分位数回归方法及应用
分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用
分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用摘要：随着金融市场的不断发展和变化，风险控制成为金融机构和投资者关注的重要问题。
而准确预测金融市场的风险价值对于投资和决策具有极其重要的意义。
分位数回归方法是一种有效的统计模型，通过建立条件分位数与预测变量之间的关系，能够对金融市场的风险进行准确预测和度量。
本文将介绍分位数回归方法的基本原理和应用，以及在金融市场风险价值预测中的具体应用案例。
关键词：分位数回归方法；金融市场；风险价值；预测；应用案例一、引言金融市场的风险价值预测一直是金融领域研究的热点问题之一。
投资者和金融机构希望通过有效的风险预测方法，能够更好地进行资产配置和风险控制。
分位数回归方法是近年来被广泛应用于金融领域的一种统计模型，其能够对金融市场的风险进行准确预测和度量，受到了学术界和实践界的关注。
二、分位数回归方法的基本原理分位数回归方法是一种建立条件分位数与预测变量之间关系的统计模型。
相比于传统的普通最小二乘法回归，分位数回归方法能够更好地描述不同位置上的数据分布特征。
其基本原理是将预测变量对应的条件分位数作为目标变量，通过最小化各个分位数的损失函数，建立条件分位数与预测变量之间的关系。
三、分位数回归方法在金融市场风险价值预测中的应用1. 风险价值（Value at Risk，VaR）预测分位数回归方法在金融市场的VaR预测中得到了广泛应用。
通过建立预测变量与VaR之间的条件分位数回归模型，可以对未来的风险价值进行准确预测。
例如，可以通过分位数回归方法来建立条件分位数与市场波动率、相关性等变量之间的关系，从而预测未来的VaR水平。
2. 极端值风险预测金融市场风险中的极端值风险一直备受关注。
分位数回归方法可以通过建立条件分位数与风险因子之间的关系，对极端值风险进行预测。
例如，可以通过分位数回归方法来建立条件分位数与经济指标、市场波动率等变量之间的关系，从而预测未来的极端值风险。
条件分位数回归
条件分位数回归条件分位数回归是一种统计学方法，它可以利用多个自变量预测一个连续的因变量，并能够通过特定的分位数刻画预测结果。
这种方法可以在大型数据集中挖掘出隐藏在数据中的关系，是现代数据分析领域的热门研究课题之一。
一、条件分位数回归的概念及原理1.1 条件分位数回归的概念条件分位数回归模型是一种非参数回归分析方法，它使用了条件的分位数作为目标预测变量的方法。
它是通过对一组自变量和一个因变量的样本进行拟合函数，用于预测给定条件下的因变量的值（通常为中位数、上下十分位数等）。
具体来说，条件分位数回归的目标是通过不同条件的变量值来进行预测，例如一个明星获得社交媒体上的点赞数，主要与他最新一条动态的发布时间、是否携带图片等有一定的相关性。
1.2 条件分位数回归的原理条件分位数回归通过拟合一个基函数的线性组合来建立回归方程，该方程可以通过解决优化问题（如最小二乘法）而得到。
在条件分位数回归中，将函数的分布分为多个分位数区间，分别求出每个分位数区间的系数和常数项，用于计算预测值。
相比于普通回归方程，条件分位数回归容易排除偏大小和异常点对结果的干扰，更加鲁棒，并且对于非对称分布的数据更有效。
二、条件分位数回归的应用领域2.1 社会科学在社会科学领域中，条件分位数回归可以被用来探究不同变量对于某些特定人群的影响。
例如，条件分位数回归可以被用来分析不同收入水平的人群对于某些公共服务政策（如医疗、教育等）的接受度不同。
2.2 金融在金融领域，条件分位数回归可以被用来探讨股票价格与影响市场价格的因素之间的关系。
例如，可以利用该方法来探讨市场预期对价格变化的影响，从而规避股票交易带来的风险。
2.3 公共卫生疾病流行受到多种因素的影响，因此，条件分位数回归适用于探究这些因素对疾病的流行程度的影响。
例如，可以使用条件分位数回归来研究不同污染程度环境下婴儿出生体重的均值变化。
三、条件分位数回归的局限性3.1 可能存在模型偏差条件分位数回归模型是一种非参数模型，因此可能存在模型偏差。
分位数回归
分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。
与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。
传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。
普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。
如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。
但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。
最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。
为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。
它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。
因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。
分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。
中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。
一般线性回归模型可设定如下：()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-<∈在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。
sklearn分位数回归简单解释
sklearn分位数回归简介1. 什么是分位数回归？分位数回归是一种统计方法，用于估计因变量在不同分位数下的条件分布函数。
与传统的最小二乘线性回归不同，分位数回归可以更好地处理数据中的异常值和离群点，并提供更具鲁棒性的回归估计。
在分位数回归中，我们不再关注因变量的平均值，而是将注意力放在因变量在不同分位数下的条件分布上。
这使得我们能够更好地了解数据的不同部分之间的关系，并更准确地预测因变量在不同条件下的取值。
2. sklearn中的分位数回归sklearn（Scikit-learn）是一个流行的Python机器学习库，提供了丰富的机器学习算法和工具。
在sklearn中，我们可以使用sklearn.quantile_regression模块来进行分位数回归分析。
2.1 安装sklearn要使用sklearn中的分位数回归功能，首先需要安装sklearn库。
可以使用以下命令在Python环境中安装sklearn：pip install -U scikit-learn2.2 分位数回归的基本用法在sklearn中，分位数回归的基本用法非常简单。
我们首先需要导入必要的模块：from sklearn.linear_model import QuantileRegressor然后，我们可以创建一个QuantileRegressor对象，并使用fit方法拟合模型：model = QuantileRegressor()model.fit(X, y)其中，X是自变量的特征矩阵，y是因变量的观测值。
通过拟合模型，我们可以得到在不同分位数下的回归系数。
接下来，我们可以使用predict方法来进行预测：y_pred = model.predict(X_new)其中，X_new是新的自变量的特征矩阵，y_pred是预测的因变量值。
2.3 分位数回归的参数设置在sklearn的QuantileRegressor模块中，我们可以通过设置不同的参数来控制分位数回归的行为。
分位数回归及其实例
分位数回归及其实例一、分位数回归的概念分位数回归(Quantile Regression):是计量经济学的研究前沿方向之一，它利用解释变量的多个分位数（例如四分位、十分位、百分位等）来得到被解释变量的条件分布的相应的分位数方程。
与传统的OLS 只得到均值方程相比，它可以更详细地描述变量的统计分布。
传统的线性回归模型描述了因变量的条件分布受到自变量X 的影响过程。
普通最dx--乘法是估计回归系数的最基本的方法，它描述了自变量X 对于因变量y 的均值影响。
如果模型中的随机扰动项来自均值为零而且同方差的分布，那么回归系数的最dx--乘估计为最佳线性无偏估计(BLUE)；如果近一步随机扰动项服从正态分布，那么回归系数的最dx--乘法或极大似然估计为最小方差无偏估计(M Ⅵ甩)。
但是在实际的经济生活中，这种假设常常不被满足，饲如数据出现尖峰或厚尾的分布、存在显著的异方差等情况，这时的最小二乘法估计将不再具有上述优良性且稳健性非常差。
最小二乘回归假定自变量X 只能影响因变量的条件分布的位置，但不能影响其分布的刻度或形状的任何其他方面。
为了弥补普通最dx--乘法(0Ls)在回归分析中的缺陷，Koenkel"和Pxassett 于1978年提出了分位数回归(Quantile Regression)的思想。
它依据因变量的条件分位数对自变量X 进行回归，这样得到了所有分位数下的回归模型。
因此分位数回归相比普通最小二乘回归只能描述自变量X 对于因变量y 局部变化的影响而言，更能精确地描述自变量X 对于因变量y 的变化范围以及条件分布形状的影响。
分位数回归是对以古典条件均值模型为基础的最小二乘法的延伸，用多个分位函数来估计整体模型。
中位数回归是分位数回归的特殊情况，用对称权重解决残差最小化问题，而其他的条件分位数回归则用非对称权重解决残差最小化。
一般线性回归模型可设定如下：()((0)),(0,1).x t t I t ρττ=-<∈在满足高斯-马尔可夫假设前提下，可表示如下：01122(|)...k k E y x x x x αααα=++++其中u 为随机扰动项k αααα,...,,,210为待估解释变量系数。
计量分位数回归 eviews
分位数回归（Quantile Regression）最早由科恩克 和巴塞特 (Koenker 和Bassett, 1978)于1978年提出 ，它 提供了回归变量 X 和因变量Y 的分位数之间线性关系的
估计方法。绝大多数的回归模型都关注因变量的条件均
值，但是人们对于因变量条件分布的其他方面的模拟方 法也越来越有兴趣，尤其是能够更加全面地描述因变量 的条件分布的分位数回归。
利用分位数回归解决经济学问题的文献越来越多， 尤其是在劳动经济学中取得了广泛应用。如在教育回报和 劳动市场歧视等方面都出现了很好的研究成果。在经济学 中的应用研究还包括诸如财富分配不均问题、失业持续时
间问题、食品支出的恩格尔曲线问题、酒精需求问题和日
间用电需求问题等。在金融学领域也涌现出大量使用分位 数回归的应用研究成果，主要应用领域包括风险价值 （Value at Risk, VaR）研究和刻画共同基金投资类型的指 数模型。
（4.7.4）
即F() = ，也就是说F(Y)的第 个分位数是上述优化问题的解。 F(y) 可以由如下的经验分布函数替代：
1 FN ( y ) N
I(y
i 1Байду номын сангаас
N
i
y)
（4.7.5）
其中 y1，y2，…，yn 为Y 的 N 个样本观测值；I(z) 是指示函数，z 是条件关系式，当 z 为真时，I(z) = 1；当 z 为假时，I(z) = 0。式 （4.7.3）中条件关系式 z 为 yi y，当 yi y 时，I(yi y) = 1，否 则取值为0。
为线性函数。其中，0，1是未知参数，称为 回归系数（regression coefficients）。
1、样本回归函数
最新24分位数回归估计
• 例：软件EVIEWS6.0使用手册中实例的斜率对称性检验 结果，其中Y为家庭食物消费支出，X为家庭收入。
Symmetric Quantiles Test
Equation: EQ1
Specification: Y C X
Chi-Sq. d.f. 2
Std. Error 0.025923 0.030529
Prob. 0.0000
Prob. 0.0009 0.0060
Wald统计量 为25.22， 应该拒绝斜
率在 tau=0.25、 0.5和0.75相 等性的假设， 即斜率在不 同分位点上 的值是不同
的。
4、斜率对称性检验
LR()2(V (1 ())V sˆ(()))~2(q)
有约束情况下 最小化θ分位 数回归的目标
函数值
稀疏度
无约束情况下 最小化θ分位 数回归的目标
函数值
约束的数目
3、斜率相等检验
• 斜率相等检验，即检验对于不同的分位点，估计 得到的结构参数（在线性模型中即为斜率）是否 相等。
• 原假设被设定为：
24分位数回归估计
一、分位数回归的提出
1、分位数回归Βιβλιοθήκη 理F(y)=Prob(Yy)
Q ()= in f{ y:F (y) }
Q n()= in f{y:F n(y)}
假定随机变量y的概率分布函数
定义y的θ分位数
给定y的n个观测值，相对应的 分位数
等价地转化为求一个最优化问题
Q n ( ) = a r g m i n { i : Y i |Y i | i : Y i ( 1 ) |Y i | } = a r g m i n { i ( Y i ) }
– 一是与均值回归类似的检验，例如拟合优度检验、约 束回归检验等；
分位数回归理论及其应用共3篇
分位数回归理论及其应用共3篇分位数回归理论及其应用1分位数回归理论及其应用分位数回归是一种重要的统计方法，可以有效地应用于对数据进行分析和建模。
本文将介绍分位数回归理论的概念、方法和应用，并通过实际案例来说明其在实践中的运用。
一、分位数回归理论概述分位数回归是通过对分位数进行建模，而不是对中心点（如平均数或中位数）进行建模的回归分析。
该方法可以帮助我们更好地理解数据的分布情况。
通常情况下，我们关注的是中位数或平均数，因为它们代表了数据集中的位置信息。
但是，在某些情况下，这些中心点可能无法提供足够的信息，或者它们可能无法很好地描述分布情况。
分位数回归方法就是通过对数据进行分位数的建模来解决这些问题。
分位数回归给出了不同分位数对自变量的响应，可以确定不同分位数下因变量与自变量之间的关系。
二、分位数回归方法1.示例数据在了解分位数回归方法之前，我们先介绍数据集。
假设我们有一组来自UNICEF的数据集，记录了不同国家儿童死亡率和GDP（卫生）支出的信息。
这些数据明显不是线性的，因为它们不能用单独的直线来描述。
2.分位数回归假设我们希望了解死亡率与GDP支出之间的关系。
我们可以在不同的分位数水平下，对死亡率和GDP支出之间的关系进行建模。
这个过程被称为分位数回归。
在本例中，我们将使用分位数水平为0.25、0.5和0.75。
我们可以首先在0.25和0.75分位数水平下建立模型，确定死亡率与GDP支出之间的关系。
然后，我们在0.5分位数水平下建立模型，确定这两个变量之间的中心关系。
3.结果分析在分位数回归分析后，我们可以得到以下结果。
在0.25分位数水平下，我们发现GDP支出与死亡率呈现负相关；在0.75分位数水平下，我们发现GDP支出与死亡率呈现正相关，这意味着一些经济条件较好的国家的死亡率可能会上升。
在0.5分位数水平下，我们可以看到两种情况都可能发生，因为这是分布的中心位置。
这种方法允许我们更灵活地研究不同分位数下的自变量与因变量之间的关系。
应用时间序列分位数回归
目录一、为什么需要分位数回归二、总体分位数三、样本分位数四、分位数回归的估计方法五、分位数回归模型的估计六、R软件操作分位数回归一、为什么需要分位数回归？1、一般的回归模型着重考察x对y的条件期望E(y|x)的影响，如果y|x不是对称分布，则E(y|x)难以反映条件分布的全貌。
如果能够估计条件分布y|x的若干重要的条件分位数，比如中位数等，能够更加全面的描述被解释变量条件分布的全貌，而不是仅仅分析被解释变量的条件期望（均值）。
不同分位数下的回归系数估计量常常不同，即解释变量对不同水平被解释变量的影响不同。
2、使用OLS 进行“均值回归”，由于最小化的目标函数为残差平方和，容易受极端值影响。
“分位数回归”，使用残差绝对值的加权平均作为最小化的目标函数，不易受极端值影响。
而且，分位数回归对误差项并不要求很强的假设条件，因此对于非正态分布而言，分位数回归系数估计量则更加稳健。
二、总体分位数假设Y为连续型随机变量，其累积分布函数为F y(·)。
Y的“总体q 分位数”，记为y q，满足以下定义式：q = P (Y≤y q)= F y(y q)总体q分位数正好将总体分布分为两部分，其中小于或等于y q的概率为q，而大于y q的概率为(1-q )。
如果q =1/ 2，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。
如果Fy(·)严格单调递增，则有y q=F y-1 (q)对于回归模型，记条件分布y | x 的累积分布函数为F y | x (·)。
条件分布y | x 的总体q分位数，记为y q，满足以下定义式：q= F y | x (y q)假设F y | x (·)严格单调递增，则有y q=F y | x-1(q)由于条件累积分布函数F y | x (·)依赖于x ，故条件分布y | x的总体q分位数y q也依赖于x，记为y q (x)，称为“条件分位数函数”。
对于线性回归模型，如果扰动项满足同方差的假定，或扰动项的异方差形式为乘积形式，则y q (x)是x的线性函数。
无条件分位数回归与应用实例
究 模型：Firpo, Fortin 和 Lemieux(2009) 提出的的再中心化影响函数(recentered influence function, RIF)
回归，Frolich 和 Melly(2010)提出的无条件分位数处理效应模型与 Powell(2010)提出的一般无条件
研 分位数回归。另外,论文还运用一个研究居民收入分配格局变化对其医疗支出影响的实例详细说明
经 拟的无穷小平移变换(location shift)，于是(5)式右边将变成
(6)
量 将(6)式与(5)式右边相减，除以增量 并令 趋向于零，可以得到 数 无条件分位数的边际影响，即无条件分位数偏效应：
。 的单位平移变换对
的-
(7)
。
院 最后，FFL 建议从( 7)式出发，通过以下三步获得 UQPE 的一致估计：
在这一前沿领域，国外学者的研究也只是刚刚开始，并且有关无条件分位数回归的理论与方法正在
逐渐完善之中。本文旨在介绍UQR技术并梳理相关文献。特别地，我们介绍三种重要的无条件分位 数回归模型：Firpo, Fortin和Lemieux(2009)的再中心化影响函数(recentered influence function, RIF) 回 归，Frolich和Melly(2010)的无条件分位数处理效应模型与Powell(2010)的无条件分位数回归。有关 UQR与CQR的差别，本文将在第二部分“无条件分位数回归的最新进展”中详细说明。
二、无条件分位数回归的最新进展
济研
经 假设已经获得了被解释变量 以及可能影响 的 维解释变量 的观测值。我们关心的是 的
变动对 的影响。例如研究者时常关心以下条件分位数偏效应(conditional quantile partial
分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用
分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用随着金融市场的不断发展和创新，风险管理越来越成为金融业的重要组成部分。
预测金融市场中的风险价值是风险管理中的一个关键问题。
分位数回归方法作为一种有效的统计分析方法，被广泛用于金融市场风险价值预测。
分位数回归方法是一种将相关自变量与一个给定分位数下的因变量之间的关系进行估计的回归方法。
与传统的最小二乘法不同，分位数回归方法可以更好地描述因变量的分布。
它不仅可以提供关于因变量均值的信息，还能够给出关于不同分位数的信息。
在金融市场风险价值预测中，我们通常关心的是低分位数的预测，比如极端值。
分位数回归方法在金融市场风险价值预测中的应用主要有两个方面。
首先，它可以用来预测金融资产的风险价值。
金融资产的风险价值是指在给定置信水平下的最大可能亏损金额。
通过使用分位数回归方法，我们可以估计出金融资产在不同置信水平下的风险价值，从而更好地评估其风险水平。
其次，分位数回归方法可以用于预测金融市场的系统风险。
系统风险是指市场整体风险的水平。
通过将分位数回归方法与一些市场指标和经济变量结合起来，我们可以预测市场风险的变化趋势和可能的极端风险。
这对于投资者和投资机构来说是非常重要的，因为他们可以根据这些预测来制定更有效的风险管理策略。
在金融市场风险价值预测中，分位数回归方法具有一些优点。
首先，它可以捕捉到因变量的尾部分布，特别是极端值。
这对于金融市场中的极端风险的预测非常重要。
其次，分位数回归方法对于数据中存在的异方差性和非线性关系具有一定的鲁棒性。
这使得它对于金融市场数据的分析更为准确和可靠。
然而，分位数回归方法也存在一些限制。
首先，它对于样本数据的分布有一定的要求，特别是对于尾部分布。
如果数据的分布不满足一些基本假设，那么分位数回归的结果可能会失真。
其次，分位数回归方法在模型设定和结果解释方面相对复杂。
需要对数据进行合适的预处理和转换，以及对结果进行合理的解释和分析。
总之，分位数回归方法是一种有效的统计分析方法，已被广泛应用于金融市场风险价值预测。
分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用
分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用 1. 引言金融市场中的风险价值预测是一个关键的任务，它帮助投资者和金融机构衡量资产组合的风险暴露并制定风险管理策略。
过去几十年来，学术界和业界一直在积极探索各种预测模型和方法。
本文将重点介绍分位数回归方法及其在金融市场风险价值预测中的应用。
2. 分位数回归方法的原理分位数回归是一种回归分析方法，它不仅能估计模型中的中值效应，还能提供更加全面的分位点效应。
与传统的OLS（最小二乘法）回归不同，分位数回归在分析中关注的是各个分位点上的条件分布情况，对异常值和离群点具有较强的鲁棒性。
该方法从统计学的角度可以提供更多有关模型的信息，对于风险评估和预测具有重要意义。
3. 分位数回归方法在金融市场风险价值预测中的优势3.1 鲁棒性金融市场中经常出现异常波动和极端事件，这使得传统线性回归模型无法准确地预测风险暴露。
分位数回归方法能够更好地应对这些异常条件，提供鲁棒的风险预测结果，更加准确地反映市场波动特征。
3.2 灵活性分位数回归方法能够估计不同分位点上的条件分布情况，这为投资者和金融机构提供了更多的风险度量选择。
相比于传统的VaR（Value at Risk）方法只提供风险暴露的一个点估计，分位数回归可以通过获取更多的分位点信息，提供分布的更加全面的风险度量。
3.3 模型透明度分位数回归方法具有较好的解释性。
它不仅提供了关于不同因素对各个分位点风险预测的影响程度，还可以揭示模型的非线性特征。
这些信息有助于投资者和机构更好地理解市场风险，制定更准确的决策。
4. 分位数回归方法的应用案例4.1 风险价值预测分位数回归方法在金融市场风险价值预测中的应用非常广泛。
通过建立风险价值模型，可以在不同置信水平下估计投资组合的潜在损失。
投资者和机构可以根据这些结果进行资产配置和风险管理。
4.2 可行边界分析可行边界是指在给定风险水平下，能够获得的最高期望收益的曲线。
分位数回归及应用简介
分位数回归及应用简介分位数回归是一种在统计学和经济学中常用的回归分析方法，它与传统的平凡最小二乘回归分析相比，更加适用于处理非正态分布、异方差和异常值等问题。
本文将对分位数回归的基本原理进行介绍，并探讨其在实际应用中的一些例子。
一、基本原理分位数回归是指通过对数据进行分位数划分，将不同分位数的回归干系进行建模和分析的方法。
在传统的回归分析中，我们通常关注的是条件均值（条件期望）的回归干系，而分位数回归则可以揭示在不同条件下，数据的不同分位数的回归干系。
以简易的线性回归为例，我们通常会建立一个关于自变量和因变量的条件均值模型，即通过最小化猜测值与实际观测值之间的平方差，得到最佳拟合直线。
而在分位数回归中，我们可以通过最小化猜测值与实际观测值的分位差，得到在不同分位数条件下的最佳拟合直线。
这样做的好处是能够更好地理解数据的分布状况，以及对不同条件下的不确定性进行建模和猜测。
二、实际应用1. 收入差距探究分位数回归常被用于探究收入差距的影响因素。
以中国为例，我们可以通过对个人收入数据的分位数回归分析，得到不同分位数收入的影响因素和差异。
探究发现，教育水平、工作阅历和性别等因素对于不同收入分位数的影响程度是不同的。
通过分位数回归，我们可以更全面地洞察不同收入群体之间的差距和不对等现象。
2. 健康状况评估分位数回归也可以用于对健康状况评估的探究。
例如，我们可以通过分位数回归分析，探讨不同健康指标（如体重指数、血压等）与不同健康分位数（如50%、70%）的干系，从而对健康状况进行更精细的刻画和猜测。
探究发现，不同健康指标对不同健康分位数的影响具有显著差异，分位数回归可以援助揭示这些差异。
3. 风险评估在金融风险评估中，分位数回归也有重要应用。
通过分位数回归，我们可以建立基于市场因素、公司基本面等的风险模型，猜测不同风险分位数下的收益变化。
这对于投资组合的构建和风险管理具有重要意义。
探究表明，通过引入分位数回归，能够更准确地预估金融市场的风险暴露和收益猜测。
应用时间序列分位数回归
如果q=1/2，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。
如果Fy(·)严格单调递增，则有yq=Fy-1(q)
对于回归模型，记条件分布y | x的累积分布函数为Fy | x(·)。
条件分布y| x的总体q分位数，记为yq，满足以下定义式标函数为残差平方和，容易受极端值影响。“分位数回归”，使用残差绝对值的加权平均作为最小化的目标函数，不易受极端值影响。而且，分位数回归对误差项并不要求很强的假设条件，因此对于非正态分布而言，分位数回归系数估计量则更加稳健。
二、总体分位数
假设Y为连续型随机变量，其累积分布函数为Fy(·)。Y的“总体q分位数”，记为yq，满足以下定义式：q=P (Y≤yq)=Fy(yq)
一般地，条件分位数函数的“斜率”也依赖于q，记为βq。
在下文中，假设条件分位数函数是解释变量x的线性函数。
三、样本分位数
对于随机变量Y，如果总体的q分位数yq未知，可使用样本q分位数 来估计yq。
将样本数据{y1,y2,…,yn}按从小到大的顺序排列为{y(1),y(2),…,y(n)}。
等于第[nq]个最小观测值，其中n为样本容量，[nq]表示大于或等于nq而离nq最近的正整数。
证明：将目标函数中的绝对值去掉可得
对 求一阶导数可得
假设y(k)< <y(k+1)，其中y(k)为第k个最小观测值，则共有k个观测值满足“yi< ”，(n k)个观测值满足“yi> ”，故
(n k) q+k(1 q)=0
经整理可得k=nq。k必须是整数。故最优解 ，即样本分位数。
四、分位数回归的估计方法
第26章分位数回归
i:y q yi i:y (1 q) yi
n n
i i
13
ˆq y
例 如果 q 1 4 ，则满足“ yi ”条件的观测值只得到1 4 的权 重，而满足“ yi ”条件的其余观测值则得到 3 4 的权重。 因为估计的是1 4 分位数(位于总体的底部)，故较大的观测值得 到的权重较小，而较小的观测值得到的权重较大。 证明：将目标函数中的绝对值去掉可得
3
如果 q 1 2 ，则为中位数，正好将总体分为两个相等的部分。 如果 Fy () 严格单调递增，则有
yq Fy1 (q )
其中， Fy1 () 为 Fy () 的逆函数，参见图 26.1。
4
图 26.1 总体 q 分位数与累积分布函数
5
对于回归模型，记条件分布 y | x 的累积分布函数为 Fy | x () 。 条件分布 y | x 的总体 q 分位数，记为 yq ，满足以下定义式：
2
26.2 总体分位数 假设Y 为连续型随机变量，其累积分布函数为 Fy () 。
Y的 “总体 q 分位数” (population qth quantile，0 q 1)， 记为 yq ，
满足以下定义式：
q P(Y yq ) Fy ( yq )
其中小于或等于 yq 总体 q 分位数 yq 正好将总体分布分为两部分， 的概率为 q，而大于 yq 的概率为 (1 q) 。
i1 ( yi )
n
2
1 n y i 1 yi n
样本中位数可视为“最小化残差绝对值之和”问题的解：
min
i1 yi
n
median y1 , y2 , , yn
分位数回归方法及其应用
线性分位数回归模型的估计
分位数回归的基本性质
分位数回归的渐近性质
分位数回归的渐近性质
与普通线性最小二乘回归方法的比较
1.在模型假设方面：OLS法要求满足经典假设的几个条 件；QR法只要求扰动项 ei Fi 的条件下 Fi 1 ( ) 0 。 2.在计算方面：OLS法求解简单；QR法复杂，但由于计 算机技术的发展，其不难完成。 3.在估计的优良性方面：两者都有各自的优良性。由于 QR法在模型的假设方面要求较少，较容易得到满足。 特别是其估计方法（加权最小一乘估计方法）决定了 其估计具有较强的稳键性。
分位数回归参数的估计方法（点估计）
求解 ( ) argmin R ( yi xi ) 等价于求解以 i 1 下个线性规划问题： Max{ yz|Xz=(1- )Xe,z [0,1]n } z 其中 e 为单位向量。目前对上式的算法主要有 如下几种:
分位数的概念
定义：设随机变量 Y 的分布函数为
则 Y 的第 分位数为
F ( y) P(Y y)
F 1 ( ) inf{ y : F ( y) }
F 其中中位数可以表示为 (1/ 2)。
1
分位数回归思想的数学公式化
对于 Y 的一组随机样本 { y1 , y2 ,, yn }，样本均 n 值是 min ( yi ) 2 的最优解。
从1997-2004年， 506 articles on QR published
分位数回归的发展
Heteroscedasticity Robustness Censoring Sample selection Binary response models Panel data Time series
应用时间序列分位数回归
目錄一、為什麼需要分位數回歸二、總體分位數三、樣本分位數四、分位數回歸の估計方法五、分位數回歸模型の估計六、R軟件操作分位數回歸一、為什麼需要分位數回歸？1、一般の回歸模型著重考察x對yの條件期望E(y|x)の影響，如果y|x不是對稱分布，則E(y|x)難以反映條件分布の全貌。
如果能夠估計條件分布y|xの若幹重要の條件分位數，比如中位數等，能夠更加全面の描述被解釋變量條件分布の全貌，而不是僅僅分析被解釋變量の條件期望（均值）。
不同分位數下の回歸系數估計量常常不同，即解釋變量對不同水平被解釋變量の影響不同。
2、使用OLS 進行“均值回歸”，由於最小化の目標函數為殘差平方和，容易受極端值影響。
“分位數回歸”，使用殘差絕對值の加權平均作為最小化の目標函數，不易受極端值影響。
而且，分位數回歸對誤差項並不要求很強の假設條件，因此對於非正態分布而言，分位數回歸系數估計量則更加穩健。
二、總體分位數假設Y為連續型隨機變量，其累積分布函數為F y(·)。
Yの“總體q 分位數”，記為y q，滿足以下定義式：q = P (Y≤y q)= F y(y q)總體q分位數正好將總體分布分為兩部分，其中小於或等於y qの概率為q，而大於y qの概率為(1-q )。
如果q =1/ 2，則為中位數，正好將總體分為兩個相等の部分。
如果Fy(·)嚴格單調遞增，則有y q=F y-1 (q)對於回歸模型，記條件分布y | x の累積分布函數為F y | x (·)。
條件分布y | x の總體q分位數，記為y q，滿足以下定義式：q= F y | x (y q)假設F y | x (·)嚴格單調遞增，則有y q=F y | x-1(q)由於條件累積分布函數F y | x (·)依賴於x ，故條件分布y | xの總體q分位數y q也依賴於x，記為y q (x)，稱為“條件分位數函數”。
對於線性回歸模型，如果擾動項滿足同方差の假定，或擾動項の異方差形式為乘積形式，則y q (x)是xの線性函數。
第7章 分位数回归模型的理论与应用
ˆ 估计的中位数回归系数估计量 β (0.5) ，从而得到 yt 的中位数回归估计量
ˆ ˆ (0.5)t X t ) X t ' β (y (0.5) 。
3. 分位数回归
ˆ ( )t 表示 yt 的分位数回归估计量，则对于 Koenker 和 Bassett(1978)证明，若用 y
以检查函数（ check function） w 为权数， yt 对任意值 的加权离差绝对值和
（1）独立同分布假设下的参数渐近分布 Koenker 和 Bassett(1978)在独立同分布假设下得出分位数回归系数渐近服从正态 分布，可以表述为在弱条件下：
ˆ ) ~ N (0, (1 )s 2 J 1 ) n ( ( ) ( ) ( )
(5) (6)
其中
J lim (
4. 分位数回归（Quantile Regression）模型的估计 由于目标函数（15.3） Q
ˆ ) ˆ ) ( y t X β ( ) ( ) ˆ(1 )( yt X β ˆ
t: yt X ( ) T T
t: yt X ( )
E ( yt )
a
b ( y - )
，得 dy - dy 。运用于式（1）
dy = -
a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
=- =
( y ) f ( y )
-
dy
( y ) f ( y )
-
f ( y)d y f ( y)dy
-
( y ) f ( y)dy
( y ) f ( y)dy a
多分类变量的gwqs加权分位数回归模型
标题：多分类变量的GWQS加权分位数回归模型引言：多分类变量的GWQS加权分位数回归模型（Generalized Weighted Quantile Regression for Multiclass Variables）是一种用于处理多分类变量的统计回归方法。
在许多实际应用中，我们常常面临的是非连续或有序的多分类变量，传统的回归方法无法直接处理这些变量。
本文将介绍GWQS加权分位数回归模型的基本原理、优势以及应用场景。
一、GWQS加权分位数回归模型的基本原理1. 分位数回归的基本概念：分位数回归是一种回归分析方法，它通过估计目标变量在不同分位点上的条件分布函数来描述自变量对目标变量的影响。
常见的分位数回归包括最小二乘分位数回归和最大似然分位数回归。
2. GWQS加权分位数回归模型：GWQS加权分位数回归模型是在传统的分位数回归基础上针对多分类变量进行扩展。
它引入了加权系数来考虑不同分类变量对目标变量的影响程度，并通过最小化加权分位数损失函数来估计模型参数。
二、GWQS加权分位数回归模型的优势1. 考虑多分类变量的非线性关系：传统的回归方法通常假设自变量与目标变量之间存在线性关系，无法直接处理多分类变量的非线性关系。
而GWQS加权分位数回归模型可以更好地考虑多分类变量的非线性关系，提高了模型的拟合度和预测准确性。
2. 引入加权系数提高建模精度：GWQS加权分位数回归模型通过引入加权系数来考虑不同分类变量对目标变量的影响程度。
这使得模型能够更准确地估计不同分类变量的影响，提高了建模精度。
3. 对异常值具有鲁棒性：GWQS加权分位数回归模型对异常值具有较好的鲁棒性，能够有效减少异常值对模型参数估计的影响。
这一特点在实际应用中尤为重要，因为数据中往往存在一些异常值，它们可能导致传统回归方法的失效。
三、GWQS加权分位数回归模型的应用场景1. 社会科学研究：在社会科学研究中，我们常常需要考察多分类变量对某个社会现象的影响。