新课标人教版八年级数学第十六章分式知识点总结

新课标人教版八年级数学知识点总结

第十六章 分式

1. 分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子

B

A 叫做分式。 2. 分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；

分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3. 分式值为零的条件：

当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

（分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式A B

为0的条件是A ＝0，且B ≠0.）

（分式的值为0的条件是：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可。首先求出使分子为0的字母的值，再检

验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。）

4. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

用式子表示为 （0≠C ），其中A 、B 、C 是整式

注意：（1）“C 是一个不等于0的整式”是分式基本性质的一个制约条件；

（2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误；

（3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再乘或除以同一

整式C ；

（4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成

相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分

母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。 C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=

6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫

做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母

分解因式，然后再约分；

（2）找公因式的方法：

① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就

是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。

易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）；

（2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“—” 放在分数线前；

（3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母；

7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示是：

提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，

然后约去公因式，化为最简

分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，

然后再相乘；

（2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变

（3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算；

（4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右

的顺序，有括号先算括号

里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积

的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没

有公因式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。

用式子表示是： （其中n 是正整数） 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；

（2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =⋅=÷=⋅;n n

n b

a b a =)(

都为正；负分式的偶次幂

为正，奇次幂为负；

（3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体；

（4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解

因式，再约分。

分式的加减法则：

法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：a b ± c b ＝ a ±c b

法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为： a b ± c d ＝ad bd ± bc bd ＝ad ±bc bd

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括

号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，

特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。

分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算

乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a

a 1=- （)0≠a

注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。

9. 整数指数幂：

若m 、n 为正整数，a ≠0，a m ÷a m ＋n ＝a m a m .a n ＝ 1a n 又因为a m ÷a m ＋n ＝a m －﹙m ＋n ﹚＝a －n ,所以a

－n ＝1a n 一般地，当n 是正整数时，a －n ＝1a n （a ≠0），即a －n （a ≠0）是a n 的倒数，这样指数的取值范围就推广到全体

整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n 是整数)

（1）同底数的幂的乘法：n m n m a a a +=⋅；