高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例(后附答案)

高中数学选修2--1圆锥曲线

基本知识点与典型题举例

一、椭圆

1.椭圆的定义：

第一定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.

第二定义: 平面内到定点F与到定直线l的距离之比是常数e(0

2.椭圆的标准方程及其几何性质(如下表所示)

图形

顶点 (,0)a ±,(0,)b ± (0,)a ±,(,0)b ±

对称轴

x 轴，y 轴，长轴长为2a ，短轴长为2b

焦点

1(,0)F c -、2(,0)F c 1(0,)F c -、2(0,)F c

焦距

焦距为12

2(0),F F c c => 222

c a b =-

离心率

e =c

a

(0

例1. F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则M 点的轨迹方程是( )

(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段

例2. 已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点的轨迹方程是( )

(A)

116

252

2=+y x (B)

)0(116

252

2≠=+y y x (C)

125

162

2=+y x (D))0(125

162

2≠=+y y x

例3. 若F (c ，0)是椭圆22

221x y a b

+=的右焦点，F 与椭圆上点的距

离的最大值为M ，最小值为m ，则椭圆上与F 点的距离等于2

M m

+的点的坐标是( )

(A)(c ，2

b a

±) 2()(,)b B c a -± (C)(0，±b ) (D)不

存在

例4 设F 1(-c ，0)、F 2(c ，0)是椭圆22x a

+2

2y b =1(a >b >0)的两个焦

点，P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1,则椭圆的离心率为( )

(A)

2 (B)

3 (C)2 (D)3

例5. P

点在椭圆120

452

2=+y x 上，F 1、F 2是两个焦点，若21PF PF ⊥，

则P 点的坐标是 .

例6. 写出满足下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴与短轴的和为18，焦距为6; . (2)焦点坐标为)0,3(-

,)0,3(,并且经过点(2，1); .

(3)椭圆的两个顶点坐标分别为)0,3(-,)0,3(,且短轴是长轴的3

1; ____.

(4)离心率为

2

3，经过点(2，0); .

例7. 12F F 、是椭圆2

214

x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，

则12||||PF PF ⋅的最大值是 ．

二、双曲线 1.双曲线的定义：

第一定义：平面内到两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定值2a (0<2a <|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距.

第二定义: 平面内到定点F 与到定直线l 的距离之比是常数

e (e >1)的点的轨迹是双曲线,定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双

曲线的准线,常数e 叫做双曲线的离心率

例8 .命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之差的绝对值等于2a (a >0)；命题乙： 点P 的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的( )

(A ) 充要条件 (B ) 必要不充分条件 (C) 充分不必要条件 (D) 不充分也不必要条件

例9 到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 23的点的轨迹是（ ）

(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线

例10. 过点(2，-2)且与双曲线12

22

=-y x 有相同渐近线的双曲线

的方程是( )

(A)12422=-y x (B)12422=-x y (C)1422

2=-y x (D)1

422

2=-x y

例11. 双曲线2

21(1)x y n n

-=>的两焦点为12,,F F P 在双曲线上,且

满足12PF PF +=,则12F PF 的面积为( )

()1A 1

()2

B ()2

C ()4D

例12 设ABC ∆的顶点)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 2

1

sin sin =-，则第三个顶点C 的轨迹方程是________.

例13. 根据下列条件，求双曲线方程:

⑴与双曲线22

1916

x y -=有共同渐近线，且过点(-3，32)；

⑵与双曲线22

1164

x y -=有公共焦点，且过点(2).

例14. 设双曲线2

2

12

y x -=上两点A 、B ，AB 中点M （1，2）求直

线AB 方程；

注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）