电介质的极化

U, C
进一步可得到：
但是观察到极板间电压 减小， 电容器极板间电场强度 减弱， U0 (ε r > 1) U= E0 U U0 εr = E= = d ε rd ε r
Q0 ε r Q 0 = = ε rC0 , 电容增加，C = U U0
ε r 称为相对介电常数 , 不同电介质的数值不同 ，但总大于 1
例7 半径为 R，厚度为 h（ << R）的薄圆盘均匀极化。 已知极化强 v 度 P 与盘的一个直径平行， 如图。求极化电荷在盘 中心产生的电 v ˆ n 场强度 E. dS θ 解： 根据对称性，极化电荷 在盘 θ Z 中心产生的电场只有 Z分量。 v v v P dE ˆ σ' = P ⋅ n
（ p 67，表10.1，电介质强度即击穿场 强）。
一、电介质的极化
无极分子：正负电荷中 心重合，如 H， CH 4。
有极分子：正负电荷中 心不重合，如水分子。 1. 无极分子的位移极化
正负电荷中心分离 ; 正负电荷仍限制在原来 的分子范围内， 称为束缚电荷或极化电 荷; 每个分子相当于一个电 偶极子。
dS = Rd θ ⋅ h
dq' = σ' dS = P cos θdθ Rh dq' Ph = cos θdθ 2 4πε 0 R 4πε 0 R Ph dE z = dE cos( π + θ ) = − cos 2 θdθ 4πε 0 R 2π Ph π E z = ∫ dE z = − 0 4 πε 0 R dE =
χ e 称为电极化率，无量纲 。
2. 极化电荷面密度
在介质中取如图的圆柱 体，
从宏观上讲，外场中的 这个圆柱体等效于一个 电偶极子，电 偶极矩为
v v ql = σ' ΔSl
应等于圆柱体内每个分 子的电偶极矩 p i的矢量和，即 v v σ' ΔSl = ∑ p i
i
利用极化强度的定义，
v P =
上式适用于所有电容器 。
v v P = ε 0χ eE
v ˆ σ' = P ⋅ n
根据（极化强度和）极 化电荷分布计算其产生 的 电场，叠加到原先的电 场上，便可求出空间的 实际电 场分布。很多具体情况 是比较复杂的，特殊情 况下可 以用电介质中的高斯定 理（下一节）方便地求 出。
§10.4 电介质中静电场的基本定理
σ' σ' Δ Sl = ΔV ΔSl cos θ cos θ v v ˆ ∴ σ' = P cos θ = P ⋅ n v 参考上页图 ˆ σ' = P ⋅ n
i
v ∑ pi
=
ˆ （ n规定为由介质指向外， σ' 为代数量）
v 例6 一均匀极化的电介质球 ，已知极化强度为 P ，求表面上极化电 荷的分布。 v 解：σ' = P ⋅ n = P cos θ ˆ 右半球 σ' 为正；左半球 σ' 为 负；两半球分界线上 σ' 为0。
ε ≡ ε 0 ε r 称为介电常数。
例8 求无限大各向同性均匀 电介质（介电常数为 ε）中点电荷 q的 电场。
解：作如图的高斯面，
r
v v D ⋅ d S = q ， 4 πr 2 D = q , D = ∫
q
q , 2 4 πr E= q 4πε r 2
作业：10.15，10.18， 10.19， 10.20
§10.3 静电场中的电介质（绝缘体）
电介质内无自由电子 , 但电子在静电场作用下 可以有小的移 动。这种电荷分布的变 化也会对介质内部及其 周围的电场产生影 响，比如下面的实验结 果： 一个平板电容器 , 与电源 断开后 , 充进各项同性均匀电 介质 , 实验发现电量不变， Q = Q0，
U 0 , C0
薄圆盘内部的电 场为原先的外电场与 激化电荷产生的电场 之矢量和。任意电介 质内部的电场皆如此， 本课程主要讨论一些 简单的情况。
三、电介质中的场强
以平板电容器为例，充 电后与电源断开。设电 容器极板上自 由电荷面密度为 ± σ 0。充满极化率为 χ e的各向同性均匀电介质 ， 设电介质表面的极化电 荷面密度为 σ ' 。
仍以充满电介质的平板 电容器为例 , 取如图所示高斯面（虚 线） , v P ˆ n'
ˆ n
v v 1 ∫ E ⋅ d S = ε 0 ( σ 0 Δ S + σ' Δ S ) v v v v ˆ ˆ ∫ P ⋅ dS = ∫ P ⋅ n dS = ∫ P ⋅ ( −n' ) dS = − ∫ σ' dS = −σ'ΔS v v v ∫ ( ε 0 E + P ) ⋅ d S = σ 0 Δ S + σ' Δ S − σ ' Δ S = σ 0 Δ S = ∑ q 0
ε r即前面讲过的相对介电 常数。
到此，从理论上得到了 场强减小的数学表达式 。 上式的适用范围不限于 平板电容器，还适用于 各向同性无限 大电介质、或电介质表 面为等势体的情况。
σ0 σ 0 σ' σ0 E 0 σ 0 σ' 1 E= = − ⇒ = − = σ 0 (1 − ) ⇒ σ' = σ 0 − εr ε0 ε0 ε 0ε r ε0 ε0 εr εr 1 σ' = σ 0 (1 − ) εr
二、极化强度、极化电 荷面密度
1. 极化强度 : 单位体积内分子电偶极 矩的矢量和。
v P≡
v ∑ pi
i
ΔV
单位： C/m 2
v v v P 显然与外电场 E（课本有时也用 E表示）有关，实验表明 ， 0 v v E 0不是非常强时，对于各 向同性电介质， P与介质内的总电场强 v 度 E（原先的外电场与极化 电荷电场的叠加）之间 存在如下关系 : v v P = ε 0χ eE
引入电位移
⇒
v v v D ≡ ε 0E + P
则
v v ∫ D ⋅ dS = ∑ q 0
上式普遍适用，称为电 介质中的高斯定理。
对于各向同性电介质， v v v v v v v v D = ε 0 E + P = ε 0 E + ε 0 χ e E = ε 0 (1 + χ e )E = ε 0 ε r E = εE v v D = εE
一、环路定理 极化电荷产生的电场也 是静电场，总电场仍为 有势场， v v ∴ ∫ E ⋅ dl = 0，
即环路定理形式不变。
U AB = ∫
也不变。 二、高斯定理
B
A
v v E ⋅ dl ，
v v 1 ∫ E ⋅ d S = ε 0 ( Σ q 0 + Σ q' )
自由电荷 极化电荷
下面设法使 q' 不显含在高斯定理的表 达式中。
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v v P = ε 0χ eE
v v v σ' P = E0 − E = E 0 + E' ⇒ E = E 0 − E' = E 0 − = E0 − χ eE ε0 ε0
E0 ∴ E= 1 + χe
v ˆ σ' = P ⋅ n = P (指大小 )
εr ≡ 1 + χe
E= E0 1 + χe E= E0 εr
电介质内部从宏观上讲 仍是电中性，电介质表 面出现宏观正 负电荷。
束缚电荷产生的电场方 向与 原（外）电场方向相反 。 2. 有极分子的取向极化
分子本身相当于电偶极 子，在外电场中转向（ 原理见 p.40例9.10 )。
有极分子的取向极化比 位移极化强得多，因此 可以忽略位移 极化。 对于有极分子构成的各 项同性均匀电介质，仍 然只在表面出 现正负电荷。极化电荷 产生的电场方向与外电 场相反。