三角函数高考常见题型

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三角函数高考常见题型

三角函数题是高考数学试卷的第一道解答题,试题难度一般不大,但其战略意义重大,所以稳拿该题14分对文理科学生都至关重要。分析近年高考试卷,可以发现,三角解答题多数喜欢和平面向量综合在一起,且向量为辅,三角为主,主要有以下五类:

一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半等公式进行化简求值类。

例题1.(2012全国卷大纲7)已知α为第二象限角,sin cos αα+=

,则cos2α=

(A )3- (B )9- (C )9 (D )3

【答案】A .

例题2.【2012高考真题山东理7】若42ππθ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦,,sin 2θ,则sin θ=

(A )

35 (B )45 (C )4

(D )34 【答案】D

例题 3.(2011浙江)(6)若02

π

α<<

,02π

β-

<<,1

cos()43

πα+=,

cos()423

πβ-=

cos()2βα+=

(A )

3 (B )3- (C )9 (D )9

- 【答案】C

例4. 已知向量33(cos

,sin ),(cos ,sin ),[,]22222

x x x x x π

π==-∈且a b 。

(1)若||+>a b x 的取值范围;

(2)函数()||f x =⋅++a b a b ,若对任意12,[

,]2

x x π

π∈,恒有12|()()|f x f x t -<,

求t 的取值范围。

解:(1)||||1,cos 2,||22cos 22cos 3x x x ==⋅=∴

+=+=->a b a b a b ,

即3

5cos .[,],226

x x x ππππ<-

∈∴<≤。

(2)2

1

3()||cos 22cos 2(cos )2

2

f x x x x =⋅++=-=--

a b a b 。 max min 1cos 0,()3,()1x f x f x -≤≤∴==-,

又12max min |()()|()()4,4f x f x f x f x t -≤-=∴>

【习题1】

1.【2012高考真题辽宁理7】已知sin cos 2αα-=,α∈(0,π),则tan α=

(A) -1 (B) 22-

(C) 22

(D) 1 【答案】A 2.【2012高考真题江西理4】若tan θ+1

tan θ

=4,则sin2θ= A .

15 B. 14 C. 13 D. 1

2

【答案】D 3.【2012高考重庆文5】

sin 47sin17cos30

cos17

-

(A )32-

(B )12-(C )12 (D )3

2

【答案】C

4.【2012高考真题四川4】如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,

连接EC 、ED 则sin CED ∠=( )

A 、

31010 B 、1010 C 、510 D 、5

15

【答案】B 5.(2012考江苏11)α为锐角,若4cos 65απ⎛

⎫+= ⎪⎝

⎭,则)122sin(π+a 的值为 ▲ ;

若41-3sin =⎪⎭⎫

⎝⎛απ,则⎪⎭

⎝⎛+απ23cos 等于 .

6.已知a ∈(2π,π),sin αtan2α= 【答案】34-

二、运用三角函数性质解题,通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、对称轴及对

称中心。

例题1.【2012高考真题新课标理9】已知0ω>,函数()sin()4

f x x π

ω=+在(,)2π

π上

单调递减.则ω的取值范围是( )

()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C 1

(0,]2

()D (0,2]

【答案】A

【解析】函数)4

sin()(π

ω+

=x x f 的导数为)4

cos()('π

ωω+

=x x f ,要使函数

)4sin()(πω+

=x x f 在),2(ππ上单调递减,则有0)4

cos()('≤+=π

ωωx x f 恒成立,

则πππωππk x k 223422+≤+≤+, 即ππωππk x k 24524+≤≤+, 所以Z k k x k ∈+≤≤+,ω

πωπωπωπ24524,

当0=k 时,ωπωπ454≤≤x ,又ππ<

πωπ≥≤45,24,

解得45,21≤≥ωω,即4

5

21≤≤ω,选A.

例题2.【2012高考新课标文9】已知ω>0,πϕ<<0,直线4π=x 和45π

=x 是函数

)(sin )(ϕω+=x x f 图像的两条相邻的对称轴,则=ϕ

(A )π4 (B )π3 (C )π

2 (D )3π4

【答案】A 【解析】因为4

π

=

x 和45π=

x 是函数图象中相邻的对称轴,所以2

445T

=-ππ,即ππ2,2==T T .又πω

π

22==T ,所以1=ω,所以)sin()(ϕ+=x x f ,因为4π=x 是函

数的对称轴所以ππϕπk +=+24,所以ππ

ϕk +=4

,因为πϕ<<0,所以4πϕ=,检

验知此时45π

=x 也为对称轴,所以选A.

例题3.函数1

-1

y x =的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和

等于( ) (A )2 (B) 4 (C) 6 (D)8

解:函数1

-1

x y =

和函数)42(-sin 2≤≤=x x y π 的图像有公共的对称中心)(0,1,且函数

)42(-sin 2≤≤=x x y π的周期为2,做出两个函数在

同一坐标系内的图像,在区间)(4,1上有两个交点,根据对称性,在)(1,2-上也有两个交点,

故所有交点横坐标之和为4,选B 。

例题4 若(3sin ,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ,在函数

()()f x t =⋅++m m n 的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为4π,且当[0,]3

x π

∈时,()f x 的最大值为1。

(1)求函数()f x 的解析式; (2)若13

(),[0,]2

f x x π+=-∈,求实数x 的值。

解:由题意得(3sin cos ,sin )x x x ωωω+=+-m n ,

()()(3sin ,0)(3sin cos ,sin )f x t x x x x t ωωωω=⋅++=⋅+-+m m n

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