2020年上海中学高一(上)期中数学试卷
2020年上海中学高一(上)期中数学试卷
高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 下列命题中正确的有( )①很小的实数可以构成集合；②集合{y|y =x 2−1}与集合{(x,y)|y =x 2−1}是同一个集合； ③集合{(x,y)|xy ≤0，x ，y ∈R}是指第二和第四象限内的点集；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 设x >0，y >0，下列不等式中等号能成立的有( )①(x +1x )(y +1y )≥4；②(x +y)(1x +1y )≥4；2√x 2+5≥4；④x +y √xy ≥4；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 集合A ={x|{x(x +2)>0|x|<1}，集合B ={x|x+1|x−3|>0}，则x ∈A 是x ∈B 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 使关于x 的不等式x 2−3(t −1)x +2t(t −3)≥0恒成立的实数t( )A. 不存在B. 有且仅有一个C. 有不止一个的有限个D. 无穷多个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={−1,0，2，3}，A ={0,3}，则∁U A =______．6. 若关于x 的不等式|x +a|<b(a,b ∈R)的解集为{x|2<x <4}，则ab =______．7. 命题“若x =−2，则x 2+3x <0”的逆否命题是______．8. 若全集U ={1,2，3，4，5，6，7，8，9}，A 、B 为U 的子集，且(∁U A)∩B ={1,9}，A ∩B ={2}，(∁U A)∩∁U B ={4,6，8}，则集合A =______．9. 已知集合A ={a,b ，2}，B ={2,b 2,2a}(a ，b ∈R)，且A =B ，则b =______． 10. 已知正实数x ，y 满足x +3y =1，则xy 的最大值为______．11. 已知集合A ={x ∈R|2x −3≥0}，B ={x ∈R|x <a}，若A ∩B =⌀，则实数a 的取值范围为______．12.已知x∈R，定义：A(x)表示不小于x的最小整数，如A(2)=2，A(0.4)=1，A(−1.1)=−1，A(2x⋅A(x))=5，则正实数x的取值范围为______．13.a，b∈R，|a|≤1，|a+b|≤1，则(a+1)(b+1)的最大值为______，最小值为______．14.若使集合A(k)={x|(kx−k2−6)(x−4)≥0,x∈Z}中元素个数最少，则实数k的取值范围是______，设B⊆Z，对B中的每一个元素x，至少存在一个A(k)，有x∈A(k)，则B=______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）15.设a>0，b>0，比较√a2b +√b2a与√a+√b的大小．16.解下列不等式：(1)|x+1|−|2x−1|>1；(2)xx2−7x+12≤1．17.据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为10吨至25吨(包含10吨和25吨)，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数，当月产量为10吨时，月总成本为20万元，当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元．(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数解析式；(2)若x∈[10,25]，当月产量为多少时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？18. 已知命题：“∃x ∈{x|−1<x <1}，使等式x 2−x −m =0成立”是真命题，(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x −a)(x +a −2)<0的解集为N ，若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，求a 的取值范围．19. 已知二次函数f 1(x)=x 2−ax +b ，f 2(x)=x 2−bx +c ，f 3(x)=x 2−cx +a ．(1)若a =3，b =2，c =1，解不等式组：{f 1(x)>0f 2(x)>0f 3(x)>0；(2)若a ，b ，c ∈{1,2，3，4}，对任意x ∈R ，证明：f 1(x)、f 2(x)、f 3(x)中至少有一个非负；(3)设a 、b 、c 是正整数，求所有可能的有序三元组(a,b ，c)，使得f 1(x)=0，f 2(x)=0，f 3(x)=0均有整数根．答案和解析1.【答案】A【解析】解：①错误，很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性； ②错误，中集合{y|y =x 2−1}的元素为实数，而集合{(x,y)|y =x 2−1}的元素是点； ③错误，集合{(x,y)|xy ≤0，x ，y ∈R}中还包括实数轴上的点； 故正确的有0个． 故选：A ．①由集合元素的性质：确定性可知错误；②中注意集合中的元素是什么；③中注意x =0或y =0的情况．本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查．2.【答案】C【解析】解：设x >0，y >0， x +1x ≥2,y +1y ≥2，所以①成立， 利用柯西不等式，显然②成立，2√x 2+5=√x 2+5√x 2+5，运用基本不等式不能取等号，此时x 2+5=4，显然不成立， x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y 时成立，故正确的有三个， 故选：C ．设x >0，y >0，x +1x ≥2,y +1y ≥2，所以①成立，利用柯西不等式，显然②成立，2√x 2+5=√x 2+5√x 2+5，不成立，x +y +√xy≥2√xy √xy≥4，当x =y 时成立，得出结论．考查基本不等式的应用，注意一正二定三相等，条件是否成立，基础题．3.【答案】A【解析】解：A ={x|{x(x +2)>0|x|<1}={x|{x <−2或x >0−1<x <1}={x|0<x <1}, B ={x|x+1|x−3|>0}={x|x >−1且x ≠3}， 则由x ∈A ⇒x ∈B ，反之不成立．∴x∈A是x∈B的充分不必要条件．故选：A．求解不等式(组)化简A，B，再由充分必要条件的判定得答案．本题考查一元二次不等式、绝对值的不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：使关于x的不等式x2−3(t−1)x+2t(t−3)≥0恒成立，开口向上，所以只需△=9(t−1)2−8t(t−3)=t2+6t+9=(t+3)2≤0，即t=−3，所以t有且只有一个．故选：B．使关于x的不等式x2−3(t−1)x+2t(t−3)≥0恒成立，开口向上，所以只需△=9(t−1)2−8t(t−3)=t2+6t+9=(t+3)2≤0，求出即可．考查了二次函数的性质，恒成立问题，基础题．5.【答案】{−1,2}【解析】解：∵U={−1,0，2，3}，A={0,3}，∴∁U A={−1,2}，故答案为：{−1,2}根据补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．比较基础．6.【答案】−3【解析】解：∵|x+a|<b(a,b∈R)，解得−b−a≤x≤b−a，又关于x的不等式|x+a|<b(a,b∈R)的解集为{x|2<x<4}，∴−b−a=2且b−a=4，解得a=−3，b=1，∴ab=−3．故答案为：−3．由题意，解不等式|x+a|<b得出−b−a≤x≤b−a，再由已知解集为{x|2<x<4}，从而得出−b−a=2且b−a=4，两者联立解出a，b的值，即可得出答案．本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题，解答的关键是用参数表示出不等式的解集，再由同一性得出参数的方程．7.【答案】若x 2+3x ≥0，则x ≠−2【解析】解：依题意得，原命题的题设为：x =−2，结论为：x 2+3x <0． 逆否命题：若x 2+3x ≥0.，则x ≠−2， 故答案为：若x 2+3x ≥0.，则x ≠−2．由已知可得，原命题的题设P ：x =−2，结论Q ：x 2+3x <0.逆否命题是若非Q ，则非P.从而可求．写四种命题时应先分清原命题的题设和结论，而命题的逆否命题的题设和结论分别进行否定，属于基础知识．8.【答案】{2,3，5，7}【解析】解：作出文氏图，由(∁U A)∩B ={1,9}，A ∩B ={2}，(∁U A)∩∁U B ={4,6，8}得A ={2,3，5，7}， 故答案为：{2,3，5，7}作出文氏图，根据集合关系进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合文氏图是解决本题的关键．比较基础．9.【答案】12或1【解析】解：集合B 中的元素2a ，有两种可能，{a =2a b =b 2，或者{a =b 2b =2a 若{a =2a b =b 2，解之得，{a =0b =1，或者{a =0b =0(经检验不符合) 若{a =b 2b =2a，解之得a =0或者a =14，经检验a =0时，b =0，不满足集合中元素互异性，所以舍去． 综上所述b =12或者1 故答案为b =12或者1由集合相等，则集合中元素相等，再由集合中的元素满足互异性，确定性，无序性，排除不符合要求的解，得出结论．本题考查集合相等，对解出的解，再由集合中的元素互异性，确定性，无序性去排除不符合条件的解．10.【答案】112【解析】解；∵正实数x，y满足x+3y=1，∴x+3y=1≥2√3xy，化简得出xy≤112(x=3y=12等号成立)xy的最大值为112(=12,y=16等号成立)故答案为；112运用基本不等式得出x+3y=1≥2√3xy，化简求解xy≤112即可．本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断，变形得出不等式的条件，属于容易题．11.【答案】a≤32【解析】解：集合A={x∈R|2x−3≥0}={x|x≥32}，B={x∈R|x<a}，当A∩B=⌀时，实数a的取值范围为a≤32．故答案为：a≤32．化简集合A，根据A∩B=⌀写出实数a的取值范围．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题．12.【答案】1<x≤54【解析】解：当A(x)=1时，0<x≤1可得，4<2x⋅A(x)≤5有2<x≤52，矛盾，则A(x)≠1；当A(x)=2时，1<x≤2可得，4<2x⋅A(x)≤5有1<x≤54，满足条件；当A(x)=3时，2<x≤3可得，4<2x⋅A(x)≤5有23<x≤56，矛盾；则A(x)≠3；由此类，当当A(x)≥4时也不符合题意；故答案为：1<x≤54由A(x)表示不小于x的最小整数分类讨论可得2x⋅A(x)的取值范围，解不等式验证即可．本题考查新定义的理解，涉及分类讨论的思想，正确理解A(x)取值意义是解决本题的关键，属于中档题．13.【答案】94 −2【解析】解：令t =a +b ∈[−1,1]，b =t −a ，a ∈[−1,1]， 则(a +1)(b +1)=(a +1)(t −a +1)=(a +1)t +1−a 2， 当a =−1，(a +1)(b +1)=0， 当a ≠−1，a +1∈(0,1]，把t 主元，令f(t)=(a +1)t +1−a 2， f(t)max =f(1)=−(a −12)2+94∈[0,94]， f(t)min =f(−1)=−(a +12)22+14∈[−2,14]，所以(a +1)(b +1)的最大值为94，最小值为−2， 故答案为：94，−2．令t =a +b ∈[−1,1]，b =t −a ，变换主元法，t 主元，令f(t)=(a +1)t +1−a 2，求出最大值和最小值为即可本题考查了利用函数法解最值问题，还用了变换主元法，中档题．14.【答案】(−3,−2) Z【解析】解：集合A ={x|(kx −k 2−6)(x −4)≥0,x ∈Z}， ∵方程(kx −k 2−6)(x −4)=0，k ≠0 解得：x 1=k +6k ，x 2=4， ∴(kx −k 2−6)(x −4)≥0，x ∈Z 当k =0时，A =(−∞,4]；当k >0时，4<k +6k ，A =(−∞,4]∪[k +6k ,+∞)； 当k <0时，k +6k <4，A =[k +6k ,4]； ∴当k ≥0时，集合A 的元素的个数无限；当k <0时，k +6k <4，A =[k +6k ,4]，集合A 的元素的个数有限， 令函数g(k)=k +6k ，(k <0) 则有：g(k)≤−2√6，对于集合A ，[0,4]满足条件的元素只有0，1，2，3，4，只需[k+6k,0]包含的整数最小，∵题意要求x∈Z，故只需k+6k >−5，且k+6k≤−4，解得：−3<k<−2，根据对A(k)的讨论，所以B=Z，故答案为：−3<k<−2，B=Z．化简集合A，对k讨论即可．求解x的范围，可得答案．本题考查的是集合元素的分布以及运算问题，方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳15.【答案】解：设a>0，b>0，√a2b +√b2a=√b√a，根据均值不等式可得，√b√b≥2√a，①√a√a≥2√b，②当且仅当a=b时取等号，所以由①+②可得√b√a+√a+√b≥2(√a+√b)，即√a2b +√b2a≥√a+√b则√a2b +√b2a与√a+√b的大小为√a2b +√b2a≥√a+√b．【解析】a>b>0，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了不等式的性质、基本不等式的计算，属于基础题．16.【答案】解：(1)∵|x+1|−|2x−1|={2−x,x≥123x,−1≤x≤12x−2,x<−1，∴解|x+1|−|2x−1|>1得，13<x<1，故不等式的解集是(13,1)；(2)xx2−7x+12≤1可转化为x2−8x+12x2−7x+12≥0，即(x−2)(x−6)(x−3)(x−4)≥0，当x≥6时，四个因子都非负，不等式成立；当3<x <4时，四个因子两个为正两个为负，此时不等式成立； 当x ≤2时，四个因子都非正，不等式成立，综上知，不等式xx 2−7x+12≤1的解集是(−∞,2]∪(3，4)∪[6,+∞)．【解析】(1)去绝对值号，分段解不等式即可得出不等式的解集； (2)不等式xx 2−7x+12≤1可转化为x 2−8x+12x 2−7x+12≥0，分解后可得(x−2)(x−6)(x−3)(x−4)≥0，由于四个因子的四个零点，把所有实数分成了五部分，分段讨论不等式是否成立即可得出不等式的解集．本题考查分式不等式与绝对值不等式的解法，转化为整式不等式是常用的解答策略，本题也考查了简单高次不等式的解法，对于简单高次不等式可以分解为几个因子的乘积，分别判断每段上各个因子的符号，从而得出不等式的解集．本题解法比较典型，要理解总结．17.【答案】解：(1)由题意，设y =a(x −15)2+17.5(a ∈R,a ≠0)将x =10，y =20代入上式得：20=25a +17.5，解得a =110，∴y =110(x −15)2+17.5(10≤x ≤25) (2)平均成本yx =110x 2−3x+40x=110x +40x−3≥2√110x ⋅40x−3=1当且仅当110x =40x，即x =20∈[10,25]时上式“=”成立．故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元．【解析】(1)设出函数解析式，代入(10,20)，可得函数解析式； (2)求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是关键．18.【答案】解：(1)命题：“∃x ∈{x|−1<x <1}，使等式x 2−x −m =0成立”是真命题，等价于∃x ∈{x|−1<x <1}，使得m =x 2−x =(x −12)2−14， ∵−1<x <1， ∴−14≤m <2，M ={m|−14≤m <2}.(2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，①当a >2−a ，即a >1时，N ={x|2−a <x <a}，则{2−a <−14a ≥2a >1，解得a >94；②当a <2−a ，即a <1时，N ={x|a <x <2−a}，则{a <1a <−142−a ≥2，解得a <−14；③当a =2−a 即a =1时，N =⌀，此时不满足条件，综上可得，a 的取值范围是(−∞,−14)∪(94,+∞)．【解析】本题主要考查了二次函数的性质，二次不等式求解，集合之间包含关系的应用，考查了特称命题与必要条件，考查了分类讨论思想，属于中档题．(1)利用参数分离法将m 用x 表示，结合二次函数的性质求出m 的取值范围，从而可求集合M ；(2)若x ∈N 是x ∈M 的必要条件，则M ⊆N ，分类讨论即可求解， 19.【答案】解：(1)当a =3，b =2，c =1时，解不等式x 2−3x +2>0得x <1或x >2，解不等式x 2−2x +1>0得x ≠1，解不等式x 2−x +3>0得x ∈R ，综上，所求不等式组的解为(−∞,1)∪(2,+∞)；(2)证明：∵△1=a 2−4b ，△2=b 2−4c ，△3=c 2−4a ，∴相加得△1+△2+△3=(a −2)2+(b −2)2+(c −2)2−12，∵a ，b ，c ∈{1,2，3，4}，∴△1+△2+△3≤0即△1、△2、△3至少有一个小于等于0，∴f 1(x)、f 2(x)、f 3(x)中至少有一个非负；(3)由判别式大于等于0，及f(1)≥0，可得a 2≥4b ，b 2≥4c ，c 2≥4a ，a ≤b +1，b ≤c +1，c ≤a +1，a ≥4，b ≥4，c ≥4， ∴a −1≤b ≤a +2，a −2≤c ≤a +1，∴(a −2)2−12≤a 2−4b ≤(a −2)2，∵a 2−4b 为平方数，∴当a ≥9时，a 2−4b =(a −2)2⇒b =a −1，同理可得当b≥9时，c=b−1=a−2，此时f1(x)=x2−ax+a−1=0两根为1和a−1，f2(x)=x2−bx+b−1=0两根为1和b−1，f3(x)=x2−(a−2)x+a=0无整数解，不符．故a≥9不满足题意；当a≤8时，讨论可得(4,4，4)，(6,8，7)，(7,6，8)，(8,7，6)符合．【解析】(1)代值直接计算即可；(2)只需证明△1、△2、△3至少有一个小于等于0即可；(3)先判断当a≥9时，没有满足条件的有序三元组(a,b，c)，再讨论a≤8时，满足条件的有序三元组(a,b，c)即可．本题考查一元二次不等式的解法及函数与方程的综合运用，考查逻辑推理能力，属于中档题．。
2020-2021学年上海市某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年上海市某校高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1. 当a <b 时，化简√(a −b)2=________． 【答案】 b −a 【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】根据a −b 的符号，去绝对值求出答案即可． 【解答】a <b 即a −b <0，故√(a −b)2=|a −b|＝b −a ，2. 已知全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，集合A ＝{x|x 2−3x +2≤0, x ∈Z}，则A ¯=________． 【答案】 {0, 3, 4} 【考点】 补集及其运算 【解析】可求出集合A ，然后进行补集的运算即可． 【解答】∵ 全集U ＝{0, 1, 2, 3, 4}，A ＝{x|1≤x ≤2, x ∈Z}＝{1, 2}， ∴ A ¯={0,3,4}．3. 已知a >1，比较大小√a √a ________1log 312+2log 122．【答案】 >【考点】对数值大小的比较 【解析】根据a >1及指数函数的单调性可得出√a √a >1，根据对数的运算即可得出1log 312+2log 122=1，然后即可得出答案． 【解答】∵ a >1，∴ √a √a =a 34>a 0=1，1log 312+2log 122=log 33log 312+log 124=log 123+log 124＝1，∴ √a √a >1log 312+2log 122．4. 命题“设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a <2或b ≤2”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】 真【考点】四种命题的真假关系 【解析】根据不等式的性质即可直接判断． 【解答】设a ，b ∈R ，若a +b <4，则a ，b 至少有一个小于等于2，故若a +b <4，则a <2或b ≤2是真命题，5. 已知x >0，y >0，且2x +5y =20，则lg x +lg y 的最大值为________． 【答案】 1【考点】 基本不等式 对数的运算性质【解析】利用基本不等式先求出xy 的范围，再根据对数的运算性质进行化简即可求得最大值，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵ x >0，y >0，且2x +5y =20， ∴ 2x +5y =20≥2√10xy ，即xy ≤10， 当且仅当2x =5y ，即x =5，y =2时取等号． ∴ lg x +lg y =lg xy ≤lg 10=1，即最大值为1． 故答案为：1．6. 设不等式|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，当m >0时，用根式表示m ab ＝________． 【答案】√m 34【考点】绝对值不等式的解法与证明 【解析】先根据|x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}，求出a ，b 的值，再用根式表示m ab 即可． 【解答】由|x −a|<b ，得−b +a <x <a +b ， ∵ |x −a|<b 的解集为{x|−1<x <2}， ∴ −b +a ＝−1且a +b ＝2，∴ a =12，b =32， ∴ 当m >0时，m ab =√m 34．7. 已知关于x 的不等式kx 2−kx +1≥0的解集为R ，则实数k 的取值范围是________．【答案】 [0, 4] 【考点】一元二次不等式的应用 【解析】根据题意讨论k ＝0和k ≠0时，求出不等式解集为R 时实数k 的取值范围． 【解答】k ＝0时，不等式为1≥0，解集为R ，满足题意； k ≠0时，应满足{k >0△=(−k)2−4k ×1≤0 ，解得0<k ≤4；综上知，实数k 的取值范围是[0, 4]．8. 测量地震级别的里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A −lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的________倍．【答案】 10000 【考点】对数的运算性质 【解析】根据题意中的假设，可得M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝6；设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ，9＝lg x +3，5＝lg y +3，由此知9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍． 【解答】根据题意，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此次地震的里氏震级恰好为6级，则M ＝lg A −lg A 0＝lg 1000−lg A 0＝3−lg A 0＝6，解得：lg A 0＝−3， 设9级地震的最大的振幅是x ，5级地震最大振幅是y ， 9＝lg x +3，5＝lg y +3，解得x ＝106，y ＝102， ∴ xy =106102=10000．9. 若关于x 的不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，则实数a 的取值范围是________．【答案】 a ≥1 【考点】其他不等式的解法 【解析】先求出不等式(2x −3)(x +1)≤0的解集，然后确定不等式组的解集，进而确可求a 的范围． 【解答】由(2x −3)(x +1)≤0可得−1≤x ≤32，其中有整数−1，0，1，因为不等式组{(2x −3)(x +1)≤0x >a 没有整数解，故不等式组的解集a <x ≤32且其范围内没有整数，故a ≥1．10. 已知M =m 2+1m−1，其中m >1，则M 的最小值为________．【答案】2√2+2 【考点】基本不等式及其应用 【解析】 M =m 2+1m−1=(m −1)+2m−1+2，根据基本不等式即可求出．【解答】 ∵ m >1 ∴ M =m 2+1m−1=(m−1)2+2(m−1)+2m−1=(m −1)+2m−1+2≥2√2+2，当且仅当m −1=2m−1时，即m ＝1+√2时取等号， 故M 的最小值为2√2+2，11. 定义：对于非空集合A ，若元素x ∈A ，则必有(m −x)∈A ，则称集合A 为“m 和集合”．已知集合B ＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则集合B 所有子集中，是“8和集合”的集合有________个．【答案】 15【考点】元素与集合关系的判断 【解析】考察子集的概念以及对数学新概念的理解，由x ∈A 及(m −x)∈A 可以得到两个数之和为m 的元素必须同时出现在集合A 中． 【解答】①含有1个元素的“8和集合”：{4}；②含有2个元素的“8和集合”：{1, 7}，{2, 6}，{3, 5}；③含有3个元素的“8和集合”：{1, 4, 7}，{2, 4, 6}，{3, 4, 5}；④含有4个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6}，{1, 7, 3, 5}，{2, 6, 3, 5}；⑤含有5个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 4}，{1, 7, 3, 5, 4}，{2, 6, 3, 5, 4}； ⑥含有6个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5}； ⑦含有7个元素的“8和集合”：{1, 7, 2, 6, 3, 5, 4}．12. 研究问题：“已知关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(1, 2)，则关于x 的不等式cx2−bx+a>0有如下解法：由ax2−bx+c>0⇒a−b(1x )+c(1x)2>0，令y=1x，则y∈(12,1)，所以不等式cx2−bx+a>0的解集为(12,1)．参考上述解法，已知关于x的不等式kx+a +x+bx+c<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，则关于x的不等式kxax−1+bx−1cx−1<0的解集________(−12,−13)∪(12,1)．【答案】(−12,−13)∪(12,1)【考点】类比推理【解析】先明白题目所给解答的方法：ax2−bx+c>0化为a−b(1x )+c(1x)2>0，类推为cx2−bx+a>0，解答不等式；然后依照所给定义解答题目即可．【解答】关于x的不等式ka+x +b+xc+x<0的解集为(−2, −1)∪(2, 3)，用−1x 替换x，不等式可以化为：k(−1x)+a+(−1x)+b(−1x)+c=kxax−1+bx−1cx−1<0可得−1x∈(−2,−1)∪(2,3)可得12<x<1−12<x<−13二、选择题：（每小题4分，满分16分）如果a<b<0，那么下列不等式中正确的是（）A.ab <1 B.a2>ab C.1b2<1a2D.−1a<1b【答案】B【考点】不等式的概念不等式的基本性质【解析】由不等式的性质逐一判断即可．【解答】若a<b<0，则ab>1，故A错误；若a<b<0，则a2>ab，故B正确；若a<b<0，则a+b<0，a−b<0，所以1b2−1a2=a2−b2a2b2=(a+b)(a−b)a2b2>0，即1b2>1a2，故C错误；若a<b<0，则−1a >0>1b，故D错误．下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)已知a，s，t都是正实数，且a≠1，下列运算一定正确的是（）A.a s+a t＝a s+tB.a s a t＝a s+tC.log a s+log a t＝log a(s+t)D.log a s⋅log a t＝log a(st)【答案】B【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数的运算性质【解析】根据指数幂的运算性质以及对数的运算性质判断即可．【解答】根据指数幂的运算性质得：A错误，B正确；根据对数的运算性质得：C，D错误；已知a1，a2，b1，b2，c1，c2均为非零实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“关于x的方程a1x2+b1x+c1＝0与a2x2+b2x+c2＝0解集相同”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】 A【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据方程的性质，我们可以判断“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”⇒“关于x 的方程a 1x 2+b 1x +c 1=0与a 2x 2+b 2x +c 2=0解集相同”；根据方程的解集可能为空集，可判断“M ＝N ”⇒“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”的真假，进而得到答案．【解答】∵ “a 1a 2=b 1b 2=c 1c 2”时，对应项系数成比例，对应方程的解集相同，即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M＝N ”的充分条件但当“M ＝N ＝⌀”时，不等式a 1x 2+b 1x +c 1＝0和a 2x 2+b 2x +c 2＝0可能是不同的方程，则“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”不一定成立即“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的不必要条件，故“a 1a 2=b 1b 2=c1c 2”是“M ＝N ”的充分不必要条件．三、解答题（共5大题，满分48分）解不等式组{|4x +1|>21x≥3 ．【答案】 由题意可得，{4x +1>21−3xx ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13 ，解得，14<x ≤13． 故不等式的解集(14,13]．【考点】其他不等式的解法 【解析】由已知结合绝对值不等式及分式不等式分别求解即可． 【解答】由题意可得，{4x +1>21−3x x ≥0 或−4x +1<−2，即{x >14x <−340<x ≤13，解得，14<x≤13．故不等式的解集(14,13 ]．艺术中心要用木料制作如图所示的框架，框架下部是边长分别为x，y（单位：米）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米，问：总用料最省时，用料为多少米？此时x，y分别为多少米？（最后结果精确到0.01）【答案】故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】根据三角形和矩形面积公式得出x和y的关系式，确保有意义求出x的范围得到定义域；根据解析式进而表示出框架用料长度为根据均值不等式求得l的最小值，求得此时的x和y．【解答】由题意得：x⋅y+12x⋅12x=8(x>0, y>0)，∴y=8x −x4，∵y>0，即8x −x4>0，∴0<x<4√2，设框架用料长度为l，则l＝2x+2y+√2x=( 32+√2)x+16x≥2√16(32+√2)=4√6+4√2，当且仅当(32+√2)x=16x，即x＝8−4√2时，取等号，已知p：关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根．q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根．（1）若p成立，求实数m的取值范围；（2）若p和q中有且只有一个成立，求实数m的取值范围．【答案】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系【解析】（1）由题意利用判别式大于零，求得m的范围．（2）求出命题q正确时，m的范围，再分别求得p成立而q不成立、q成立而p不成立时，m的范围，综合可得结论．【解答】若命题p成立，即关于x的一元二次方程x2−2√3x+|m−2|＝0有两个不相等的实数根，故△＝12−4|m−2|>0，求得−1<m<5．由q：关于x的一元二次方程x2−mx+|a+1|+|a−3|＝0对于任意实数a都没有实数根，恒成立，可得△′＝m2−4(|a+1|+|a−3|)<0，即|a+1|+|a−3|>m24∴4>m2恒成立，−4<m<4．4若p成立而q不成立，则4≤m<5，若q成立而p不成立，则−4<m≤−1．综上，当p和q中有且只有一个成立时，则4≤m<5，或−4<m≤−1．已知有限集A＝(a1, a2,……,a n)(n≥2, n∈N)，如果中A元素a i(i＝1, 2,…,n)满足a1+a2+...+a n＝a1×a2×……×a n，就称A为“完美集”．（1）如果方程：x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，求log√5b的值．（2）利用反证法证明：若a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，则a1，a2至少有一个大于2．【答案】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．【考点】反证法与放缩法【解析】（1）设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，然后根据条件得到x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，再求出b即可得到log√5b的值；（2）假设0<a1≤2且0<a2≤2，然后根据条件得到a1+a2>4或a1+a2<0，得到矛盾结论，从而证明原命题成立．【解答】设x1，x2为方程x2−bx+5＝0的两根，∵x2−bx+5＝0的解集是一个“完美集”，∴x1+x2＝b，x1x2＝5且x1+x2＝x1x2，∴b＝5，∴logb=2．√5证明：假设0<a1≤2且0<a2≤2，由a1，a2是两个不同的正数，且{a1, a2}是“完美集”，)2，∴a1+a2>4或a1+a2<0，可知a1+a2=a1a2<(a1+a22∴由0<a1≤2且0<a2≤2，可得a1+a2≤4与a1+a2>4或a1+a2<0矛盾，因此假设不成立，原命题成立．已知一元二次函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0, c>0)的图象与x轴有两个不同的公共点，其中一个公共点的坐标为(c, 0)，且当0<x<c时，恒有f(x)>0．时，求出不等式f(x)<0的解；（1）当a＝1，c=12（2）求出不等式f(x)<0的解（用a，c表示）；（3）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为8，求a的取值范围；（4）若不等式m2−2km+1+b+ac≥0对所有k∈[−1, 1]恒成立，求实数m的取值范围．试卷第11页，总12页【答案】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a>c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c) 这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c16+c 2≤2√16c=18故a ∈(0,18]． ∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0，又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2． 【考点】二次函数的图象 二次函数的性质 【解析】（1）当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，由此能求出 f(x)<0的解集．（2）f(x)的图象与x 轴有两个交点，由f(c)＝0，设另一个根为x 2，由此能求出f(x)<0的解集．（3）由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a ,0),(0,c)，这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8，由此能求出a 的取值范围．（4）由f(c)＝0，知ac 2+bc +c ＝0，由c >0，知ac +b +1＝0，由此能求出实数m 的取值范围． 【解答】当a ＝1，c =12时，f(x)=x 2+bx +12，试卷第12页，总12页f(x)的图象与x 轴有两个不同交点，∵ f(12)=0，设另一个根为x 2，则12x 2=12，∴ x 2＝1，则 f(x)<0的解集为 (12,1)． f(x)的图象与x 轴有两个交点， ∵ f(c)＝0，设另一个根为x 2，则cx 2=c a∴ x 2=1a，又当0<x <c 时，恒有f(x)>0，则1a >c ， ∴ f(x)<0的解集为(c,1a )⋯由（2）的f(x)的图象与坐标轴的交点分别为(c,0),(1a,0),(0,c)这三交点为顶点的三角形的面积为S =12(1a −c)c =8， ∴ a =c 16+c≤2√16c=18故a ∈(0,18]．∵ f(c)＝0，∴ ac 2+bc +c ＝0， 又∵ c >0，∴ ac +b +1＝0，要使m 2−2km ≥0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立，则 当m >0时，m ≥(2k)max ＝2 当m <0时，m ≤(2k)min ＝−2当m ＝0时，02≥2k ⋅0，对所有k ∈[−1, 1]恒成立 从而实数m 的取值范围为 m ≤−2或m ＝0或m ≥2．。
2019-2020学年上海中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分） 1. 已知集合A ={0,1}，则下列式子错误的是( )A. 0∈AB. {1}∈AC. ⌀⊆AD. {0,1}⊆A2. 已知x <0，函数y =4x +x 的最大值是( )A. 5B. −4C. −8D. 63. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43) D. [−12,43] 4. 若关于x 的不等式x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. ［−1，+∞)C. ［−1，1］D. ［0，+∞)二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）5. 已知集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}，则C U A =________．6. 解关于x 的不等式：2|x −3|+|x −4|<2．7. 命题“如果√x −2+(y +1)2=0，那么x =2且y =−1”的逆否命题为________．8. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={0,1，3，5，8}，集合B ={2,4，5，6，8}，则(∁U A)∩(∁U B)= ______ ．9. 已知a ∈R ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a = ______ ，b = ______ ． 10. 已知x ，y 为正实数，则x2x+y +yx+2y 的最大值为________． 11. 已知集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}，则A ∩B =_____． 12. 已知函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则满足f(x)<1的x 的取值范围是________13. 函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，则a +b = ______ ． 14. 已知集合A ={−1,0,a }，B ={0,√a}.若B ⊆A ，则实数a 的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 15. (1)比较a 2+b 2与2(2a −b)−5的大小；(2)已知a,b,c ∈R +，且a +b +c =1，求证：(1a −1)(1b −1)(1c −1)⩾816. 解下列不等式：(Ⅰ)|2x +1|−2|x −1|>0； (Ⅱ)||x −2|−1|≤1．17. 为了保护环境，发展低碳经济，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一项把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为：y ={13x 3−80x 2+5040x,x ∈[120,144)12x 2−200x +80000,x ∈[144,500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，亏损数额国家将给予补偿．(I)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果亏损，则国家每月补偿数额的范围是多少？ (Ⅱ)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？18. 已知命题是真命题．(1)求实数m 的取值集合M ；(2)设不等式(x−a)[x−(2−a)]<0的解集为N，若N⊆M，求实数a的取值范围．19.已知二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)．(1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式x2−2tx+t2−1≥0;(2)若关于x的方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，求实数t的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析： 【分析】本题考查元素与集合、集合与集合的关系，属于基础题型，直接求解即可． 【解答】解：∵集合A ={0,1}， ∴易得A ，C ，D 正确，B 选项，集合与集合的关系不能用∈， 故选B ．2.答案：B解析：解：∵x <0，∴函数y =4x +x =−(−x +4−x )≤−2√−x ⋅4−x =−4，当且仅当x =−2时取等号．∴x <0，函数y =4x +x 的最大值是−4． 故选B ．变形利用基本不等式即可得出．变形利用基本不等式和掌握使用基本不等式时注意“一正，二定，三相等”是解题的关键．3.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].4.答案：B解析： 【分析】本题考查恒成立问题，考查二次函数知识的综合运用，属于基础题．分两种情况讨论，当a ≥0时，二次函数在［0，+∞)单调递增且f(0)>0，当a <0时，要求Δ≤0，从而得到结果. 【解答】解：∵x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立，1)当a ≥0时，函数f(x)=x 2+2ax +1在(−a,+∞)上为单调增函数，则函数f(x)=x 2+2ax +1在[0,+∞)上为单调增函数， 所以f(x)≥f(0)，∵f(0)=1>0，∴符合题意，2)当a <0时，因为f(0)=1>0，所以要使x 2+2ax +1≥0在［0，+∞)上恒成立， 则4a 2−4≤0，即−1≤a ≤1， 此时有−1≤a <0， 综上a ≥−1． 故选B ．5.答案：{0}解析： 【分析】本题主要考查了集合的补集，属于基础题． 【解答】解：集合U ={0,1,2,3},A ={1,2,3}， 则C U A ={0}． 故答案为{0}．6.答案：解：当x ≥4时，原不等式即为2(x −3)+(x −4)<2，即3x −10<2，解得x <4，则有x ∈⌀； 当3<x <4时，原不等式即为2(x −3)+(4−x)<2，即x −2<2，解得，x <4，则有3<x <4； 当x ≤3时，原不等式即为2(3−x)+(4−x)<2，即10−3x <2，解得，x >83，则有83<x ≤3． 则原不等式的解集为{x|83<x ≤3或3<x <4}={x|83<x <4}．解析：运用零点分区间方法，讨论当x ≥4时，当3<x <4时，当x ≤3时，去绝对值，解不等式，最后求并集即可．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于基础题．7.答案：如果x ≠2或y ≠−1，则√x −2+(y +1)2≠0解析： 【分析】本题考查考查四种命题的定义和关系，根据四种命题之间的关系和定义即可得到命题的逆否命题． 【解答】解： 根据逆否命题的定义可知，命题的逆否命题为：如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0，故答案为如果x≠2或y≠−1，则√x−2+(y+1)2≠0．8.答案：{7,9}解析：解：∵集合A={0,1，3，5，8}，集合B={2,4，5，6，8}，∴∁U A={2,4，6，7，9}，∁U B={0,1，3，7，9}，则(∁U A)∩(∁U B)={7.9}，故答案为：{7,9}根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据补集和交集的定义是解决本题的关键．9.答案：−1；0解析：解：由题意知,1}={a2,a+b,0}，∵{a,ba∴根据集合相等的定义可知：有以下几种情况①当a=0时，不符合题意，故a≠0=0时，b=0②当ba即这时集合化简为{a,0，1}={a2，a，0}∴当a=1时不满足集合元素的互异性，故a≠1∴当a2=1时，a=1或a=−1经验证a=−1成立．即此时集合为{−1,0，1}∴可知：a=−1，b=0故答案为：−1，0．根据集合相等的定义，分类讨论，结合集合元素的互异性，即可得出结论．本题考查集合元素的互异性，考查集合相等的定义，比较基础．10.答案：23解析：【分析】本题主要考查基本不等式的运用，求最值，考查运算能力，属于中档题．对原式子进行换元变形，以及基本不等式应用时应该满足的条件：一正二定三等．解：令2x +y =m ，x +2y =n ， 则x =2m−n 3，y =−m+2n3，且m >0，n >0，因此：x 2x +y +y x +2y =2m −n 3m +−m +2n3n =2m −n 3m +−m +2n 3n =43−(n 3m +m3n) ≤43−2√19=23，当且仅当m =n 时取等号， 则x2x+y +yx+2y 的最大值为23， 故答案为23．11.答案：｛4，6｝解析： 【分析】本题主要考查集合的交集运算，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题． 利用交集运算定义直接计算即可． 【解答】解：因为集合A ={0,2，4，6}，B ={x|3<x <7}， 所以A ∩B =｛4，6｝． 故答案为｛4，6｝．12.答案：解析： 【分析】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题． 【解答】解：因为函数f (x )={−x,x ≤0,x 2−2x,x >0,则f(x)<1等价于{x ≤0−x <1①或{x >0x 2−2x <1②． 解得①得−1<x ≤0，解②得0<x <1+√2√2． 所以f(x)<1的x 的取值范围是(−1,1+√2). 故答案为．解析：解：由题意，a >1，则1a−1=1，1b−1=13，∴a =2，b =4，∴a +b =6； a <1则1a−1=13，不成立． 故答案为：6．分类讨论，利用函数的单调性，结合函数f(x)=1x−1在[a,b]上的最大值为1，最小值为13，求出a ，b ，即可求出a +b ．本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14.答案：1解析： 【分析】本题主要考查子集的概念，集合的表示，考查学生对基本概念的理解和应用能力，考查核心素养是计算能力，属于基础题.利用子集关系得√a =a ，求解即可，注意集合元素的互异性． 【解答】解：因为B ⊆A ，所以√a ∈A ，因为A ={−1,0,a}，所以√a ≠0,√a ≠−1， 所以√a =a ，解得a =1； 故答案为1．15.答案：(1)解：因为a 2+b 2−2(2a −b)+5=a 2−4a +4+b 2+2b +1=(a −2)2+(b −1)2⩾0，所以a 2+b 2⩾ 2(2a −b)−5；(2)证明：∵a +b +c =1，a ，b ，c ∈R +， ∴(1a −1)(1b −1)(1c −1)=b+c a×a+c b×a+b c⩾2√bca×2√ac b×2√ab c=8，当且仅当a =b =c 时，取等号．解析： 【分析】(1)本题考查作差法比较大小，两式作差与零比较，即可比较出两式大小；(2)本题考查不等式的证明，将a +b +c =1分别代入分子并化简，进而利用基本不等式即可证明原不等式．16.答案：解：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开得4x 2+4x +1>4x 2−8x +4，即得原不等式的解集为(14,+∞). (Ⅱ)由||x −2|−1|≤1得−1≤|x −2|−1≤1，即0≤|x −2|≤2，此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，所以原不等式的解集为{x|0≤x ≤4}．解析：(Ⅰ)原不等式化为|2x +1|>2|x −1|，两边平方得(2x +1)2>4(x −1)2，展开化简求得原不等式的解集．(Ⅱ)把此不等式可转化为{|x −2|≥0|x −2|≤2，求得{x ∈R0≤x ≤4，由此可得原不等式的解集．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．17.答案：解：(I)设x ∈[200,300]时，获利为S ，则S =200x −(12x 2−200x +80000)=−12(x −400)2， 所以在x ∈[200,300]时，S 为单调递增函数， S max =−5000，S min =−20000， 所以补偿范围是[5000,20000]．(Ⅱ)二氧化碳的平均每吨的处理成本为y x ={13x 2−80x +5040,x ∈[120,144),12x −200+80000x,x ∈[144,500], 当x ∈[120,144)时，当x =120时，yx 取得最小值240， 当x ∈[144,500)时，yx=12x +80000x−200⩾2√12x ⋅80000x−200=200，当且仅当12x =80000x，即x =400时，yx 取得最小值200，∵200<240，所以每月的处理量为400吨时，才能使每吨的处理成本最低．解析：本题考查分段函数模型的应用以及基本不等式实际应用，是中档题． (I)根据x ∈[200,300]，求出函数y 的值域即可判断求解．(Ⅱ)写出每吨的平均处理成本的函数表达式，利用基本不等式求解．18.答案：解：(1)命题“∃x ∈[−1,0]，x 2+2x +m <0”是真命题，则m <(−x 2−2x)max ，∵x ∈[−1,0]，∴(−x 2−2x)max =1，则m <1，即M =(−∞,1)； (2)当a <2−a ，即a <1时，N =(a,2−a)， ∵N ⊆M ，∴2−a ≤1，即a ≥1，此时a 无解；当a=2−a，即a=1时，N为空集，满足题意；当a>2−a，即a>1时，N=(2−a,a)，∵N⊆M，∴a≤1，此时a无解．综上：a=1．解析：(1)把原命题转化为m<(−x2−2x)max，再由二次函数求最值得答案；(2)对a分类求解不等式(x−a)[x−(2−a)]<0，再由两集合端点值间的关系列式求解．19.答案：解：(1)设二次函数y=x2−2tx+t2−1(t∈R)的两个零点分别为x1，x2，由已知得x1+x2=0，而x1+x2=2t，所以2t=0，故t=0．不等式x2−2tx+t2−1≥0即x2−1≥0，解得x≥1或x≤−1，故不等式的解集为{x|x≥1或x≤−1}．(2)因为方程x2−2tx+t2−1=0的两个实根均大于−2且小于4，所以即．解得−1<t<3．解析：本题考查了函数与方程以及一元二次不等式的解法，是一般题．(1)根据韦达定理求出t，然后根据一元二次不等式的解法得出答案．(2)根据一元二次方程根的分布建立关于t的不等式组，解不等式组即可．。
2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题(含答案解析)
2019-2020学年上海市上海外国语大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题 1．集合2{|1}A y y x ==-，2}{|1B x y x ==-，则下列关系式正确的是（ ）A ．AB = B ．A B ⊆C ．B A⊆D ．[1,)A B ⋂=+∞【答案】D【解析】先分别求得集合A 与集合B,进而即可得集合A 与集合B 的关系. 【详解】 集合2{|1}A y y x ==-,2}{|1B x y x ==-则{|0}A y y =≥,|11}{B x x x =≥≤-或 对比四个选项可知,A 、B 、C 均错误.因为{|0}|11}[1,){A B y y x x x ⋂=≥⋂≥≤-=+∞或 所以D 正确 故选:D 【点睛】本题考查了集合的交集运算,注意集合表示的元素属性和特征,属于基础题. 2．已知命题p 且q 为假命题，则可以肯定（ ） A ．p 为真命题 B ．q 为假命题C ．,p q 都是假命题D ．,p q 中至少有一个是假命题【答案】D【解析】本题考察的是复合命题．由条件可知，只有当都是真命题时“”才为真命题．所以应选D ．3．若:,1A a R a ∈<,:B x 的二次方程2(1)20x a x a +++-=的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】:,11120A a R a a a ∈<⇒-<<⇒-<，即两根之积小于零，充分性成立，反之不成立，A 是B 的充分不必要条件，故选A.4．买4个苹果和5只桃子的金额之和小于22元，而买6个苹果和3只桃子的金额之和大于24元，那么买2个苹果和买3只桃子的金额比较，其结果是（ ） A ．2个苹果贵 B ．3只桃子C ．相同D ．不能确定【答案】A【解析】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,再列出不等式进行求解即可. 【详解】设苹果的单价为a ,桃子的单价为b ,由题可得45226324a b a b +<⎧⎨+>⎩,故1215663015120a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()1206630151215a b a b -<+-+,化简得3a >.又12156612648a b a b +<⎧⎨+>⎩,由不等式性质可知()()66481215126a b a b ->+-+,化简得2b <.故362b a <<,即买2个苹果贵. 故选：A 【点睛】本题主要考查了根据讲实际中的情景利用数学语言表达,再根据不等式的性质判断分析的方法等.属于中档题.二、填空题5．用列举法表示集合：4,1M mZ m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭=_______________. 【答案】{}5,3,2,0,1,3---【解析】易得1m +为4的因数,再分别列举即可. 【详解】 由题41Z m ∈+,故1m +为4的因数,故14,2,1,1,2,4m +=---,故5,3,2,0,1,3m =---.故{}5,3,2,0,1,3M =---. 故答案为：{}5,3,2,0,1,3--- 【点睛】本题主要考查了集合的元素求解,属于基础题.6．若集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，则m 的值为 ． 【答案】1或﹣1或0【解析】试题分析：由已知中集合A={﹣1，1}，B={x|mx=1}，且A ∪B=A ，我们易得到集合A 是集合B 的子集，结合子集的定义，我们分A=∅与A≠∅两种情况讨论，即可求出满足条件的m 的值． 解：∵A ∪B=A ， ∴B ⊆A当m=0时，B=∅满足条件 当m≠∅时，B={1}，或B={﹣1} 即m=1，或m=﹣1 故m 的值为：1或﹣1或0 故答案：1或﹣1或0【考点】集合的包含关系判断及应用．7．满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=的集合M 有___________个. 【答案】4【解析】由集合{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，根据集合并集的运算，列举出所有的可能，即可得到答案. 【详解】由题意，集合满足{}{},,,,M a b a b c d ⋃=，则集合M 可能为{,},{,,},{,,},{,,,}c d a c d b c d a b c d ，共有4种可能，故答案为4个. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算及其应用，其中解答中熟记集合的并集运算，合理列举是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．设集合{(,)|46}A x y x y =+=，{(,)|327}B x y x y =+=，则满足()C A B ⊆I 的集合C 为________.【答案】(){}1,2或∅【解析】先求解A B I ,再根据集合间的关系求解即可. 【详解】因为{(,)|46}A x y x y =+=,{(,)|327}B x y x y =+=,又4613272x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩, 故{(1,2)}A B ⋂=,又()C A B ⊆I ,故(){}1,2C =或C =∅. 故答案为：(){}1,2或∅ 【点睛】本题主要考查了根据集合间的关系求解集合的问题,属于基础题.9．设全集{}22,3,3U a a =+-，集合{},3A a =，{}2U C A =，则a =___________.【解析】根据{}2U C A =与{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,再根据集合相等求解即可. 【详解】由{}2U C A =,{}22,3,3U a a =+-可知{}23,3A a a =+-,即{}{}23,3,3aa a +-=.故232,3a a a a ⎧+-=⎪⎨≠⎪⎩ .当0a ≥时,23a a a a +-=⇒=当0a <时,23a a a +-=-即()()2230130a a a a +-=⇒-+=,故3a =-.不满足2,3a ≠.故a =【点睛】本题主要考查了根据集合的基本关系求解参数的问题,需要根据题意分情况讨论,同时注意集合的互异性,属于中档题.10．命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是_____________. 【答案】不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【解析】根据逆否命题的定义直接写出即可. 【详解】命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的逆否命题是“不能被5整除的整数末位不是0且不是5”.故答案为：不能被5整除的整数末位不是0且不是5 【点睛】本题主要考查了原命题的逆否命题,属于基础题.11．有限集S 中的元素个数记作()n S ，设A 、B 是有限集合，给出下列命题： （1）A B =∅I 的充分不必要条件是()()()n A B n A n B =+U ； （2）A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤； （3）A B =的充要条件是()()n A n B = 其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)【解析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可. 【详解】(1)当A B =∅I 时,()n A B U 即为集合,A B 的元素个数之和,即为()()n A n B +. 又当()()()n A B n A n B =+U 时,,A B 中的元素个数和等于A B U 中的元素个数,故A B =∅I .故A B =∅I 是()()()n A B n A n B =+U 的充要条件.故(1)错误.(2)当A B ⊆时,A 中的元素个数小于等于B 中的元素个数,故()()n A n B ≤, 但当()()n A n B ≤时A 也可能有不属于B 的元素.故A B ⊆是()()n A n B ≤的充分不必要条件,即A B ⊆的必要不充分条件是()()n A n B ≤.故(2)正确.(3)当()()n A n B =意为,A B 中的元素个数相等,并不一定有A B =.故(3)错误. 故答案为：(1)(3) 【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.12．集合{}0,1,2,3,4,5S =，A 是S 的一个子集，当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 的4元子集中无“孤立元素”的子集个数是__________． 【答案】6个【解析】根据孤立元素的定义，并且结合集合S 可以把S 的4元子集进行一一列举，即可得到答案． 【详解】由孤立元素的定义可得：{0S =，1，2，3，4，5}中不含“孤立元素”的集合4个元素有：{0，1，2，3}，{0，1，3，4}，{0，1，4，5}}，{1，2，3，4}，{1，2，4，5}，{2，3，4，5}，所以S 中无“孤立元素”的4个元素的子集A 的个数是6个． 故答案为6个． 【点睛】本题主要考查有关集合的新定义，解决此类问题的关键是正确理解新定义“孤立元素”，并且正确理解S 的4元子集，而在列举时应当做到不重不漏． 13．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________. 【答案】()1,5-【解析】根据不等式的性质运算求解即可. 【详解】由题12a b -<<<,故12,12a b -<<-<<,0a b -<.故21a -<-<,224b -<<,则425b a -<-<,又1,0b b a >-->,故21b a ->-. 故125b a -<-<. 故答案为：()1,5- 【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解范围的问题,属于中档题.14．不等式组222230x x x a ⎧+-≥⎨<⎩的解集是空集，则正数a 的取值范围是______________. 【答案】(]0,1【解析】由题可知22x a <有解但与2230x x +-≥无交集在根据区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题因为正数a ,故22x a a a x ⇒-<<<,又()()2230130x x x x +-≥⇒-+≥,解得1x ≥或3x ≤-.由题意有a x a -<<与1x ≥或3x ≤-无交集,故113a a a ≤⎧⇒≤⎨-≥-⎩. 故正数a 的取值范围是(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题主要考查了根据集合的解求解参数范围的问题,需要根据题意分别求得不等式的取值范围,再列出区间端点满足的关系式求解即可.属于基础题. 15．关于x 的不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集为______【答案】()(),12,-∞-+∞U【解析】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞可以确定a 的正负以及,a b 的关系，从而可得02ax bx +>-的解. 【详解】不等式0ax b ->的解集为(1,)+∞，故0a >且0a b -=，故02ax bx +>-可化为()102a x x +>-即()()120x x +->， 它的解为()(),12,-∞-+∞U ，填()(),12,-∞-+∞U . 【点睛】本题考查一元一次不等式的解与对应方程之间的关系及分式不等式的解法，属于容易题.16．不等式|1||1|x x m ++-≥的解集是R ，则实数m 的取值范围是____________. 【答案】(],2-∞【解析】利用绝对值不等式分段求解的方法求得()|1||1|f x x x =++-的最小值,再利用恒成立问题求得实数m 的取值范围即可. 【详解】设()|1||1|f x x x =++-2,12,112,1x x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,故min ()2f x =.故2m ≤.故答案为：(],2-∞ 【点睛】本题主要考查了去绝对值求解绝对值函数的最值问题,属于基础题.17．已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数x 使()0f x >，则实数p 的取值范围是__________.【答案】3(3,)2-【解析】试题分析：因为二次函数()f x 在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的否定是：“函数()f x 在区间[1,1]-内任意实数x ，使()0f x ≤”，所以(1)0{(1)0f f ≤-≤，即2242(2)210{42(2)210p p p p p p ----+≤+---+≤，整理得222390{210p p p p +-≥--≥，解得32p ≥或3p ≤-，所以二次函数在区间[1,1]-内至少存在一个实数x ，使()0f x >的实数p 的取值范围是3(3,)2-.【考点】一元二次方程的根与系数的关系.【方法点晴】本题主要考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中解答中涉及到一元二次函数的图象与性质、不等式组的求解、命题的转化等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，其中根据二次函数的图象是开口方向朝上的抛物线，得到对于区间[1,1]-内的任意一个x 都有()0f x >时，得到不等式组是解答的关键，属于中档试题.18．已知01b a <<+，如果关于x 的不等式222()x b a x ->的解集中恰有3个整数解，则实数a 的取值范围是_______________. 【答案】()1,3【解析】因式分解求222()x b a x ->的解集,再根据解集中恰有3个整数解可求得区间端点满足的不等式再列式求解即可. 【详解】关于x 的不等式222()x b a x ->即()222120a x bx b -+-<, , 化简得()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∵()()110a x b a x b +--+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集中的整数恰有3个,故二次函数()()1(1)a x b a x x b f ⎡⎤⎡⎤+--+⎣⎦⎣=⎦开口向上,又因为01b a <<+所以10,1a a ->>.∴不等式的解集为11b b x a a -<<-+,因为01b a <<+所以011ba<<+,所以解集里的整数是2,1,0--三个.∴321ba -≤-<--, ∴321ba -≤-<--化简得2233ab a -<≤-,∵1b a <+, ∴221a a -<+, ∴3a < 综上有13a << 故答案为：()1,3 【点睛】本题主要考查了根据不等式的解集求解参数的有关问题,需要注意含参数的二次不等式因式分解求解的方法,同时需要根据函数零点的区间列出对应的不等式求解的方法,属于难题.三、解答题19．已知全集U ，集合A 、B 、C 的关系如图，请在图中用阴影线表示下列集合的运算结果：（1）()U U A C B B C C I U I（2）()()U U A B C C C C B U I U I 【答案】(1)(2)【解析】(1)先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集即可. (2)先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集即可. 【详解】(1) 先分析U A C B ⋂与U B C C I ,再求并集可得如图阴影部分.(2) 先判断()U A B C C U I 与U C C B I ,再求并集可得如图阴影部分.【点睛】本题主要考查了根据集合的运算与韦恩图关系的问题,需要根据题意分段分步分析,属于基础题.20．某商场将进货单价是40元的商品按销售单价50元售出时，每月能卖出500件该商品.如果这批商品在销售单价的基础上每涨1元，每月就减少销售10件，问此商品销售价为何值时每月可以获得最大利润？【答案】此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润【解析】设售价为x 元,求出销售量与利润再分析最值即可.【详解】设售价为x 元,总利润为y 元,则()()240500105010140040000y x x x x =---=-+-⎡⎤⎣⎦()210709000x =--+,故当70x =元时, y 取得最大值9000.故此商品销售价为70元时每月可以获得最大利润.【点睛】本题主要考查了建立二次函数模型解决实际问题的最优解的问题,需要根据题意建立利润y 与售价x 间的关系,再根据二次的最值求解即可.属于基础题.21．已知不等式3514x x -≤-的解集是A ，不等式1||2x m x ->的解集是B ． （1）当4m =时，求A B I ； （2）如果A B ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭；(2) 6m ≥或14m < 【解析】(1)根据分值不等式的求解方法求解集合,A B ,再求交集即可.(2) 先求解1||2x m x ->,再分m 的正负进行讨论,再利用A B ⊆列出区间端点满足的表达式求解即可.【详解】 3535211100444x x x x x x ---≤⇒-≤⇒≤---即()()214040x x x ⎧--≤⎨-≠⎩.解得142x ≤<. (1) 当4m =时, 求解1|4|2x x ->, 当4x <时有18423x x x ->⇒<. 当4x ≥时1482x x x ->⇒>.综上有83x <或8x >.此时A B =I 831|2x x ⎧<⎫≤⎨⎬⎩⎭ (2)先求解集合:B 1||2x m x ->当x m <时, 1223m x x x m ->⇒<；当x m ≥时, 122x m x x m ->⇒>. 故当0m <时,集合B R =,此时A B ⊆恒成立.当0m ≥,因为A B ⊆,且1:|42A x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭,3:2|2x m x x m B ⎧>⎭<⎫⎨⎬⎩或. 此时243m ≤或122m >,解得6m ≥或14m <,即6m ≥或104m ≤< 综上所述, 6m ≥或14m < 【点睛】本题主要考查了分式不等式与绝对值不等式的求解以及根据不等式的解集求解参数范围的问题,需要根据题意分情况讨论求解含参的不等式,再根据集合的基本关系列出区间端点满足的关系式进行求解.属于中档题.22．已知二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点，其中一个交点坐标是(),0c ，且当0x c <<时，恒有()0f x >.（1）求不等式()0f x <的解（用a 、c 表示）；（2）若不等式2210m km b ac -+++≥对所有[]1,1k ∈-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1) 1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2) 2m ≤-或0m =或2m ≥ 【解析】(1)根据二次函数2()(0,0)f x ax bx c a c =++>>的图像与x 轴有两个不同的交点可知20ax bx c ++=有两个不同的实数根,利用过(),0c 与韦达定理可求得20ax bx c ++=的两根,再根据二次函数开口方向求解即可.(2)由题()0f c =可得10ac b ++=,代入2210m km b ac -+++≥有220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,再分m 与0的大小关系分类讨论即可.【详解】(1) 2()f x ax bx c =++的图像与x 轴有两个不同的交点,且过(),0c 可设另一个根为2x ,利用韦达定理有221c cx x a a=⇒=,又0,0a c >>,且当0x c <<时,恒有()0f x >,则1c a<. ∴()0f x <的解集为1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)∵()0f c =∴20ac bc c ++=,又∵0c >,∴10ac b ++=故要使2210m km b ac -+++≥即220m km -≥,对所有[]1,1k ∈-恒成立,则 当0m >时, 2m k ≥恒成立,故 2m ≥当0m <时, 2m k ≤恒成立,故 2m ≤-当0m =时, 20200k -⋅≥对所有[]1,1k ∈-恒成立从而实数m 的取值范围为2m ≤-或0m =或2m ≥【点睛】本题主要考查了二次函数的方程的根与不等式的关系等,同时也考查了恒成立的问题,需要分类讨论进行求解,属于中档题.23．已知集合{}()1,2,3,,2A n n N *=⋅⋅⋅∈，对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠，则称S 具有性质P . （1）当10n =时，试判断集合{}9B x A x =∈>和{}31,C x A x k k N*=∈=-∈是否具有性质P ？并说明理由；（2）当1000n =时，若集合S 具有性质P . ①那么集合{}2001T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由；②求集合S 中元素个数的最大值.【答案】（1）B 不具有性质P ，C 具有性质P ，理由见解析；（2）①T 具有性质P ，理由见解析；②1333.【解析】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,.19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L ，根据性质P 的定义可知其不具有性质P ；{}31,C x A x k k N *=∈=-∈，令110m =<，利用性质P 的定义即可验证； （2）当1000n =，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①根据{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈，可得0120012000x ≤-≤，利用性质P 的定义加以验证即可说明集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有1个不超过1000，从而得到集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000，然后利用性质P 的定义进行分析即可求得20002k k k t +≤+≤，即20002k k +≤，解此不等式得1333k ≤. 【详解】（1）当10n =时，集合{}1,2,3,,19,20A =L ，{}{}910,11,12,,19,20B x A x =∈>=L 不具有性质P .因为对任意不大于10的正整数m ，都可以找到该集合中的两个元素110b =与210b m =+，使得12b b m +=成立. 集合{}31,C x A x k k N *=∈=-∈具有性质P .因为可取110m =<，对于该集合中任一元素1131c k =-，2231c k =-，1k 、2k N *∈. 都有121231c c k k -=-≠；（2）当1000n =时，则{}1,2,3,,1999,2000A =L .①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P . 首先因为{}2001T x x S =-∈，任取02001t x T =-∈，其中0x S ∈.因为S A ⊆，所以{}01,2,3,,2000x ∈L .从而0120012000x ≤-≤，即t A ∈，所以T A ⊆.由S 具有性质P ，可知存在不大于1000的正整数m ，使得对S 中的任意一对元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.对于上述正整数m ，从集合{}2001T x x S =-∈中任取一对元素112001t x =-，222001t x =-，其中1x 、2x S ∈，则有1212t t s s m -=-≠. 所以，集合{}2001T x x S =-∈具有性质P ；②设集合S 有k 个元素，由①可知，若集合S 具有性质P ，那么集合{}2001T x x S =-∈一定具有性质P .任给x S ∈，12000x ≤≤，则x 与2001x -中必有一个不超过1000.所以集合S 与T 中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1000.不妨设S 中有2k t t ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭个元素1b 、2b 、L 、t b 不超过1000. 由集合S 具有性质P ，可知存在正整数1000m ≤.使得对S 中任意两个元素1s 、2s ，都有12s s m -≠.所以一定有1b m +、2b m +、L 、t b m S +∉.又100010002000i b m +≤+=，故1b m +、2b m +、L 、t b m A +∈.即集合A 中至少有t 个元素不在子集S 中， 因此20002k k k t +≤+≤，所以20002k k +≤，得1333k ≤. 当{}1,2,,665,666,1334,,1999,2000S =L L 时，取667m =，则易知对集合S 中的任意两个元素1y 、2y ，都有12667y y -≠，即集合S 具有性质P .而此时集合S 中有1333个元素，因此，集合S 元素个数的最大值为1333.【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析，属于难题.。
上海高一数学上学期期中试卷含答案(共3套)
上海中学高一上学期期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x+=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式22(3)2(3)30x x ---<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若AB B ≠且A B ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x <<（B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7-（B ）7（C ）5-（D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式： （1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；20.设关于x 的二次方程2(1)10px p x p +-++=有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围；21.已知二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，记[2]()(())f x f f x =，例：2()1f x x =+，[2]222()(())1(1)1f x f x x =+=++；（1）2()f x x x =-，解关于x 的方程[2]()f x x =；（2）记2(1)4b ac ∆=--，若[2]()f x x =有四个不相等的实数根，求∆的取值范围；参考答案一、填空题1.{}0,2,6,102.{}1,0,1-3.若2x y +≠，则1x ≠或1y ≠；4.75.(3,0)(3,)-+∞6.1(,)3-∞- 7.(0,6)8.[6,8)- 9.16 10.25 11.3(3,)2- 12.2+二、选择题13.C 14.C 15.C 16.A三、解答题17.（1）1(,3)3（2）{}(1,0]1(2,)-+∞18.略19.（1）2()21f x x x =++；（2）1334k k <=或； 20.107p <<；21.（1）02x x ==或；（2）4∆>;上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一. 填空题1. 用∈或∉填空：0 ∅2. {|1,}A x x x R =≤∈，则R C A =3. 满足条件M {1,2}的集合M 有 个4. 不等式2(1)4x ->的解集是5. 不等式2210x mx -+≥对一切实数x 都成立，则实数m 的取值范围是6. 集合{|1}A x x =≤，{|}B x x a =≥，AB R =，则a 的取值范围是 7. 若1x >，92x x+-取到的最小值是 8. 如果0x <，01y <<，那么2y x ，y x ，1x 从小到大的顺序是 9. 一元二次不等式20x bx c ++≤的解集为[2,5]-，则bc =10. 全集为R ，已知数集A 、B 在数轴上表示如下图，那么“x B ∉”是“x A ∈”的条件11. 已知U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用交、并、补关系将右图中的阴影部分表示出来12. 若规定集合12{,,,}n M a a a =⋅⋅⋅*()n N ∈的子集12{,,,}m i i i a a a ⋅⋅⋅*()m N ∈为M 的第k 个子集，其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+，则M 的第25个子集是二. 选择题13. 集合{,,}A a b c =中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形14. 已知0a ≠，下列各不等式恒成立的是（ ） A. 12a a +> B. 12a a +≥ C. 12a a +≤- D. 1||2a a+≥ 15. 集合*1{|,}2m A x x m N ==∈，若1x A ∈，2x A ∈，则（ ） A. 12()x x A +∈ B. 12()x x A -∈ C. 12()x x A ∈ D.12x A x ∈ 16. 设,,x y a R +∈，且当21x y +=时，3a x y+的最小值为121x y +=时，3x ay + 的最小值是（ ）A. 6 C. 12D.三. 解答题 17. 已知实数a 、b ，原命题：“如果2a <，那么24a <”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性；18. 集合2{|0,}2x A x x R x +=≤∈-，{||1|2,}B x x x R =-<∈； （1）求A 、B ；（2）求()U BC A ；19. 设:127m x m α+≤≤+()m R ∈，:13x β≤≤，若α是β的必要不充分条件，求实数m 的取值范围；20. 某农户计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m 宽的通道，沿前侧保留3m 宽的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最小？并求出最小值；21. 集合{||1|4}A x x =+<，{|(1)(2)0}B x x x a =--<；（1）求A 、B ；，求实数a的取值范围；（2）若A B B上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（2016秋•浦东新区期中）用∈或∉填空：0∉∅．【考点】元素与集合关系的判断．【专题】转化思想；集合．【分析】根据元素与集合的关系进行判断【解答】解：∵0是一个元素，∅是一个集合，表示空集，里面没有任何元素．∴0∉∅故答案为：∉．【点评】本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题2．（2016秋•浦东新区期中）A={x|x≤1，x∈R}，则∁R A={x|x＞1} ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】根据集合A，以及全集R，求出A的补集即可．【解答】解：∵A={x|x≤1，x∈R}，∴∁R A={x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．3．（2016秋•浦东新区期中）满足条件M⊊{1，2}的集合M有3个．【考点】子集与真子集．【专题】综合题；综合法；集合．【分析】根据题意判断出M是集合{1，2}的真子集，写出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：由M⊊{1，2}得，M是集合{1，2}的真子集，所以M可以是∅，{1}，{2}，共3个，故答案为：3．【点评】本题考查子集与真子集的定义，写子集时注意按一定的顺序，做到不重不漏，属于基础题．4．（2016秋•浦东新区期中）不等式（x﹣1）2＞4的解集是{x|x＜﹣1或x＞3} ．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据平方数的定义，把不等式化为x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，求出解集即可．【解答】解：不等式（x﹣1）2＞4可化为：x﹣1＜﹣2或x﹣1＞2，解得x＜﹣1或x＞3，所以该不等式的解集是{x|x＜﹣1或x＞3}．故答案为：{x|x＜﹣1或x＞3}．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．5．（2016秋•浦东新区期中）不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，△≤0，列出不等式求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣2mx+1≥0对一切实数x都成立，则△≤0，即4m2﹣4≤0，解得﹣1≤m≤1；所以实数m的取值范围是﹣1≤m≤1．故答案为：﹣1≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题目．6．（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是a≤1．【考点】并集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数问题，属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，本题解题的关键是借助于数轴完成题目．7．（2016秋•浦东新区期中）若x＞1，x+﹣2取到的最小值是4．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由x＞1，运用基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件．【解答】解：由x＞1，可得x+﹣2≥2﹣2=4．当且仅当x=，即x=3时，取得最小值4．故答案为：4．【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意一正二定三等的条件，考查运算能力，属于基础题．8．（2016秋•浦东新区期中）如果x＜0，0＜y＜1，那么，，从小到大的顺序是＜＜．【考点】不等式的基本性质．【专题】转化思想；不等式的解法及应用．【分析】由0＜y＜1，可得0＜y2＜y＜1，由x＜0，即可得出大小关系．【解答】解：∵0＜y＜1，∴0＜y2＜y＜1，∵x＜0，∴＜＜．故答案为：＜＜．【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2016秋•浦东新区期中）一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，则bc=30．【考点】一元二次不等式的解法．【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用．【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出b、c的值．【解答】解：一元二次不等式x2+bx+c≤0的解集为[﹣2，5]，所以对应一元二次方程x2+bx+c=0的实数根为﹣2和5，由根与系数的关系得，解得b=﹣3，c=﹣10；所以bc=30．故答案为：30．【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系以及根与系数的关系的应用问题，是基础题目．10．（2016秋•浦东新区期中）全集为R，已知数集A、B在数轴上表示如图所示，那么“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据数轴结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由数轴得A={x|x≥1或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x≤1}，则∁R B={x|x＞1或x＜﹣2}，则∁R B⊊A，即“x∉B”是“x∈A”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据数轴关系求出对应的集合，根据集合关系进行判断是解决本题的关键．11．（2016秋•浦东新区期中）已知U是全集，A、B是U的两个子集，用交、并、补关系将图中的阴影部分表示出来B∩（∁U A）【考点】V enn图表达集合的关系及运算．【专题】对应思想；待定系数法；集合．【分析】根据Venn图和集合之间的关系进行判断．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分的元素为属于B当不属于A的元素构成，所以用集合表示为B∩（∁U A）．故答案为：B∩（∁U A）．【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系和运算，比较基础．12．（2016秋•浦东新区期中）若规定集合M={a1，a2，…，a n}（n∈N*）的子集{a，a，…a}（m ∈N*）为M的第k个子集，其中k=2+2+…+2，则M的第25个子集是{a1，a4，a5} ．【考点】子集与真子集．【专题】新定义；综合法；集合．【分析】根据定义将25表示成2n和的形式，由新定义求出M的第25个子集．【解答】解：由题意得，M的第k个子集，且k=2+2+ (2)又25=20+23+24=21﹣1+24﹣1+25﹣1，所以M的第25个子集是{a1，a4，a5}，故答案为：{a1，a4，a5}．【点评】本小题主要考查子集与真子集、新定义的应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于基础题．二、选做题13．（2014•万州区校级模拟）若集合M={a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【考点】集合的确定性、互异性、无序性．【分析】根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．【解答】解：根据集合元素的互异性，在集合M={a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，故△ABC一定不是等腰三角形；选D．【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．14．（2016秋•浦东新区期中）已知a≠0，下列各不等式恒成立的是（）A．a+＞2 B．a+≥2 C．a+≤﹣2 D．|a+|≥2【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】可取a＜0，否定A，B；a＞0，否定C；运用|a+|=|a|+，由基本不等式即可得到结论．【解答】解：取a＜0，则选项A，B均不恒成立；取a＞0，则选项C不恒成立；对于D，|a+|=|a|+≥2=2，当且仅当|a|=1时，等号成立．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用反例法和基本不等式，属于基础题．15．（2016秋•浦东新区期中）设集合A={x|x=，m∈N*}，若x1∈A，x2∈A，则（）A．（x1+x2）∈A B．（x1﹣x2）∈A C．（x1x2）∈A D．∈A【考点】元素与集合关系的判断．【专题】集合．【分析】利用元素与集合的关系的进行判定【解答】解：设x1=，x2=，x1x2=•=，p、q∈N，x1x2∈A，故选：B【点评】本题主要考查元素与集合的关系的判定，属于基础题．16．（2016秋•浦东新区期中）设x，y，a∈R*，且当x+2y=1时，+的最小值为6，则当+=1时，3x+ay的最小值是（）A．6 B．6 C．12 D．12【考点】基本不等式．【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．【分析】由题设条件，可在+上乘以x+2y构造出积为定值的形式，由基本不等式求得+的最小值为3+2a+2，从而得到3+2a+2=6，同理可得当+=1时，3x+ay 的最小值是3+2a+2，即可求得3x+ay 的最小值是6．【解答】解：由题意x，y，a∈R+，且当x+2y=1 时，+的最小值为6，由于+=（+）（x+2y）=3+2a++≥3+2a+2，等号当=时取到．故有3+2a+2=6，∴3x+ay=（3x+ay ）（+）=3+2a++≥3+2a+2=6，等号当=时取到．故选A．【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，及构造出积为定值的技巧，解题的关键是由题设条件构造出积为定值的技巧，从而得出3+2a+2=6，本题中有一疑点，即两次利用基本不等式时，等号成立的条件可能不一样，此点不影响利用3+2a+2求出3x+ay 的最小值是6，这是因为3+2a+2是一个常数，本题是一个中档题目．三、解答题17．（14分）（2016秋•浦东新区期中）已知实数a、b，原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题；并分别判断四个命题的真假性．【考点】四种命题．【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据四种命题的形式与之间的关系，分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题；并判断这四个命题的真假性即可．【解答】解：原命题：“如果a＜2，那么a2＜4”，是假命题；逆命题：“如果a2＜4，那么a＜2”，是真命题；否命题：“如果a≥2，那么a2≥4”，是真命题；逆否命题：“如果a2≥4，那么a≥2”，是假命题．【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假性的判断问题，是基础题目．18．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x|≤0，x∈R}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}．（1）求A、B；（2）求B∩（∁U A）．【考点】交、并、补集的混合运算；集合的表示法．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】化简集合A、B，根据补集与交集的定义计算即可．【解答】解：（1）A={x|≤0，x∈R}={x|（x+2）（x﹣2）≤0，且x﹣2≠0}={x|﹣2≤x＜2}，B={x||x﹣1|＜2，x∈R}={x|﹣2＜x﹣1＜2}={x|﹣1＜x＜3}；（2）∁U A={x|x＜﹣2或x≥2}，∴B∩（∁U A）={x|2≤x＜3}．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．19．（14分）（2016秋•浦东新区期中）设α：m+1≤x≤2m+7（m∈R），β：1≤x≤3，若α是β的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：设α对应的集合为A，β对应的集合为B，若α是β的必要不充分条件，则B⊊A，则，即，得﹣2≤m≤0．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．20．（14分）（2016秋•浦东新区期中）某农户计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室外，沿左、右两侧与后侧各保留1m宽的通道，沿前侧保留3m的空地（如图所示），当矩形温室的长和宽分别为多少时，总占地面积最大？并求出最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设出矩形的长为a与宽b，建立蔬菜面积关于矩形边长的函数关系式S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b ﹣2a+8=800﹣2（a+2b）．利用基本不等式变形求解．【解答】解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．=648（m2）．所以S≤808﹣4=648（m2），当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【点评】本题考查函数的模型的选择与应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．21．（14分）（2016秋•浦东新区期中）集合A={x||x+1|＜4}，B={x|（x﹣1）（x﹣2a）＜0}．（1）求A、B；（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；分类讨论；集合．【分析】（1）通过解绝对值不等式得到集合A，对于集合B，需要对a的取值进行分类讨论：（2）A∩B=B，则B是A的子集，据此求实数a的取值范围．【解答】解：（1）A={x||x+1|＜4}={x|﹣5＜x＜3}，当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．当a=0.5时，B=∅．当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．（2）由（1）知，A={x|﹣5＜x＜3}，∵A∩B=B，∴B⊆A，①当a＞0.5时，B={x|1＜x＜2a}．此时，，则＜a≤1.5；②当a=0.5时，B=∅．满足题意；③当a＜0.5时，B={x|2a＜x＜1}．此时，则﹣2.5≤a＜0.5．综上所述，实数a的取值范围是[﹣2.5，1.5]．【点评】本题考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，绝对值不等式，一元二次不等式的解法，求出A和B，是解题的关键．上海市黄浦区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是．3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．不等式≤0的解集是．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A B（横线上填入⊆，⊇或=）9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=．10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为．11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）=．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1．若集合{1，2，3}={a，b，c}，则a+b+c=6．【考点】集合的相等．【分析】利用集合相等的定义求解．【解答】解：∵{1，2，3}={a，b，c}，∴a+b+c=1+2+3=6．故答案为：6．2．若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是真命题．【考点】命题的真假判断与应用；四种命题．【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案．【解答】解：若原命题的否命题是“若x∉N，则x∉Z”，则原命题的逆否命题是“若x∉Z，则x∉N”，是真命题故答案为：真命题3．已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）•g（x）=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）•g（x）的解析式即可．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴f（x）•g（x）=•=﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3），故答案为：﹣，x∈（﹣3，﹣2]∪[2，3）．4．不等式≤0的解集是{x|x≤或x＞4} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式等价于，解不等式组可得．【解答】解：不等式≤0等价于，解得x≤或x＞4，∴不等式≤0的解集为：{x|x≤或x＞4}故答案为：{x|x≤或x＞4}．5．若a2≤1，则关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣} ．【考点】其他不等式的解法．【分析】确定1≤a+2≤3，即可解关于x的不等式ax+4＞1﹣2x．【解答】解：∵a2≤1，∴﹣1≤a≤1，∴1≤a+2≤3，∴不等式ax+4＞1﹣2x化为（a+2）x＞﹣3，∴x＞﹣，∴关于x的不等式ax+4＞1﹣2x的解集是{x|x＞﹣}．故答案为{x|x＞﹣}．6．已知集合A，B满足，集合A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+∞）．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：A={x|x＜a}，B={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4}，若已知“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即[0，4]⊆（﹣∞，a），故a＞4，故答案为：（4，+∞）．7．已知函数f（x）满足：f（x﹣1）=2x2﹣x，则函数f（x）=2x2+3x+1．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】令x﹣1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x﹣1），整理替换即可．【解答】解：令x﹣1=t，则x=t+1，故f（x﹣1）=f（t）=2（t+1）2﹣（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+1．8．已知集合A，B满足，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，则A，B两个集合的关系：A⊆B（横线上填入⊆，⊇或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论．【解答】解：根据题意，集合A={x|x=7k+3，k∈N}，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B={x|x=7k﹣4，k∈Z}，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故A⊆B；故答案为：⊆．9．已知集合A，B满足，集合A={x|x+y2=1，y∈R}，B={y|y=x2﹣1，x∈R}，则A∩B=[﹣1，1] ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可．【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（﹣∞，1]，由集合B中的函数y=x2﹣1≥﹣1，集合A=[﹣1，+∞），则A∩B=[﹣1，1]故答案为：[﹣1，1]10．若函数y=f（x）的定义域是[﹣2，2]，则函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为[﹣1，1] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∴解得﹣1≤x≤1；函数y=f（x+1）+f（x﹣1）的定义域为：[﹣1，1]；故答案为：[﹣1，1]11．已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4．【考点】基本不等式．【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，=1，∴1≥2，∴≤，ab≥8，当且仅当b=2a时“=”成立，=ab≥4，故S△故答案为：4．12．定义集合运算“*”：A×B={（x，y）|x∈A，y∈B}，称为A，B两个集合的“卡氏积”．若A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}，b={1，2，3}，则（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）} ．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据新概念的定义，写出a×b与b×a，再根据交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣2|x|≤0，x∈N}={x|0≤|x|≤2x∈N}={0，1，2}，b={1，2，3}，所以a×b={（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）}，b×a={（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）}；所以（a×b）∩（b×a）={（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．故答案为：{（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）}．二、选择题：（每小题4分，满分16分）13．下列写法正确的是（）A．∅∈{0}B．∅⊆{0}C．0⊊∅D．∅∉∁R∅【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关系的判断；由∅是任何集合的子集，知∅⊆{0}．【解答】解：元素与集合间的关系是用“∈”，“∉”表示，故选项A、D不正确；∵∅是不含任何元素的∴选项C不正确∵∅是任何集合的子集故选：B．14．已知函数y=f（x），则集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}的子集可能有（）A．0个B．1个C．1个或2个D．0个或1个【考点】子集与真子集．【分析】当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求．【解答】解：当2∈[a，b]时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素只有一个，当2∉[a，b]时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合{（x，y）|y=f（x），a≤x≤b}∩{（x，y）|x=2}中含有元素的个数为0个或1个故选：D．15．以下结论正确的是（）A．若a＜b且c＜d，则ac＜bdB．若ac2＞bc2，则a＞bC．若a＞b，c＜d，则a﹣c＜b﹣dD．若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A⊇B【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论．【解答】解：若a=﹣1，b=0，c=﹣1，d=0，则a＜b且c＜d，但ac＞bd，故A错误；若ac2＞bc2，则c2＞0，则a＞b，故B正确；若a＞b，c＜d，则a﹣c＞b﹣d，故C错误；若0＜a＜b，集合A={x|x=}，B={x|x=}，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B．16．有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：①A∩B=∅的充要条件是card（A∪B）=card（A）+card（B）②A⊆B的必要不充分条件是card（A）≤card（B）+1③A⊈B的充分不必要条件是card（A）≤card（B）﹣1④A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）A．①②③ B．①②C．②③D．①④【考点】集合中元素个数的最值．【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查．集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同．【解答】解：①A∩B=∅Û集合A与集合B没有公共元素，正确；②A⊆B集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；③A⊈B集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；④A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误．故选B．三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分．17．已知集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}（1）已知a=3，求集合（∁R A）∩B；（2）若A⊈B，求实数a的范围．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）A⊈B时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围．【解答】解：集合A={x|a+1≤x≤2a+3}，B={x|﹣x2+7x﹣10≥0}={x|x2﹣7x+10≤0}={x|2≤x≤5}；（1）当a=3时，A={x|4≤x≤9}，∴∁R A={x|x＜4或x＞9}，集合（∁R A）∩B={x|2≤x＜4}；（2）当A⊈B时，a+1＜2或2a+3＞5，解得a＜1或a＞1，所以实数a的取值范围是a≠1．18．对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a＞0，且x1＜1＜x2，求a的取值范围；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，∴f（1）=a+2﹣2a＜0，解得a＞2，∴a的取值范围是a＞2；（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣，∴﹣2﹣（）+1＞0，解得0＜a＜2；又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，解得a∈R；综上，实数a的取值范围是0＜a＜2．19．某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km．（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y==+，因为y=+≥2=10，当且仅当，即v=80时取“=”．故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区．20．某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x3﹣3x，x∈[0，+∞）的最小值．解：利用基本不等式a+b+c≥3，得到x3+1+1≥3x，于是x3﹣3x=x3+1+1﹣3x﹣2≥3x﹣3x﹣2=﹣2，当且仅当x=1时，取到最小值﹣2（1）老师请你模仿例题，研究x4﹣4x，x∈[0，+∞）上的最小值；（提示：a+b+c+d≥4）（2）研究x3﹣3x，x∈[0，+∞）上的最小值；（3）求出当a＞0时，x3﹣ax，x∈[0，+∞）的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据新定义可得x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3，解得即可，（2）根据新定义可得x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6，解得即可，（3）根据新定义可得x3﹣ax=x3++﹣ax﹣，解得即可．【解答】解：（1）x4﹣4x=x4+1+1+1﹣4x﹣3≥4x﹣4x﹣3=﹣3，当且仅当x=1时，取到最小值﹣3，（2）x3﹣3x=x3+3+3﹣3x﹣6≥3x﹣3x﹣6=﹣6，当且仅当x=3时，取到最小值﹣6，（3）x3﹣ax=x3++﹣ax﹣≥ax﹣ax﹣=﹣，当且仅当x=时，取到最小值﹣。
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共21.0分）1.已知集合A={x|x2−2x−3<0,x∈Z}，B={−1,0}，则A∪B=()A. {−1,0，1，2，3}B. {−1,0，1，2}C. {0,1，2}D. {0}2.已知函数f(x)=sin x−lg |x|，则函数f(x)的零点个数为()A. 3B. 5C. 6D. 73.集合A={x|−4≤x≤4}，B={x|−5≤x≤a}，则“A⊆B”是“a>4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.对任意实数a，b，c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<4”是“a<3”的必要条件；其中真命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共14小题，共60.0分）6.函数f(x)=√8−12x的定义域为______ ．7.已知集合M={x|√x+1≥0}，集合N={x|x2+x−2<0}，则M∩N=______ ．8.不等式1<|x+1|<3的解集为______．9.若集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，则A∪B=______ ．10.已知全集U=R，集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≥0}，则A∩B=______ ，A∪(∁U B)=______ ．11.若函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=x2+x，则f(−3)的值为__________．12.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0]上为单调增函数．若f(−1)=−2，则满足f(2x−3)≤2的x的取值范围是________．13.函数f(x)=1x(x≠0)，若f(a)>a，则实数a的取值范围是______．14.设集合M={−1,1}，N={x|x2−x<6}，则M与N的关系是______．15.不等式x2+2x−3−x2+x+6≥0的解集为__________．16.若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}，则不等式cx2−bx+a>0的解集为______．17.已知正实数a，b满足a+3b=7，则11+a +42+b的最小值为________．18.已知正数x,y满足1x +1y=1，则4xx−1+9yy−1的最小值为_____．19.已知集合{1,b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则100a+10b+c=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）20.已知集合A={x|2<x<8}，集合B={x|a<x<2a−2}，若满足B⊆A，求实数a的取值范围．21.已知f(x)=2x，g(x)是一次函数，并且点(2,2)在函数f[g(x)]的图象上，点(2,5)在函数g[f(x)]的图象上，求g(x)的解析式．22.不等式选讲已知函数f(x)=|2x+a|−a(1)当a=2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)=|2x−1|，当x∈R时，f(x)+g(x)≥3，求a的取值范围．23.已知定义在R上的函数f(x)=x2−(3−a)x+2(1−a)(其中a∈R)．(1)解关于x的不等式f(x)>0；(2)若不等式f(x)≥x−3对任意x>2恒成立，求a的取值范围．24.已知f(x)=log2(2x+a)的定义域为(0,+∞)．(1)求a的值；(2)若g(x)=log2(2x+1)，且关于x的方程f(x)=m+g(x)在[1,2]上有解，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查并集的求法，属于基础题．解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．【解答】解：∵集合A={x|x2−2x−3<0,x∈Z}={0,1，2}，B={−1,0}∴A∪B={−1,0，1，2}．故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查函数的零点，根据题意画出函数y=lg|x|与y=sinx的图象，进而即可得到结果．【解答】解：函数f(x)=sinx−lg|x|的零点的个数，即函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数，如图所示：显然函数y=lg|x|的图象和函数y=sinx的图象的交点个数为6．故选C．3.答案：B解析：解：集合A={x|−4≤x≤4}，B={x|(x+5)(x−a)≤0}，由A⊆B，可得B≠⌀，即有a≥4，a≥4推不出a>4，反之a>4能推出a≥4．则“A⊆B”是“a>4”的必要不充分条件，故选：B．由A⊆B，可得a的不等式组，解不等式可得a的范围，再由充分必要条件的定义，即可得到结论．本题考考查充分必要条件的判断，考查运算能力，属于中档题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可【解答】解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：B解析：解：①由“a =b “可得ac =bc ，但当ac =bc 时，不能得到a =b ，故“a =b ”是“ac =bc ”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当a +5是无理数时，a 必为无理数，反之也成立，故②正确； ③取a =1，b =−2，此时a 2<b 2，故③错误；④当a <4时，不能推出a <3；当a <3时，有a <4成立，故“a <4”是“a <3”的必要不充分条件，故④正确．综上可得正确的命题有2个．故选：B ．逐项判断即可．①由ac =bc 不能推出a =b ；②由5是有理数易判断；③根据不等式的性质可得；④根据充分必要条件的定义易得．本题考查充分必要条件的判断，掌握充分必要条件的定义是关键．属于基础题．6.答案：(−∞,23)解析：解：要使函数有意义，须满足8−12x >0，解得x <23，故函数f(x)的定义域为(−∞,23)，故答案为：(−∞,23).要使函数有意义只要满足8−12x >0即可．本题考查函数的定义域及其求法，属基础题． 7.答案：[−1,1)解析：解：由M 中√x +1≥0，得到x +1≥0，即x ≥−1，∴M =[−1,+∞)，由N 中不等式变形得：(x −1)(x +2)<0，解得：−2<x <1，即N =(−2,1)，则M ∩N =[−1,1)；故答案为：[−1,1)求出M 中x 的范围确定出M ，求出N 中不等式的解集确定出N ，找出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．8.答案：(−4,−2)∪(0,2)解析：解：∵1<|x +1|<3，∴{−3<x +1<3x +1>1或x +1<−1， 解得：−4<x <−2或0<x <2，故答案为：(−4,−2)∪(0,2)．去掉绝对值号得到关于x的不等式组，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．9.答案：{3,4，5，6，7，8}解析：解：∵集合A={4,5，6，8}，B={3,5，7，8}，∴A∪B={3,4，5，6，7，8}．故答案为：{3,4，5，6，7，8}．利用并集的性质求解．本题考查并集的求法，解题时要认真审题，是基础题．10.答案：[−1,0]；[−1.2)解析：解：∵集U=R，集合A={x|−1≤x≤1}=[−1,1]，B={x|x2−2x≥0}=(−∞,0]∪[2,+∞)∴∁U B=(0,2)，∴A∩B=[−1,0]，A∪(∁U B)=[−1.2)故答案为：[−1,0]，)，[−1.2)求出集合B中不等式的解集，求出A与B的交集，再求出集合B的补集，即可求出所求．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．11.答案：−12解析：函数f(x)为奇函数，∴f(−3)=−f(3)=−(32+3)=−12．12.答案：(−∞,2]解析：【分析】本题考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题．根据函数的单调性和奇偶性得到x的不等式，再求解即可．【解答】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在(−∞,0]上为单调增函数，所以f(x)在R上为单调增函数．又因为f(−1)=−2，所以f(1)=2，故f(2x−3)≤2=f(1)，即2x−3≤1，解得x≤2．故答案为(−∞,2]．13.答案：{a|a<−1，或0<a<1}解析：解：f(a)=1a；∴由f(a)>a得，1a>a；解得0<a<1，或a<−1；∴实数a的取值范围是{a|a<−1，或0<a<1}．故答案为：{a|a<−1，或0<a<1}．可得出f(a)=1a ，从而由f(a)>a得出1a>a，从而解该分式不等式即可求出a的范围．考查已知函数求值的方法，分式不等式的解法．14.答案：M⫋N解析：【分析】本题考查集合的关系，首先解不等式化简集合N，再判断关系，属基础题．【解答】解：集合M={−1,1}，N={x|x2−x<6}=(−2,3)，故M⫋N．故答案为M⫋N．15.答案：[−3,−2)∪[1,3)解析：原不等式等价变形为(x+3)(x−1)(x−3)(x+2)≤0，利用穿根法如图：得到不等式的解集为[−3,−2)∪[1,3)．16.答案：{x|−12<x<−13}解析：【解答】解：∵不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，∴2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根．并且a<0，∴2+3=−ba ，2×3=ca．∴不等式cx2−bx+a>0化为ca x2−bax+1<0，∴6x2+5x+1<0，化为(2x+1)(3x+1)<0，∴−12<x<−13．∴不等式cx2−bx+a>0的解集为{x|−12<x<−13}，故答案为：{x|−12<x<−13}【分析】由于不等式ax2+bx+c>0的解集为(2,3)，可得：2，3是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，利用根与系数的关系可把不等式cx2−bx+a>0化为二次不等式即可解出．本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．17.答案：13+4√314解析：【分析】本题考查基本不等式的应用，以及1的应用，难度适中．【解答】解：正实数a，b，即a>0，b>0，∵a+3b=7，∴a+1+3(b+2)=14，则a+114+3(b+2)14=1，那么(1a+1+42+b)[a+114+3(b+2)14]=114+1214+[4(a+1)14(2+b)+3(b+2)14(a+1)]≥1314+2√4(a+1)14(2+b)·3(b+2)14(a+1)=1314+2×√1214=13+4√314，当且仅当2(a+1)=√3(b+2)时，取等号．∴11+a +42+b的最小值为13+4√314．故答案为13+4√314．18.答案：25解析：【分析】本题考查基本不等式求最值，消元并变形为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属中档题．由已知条件可得y =x x−1且x −1>0，代入变形可得4x x−1+9y y−1=13+4x−1+9(x −1)，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数x ，y 满足1x +1y =1，∴y =x x−1>0，∴x −1>0，∴4x x −1+9y y −1=4x x −1+9x x −1x x −1−1=4x x −1+9x =4(x −1)+4x −1+9(x −1)+9 =13+4x −1+9(x −1) ≥13+2√4x−1⋅9(x −1)=25，当且仅当4x−1=9(x −1)即x =53时取等号，∴4x x−1+9y y−1的最小值为：25．故答案为25． 19.答案：323解析：解：若①a ≠3正确，则②b =3错误，由{1,b ，c}={1，2，3}，得：b =2，c =3，故此时③c ≠1正确，不满足条件；若②b =3正确；由{1,b ，c}={1，2，3}，得：c =2，故此时③c ≠1正确，不满足条件； 若③c ≠1正确，则：①a ≠3，②b =3错误，则a =3，由{1,b ，c}={1，2，3}，得：b =2，c =3，满足条件，此时100a +10b +c =323，故答案为：323．根据集合相等的条件，列出a 、b 、c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a 、b 、c 的值后代入式子求值．本题考查了集合相等的条件的应用，以及分类讨论思想，注意列举时按一定的顺序列举，做到不重不漏．20.答案：解：∵集合A ={x|2<x <8}，集合B ={x|a <x <2a −2}，B ⊆A ，∴B =⌀时，a ≥2a −2，∴a ≤2；B ≠⌀时，{a ≥2a <2a −22a −2≤8....6 ∴2<a ≤5. (10)综上述得a 的取值范围为{a|a ≤5} (12)解析：要分B 等于空集和不等于空集两种情况．再根据B ⊆A 求出a 的取值范围．本题考查子集的定义，考查分类讨论的数学思想，注意B =⌀的情况．21.答案：g(x)=2x −3．解析：设g(x)=ax +b(a ≠0)，则f[g(x)]=2ax+b ，g[f(x)]=a ⋅2x +b ，∴根据已知条件有{22a+b =24a +b =5，解得{a =2b =−3.∴g(x)=2x −3． 22.答案：解：(1)当a =2时，f(x)=|2x +2|−2，解不等式|2x +2|−2≤6得−5≤x ≤3，因此不等式f(x)≤6的解集为{x|−5≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f(x)+g(x)=|2x +a|−a +|2x −1|≥|2x +a +1−2x|−a =|a +1|−a ， 当x =12时等号成立，所以当x ∈R 时，f(x)+g(x)≥3等价于|a +1|−a ≥3，当a ≤−1时，a ≤−2，当a >−1时，无解，所以a ∈(−∞,−2]．解析：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(1)当a =2时，解不等式|2x +2|−2≤6得−5≤x ≤3，即可求不等式f(x)≤6的解集；(2)当x ∈R 时，f(x)+g(x)=|2x +a|−a +|2x −1|≥|2x +a +1−2x|−a =|a +1|−a ，当x =12时等号成立，所以当x ∈R 时f(x)+g(x)≥3等价于|a +1|−a ≥3，即可求a 的取值范围．23.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=(x −2)[x −(1−a)]，∴f(x)>0⇔(x −2)[x −(1−a)]>0，当a <−1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(1−a,+∞)；当a =−1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2,+∞)；当a >−1时，不等式的解集为(−∞,1−a)∪(2,+∞)．(Ⅱ)不等式f(x)≥x −3，即a ≥−x 2−4x+5x−2恒成立， 又当x >2时，−x 2−4x+5x−2=−(x −2+1x−2)≤−2(当且仅当x =3时取“=”号)，∴a ≥−2．解析：本题考查利用分类讨论思想解不等式，及利用基本不等式求函数的最值，属于一般题．(1)比较函数两零点的大小，利用分类讨论思想解不等式问题即可；(2)利用基本不等式求出函数的最大值，从而求出a 的范围．24.答案：解：(1)由2x +a >0得2x >−a ，即x >log 2(−a)，即函数的定义域为(log 2(−a),+∞)． ∵函数的定义域为(0,+∞)，∴log 2(−a)=0，则−a =1，则a =−1．(2)当a =−1时，f(x)=log 2(2x −1)，由f(x)=m +g(x)得m =f(x)−g(x)=log 2(2x −1)−log 2(2x +1)=log 2(2x −12+1)=log 2(1−22+1)，令ℎ(x)=log 2(1−22x +1)，则ℎ(x)在[1,2]上为增函数，当x =1时，ℎ(x)取得最小值ℎ(1)=log 213，当x =2时，ℎ(x)取得最大值ℎ(2)=log 235，则ℎ(x)∈[log 213,log 235]，则要使方程f(x)=m +g(x)在[1,2]上有解，则m ∈[log 213,log 235].解析：(1)求出函数的定义域，根据条件建立方程进行求解即可，(2)利用参数分离法进行分类，然后利用复合函数的单调性之间的关系，构造函数求出函数的值域即可得到结论．本题主要考查对数函数的图象和性质，根据函数的定义域求出a 的值，以及利用复合函数单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．。
2020-2021学年上海市交通大附属中学高一上学期期中考试数学试卷(含详解)
上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.3.已知幂函数()()22322n nf x n n x-=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.5.函数y =的定义域是______.6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.11.已知函数)()lg f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100x v x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.上海交通大学附属中学2020-2021学年第一学期高一数学期中考试试卷一､填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分)1.已知全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =则A B ⋂=______.【答案】{}1【解析】【分析】通过全集，计算出{}0,1,4B =，根据交集的定义即可．【详解】因为{}0,1,2,3,4U =，{}2,3B =，所以{}0,1,4B =所以{}1A B ⋂=．故答案为：{}1．2.函数20202022(0,1)x y aa a +=+>≠的图像恒过定点______.【答案】()2020,2023-【解析】【分析】根据01(0,1)a a a =>≠，结合条件，即可求得答案.【详解】 01(0,1)a a a =>≠，令20200x +=，得2020x =-，020222023y a =+=，∴函数20202022(0,1)x y a a a +=+>≠的图象恒过定点()2020,2023-，故答案为：()2020,2023-.3.已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+-（n Z ∈）的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，则n 的值为______.【答案】1【解析】【分析】根据函数是幂函数得2221+-=n n ，求得3n =-或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为()()22322n n f x n n x -=+-是幂函数，2221n n ∴+-=，解得3n =-或1，当3n =-时，()18=f x x 是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递增，不符合题意，当1n =时，()2f x x -=是偶函数，关于y 轴对称，在()0,∞+单调递减，符合题意，1n ∴=.故答案为：1.4.函数132xy x-=+的图象中心是______.【答案】()2,3--【解析】【分析】将函数化成ky b x a=++，根据的对称中心为(,)a b -，即可得出答案.【详解】1373(2)73222x x y x x x --+===-+++，因为函数72y x =+的图象的对称中心是()2,0-，所以函数732y x =-+的图象的对称中心是()2,3--.故答案为：()2,3--.【点睛】对称性的3个常用结论：（1）若函数()y f x a =+是偶函数，即()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称；（2）若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或(2)()f a x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线x a =对称；（3）若函数()y f x b =+是奇函数，即((0))f x b f x b +++-=，则函数()y f x =关于点(,0)b 中心对称.5.函数y =的定义域是______.【答案】(7,)+∞【解析】【分析】根据被开方数非负且分母不为零可得132log 05x ⎛⎫>⎪-⎝⎭，解对数不等式即可求得定义域.【详解】1322log 00155x x ⎛⎫>⇒<<⎪--⎝⎭，()()271075055x x x x x -<⇒>⇒-->--且5x ≠，解得5x <或7x >，2055x x <⇒>-，∴函数y =(7,)+∞.故答案为：(7,)+∞6.已知实数a 满足()()3322211a a --->+，则实数a 的取值范围是_________.【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据幂函数的定义域和单调性得到关于a 的不等式，解之可得实数a 的取值范围.【详解】由题意知，3322(21)(1)a a --->+，>由于幂函数32y x =的定义域为[0,)+∞，且在[0,)+∞上单调递增，则2101121110a a a a ->⎧⎪⎪>⎨-+⎪+>⎪⎩，即：()()12202111a a a a a ⎧>⎪⎪-⎪>⎨-+⎪⎪>-⎪⎩，所以1221a a a ⎧>⎪⎪<⎨⎪>-⎪⎩，所以实数a 的取值范围是：122a <<．故填：1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域和单调性，属于基础题．7.已知6x <，求2446x x x ++-的最大值______.【答案】0【解析】【分析】原式化为64(6)166x x -++-，结合基本不等式即可求解最大值．【详解】6x < ，所以60x ->，2244(6)16(6)6464(6)16666x x x x x x x x ++-+-+==-++---因为64(6)6x x -+-64[(6)]166x x =--+-=--，当且仅当2x =-时，取等号；∴2244(6)16(6)6464(6)160666x x x x x x x x ++-+-+==-++---．即2446x x x ++-的最大值为0．故答案为：0．【点睛】方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.8.设log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，则log b ac =______.【答案】3737±【解析】【分析】根据题意由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，进而得()2log log 37c c a b -=，再结合换底公式得137log 37log b acc b a==±【详解】解：因为log c a ､log c b 是方程2530x x +-=的两个实根，所以由韦达定理得log log 5c c a b +=-，log log 3c c a b ⋅=-，所以()()22log log log log 4log log 37c c c c c c a b a b a b -=+-⋅=，所以log log c c b a -=所以1137log log log 37log b c c acc b b a a===±-.故答案为：3737±【点睛】本题解题的关键在于根据韦达定理与换底公式进行计算，其中()()22log log log log 4log log c c c c c c a b a b a b -=+-⋅，1log log b acc b a=两个公式的转化是核心，考查运算求解能力，是中档题.9.著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是_______．【答案】存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【解析】【分析】从命题的否定入手可解.【详解】反证法先否定命题，故答案为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.【点睛】本题主要考查反证法的步骤，利用反证法证明命题时，先是否定命题，结合已知条件及定理得出矛盾，从而肯定命题.10.若关于x 的方程222210()x xa a a R +⋅++=∈有实根，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,4-∞-【解析】【分析】利用换元法，设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，分离参数，求最值.【详解】设20x t t =>，，转化为方程2210t at a +++=，有正根，即221(2)4(2)55[(2)]4222t t t a t t t t ++-++=-=-=-++++++，022t t >∴+> ，，则5[(2)4442t t -+++≤-+=-+当且仅当5(2)2t t +=+，即2t =时取等，(,4a ∴∈-∞-故答案为：(,4-∞-11.已知函数)()lgf x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．【答案】[1,1]-【解析】【分析】根据对数函数的真数大于0，得出+ax ＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时a 的取值范围．【详解】解：函数f （x ）＝lg （+ax ）的定义域为R ，+ax ＞0恒成立，-ax 恒成立，设y =，x ∈R ，y 2﹣x 2＝1，y ≥1；它表示焦点在y 轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y ＝±x ；令y ＝﹣ax ，x ∈R ；它表示过原点的直线；由题意知，直线y ＝﹣ax 的图象应在y =的下方，画出图形如图所示；∴0≤﹣a ≤1或﹣1≤﹣a <0，解得﹣1≤a ≤1；∴实数a 的取值范围是[﹣1，1]．故答案为[﹣1，1]．【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．12.若实数、满足114422x y x y +++=+，则22x y S =+的取值范围是_______．【答案】24S <≤【解析】【详解】1122224+4=2+2(2)(2)2(22)(22)2222(22)x y x y x x y x y x y x y ++⇒+=+⇒+-⋅⋅=+22222xyS S -=⋅⋅，又22(22)022222x y xyS +<⋅⋅≤=．22022S S S <-≤，解得24S <≤二､选择题(每小题5分，共20分)13.已知,a b ∈R ，则“33a b >”是“33a b >”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分、必要条件定义判定即可.【详解】解：当33a b >时，根据指数函数3x y =是定义域内的增函数可得a b >，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以充分性成立，当33a b >时，因为幂函数3y x =是定义域内的增函数，所以a b >，又指数函数3x y =是定义域内的增函数，所以33a b >，所以必要性成立，综上：“33a b >”是“33a b >”的充要条件.故选：C.【点睛】充分条件、必要条件的三种判定方法:（1）定义法：根据,p q q p ⇒⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题；（2）集合法：根据,p q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题；（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题.14.若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图，其中,a b 为常数，则函数()xg x a b =+的大致图像是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，且01b <<，可得函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，从而可得结果.【详解】由函数()log ()a f x x b =+的图象为减函数可知，01a <<，再由图象的平移知，()log ()a f x x b =+的图象由()log a f x x =向左平移可知01b <<，故函数()x g x a b =+的图象递减，且1(0)2g <<，故选B.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.15.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的要求出发,用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割）,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代,也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ,且满足Q M N ⋃=，M N ⋂=∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素,则称(,)M N 为戴德金分割.试判断,对于任一戴德金分割(,)M N ,下列选项中,不可能成立的是（）A.M 没有最大元素,N 有一个最小元素 B.M 没有最大元素,N 也没有最小元素C.M 有一个最大元素,N 有一个最小元素 D.M 有一个最大元素,N 没有最小元素【答案】C 【解析】【分析】由题意依次举出具体的集合,M N ，从而得到,,A B D 均可成立．【详解】对A ，若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 有一个最小元素0，故A 正确；对B ，若{|M x Q x =∈<，{|N x Q x =∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，故B 正确；对C ，M 有一个最大元素，N 有一个最小元素不可能，故C 错误；对D ，若{|0}M x Q x =∈，{|0}N x Q x =∈>；M 有一个最大元素，N 没有最小元素，故D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查对集合新定义的理解，考查创新能力和创新应用意识，对推理能力的要求较高．16.设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：①函数3xy =具有性质M ；②函数3y x x =-具有性质M ；③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =.其中正确的个数是（）A.0个 B.1个C.2个D.3个【答案】C 【解析】【分析】根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断.【详解】解：对于①：3x y =的定义域是R ，所以1212()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，所以函数3x y =具有性质M ，①正确；对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，所以函数3y x x =-不具有性质M ，②错误；对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，要使得其具有M 性质，则88881log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧≤⎪+⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即88log 2log (2)1t ⨯+=，解得3(2)8t +=，510t =，故③正确；故选：C.【点睛】本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.三､解答题(共5题，满分76分)17.已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞ .【解析】【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥；综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a a a a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞ .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.18.有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速所度可以表示为函数301log lg 2100xv x =-，单位是km /min ，其中x 表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数0x 表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.（参考数据lg 20.3,= 1.2 1.43 3.74,3 4.66==）（1）若05x =，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（2）若雄鸟的飞行速度为1.5km /min ，雌鸟的飞行速度为1km /min ，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】（1）466；（2）3倍.【解析】【分析】（1）将05x =，0v =代入函数解析式，计算得到答案．（2）根据题意得到方程组13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减化简即可求出答案．【详解】（1）将05x =，0v =代入函数301log lg 2100x v x =-，得：31log lg 502100x-=，即()3log 2lg 521lg 2 1.40100x==-=，所以1.403 4.66100x==，所以466x =．故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x ，雌鸟每分钟耗氧量为2x ，由题意可得：13023011.5log lg 210011log lg 2100x x x x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，两式相减可得：13211log 22x x =，所以132log 1x x =，即123x x =，故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19.柯西不等式具体表述如下：对任意实数1a ，2a ，n a 和1b ，2b n b ，(,2)n Z n ∈≥都有()()()222222212121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++L L L ，当且仅当1212n na a ab b b ===L 时取等号.（1）请用柯西不等式证明：对任意正实数a ，b ，x ，y ，不等式222()a b a b x y x y++≥+成立，(并指出等号成立条件)（2）请用柯西不等式证明：对任意正实数1x ，2x ， ，n x ，且121n x x x +++= ，求证：12212211111x x x x x x n+++≥++++ (并写出等号成立条件).【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得222()(()a b x y a b x y +++，从而证明222()a b a b x yx y+++成立；（2）由121n x x x ++=…+，得121(1)(1)(1)n n x x x +=++++⋯++，然后利用柯西不等式，即可证明12212211111x x xx x x n++⋯⋯+++++成立．【详解】（1）对任意正实数a ，b ，x ，y ，由柯西不等式得()()()()222222222a b a b x y a b x y ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当x y a b=时取等号，∴222()a b a b x y x y+++．（2）121n x x x ++⋯+= ，121(1)(1)(1)n n x x x ∴+=++++⋯++，2221212()(1)111n nx x x n x x x ++⋯+++++222121212()[(1)(1)(1)]111n n nx x x x x x x x x =++⋯+++++⋯+++++212()1n x x x ++⋯+=，当且仅当121n x x x n==⋯==时取等号，∴222121211111n nx x x x x x n ++⋯+++++．【点睛】方法点睛：利用柯西不等式求最值或证明不等式时，关键是对原目标代数式进行配凑，以保证出现常数结果.同时，要注意等号成立的条件,配凑过程采取如下方法：一是考虑题设条件；二是对原目标代数式进行配凑后利用柯西不等式解答.20.已知函数､()y f x =的表达式为()(0,1)xf x a a a =>≠，且1(2)4f -=，（1）求函数()y f x =的解析式；（2）若()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围；（3）已知113k ≤<，若方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，求1234x x x x -+-的最大值.【答案】（1）()2x f x =；（2）[]3,1-；（3）2log 3-.【解析】【分析】（1）由2211(2)4f aa --===可得答案.（2）由条件可得()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解，设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤，即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，可得答案.（3）由条件121x k =-，221x k =+，即12121x x k k --=+，以及431221xk k +=+或3+1221x k k =+，所以341312x x k k -+=+，从而可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++，求出最大值可得答案.【详解】（1）由2211(2)4f a a --===，所以2a =所以()2xf x =（2）()()22log ()4()0m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()2()4()1m f x f x -+=在区间[]0,2上有解即()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解即设2x t =，由[]0,2x ∈，则14t ≤≤所以()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解当[]1,4t ∈时，[]2134,1t t ∈--+所以31m -≤≤（3）由()10f x k --=，即21x k =+或21x k=-由方程()10f x k --=的解分别为1x ､()212x x x <，则121x k =-，221x k=+所以12121x x k k--=+由()1021k f x k --=+，即31212121x k k k k +=+=++或+1212121xk k k k =-=++方程()1021k f x k --=+的解分别为3x ､()434x x x <，则431221x k k +=+或3+1221xk k =+所以341312x xk k -+=+所以()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅=⨯==-++++函数431133y k =++-在113k ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，上单调递减，当13k =时，431133y k =++-有最大值13.所以()()1234123x x x x -+-≤，则1322421log log 33x x x x -=-+≤-所以1234x x x x -+-的最大值为2log 3-【点睛】关键点睛：本题考查指数的运算和方程有解求参数，方程根的关系，解答本题的关键是由题意可得()22421x x m -+⨯=在区间[]0,2上有解，设2x t =，分类参数即()24123t t t m -+==--在区间[]1,4t ∈上有解，以及根据方程的根的情况可得()()1234341241111322213131331x x x x x x x x k k k k k k k -+---+-+-=⋅===-++++，属于中档题.21.对于集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ ，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素(1,2,3,)i a i n = 之后，剩余的所有元素组成集合(1,2,)i A i n = ，并且i A 都能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，i B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，就称集合A 为“可分集合”.（1）判断集合{}1,2,3,4和{}1,3,5,7,9,11,13是否是“可分集合”(不必写过程)；（2）求证：五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）若集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 是“可分集合”.①证明：n 为奇数；②求集合A 中元素个数的最小值.【答案】（1）集合{}1,2,3,4不是，集合{}1,3,5,7,9,11,13是；（2）证明见解析；（3）①证明见解析；②7.【解析】【分析】（1）根据“可分集合”定义直接判断即可得到结论；（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，分去掉的元素是1a 时得5234a a a a =++①，或2534a a a a +=+②，去掉的元素是2a 得5134a a a a =++③，或1534a a a a +=+④，进而求解得矛盾，从而证明结论.（3）①设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，进而分类讨论M 为奇数和M 为偶数两类情况，分析可得集合A 中的元素个数为奇数；②结合（1）（2）问依次验证3,5,7n n n ===时集合A 是否为“可分集合”从而证明.【详解】解：（1）对于集合{}1,2,3,4，去掉元素1，剩余的元素组成的集合为{}12,3,4A =，显然不能分为两个集合B 和C ，满足B C =∅ ，1B C A ⋃=，其中B 和C 的所有元素之和相等，故{}1,2,3,4不是“可分集合”对于集合{}1,3,5,7,9,11,13，去掉元素1，{}13,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}11,13,3,5,7,9B C ==，满足题意；去掉元素3，{}21,5,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,13,5,7,11B C ==，满足题意；去掉元素5，{}31,3,7,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,3,7,11,9,13B C ==，满足题意；去掉元素7，{}41,3,5,9,11,13A =，显然可以分为{}{}1,9,11,3,5,13B C ==，满足题意；去掉元素9，{}51,3,5,7,11,13A =，显然可以分为{}{}7,13,1,3,5,11B C ==，满足题意；去掉元素11，{}61,3,5,7,9,13A =，显然可以分为{}{}3,7,9,1,5,13B C ==，满足题意；去掉元素13，{}71,3,5,7,9,11A =，显然可以分为{}{}1,3,5,9,7,11B C ==，满足题意；故{}1,3,5,7,9,11,13是可分集合.（2）不妨设123450a a a a a <<<<<，若去掉的是1a ，则集合{}12345,,,A a a a a =可以分成{}{}5234,,,B a C a a a ==或{}{}2534,,,B a a C a a ==，即：5234a a a a =++①或2534a a a a +=+②若去掉的是2a ，则集合{}21345,,,A a a a a =可以分成{}{}5134,,,B a C a a a ==或{}{}1534,,,B a a C a a ==，即：5134a a a a =++③或1534a a a a +=+④，由①③得21a a =，矛盾；由①④21a a =-，矛盾；由②③得21a a =-，矛盾；由②④21a a =，矛盾；所以五个元素的集合{}12345,,,,A a a a a a =一定不是“可分集合”；（3）①证明：设集合{}()12,,,3n A a a a n Z n =∈≥ 所有元素之和为M ，由题可知，()1,2,3,,i M a i n -= 均为偶数，所以()1,2,3,,i a i n = 的奇偶性相同，若M 为奇数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为奇数，由于12n M a a a =+++ ，所以n 为奇数；若M 为偶数，则()1,2,3,,i a i n = 也均为偶数，此时设()21,2,3,,i i a b i n == ，则{}12,,,n b b b 也是“可分集合”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“可分集合”，此时各项之和也为奇数，集合A 中的元素个数为奇数.综上所述，集合A 中的元素个数为奇数.②当3n =时，显然任意集合{}123,,A a a a =不是“可分集合”；当5n =时，第二问已经证明集合{}12345,,,,A a a a a a =不是“可分集合”；当7n =时，第一问已验证集合{}1,3,5,7,9,11,13A =是“可分集合”.所以集合A 中元素个数的最小值为7.【点睛】本题考查集合新定义的问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义依次验证，证明即可.注意对问题思考的全面性，考查学生的思维迁移能力，分析能力.本题第二问解题的关键在于假设123450a a a a a <<<<<，以去掉元素1a 和2a 两种情况下的可分集合推出矛盾，进而证明，是难题.。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝．3．不等式﹣2＜＜3的解集是．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．若集合，则实数a的取值范围是．6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝{2，3}．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．3．不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：①②③④．5．若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），f A（x）•f B（x）＝﹣1，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝B，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝[﹣3，1），故A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝∅，对m∈R，故成立，综上，或或或．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]⊆[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]⊆[0，1]时，⊆[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．。
2020-2021学年上海市奉贤区高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．109316．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．2020-2021学年上海市奉贤区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分）1．（4分）集合{1，2}的真子集的个数为3．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的真子集一共有：22﹣1＝3个．故答案为：3．【点评】本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．2．（4分）若幂函数y＝x a的图象经过点（3，），则a＝．【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），构造方程求出指数的值，即可得到函数的解析式．【解答】解：设幂函数的解析式为y＝x a，∵幂函数y＝f（x）的图象过点（3，），∴＝3a，解得a＝，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的求法，属基础题．3．（4分）已知方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，则（2）＝．【分析】利用根与系数的关系得到x1x2＝﹣4，再对所求式子化简代入即可求出结果．【解答】解：∵方程x2+x﹣4＝0的两个根为x1，x2，∴由根与系数的关系得：x1x2＝﹣4，∴（2）＝＝2﹣4＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了根与系数的关系，考查了指数幂的运算，是基础题．4．（4分）已知“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【分析】根据“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，得到不等式组，解出即可．【解答】解：若“x＜﹣1或x＞5”是“a≤x≤a+4”的必要非充分条件，则由“a≤x≤a+4”⇒“x＜﹣1或x＞5”，∴a≥5或a+4≤﹣1，解得：a≤﹣5或a≥5，故答案为：（﹣∞，﹣5]∪[5，+∞）．【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，属于基础题．5．（4分）设a＞0，a≠1，若log a4＝2，则＝．【分析】先把对数式化为指数式，求出a的值，再利用指数幂的运算性质化简所求式子，代入a的值即可求出结果．【解答】解：∵log a4＝2，∴a2＝4，又∵a＞0，a≠1，∴a＝2，∴＝＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了对数式与指数式的互化，考查了指数幂的运算性质，属于基础题．6．（4分）设集合A＝{x|x＝2a，a＞0}，B＝{x|x2﹣2x+3＞0}，则A∩B＝{x|x＞1}．【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x＞1}，B＝R，∴A∩B＝{x|x＞1}．故答案为：{x|x＞1}．【点评】本题考查了描述法的定义，指数函数的单调性，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．7．（5分）若lg2＝a，lg3＝b，则log916＝.（用a，b的代数式表示）【分析】利用对数的换底公式、运算法则直接求解．【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，∴log916＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查对数式化简求值，对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（5分）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品80件．【分析】确定生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．【解答】解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是800+x•＝800+x2这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为f（x）＝＝（x为正整数）由基本不等式，得f（x）≥2＝20当且仅当，即x＝80时，f（x）取得最小值、∴x＝80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小故答案为80【点评】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．9．（5分）设x＞0，y＞0，若e x、e y的几何平均值为e（e是自然对数的底），则x2、y2的算术平均值的最小值是1．【分析】由题意可得e x e y＝e2，即x+y＝2，x＞0，y＞0，然后结合即可求解．【解答】解：由题意可得e x e y＝e2，∴x+y＝2，x＞0，y＞0，∴＝1，当且仅当x＝y＝1时取等号，故答案为：1．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础试题．10．（5分）已知集合A＝{（x，y）|kx+y＝k+1}，B＝{（x，y）|x+ky＝2k}，其中k为实数，当A∩B≠∅时，则k满足的条件是k≠±1．【分析】根据题意可得出：方程组有解，然后可得出方程（1﹣k2）x＝k﹣k2有解，从而可得出k需满足的条件．【解答】解：∵A∩B≠∅，∴方程组有解，消y得（1﹣k2）x＝k﹣k2，∴1﹣k2≠0，即k≠±1．故答案为：k≠±1．【点评】本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，空集的定义，考查了计算能力，属于基础题．11．（5分）已知关于x的不等式组的解集为[b，a]，则实数a 的值为．【分析】结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，然后结合方程的根与系数关系可求．【解答】解：因为关于x的不等式组的解集为[b，a]，结合解集区间为闭区间可知x＝b，x＝a是方程x2+2ax+b+1＝4a2﹣3a3的解，且b＜a，所以，解可得，或或（舍），当a＝1，b＝﹣3时，不等式组为，解得﹣3≤x≤1且x≠﹣1不合题意；当a＝，b＝﹣1时，不等式组，解得﹣1，此时符合题意．故a＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，体现了方程与二次不等相互转化关系的应用．12．（5分）已知实数x、y、z满足x＞y＞z，且x+y+z＝1，x2+y2+z2＝1，则x+y的取值范围为（，）．【分析】利用基本不等式和题设求得结果即可．【解答】解：令x+y＝t，则z＝1﹣t，∵x＞y＞z，且x+y+z＝1，∴z＝1﹣t＜⇒t＞，t2＝（x+y）2＜2（x2+y2），即x2+y2＞，∵x2+y2+z2＝1，∴1＞+z2＝+（1﹣t）2，即3t2﹣4t＜0，解得：0＜t＜，综上，＜t＜，即x+y∈（，），故答案为：（，）．【点评】本题主要考查基本不等式的应用及解不等式，属于中档题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分．13．（5分）若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，下列运算正确的是（）A．log a＝log a MB．（log a M）N＝N log a MC．（log a M）÷（log a N）＝log a（M﹣N）D．log a M+log a N＝log a（M+N）【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解．【解答】解：由a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，知：对于A，log a＝＝log a M，故A正确；对于B，（log a M）N≠N log a M＝，故B错误；对于C，（log a M）÷（log a N）≠log a（M﹣N），故C错误；对于D，log a M+log a N＝log a MN≠log a（M+N），故D错误．故选：A．【点评】本题考查对数式化简求值、对数运算法则，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养．14．（5分）若非空集合M、N满足M⊆N，则下列集合中表示空集的是（）A．M∩B．∩N C．∪D．M∩N【分析】可以用Venn图来表示集合M，N，U，结合图形即可找出表示空集的选项．【解答】解：可用Venn图表示集合M，N，U如下：∴M∩（∁U N）＝∅，即M∩＝∅，故选：A．【点评】本题主要考查Venn图表示集合的方法，以及集合的补集和交集运算．15．（5分）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N为1080，则下列各数中与最接近的是（）A．1033B．1053C．1073D．1093【分析】根据对数的性质得：3＝10lg3≈100.48，将M化为以10为底的指数形式，计算即可．【解答】解：由题意：M≈3361，N≈1080，根据对数性质有：3＝10lg3≈100.48，∴M≈3361≈（100.48）361≈10173，∴≈＝1093．故选：D．【点评】本题考查了指数形式与对数形式的互化问题，是基础题．16．（5分）对于区间（1，10000）内的任意两个正整数m、n，定义某种运算“※”如下：当m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，则在此定义下，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}中的元素个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】当a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，再由a，b∈（1，10000），能求出集合M中元素的个数．【解答】解：∵m、n都为正偶数时，m※n＝m n，当m、n都为正奇数时，m※n＝log m n，集合M＝{（a，b）|a※b＝4}，∴a，b都为正偶数时，a※b＝a b＝4，a＝2，b＝2，当a，b都为正奇数时，a※b＝log a b＝4，a4＝b，∵a，b∈（1，10000），∴a＝3，b＝81，或a＝5，b＝625，或a＝7，b＝2401，或a＝9，b＝6561，∴M＝{（2，2），（3，81），（5，625），（7，2401），（9，6561）}．∴集合M中有5个元素．故选：C．【点评】本题考查集合中元素个数的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（第17-19题每题14分，第20题16分，第21题18分，满分76分）17．（14分）已知关于x的不等式≥0的解集为P，不等式（x﹣1）2＜1的解集为Q．（1）若a＝3，求集合P；（2）求集合P，并求当P∪Q＝P时a的取值范围．【分析】（1）a＝3时，P＝{x|≥0}，由此能求出集合P．（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，根据a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1分类讨论，由此能求出集合P，求出Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|0＜x＜2}，由P∪Q＝P，得Q⊆P，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）a＝3时，P＝{x|≥0}＝{x|≤0}＝{x|﹣1＜x≤3}，（2）P＝{x|≥0}＝{x|≤0}，当a＞﹣1时，P＝{x|﹣1＜x≤a}，当a＝﹣1时，P＝∅，当a＜﹣1时，P＝{x|a≤x＜﹣1}．∵Q＝{x|（x﹣1）2＜1}＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，P∪Q＝P，∴Q⊆P，∴当a＞﹣1时，a＞2，当a≤﹣1时，无解，综上，当P∪Q＝P时a的取值范围是（2，+∞）．【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．（14分）每年3月3日是国际爱耳日，2020年的主题是“保护听力，终生受益”．声强级是表示声强度相对大小，其值为y【单位：dB（分贝）】定义为y＝10lg，其中，I 为声场中某点的声强度，其单位为W/m2（瓦/平方米），I0＝10﹣12W/m2为基准值．（1）如果一辆小轿车内的声音是50dB，求相应的声强度；（2）如果飞机起飞时的声音是120dB，两人正常交谈的声音是60dB，那么前者的声强度是后者的声强度的多少倍？【分析】（1）直接把y＝50代入y＝10lg，求得I得结论；（2）分别求出声音是120dB和60dB的声强度，作比得结论．【解答】解：（1）由50＝10lg，得，即I＝W/m2．故声音是50dB，相应的声强度是10﹣7W/m2；（2）设声音是120dB的声强度为I1，则120＝10lg，即，设声音是60dB的声强度为I2，则60＝10lg，即，∴．∴前者的声强度是后者的声强度的106倍．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查对数方程的求法，是基础的计算题．19．（14分）设x≥0，A＝，B＝．（1）求证：A＜，并指出等号成立的条件；（2）比较A与B的大小关系，并说明理由．【分析】（1）把A进行分离常数，再由x的范围求得A的值域，则结论得证，并指出等号成立的条件；（2）利用基本不等式求出B的范围，结合（1）中求得的A的范围，即可比较A与B的大小关系．【解答】证明：（1）A＝＝，∵x≥0，∴x+，8（x+）≥4，，可得＜，即A＜，当且仅当x＝0时等号成立；解：（2）B＜A，证明如下：由（1）知，A＜，B＝，当x＝0时，B＝0，当x＞0时，x2+1≥2x＞0，∴，当且仅当x＝1时取等号，∴0，而A与B中的等号不同时成立，∴B＜A．【点评】本题考查利用分离常数法与基本不等式求函数的值域，考查运算求解能力，是中档题．20．（16分）我们知道当a＞0时，a m+n＝a m•a n对一切m、n∈R恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂的性质时，发现有这么一个等式21+1＝21+21，带着好奇，他进一步对2m+n＝2m+2n进行深入研究．（1）当m＝2时，求n的值；（2）当m≤0时，求证：n是不存在的；（3）求证：只有一对正整数对（m，n）使得等式成立．【分析】（1）由题意求解关于n的方程即可确定实数n的值；（2）由题意求得2n的表达式，然后分类讨论即可证得题中的结论；（3）将m，n分离到等式的两侧，然后讨论左右两侧的值即可证得题中的结论．【解答】（1）解：当m＝2时，22+n＝22+2n，即3⋅2n＝4，∴；（2）证明：设t＝2m，由于m≤0，故t∈（0，1]，由题意可得：t⋅2n＝t+2n，当m＝0，t＝1时，上述等式明显不成立，当m≠0，t＜1时，，由于2n＞0，t＞0，t﹣1＜0，故上述等式不成立，综上可得，实数n不存在．（3）证明：由2m+n＝2m+2n可得：，当m，n均为正整数时，等式左侧为2的指数幂，故右侧也是2的指数幂，很明显只有2m﹣1＝1，m＝1 时满足题意，此时n＝1，即只有一对正整数对（1，1）使得等式成立．【点评】本题主要考查指数方程的解法，分类讨论的数学思想，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．21．（18分）已知代数式|x+2|和|ax﹣b|．（1）若a＝0，b＝，求不等式|x+2|＜|ax﹣b|的解集（用区间表示）；（2）若a＝1，b＝1，用反证法证明：|x+2|、|ax﹣b|中至少有一个数不小于；（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，试确定实数a、b满足的条件．【分析】（1）将a＝0，b＝代入|x+2|＜|ax﹣b|中，然后去绝对值解不等式即可；（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|，然后假设|x+2|，|x﹣1|均小于，得到，推出矛盾结论，从而证明原命题成立；（3）根据a＞0时，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，对|x+2|+|ax﹣b|去绝对值，然后分别得到满足条件实数a、b即可．【解答】解：（1）当a＝0，b＝时，由|x+2|＜|ax﹣b|，得|x+2|，∴，∴，∴不等式的解集为{x|}．（2）当a＝1，b＝1时，|ax﹣b|＝|x﹣1|．假设|x+2|，|x﹣1|均小于，则，∴，∴x∈∅，与假设矛盾，故|x+2|，|x﹣1|中至少有一个数不小于．（3）若a＞0，不等式|x+2|+|ax﹣b|≥x+1对任意实数x恒成立，则①当x≥﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴．②当x⩾﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．③当x≤﹣2，ax﹣b≥0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则，∴，将代入中，得，要使与x≤﹣2有交集，则，∴与b≤﹣3矛盾．④当x≤﹣2，ax﹣b≤0时，，∴，要使不等式在R上恒成立，则与a＞0矛盾．综上，要使不等式在R上恒成立，实数a、b满足的条件为．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，利用反证法证明不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．。
2019-2020学年上海市交大附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1. 函数y=√x的定义域为________．【答案】(0, +∞)【考点】函数的定义域及其求法【解析】要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，解得即可得到定义域．【解答】要使函数有意义，则需x≥0且x≠0，即x>0，则定义域为(0, +∞)．2. 已知A＝{x|−1<x<2}，{x|x2−3x<0, x∈R}，则A∩B＝________．【答案】(0, 2)【考点】并集及其运算【解析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{x|−1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，∴A∩B＝(0, 2)．3. 当x>0时，函数f(x)＝x+x−1的值域为________．【答案】[2, +∞)【考点】函数的值域及其求法【解析】直接利用基本不等式求得函数f(x)＝x+x−1的最小值得答案．【解答】∵x>0，∴f(x)＝x+x−1＝x+1x ≥2√x⋅1x=2．当且仅当x＝1时，上式“＝”成立．∴函数f(x)＝x+x−1的值域为[2, +∞)．4. 设U＝{x|−5≤x<−2或2<x≤5, x∈Z}，A＝{x|x2−2x−150}，B＝{−3, 3, 4}，则A∩∁U B＝________．【答案】{5}交、并、补集的混合运算【解析】先分别求出集合U，A，B，由此能求出结果．【解答】∵U＝{x|−5≤x<−2或2<x≤5, x∈Z}＝{−5, −4, −3, 3, 4, 5}，A＝{x|x2−2x−150}＝{−3, 5}，B＝{−3, 3, 4}，∴∁U B＝{−5, −4, 5}，∴A∩∁U B＝{5}．5. 已知集合A＝{−2, 1}，B＝{x|ax2}，若A∪B＝A，则实数a值集合为________．【答案】{0, −1, 2}【考点】并集及其运算【解析】根据A∪B＝A即可得出B⊆A，从而可讨论B是否为空集：B＝⌀时，a＝0；B≠⌀时，2a=−21，解出a即可．【解答】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴ ①B＝⌀时，a＝0；②B≠⌀时，B={2a }，则2a=−2或2a=1，解得a＝−1或2，∴实数a值集合为{0, −1, 2}．6. 满足条件{1, 3, 5}∪A∪{3, 5, 7}＝{1, 3, 5, 7, 9}的所有集合A的个数是________个．【答案】16【考点】并集及其运算【解析】根据条件可得出，集合A一定含有元素9，而可能含有元素1，3，5，7，从而得出集合A的个数为C40+C41+C42+C43+C44=24＝16个．【解答】∵{1, 3, 5}∪A∪{3, 5, 7}＝{1, 3, 5, 7, 9}，∴集合A一定含元素9，可能含元素1，3，5，7，∴集合A的个数为24＝16个．7. 已知不等式x2+2xx+2a≤0的解集为A，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是________．【答案】[−32,−1)【考点】元素与集合关系的判断由题意可得4+42+2a ≤0 ①，且 9+63+2a >0 ②，3+2a ＝0③，分别求得①、②、③的解集，再取交集，可得所求． 【解答】 因为x 2+2x x+2a ≤0的解集为A ，且2∈A ，3∉A ，所以4+42+2a ≤0，①9+63+2a>0，②3+2a ＝0，③ 解①得：a <−1． 解②得：a >−32， 解③得：a =−32，故实数a 的取值范围为[−32,−1)．8. 若函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数，则实数a 的取值范围为________． 【答案】 a >1 【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】利用函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出实数a 的取值范围． 【解答】∵ 函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且非奇函数， ∴ f(−x)＝f(x)，且f(−x)≠−f(x)， 又{x 2−1≥0a −x 2≥0，∴ a ≥1． a ＝1，函数f(x)=√x 2−1+√a −x 2为偶函数且奇函数，9. 已知a 、b 是常数，且ab ≠0，若函数f(x)=ax 3+bx√1−x 2+3的最大值为10，则f(x)的最小值为________． 【答案】 −4【考点】函数的最值及其几何意义 【解析】利用函数的奇偶性，求出g(x)的最小值即可． 【解答】函数f(x)=ax 3+bx√1−x 2+3定义域为[−1, 1]，设g(x)=ax 3+bx√1−x 2为奇函数，f(x)max ＝g(x)max +3＝10，所以g(x)min ＝−g(x)max ＝−7， 所以f(x)min ＝−7+3＝−4，10. 设正实数a 、b 满足3a +ab +b ＝24，那么1ab 的最小值为________． 【答案】112【考点】基本不等式及其应用 【解析】由条件正实数a 、b 满足3a +ab +b ＝24，利用基本不等式3a +b ≥2√3ab ，从而得到关于ab 的不等式，解出ab 的取值范围，进一步求出1ab 的取值范围即可． 【解答】因为a ，b 为正数，满足3a +ab +b ＝24， 所以24＝3a +b +ab ≥2√3ab +ab ； 令√ab =t ，t >0， 则t 2+2√3t −24≤0；解得0<t ≤2√3，即0<ab ≤12， 所以，1ab ≥112； 所以1ab 的最小值为112．11. 已知函数f(x)={(x −a)2,x ≤0x +4x+3a,x >0，且f(0)为f(x)的最小值，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 [0, 4] 【考点】分段函数的应用 【解析】若f(0)为f(x)的最小值，则当x ≤0时，函数f(x)＝(x −a)2为减函数，当x >0时，函数f(x)=x +4x +3a 的最小值4+3a ≥f(0)，进而得到实数a 的取值范围． 【解答】若f(0)为f(x)的最小值，则当x ≤0时，函数f(x)＝(x −a)2为减函数， 则a ≥0，当x >0时，函数f(x)=x +4x +3a 的最小值4+3a ≥f(0)， 即4+3a ≥a 2， 解得：−1≤a ≤4，综上所述实数a 的取值范围是[0, 4]，12. 若方程ax2−(4−a2)x+2＝0在(0, 2)内恰有一解，则实数a的取值范围为________．【答案】(−3, 1]【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】对a进行讨论，结合二次函数的图象，得出结果．【解答】设f(x)＝ax2−(4−a2)x+2，若a＝0时，f(x)＝0，得x=1成立，2若a≠0，ax2−(4−a2)x+2＝0在(0, 2)内恰有一解，因为f(0)＝2>0，所以只需f(2)＝4a−2(4−a2)+2≤0，则a2+2a−3≤0，得a∈[−3, 1]，不成立，当a＝−3时，−3x2+5x+2＝0的根为x＝2或者x=−13所以a∈(−3, 1]，二.选择题下列命题中，正确的是（）A.x+4的最小值是4xB.√x2+4+的最小值是22C.如果a>b，c>d，那么a−c<b−dD.如果ac2>bc2，那么a>b【答案】D【考点】基本不等式及其应用【解析】A．x<0时，函数值小于0；B.√x2+4+>2，最小值不为2；2C．a>b，c>d，那么a+c>b+d即a−d>b−c；D．由于ac2>bc2，可得c2>0，可得a>b．A．x<0时，不正确；>2，最小值不为2，不正确；B.√x2+4+√x2+4C．a>b，c>d，那么a+c>b+d即a−d>b−c，因此不正确；D．∵ac2>bc2，∴c2>0，∴a>b，正确．设p:0<x<5，q:|x−2|<3，那么p是q的（）条件．A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由|x−2|<3，得：−3<x−2<3，即−1<x<5，即q:−1<x<5，故p是q的充分不必要条件，非空集合A、B满足，A∩B＝⌀，P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，则下列关系一定成立的是（）A.A∪B＝P∪QB.P∩Q＝⌀C.P∩Q＝{⌀}D.A∪B⫋P∪Q【答案】C【考点】交集及其运算【解析】由A∩B＝⌀得A与B无公共元素，而P、Q分别是由集合A的子集、集合B的真子集构成的集合，空集是任何非空集合的真子集．【解答】∵A∩B＝⌀，∴A与B没有任何公共元素，∵P＝{x|x⊆A}，Q＝{x|x⫋B}，⌀是任何集合的子集，任何非空集合的真子集，∴P∩Q＝{x|x⊆A且x⫋B}＝{⌀}，已知函数y＝f(x+1)为偶函数，则下列关系一定成立的是（）A.f(x)＝f(−x)B.f(x+1)＝f(−x+1)C.f(x+1)＝f(−x−1)D.f(−x+1)＝f(x)【答案】B【考点】函数奇偶性的性质与判断根据偶函数的定义进行判断即可．【解答】∵y＝f(x+1)为偶函数，∴f(−x+1)＝f(x+1)，故B正确，三.解答题已知集合A={x|2x−1x+1≤1,x∈R}，集合B＝{x|x2−2ax+a2−1≤0, x∈R}．（1）求集合A；（2）若B∩(∁U A)＝B，求实数a的取值范围．【答案】由2x−1x+1≤1得，x−2x+1≤0；解得−1<x≤2；∴A＝{x|−1<x≤2}；∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}；∵B∩(∁U A)＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a−1≤x≤a+1}；∴a−1>2，或a+1≤−1；∴a>3，或a≤−2；∴实数a的取值范围为{a|a≤−2, 或a>3}．【考点】集合关系中的参数取值问题交、并、补集的混合运算【解析】（1）解分式不等式2x−1x+1≤1即可得出集合A＝{x|−1<x≤2}；（2）可求出∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}，根据B∩(∁U A)＝B即可得出B⊆∁U A，且B＝{x|a−1≤x≤a+1}，从而得出a−1>2或a+1≤−1，解出a的范围即可．【解答】由2x−1x+1≤1得，x−2x+1≤0；解得−1<x≤2；∴A＝{x|−1<x≤2}；∁U A＝{x|x≤−1, 或x>2}；∵B∩(∁U A)＝B；∴B⊆∁U A；且B＝{x|a−1≤x≤a+1}；∴a−1>2，或a+1≤−1；∴a>3，或a≤−2；∴实数a的取值范围为{a|a≤−2, 或a>3}．己知函数f(x)＝|x−a|+|x+b|．（1）若a＝1，b＝2，求不等式f(x)≤5的解；（2）对任意a >0，b >0，试确定函数y ＝f(x)的最小值M （用含a ，b 的代数式表示），若正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，则a 、b 分别取何值时，M 有最小值，并求出此最小值． 【答案】数f(x)＝|x −a|+|x +b|．由于a ＝1，b ＝2，所以|x −1|+|x +2|≤5，令x −1＝0，解得x ＝1，令x +2＝0，解得x ＝−2， 故：①当x ≤−2时，不等式转换为1−x −x −2≤5，解得−3≤x ≤−2． 当②−2<x <1时，不等式转换为x +2−1−x ≤5，即1≤5， 故不等式的解为−2<x <1．当③x ≥1时，不等式转换为x −1+x +2≤5，解得x ≤2， 由①②③得：不等式的解集为：x ∈[−3, 2]；对任意a >0，b >0，所以）|x −a|+|x +b|≥|a +b|＝a +b ． 所以函数y ＝f(x)的最小值M ＝a +b ，由于正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，整理得12b +2a =1， 所以a +b =(a +b)(12b +2a )=a2b +2b a+52≥2√a 2b ⋅2b a +52=92当a ＝43，b =23时，M 最小值为92．【考点】绝对值不等式的解法与证明 函数的最值及其几何意义 【解析】（1）直接利用分类讨论思想的应用和绝对值不等式的应用求出结果． （2）利用关系式的恒等变换的应用及均值不等式的应用求出结果． 【解答】数f(x)＝|x −a|+|x +b|．由于a ＝1，b ＝2，所以|x −1|+|x +2|≤5，令x −1＝0，解得x ＝1，令x +2＝0，解得x ＝−2， 故：①当x ≤−2时，不等式转换为1−x −x −2≤5，解得−3≤x ≤−2． 当②−2<x <1时，不等式转换为x +2−1−x ≤5，即1≤5， 故不等式的解为−2<x <1．当③x ≥1时，不等式转换为x −1+x +2≤5，解得x ≤2， 由①②③得：不等式的解集为：x ∈[−3, 2]；对任意a >0，b >0，所以）|x −a|+|x +b|≥|a +b|＝a +b ． 所以函数y ＝f(x)的最小值M ＝a +b ，由于正数a 、b 满足a +4b ＝2ab ，整理得12b +2a =1， 所以a +b =(a +b)(12b+2a)=a 2b +2b a+52≥2√a 2b⋅2b a+52=92当a ＝43，b =23时，M 最小值为92．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C(x)=k 3x+5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【考点】利用导数研究函数的最值函数模型的选择与应用【解析】（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5．建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．（2）由①中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．【解答】解：(1)设隔热层厚度为xcm，由题知，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10).(2)f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f′(x)=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0<x <5时，f′(x)<0，当5<x <10时，f′(x)>0，故x =5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70． 当隔热层修建5cm 厚时，总费用达到最小值为70万元．已知函数f(x)=|x−a|x(a >0)，且满足f(12)＝1．（1）判断函数f(x)在(1, +∞)上的单调性，并用定义证明；（2）设函数g(x)=f(x)x，求g(x)在区间[12,4]上的最大值；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程2(x −a)2−x|x −a|+2mx 2＝0恰有4个不同的正根，求实数m 的取值范围． 【答案】 由f(12)=|12−a|12=1，得a ＝1或0．因为a >0，所以a ＝1，所以f(x)=|x−1|x．当x >1时，f(x)=x−1x=1−1x为增函数，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝1−1x 1−1+1x 2=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，x 1x 2>0，f(x 1)−f(x 2)<0， 所以f(x)在(1, +∞)上为增函数；g(x)=f(x)x=|x−1|x 2={x−1x 2,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1，当1≤x ≤4时，g(x)=x−1x 2=1x −1x 2=−(1x −12)2+14，因为14≤1x ≤1，所以当1x =12时，g(x)max =14； 当12≤x <1时，g(x)=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为12≤x <1时，所以1<1x ≤2，所以当1x =2时，g(x)max ＝2； 综上，当x =12时，g(x)max ＝2；由（1）可知，f(x)在(1, +∞)上为增函数，当x >1时，f(x)＝1−1x ∈(0, 1)． 同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，当0<x <1时，f(x)=1x −1∈(0, +∞)． 方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0，要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2， 则有{1−16m >02m >02×12−1+2m >0 ，解得0<m <116， 所以实数m 的取值范围为(0, 116)． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）由f(12)＝1，解方程可得a ，再由单调性的定义，即可证得f(x)在(1, +∞)上为增函数；（2）运用分段函数写出g(x)，讨论1≤x ≤4，12≤x <1，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值；（3）由题意可得方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0，由题意可得方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2，可得m 的不等式，解不等式即可得到所求范围． 【解答】 由f(12)=|12−a|12=1，得a ＝1或0．因为a >0，所以a ＝1，所以f(x)=|x−1|x．当x >1时，f(x)=x−1x=1−1x 为增函数，任取x 1，x 2∈(1, +∞)，且x 1<x 2， 则f(x 1)−f(x 2)＝1−1x 1−1+1x 2=x 1−x 2x 1x 2，因为1<x 1<x 2，则x 1−x 2<0，x 1x 2>0，f(x 1)−f(x 2)<0， 所以f(x)在(1, +∞)上为增函数；g(x)=f(x)x=|x−1|x 2={x−1x 2,1≤x ≤41−x x 2,12≤x <1 ，当1≤x ≤4时，g(x)=x−1x 2=1x −1x 2=−(1x −12)2+14，因为14≤1x ≤1，所以当1x =12时，g(x)max =14； 当12≤x <1时，g(x)=1−x x 2=(1x −12)2−14，因为12≤x <1时，所以1<1x ≤2，所以当1x =2时，g(x)max ＝2； 综上，当x =12时，g(x)max ＝2；同理可得f(x)在(0, 1)上为减函数，当0<x <1时，f(x)=1x −1∈(0, +∞)． 方程2(x −1)2−x|x −1|+2mx 2＝0可化为2⋅|x−1|2x 2−|x−1|x+2m ＝0，即2f 2(x)−f(x)+2m ＝0，设t ＝f(x)，方程可化为2t 2−t +2m ＝0， 要使原方程有4个不同的正根，则方程2t 2−t +2m ＝0在(0, 1)有两个不等的根t 1，t 2， 则有{1−16m >02m >02×12−1+2m >0 ，解得0<m <116， 所以实数m 的取值范围为(0, 116)．已知函数f(x)＝mx +3，g(x)＝x 2+2x +m ． （1）求证：函数f(x)−g(x)必有零点；（2）设函数G(x)＝f(x)−g(x)−1．①若|G(x)|在[−1, 0]上是减函数，求实数m 的取值范围；②是否存在整数a 、b ，以及实数m ，使得不等式a ≤G(x)≤b 的解集恰好是[a, b]？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】证明：f(x)−g(x)＝−x 2+(m −2)x +3−m ． 令f(x)−g(x)＝0．则△＝(m −2)2−4(m −3)＝m 2−8m +16＝(m −4)2≥0恒成立， ∴ 方程f(x)−g(x)＝0有解， 即函数f(x)−g(x)必有零点；①G(x)＝f(x)−g(x)−1＝−x 2+(m −2)x +2−m ， 令G(x)＝0，△＝(m −2)2−4(m −2)＝(m −2)(m −6)． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G(x)＝−x 2+(m −2)x +2−m ≤0恒成立， ∴ |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数， ∴m−22≥0，解得m ≥2．∴ 2≤m ≤6．当△>0，即m <2或m >6时， |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数，∴ x 2−(m −2)x +m −2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x =m−22≤−1．∴ {m −2>0m−22>0 或{m −2<0m−22≤−1解得m >2或m ≤0． ∴ m ≤0或m >6．消m ，得ab −2a −b ＝0， 显然b ≠2．∴ a =bb−2=1+2b−2．∵ a ，b 为整数，所以b −2＝±1或b −2＝±2． 解得{a =3b =3 或{a =−1b =1 或{a =2b =4 或{a =0b =0 ， ∵ a <b ，且a ≤4(2−m)+(m−2)24≤b ，∴ {a =−1b =1 或{a =2b =4．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用一元二次函数存在零点求解；（2）①利用对折变换函数图象的特征，分△大于零，小于等于零两种情况讨论； ②利用a ≤G(x)≤b 的解集恰好是[a, b]得到{G(a)=aG(b)=b 再进行求解．【解答】证明：f(x)−g(x)＝−x 2+(m −2)x +3−m ． 令f(x)−g(x)＝0．则△＝(m −2)2−4(m −3)＝m 2−8m +16＝(m −4)2≥0恒成立， ∴ 方程f(x)−g(x)＝0有解， 即函数f(x)−g(x)必有零点；①G(x)＝f(x)−g(x)−1＝−x 2+(m −2)x +2−m ， 令G(x)＝0，△＝(m −2)2−4(m −2)＝(m −2)(m −6)． 当△≤0，即2≤m ≤6时，G(x)＝−x 2+(m −2)x +2−m ≤0恒成立， ∴ |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数， ∴m−22≥0，解得m ≥2．∴ 2≤m ≤6．当△>0，即m <2或m >6时， |G(x)|＝x 2−(m −2)x +m −2． ∵ |G(x)|在[−1, 0]上是减函数，∴ x 2−(m −2)x +m −2＝0的两根均大于零或一根大于零另一根小于零 且x =m−22≤−1．∴ {m −2>0m−22>0 或{m −2<0m−22≤−1解得m >2或m ≤0． ∴ m ≤0或m >6．消m ，得ab −2a −b ＝0， 显然b ≠2．∴ a =bb−2=1+2b−2．∵ a ，b 为整数，所以b −2＝±1或b −2＝±2． 解得{a =3b =3 或{a =−1b =1 或{a =2b =4 或{a =0b =0 ， ∵ a <b ，且a ≤4(2−m)+(m−2)24≤b ，∴ {a =−1b =1 或{a =2b =4．。
上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷及解析
上海市七宝中学2019-2020学年高一上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题设命题甲,命题乙“21x =”，那么甲是乙的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件2.已知集合{,}P a b =,{|}Q M M P =⊆，则P 与Q 的关系为（ ） A.P Q ⊆B.Q P ⊆C.P Q ∈D.P Q ∉3.若实数a 、b 、c 满足a b c >>,则下列不等式正确的是（ ） A.a b c +>B.11a cb c<-- C.||||a c b c >D.222211ab a b c c <++ 4.已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ） A.若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2 B.若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2 C.若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3 D.若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3第II 卷（非选择题）二、解答题5.已知集合2{|0}3x A x x -=<-,函数的()f x =定义域为集合B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.6.若实数x 、y 、m 满足||||x m y m -<-,则称x 比y 接近m . (1)若23x +比4接近1,求实数x 的取值集合M ；(2)若a 、b 均属于(1)中集合M ,求证：+a b 比1ab +接近0.7.近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式； （2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？8.已知M 是满足下述条件的所有函数()f x 组成的集合：对于函数()f x 定义域内的任意两个自变量1x 、2x ,均有1212|()()|2||f x f x x x -≤-成立.(1)已知定义域为R 的函数()f x kx b M =+∈,求实数k 、b 的取值范围； (2)设定义域为[1,1]-的函数2()g x ax x =+,且()g x M ∉,求正实数a 的取值范围； (3)已知函数()h x =R ,求证：()h x M ∈.9.对于正整数集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ,3n ≥）,如果去掉其中任意一个元素i a （1,2,,i n =⋅⋅⋅）之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合,且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A 为“和谐集”. (1)判断集合{1,2,3,4,5}是否为“和谐集”,并说明理由； (2)求证：集合{1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集”；(3)求证：若集合A 是“和谐集”,则集合A 中元素个数为奇数.三、填空题10.已知集合2019},{|}B x x a =>,且A B =R ,则实数a 的取值范围是_______ .11.若集合{1,3}M =-,2{3,21,2}N a a a =-++,若{3}MN =-,则实数a =_______ .12.命题：“若ab 不为零，则a,b 都不为零”的逆否命题是 。
上海市曹杨第二中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试卷(含简答)
2020-2021学年曹杨二中高一期中数学试卷一. 填空题1. 已知0<a <b ,则ab a+2b+2 (填“>”或“<”)2. 已知等式(2x +3)x+2020=1(其中x 为整数)成立,则x =3. 已知集合M ={x|x(4−x)<0},N ={x|(x −1)(x −6)<0,x ∈Z},则M ∩N =4. 若3a =7b =63,则2a+1b 的值为5. 不等式(x +2)(x +1)2(x −1)3(x −2)≤0的解集为6. 已知a =lg5,用a 表示lg2和lg20,分别为7. 已知关于x 的不等式|2x−a|x+a>0的解集为M ,且2∉M ,则a 的取值范围是8. 设a,b ∈R ,已知关于x 的不等式(a +b)x +(b −2a)<0的解集为(1,+∞) ,求不等式(a −b)x +3b −a >0的解集为9. 已知集合A ={x|x 2−5x +4≤0},B ={x|x 2−2ax +a +2≤0},若B ⊆A ,则a 的取值范围 10. 设x ∈R,则f(x)=|x −1|+|2x −1|+⋯+|9x −1|+|10x −1|取到最小值时,x = 11. 已知关于x 的不等式2−2x ≤kx 2+k ≤3−2x 有唯一解,则实数k 的取值集合为 12. 已知x,y ∈[0,+∞)且满足x 3+y 3+3xy =1,则x 2y 的最大值为 二. 选择题13.若a 、b 是满足ab <0的实数,那么下列结论中成立的是( ) A. |a −b |<|a|−|b| B. |a −b |<|a |+|b| C. |a +b |>|a −b| D. |a +b |<|a −b| 14.已知a,b,c ∈R ,则下列四个命题正确的个数是( )①若ac 2>bc 2,则a >b ; ②若|a −2|>|b −2|,则(a −2)2>(b −2)2③若a >b >c >0,则1a<1b<1c; ④若a >0,b >0,a +b >4,ab >4,则a >2,b >2;A.1B.2C.3D.415.已知p:{a >−3b >−3,q:{a +b >−6ab >9,则p 是q 的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件16.满足5x +12√xy ≤a(x +y)对所有正实数x 、y 都成立,实数a 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.前三个答案都不对三. 解答题17.已知关于x 的不等式ax−5x 2−a <0的解集为M . (1)a =4时,求集合M ;(2)若3∈M 且5∉M,求实数a 的取值范围.18.已知a,b,c∈R+,求证：√a2+b2+√b2+c2+√c2+a2≥√2(a+b+c)19.某工厂生产某产品x件所需成本费用为P元,且P=1000+5x+110x2,而每件售出的价格为Q元,其中Q=a+xb(a,b∈R).(1)问:该工厂生产多少件产品时,使得每件产品所需成本费用最少?(2)若生产出的产品能全部售出,且当产量为150件时利润最大,此时每件价格为30,求a、b的值.20.设函数f(x)=|x+1|−|x|的最大值是m.(1)求m的值;(2)若正实数a、b满足4a+3b=m,求12a+b +1a+b最小值及此时a、b的值;(3)若正实数a、b满足a+b=2m，求a2+2a +b2b+1的最小值及此时a、b的值.参考答案一.填空、选择题三.解答题17.(1) M={x|x<−2或54<x<2}; (2) [1,53)∪(9,25].18.略19.(1)该工厂生产100件产品时,使得每件产品所需成本费用最少;(2)a=25,b=30.20.(1) m=1;(2)最小值为3+2√2,此时a=3√2−42,b=3−2√2;(3)最小值为2+2√23, 此时a=6−3√2,b=3√2−4.。