《光学教程答案》word版

第三章 几何光学

1．证明反射定律符合费马原理

证明：设界面两边分布着两种均匀介质，折射率为1n 和2n （如图所示）。光线通过第一介质中指定的A 点后到达同一介质中指定的B 点。

（1）反正法：如果反射点为'C ，位于ox 轴与A 和B 点所著称的平面之外，那么在ox 轴线上找到它的垂足点"C 点，.由于'''''',AC AC BC BC >>,故光线'AC B 所对应的光程总是大于光线''AC B 所对应的光程而非极小值，这就违背了费马原理。故入射面和反射面在同一平面内。

(2)在图中建立坐xoy 标系，则指定点A,B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，反射点C 的坐标为(,0)x 所以ACB 光线所对应的光程为：

1n ∆=

根据费马原理，它应取极小值，所以有

112(sin sin )0d n i i dx ∆==-=

即： 12i i =

2．根据费马原理可以导出在近轴光线条件下，从物点发出并会聚到像点的所有光

线的光程都相等。

证：如图所示，有位于主光轴上的一个物点S 发出的光束经薄透镜折射后成一个明亮的实象点'S 。设光线SC 为电光源S 发出的任意一条光线，其中球面AC 是由点光源S 所发出光波的一个波面，而球面DB 是会聚于象点'S 的球面波的一个波面，所以有关系式SC SA =，''S D S B =.因为光程

'''

'

SCEFDS

SABS SC CE nEF FD DS SA nAB BS

⎧∆=++++⎪⎨∆=++⎪⎩ 根据费马原理，它们都应该取极值或恒定值，这些连续分布的实际光线，在近轴条件下其光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它们的光程相等。

3．睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d 为30cm 。求物体PQ 的像'

'

P Q 与物体PQ 之间的距离

2d 为多少？

解：根据例题3.1的结果

'1(1)PP h n

=-

'1

30(1)101.5

PP cm =⨯-

=

题2图

' 1.5n =

4．玻璃棱镜的折射棱角A 为060，对某一波长的光其折射率n 为1.6。计算：（1）最小偏向角；（2）此时的入射角；（3）能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。

解：（1）等腰棱镜的折射率可以表示为

0sin 2

sin 2

A

n A θ+=

其中0θ为最小偏向角，可以由上式解出最小偏向角

01

1

00000602sin [sin ]2sin [1.6sin ]60253.136046.2622

A n A θ--=-=⨯-=⨯-=

（2）偏向角为最小时，入射角可以表示为

0'00'0146166053.0822

A

i θ++=

==

从棱镜向外透射的最大入射角为 '

21sin i n =

, '1021sin 38.681.6

i -==

'

000'226038.682119i A i =-=-=

又根据折射定律

12sin 1

sin i i n

= 10'0'1sin (sin 2119)3534i -==所以

5．一种恒偏向棱镜，它相当于两个000306090--棱镜与一个000454590--棱镜按图示方式组合在一起，白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变1θ，从而使任意一种波长的光可以依次循着图示的路径传播，出射光线为r 。求证：如果1sin 2

π

θ=，

则21θθ=，且光束i 与r 相互垂直。（这就是恒偏向棱镜名字的由来）

证：（1）根据光的折射定律 12sin sin θθ= 其中2i 为光通过第一个界面的折射角

s

y 7．一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚象。求（1）此透镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？

解：根据面镜公式 '

'0y y s s

+=得：

'51

010s

+=-， '2s cm = 根据面镜的成像公式

'112s s r +=， 112102r

+=-⇒ 5r cm = 所以此镜是凸面镜

8．某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己的像。他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜的顶点的距离为40cm '40,10s cm f cm =-=

根据面镜成像公式

''

111s s f +=

由上式可得'8

s cm

'()8402422

s s L cm +-+===

9．物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为1d ，折射率为n ，试证明：放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动(1)d n n -的一段距离的效果相同。

证明：物体经过玻璃板成的像位置在过去物体的前边，两者的距离等于

'1

(1)(1)d n pp d n n

-=-=

物体经过玻璃板所成的像对于凹透镜来说是虚物，那么放入该玻璃板后使像移动的距离与把凹面镜向物体移动(1)d n n -的一段距离的效果相同。

10．欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成像在右半球面的顶点处，问这透明球体的折射率为多少？

解：光线从向右传播， s =-∞ '2s r = 根据近轴光线条件下球面折射的物像公式

'

''n n n n s s r

--=⇒''2n n n r r -=⇒ '22n n == 11．有一折射率为1.5、半径为4cm 的玻璃球，物体在距离表面6cm 处，求：（1）从物所成的像到球心之间的距离；（2）求像的横向放大率。

解：（1）玻璃球可以看做是一个透镜，它的等效焦距为

' 1.5462(1)2(1.51)

nR f cm n ⨯=

==--

玻璃球体透射的成像公式为

''

111s s f -= 可得： '15s cm =

（2）横向放大率 '15

1.564

s s β==

=+ 12．一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个气泡。看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。求两气泡的实际位置。

解：若光线向人眼的方向传播

10r cm =- '110s cm =- '

2

5s cm =- '1n = 1.53n =