某圆周运动的转速为n ＝3000 r /min ，则T ＝________，ω＝________.4．v 、ω、T 的相互关系：v ＝________＝2πTr ＝________.ω＝______＝______＝______.T ＝______＝______. 5．向心加速度：描述________________________________________________________________________变化快慢的物理量．a n ＝r ω2＝v 2r ＝ωv ＝4π2T2r.效果____________．6．向心力：(1)方向________．(2)大小F n ＝ma n ＝m v 2r ＝______＝mr 4π2T2＝______.(3)来源：________方向上的合力充当向心力．二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动 1．匀速圆周运动(1)定义：线速度____________的圆周运动．(2)性质：向心加速度大小________，方向总是________的变加速曲线运动． (3)质点做匀速圆周运动的条件合力________不变，方向始终与速度方向________且指向圆心．2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均________的圆周运动． (2)合力的作用①合力沿速度方向的分量F t 产生切向加速度，F t ＝ma t ，它只改变速度的________． ②合力沿半径方向的分量F n 产生向心加速度，F n ＝ma n ，它只改变速度的________．方法技巧考点1 圆周运动中的运动学分析1．对公式v ＝ωr 的理解当r 一定时，v 与ω成正比． 当ω一定时，v 与r 成正比． 当v 一定时，ω与r 成反比． 2．对a ＝v 2r＝ω2r ＝ωv 的理解在v 一定时，a 与r 成反比；在ω一定时，a 与r 成正比．特别提醒：在讨论v 、ω、r 之间的关系时，应运用控制变量法． 3．传动装置中各物理量的关系(1)同轴转动各点共轴转动时，角速度相同，因此周期也相同．由于各点半径不一定相同，线速度、向心加速度大小一般不同．(2)皮带传动当皮带不打滑时，两轮边缘各点线速度大小相等．由于各点半径不同，角速度、周期、向心加速度等都不相同．(3)在传动装置中各物理量的关系在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为： ①同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v ＝ωr 与半径r 成正比，向心加速度大小a ＝rω2与半径r 成正比．②当皮带不打滑时，传动皮带、用皮带连接的两轮边缘上各点的线速度大小相等，两皮带轮上各点的角速度、向心加速度关系可根据ω＝v r 、a ＝v2r确定．【典型例题1】 (多选)如图所示，有一皮带传动装置，A 、B 、C 三点到各自转轴的距离分别为R A 、R B 、R C ，已知R B ＝R C ＝R A2，若在传动过程中，皮带不打滑．则( )A ．A 点与C 点的角速度大小相等B ．A 点与C 点的线速度大小相等C ．B 点与C 点的角速度大小之比为2∶1D ．B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶41.(17年扬州模拟)如图所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其半径之比为R B ∶R C ＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来．a 、b 、c 分别为三轮边缘的三个点，则a 、b 、c 三点在转动过程中的( )A ．线速度大小之比为3∶2∶2B ．角速度之比为3∶3∶2C ．转速之比为2∶3∶2D ．向心加速度大小之比为9∶6∶4考点2 圆周运动中的动力学分析1．向心力的来源(1)向心力的方向沿半径指向圆心；(2)向心力来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．【典型例题2】(多选)如图所示的圆锥摆中，摆球A、B在同一水平面上做匀速圆周运动，关于A、B球的运动情况和受力情况，下列说法中正确的是( )A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用B．摆球A的向心力是由绳子拉力指向圆心的分力提供C．摆球A、B做匀速圆周运动的周期相等D．摆球A、B做匀速圆周运动的周期不相等2.如图所示，叠放在水平转台上的小物体A 、B 、C 能随转台一起以角速度ω匀速转动，A 、B 、C 的质量分别为3m 、2m 、m ，A 与B 、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ，B 、C 离转台中心的距离分别为r 、1.5r.设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法中正确的是( )A ．B 对A 的摩擦力一定为3μmgB ．C 与转台间的摩擦力大于A 与B 间的摩擦力C ．要使物体与转台不发生相对滑动，转台的角速度一定满足：ω≤2μg3r D ．要使物体与转台不发生相对滑动，转台的角速度一定满足：ω≤μg3r考点3 竖直平面内圆周运动的临界问题(1)“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力．(2)有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况.物理情景 最高点无支撑最高点有支撑实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上 力学方程 mg ＋F N ＝m v2Rmg ±F N ＝m v2R临界特征F N ＝0 mg ＝m v 2minR即v min ＝gRv ＝0即F 向＝0F N ＝mg 过最高点的条件在最高点的速度v ≥gRv≥0 【典型例题3】 长L ＝0.5 质量可忽略的细杆，其一端可绕O 点在竖直平面内转动，另一端固定着一个小球A.A 的质量为m ＝2 kg ，当A 通过最高点时，如图所示，求在下列两种情况下杆对小球的作用力：(1)A 在最低点的速率为21 m /s ； (2)A 在最低点的速率为6 m /s .【典型例题4】(16年苏州模拟)(多选)如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B 上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m.现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起(不计小球与环的摩擦阻力)，瞬时速度必须满足( )A．最小值为4gr B．最大值为6grC．最小值为5gr D．最大值为7gr3.(多选)如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰．已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2.则( )A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力F N B的大小是1 ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力F N B的大小是2 N当堂检测 1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是( )A．速度的大小和方向都改变B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D．向心加速度大小不变，方向时刻改变2．如图所示，是马戏团中上演的飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．第2题图表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m ，人以v 1＝2gR 的速度通过轨道最高点B ，并以v 2＝3v 1的速度通过最低点A.则在A 、B 两点轨道对摩托车的压力大小相差( )A ．3mgB ．4mgC ．5mgD ．6mg3．质量为m 的物体随水平传送带一起匀速运动，A 为传送带的终端皮带轮．如图所示，皮带轮半径为r ，要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( )A .12πgrB .g rC .grD .gr 2π第3题图第4题图4．如图是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是半径为r 1的大齿轮，Ⅱ是半径为r 2的小齿轮，Ⅲ是半径为r 3的后轮，假设脚踏板的转速为n ，则自行车前进的速度为( )A .πnr 1r 2r 3B .πnr 2r 3r 1C .2πnr 1r 3r 2D .2πnr 2r 3r 15．(多选)荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，第5题图如图为小孩荡秋千运动到最高点的示意图，(不计空气阻力)下列说法正确的是( ) A ．小孩运动到最高点时，小孩的合力为零B ．小孩从最高点运动到最低点过程中机械能守恒C ．小孩运动到最低点时处于失重状态D ．小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子拉力提供圆周运动的向心力第2课时 圆周运动的实例分析一、水平面内的圆周运动研究水平面内物体的圆周运动时，要知道向心力是由物体所受的合力提供的，要能在具体的运动实例中分析物体向心力的来源．二、火车转弯问题在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合力提供，如图所示(注意：火车转弯时的轨道平面是水平的)．这样，铁路建成后，火车转弯时的速率v 与弯道圆弧半径r 、铁轨平面与水平面间的夹角θ应满足的关系为：____________；当火车实际行驶速率大于或小于v 时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力．三、汽车过拱桥问题设汽车质量为m ，桥面圆弧半径为r ，汽车过桥面最高点时的速率为v ，汽车受支持力为F N ，则有mg －F N ＝m v2r；当v≥gr 时，F N ＝0，汽车将脱离桥面，发生危险．汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为____________．可以看出F N ____________．这种现象是____________．四、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着__________飞出去的倾向． 2．受力特点(如图所示)(1)当F ＝________时，物体做匀速圆周运动； (2)当F ＝0时，物体沿________飞出；(3)当F<________时，物体逐渐远离圆心，F 为实际提供的向心力．(4)当F>mrω2时，物体逐渐向____________靠近，做____________运动． 五、圆锥摆问题如图装置，小球在水平面内做匀速圆周运动，称为圆锥摆运动，如果摆角为θ、细线长为L ，则圆周运动的半径为．运动的过程中受力和力的作用．因为小球在运动过程中没有力做功，所以动能不变，因此做匀速圆周运动，所以可以认为____________指向圆心充当向心力；也可以将拉力分解为水平方向和竖直方向两个分力，竖直方向静止不动，竖直方向上的合力为零，所以拉力水平方向上的分力就是________充当向心力．方法技巧考点1 水平面内的圆周运动【典型例题1】(多选)如图所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O 点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①②③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为F max.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则( )A．选择路线①，赛车经过的路程最短B．选择路线②，赛车的速率最小C．选择路线③，赛车所用时间最短D．①②③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等考点2 火车转弯在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转变时所需向心力则由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．设车轨间距为L，两轨高度差为h，车转弯半径为R，两车轨所在平面与水平面的夹角为θ，火车的质量为M ，据三角形边角关系知sin θ＝hL ，对火车的受力情况分析得tan θ＝F Mg .因为θ角很小，所以sin θ≈tan θ，故h L ＝F Mg ，所以向心力F ＝h L Mg.又因为F ＝Mv 2/R ，所以车速v ＝ghRL.由于铁轨建成后h 、L 、R 各量是确定的，因此火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：情况v 车＞ghRLv 车＜ghRL合力F 与F 向的关系F ＜F 向 F ＞F 向 不利影响 火车挤压外轨 火车挤压内轨结果 外轨对车轮的 弹力补充向心力 内轨对车轮的弹力抵消部分合力【典型例题2】 (16年徐州模拟)铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度等于gR tan θ，则( )A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压C ．这时铁轨对火车的支持力等于mgcos θ D ．这时铁轨对火车的支持力大于mgcos θ如图一辆汽车行驶在半径为R ＝50 m 的水平弯道上，汽车质量m ＝103kg .汽车轮胎与干燥地面的动摩擦因数为μ1＝0.7，与湿滑路面的动摩擦因数μ2＝0.4.问：(1)分别求出在两种不同的水平弯道路面中，要使汽车不打滑，速率最大值v 1，v 2为多少？(2)若设计成外高内低的弯道路面，如图所示，要求以v 0＝7 m /s 的速率行驶的情况下，汽车恰好与路面无侧向摩擦力．求路面的倾角正切值tan θ.考点3 汽车过拱桥问题【典型例题3】 一汽车通过拱形桥顶时速度为10 m /s ，车对桥顶的压力为车重的34，如果要使汽车在桥顶对桥面没有压力，车速至少为( )A ．15 m /sB ．20 m /sC ．25 m /sD ．30 m /s考点4 圆锥摆问题【典型例题4】 如图所示，摆线长L ，偏离竖直方向的夹角为θ，小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球运动的角速度、线速度、周期．当堂检测 1.水平台上有质量相等的A 、B 两小物块，两小物块间用沿半径方向的细线相连，两物块始终相对转台静止，其位置如图所示(俯视图)，两小物块与转台间的最大静摩擦力均为f 0，则两小物块所受摩擦力F A 、F B 随转台角速度的平方(ω2)的变化关系正确的是( )第1题图A B C D2．(17年徐州模拟)如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )第2题图A ．A 的速度比B 的大B ．A 与B 的向心加速度大小相等C ．悬挂A 、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D ．悬挂A 的缆绳所受的拉力比悬挂B 的小3．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R 的圆弧，要使车速为v 时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零．θ应等于( )A ．arcsin v 2Rg B ．arctan v2RgC .12arcsin v 2Rg D ．arccot v2Rg4．(多选)铁路转弯处的弯道半径r 是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h 的设计不仅与r 有关，还与火车在弯道上的行驶速度v 有关．下列说法正确的是( )A ．速率v 一定时，r 越小，要求h 越大B ．速率v 一定时，r 越大，要求h 越大C ．半径r 一定时，v 越小，要求h 越大D ．半径r 一定时，v 越大，要求h 越大5．在一水平放置的圆盘上面放有一劲度系数为k 的弹簧，如图所示，弹簧的一端固定于轴O 上，另一端挂一质量为m 的物体A ，物体与盘面间的动摩擦因数为μ.开始时弹簧未发生形变，长度为R ，设最大静摩擦等于滑动摩擦，求：(1)盘的转速n 0多大时，物体A 开始滑动？(2)当转速达到2n 0时，弹簧的伸长量Δx 是多少？第5题图第15讲 圆周运动及其应用第1课时 圆周运动知识整合 基础自测 一、1.运动 2．转动3．周期 圈数 0.02 s 100π rad/s4．s /t ωr θ/t 2π/T v /r 2πr /v 2π/ω 5．速度方向 改变速度的方向6．(1)指向圆心 (2)mω2r mωv (3)半径二、1.(1)大小不变 (2)不变 指向圆心 (3)大小 垂直 2．(1)发生变化 (2)①大小 ②方向 方法技巧·典型例题1·BD 【解析】 处理传动装置类问题时，对于同一根皮带连接的传动轮边缘的点，线速度相等；同轴转动的点，角速度相等．对于本题，显然v A ＝v C ，ωA ＝ωB ，选项B 正确；根据v A ＝v C 及关系式v ＝ωR ，可得ωA R A ＝ωC R C ，又R C ＝R A 2，所以ωA ＝ωc2，选项A 错误；根据ωA ＝ωB ，ωA ＝ωc2，可得ωB ＝ωc2，即B 点与C 点的角速度大小之比为1∶2，选项C 错误；根据ωB ＝ωc2及关系式a ＝ω2R ，可得a B ＝ac4，即B 点与C 点的向心加速度大小之比为1∶4，选项D 正确．·变式训练1·D 【解析】 A 、B 轮摩擦传动，故v a ＝v b ，ωa R A ＝ωb R B ，ωa ∶ωb ＝3∶2；B 、C 同轴，故ωb ＝ωc ，v b R B ＝v cR C，v b ∶v c ＝3∶2，因此v a ∶v b ∶v c ＝3∶3∶2，ωa ∶ωb ∶ωc＝3∶2∶2，故A 、B 错误；转速之比等于角速度之比，故C 错误；由a ＝ωv 得：a a ∶a b ∶a c ＝9∶6∶4，D 正确．·典型例题2·BC 【解析】 小球受重力和拉力，两个力的合力提供圆周运动的向心力，故A 错误，B 正确；设绳和竖直方向的夹角为θ，根据几何关系可知，小球所受合力的大小F 合＝mg tan θ，根据向心力公式得：mg tan θ＝mL sin θω2，解得：ω＝gL cos θ，两小球L cos θ相等，所以角速度相等，根据T ＝2πω知周期相等，故C 正确，D 错误．·变式训练2·C 【解析】 A 、B 之间为静摩擦力，静摩擦力充当向心力，f ＝F 向＝3mω2r ，A 错；C 与转台间的摩擦力f ＝F 向＝1.5mω2r 小于A 与B 间的摩擦力，B 错；对于A 、B ，必满足μg ≥ω2r ，得ω≤ug r ，对于C ，满足μg ≥32ω2r ，所以ω≤2ug3r，C 对，D 错，故答案选C.·典型例题3·(1)16 N 方向向上 (2)44 N 方向向下【解析】 对小球A 由最低点到最高点过程，由动能定理得，－mg ·2L ＝12mv 2－12mv 20①在最高点，假设细杆对A 的弹力F 向下，则A 的受力图如图所示：以A 为研究对象，由牛顿第二定律得mg ＋F ＝m v 2L ②所以F ＝m (v 2L－g )③(1)当v 0＝21 m/s 时， 由①式得v ＝1 m/s ，④ F ＝－16 N ，⑤负值说明F 的实际方向与假设的向下的方向相反，即杆给A 向上的16 N 的支撑力． (2)当v 0＝6 m/s 时， 由①式得v ＝4 m/s ⑥ F ＝44 N ⑦正值说明杆对A 施加的是向下的44 N 的拉力．·典型例题4 ·CD 【解析】 要保证小球能通过环的最高点，在最高点最小速度满足mg ＝m v 20r ，从最低点到最高点由机械能守恒得12mv 2min ＝mg ·2r ＋12mv 20，可得小球在最低点瞬时速度的最小值为5gr ；为了不使环在竖直方向上跳起，在最高点有最大速度时，球对环的压力为2mg ，满足3mg ＝m v 2r ，从最低点到最高点由机械能守恒得12mv 2max ＝mg ·2r ＋12mv 21，可得小球在最低点瞬时速度的最大值为7gr .·变式训练3·AC 【解析】 根据平抛运动的规律，小球在C 点的竖直分速度v y ＝gt ＝3 m/s ，水平分速度v x ＝v y tan 45°＝3 m/s ，则B 点与C 点的水平距离为x ＝v x t ＝0.9 m ，选项A 正确，B 错误；在B 点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律，有F N B＋mg ＝m v 2BR，v B ＝v x ＝3 m/s ，解得F N B ＝－1 N ，负号表示管道对小球的作用力方向向上，选项C 正确，D 错误．当堂检测1．CD 【解析】 匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A 错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B 错，D 对；由匀速圆周运动的条件可知，C 对．2．D 【解析】 由题意可知，在B 点，有F B ＋mg ＝m v 21R ，解之得F B ＝mg ，在A 点，有F A －mg ＝m v 22R，解之得F A ＝7mg ，所以A 、B 两点轨道对车的压力大小相差6mg .故选项D 正确．3．A 【解析】 要使物体通过终端时能水平抛出，则有mg ＝mv 2r，物体飞出时速度至少为gr ，由v ＝ωr ＝2πnr 可得皮带轮的转速至少为n ＝12πgr，选项A 正确． 4．C 【解析】 自行车前进的速度就是后轮边缘的线速度，由Ⅰ与Ⅱ的边缘线速度相等，Ⅱ与Ⅲ转动的角速度相等，易得2πnr 1＝2πn 2r 2，v ＝2πn 2r 3＝2πnr 1r 3r 2.5．BD 【解析】 小孩运动到最高点时，速度为零，受重力和拉力，合力不为零，方向沿着切线方向，故A 错误；小孩从最高点运动到最低点过程中，受重力和拉力，拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，故B 正确；小孩运动到最低点时，具有向心加速度，方向竖直向上，故小孩处于超重状态，故C 错误；小孩运动到最低点时，小孩的重力和绳子的拉力的合力提供圆周运动的向心力，故D 正确．第2课时 圆周运动的实例分析知识整合 基础自测二、g tan θ＝v 2r三、F N －mg ＝m v 2r大于mg 超重四、1.切线方向2．(1)mrω2 (2)切线方向 (3)mrω2(4)圆心 近心五、L sin θ 重 拉 重力与拉力的合力合力 方法技巧·典型例题1·ACD 【解析】 路线①的路程为s 1＝2r ＋12·2πr ＝2r ＋πr ，路线②的路程为s 2＝2r ＋12·2π·2r ＝2r ＋2πr ，路线③的路程为s 3＝2πr ，故选择路线①，赛车经过的路程最短，A 正确；因为运动过程中赛车以不打滑的最大速率通过弯道，即最大径向静摩擦力充当向心力，所以有F max ＝ma ，所以运动的向心加速度相同，根据公式F max ＝m v 2R可得v ＝F max Rm即半径越大，速度越大，路线①的速率最小，B 错误，D 正确；因为s 1<s 3<s 2，v 1<v 3＝v 2，结合v ＝F max Rm，根据公式vt ＝s 可得选择路线③，赛车所用时间最短，C 正确． ·典型例题2·C 【解析】 由牛顿第二定律F 合＝m v 2R，解得F 合＝mg tan θ，此时火车受重力和铁路轨道的支持力作用，如图所示，F N cos θ＝mg ，则F N ＝mgcos θ，内、外轨道对火车均无侧压力，故C 正确；A 、B 、D 错误．·变式训练·(1)514 m/s 10 2 m/s(2)0.098 【解析】 (1)汽车转弯时做圆周运动，静摩擦力提供向心力，当静摩擦力恰好达到最大值，速度最大，则有：μ1mg ＝m v 21R解得v 1＝μ1gR ＝350＝514 m/s ，同理在湿滑路面转弯时的最大速度v 2＝μ2gR ＝10 2 m/s ；(2)若设计成外高内低的弯道路面，汽车恰好与路面无侧向摩擦力，由重力与支持力提供向心力，则有：mg tan θ＝m v 2R解得：tan θ＝49500＝0.098.·典型例题3·B 【解析】 当F N ＝34G 时，因为G －F N ＝m v 2r ，所以14G ＝m v2r；当F N ＝0时，G ＝m v ′2r，所以v ′＝2v ＝20 m/s.·典型例题4g L cos θgL sin θ/cos θ 2πL cos θg【解析】 小球受力分析如图所示，F 合＝mg tan θ 由牛顿第二定律mg tan θ＝mv 2/r 得v ＝gL sin θ/cos θmg tan θ＝mω2r 得ω＝gL cos θmg tan θ＝m4π2T2r 得T ＝2πL cos θg.当堂检测1．B 【解析】 设A 、B 到圆心O 的距离分别为r 1、r 2，若细线不存在，则由f 0＝mω2r 及r 1<r 2可知A 、B 两物体相对转台滑动的临界角速度满足ωA >ωB ，即物体B 所受摩擦力先达到最大值，随后在一段时间内保持不变，C 、D 错；当ω>ωB 时，细线中出现拉力T ，对物体A ：T ＝0时，F A ＝mω2r 1，T >0后，F A －T ＝mω2r 1，而对物体B 满足T ＋f 0＝mω2r 2，联立得F A ＝mω2(r 1＋r 2)－f 0，所以T >0后直线斜率比T ＝0时大，当转台对A 的摩擦力达到最大静摩擦力后，若转台角速度再增大，则A 、B 相对转台将出现滑动，所以A 错，B 对．2．D 【解析】 A 、B 绕竖直轴匀速转动的角速度相等，即ωA ＝ωB ，但r A <r B ，根据v＝ωr 得，A 的速度比B 的小，选项A 错误；根据a ＝ω2r 得，A 的向心加速度比B 的小，选项B 错误；A 、B 做圆周运动时的受力情况如图所示，根据F 向＝mω2r 及tan θ＝F 向mg ＝ω2rg知，悬挂A 的缆绳与竖直方向的夹角小，选项C 错误；由图知F T ＝mgcos θ，所以悬挂A 的缆绳受到的拉力小，选项D 正确．第2题图3．B 【解析】 汽车拐弯时，受到支持力和重力作用而做匀速圆周运动，两个力的合力方向指向水平圆周的圆心，根据牛顿第二定律：mg tan θ＝m v 2R ，得θ＝arctan v 2Rg，B 正确．故选B.第3题图4．AD 【解析】 火车转弯时，圆周平面在水平面内，火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重力G 与轨道支持力F N 的合力来提供，如图所示，则有mg tan θ＝mv 2r ，且tan θ≈sin θ＝h L ，其中L 为轨间距，是定值，有mg h L ＝mv 2r，通过分析可知A 、D 正确．第4题图5．(1)12πμg R (2)3μmgRkR －4μmg【解析】 (1)若圆盘转速较小，则静摩擦力提供向心力，当圆盘转速较大时，弹力与摩擦力的合力提供向心力．圆盘开始转动时，A 所受最大静摩擦力提供向心力，则有μmg ＝m (2πn 0)2R得：n 0＝12πμg R； (2)当转速达到2n 0时，由牛顿第二定律得：μmg ＋k Δx ＝m (2π·2n 0)2(R ＋Δx )得：Δx ＝3μmgRkR －4μmg.。
高中物理竞赛讲义(完整版)
高中物理竞赛讲义目录高中物理竞赛讲义 (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况.....................................错误!未定义书签。
二、知识体系....................................................错误!未定义书签。
第一部分力＆物体的平衡 (5)第一讲力的处理 (13)第二讲物体的平衡 (15)第三讲习题课 (16)第四讲摩擦角及其它 (21)第二部分牛顿运动定律 (24)第一讲牛顿三定律 (24)第二讲牛顿定律的应用 (25)第二讲配套例题选讲 (35)第三部分运动学 (35)第一讲基本知识介绍 (35)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (37)第四部分曲线运动万有引力 (40)第一讲基本知识介绍 (40)第二讲重要模型与专题 (42)第五部分动量和能量 (52)第一讲基本知识介绍 (52)第二讲重要模型与专题 (55)第三讲典型例题解析 (70)第六部分振动和波 (70)第一讲基本知识介绍 (70)第二讲重要模型与专题 (75)第三讲典型例题解析 (86)第七部分热学 (86)一、分子动理论 (87)二、热现象和基本热力学定律 (89)三、理想气体 (91)四、相变 (98)五、固体和液体 (102)第八部分静电场 (103)第一讲基本知识介绍 (104)第二讲重要模型与专题 (107)第九部分稳恒电流 (120)第一讲基本知识介绍 (120)第十部分磁场 (134)第一讲基本知识介绍 (134)第二讲典型例题解析 (138)第十一部分电磁感应 (146)第一讲、基本定律 (146)第二讲感生电动势 (150)第三讲自感、互感及其它 (154)第十二部分量子论 (157)第一节黑体辐射 (158)第二节光电效应 (161)第三节波粒二象性 (168)第四节测不准关系 (172)第0部分绪言全国中学生物理竞赛内容提要--理论基础(2013年开始实行)说明：．本次拟修改的部分用楷黑体字表示，新补充的内容将用“※”符号标出，作为复赛题和决赛题增补的内容；※※则表示原属预赛考查内容，在本次修改中建议改成复赛、决赛考查的内容。
高中物理竞赛讲义-圆周运动
圆周运动 一、匀速圆周运动 1、基本物理量半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n2、物理量之间的关系v r ω=1T f =n f =222r v rf rn T πππ=== 222f n T πωππ=== 22224==n n v F ma m m r m r r T πω==例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。
问圆柱上与板接触的A 点的加速度是多少？例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高的P 点的瞬时速度和加速度．例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出，如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。
求线轴中心点 O 的速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。
（线轴的内、外半径分别为r 和R ）二、变速圆周运动速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。
可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n和切线方向的切向加速度a t。
向心加速度a n改变速度方向，切向加速度a t改变速度大小。
此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。
=tdv drdt dta rωβ=例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s距离处时的速度和加速度。
例5、如图所示，直杆AB以匀速v0搁在半径为r的固定圆环上做平动，试求图示位置时，杆与环的交点M的速度和加速度。
例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a 运动。
在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。
当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，半圆柱体的速度为v ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。
例7、图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。
高中物理竞赛讲义(超级完整版)(1)
最新高中物理竞赛讲义（完整版）目录最新高中物理竞赛讲义（完整版） (1)第0部分绪言 (5)一、高中物理奥赛概况 (5)二、知识体系 (5)第一部分力＆物体的平衡 (6)第一讲力的处理 (6)第二讲物体的平衡 (8)第三讲习题课 (9)第四讲摩擦角及其它 (13)第二部分牛顿运动定律 (15)第一讲牛顿三定律 (16)第二讲牛顿定律的应用 (16)第二讲配套例题选讲 (24)第三部分运动学 (24)第一讲基本知识介绍 (24)第二讲运动的合成与分解、相对运动 (26)第四部分曲线运动万有引力 (28)第一讲基本知识介绍 (28)第二讲重要模型与专题 (30)第三讲典型例题解析 (38)第五部分动量和能量 (38)第一讲基本知识介绍 (38)第二讲重要模型与专题 (40)第三讲典型例题解析 (53)第六部分振动和波 (53)第一讲基本知识介绍 (53)第二讲重要模型与专题 (57)第三讲典型例题解析 (66)第七部分热学 (66)一、分子动理论 (66)二、热现象和基本热力学定律 (68)三、理想气体 (70)四、相变 (77)五、固体和液体 (80)第八部分静电场 (81)第一讲基本知识介绍 (81)第二讲重要模型与专题 (84)第九部分稳恒电流 (95)第一讲基本知识介绍 (95)第二讲重要模型和专题 (98)第十部分磁场 (107)第一讲基本知识介绍 (107)第二讲典型例题解析 (111)第十一部分电磁感应 (117)第一讲、基本定律 (117)第二讲感生电动势 (120)第三讲自感、互感及其它 (124)第十二部分量子论 (127)第一节黑体辐射 (127)第二节光电效应 (130)第三节波粒二象性 (136)第四节测不准关系 (140)第0部分绪言一、高中物理奥赛概况1、国际（International Physics Olympiad 简称IPhO）① 1967年第一届，（波兰）华沙，只有五国参加。
江苏高考物理总复习一轮基础过程导学复习配套微小专题圆周运动的临界问题讲课文档
【解析】 在最高点，由于外管或内管都可以对小球产生弹力作用，当小球的速度 等于 0 时，内管对小球产生弹力，大小为 mg，故最小速度为 0，故 A 错误，B 正确； 小球在水平线 ab 以下管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心 力，所以外侧管壁对小球一定有作用力，而内侧管壁对小球一定无作用力，故 C 正确； 小球在水平线 ab 以上管道运动时，由于沿半径方向的合力提供小球做圆周运动的向心 力，可能外侧壁对小球有作用力，也可能内侧壁对小球有作用力，故 D 错误．
第六页，共28页。
【解析】Q 处于临界状态时 kmg＝mω2·2x，解得 ω＝ k2gx，P 处于临界状态时 2kmg
＝mω2·x＋mω2·2x，解得 ω＝ 23kxg，ω 在 k2gx＜ω＜ 23kxg范围内增大时，Q 所受摩
擦力不变，故 A 错误；当 ω＞ k2gx时，绳子一定有弹力，故 B 正确；当 ω＞ 23kxg时，
第九页，共28页。
3. 如图所示，水平转台高 1.5 m，半径为 0.2 m，可绕通过圆心处的竖直转轴转动，
转台的同一半径上放有质量均为 0.4 kg 的小物块 A、B(可看成质点)，A 与转轴间距离
为 0.1 m，B 位于转台边缘处，A、B 间用长 0.1 m 的细线相连，A、B 与水平转台间最
(3) 0.36 m
第十页，共28页。
【解析】 (1) 当细线上无拉力时，小物块 A、B 随转台转动的向心力由转台对它们 的摩擦力提供，根据牛顿第二定律和向心力公式有 f＝mrω2≤fm，解得 ω≤ mfmr，显然， 由于 rB＞rA，所以物块 B 所受静摩擦力将先达到最大值，解得 ω1≤ mfmrB＝32 3 rad/s， 即当转台的角速度达到 ω1＝32 3 rad/s 时细线上出现张力．
初中物理竞赛及自主招生专题讲义第一讲物体的运动第三讲圆周运动含解析
第三讲 圆周运动匀速圆周运动是指物体运动的轨迹是圆周,且运动快慢不变的运动，这是一种曲线运动。
一、描述匀速圆周运动的几个物理量1．周期做匀速圆周运动的物体，每完成一次完整的圆周运动所需要的时间都相同，这个时间叫做一个周期，用符号T 表示，国际单位为秒()s .例如，时钟的秒针周期为60s ,分针周期为60min ，地球自转的周期为24h 等。
匀速圆周运动的周期越小，转动越快.2．频率单位时间内物体完成的圆周数,叫做匀速圆周运动的频率,用符号f 表示,国际单位为赫兹()Hz ，频率越大，转动越快，频率与周期互为倒数,即1f T =。
例如，秒针转动的频率为1Hz 60，每分钟转动300转的电风扇，其转动频率为5Hz 。
3．角速度做匀速圆周运动的物体,单位时间内物体与圆心的连线（即半径）转过的角度叫做角速度,用ω表示。
若t 时间内半径转过的角度用θ表示,则角速度可以表示为tθω=。
这里应该注意的是，θ的单位不再是“度"，而是“弧度”，弧度是指某个角所对的圆弧长度与圆弧半径的比值，如图3。
32所示，l r θ=，弧度无单位，但物理学中常用“rad "来表示弧度的单位。
由弧度的定义，180︒角所对应的弧度可以表示为r rππ=，即180︒=π，可得1180π︒=，因此我们可以得到其他常用角度的弧度值，例如，902π︒=，45︒4π=,306π︒=，603π︒=,21203π︒=等。
当物体运动一周时，转过的角度为360︒2π=,所用时间为一个周期T ，因此匀速圆周运动的角速度还可以表示为2T πω=等，根据角速度的定义式tθω=,可知角速度的单位为“弧度/秒”，符号为“rad/s ”.4．转速转速表示物体单位时间内完成的圆周数，常用单位有“转/秒”和“转/分”,符号分别为“r/s ”和“r/min ”，r/s=60r/min 。
转速取“转/秒"作为单位时，其数值与频率相同。
若转速为n ,则表示每秒转过n 周,每秒转过的角度为2n π，因此角速度与转速的关系可表示为2n ωπ=。
江苏省南京师范大学附属中学物理竞赛讲义圆周运动
1.2圆周运动一、匀速圆周运动 1、基本物理量半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n 2、物理量之间的关系v r ω=1T f =n f =222rv rf rn T πππ=== 222f nT πωππ=== 22224==n n v F ma m m r m rr T πω==例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间,两板分别以速度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。
问圆柱上与板接触的A 点的加速度是多少？例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高的P 点的瞬时速度和加速度．例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出，如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动.求线轴中心点 O 的速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系.（线轴的内、外半径分别为r 和R)二、变速圆周运动速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。
可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n 和切线方向的切向加速度a t 。
向心加速度a n 改变速度方向,切向加速度a t 改变速度大小。
此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。
=t dv d r dt dt a rωβ=例4、如图所示,在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度和加速度。
例5、如图所示，直杆AB以匀速v0搁在半径为r的固定圆环上做平动,试求图示位置时，杆与环的交点M的速度和加速度.例6、一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a运动。
在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动,如图所示。
当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时,半圆柱体的速度为v，求此时竖直杆运动的速度和加速度.CD 连成的平面连杆结构图。
江苏省南京师范大学附属中学高中物理竞赛讲义教程全集
1.1质点运动的基本概念 运动的合成和分解一、图像法例1、蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反此，当蚂蚁爬到距巢中心L 1=1m 的A 点处时，速度是v 1=2cm ／s ，试问：蚂蚁从A 点爬到距巢中心L 2=2m 的B 点所需的时间为多少?例2、已知一质点做变加速运动，初速度为v 0，其加速度随位移线性减小的关系及加速过程中加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=a 0-ks ，式中a 为任意位置处的加速度，求当位移为s 0是瞬时速度。
二、矢量运算1、矢量加法（矢量合成）（1）平行四边形法则已知两个矢量F 1和F 2的大小和夹角，求合矢量F 合的大小和方向。
F =212sin tan cos F F F θαθ=+ （2）三角形法则和多边形法则（接龙法则）（3）矢量式的脚标的接龙法则例如，人在车厢内走动，人相对于地的速度等于人相对于车的速度加上车相对于地的速度。
=+v v v 车车人地人地（4）矢量减法将减法变为加法然后再利用接龙法则。
例3：(1)无风的下雨天，小明坐在匀速行驶的车上，发现雨滴沿斜线下落，且与竖直方向成30 夹角，若车速为10m/s，则雨滴下落的速度为多大？(2)小明坐在以10m/s向东匀速行驶的车上，发现雨滴是竖直下落的，若雨滴对地速度为20m/s，则雨滴实际上是如何下落的？三、运动的合成和分解实例1：平抛运动实例2：滚动的车轮边缘上一个点的运动1、运动合成和分解其实就是位移、速度、加速度的合成和分解2、合运动的效果和若干个分运动的总效果相同（等效性）3、实际观察到的运动是合运动，分运动是人们为了方便研究而假想出来的。
四、运动分解的方法1、按效果分解2、正交分解：建立直角坐标系，将运动（位移、速度、加速度）分解在坐标轴方向。
例4、如图所示，在离水面高度为h的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人拉绳的速率恒为v0，试求船在离岸边s距离处时的速度。
例5、如图所示，质点A和质点B同时从A、B两点出发，分别以速度v1沿AB和以速度v2沿BC做匀速直线运动，BC和AB的夹角为α．开始时质点A和质点B相距为l，试求两质点之间的最短距离．例6、如图所示，几辆相同的汽车以等速度v，沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，前后两车头尾间距为a，则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间是多少？例7、有五个花样滑冰运动员表演一种节目，表演的动作规定为：开始时五人分别从边长为l的正五边形A 1A2A3A4A5的五个顶点出发，以相同速率v适动，如图所示．运动中A1始终朝着A3、，A3始终朝着A5，A5始终朝着A2，A2始终朝着A4，A4始终朝着A1，问：经过多长时间五人相聚?五、物体系统的运动学连接条件1、刚性杆、绷紧的不可伸长的绳上，各点在同一时刻，具有相同的沿杆、绳的分速度。
高中物理竞赛辅导力学部分专用讲义
高中物理《竞赛辅导》力学部分目录第一讲：力学中的三种力第二讲：共点力作用下物体的平衡第三讲：力矩、定轴转动物体的平衡条件、重心第四讲：一般物体的平衡、稳度第五讲：运动的基本概念、运动的合成与分解第六讲：相对运动与相关速度第七讲：匀变速直线运动第八讲：抛物的运动第九讲：牛顿运动定律（动力学）第十讲：力和直线运动第十一讲：质点的圆周运动、刚体的定轴转动第十二讲：力和曲线运动第十三讲：功和功率第十四讲：动能定理第十五讲：机械能、功能关系第十六讲：动量和冲量第十七讲：动量守恒《动量守恒》练习题第十八讲：碰撞《碰撞》专题练习题第十九讲：动量和能量《动量与能量》专题练习题第二十讲：机械振动《机械振动》专题练习第二十一：讲机械波第二十二讲：驻波和多普勒效应第一讲： 力学中的三种力【知识要点】（一）重力重力大小G=mg ，方向竖直向下。
一般来说，重力是万有引力的一个分力，静止在地球表面的物体，其万有引力的另一个分力充当物体随地球自转的向心力，但向心力极小。
（二）弹力1．弹力产生在直接接触又发生非永久性形变的物体之间(或发生非永久性形变的物体一部分和另一部分之间)，两物体间的弹力的方向和接触面的法线方向平行，作用点在两物体的接触面上．2．弹力的方向确定要根据实际情况而定．3．弹力的大小一般情况下不能计算，只能根据平衡法或动力学方法求得．但弹簧弹力的大小可用．f=kx(k 为弹簧劲度系数，x 为弹簧的拉伸或压缩量)来计算 ．在高考中，弹簧弹力的计算往往是一根弹簧，而竞赛中经常扩展到弹簧组．例如：当劲度系数分别为k 1,k 2,…的若干个弹簧串联使用时．等效弹簧的劲度系数的倒数为：nk k k 1...111+=，即弹簧变软；反之．若以上弹簧并联使用时，弹簧的劲度系数为：k=k 1+…k n ，即弹簧变硬．(k=k 1+…k n 适用于所有并联弹簧的原长相等；弹簧原长不相等时，应具体考虑) 长为0L 的弹簧的劲度系数为k ，则剪去一半后，剩余2L 的弹簧的劲度系数为2k （三）摩擦力 1．摩擦力一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势的力叫摩擦力。
圆周运动讲义
圆周运动讲义集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#圆周运动讲义【知识点】1．匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在相等的时间里通过的圆弧的长度相等，这种运动叫做匀速圆周运动。
匀速圆周运动是一种变加速曲线运动，虽然匀速圆周运动的速度大小不变，但它的速度的方向时刻在发生变化，所以匀速圆周运动不是匀速圆周运动，而是匀速率圆周运动。
2．线速度v①物理意义：描述物体做圆周运动快慢的物理量；②定义：质点沿圆周运动通过的弧长s和所以时间t的比值叫做线速度③大小：v＝s/t，单位：m/s④矢量，它的方向是质点在圆周上某点沿圆周上的切线方向。
实际上就是该点的瞬时速度。
3．角速度①物理意义：描述质点转过的圆心角的快慢②定义：在匀速圆周运动中，连接运动质点和圆心的半径转过的角度跟所用时间t 的比值，就是质点运动的角速度。
③大小：＝/t，单位：rad/s④匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
4．周期T、频率f和转速n①周期T：在匀速圆周运动中，物体沿圆周转过一周所用的时间叫做匀速圆周运动的周期。
在国际单位制中，单位是秒（s）。
匀速圆周运动是一种周期性的运动。
②频率f：每秒钟完成圆周运动的转数。
在国际单位制中，单位是赫兹（Hz）。
③转速n：单位时间内做匀速圆周运动的物体转过的转数。
在国际单位制中，单位是转/秒（n/s）.匀速圆周运动的T、f和n均不变。
5．描述匀速圆周运动的物理量之间的关系①线速度和角速度间的关系:②线速度和周期的关系:③角速度和周期的关系:④周期和频率之间的关系:6.描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。
向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。
做匀速圆周运动的物体向心力是所受外力的合力做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。
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•把运动过程的“末态”作为“初态”，一般用于末态已知的 情况。如匀减速直线运动至静止的问题，可以逆推为初速度 为零的匀加速直线运动。
（5）比例法 •对于初速度为零的匀变速直线运动或匀减速直线运动到静止 的运动，可利用匀变速直线运动的五个二级结论，用比例法 求解。
（6）图像法 专题一：图像方法
t1 : t2 : : tn 1: 2 : : n
⑤第1m、第2m、…第nm所用时间之比：
t : t : : tN 1: ( 2 1) : : ( n n 1)
5.匀变速直线运动解题方法及典型例题 （1）一般公式法
•利用匀变速直线运动的三个规律进行求解，需要注意的有以 下三点：
①匀变速直线运动的规律有三个公式，但只有两个独立方程， 是典型的“知三求二”的问题，即要找出三个已知条件，才 能求出两个未知量；
②受力分析，牛顿运动定律是基础。
③注意矢量的方向性，一般以初速度方向为正方向，其余矢 量与正方向相同者为正，与正方向相反者取负；
（2）平均速度法 例3.做匀加速直线运动的物体途经A、B、C三点，已知AB=BC， AB段的平均速度为3m/s，BC段的平均速度为6m/s，则B点的 瞬时速度为 （ ）
A．4m/s B．4.5m/s C．5m/s D．5.5m/s 点评：求平均速度的两个公式的联系、区别与应用
方法二：由平均速度与推论求解
vA vB 3 2
vA 6 vB
vB vC 6 2
vC 12 vB
vB
v
2 A
vC2
2
方法三：图像法
v/ms-1
vC
6 vB
23 3 vA
o
t/s
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1.2圆周运动
一、匀速圆周运动
1、基本物理量
半径r 、线速度v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a n 、向心力F n
2、物理量之间的关系
v r ω=
1
T f =
n f =
222r v rf rn T πππ=
== 222f n T πωππ=== 22
224==n n v F ma m m r m r r T πω==
例1、半径为R 的圆柱夹在互相平行的两板之间，两板分别以速
度v1，v2反向运动，圆柱与板无相对滑动。
问圆柱上与板接触
的A 点的加速度是多少？
例2、如图一半径为R 的刚性圆环竖直地在刚性水平地面上作纯滚动，
圆环中心以不变的速度v o 在圆环平面内水平向前运动．求圆环圆心等高
的P 点的瞬时速度和加速度．
例3、缠在线轴上的线绕过滑轮B 后，以恒定速度v0被拉出，
如图所示，这时线轴沿水平面无滑动滚动。
求线轴中心点 O 的
速度随线与水平方向的夹角 α 的变化关系。
（线轴的内、外半径
分别为r 和R ）
二、变速圆周运动
速率变化的圆周运动，加速度不再沿着半径方向。
可以加速度分解为半径方向的向心加速度a n 和切线方向的切向加速度a t 。
向心加速度a n 改变速度方向，切向加速度a t 改变速度大小。
此时，角速度的大小也在变化，角速度变化的快慢叫做角加速度β。
=t dv d r dt dt a r
ωβ=
例4、如图所示，在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠
岸，若人拉绳的速率恒为v 0，试求船在离岸边s 距离处时的速度
和加速度。
例5、如图所示，直杆AB 以匀速v 0搁在半径为r 的固定圆
环上做平动，试求图示位置时， 杆与环的交点M 的速度
和加速度。
例6、一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以加速度a 运动。
在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所
示。
当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ时，半圆柱体的速度为v ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。
例7、图中所示为用三角形刚性细杆AB 、BC 、CD 连成的平面连杆结构图。
AB 和CD 杆可分别绕过A 、D 的垂直于纸面的固定轴转动，A 、D 两点位于同一水平线上。
BC 杆的两端分别与AB 杆和CD
杆相连，可绕连接处转动（类
似铰链）。
当AB 杆绕A 轴以恒定的角速度ω转到图中所示的位置时，AB 杆处于竖直位置。
BC 杆与CD 杆都与水平方向成45°角，已知AB 杆的长度为l ，BC 杆和CD 杆的长度由图给定。
求此时C 点加速度c a 的大小和方向（用与CD 杆之间的夹角表示）
三、一般曲线运动
1、基本方法：将一小段曲线近似为圆的一段弧，圆的半径即为曲
线该点的曲率半径ρ。
2
n v a ρ=
这也是求曲线曲率半径的物理方法。
2、等距螺线运动
xy 平面内的分运动为匀速圆周运动，z 方向为匀速直线运动。
运动轨迹可以类比弹簧。
例8、一个直径为D 的圆柱体侧面刻有螺距为h 的螺旋形凹槽，槽内有
一个小球。
为使小球能自由落下，必须要以多大的加速度来拉缠在固柱
体侧面的绳子(设绳于与圆柱体侧面不打滑)？
例9、采用物理方法确定等距螺旋线上任意一点处的曲率半径。
（设截面半径为R ，螺距为h ）
例10、机车以等速率v 0沿直线轨道行驶．机车车轮半径为r ，设车
轮只滚动不滑动．将轮机缘上的点M 在轨道上的起点位置取为坐标
原点，并将轨道取为x 轴．如图所示，求M 点的运动轨迹方程以及
轨迹最高点处的曲率半径，并求当M 点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度．。