高斯小学奥数五年级上册含答案_物不知数与同余

第二十二讲物不知数与同余

农孙子算经〉是南北朝时一邮董要的数 学苕诈，为我国古代 伸经十书》之一• 三人阳行七十稀 五树梅花廿一枝 七子团圆正半月 除百零五便得知

除以3余N 除以5余汝除以7

定2

CP 2

书中右一道暑皂的題目、我们称之 为

“物不知数冋题“ •

这過题的实质圧一个余数问翹, 我国古代的学者很早就研究这个 问题的斛注.

我国明朝的数学 家程人位柱抱暑的 农算法统宗》中' 就用了四旬很通倍 的口诀暗承了竝且 的解法.IWWL 你能知道程大位先 生口诀里的盍思叫？

故事中的余数问题就是我们今天要研究的 “物不知数” 问题，也称为中国古余数问题． 简 单来说，这类问题就是先知道了除数和余数， 反求被除数的问题． 通常在不同的题目中，余 数限制条件的数量也是不同的，但都是从一个条件入手，逐个条件的去满足．

例题 1．

（1）一个数除以 21 余 17，除以 20 也余 17．这个数最小是多少？第二小是多少？ （2）一个数除以 11 余 7，除以 10 余 6．这个数最小是多少？第二小是多少？ 「分析」（1）这个数除以 21和20都余 17，那么减去 17以后得到的差跟 21和 20有什么关 系呢：

（2）除以 11和 10 的余数不一样，所以不能同时减去一个数了．反方向考虑一下？

练习 1．

4余 3，除以 5也余 3，这个自然数最小是多少？

5余 1，除以 7余3，这个自然数最小是多少？

例题 2．

（1）一个三位数除以 8 余 3，除以 12 也余 3．这个三位数最小是多少？ （2）一个三位数除以 6 余 1，除以 10 余 5．这个三位数最小是多少？

「分析」 看起来和例题 1没有太多区别．不过要小心哦， 8和12 的最小公倍数是 8 12 96 吗？

练习 2．

一个三位数除以 4 余 3，除以 6 也余 3．这个三位数最大是多少？

例题 3．

（1）一个数除以 7余2，除以 11余 1．这个数最小是多少？

（2）有一队解放军战士， 人数在 150 人到 200 人之间， 从第一个开始依次按 1，2，3， L ，

9 的顺序报数，最后一名战士报的数是 3；如果按 1，2，3，L ，7 的顺序报数，最后一名 战士报的数是 4．请问：一共有多少名战士？

「分析」 所求自然数要满足两个余数条件， 直接处理并不容易， 但我们可以先让它满足其中 一个余数条件，在此前提下满足另一个余数条件．

练习3.

一个三位数除以5余2,除以7余3.这个三位数最小是多少?

1）一个自然数除以 2）一个自然数除以

如果两个数除以同一个数，所得的余数相同，我们称这两个数同余•例如195除以9余6, 15除以9也余6,我们就说“ 195和15除以9同余”.

我们之前总结的余数性质以及余数的可替代性都是在同余的前提下进行的，例如195与

它的数字和除以9是同余的，1135与它的末两位数字除以4是同余的•而处理余数问题的方法，除了用余数性质、余数可替代性以及分解求余几种方法以外，我们还有一个极其有用

的手段：转化成整除问题！195与15除以9的时候同余，195 15 180则是9的倍数；1135

与35除以4的时候同余，贝U 1135 35 1100是4的倍数•也就是说：

［如果两个数除以第三个数余数相同，则这两个数的差能被第三个数整除•反之亦然.

例题4.

(1)1024除以一个两位数，余数为23，那么这个两位数可能是多少？

(2)100和84除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少？

「分析」(1 )由被除数除数商L余数，被除数是1024,余数是23,说明除数和商要满足什么条件？ ( 2)利用同余的定义就可以解决这个问题.

练习4.

(1 )用150除以一个整数，所得余数是15,请问：这个除数可能是多少？

(2) 80和56除以同一个数，得到的余数相同，但余数不为0•这个除数可能是多少?

例题5.

刘叔叔养了400多只兔子.如果每3只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有2只; 如果每5只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里也有2只；如果每7只兔子关在一个笼子里，那么最后一个笼子里有5只•请问：刘叔叔一共养了多少只兔子？

「分析」兔子数量要满足哪些余数条件？

例题6．

把63 个苹果，90个桔子，130个梨平均分给一些同学，最后一共剩下25 个水果没有分出去．请问：剩

下个数最多的水果剩下多少个？

「分析」这些同学一共分了多少个水果？人数和分掉的水果数有什么关系？

未来的数学家

节选自《怎样解题》乔治波利亚

未来的数学家应该是一个聪明的解题者，但仅仅做一个聪明的解题者是不够的. 在适当的时候，他应该去解答重大的数学题目，而首先他应该搞清楚他的天资特别适合于哪种类型的题目对他来说，工作中最重要的那部分就是回去再看一下完整的解答. 通过考察他的工作过

程和最后的解答形式，他会发现要认识的东西真是千变万化，层出不穷.他可以深思题目的

困难之处及决定性的观念，他可以尝试去了解是什么阻碍了他，又是什么最后帮助了他.他

可以注意寻找简单直观的念头：你能一眼就看出它来吗？他可以比较和发展各种方法：你能

以不同的方式推导这个结果吗？他可以尝试通过将当前的题目和以前的解过的题目作比较

以使当前的题目更加清晰. 他可以尝试创造一些新题目，而这些新题目可以根据他刚刚完成

的工作解答出来：你能在别的什么题目中利用这个结果或这种方法吗？如果他对解答过的题

目尽可能地完全消化吸收，他就可以获得井然有序的知识，以备今后随时调用.

和其他所有人一样，未来的数学家通过模仿和练习来学习. 他应该注意寻找正确的模范；

他应该觉察到一个能激励人心的教师；他应该和一位能干的朋友竞赛. 然后，可能最重要的是，他不仅应该阅读通用的教材，还应阅读优秀作者的作品，直到他找到一个作者，其方式

是他天生倾向于模仿的.他应该欣赏和寻求在他看来简单的或有启发性的或美的东西. 他应该解题，选择适合他思路的那些题目，思考它们的解答，并创造新的题目. 他应该通过这些

方法及所有其他方法来努力做出他的第一个重大发现：他应该发现自己的好恶、趣味以及自

己的思路.

陶哲轩（1975-）澳籍华裔数学家，“菲尔兹”奖获得者. 13岁成为国际奥林匹克数学金牌得主. 20岁获得普林斯顿大学博士学位. 24岁成为加利福尼亚大学洛杉矶分校有史以来最年轻的正教授. 2006年，31岁时获得数学界的诺贝尔奖“菲尔兹”奖•目前已发表超过230篇学术论文.

作业 1. 在小于50的数中,与67 除以11 同余的数有哪些？