沪教版数学九年级上一课一练及答案__同优书院

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HK沪科版初三九年级数学上册第一学期同步课堂补习练习题作业(上学期上半年全册分章节分课时)

第21章二次函数与反比例函数21.1 二次函数1．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为_________．2．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是_________．3．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是_________函数．4．已知y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是_________．5．二次函数y=3x2+5的二次项系数是_________，一次项系数是_________．6．已知y=（k+2）是二次函数，则k的值为_________．7．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数．8．已知函数y=（m﹣1）+5x﹣3是二次函数，求m的值．9．已知函数y=﹣（m+2）x m2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．10．函数y=（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？11．已知函数y=m•，m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减少？当x取何值时，函数有最小值？12．己知y=（m+1）+m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．求：（1）m的值．（2）求函数的最值．13．已知是x的二次函数，求出它的解析式．14．如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．21.2 1二次函数y =ax 2 的图象和性质第1课时二次函数y =ax 2 的图象1、已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（）A ． B．C ．D ．2、如图，⊙O 的半径为2．C 1是函数y=x 2的图象，C 2是函数y=﹣x 2的图象，则阴影部分的面积是 _________ ．3、如图，函数y ＝ax 2与y ＝-ax+b 的图像可能是( ).4、在同一坐标系中，抛物线y ＝4x 2,y ＝41x 2,y ＝-41x 2的共同特点是( ) A.关于y 轴对称，抛物线开口向上;B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而增大 B.关于y 轴对称，y 随x 的增大而减小; D.关于y 轴对称，抛物线顶点在原点.21.2 1 二次函数y =ax 2 的图象和性质第2课时二次函数y =ax 2 的性质1.填空 (1)形如(其中a 是，b 、c 是_)的函数，叫做二次函数.(2)y ＝ax 2(a ≠0)的图像是；对称轴是；顶点坐标是；当a ＞0时，开口向；当a ＜0时，开口向. (3)当a ＞0时，在抛物线y ＝ax 2的对称轴左侧y 随x 的减小而；而在对称轴的右侧是y 随着x 的增大而；此时函数y ＝ax 2当x ＝时的值最是.(4)若y ＝(m 2+m)x 是二次函数，则m ＝.(5)y ＝ax 2(a ≠0)的图像必经过点，待定系数是. (6)若y ＝ax 2(a ≠0)过P(-2，-9)，则函数解析式为.(7)对称轴与抛物线y ＝ax 2的交点叫抛物线的，其坐标为 __.(8)已知点P(5，25)在抛物线y ＝ax 2上，则当x ＝1时，y 的值为 . (9)若y ＝(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是x 的二次函数，则m 为.(10)若y ＝(m 2-3m)221m m x--的图像是抛物线，则m ＝.(11)函数y ＝(-2x)2的图像是线，顶点坐标是，对称轴是，图像的开口向；当x ＝时，函数有最值；在对称轴左侧，y 随x 的增大而，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而.(12)函数y ＝ax 2(a ≠0)自变量x 的取值范围是，当a ___时，函数y ＝ax 2的最小值是 .(13)若函数y ＝(m 2-1)x 322--m m是二次函数，则m ＝. (14)若函数y ＝(m 2-4)x 2+(m+2)x+3是二次函数，则m.(15)二次函数y ＝ax 2的图像经过点(1，2)，则它的解析式为.(16)一个长方形的周长是50cm ，一边长是xcm ，这个长方形的面积y(cm 2)与x 的函数关系式是.(17)二次函数y ＝41x 2的图像是.它的开口向，对称轴是，顶点坐标是 .它的图像有最点.当x ＝2时，y ＝，当y ＝1时，x ＝.(18)已知函数y ＝mx mm -2，当m ＝时，它的图像是开口向下的抛物线，当x时，y 随x 的增大而减小.(19)直线y ＝-3x+1与抛物线y ＝4x 2的交点坐标为.(20)抛物线y ＝ax 2过点(-1，2)，则a ＝.(21)若对任何实数x ，二次函数y ＝(m-1)x 2的值总是非负数，则m 的取值范围是.21.2 2 二次函数y =ax 2+bx +c 的图象和性质第1课时二次函数y =ax 2+k 的图象和性质1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。

沪教版九年级(下)数学一课一练及单元测试卷和参考答案

数学九年级下一课一练及单元测试卷和参考答案目录第二十七章圆与正多边形27.1圆的确定（1） 2 27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（1）7 27.2圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系（2）11 27.3垂径定理（1）16 27.3垂径定理（2）21 27.4 直线与圆位置关系（1）26 27.5 圆与圆的位置关系（1）31 27.6 正多边形与圆（1）36 九年级(上)数学第二十七章圆与正多边形单元测试卷一41第二十八章统计初步28.1 数据整理与表示（1）46 28.2统计意义（1）51 28.3 表示一组数据平均水平的量（1）55 28.4 表示一组数据波动程度的量（1）61 28.5 表示一组数据分布的量（1）66 28. 6 统计实习（1）72 九年级(下)数学第二十八章统计初步单元测试卷一77 参考答案84数学九年级下第二十七章圆与正多边形27.1圆的确定（1）一、选择题1. 可以作圆，且只可以作一个圆的条件是（）A. 已知圆心B. 已知半径C. 过三个已知点D. 过不在一直线上的三点2. 下列命题正确的是（）A. 三点确定一个圆B. 经过四点不能作一个圆C. 三角形有且只有一个外接圆D. 三角形的外心在三角形的外面3. 如果一个三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是 ( )A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 斜三角形4. 在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8 cm，D是AB的中点，以C为圆心，8 cm长为半径作圆，则A、B、C、D四点中，在圆内的有（）A. 1点B.2点C.3点D. 4点5. 到圆心距离不大于半径的点所组成的图形是（）A.圆的内部（包括边界）B. 圆的内部（不包括边界）C. 圆D. 圆的外部（包括边界）6. 已知⊙O的半径为3 cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（）A. 等于3 cmB. 小于3 cmC. 等于6 cmD. 大于6 cm7.⊙O的半径为6，圆心O的坐标为（0，0），点P的坐标为（4，5），则点P与⊙O的位置关系是（） A. 点P在⊙O内 B. 点P在⊙O外C. 点P在⊙O上D. 点P在⊙O内或⊙O上二、填空题8. 在一个平面内，线段绕它________________旋转一周,它的另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆,___________叫做圆心,_________叫做半径。

沪科版数学九年级上册解直角三角形分课时习题及答案

沪科版数学九年级上册解直角三角形分课时习题及答案第1课时 30°、60°、45°角的三角函数值第2课时一般锐角的三角函数值第1课时解直角三角形练习第2课时解直角三角形的应用第3课时解直角三角形的应用第4课时解直角三角形的应用第1课时 30°、60°、45°角的三角函数值1．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )．A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°2．将(－sin 30°)－2、()0、(3这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的结果是( )．A ．(－sin 30°)－2＜()0＜()3B ．(－sin 30°)－2＜()3＜()0C ．(3＜()0＜(－sin 30°)－2D ．()0＜(3＜(－sin 30°)－23．在锐角△ABC 中，∠B＝α，∠C＝α－15°，且sin(α－15°)＝2，则∠A＝________.4．计算：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°；(2)sin 60cos30︒︒；(3)cos 60°－sin 245°＋23tan 304︒－tan 245°.5．一个等腰三角形的腰是10，底边是12，求这个三角形顶角的正弦值、余弦值、正切值．6．在△ABC 中，cos A ＋21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0，求∠C．7．如图，海船以29.8海里/时的速度向正北方向航行，在A 处观察到灯塔C 在海船的北偏东30°方向上，半小时后航行到点B 处，发现此时灯塔C 与海船的距离最短．(1)在图上标出点B 的位置；(2)求灯塔C 到B 处的距离(精确到0.1海里)． 8．在某段限速公路BC 上(公路视为直线)，交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时50/3⎛⎫⎪⎝⎭即米秒，并在离该公路100米处设置了一个监测点A ．在如图所示的直角坐标系中，点A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y 轴上，AO 为其中的一段．(1)求点B 和点C 的坐标．(2)一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？((3)若一辆大货车在限速路上由C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？9．(创新应用)如图，某居民小区内A 、B 两楼之间的距离MN ＝30 m ，两楼的高都是20 m ，A 楼在B 楼正南，B 楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离DN ＝2 m ，窗户高CD ＝1.8 m ．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(参考答案1解析：连接AC ，则AC BC AB∴AC 2＋BC 2＝AB 2.∴△ABC 为等腰直角三角形．∴∠ABC＝45°. 答案：C2解析：(－sin 30°)－2＝4，()0＝1，()3＝-，所以(3＜()0＜(－sin 30°)－2. 答案：C3解析：在锐角三角形中，sin(α－15°)＝2， ∴α＝75°，即∠B＝75°，∠C＝60°. ∴∠A＝180°－∠B－∠C＝45°. 答案：45°4解：(1)tan 30°sin 60°＋cos 230°－sin 245°tan 45°＝2213222⎛⎛+-⨯ ⎝⎭⎝⎭＝131242+-＝34.(2)sin 60|1cos30︒=︒＝1－1.(3)cos 60°－sin 245°＋23tan 304︒－tan 245°＝2213111311242244-+⨯-=-+-=⎝⎭⎝⎭. 5解：如图所示，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，作A D⊥BC 于点D ，作CE⊥AB 于点E.∵AB＝AC ，AD⊥BC， ∴BD＝CD ＝6.在Rt△ABD 中，AD ＝=＝8.又∵S △ABC ＝12AB CE ⋅= 12BC AD ⋅， ∴10×CE＝12×8，CE ＝9.6.在Rt△ACE 中，AE = 2.8.∴sin∠BAC ＝9.610CE AC =＝0.96，cos∠BAC ＝ 2.810AE AC =＝0.28，tan∠BAC ＝9.62.8CE AE =＝247.6解：∵21cos sin 2A B ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝0，由于cos A -≥0，21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0，∴cos A -0，21sin 2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0.∴cos A－2＝0，sin B －12＝0，即cos A ＝2，sin B ＝12.∴∠A＝45°，∠B＝30°.∴∠C＝180°－45°－30°＝105°.7解：(1)如图，作CB⊥AD，垂足为B ，则点B 即为所求．(2)在Rt△ABC 中，AB ＝29.8×0.5＝14.9(海里)，BC ＝AB×tan 30°＝14.9×3≈8.6(海里)．答：灯塔C 到B 处的距离约为8.6海里．8解：(1)在Rt△AOB 中，OA ＝100，∠BAO＝60°，OB ＝OA·tan∠BAO＝在Rt△AOC 中，∵∠CAO＝45°， ∴OC＝OA ＝100.∴B(-0)，C(100,0)．(2)∵BC＝BO ＋OC ＝＋100，∴10015≈18.∵18＞503，∴这辆车超速了．(3)设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，且两车之间的距离为y当x ＝60时，y =米)．答：两车相距的最近距离为9解：如图，设光线FE 影响到B 楼的E 处，作BG⊥FM于点G，由题知EG＝MN＝30 m，∠FEG＝30°，2.68(m)．∵DN＝2 m，CD＝1.8 m.∴ED＝2.68－2＝0.68(m)，即A楼影子影响到B楼一楼采光，挡住该户窗户0.68 m高．第2课时一般锐角的三角函数值1．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB＝65°，则这幢大楼的高度为(结果保留3个有效数字)( )．A ．42.8 mB ．42.80 mC ．42.9 mD ．42.90 m2．如图，沿AC 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B 取∠ABD＝148°，BD ＝480 m ，∠D＝58°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是( )．A ．480sin 58° mB ．480cos 58° mC ．480tan 58° mD ．480tan 58︒m3．因为sin 30°＝12，sin 210°＝12-，所以sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；因为，sin 225°＝-，所以sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°.由此猜想，推理知：一般地，当α为锐角时有sin(180°＋α)＝－sin α，由此可知：sin 240°等于( )．A ．12-B ．2-C ．2-D ．4．已知在△ABC 中，∠C＝90°，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )．A ．0＜nB ．0＜n ＜12C ．0＜n ＜3D ．0＜n ＜25．如图，在坡屋顶的设计图中，AB ＝AC ，屋顶的宽度l 为10米，坡角α为35°，则坡屋顶的高度h 为______米．(结果精确到0.1米)6．如图，已知Rt△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥B C ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC，垂足为C 2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，C 1A 2，…，则CA 1＝__________，4555C A A C ＝__________.7．(1)用计算器求图中∠A 的正弦值、余弦值、正切值．(2)已知sin A ＝0.328 6，tan B ＝10.08，利用计算器求其相应的锐角A 、B ． 8．若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角且满足下列关系式|2sin B＝0，求∠C 的度数．9．(创新应用)在Rt△ABC 中，∠C＝90°，利用sin B ＝b c ，cos B ＝ac，证明对于同一个锐角的正弦和余弦之间存在着以下重要的关系式：sin 2B ＋cos 2B ＝1，并且0＜sin B ＜1,0＜cos B ＜1.1答案：C2解析：∵∠DBC＝32°，∠BDE＝58°， ∴∠BED＝90°.∴△BED 是直角三角形．∴DE＝BD·cos∠BDE＝480cos 58°(m)．答案：B3解析：sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝2-. 答案：C4解析：由题可知，∠A＞∠B，又∠A＋∠B＝90°， ∴0°＜∠B＜45°. ∴0＜n. 答案：A 5答案：3.56解析：由面积法，知AC·BC＝AB·CA 1，所以CA 1＝341255⨯=. 由图形知∠A 5C 4C 5＝∠A 1CB ＝∠A，因为sin A ＝45，而sin∠A 5C 4C 5＝5545A C C A ＝sin A ＝45，所以455554C A A C =.答案：125 547解：(1)sin A ＝0.868 3，cos A ＝0.496 2，tan A ＝1.75.(2)∠A＝19.18°，∠B＝84.33°.8解：根据题意，得1tan 0,2sin 0,A B -=⎧⎪⎨=⎪⎩∴∠A＝45°，∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A －∠B＝180°－45°－60°＝75°.9证明：在Rt△ABC 中，由勾股定理，得a 2＋b 2＝c 2.∴22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1. ∵sin B＝b c ，cos B ＝ac，∴sin 2B ＋cos 2B ＝1.① ∵sin B＝b c ＞0，cos B ＝ac＞0，由①，得sin 2B ＜1，cos 2B ＜1.∴0＜sin B ＜1,0＜cos B ＜1.(或者由b ＜c ，a ＜c ，得0＜sin B ＜1,0＜cos B ＜1)解直角三角形及其应用第1课时解直角三角形练习1．如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，E 为AB 上一点且AE ∶EB＝4∶1，EF⊥AC 于F ，连接FB ，则tan∠CFB 的值等于( )．A BCD ．2．如图，在等腰Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan∠DBA＝15，则AD 的长为( )．A ．2BCD ．13．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A 出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B 处)，AB ＝80米，则孔明从A 到B 上升的高度BC 是__________米．4．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是______ c m 2.5．如图，在Rt△ABC 中，∠CAB＝90°，AD 是∠CAB 的平分线，tan B ＝12，则CD∶DB ＝__________.6．如图，在△ABC 中，∠B＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示为________．7．如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为(10,0)，点B 在第一象限内，BO ＝5，sin∠BOA＝35.求：(1)点B 的坐标；(2)cos∠BAO 的值．8．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos∠DAC．(1)求证：AC ＝BD ； (2)若sin C ＝1213，BC ＝12，求9．(创新应用)图(2)是图(1)中窗子开到一定位置时的平面图，若∠AOB＝45°，∠OAB＝30°，OA ＝60 cm ，求点B 到OA 边的距离．≈1.7，结果精确到整数)参考答案1解析：设EB ＝1，则AE ＝4，BC ＝52，AC .. 答案：C2解析：如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE=DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA=15DE AE BE BE ==，所以BE=5AE.在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，由勾股定理可求出AB=，所以.在等腰Rt △AD E 中，由勾股定理可求出AD 的长为2.2答案：A3答案：404解析：Rt△ABC 中，AB ＝14 cm ，∠B＝30°，则AC ＝7 cm ，易知CF ＝AC ＝7 cm ，所以阴影部分的面积为492cm 2. 答案：4925解析：过D 作DE⊥AB 于点E.∵tan B＝12，∴DE＝12EB ． ∵∠CAB＝90°，AD 是∠CAB 的平分线，∴∠DAE＝45°.∴∠ADE＝45°. ∴∠DAE＝∠ADE.∴AE＝DE.∵DE∥CA，∴CD∶DB＝AE∶EB＝1∶2. 答案：1∶26解析：过A 作AD ⊥BC 于点D ．在Rt △ADC 中，cos C=35，AC=5a ，∴DC=3a ，AD=4a .∵在Rt △ADB 中，∠B=45°， ∴BD=AD=4a . ∴S △ABC ＝12AD ·BC＝12×4a ×(4a ＋3a )＝14a 2. 答案：14a 27解：(1)如图，作BH⊥OA，垂足为H.在Rt△OHB 中，∵BO＝5，sin∠BOA＝35， ∴BH＝BO·sin∠BOA＝3.∴OH＝4. ∴点B 的坐标为(4,3)．(2)∵OA＝10，OH ＝4，∴AH＝6. 在Rt△AHB 中，BH ＝3，∴AB＝∴cos∠BAO＝5AH AB =. AD 的长．8(1)证明：∵AD⊥BC，∴△ABD 和△ADC 为直角三角形． ∴tan B＝AD BD ，cos∠DAC＝ADAC. ∵t an B ＝cos ∠DAC， ∴AD BD ＝AD AC，即AC ＝BD ． (2)解：在Rt△ADC 中，已知sin C ＝AD AC ＝1213，故可设AD ＝12k ，AC ＝13k.5k. ∵BC＝BD ＋CD ，又AC ＝BD ， ∴BC＝13k ＋5k ＝18k. 由已知BC ＝12， ∴18k＝12. ∴k ＝23.∴AD＝12k ＝8. 9解：如图，过点B 作BC ⊥OA 于点C ，∵∠AOB=45°， ∴∠CBO=45°， BC=OC ．设BC=OC=x ，∵∠OAB=30°，∴AC=tan 30BC=︒.∵OC+CA=OA ，∴x =60(cm)． ∴x22(cm)，即点B 到OA 边的距离是22 cm.第2课时解直角三角形的应用1．如图，已知一商场自动扶梯的长为10米，该自动扶梯到达的高度h 为6米，自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ的值等于( )．A ．34B ．43C ．35D ．452．如图，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC 上的一点B ，取∠ABD ＝145°，BD ＝500 m ，∠D＝55°，要A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是( )．A ．500sin 55° mB ．500cos 55° mC ．500tan 55° mD ．500m tan 553．如图，在坡度为1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6 m ，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是__________ m.4．如图，小明在操场上距离旗杆18 m 的C 处，用测角仪测得旗杆AB 的顶端A 的仰角为30°，已知测角仪CD 的高为1.4 m ，那么旗杆AB 的高为________ m ．(保留三位有效数字)5. 如图，在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶．在航行到B 处时，发现灯塔A 在我军舰的正北方向500米处；当该军舰从B 处向正西方向行驶至C 处时，发现灯塔A 在我军舰的北偏东60°的方向．求该军舰行驶的路程(计算过程和结果均不取近似值)．6．如图，一枚运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达A 点时，从地面C 处的雷达站测得AC 的距离是6 km ，仰角是43°.1 s 后，火箭到达B 点，此时测得BC 的距离是6.13 km ，仰角为45.54°，解答下列问题：(1)火箭到达B 点时距离发射点有多远(精确到0.01 km)? (2)火箭从A 点到B 点的平均速度是多少(精确到0.1 km/s )?7．某商场为缓解我市“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD ＝18°，C 在BD 上，BC ＝0.5 m ．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小明认为CD 的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE 的长作为限制的高度．小明和小亮谁说的对？请你判断并计算出正确的结果．(结果精确到0.1 m)8．(创新应用)关于三角函数有如下的公式： sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，① cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，② tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅(1－tan α·tan β≠0)．③利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如 tan 105°＝tan(45°＋60°)＝tan 45tan 601tan 45tan 60︒+︒===-︒⋅︒(2．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD 上方A 点处测得建筑物顶端D 点的俯角α为60°，底端C 点的俯角β为75°，此时直升飞机与建筑物CD 的水平距离BC 为42米，求建筑物CD 的高．参考答案1答案：A2解析：∵∠E＝180°－55°－35°＝90°，∴DE＝BD·cos D＝500cos 55°(m)．答案：B3答案：4解析：AEEB＝1.4 m，∴AB＝AE＋BE＝10.4＋1.4＝11.8(m)．答案：11.85解：由已知，可得∠ACB=30°.在Rt△ABC中，∠ACB=30°，AB=500.∵tan∠ACB=AB BC，∴BC=tan AB ACB ∠=500500tan30=÷=︒因此该军舰行驶的路程为6解：(1)在Rt△OCB中，sin 45.54°＝OBCB，OB＝6.13×sin 45.54°≈4.38(km)，答：火箭到达B点时距发射点约4.38 km.(2)在Rt△OCA中，sin 43°＝OA CA，∴OA＝6×sin 43°≈4.09(km)，v＝(OB－OA)÷t＝(4.38－4.09)÷1≈0.3(km/s)．答：火箭从A点到B点的平均速度约为0.3 km/s. 7解：小亮的说法正确．在△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，BA＝10，∴tan∠BAD＝BD BA.∴BD＝10×tan 18°.∴CD＝BD―BC＝10×tan 18°－0.5.在△ABD中，∠CDE＝90°－∠BAD＝72°，∵CE⊥ED，∴sin∠CDE＝CE CD.∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin 72°×(10×tan 18°－0.5)≈2.6(m)．答：CE为2.6 m，即限高为2.6 m.8解：过点D作DE⊥AB于E，依题意，在Rt△ADE中，∠ADE=∠α=60°，AE=ED·tan 60°=BC·tan 60°=在Rt△ACB中，∠ACB=∠β=75°，AB=BC·tan 75°. ∵tan 75°=tan(45°+30°)=tan45tan30 1tan45tan30︒+︒-︒⋅︒2=∴AB=42×)=84+CD=BE=AB-AE=84+米)．答：建筑物CD的高为84米．第3课时解直角三角形的应用1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m 到C地，此时王英同学离A地( )．A．B．100 mC．150 m D． m2．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为__________．3．海中有一个小岛P，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行12海里到达B点，这时测得小岛P在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．4．如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4 000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度．(精确到米，参考数据：5．如图，某处山坡上一座发射塔被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，在B处测得点C的仰角为38°，塔基A的俯角为21°，又测得斜坡上点A到点B的坡面距离AB为15 m，求折断．．前．发射塔的高．(精确到0.1 m)6．如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为即，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．7．如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A点处发现海中的B点有人求救，便立即派三名救生员前去营救.1号救生员从A点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300 m到离B点最近的D点，再跳入海中．救生员在岸上跑的速度都是6 m/s，在水中游泳的速度都是2 m/s.若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生员同时从A点出发，请说明谁先到达营救地点B．(参考数据8．(创新应用)在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案(如图甲所示)：①在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；②量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；③量出测倾器的高度AC＝h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山的高度．(1)在图乙中，画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母)；(2)写出你的设计方案．参考答案1解析：BD ＝100×sin 30°＝50 m ，AD ＝100×cos 30°＝，CD ＝200－50＝150 m ，在Rt△ADC 中，AC ==.答案：D2答案：6 cm3解：有触礁危险．理由：过点P 作PD⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt△PBD 中，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD ＝x . 在Rt△PAD 中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝tan 30x=︒.∵AD＝AB ＋BD ＝12＋x .∴x 1)=．∵1)＜18，∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．4解：由C 点向AB 作垂线，交AB 的延长线于E 点，并交海面于F 点．已知AB ＝4 000(米)，∠BAC＝30°，∠EBC＝60°. ∵∠BCA＝∠EBC－∠BAC＝30°， ∴∠BAC＝∠BCA，∴BC ＝BA ＝4 000(米)．在Rt△BEC 中，EC ＝BC·sin 60°＝4 000×2＝(米)，∴CF＝CE ＋EF ＝＋500≈3 964(米)．答：海底黑匣子C 点处距离海面的深度约为3 964米． 4解：作BD ⊥AC 于D ．由已知，得∠CBD=38°，∠ABD=21°，AB=15 m.在Rt △ADB 中，∵sin ∠ABD=ADAB ， ∴AD=AB ·sin ∠ABD=15×sin 21°≈5.38(m)． ∵cos ∠ABD=BDAB， ∴BD=AB ·cos ∠ABD=15×cos 21°≈14.00(m)．在Rt △BDC 中，∵tan ∠CBD=CDBD， ∴CD=BD ·tan ∠CBD ≈14.00×tan 38°≈10.94(m)．∵cos ∠CBD=BDBC ， ∴BC=cos BD CBD ∠≈14.00cos38︒≈17.77(m)．∴AD+CD+BC ≈5.38+10.94+17.77=34.09≈34.1(m)．答：折断前发射塔的高约为34.1 m. 6解：如图，过点A 作AF⊥DE 于F ，则四边形ABEF 为矩形． ∴AF＝BE ，EF ＝AB ＝2.设DE ＝x ，在Rt△CDE 中，CE ＝tan tan 60DE DE x DCE ==∠︒.在Rt△ABC 中，∵AB BC =，AB ＝2，∴BC＝在Rt △AFD 中，DF ＝DE －EF ＝x －2，∴AF ＝22)tan tan 30DF x x DAF -==-∠︒．∵AF＝BE ＝BC ＋CE ，2)x x -=.解得x ＝6. 答：树DE 的高度为6米．7解：在△ABD 中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD ＝300(m)，∴AB＝cos 45AD︒＝，BD ＝AD·t an 45°＝300(m)．在△BCD 中，∵∠BCD＝60°，∠D＝90°，∴BC＝sin 60BD=︒，CD ＝tan 60BD =︒．1号救生员到达B 点所用的时间为2＝s )；2号救生员到达B 点所用的时间为30062-+＝50＋3≈191.7(s )；3号救生员到达B 点所用的时间为30030062+＝200(s )． ∵191.7＜200＜210，∴2号救生员先到达营救地点B ． 8分析：仿照测量旗杆高度的方法去测量的话，不能测量出测量点到山顶的底部的距离，所以要选取两个测量点，进行两次测量，构造出两个直角三角形，解这两个直角三角形求出小山的高度．解：(1)如下图所示：(2)方案如下：①测点A 处安置测倾器，测得小山顶部M 的仰角∠MCE＝α；②测点B 处安置测倾器，测得小山顶部M 的仰角∠MDE＝β；③量出测点A 到测点B 的水平距离AB ＝m ； ④量出测倾器的高度AC ＝h.根据上述测量可以求出小山MN 的高度．第4课时解直角三角形的应用1．如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2 m，则两树间的坡面距离AB 为( )．A．4 m B m C m D．2．如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600 m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200 m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD ＝__________(结果用根号表示)．3．一段路基的横断面是直角梯形，如图(1)所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部利用原有土石进行坡面改造，使坡度变小，达到如图(2)所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？4．如图所示，A、B两城市相距100 km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P点为圆心，50 km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区？为什么？(≈1.414)5．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD＝90°，且AB＝1，BC＝2，tan∠ADC＝2.(1)求证：DC＝BC；(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC＝∠FBC，DE＝BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，当BE∶CE＝1∶2，∠BEC＝135°时，求sin∠BFE的值．6．如图是某宾馆大厅到二楼的楼梯设计图，已知BC＝6 m，AB＝9 m，中间平台宽度DE为2 m，DM、EN为平台的两根支柱，DM、EN垂直于AB，垂足分别为M、N，∠EAB＝30°，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离BM.(精确到0.1 m，≈1.73)7．如图，某堤坝的横截面是梯形ABCD，背水坡AD的坡度i(即tan α)为1∶1.2，坝高为5 m．现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD加宽1 m，形成新的背水坡EF，其坡度为1∶1.4.已知堤坝总长度为4 000 m.(1)完成该工程需要多少土方？(2)该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成，按原计划需要20天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率．甲队工作效率提高30%，乙队工作效率提高40%，结果提前5天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？8．(创新应用)腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑(如图①)．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°(如图②)．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．(结果精确到0.1 1.73)参考答案1解析：在Rt△ABC 中，ACAB ＝cos 30°，则AB ＝cos30AC︒ m.答案：C2解析：过点B 作B E⊥CD，垂足为E ，在Rt△BCE 中，CE ＝BE ＝BC×sin 45°＝，过点B 作BF⊥AD，垂足为F ，则在Rt△ABF 中，BF ＝ABsin 30°＝300(m)，∴CD＝CE ＋DE ＝CE ＋BF ＝300＋(m)．答案：(300＋) m3解：由题图(1)知BE⊥DC，BE ＝30 m ，sin α＝0.6. 在Rt△BEC 中， ∵sin α＝BE BC ，∴BC＝30sin 0.6BE α=＝50(m)．根据勾股定理，得EC ＝40 m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则S 梯形ABCD ＝S 梯形A 1B 1C 1D 1. ∴20×30＋12×30×40＝20×20＋12×20·E 1C 1，解得E 1C 1＝80(m)． ∴改建后的坡度i ＝B 1E 1∶E 1C 1＝20∶80＝1∶4.4解：过点P 作PC⊥AB，垂足为C ，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AC ＝PC·tan 30°，BC ＝PC·tan 45°. ∵AC＋BC ＝AB ，∴PC·tan 30°＋PC·tan 45°＝100.∴13⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭·PC＝100.∴PC＝50(3)≈50×(3－1.732)≈63.4＞50.答：森林保护区的中心与直线AB 的距离大于保护区的半径，∴计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．5解：(1)证明：过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M(如图)，则AM ＝BC ＝2，AB ＝MC ＝1.又tan∠ADC＝AMDM＝2， ∴DM＝2AM＝1. 又MC ＝1，∴DC＝2，DC ＝CB ． (2)等腰直角三角形．证明：∵DE＝BF ，∠EDC＝∠FBC，DC ＝BC ， ∴△DEC≌△BFC．∴CE＝CF ，∠ECD＝∠BCF.∴∠ECF＝∠BCF＋∠BCE＝∠ECD＋∠BCE＝∠BCD ＝90°，即△ECF 是等腰直角三角形．(3)设BE ＝k ，则CE ＝CF ＝2k ，∴EF＝. ∵∠BEC＝135°，又∠CEF＝45°， ∴∠BEF＝90°.3k. ∴sin∠BFE＝133k k =. 6解：设DF ＝x m ．∵∠CDF＝45°，∠CFD＝90°， ∴CF＝DF ＝x m .∴BF＝BC －CF ＝(6－x ) m . ∴EN＝DM ＝BF ＝(6－x ) m .∵AB＝9 m ，DE ＝2 m ，DF ＝x m ， ∴AN＝AB －MN －BM ＝(7－x ) m .在△AEN 中，∠ANE＝90°，∠EAN＝30°，∴EN＝AN·tan 30°，即6－x (7－x )，解得x≈4.6.答：支柱DM 距BC 的水平距离约为4.6 m. 7解：(1)作DG ⊥AB 于G ，作EH ⊥AB 于H.∵CD ∥AB ， ∴EH=DG=5 m.∵11.2DG AG =，∴AG=6 m. ∵11.4EH FH =，∴FH=7 m. ∴FA=FH+GH-AG=7+1-6=2(m)． ∴S 梯形ADEF ＝12(ED ＋AF)·EH＝12×(1＋2)×5＝7.5(m 2)，V ＝7.5×4 000＝30 000(m 3)． (2)设甲队原计划每天完成x m 3土方，乙队原计划每天完成y m 3土方．根据题意，得20()30000,15[(130%)(140%)]30000.x y x y +=⎧⎨+++=⎩化简，得1500,1.3 1.42000,x y x y +=⎧⎨+=⎩解之，得1000,500.x y =⎧⎨=⎩答：甲队原计划每天完成1 000 m 3土方，乙队原计划每天完成500 m 3土方．8解：过点C 作CE ⊥AB 于E.∵∠D＝90°－60°＝30°，∠ACD＝90°－30°＝60°，∴∠CAD＝90°.∵CD＝10(米)， ∴AC＝12CD ＝5(米)．在Rt△A CE 中，AE ＝AC·sin∠ACE＝5×sin 30°＝52(米)，CE 米)．在Rt△BCE 中， ∵∠BCE＝45°，米)． ∴AB＝AE ＋BE＝52+＝51)2≈6.8(米)．∴雕塑AB 的高度约为6.8米．。

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学员日校：建平实验中学学员姓名：学科组长签名课授课时间：题九年级上册年级：九年级辅导科目：数学组长备注相似三角形总结与加强与平行向量线性运算备课时间：课时数： 2 学科教师：周
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四、平面向量的线性运算
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a 单位向量: 长度等于 1 的向量,叫做单位向量；一般写作 e ；非零向量 a 的单位向量为 a
题3 题7 题8 4. 已知线段 a=4cm，b=9cm，则线段 a、b 的比例中项 c 为__________cm。 5. 在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，如果 AD=8，DB=6，EC=9，那么 AE=__________ 6. 已知三个数 1，2， 3 ，请你添上一个数，使它能构成一个比例式，则这个数是__________ 7. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF∥BC，若 AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，则 EF=__________ 8. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，则梯形的面积为：__________ 二、选择题： 1. 如果两个相似三角形对应边的比是 3：4，那么它们的对应高的比是__________ A. 9：16 B.
C A O
E
B

沪教版九年级(上)数学第二十六章二次函数课课练及单元测试卷和参考答案

数学九年级上第二十六章二次函数课课练及单元测试卷和参考答案目录26.1二次函数的概念（1）2 26.2特殊二次函数的图像第一课时（1）6 26.2特殊二次函数的图像第二课时（1）10 26.2特殊二次函数的图像第三课时（1）14 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第一课时（1）19 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第二课时（1）24 26.3二次函数y=ax2+bx+c的图像第三课时（1）29九年级（上）数学第二十六章二次函数单元测试卷一34参考答案40数学九年级上第二十六章二次函数26.1二次函数的概念 (1)、选择题1.下例函数中, 是二次函数的是4、下列关系中，是二次函数关系的是A.当距离S 一定时，汽车行驶的时间 t 与速度V 之间的关系。

B.在弹性限度时，弹簧的长度 y 与所挂物体的质量x 之间的关系。

C.圆的面积S 与圆的半径r 之间的关系。

D.正方形的周长C 与边长a 之间的关系。

5、已知x 为矩形的一边长，其面积为 y ，且y x(12 x)则自变量的取值范围是6. 用30米长的篱笆围成一个矩形的院子，如果这个院子的面积是 x 米，那么S 与x 之间的函数关系为 ()A. S x(30 x)B.S x(30 2x)C. S 2x(30 x)D. S 15x x 2二、填空题7.下列函数中为二次函数是 ____________________________________21 (1) s=1-2t2(2) y xx(3) y=3(x-2)2+1 ⑷ y=(x+3)2 - x2 (5) s=10 n r2(6) y=22+2x(7) y ■- 2x 2 3x 5(8) y=ax 2+bx+c8已知二次函数 y=-2-4x+3x2，则二次项的系数 a= _________ ，一次项系数b= _________ ，常数B.1 2x C . y (x 3)2 x 2D.x 32x 212、函数 y (mn)x 2nx m 是关于 x 的二次函数的条件是A.m 、n 为常数, B.m 、n 为常数，且m 工-n 。

九年级上册数学配套练习册答案沪教版

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导语：初中数学总复习,是完成初中3年数学教学任务之后的一个系统、完善、深化所学内容的关键环节,做好初三数学复习课的教学,对大面积提高教学质量起着非常重要的作用。

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能力提升
（2）1/3或-1
14、根据题意得x₁+x₂=-5/2，x₁x₂=-1/2 （1）3
（2）-29/2
15、由Δ=（4k+1）²-4×2×（2k²-1）
即（
（2
（3
16
∴（
＜7，∴a=7，
∴此三角形的周长=7+7+3=17（cm）
探索研究
17、（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，
依题意列方程得x²+（5﹣x）²=17，
整理得：x²-5x+4=0，（x﹣4）（x﹣1）=0，
解方程得x₁=1，x₂=4，
1×4=4cm，20﹣4=16cm
或
（2
∴当
﹣
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm²）。

2022-2023学年上海九年级数学上学期课时同步练21-1：二次函数(解析版)

21.1：二次函数1．下列函数是二次函数的是（）A ．23y x =-B ．81y x =+C ．232y x =-D ．2y x =- 【答案】D【解析】根据二次函数概念，含x 的二次项，系数不为0，整式函数来判断即可．【解答】A 、是一次函数，故不正确；B 、原函数可化为：81y x=+，自变量的最高次数是1-，故故不正确； C 、原函数可化为：232y x =-，自变量的最高次数是2-，故故不正确； D 、y 与2x 是二次函数关系，故本选项正确．故选择：D【点评】本题考查二次函数的解析式，关键是掌握二次函数概念． 2．若()0c c ≠为关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的根，则c b +的值为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【答案】B【解析】把x c =代入一元二次方程20x bx c ++=，再对式子变形求值即得答案.【解答】把x=c 代入方程20x bx c ++=，可得c 2+bc+c=0即c(b+c)+c=0，c(b+c+1)=0，又∵c≠0，∴b+c+1=0， ∴c+b=-1.故选B.【点评】考查一元二次方程解的概念，使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.3．若方程()3230n m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，则（） A ．3m =，2n ≠B ．3m =，2n =C ．3m ≠，2n =D ．3m ≠，2n ≠【答案】C 【解析】根据一元二次方程的定义解答即可．【解答】解：∵方程()3230n m x x -+-=是关于x 的一元二次方程，∴n=2，m-3≠0，即3m ≠，2n =.故选C ．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件：（1）含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）二次项系数不为0；（4）是整式方程．4．某产品进货单价为9元，按10一件售出时，能售100件，如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，设每件产品涨x 元，所获利润为y 元，可得函数关系式为（）A ．21011010y x x =-++B ．210100y x x =-+C ．210100110y x x =-++D ．21090100y x x =-++【答案】D【解析】根据总利润=单件利润×数量建立等式就可以得出结论．【解答】解：由题意，得y=（10+x-9）（100-10x ），y=-10x 2+90x+100．故选D ．【点评】本题考查了销售问题的数量关系的运用，总利润=单件利润×数量的运用，解答时找准销售问题的数量关系是关键．5．长为20cm ，宽为10cm 的矩形，四个角上剪去边长为xcm 的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为2ycm 的无盖的长方体盒子，则y 与(05)x x <<的关系式为（）A ．()()1020y x x =--B ．210204y x =⨯-C ．()()102202y x x =--D ．22004y x =+【答案】C【解析】设小正方形边长为x ，底面长宽均减少2x ，列出函数关系式.【解答】解：设小正方形边长为x ，由题意知：现在底面长为20-2x ，宽为10-2x ，故y=（10-2x ）（20-2x ），故选C.【点评】本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题.6．如图，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（）A ．214y x x =-+B ．2y x x =-+C ．214y x x =--D ．214y x x =-- 【答案】A【解析】连接O 1M ，OO 1，可得到直角三角形OO 1M ，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得．【解答】连接O 1M ，OO 1，如图所示：可得到直角三角形OO 1M ，依题意可知⊙O 的半径为2，则OO 1=2-y ，OM=2-x ，O 1M=y ．在Rt △OO 1M 中，由勾股定理得（2-y ）2-（2-x ）2=y 2，解得y=-14x 2+x ．故选A ．【点评】解题关键是作连心线、连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法.7．若关于x 的一元二次方程()2ax bx 50a 0++=≠的解是x 1=，则2015a b --的值是（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．2020【答案】D 【解析】把x=1代入已知方程求得（a+b ）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程()2ax bx 50a 0++=≠的解是x 1=，∴a b 50++=，∴a b 5+=-，∴()()2015a b 2015a b 201552020--=-+=--=．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．8．若关于x 的方程3x 2﹣2x+m ＝0的一个根是﹣1，则m 的值为（）A ．﹣5B ．﹣1C ．1D ．5【答案】A【解析】根据一元二次方程解的定义，将x ＝-1代入原方程，然后解关于m 的一元一次方程即可．【解答】解：∵关于x 的方程3x 2﹣2x+m ＝0的一个根是﹣1，∴当x ＝﹣1时，由原方程，得3+2+m ＝0，解得m ＝﹣5；故选A ．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出m 的值．9．将方程()()212523x x x x -=--化为一般形式后为（）A ．.2x -8x-3=0B ．9.2x +12x-3=0C ．2x -8x+3=0D ．9.2x -12x+3=0【答案】C 【解析】通过去括号、移项、合并同类项将已知方程转化为一般形式．【解答】解：由原方程，得2x-4x 2=10x-5x 2-3，则x 2-8x+3=0．故选C ．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．10．下列函数关系中，可以看作二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）模型的是（）A ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B ．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D ．圆的周长与圆的半径之间的关系【答案】C【解答】A 、v=s t ，是反比例函数，错误；B 、y=m （1+1%）x ，不是二次函数，错误；C 、S=-x 2+12cx ，是二次函数，正确；D 、C=2πr ，是正比例函数，错误，故选C ．【点评】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键.11．抛物线经过点(2,0),(1,0)A B -，且与y 轴交于点C ．若2OC =，则该抛物线解析式为（） A ．2y x x 2=--B ．22y x x =---或22y x x =++C ．22y x x =-++D ．2y x x 2=--或22y x x =-++【答案】D【解析】抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2），根据A 、B 两点坐标设出抛物线解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠，代入C 点坐标即可求解．【解答】设抛物线的解析式为()()21y a x x =-+()0a ≠∵2OC =∴抛物线和y 轴交点的为（0,2）或（0，-2）①当抛物线和y 轴交点的为（0,2）时，得()()20201a =-+解得1a =-∴抛物线解析式为()()121y x x =--+，即22y x x =-++②当抛物线和y 轴交点的为（0，-2）时，()()20201a -=-+解得1a =∴抛物线解析式为()()y x 2x 1=-+，即2y x x 2=--故选D ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，问题的关键是设出合适的解析式形式，本题选用两点式（又叫双根式）较为合适．12．抛物线y ＝（x ﹣1）2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是（）A ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x +1）2+3C ．y ＝（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣3 【答案】D【解析】先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x 轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式.【解答】∵y ＝（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x 轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2﹣3．故选：D ．【点评】此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式.13．边长12cm 的正方形铁片，中间剪去一个边长()x cm 的小正方形铁片，剩下的四方框铁片的面积()2y cm 与()x cm 的函数关系式是________．【答案】2144y x =-+【解析】剩下的四方框铁片的面积=边长12cm 的正方形铁片面积-边长x cm 的小正方形铁片面积，即可求得．【解答】由题意得：y =144-x 2=-x 2+144．故答案为2144y x =-+. 【点评】本题考查了二次函数的应用，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．14．若函数()2262mm y m x --=+是二次函数，则m =________．【答案】4 【解析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【解答】由题意得：2262m m --=，且20m +≠，解得：4m =．故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的定义，解决问题的关键是明确最高次项的次数为2，且最高次项系数不为0．15．正方形边长为2，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是______．【答案】y=x 2+4x【解析】增加的面积=新正方形的面积-原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．【解答】新正方形的边长为2x +，原正方形的边长为2． ∴新正方形的面积为2(2)x +，原正方形的面积为4，22(2)44y x x x ∴=+-=+，故答案为24y x x =+．【点评】考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．16．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试销发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数，则y 与x 之间的关系式是________，销售所获得的利润为w （元）与价格x （元/件）的关系式是________．【答案】30960y x =-+ ()()1630960w x x =--+【解析】利用待定系数法，即可求得y 与x 之间的函数解析式．再根据利润=（售价-成本）×售出件数，即可得到w 与x 之间的关系式．【解答】解：∵每月销售件数y （件）是价格x （元/件）的一次函数，可设y=kx+b ，把（20，360），（25，210）代入，得：20=36025=210k b k b +⎧⎨+⎩ ，解得k=-30，b=960． ∴y=-30x+960．w=（x-16）（-30x+960）．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求值．17．若1x 、212x (x x )<是方程()()x A x B 1(A B)--=<的两个根，则实数1x 、2x 、A 、B 的大小关系是________．【答案】12x A B x <<<．【解析】因为x 1和x 2为方程的两根，所以满足方程（x-A ）（x-B ）=1，再由已知条件x 1＜x 2、A ＜B 结合图象，可得到x 1，x 2，A ，B 的大小关系．【解答】解：用作图法比较简单，首先作出()()x A x B 0--=图象，随便画一个（开口向上的，与x 轴有两个交点），再向下平移一个单位，就是()()x A x B 1--=，这时与x 轴的交点就是1x ，2x ，画在同一坐标系下，很容易发现：实数1x 、2x 、A 、B 的大小关系是：12x A B x <<<．故答案为：12x A B x <<<．【点评】本题考查了根据二次函数的图象确定相应一元二次方程根的情况，结合图象得出答案是解决问题的关键．18．等边三角形边长为x ，面积为y ，则y 与x 之间的函数关系为_____．【答案】234y x = 【解析】根据等边三角形三线合一的性质可得D 为BC 的中点，即BD ＝CD ，在直角三角形ABD 中，已知AB 、BD ，根据勾股定理即可求得AD 的长，即可求三角形ABC 的面积，即可解题．【解答】等边三角形三线合一，即D 为BC 的中点，∴BD ＝DC ＝2x 如图：在Rt △ABD 中，AB ＝x ，BD ＝2x ， ∴AD ＝22AB BD -＝32x ， ∴△ABC 的面积为：y ＝12BC•AD ＝12×x×32x ＝34x 2，故答案为y ＝34x 2．【点评】此题主要考查了根据实际问题确定二次函数关系式以及勾股定理在直角三角形中的运用，等边三角形面积的计算，本题中根据勾股定理计算AD 的值是解题的关键．19．若关于x 的方程 ()m 1m 3x2x 10-+++= 是一元二次方程，则 m =_______．【答案】3【解析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x 的次数是2，即m 12-=，系数不等于0，即m+3≠0，即可求解．【解答】解：根据题意可得，m 12-=，解得m 3=或m 3=-，又因为m 30+≠，所以m 3≠-，因此m 3=符合题意．故答案为：3．【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax 2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．20．关于x 的方程223x x a --=有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是________．【答案】a ＝0或4a >【解析】先将原绝对值方程转化为()214x a --=，据此画出该方程的图象；然后根据图象填空．【解答】由原方程，得：2|(x 1)4|--=a ， ∴该函数图象为：根据图示知，实数a 的取值范围是a =0或4a >．【点评】本题考查了根据二次函数图象确定相应方程根的情况以及含绝对值符号的一元二次方程．画出该方程的图象是解题的关键，采用了“数形结合”的数学思想．21．已知方程422x mx 80++=的四个根均为整数，则m =________，多项式422x mx 8++可分解为________．【答案】10- ()()()()2x 1x 1x 2x 2+-+-【解析】①先把原方程化为一元二次方程，然后根据根与系数的关系求的两根之积，再根据该二次方程的未知数的取值范围来求m 的值；②利用①的结果，对多项式2x 4+mx 2+8利用平方差公式进行分解．【解答】解：令2x t =，则t 0≥，且为平方数，∴22t mt 80++=，∴12t t 4⋅=，∴1t 1=，2t 4=，①当1t 1=时，21m 80⨯++=，解得m 10=-；②当2t 4=时，2164m 80⨯++=，解得m 10=-；综合①②知，m 10=-；∴422x mx 8++422x 10x 8=-+()422x 5x 4=-+()()222x 1x 4=-- ()()()()2x 1x 1x 2x 2=+-+-；故答案为：10-；()()()()2x 1x 1x 2x 2+-+-．【点评】本题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根的知识点，在解答此题时，利用了一元二次方程的根与系数的关系．22．如图，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB BC ⊥，且点C 在x 轴上，若抛物线2y ax bx c =++以C 为顶点，且经过点B ，则这条抛物线的关系式为________．【答案】21222y x x =-+ 【解析】求出B,C 的坐标,再用顶点式求出解析式即可.【解答】解：∵抛物线2y ax bx c =++以C 为顶点，且经过点B ，∴C 为抛物线的最小值,a >0,由图可知B （0,2）,A （-2,0）,∠A=45°, ∵AB BC ⊥，∴C （2,0）,设抛物线解析式为2y a(x 2)=-,将B （0,2）代入解析式得：21y x 2x 22=-+. 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的表达式,中等难度,熟悉待定系数法的解题步骤是解题关键. 23．如图，一块铁片边缘是由抛物线和线段AB 组成，测得AB=20cm ，抛物线的顶点到AB 边的距离为25cm ．现要沿AB 边向上依次截取宽度均为4cm 的矩形铁皮，从下往上依次是第一块，第二块…如图所示．已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是第________块．【答案】6【解析】根据已知条件建立坐标系，得出此抛物线的顶点坐标以及图象与x 轴的交点坐标，求出二次函数解析式，再根据M 点的横坐标，求出纵坐标，即可解决问题；【解答】如图，建立平面直角坐标系．∵AB =20cm ，抛物线的顶点到AB 边的距离为25cm ，∴此抛物线的顶点坐标为：（10，25），图象与x 轴的交点坐标为：（0，0），（20，0），∴抛物线的解析式为：()21025y a x =-+ ，∵点A （0，0）在抛物线()21025y a x =-+上，∴0=100a +25，解得14a =- , ∴抛物线的解析式为:2110254y x =--+（） , 现要沿AB 边向上依次截取宽度均为4cm 的矩形铁皮，∴截得的铁皮中有一块是正方形时，正方形边长一定是4cm ．∴当四边形DEFM 是正方形时，DE =EF =MF =DM =4cm ，∴M 点的横坐标为AN -MK =10-2=8，即x=8，代入2110254y x =--+（）,得y=24， ∴KN =24，24÷4=6，∴这块正方形铁皮是第六块.故答案是6.24．方程22226635a b c n ++=的所有整数解是________．【答案】0a b c n ====【解析】先观察，易得0a b c n ====是方程22226635a b c n ++=（1）的一组解，根据（1）可推知b 和d 具有相同的奇偶性，然后根据若b 和d 同为奇数与b 和d 同为偶数两种情况讨论，最终得知只有0a b c n ====一组解．【解答】解：显然，0a b c n ====是方程22226635a b c n ++=（1）的一组解，为求（1）的整数解，只须求出它的正整数解即可，而对于正整数解，只要求出a ，b ，c ，n 互质的解即可，为此设（a ，b ，c ，n ）=1．由方程（1）可知，6是25n 的约数，因为6与5互质，所以6是2n 的约数，从而6是n 的约数，进一步25n 有约数36，因此6又是2226a 3b c ++的约数，即6是223b c +的约数，所以3是2c 的约数，故可设n 6m =，c 3d =，代入（1）得22222a b 3d 10m ++=（2）， 2222b 3d 10m 2a +=-，所以b 和d 具有相同的奇偶性．①若b 和d 同为奇数，考察用8除以（2）式两边所得的余数：式（2）左边被8除的余数为2136++=或0134+++；式（2）右边被8除的余数为0或2．此时方程（2）无解，从而方程（1）无解．②若b 和d 同为偶数，由a ，b ，d ，n 互质可知，a 为奇数，（2）式左边被8除的余数为2(0+或4)(0+或3)8≠，所以（2）的左边不能被8整除，从而（2）的右边210m 不能被8整除，m 一定为奇数；这样可设1a 2a 1=-，1b 2b =，1d 2d =，1m 2m 1=-，其中1a ，1b ，1d ，1m 都是正整数，则方程（2）化为()()()221111112a a 110m m 12b 3d ----=-+，()()2211111110m m 12a a 12b 3d ---+=+（3），由于()11m m 1-及()11a a 1-为偶数，则（3）式左边为偶数，且被4除余2，而右边1b 和1d 不能同为偶数，否则（3）式右边能被（4）整除，（3）式不能成立，然而1b 和1d 同为奇偶时，（3）式右边仍能被4整除，（3）式不能成立，于是，方程（2）无解，从而方程（1）无解．综上讨论知，方程只有一组解0a b c n ====．【点评】本题考查了方程的解的推理过程，体现了探索发现的过程，通过反证法得出矛盾，逐步去掉多余的信息是解题的关键．25．圆的半径为3，若半径增加x ，则面积增加y ．求y 与x 的函数关系式．【答案】26(0)y x x x ππ=+>．【解析】根据圆的面积公式S ＝πr 2，进行计算求解．【解答】由题意得：2(3)9y x ππ=+-⨯，即：26(0)y x x x ππ=+>．【点评】本题考查解析式法表示变量间的关系，熟练掌握圆的面积公式是关键．26．某公司的生产利润原来是(0)a a >万元，经过连续两年的增长达到了y 万元，如果每年增长率都是x ，写出利润y 与增长的百分率x 之间的函数解析式，它是什么函数？【答案】见解析．【解析】根据增长率的问题，基数是a 元，增长次数2次，结果为y ，根据增长率的公式表示函数关系式．【解答】依题意，得：22(1)2(0)y a x ax ax a a =+=++>，此函数是二次函数.【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长次数，最后的结果．27．抛物线形桥拱的跨度AB 为6米，拱高为4米，求桥拱的函数关系式．【答案】2449y x =-+（答案不唯一）．【解析】以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，画出图象，先求出点A 的坐标，设所求解析式为2y ax c =+，将()3,0-和()0,4代入解析式中即可求出结论．【解答】解：以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系，∵AB=6∴AO=3∴点A 的坐标为（-3,0）可设所求解析式为2y ax c =+，由抛物线过()3,0-和()0,4得：094a c c=+⎧⎨=⎩ 解得：494a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴抛物线解析式为2449y x =-+（答案不唯一）．【点评】此题考查的是二次函数的应用，建立适当的坐标系，并利用待定系数法求二次函数解析式是解题关键．28．用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径r 之间的函数关系式，这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．【答案】扇形的面积y 与它的半径r 之间的函数关系式为：220y r r =-+，此函数是二次函数，20201r π<<+．【解析】将扇形的弧长用r 表式出来，再根据扇形面积公式S=12lr 写出函数表达式，判断是否为二次函数，最后根据扇形的面积比0大且小于整个圆的面积，列不等式，求出半径的取值范围即可．【解答】∵用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，∴扇形的弧长为：()402r cm -，∴扇形的面积y 与它的半径r 之间的函数关系式为：()21402202y r r r r =-=-+， ∵220r r -+>0，∴0<r <20，∵S ＜πr 2，∴220r r-+＜πr2，∴r>201π+，∴20201rπ<<+．∴此函数是二次函数，20201rπ<<+．【点评】本题主要考查扇形面积的计算公式、二次函数的概念以及不等式的解法，熟记公式并根据扇形的面积范围列不等式是解题关键．29．下图中有一面围墙（可利用的最大长度为100m），现打算沿墙围成一个面积为120m2的长方形花圃．设花辅的一边AB=x（m），另一边为y（m），求y与x的函数关系式，并指出其中自变量的取值范围．【答案】y=120x（0<x≤100）【解析】根据长方形的面积=长×宽，可得xy=120，进而得出y关于x的函数表达式，再根据围墙可利用的最大长度为100m求得x的取值范围．【解答】解：由题意得xy=120，即120 y=x∵围墙可利用的最大长度为100m，∴0＜x≤100．【点评】本题考查了反比例函数的应用，根据矩形的面积公式得出y与x的函数关系式是关键，注意结合实际取自变量的取值范围．30．某厂要制造能装250mL(1mL=1cm3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02cm，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm的易拉罐用铝量是y cm3.用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y与x间的函数关系式.【答案】y=x2+【解析】让体积除以底面积求得易拉罐的高，进而把所给数值代入“用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度”，即可得到结果.【解答】∵底面半径是x cm，∴底面周长为2πx，底面积为πx2，∵易拉罐的体积为250mL，∴高为∴侧面积为31．一天,老师在黑板上布置了这样一道题目:如果2y a-b -3y 2a+b +8=0是关于y 的一元二次方程,你能试着求出a,b 的值吗?下面是小明和小敏两位同学的解法:小明:根据题意得22,-1,a b a b +=⎧⎨=⎩解方程组得1,0.a b =⎧⎨=⎩小敏:根据题意得22,-1,a b a b +=⎧⎨=⎩或21,-2,a b a b +=⎧⎨=⎩解方程组得1,0.a b =⎧⎨=⎩或1,-1.a b =⎧⎨=⎩你认为上述两位同学的解法是否正确为什么?若都不正确,你能给出正确的解答吗? 【答案】4,32-,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,a b =⎧⎨=⎩或2,32,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,-1,a b =⎧⎨=⎩或2,34-.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】两位同学的解法都不正确,因为都考虑不全面.正确解答:要使2y a-b -3y 2a+b +8=0是关于y 的一元二次方程,则有:22,-2,a b a b +=⎧⎨=⎩或22,-1,a b a b +=⎧⎨=⎩或22,-0a b a b +=⎧⎨=⎩或21,-2,a b a b +=⎧⎨=⎩或20,- 2.a b a b +=⎧⎨=⎩解得4,32-,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,0,a b =⎧⎨=⎩或2,32,3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,-1,a b =⎧⎨=⎩或2,34-.3a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．32．若两个不同的关于x 的方程2x x a 0++=与2x ax 10++=有一个共同的实数根，求a 的值及这两个方程的公共实数根．【答案】a 的值是2-，这两个方程的公共实数根是x 1=【解析】先把两个方程相减，求出两方程的公共根，然后是公共根代入方程求出a 的值．【解答】解：两个方程相减，得：x a ax 10+--=，整理得：()()x 1a 1a 0---=，即()()x 11a 0--=，若a 10-=，即a 1=时，方程2x x a 0++=和2x ax 10++=的2b 4ac -都小于0，即方程无解；。

沪教版九年级上册相似三角形经典例题与练习 (含答案) 生本教育强力推荐

沪教版九年级上册相似三角形经典例题与练习 (含答案) 生本教育强力推荐生本教育是一家致力于从“学会”到“会学”的教育引领者。

本次教学是关于九年级上册相似三角形总结与加强与平行向量线性运算的课程，课时数为2小时。

教学目标包括熟练掌握相关定义与定理，熟练应用相似三角形的性质与判定定理，熟悉常见题型和图形，熟练掌握常用解题方法与分析方法。

其中，性质与判定定理的熟练应用是重点难点。

教学内容分为回顾知识要点和知识点讲解及经典例题两部分。

回顾知识要点包括三角形相似判定定理，相似形定义和比例知识。

知识点讲解及经典例题部分介绍了相似三角形的比例线段有关概念，比例性质和平行线分线段成比例定理。

此外，还介绍了相似三角形的判定，包括两角对应相等，两边对应成比例且夹角相等，三边对应成比例，直角三角形相似，平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似，以及直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

在教学中，需要重点强化性质与判定定理的熟练应用。

同时，在讲解知识点和经典例题时，需要注重图形的展示和解题方法的讲解，以帮助学生更好地理解和掌握知识。

如果一个三角形的两边的比等于另一个三角形某两边的比，并且它们的夹角相等，那么这两个三角形相似。

相似三角形有以下性质：①对应角相等；②对应边成比例；③对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；④周长的比等于相似比；⑤面积的比等于相似比的平方。

一、如何证明三角形相似例1：如图，点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽△BCF。

例2：已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角平分线，证明：△ABC∽△BCD。

例3：已知，如图，D为△ABC内一点，连结ED、AD，以BC为边在△ABC外作∠XXX∠ABD，∠XXX∠BAD，证明：△DBE∽△ABC。

例4：矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC，证明：不存在非全等的相似三角形。

九年级上册数学配套练习册答案沪教版

三一文库（）/初中三年级〔九年级上册数学配套练习册答案沪教版〕基础知识1、2、3、4、5、CABBA6、7；37、7/4或5/48、±39、310、1；-311、7或312、0能力提升（2）1/3或-114、根据题意得x#+x#=-5/2，x#x#=-1/2（1）3（2）-29/215、由Δ=（4k+1）#-4×2×（2k#-1）=16k#+8k+1-16k#+8=8k+9即（1）当k＞-9/8时，Δ＞0，即方程有两个不相等的实数根（2）当k=-9/8时，Δ=0，即方程有两个相等的实数根（3）当k＜-9/8时，Δ＜0，即方程没有实数根。

16、∵a#-10a+21=0，∴（a-3）（a-7）=0，∴a#=3，a#=7，∵三角形的两边长分别为3cm和7cm，第三边长为acm，而3+3＜7，∴a=7，∴此三角形的周长=7+7+3=17（cm）探索研究17、（1）设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为（5﹣x）cm，依题意列方程得x#+（5﹣x）#=17，整理得：x#-5x+4=0，（x﹣4）（x﹣1）=0，解方程得x#=1，x#=4，1×4=4cm，20﹣4=16cm或4×4=16cm，20﹣16=4cm因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm。

（2）两个正方形的面积之和不可能等于12cm#。

理由：设两个正方形的面积和为y，∵y=12＞0，∴当x=5/2时，y的最小值=12.5＞12，∴两个正方形的面积之和不可能等于12cm#；（另解：由（1）可知x#+（5﹣x）2=12，化简后得2x#﹣10x+13=0，∵△=（﹣10）#﹣4×2×13=﹣4＜0，∴方程无实数解；所以两个正方形的面积之和不可能等于12cm#）。

沪教版九年级数学上册同步精品讲义

例题解析
【例 1】相似的图形，它们的形状
相同，它们的大小
（选填“一定”或“不一定”或“一定不”）
【难度】★
【答案】一定，不一定．
【解析】相似图形是形状相同的两个图形，由其定义可得出结论．
【总结】考查相似图形的概念，注意全等图形是特殊的相似图形．
相同．
【例 2】在下边的方格图中，分别画出 ABC 和四边形 ABCD 的一个相似图形．
x
y
y
2
3
3
1 3
；
（2）由
a 4
b 5
，可得
a
4 5
b
，原式=
2
4
4 5 b
b b
b
13 ；
5
（3）由
2x
5y
0
，可得
x
5 2
y
，原式=
3
5 2
y
y
:
4
5 2
y
3y
17
:14
．
【总结】考查比例性质运用中的基本计算，确定单位“1”再准确计算．
【例 15】（1）已知： a b 2 ，求 2a 4b 的值；
4
6cm ．
【解析】（1）由题意可知 ab 62 ，由此 ab 6 ， ab 1 6 1 35 ；
ab
66
（2）由题意可知 b2 9 4 36 ，可解得 b 6 ；
（3） a 、 b 都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为 6 16 4 6cm
【总结】考查比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别．
矩形 EMNH 的面积 S 与 x 的函数关系式．
【难度】★★★
【答案】 S 2x2 10x 0 x 5 ．

沪科版九年级数学上册课时练习题.docx

九年级上学期数学课时练习题22.2 相似三角形的判定一、精心选一选1﹒下列说法中，不正确的是（）A.直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B.底角为40°的两个等腰三角形相似C.一个锐角为30°的两个直角三角形相似D.有个角为30°的两个等腰三角形相似2﹒如图，点P是平行四边形ABCD边AB上的一点，射线CP交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形有（）A.0对B.1对C.2对D.3对第2题图第3题图第5题图第6题图3﹒如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE不行于BC，则下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）A.∠AED＝∠BB.∠ADE＝∠CC.ADAB＝AEACD.ADAE＝ACAB4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（）①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④5﹒如图，在△ABC中，DE∥BC，ADDB＝12，DE＝4，则BC的长为（）A.12B.11C.10D.86﹒如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则EF FC等于（）A.13B.12C.23D.327﹒如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于点E，交BD于点F，DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD 的长为（）A.4B.7C.3D.12第7题图第8题图第9题图第10题图8﹒如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过点C作CE∥AB，P是梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于点F，交CE于点E，再连接PC.已知BP＝PC，则下列结论错误的是（）A.∠1＝∠2B.∠2＝∠EC.△PFC∽△PCED.△EFC∽△ECB9﹒如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG 是正方形.若DE＝2cm，则AC的长为（）A.33cmB.4cmC.23cmD.25cm10.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，点E为AB的中点，给出下列结论：①CE∥AD；②AC2＝AB AD；③△CDF∽△BCE；④AC：AF＝DE：DF，其中正确的有（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④二、细心填一填11.如图，有下列条件：①∠B＝∠C；②∠ADB＝∠AEC；③AD AEAC AB=；④AD AEAB AC=；⑤PE BPPD PC=，其中一个条件就能使△BPE∽△CPD的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）第11题图第12题图第13题图12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P、A、B、C，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________.13.如图，已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，则线段AD的长为__________.14. 如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于________.第14题图第15题图第16题图15.如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则AO等于__________.16.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O，则线段OM＝________.三、解答题17.已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°.求证：△ABD∽△DCE.18.在平行四边形ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE.（1）若AB＝AE，求证：∠DAE＝∠D；（2）若点E为BC的中点，连接BD，交AE于F，求EF：F A的值.19.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F＝∠C.（1）若BC＝8，求FD的长；（2）若AB＝AC，求证：△ADE∽△DFE.20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.（1）求证：AC CD＝CP BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.（1）求证：△ABE∽△ECF；（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.22.如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长.23.如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，点P从点A开始沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/s的速度运动.如果P、Q分别从A、B同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ与△BAC相似？22.2《相似三角形的判定》课时练习题参考答案一、精心选一选题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DDCBAABDDC1﹒下列说法中，不正确的是（）A .直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似B .底角为40°的两个等腰三角形相似C .一个锐角为30°的两个直角三角形相似D .有个角为30°的两个等腰三角形相似解答：A .直角边长分别是6、4和4.5、3的两个直角三角形相似，因为两边对应成比例，且夹角相等，所以这两个直角三角形相似，故A 正确； B .底角为40°的两个等腰三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故B 正确； C .一个锐角为30°的两个直角三角形相似，因为有两角对应相等，所以这两个等腰三角形相似，故C 正确； D .有个角为30°的两个等腰三角形相似，因为可能一个角为顶点，另一个为底角，所以这两个等腰三角形不相似，故D 错误，故选：D .2﹒如图，点P 是平行四边形ABCD 边AB 上的一点，射线CP 交DA 的延长线于点E ，则图中相似的三角形有（）A .0对B .1对C .2对D .3对解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴△EAP ∽△EDC ，△EAP ∽△CPB ， ∴△EDC ∽△CBP ，故有3对相似三角形．故选：D ．3﹒如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE 不行于BC ，则下列条件中不能判断△ABC ∽△ADE 的是（） A .∠AED ＝∠B B .∠ADE ＝∠C C .AD AB ＝AE AC D .AD AE ＝ACAB解答：∵∠DAE ＝∠CAB ，∴当∠AED ＝∠B 或∠ADE ＝∠C 时，△ABC ∽△ADE ，当AD AE ＝ACAB时，△ABC ∽△ADE ，故选：C .4﹒如图，在下列4×4的正方形（每个小正方形的边长都为1）网格中均有一个三角形，能相似的两个三角形是（）① ② ③ ④A .①与②B .①与③C .②与③D .②与④ 解答：由勾股定理可求出图①中三角形的各边长分别为2，2，10，图③中三角形的各边长分别为22，2，25，∵222＝22＝1025， ∴图①中三角形与图③中三角形相似，故选：B .5﹒如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD DB ＝12，DE ＝4，则BC 的长为（） A .12 B .11 C .10 D .8解答：∵AD DB ＝12，AD +DB ＝AB ，∴AD AB ＝13， ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB ，即4BC ＝13，解得：BC ＝12. 故选：A .6﹒在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 上一点，且AE ＝2ED ，EC 交对角线BD 于点F ，则EFFC等于（） A .13 B .12 C .23 D .32解答：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴ED ∥BC ，BC ＝AD ， ∴△DEF ∽△BCF ， ∴EF DECF CB =，设ED ＝k ，则AE ＝2k ，BC ＝3k ， ∴133EF k CF k ==，故选：A .7﹒如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ：EA ＝3：4，EF ＝3，则CD 的长为（）A .4B .7C .3D .12 解答：∵DE ：EA ＝3：4， ∴DE ：DA ＝3：7，∵EF ∥AB ， ∴DE EFDA AB=，∴337AB=，解得：AB ＝7，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ＝7，故选：B .8﹒如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过点C 作CE ∥AB ，P 是梯形ABCD 内一点，连接BP 并延长交CD 于点F ，交CE 于点E ，再连接PC .已知BP ＝PC ，则下列结论错误的是（） A .∠1＝∠2 B .∠2＝∠E C .△PFC ∽△PCE D .△EFC ∽△ECB 解答：∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴∠ABC ＝∠DCB ， ∵PB ＝PC ，∴∠PBC ＝∠PCB ，∴∠ABC －∠PBC ＝∠DCB －∠PCB ， ∴∠1＝∠2，故A 正确， ∵CE ∥AB ， ∴∠1＝∠E ，∴∠2＝∠E ，故B 正确； ∵∠CPF ＝∠EPC ，∴△PFC ∽△PCE ，故C 正确；由已知条件不能证明△EFC ∽△ECB ，故选：D .9﹒如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形.若DE ＝2cm ，则AC 的长为（） A .33cm B .4cm C .23cm D .25cm 解答：∵E 是AAC 的中点，∴12AE AC =， ∵四边形DEFG 是正方形，∴DE ∥BC ，∴DE AE BC AC =，∴212BC =，∴BC ＝4cm ，∵AB ＝AC ，且四边形DEFG 是正方形， ∴FC ＝12(4－2)＝1cm ，由勾股定理得：EC ＝22EF FC +＝5cm ， ∴AC ＝2EC ＝25cm ，故选D .10.如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，给出下列结论：①CE ∥AD ；②AC 2＝AB AD ；③△CDF ∽△BCE ；④AC ：AF ＝DE ：DF ，其中正确的有（） A .①② B .①②③ C .①②④ D .①②③④ 解答：∵∠ACB ＝90°，点E 为AB 的中点，∴AE ＝CE ＝BE ，∵∠DAC ＝∠BAC ， ∴∠ACE ＝∠DAC ， ∴CE ∥AD ，故①正确； ∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，∠DAC ＝∠BAC ， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AC ADAB AC=，即AC 2＝AB AD ，故②正确； ∵CE ∥AD ，∴FC EF AF DF =，∴FC AF EF DFAF DF ++=， ∴AC DE AF DF=，故④正确， ∵△CDF 与△BCE 不具备相似的条件，∴③不正确，故选：C .二、细心填一填11. 4，①②④⑤； 12. △APB ∽△CP A ； 13. 95； 14. 154； 15. 12； 16. 154；11.如图，有下列条件：①∠B ＝∠C ；②∠ADB ＝∠AEC ；③AD AE AC AB =；④AD AEAB AC=； ⑤PE BP PD PC=，其中一个条件就能使△BPE ∽△CPD 的条件有___________个，它们分别是__________________.（只填写序号）解答：使△BPE ∽△CPD 的条件有4个，∵∠CPD ＝∠BPE ，∠B ＝∠C ，∴△BPE ∽△CPD ，故①符合； ∵∠ADB ＝∠AEC ，∴∠CDP ＝∠BEP ，∵∠CPD ＝∠BPE ，∴△BPE ∽△CPD ，故②符合 ∵∠A ＝∠A ，AD AEAB AC=， ∴△ACE ∽△ABD ，∴∠ADB ＝∠AEC ，∴∠CDP ＝∠BEP ，∵∠CPD ＝∠BPE ，∴△BPE ∽△CPD ，故④符合； ∵∠CPD ＝∠BPE ，PE BPPD PC=， ∴△BPE ∽△CPD ，故⑤符合，故答案为：4，①②④⑤.12.如图，在边长为1的正方形网格中有点P 、A 、B 、C ，则图中所形成的三角形中，相似的三角形是______________________. 解答：∵AP ＝5，PB ＝1，PC ＝5，∴55AP PC =，1555PB AP ==， ∵∠APB ＝∠CP A ，故答案为：△APB ∽△CP A . 13.如图，已知△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，点D 在边AB 上，且∠ACD ＝∠B ，则线段AD 的长为__________.解答：∵∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ， ∴△ABC ∽△ACD ， ∴AB ACAC AD=， ∵AB ＝5，AC ＝3，∴533AD=，∴AD ＝95，故答案为：95．14. 如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE ＝3，DE ＝5，BE ＝4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于________. 解答：∵∠AEC ＝∠BED ，∴当BE DEAE CE =时，△BDE ∽△ACE ，即453CE=， ∴CE ＝154，故答案为：154．15.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AODO等于__________. 解答：∵∠ADO ＝∠ADO ，∠DOA ＝∠DAE ＝90°，∴△AOD ∽△EAD ，∴12AO AE DO AD ==，故答案为：12.16.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，沿直线MN 对折，使A ，C 重合，直线MN 交AC 于点O ，则线段OM ＝________.解答：在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OC ＝5，∵A 与C 关于直线MN 对称， ∴AC ⊥MN ，∴∠COM ＝90°， ∵在矩形ABCD 中，∠B ＝90°， ∴∠COM ＝∠B ＝90°，又∵∠MCO ＝∠ACB ， ∴△COM ∽△CBA ，∴OC OMBC AB=， ∴OM ＝154，故答案为：15.三、解答题17.已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），∠ADE ＝45°.求证：△ABD ∽△DCE . 解答：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ＝45°，∴∠1+∠2＝180°－∠B ＝135°， ∵∠2+∠ADE +∠3＝180°，∠ADE ＝45°， ∴∠2+∠3＝180°－∠ADE ＝135°， ∴∠1＝∠3，∴△ABD ∽△DCE .18.在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连接AE . （1）若AB ＝AE ，求证：∠DAE ＝∠D ；（2）若点E 为BC 的中点，连接BD ，交AE 于F ，求EF ：F A 的值. 解答：（1）在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠DAE ，∵AE ＝AB ， ∴∠B ＝∠AEB ， ∴∠B ＝∠DAE ， ∵∠B ＝∠D ， ∴∠DAE ＝∠D ；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴△BEF ∽△AFD ， ∴EF BEFA AD=， ∵E 为BC 的中点， ∴BE ＝12BC ＝12AD ，即12BE AD =， ∴EF ：F A ＝1：2．19.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，F 为CA 延长线上一点， ∠F ＝∠C .（1）若BC ＝8，求FD 的长；（2）若AB ＝AC ，求证：△ADE ∽△DFE . 解答：（1）∵D 、E 分别是边AB 、AC 的中点， ∴DE ＝12BC ＝4，DE ∥BC ． ∴∠AED ＝∠C ． ∵∠F ＝∠C ， ∴∠AED ＝∠F ， ∴FD ＝DE ＝4；（2）∵AB ＝AC ，DE ∥BC ． ∴∠B ＝∠C ＝∠AED ＝∠ADE ， ∵∠AED ＝∠F ， ∴∠ADE ＝∠F ，又∵∠AED ＝∠AED ，20.如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.（1）求证：AC CD＝CP BP；（2）若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长.解答：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C，∵∠APC＝∠BAP+∠B，∠APC＝∠APD+∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BP AB CD CP=，∴AB CD＝CP BP，∵AB＝AC，∴AC CD＝CP BP；（2）∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP．∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C．∵∠B＝∠B，∴△BAP∽△BCA，∴BA BP BC BA=．∵AB＝10，BC＝12，∴101210BP=，∴BP＝253．21.已知：如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H.（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）找出与△ABH相似的三角形，并加以证明；（3）若E是BC的中点，BC＝2AB，AB＝2，求EM的长.解答：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE＝∠ECF＝90°，∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC＝90°，∵∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF；（2）△ABH∽△ECM，∵BG⊥AC，∠ABC＝90°，∴∠ABH+∠BAG＝90°，∠ECM+∠BAG＝90°，∴∠ABH＝∠ECM，又∠BAH＝∠CEM，∴△ABH∽△ECM；（3）作MN⊥BC于点N，∵AB＝BE＝EC＝2，MN∥AB，∴12AB MNBC NC==，∠AEB＝45°，∴∠MEN＝45°，NC＝2MN，∴MN＝EN＝12 NC，∵NC +EN ＝EC ＝2，∴MN ＝EN ＝2×13＝23， ∴EM 2＝MN 2+EN 2＝(23)2+(23)2， ∴EM ＝223. 22.如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N .（1）求证：△ABM ∽△EF A ；（2）若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长.解答：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF ，又∵EF ⊥AM ，∴∠AFE ＝90°，∴∠B ＝∠AFE ，∴△ABM ∽△EF A ；（2）解：∵∠B ＝90°，AB ＝12，BM ＝5，∴AM ＝22125+＝13，AD ＝12，∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5， ∵△ABM ∽△EF A ，∴BM AM AF AE =，即5136.5AE =， ∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9．23.如图，在△ABC 中，AB ＝8cm ，BC ＝16cm ，点P 从点A 开始沿AB 向点B 以2cm/s 的速度运动，点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以4cm/s 的速度运动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，4秒后停止运动，则在开始运动后第几秒，△BPQ 与△BAC 相似？解答：设在开始运动后第x 秒，△BPQ 与△BAC 相似，由题意得：AP ＝2x cm ，PB ＝（8﹣2x ）cm ，BQ ＝4x ，分两种情况考虑：当∠BPQ ＝∠C ，∠B ＝∠B 时，△PBQ ∽△CBA ， ∴BP BQ BC AB =，即824168x x -=，解得：x ＝0.8，当x ＝0.8秒时，△BPQ 与△BAC 相似；当∠BPQ ＝∠A ，∠B ＝∠B 时，△BPQ ∽△BAC ， ∴BP BQ BA BC =，即824816x x -=，解得：x ＝2，当x ＝2秒时，△BPQ 与△BAC 相似．综上，当x ＝0.8秒或2秒时，△BPQ 与△BAC 相似．初中数学试卷马鸣风萧萧。

二次函数与一元二次方程第1课时沪科版数学九年级上册同步练习(含答案)

21.3二次函数与一元二次方程第1课时一、选择题1．如图，抛物线的表达式为()A．y＝x2－2x＋3B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x＋3 D．y＝x2＋2x－3 2．抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴上，且过(－1,3)、(－2,6)两点，则其解析式为() A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－x3．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝2，且经过点P(3,0)，则a＋b＋c的值为()A．－1B．0C．1D．24. 已知抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的交点坐标为(－1,0)和(－3,0)，则方程x2＋ax＋b ＝0的解是()A．x1＝1，x2＝－3B．x1＝－1，x2＝－3C．x＝－3D．x＝35. 抛物线y＝－3x2＋2x＋1与x轴的交点有()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋5的顶点坐标为(－1,4)，则a＝，b＝.7. 已知二次函数图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P(2,0)，则这个函数表达式为.8．若二次函数y＝ax2＋2x＋a2－1(a≠0)的图象如图所示，则a的值是.9．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(－1,0)、(1，－2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是.10．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表：则当x＝1的值为.11．设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0,2)、B(4,3)、C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为. 12. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x、y满足下表：.三、解答题13. 求符合条件的二次函数解析式：(1)二次函数图象经过点(－1,0)、(1,2)、(0,3)；(2)二次函数图象的顶点坐标为(－3,6)，且经过点(－2,10)；(3)二次函数图象与x轴的交点坐标为(－1,0)、(3,0)，与y轴交点的纵坐标为9.14. 已知二次函数y＝x2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：(1)求该二次函数的关系式；(2)当x为何值时，y有最小值？最小值是多少？(3)若A(m，y1)、B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小.x …－1 0 1 2 3 4 …y …10 5 2 1 2 5 …15. 如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2,4)、B(6,0)．(1)求a、b的值；(2)点C是该二次函数图象上A、B两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S与点C的横坐标x之间的函数表达式，并求出S的最大值．16．已知二次函数y＝2x2－mx－m2.(1)求证：对于任意实数m，该二次函数图象与x轴总有公共点；(2)若该二次函数图象与x轴有两个公共点A、B，且A点坐标为(1,0)，求B点坐标．答案：一、1-5 BCBBC 二、 6. 1 2 7. y ＝3x 2－6x 8. －1 9. x ＞12 10. －2711. y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2 12. y ＝x 2－x －2 三、13. 解：(1)y ＝－2x 2＋x ＋3； (2)y ＝4x 2＋24x ＋42； (3)y ＝－3x 2＋6x ＋9. 14. 解：(1)y ＝x 2－4x ＋5；(2)∵y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1，∴当x ＝2时，y 有最小值，最小值是1；(3)∵A(m ，y 1)、B(m ＋1，y 2)两点都在函数y ＝x 2－4x ＋5的图象上，∴y 1＝m 2－4m ＋5，y 2＝(m ＋1)2－4(m ＋1)＋5＝m 2－2m ＋2，y 2－y 1＝2m －3，∴当2m －3＜0，即m ＜32时，y 1＞y 2；当2m －3＝0，即m ＝32时，y 1＝y 2；当2m －3＞0，即m ＞32时，y 1＜y 2.15. 解：(1)将A(2,4)、B(6,0)代入y ＝ax 2＋bx 中，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝436a ＋6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12b ＝3；(2)如图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D(2,0)，连接CD ，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F.∴S △OAD ＝12OD·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S △BCD ＝12BD·CF ＝12×(6－2)×(－12x 2＋3x)＝－x 2＋6x.∴S ＝S △OAD ＋S △ACD ＋S △BCD ＝4＋2x －4－x 2＋6x ＝－x 2＋8x.∴S 与x 之间的函数表达式为S ＝－x 2＋8x(2＜x ＜6)．∵S ＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16，∴当x ＝4时，四边形OACB 的面积S 有最大值，最大值为16.16. 解：(1) 对于一元二次方程2x 2－mx －m 2＝0，Δ＝(－m )2－4×2×(－m 2)＝9m 2≥0，∴对于任意实数m ，一元二次方程2x 2－mx －m 2＝0总有实数根．∴该二次函数图象与x 轴总有公共点；(2) 把(1,0)代入二次函数关系式，得0＝2－m －m 2，∴m 1＝－2，m 2＝1，当m ＝－2时，二次函数关系式为y ＝2x 2＋2x －4，当2x 2＋2x －4＝0时，x 1＝1，x 2＝－2，∴B 1(－2,0)；当m ＝1时，二次函数关系式为y ＝2x 2－x －1，当2x 2－x －1＝0，∴x 1＝－12，x 2＝1，∴B 2(－12，0)．∴B 点坐标为(－12，0)或(－2,0)．。

2022-2023学年上海九年级数学上学期课时同步练21-3：二次函数与一元二次方程(解析版)

21.3：二次函数与一元二次方程1．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．x＞8 C．﹣2＜x＜8 D．x＜﹣2或x＞8【答案】D【解析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可；【解答】∵A（﹣2，4），B（8，2），∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．故答案选D．【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的计算，准确计算是解题的关键．2．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（）A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2D．若32-≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝12-【答案】D【解析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y =a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.【解答】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，A.当x＝﹣2时，y＝2，∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，∴a ＝﹣2，正确，不符合题意；D.若﹣32≤x≤0时2≤y≤3；在﹣32≤x≤0时，当x ＝﹣1时，y 有最大值2﹣a ，当x ＝0时，有最最小值2； ∴3＝2﹣a ，∴a ＝﹣1，故D.错误，符合题意；故选：D ．【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用求根公式和函数图象的增减性是解题的关键．3．如图是抛物线()2y ax bx c a 0=++≠图象的一部分．当y 0<时，自变量x 的范围是( )A ．x 1<-或x 2?>B ．x 1<-或x 5>C ．1x 5-<<D ．1x 2-<<【答案】C 【解析】先求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论．【解答】解：由函数图象可知，函数图象与x 轴的一个交点坐标为1,0，对称轴为直线2x =，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()5,0，∴当0y <时，15x -<<．故选：C ．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式组的解是解答此题的关键． 4．二次函数y ＝x 2+2x ﹣7的函数值是8，那么对应的x 的值是（）A ．3B ．5C ．﹣3和5D ．3和﹣5【答案】D【解析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x 的方程即可．【解答】解：根据题意，得x 2+2x ﹣7＝8，即x 2+2x ﹣15＝0，故选D ．【点评】本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解．5．一元二次方程x 2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x 2﹣bx ﹣c 的图象必过点（）A ．（﹣3，0）B ．（3，0）C ．（﹣3，27）D ．（3，27）【答案】D【解析】一元二次方程x 2+bx+c=0有一个根为x=3，可以求得b 、c 的关系，再观察二次函数y=2x 2-bx-c ，可以返现当x=3时，该函数中b 和c 的关系可以与前面统一，本题得以解决．【解答】∵一元二次方程x 2+bx+c=0有一个根为x=3，∴32+3b+c=0，∴3b+c=-9，∴当x=3时，y=2×32-3b-c=18-（3b+c ）=18-（-9）=18+9=27，∴二次函数y=2x 2-bx-c 的图象必过点（3，27），故选D ．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++<的解集为（）A ．1x <-或 5x >B ．5x >C ．15x -<<D ．无法确定【答案】A 【解析】由图象判断x =2是对称轴，与x 轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax 2+bx +c ＜0．【解答】由图象可知二次函数的对称轴是x =2，与x 轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x 轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax 2+bx +c ＜0的解集为x ＞5或x ＜﹣1．故选A ．【点评】本题考查了二次函数与一元二次不等式．能够根据二次函数图象特点求出函数与x 轴的两个交点是，数形结合解不等式是解题的关键．7．已知函数y ＝﹣3﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ），并且a ，b 是方程﹣3﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝0的两个根，则实数m ，n ，a ，b 的大小关系可能是（）．A ．m ＜n ＜b ＜aB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜b ＜n【答案】D【解析】令抛物线解析式中0y =，得到方程的解为a ，b ，即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ，b ，再由抛物线开口向下得到x a <或x b >时y 小于0，根据x m =与n 时函数值小于0，即可确定出m ，n ，a ，b 的大小关系．【解答】解：函数23()()()3y x m x n x m n x mn =----=-++--，∴抛物线开口向下，a ，b 是方程﹣3﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝0的两个根∴当x a =或b 时，0y =，又当x m =或n 时，30y =-<，∴实数m ，n ，a ，b 的大小关系为m ＜a ＜b ＜n ．故选：D ．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．8．二次函数y ＝a(x －4)2－4(a≠0)的图象在2＜x ＜3这一段位于x 轴的下方，在6＜x ＜7这一段位于x 轴的上方，则a 的值为（）A ．1B ．－1C ．2D ．－2【答案】A【解答】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x ＜2这段位于x 轴的上方，而抛物线在2＜x ＜3这段位于x 轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y ＝a (x －4)2－4(a ≠0)可求出a=1.故选A9．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝1．下列结论正确的是( )A ．abc ＜0B ．b 2＜4acC ．a +b +c ＞0D ．当y ＜0时，﹣1＜x ＜3【答案】D 【解析】利用抛物线开口向上得到a ＞0，由对称轴为直线12b x a=-=得到b=-2a ＜0，由抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c ＜0，则可对A 选项进行判断；利用抛物线与x 轴有2个交点，可对B 选项进行判断；利用x=1时，y ＜0可对C 选项进行判断；利用抛物线的对称性得A 点坐标为（-1，0），通过抛物线在x 轴下方对应的自变量的范围可对D 选项进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵对称轴为直线12b x a=-=， ∴b ＝﹣2a ＜0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，所以A 选项错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△＝b 2﹣4ac ＞0，所以B 选项错误；∵x ＝1时，y ＜0，∴a+b+c ＜0，所以C 选项错误；∵对称轴为直线x ＝1．而点B 坐标为(3，0)，∴A 点坐标为(﹣1，0)，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，所以D 选项正确．故选D ．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10．已知抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b ）与x 轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc ＞0；②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；③关于x 的方程ax 2+bx+c+1=0无实数根；④a b c b ++≥2．其中，正确结论的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x 轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，根据抛b a 可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出ax2物线的对称轴公式x=﹣2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a ﹣b+c ＞0，继而可得a+b+c≥2b ，从而可判断④.【解答】①∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b ）与x 轴最多有一个交点，∴抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①正确；②∵0＜2a≤b ， ∴2b a ＞1， ∴﹣2b a ＜﹣1， ∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；③由题意可知：对于任意的x ，都有y=ax 2+bx+c≥0，∴ax 2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；④∵抛物线y=ax 2+bx+c （0＜2a≤b ）与x 轴最多有一个交点，∴当x=﹣1时，y ＞0，∴a ﹣b+c ＞0，∴a+b+c≥2b ，∵b ＞0，∴a b c b++≥2，故④正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C ．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系. 11．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜14D ．c ＜1【答案】B【解析】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，由此可知方程x 2+x+c ＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x 2+x+c ＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c 的不等式组，解不等式组即可求得答案.【解答】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，所以x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个不相等的实数根，整理，得：x 2+x+c ＝0，所以△=1-4c>0，又x 2+x+c ＝0的两个不相等实数根为x 1、x 2，x 1＜1＜x 2，所以函数y= x 2+x+c ＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140110c c -⎧⎨++⎩＞＜，解得c ＜﹣2，故选B.【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.12．已知:抛物线y 1=x 2+2x-3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，抛物线y 2=x 2-2ax-1(a>0)与x 轴交于C 、D 两点(点C 在点D 的左侧)，在使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，a 的取值范围是（）A ．0<a≤34B ．a≥34C ．34≤a ＜43D ．34<a≤43【答案】C【解析】根据题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知使y 1>0且y 2≤0的x 的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即可求出a 的取值范围.【解答】由题意可知()22210y x ax a =-->的对称轴为(0)x a a =>可知对称轴再y 轴的右侧，由2123y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)可知当10y >时可求得31x x <->或使1200y y >≤且的x 的取值范围内恰好只有一个整数时∴只要符合将2x =代入()22210y x ax a =-->中，使得20y ≤，且将3x =代入()22210y x ax a =-->中使得20y >即224109610a a ⎧--≤⎨-->⎩ 求得解集为：3443x ≤< 故选C【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.13．如图，已知二次函数y=13x 2+ 23x−1的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接AC ，点P 是抛物线上的一个动点，记△APC 的面积为S ，当S=2时，相应的点P 的个数是（）A ．4 个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C 【解析】先确定A 点坐标为（-3，0），B 点坐标为（1，0），C 点坐标为（0，-1），再分类讨论．【解答】依题意可得A 的坐标为（-3，0），B 的坐标为（1,0），C 的坐标为（0，-1）,点P 在抛物线上，而且S △APC =2，那么符合条件的有（1）当点P 和点B 重合，其面积即为4×1÷2=2，（2）假设动点P 在y 轴的左侧上，则S △APC =1313122222y ⨯⨯+⨯⨯=，解得53y =，把53y =代入y=13x 2+ 23x−1，得12-4,=2x x =（舍去），所以点P （-4，53）. 在y 轴的右侧上找不到适合的点，由此只有两个点．故选：C点评：该题分析较为复杂，主要考查学生对二次函数与直角坐标系各坐标交点以及线上动点与固定点所形成图形面积的计算应用．14．已知关于x 的一元二次方程()()23x x m --=有两个不相等的实数根1x ，2x ，有下列结论：①122,3x x ==；②14m >-；③三次函数()()12y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的横坐标分别为a 和b ，则5a b +=．其中，正确结论的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】将已知的一元二次方程整理为:一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m ，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，确定出二次函数图象与x 轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.【解答】一元二次方程()()23x x m --=化为一般形式得：2560x x m -+-= ，∵一元二次方程()()23x x m --=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴224(5)4(6)410b ac m m -=---=+>， ∴14m >-，故②正确；∵一元二次方程()()23x x m --=有两个不相等的实数根1x ，2x ，∴125x x +=，126x x m =- ，而选项①中122,3x x ==，只有在m=0时才能成立，故①错误；二次函数y=12()()x x x x m --+=21212()x x x x x x m -+++=25(6)x x m m -+-+=256x x -+=(2)(3)x x --，当y=0时，(2)(3)x x --=0，∴x=2或x=3，∴抛物线与x 轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，∴a+b=2+3=5，故③正确，故选：C.【点评】此题考查已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系式，二次函数图象与坐标轴交点，根与系数的关系公式及根的判别式公式是解此题中的关键计算.15．若满足12＜x≤1的任意实数x ，都能使不等式2x 3﹣x 2﹣mx ＞2成立，则实数m 的取值范围是（） A ．m ＜﹣1B ．m≥﹣5C ．m ＜﹣4D ．m≤﹣4 【答案】D【解析】根据题意可以得到关于m 的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以去的m 的取值范围．【解答】解：∵2x 3-x 2-mx ＞2，∴2x 2-x-m ＞2x，抛物线y=2x 2-x-m 的开口向上，对称轴为直线x=14，而双曲线y=2x 分布在第一、三象限， ∵12＜x≤1，2x 2-x-m ＞2x ， ∴x=12时，2×14-12-m≥4，解得m≤-4， x=1时，2-1-m ＞2，解得m ＜-1，∴实数m 的取值范围是m≤-4．故选：D ．【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m 的取值范围．16．已知二次函数y ＝﹣(x ﹣2)2+c ，当x ＝x 1时，函数值为y 1：当x ＝x 2时，函数值为y 2，假设|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，则y 1，y 2的大小关系是______.【答案】y 1＜y 2【解析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y 1与y 2的大小关系.【解答】解：∵y ＝﹣(x ﹣2)2+c ，∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x ＝2，∵|x 1﹣2|＞|x 2﹣2|，∴y 1＜y 2.故答案为：y 1＜y 2.【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据解析式确定开口方向和对称轴．17．已知方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1，则抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点间距离为_________．【答案】72 【解答】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x 轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.解：∵方程2x 2﹣3x ﹣5=0两根为52，﹣1， ∴抛物线y =2x 2﹣3x ﹣5与x 轴两个交点的横坐标分别为52，﹣1， ∴两个交点间距离为57(1)22--=. 故答案为72. 18．若二次函数2y ax bx c(a 0)=++<的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x 的取值范围是________.【答案】42x -<<【解答】试题分析：直接利用二次函数对称性得出图象与x 轴的另一个交点，再画出图象，得出y ＞0成立的x 的取值范围．解：如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，∴图象与x 轴的另一个交点为：（﹣4，0），则使函数值y ＞0成立的x 的取值范围是：﹣4＜x ＜2．故答案为﹣4＜x ＜2．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用数形结合得出x 的取值范围是解题关键．19．已知二次函数2y ax bx c =++图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表所示，图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是___________． x … -1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 …【答案】(3,0)【解析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，可以得到该函数与x 轴的另一个交点的坐标．【解答】解：由表格可知，二次函数2y ax bx c =++的对称轴是直线0212x +==， ∵二次函数2y ax bx c =++与x 轴的一个交点为（-1，0），∴它与x 的轴的另一个交点为（3，0），故答案为：（3，0）．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．20．已知二次函数2y ax bx c =++(0)a <与一次函数1y kx =+图像交于()3,A m -，()1,B n 两点，则关于x 的不等式2()1ax b k x c +-+≥的解集为_______．【答案】31x -≤≤【解析】先把不等式转化为两个函数解析式的表示形式，然后结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值范围就是不等式的解集．【解答】2()1ax b k x c +-+≥可整理为21ax bx c kx ++≥+∵二次函数2y ax bx c =++(0)a <与一次函数1y kx =+图像交于()3,A m -，()1,B n 两点，如图，∴关于x 的不等式2()1ax b k x c +-+≥的解集为：31x -≤≤，故答案为：31x -≤≤．【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．21．抛物线y ＝x 2+3x+2与y 轴的交点坐标是_______.【答案】（0，2）【解析】令x=0求出y 值，即可得答案.【解答】∵当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线y ＝x 2+3x+2与y 轴的交点坐标是（0，2）．故答案为：（0，2）【点评】此题考查了二次函数与x 轴、y 轴的交点坐标，当x=0时，求得二次函数与y 轴的交点，当y=0时，求得二次函数与x 轴的交点.22．已知二次函数y=-x 2+2x+5，当x________时，y 随x 的增大而增大【答案】x<1【解析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．【解答】解：∵y=-x 2+2x+5=-（x-1）2+6，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故答案为：＜1．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （x-h ）2+k 中，对称轴为x=h ，顶点坐标为（h ，k ）．23．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：①ab ＜0；②方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3；③4a+2b+c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大；⑤当y ＞0时，﹣1＜x ＜3；⑥3a+2c ＜0．其中不正确的有_____．【答案】⑤【解析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x 轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x 轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y 随x 值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab 之间关系，再代入a ﹣b+c ＝0，问题可解．综上即可得出结论．【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0，﹣2b a＞0，c ＜0， ∴b ＜0，∴ab ＜0，说法①正确；②二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，∴方程ax 2+bx+c ＝0的根为x 1＝﹣1，x 2＝3，说法②正确；③∵当x ＝2时，函数y ＜0，∴4a+2b+c ＜0，说法③正确；④∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，∵图象开口向上，∴当x ＞1时，y 随x 值的增大而增大，说法④正确；⑤∵抛物线与x 轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，∴当y ＜0时，﹣1＜x ＜3，说法⑤错误；⑥∵当x ＝﹣1时，y ＝0，∴a ﹣b+c ＝0，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1＝﹣2b a ， ∴b ＝﹣2a ，∴3a+c ＝0，∵c ＜0，∴3a+2c ＜0，说法⑥正确．故答案为⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．24．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，当y ＜3时，x 的取值范围是____．【答案】－1＜x ＜3【解析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x 的取值范围即可．【解答】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x ＜3时，y ＜3，故答案为：－1＜x ＜3.【点评】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．25．已知y 关于x 的二次函数212y ax x =+和一次函数2y x a =-，若函数1y 的图象始终在函数2y 的图象的一侧，则常数a 的取值范围是__________．【答案】12a >或12a <- 【解析】若12y y =，则20ax x a ++=，根据根的判别式2140a ∆=-=时，函数1y 与2y 的图象只有一个交点，此时12a =或12-，对a 的值进行分类讨论，结合图形，根据a 的值对函数图形的影响，确定a 的取值范围即可．【解答】解：若12y y =，则22ax x x a +=-，整理得20ax x a ++=，当2140a ∆=-=时，函数1y 与2y 的图象只有一个交点，此时12a =或12-． ①当12a =时，如图（1）所示．当a 从12逐渐增大时，函数212y ax x =+的图象开口向上，并随着a 的增大，开口越来越小，函数2y x a =-的图象逐渐向下平移，此时函数212y ax x =+的图象在函数2y x a =-的图象上方．②当12a =-时，如图（2）所示．当a 从12-逐渐减小时，函数212y ax x =+的图象开口向下，并随着a 的减小，开口越来越小，函数2y x a =-的图象逐渐向上平移，此时函数212y ax x =+的图象在函数2y x a =-的图象下方．综上所述，若函数1y 的图象始终在函数2y 的图象的一侧，a 的取值范围为12a >或12a <-．【点评】本题考查了二次函数和一次函数中系数对函数图象的影响，解题的关键是确定当函数1y 与2y 的图象只有一个交点时a 的值，并根据系数对图象的影响确定a 的取值范围．26．已知3x －y =3a 2－6a +9，x +y =a 2+6a －9，若1x y ≥+，则实数a 的值为____．【答案】24a a ≤≥或【解析】根据题意列出关于x 、y 的方程组，然后求得x 、y 的值，结合已知条件1x y ≥+求a 的值. 【解答】解：依题意得：22336969x y a a x y a a ⎧-=-+⎨+=+-⎩, 解得269x a y a ⎧=⎨=-⎩, 1x y ≥+，2691,a a ∴≥-+()()240,a a --≥整理得，2 4.a a ≤≥解得或24a a ≤≥故答案是：或【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及二次函数与不等式．27．当30x -≤≤时，22220x mx m -+-+≤，则m 的取值范围是_______．【答案】m≥1【解析】设函数2222y x mx m =-+-+，令y=0，求出x ，根据函数图像可知：在10x ≥或23x ≤-时，函数图像在-3≤x≤0的区域内位于x 轴下方，再分10x ≥或23x ≤-两种情况分别求解，最后合并．【解答】解：设函数2222y x mx m =-+-+，则该函数的图像为开口向下的抛物线，令：22220x mx m -+-+=，得： 2142b b ac x a -+-==224882m m m -+-+-=222m m m --+， 2242b b ac x a ---==22488m m m ---+=222m m m -+可得12x x <，∴函数2222y x mx m =-+-+与x 轴的交点为：（222m m m --+，0），（222m m m +-+，0），由于-3≤x≤0时，22220x mx m -+-+≤，即函数2222y x mx m =-+-+的图像在-3≤x≤0时位于x 轴下方，根据函数图像可知：在10x ≥或23x ≤-时，函数图像在-3≤x≤0的区域内位于x 轴下方，因此有10x ≥或23x ≤-两种情况，当10x ≥时，函数2222y x mx m =-+-+的对称轴直线x=m 大于1x ，即m ＞0，222m m m --+≥0，222m m m ≥-+，∵m ＞0，∴2222m m m ≥-+，得：m≥1，当23x ≤-时，函数2222y x mx m =-+-+的对称轴直线x=m 小于2x ，即m ＜-3，2223m m m +-+≤-，2322m m m +≤--+，∵m ＜-3，∴m+3＜0，∴-（m+3）≥222m m -+，两边平方得：78m ≥-， ∵m ＜-3，∴不成立，故m 的取值范围是m≥1．故答案为：m≥1．【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是将一元二次不等式转化成二次函数问题求解． 28．某一房间内A 、B 两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB 之间（不包括A 、B 两点）经过时，将触发报警．现将A 、B 两点放置于平面直角坐标系xoy 中，（如图），已知点A 、B 的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线223y ax ax a =--（a ＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则a 的取值范围是__________．【答案】43-＜a ＜1- 【解析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x 轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x 轴的交点为定点等即可解答．【解答】解：抛物线223(1)(3)y ax ax a a x x =--=+-， ∴其对称轴为：1x =，且图象与x 轴交于（1-，0），（3，0）．∵抛物线顶点为（1，4a -），当顶点在线段AB 上时，有44a -=，则1a =-；当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：34a -=；∴43a =-，由对称轴为x=1及图象与x 轴交于（1-，0），（3，0）可知，当43-＜a ＜1-时，抛物线与线段AB 有两个交点； ∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则a 的取值范围是43-＜a ＜1-；故答案为：43-＜a ＜1-. 【点评】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x 轴交点情况等，难度较大．29．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式2ax mx c n ++>的解集是_____．【答案】3x <-或1x >．【解析】由2ax mx c n ++>可变形为2ax c mx n +>-+，即比较抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+之间关系，而直线PQ ：y mx n =-+与直线AB ：y mx n =+关于与y 轴对称，由此可知抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，∴m n p -+=，3m n q +=，∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p ，()3,Q q -两点，观察函数图象可知：当3x <-或1x >时，直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c =++的下方，∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．故答案为3x <-或1x >．【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 30．抛物线y ＝(a 2+1)x 2+bx +c 经过点A （﹣3，t ）、B （4，t ）两点，则不等式(a 2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t 的解集是_____________________．【答案】-1＜x ＜6【解析】现将(a 2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t 变形(a 2+1)（x-2)2+（x-2）b+c <t ，即将y ＝(a 2+1)x 2+bx +c 的图像向右平移2个单位，即y=(a 2+1)（x-2)2+（x-2）b+c 一定过（﹣1，t ）、B （6，t ），再由a 2+1＞0，画出该函数的草图即可确定答案．【解答】解:∵(a 2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t∴(a 2+1)（x-2)2+（x-2）b+c <t∵y=(a 2+1)（x-2)2+（x-2）b+c 的图像可由y ＝(a 2+1)x 2+bx +c 的图像向右平移2个单位得到∴y=(a 2+1)（x-2)2+（x-2）b+c 一定过（﹣1，t ）、B （6，t ），又∵a 2+1＞0，∴y=(a 2+1)（x-2)2+（x-2）b+c 的草图如下：∴(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集为-1＜x＜6故答案为-1＜x＜6【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系以及函数图像的平移，对解析式的灵活变形和画出函数图像草图是解答本题的关键．31．画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：(1)方程x2－2x＝0的解是什么？(2)x取什么值时，函数值大于0?(3)x取什么值时，函数值小于0?【答案】(1)x1＝0，x2＝2(2)x<0或x>2(3)0<x<2【解答】试题分析：画出抛物线y＝x2－2x的图象的草图，根据图象即可解决问题（1）（2）（3）.试题解析：二次函数y＝x2－2x的图象如下图所示：（1）观察图象可得方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2；（2）观察图象可得，当x 取x<0或x>2时，函数值大于0；（3）观察图象可得，当x 取0<x<2时，函数值小于0.【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系以及与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出自变量x 的范围，运用了数形结合的思想方法．32．已知k 是常数，抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，并且与x 轴有两个交点. (1)求k 的值：(2)若点P 在抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 上，且P 到y 轴的距离是2，求点P 的坐标. 【答案】(1)k =-3；(2)点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【解析】(1)根据抛物线的对称轴是y 轴以及对称轴公式可得关于k 的方程，解方程后再根据抛物线与x 轴的交点个数即可确定答案；(2)由点P 到y 轴的距离即可确定出点P 的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P 的纵坐标即可得答案.【解答】(1)∵抛物线y=x 2+(k 2+k －6)x+3k 的对称轴是y 轴，∴26022b k k x a +-=-=-=，即k 2+k －6=0，解得k=－3或k=2，当k=2时，二次函数解析式为y=x 2+6，它的图象与x 轴无交点，不满足题意，舍去，当k=－3时，二次函数解析式为y=x 2－9，它的图象与x 轴有两个交点，满足题意， ∴k=－3；(2)∵P 到y 轴的距离为2， ∴点P 的横坐标为－2或2，当x=2时，y=－5；当x=－2时，y=－5，∴点P 的坐标为(2，－5)或(－2，－5).【点评】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x 轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.33．已知二次函数2y x x a =++的图象与x 轴交于12(0)(0)A x B x ，、，两点，且2212111x x +=，求a 的值．【答案】12a =--.【解析】由韦达定理得12121x x x x a +⋅＝﹣，＝，，将式子2212111x x +=化简代入即可；【解答】解：2y x x a ++＝的图象与x 轴交于1200A x B x （，）、（，）两点， ∴=1-40a ∆> 即14a <12121x x x x a∴+⋅＝-，＝()()222121212222222121212211121x x x x x x a x x x x a x x +-+-+==== 12a ∴=-+(舍)或12a =--；【点评】考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键． 34．给定关于x 的二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3（k≠0），（1）当该二次函数与x 轴只有一个公共点时，求k 的值；（2）当该二次函数与x 轴有2个公共点时，设这两个公共点为A 、B ，已知AB ＝2，求k 的值；（3）由于k 的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y 轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；请判断以上结论是否正确，并说明理由．【答案】（1）32（2）1（3）①②③ 【解析】【解析】（1）由抛物线与x 轴只有一个交点，可知△=0；（2）由抛物线与x 轴有两个交点且AB=2，可知A 、B 坐标，代入解析式，可得k 值；（3）通过解析式求出对称轴，与y 轴交点，并根据系数的关系得出判断．【解答】（1）∵二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3与x 轴只有一个公共点， ∴关于x 的方程kx 2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣4k ）2﹣4×3k ＝16k 2﹣12k ＝0，解得：k 1＝0，k 2＝32， k≠0， ∴k ＝32；（2）∵AB ＝2，抛物线对称轴为x ＝2， ∴A 、B 点坐标为（1，0），（3，0），将（1，0）代入解析式，可得k ＝1，（3）①∵当x ＝0时，y ＝3，∴二次函数图象与y 轴的交点为（0，3），①正确； ②∵抛物线的对称轴为x ＝2， ∴抛物线的对称轴不变，②正确；③二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3＝k （x 2﹣4x ）+3，将其看成y 关于k 的一次函数，令k 的系数为0，即x 2﹣4x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝4，。

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