谓词演算的推理理论
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14谓词逻辑
（9） x(H ( x ) S ( x )) （10）H (a ) S (a )
拒取式
（11）S (a )
（12）xS( x )
T (8)(10)I11 假言推论 EG (11)
课堂练习
a ) x( P( x ) (Q( y ) R( x ))),xP( x ) Q( y ) x( P( x ) R( x )) b) x( P( x ) Q( x )),xP( x ) xQ( x )
x(C ( x ) W ( x ) R( x )) （ 4）
C (a ) W (a ) R(a ) （ 5） （6）W (a ) R(a )
P
ES(1)
T(2)I1 P US(4) T(3)(5)I11 假言推论 T(6)I1 T(2)I2 T(7)(8)I9 EG (9) 化简公式 化简公式
（ 7） R ( a )
（ 8） Q ( a ) （9） Q(a ) R(a )
（10） x(Q( x ) R( x ))
例2-18证明 x(C ( x) W ( x ) R( x)),x(C ( x) Q( x)) x(Q( x) R( x))
注意：使用同一个个体进行全称指定和存在指定时， 必须先做存在指定，后做全称指定。因为使存在 量词辖域中的谓词公式为真个体，在全称指定中 肯定为真，反之则不然。 上述述问题若推理如下：
P ES (1) P US (3) T (2)(4)I12 P US (6) T (5)(7)I12 P US (9)
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
拒取式
拒取式
（11）S (a )
（12）xS( x )
T (8)(10)I11 假言推论 EG (11)
课堂练习
a ) x( P( x ) (Q( y ) R( x ))),xP( x ) Q( y ) x( P( x ) R( x )) b) x( P( x ) Q( x )),xP( x ) xQ( x )
x(C ( x ) W ( x ) R( x )) （ 4）
C (a ) W (a ) R(a ) （ 5） （6）W (a ) R(a )
P
ES(1)
T(2)I1 P US(4) T(3)(5)I11 假言推论 T(6)I1 T(2)I2 T(7)(8)I9 EG (9) 化简公式 化简公式
（ 7） R ( a )
（ 8） Q ( a ) （9） Q(a ) R(a )
（10） x(Q( x ) R( x ))
例2-18证明 x(C ( x) W ( x ) R( x)),x(C ( x) Q( x)) x(Q( x) R( x))
注意：使用同一个个体进行全称指定和存在指定时， 必须先做存在指定，后做全称指定。因为使存在 量词辖域中的谓词公式为真个体，在全称指定中 肯定为真，反之则不然。 上述述问题若推理如下：
P ES (1) P US (3) T (2)(4)I12 P US (6) T (5)(7)I12 P US (9)
x (H ( x ) S ( x )) x ( H ( x ) C ( x )) x (C ( x ) E ( x )) xE ( x )
拒取式
离散数学24谓词演算的推理理论
谓词演算的推理理论在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。
设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }.1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ：例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(∃y) F(x,y), 则(∀x)P(x) ⇒P(z)=(∃y) F(z,y).而不能(∀x) P(x) ⇒P(y)=(∃y) F(y,y).其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量.或 (∀x ) P (x ) ∴ P (y ) (∀x) P (x )∴ P (c )2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG：P(x)∴ (∀x)P(x)其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中自由出现.3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES：(∃x)P(x)∴ P(c)1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的.2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现，换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG：P(c)∴ ( x)P(x)其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.谓词逻辑的推理理论由下列要素构成.1. 等价公式2. 蕴含式3. 推理规则：(1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则(3) CP推理规则 (4)归谬论(5) US规则 (6) UG规则(7) ES规则 (8) EG规则1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、规则CP .2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来消去量词.3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则EG将其量词加入.4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法.5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式.6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等价公式和基本蕴涵公式.7)在推导过程中，如既要使用规则US又要使用规则ES消去公式中的量词(只要有可能，我们总是先使用规则ES，再使用规则US)。
18谓词演算的推理规则.
12
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
9
量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
量词消去与引入规则 UG
全称量词引入规则(UG)
A(x) xA(x)
该式成立的条件是 (1)Γ是公理和前提的合取，其中没有x的自由出现。其意
义：若从Γ可推出A(x)，那么从Γ中也可推出xA(x).
(2)在推出A(x)前提中，x必须不是自由的；且A(x)中x不
是由使用ES而引入的。
3
谓词逻辑中推理的形式结构
推理的形式结构 形式1 A1A2…AkB (*) 形式2 前提：A1, A2, … , Ak
结论： B 其中 A1,A2,…,Ak,B为谓词逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 记作A1A2…Ak B
推理定律
推理定律: 谓词逻辑中永真的蕴涵式
8
注意
违反第二条： F(x,y):x>y，个体域为实数域
取A(5)= xF(x,5)—真命题 使用EG规则，若用x取代5,得xA(x)= xxF (x,x)
= xx (x>x) 假 若用y取代5,得yA(y)= yxF (x,y)
= yx (x>y) 真
9
量词消去与引入规则 EI
1.8 谓词演算的推理规则
1.8.1 谓词逻辑中推理的形式结构
重要推理定律
1.8.2 量词消去与引入规则
UI规则、UG规则、EG规则、EI规则
A(x)对y是自由的
• 如果在公式A(x)中，x不出现在量词y或 y的辖域之内，则称A(x)对y是自由的。
• 例如：B(x)= y P(y)Ｑ(x) R(z), B(x) 对y是自由的
量词消去与引入规则 UI
全称量词消去规则(UI)
xA( x) 或 xA( x)
A( y)
2-5 谓词演算的四个推理规则
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面全是黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面任找一个球，它 的肯定是黑色的。
§2.5.2
×
√
» 指定规则的使用
存在指定规则ES
如果(∃x)A(x)的为真，且x的个 体域中的个体c满足A(c)为真， 应用ES规则可得： (∃x)A(x)
西安电子科技大学 软件学院
命题演算中的推理规则和证明方法在谓词 演算中依然适用。但在谓词演算中的某些前 提和结论可能是带量词约束的。为了使用命 题逻辑中的一些推理规则，并最后还原带量 词的结论形式，在推理过程中经常要消去和 添加量词，以下四个规则就是用于消去和添 加量词的规则。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
全称指定规则US
如果(∀x)A(x)的为真，那么x 的个体域中的任意确定个体c 也必然使得A(c)为真，因此 US规则通常也可以这样用：
(∀x)A(x) ∴ A(c)
∴ A(c)
对变元指定同一个个体时，应先作存 在指定，再作全称指定。
» 指定规则的使用
西安电子科技大学 软件学院
§2.5.1 存在指定规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果“盒子里面存在黑球”这个命题成 立，那么在盒子里面至少可以找到一 个黑色的球。
§2.5.1 存在指定规则
西安电子科技大学 软件学院
【例题】设谓词P(x): x是草食动物，x的个体域为全体动物的 集合。应用存在指定规则消去公式(∃x)P(x)中的存在量词。
§2.5.4 全称推广规则
例如：
西安电子科技大学 软件学院
如果从盒子中任取一个球，能证明它是 黑球，那么“盒子里面全是黑球”成立。
《谓词演算推理理论》课件
3
前向链归结和向前式归结
研究前向链归结和向前式归结的思想和实践。
归结推理的优化策略
1 归结定理和完备性定理
深入了解归结定理和完备性定理，以及其在 优化策略中的应用。
Hale Waihona Puke 2 应用领域探索归结推理在人工智能等领域中的实际应 用，如自动定理证明。
谓词演算推理的拓展研究
谓词演算与基因组学的应用
探索谓词演算在基因组学研究中的应用，如基因表达分析。
谓词演算与知识表示的联系
研究谓词演算与知识表示技术的联系和互动。
谓词演算在数据分析和挖掘中的应用
了解谓词演算在数据分析和挖掘领域中的实际应用。
1
一阶谓词演算的语法和语义
学习一阶谓词演算的基本语法和语义，掌握谓词符号和项的使用。
2
一阶谓词演算的规则
了解一阶谓词演算的推理规则，包括合一、替换和归结等。
归结推理的基本思想和步骤
1
特征集归结和集合论归结
探索特征集归结和集合论归结的基本思想和步骤。
2
树剖归结和深度优先归结
了解树剖归结和深度优先归结的原理和应用。
《谓词演算推理理论》 PPT课件
本PPT课件将介绍谓词演算推理理论的基本概念和方法，以及其在人工智能、 基因组学、计算机科学等领域中的重要性和应用。
什么是谓词演算推理理论
1 基本概念
了解谓词演算推理理论的起源、定义和基本 原理。
2 形式和语义
探讨谓词逻辑公式的形式和语义，以及其在 推理中的作用。
谓词演算推理的基本方法
第四章 谓词演算的推理理论永真推理系统(共28张PPT)
证明： (1) △(x) (2) △((x)((PP)(x))) (3) △((PP)(x)) (4) △((PP)x (x))
(5) △(PP)
(6) △x(x)
引用定理
(2)(1)分离
全称规则(3)
公理(1)
(4)(5)分离
则有全0规则△(x)├△x(x)
第十四页，共28页。
全n规则、存n规则
(x(P(x))(x P(x))) 分离(2)(7)
(9) x(P(x))(x P(x))
分离(6)(8)
第十九页，共28页。
例( ) 练习4.1(2)
x(P(x))(x P(x))
先证明 x(P(x)) (x P(x))
证明:
(1) x(P(x)) (P(x))
公理20
(2) x(P(x)) (x P(x))
存1规则
1(P(x))├ 1(xP(x)))
第二十页，共28页。
例(续) x(P(x))(x P(x))
再证明 (x P(x)) x(P(x))
证明:
(3) P(x) xP(x)
公理21
(4) (P(x)xP(x)) ((xP(x))(P(x)))
公理3
(5) (xP(x))(P(x))
分(3)(4)
与有关
第七页，共28页。
（二） 公理
公理20 △(xP(x) P(x)) 公理21 △(P(x)x P(x))
与量词有关
如果只有一个自由变元，公理20与公理21可以分别
理解如下：
x(yP(y) P(x))
x(P(x)y P(y))
第八页，共28页。
（三） 规则
(1)分离规则：
如果△(AB)且△A，则△B。 (2)全称规则：
离散数学-谓词演算的推理规则
解： P(x) ：x 是液体， G(x)：x是金属， R(x, y)：x 溶解 y ，
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
xG(x) y p(y) R(y, x)
20
例2、将下列命题译成自然语言，并确定其真值。
(个体域为 Z ) (1) xyG(x, y) ，其中G(x, y) : xy y 解：对任意正整数 x ，存在正整数 y，
F(x),G(x, y) 中的 x 是约束变元， G(x, y) 中的 y是自由变元； y 的辖域是F( y) ， F( y) 中的 y 是约束变元； R(x, y, z)中的 x, y, z 都是自由变元。
24
例5、 设个体域为 A a,b,c将下面谓词公式中的
量词消除，写出与之等值的命题公式。 (1) xP(x) xR(x) 解 xP(x) xR(x)
§2.3 谓词演算的推理规则
重点： 全称指定规则（US）（Universal Specification） 存在指定规则（ES）（Existential Specification） 全称推广规则（UG）（Universal Generalization） 存在推广规则（EG）（Existential Specification）
3
3、全称推广规则（UG）
A( y) xA(x) 要求：（1）y是个体域中任一个体，且都有A( y)为真。
4、存在推广规则（EG）
A( y) xA(x)
要求：(1) y 是个体常元或变元，
(2)在公式A(y)中，y不出现在量词 x或x
的辖域内。
4
注：考察以下推理过程
① xyP x, y
②
yP(c, y)
谓词公式；辖域，约束变项，自由变项； 代换实例；重言式， 矛盾式，可满足式。 2、应用。 (1) 求某些公式在给定解释下的真值。 (2) 判断某些简单公式的类型。
概率论-第七讲 谓词演算的推理规则
(8) ¬∀xP( x ) → ∃xQ( x )
CP规则
11
二、谓词演算中的推理规则
例3：推理“每个学术会的成员都是专家。有些成员是青年 人，所以有的成员是青年专家。” 证： 设 F(x)：x是学术会成员； G(x)：x是专家； H(x)：x是青年。 前提：∀x(F( x ) → G ( x ))，∃x ( F( x ) ∧ H ( x )) 结论：∃x ( F( x ) ∧ G ( x ) ∧ H ( x )) (1) ∃x(F(x) ∧ H( x ) ) P ( 7 ) H ( c) T, (2), I 2
考察以下谓词公式: ∀ yP( y ) ∨ Q ( x) ∨ R ( z ) ∃ yP( x, y ) ∨ Q( x, y ) ∀ yP( y ) ∧ Q( x, y ) 为了强调这些谓词公式对自由变元x的依赖关系, 可以分别记为B(x) , C(x) , D(x)。 记法中省略了 其它自由变元。
定义：如果公式 A ( x )中， x 不出现在量词 ∀ y 或 ∃ y 的辖域之内，则称 A ( x ) 对 y 是自由的。
4
二、谓词演算中的推理规则
推理规则：E1~E24恒等式、I1~I9永真蕴含式、Q1~Q19谓词永 真式、P规则、T规则、CP规则及下面四个规则： US,UG,ES,EG。 1.全称指定规则 (Universal Specification)简记为US ∀ xA( x ) 条件：A(x)对于y必须是自由的。 ∴ A( y ) 意义：全称量词可以删除。 例： ∀x∃yB( x , y) 写成 ∃yB( y, y) × 如 B(x,y)：x<y ; x∈R; y∈R
(2) ∃x¬P( x )
T，), Q 4 (1
(3) ¬P(a ) T, (2), ES (4) ∀x(P(x) ∨ Q(x)) P
第四讲谓词演算的推理理论
谓词推理
例6 (x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)), (x)P(x),(x)Q(x) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) (1)(x)P(x) P (2)(x)P(x) (x)(P(x)∨Q(x) R(x)) P (3)(x)(P(x)∨Q(x) R(x)) T(1)(2)I (4)P(a) ES(1) (5)P(a)∨Q(a) R(a) US(3) (6)P(a)∨Q(a) T(4)I (7)R(a) T(5)(6)I (8)(x)Q(x) P (9)Q(b) ES(8) (10) P(b)∨Q(b) R(b) US(3) (11) P(b)∨Q(b) T(9)I (12) R(b) T(10)(11)I (13) R(a) ∧R(b) T(7)(12)I (14) (y)(R(a) ∧R(y)) EG(13) (15) (x)(y)(R(x) ∧R(y)) EG(14)
例2 ： (1) 在座的成员都是大学生，并且正值青春年华。 (2) 有些成员是女性。 (3) 所以，有些成员是青年女大学生。 解：设M(x)：x是在座的成员 Y(x)：x正值青春年华 U(x)：x是大学生 W(x)：x是女性
( x)(M(x) (U(x)∧ Y(x))) , ( x)(M(x) ∧W(x)) ( x)(M(x) ∧ Y(x) ∧ W(x)∧U(x) )
T(6)(9)I T(10)E T(11)I T(7)(12)I P US(14) T(6)(15)I T(6)(15)I T(17)E T(18)I T(19)E T(13)(20)I T(6)(21)I EG(22)
思考题： ( x)( y)A(x, y) P
全称指定： ( y)A(a, y) P 等价式： P (y) A(a, y) 全称推广： P ( x) ( y) A(x, y) 作业: P79 逆否式： P ( x) ( y) A(x, y) (1)b, c (2)b, (3)c 注意：使用指定或推广规则时，量词的作用域必 须是整个谓词公式，而不是其中的一部分
离散数学27谓词演算的推理理论
14
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
15
六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
9
四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))
六、例题
例：给定下面2个推理,找出错误.
（1） 1．x (F(x) G(x)) P
2．F(y) G(y)
US(1)
3．x F(x)
P
4．F(y)
ES(3)
5．G(y)
T(2)(3) I
6．xG(x)
UG(5)
（2） 1．xy F(x, y)
P
2．y F(z, y)
US(1)
3．F(z, c)
ES(2)
4．x F(x, c)
UG
5．yx F(x, y)
EG
*在上面推理中（1）中从3到4有错，（2）中从2到3有错
15
六、例题
希望在应用上述规则时，千万注意条件，否则会 犯错误。下面给出几个谓词逻辑中构造证明的例 子。
例：证明苏格拉底三段论“凡人都是要死的，张三是人，所以张三要死。” 首先将命题符号化：
EG(5)
*以上结论显然错的，其原因是违背条件（1），2步与4步中 的c不应相同。
9
四、存在量词指定规则
又如，在实数集中，xy(x>y)是真命题，请看下 面推导：
1．xy(x>y)
P
2．y（z>y）
US(1)
3．z>c
ES(2)
4．x(x>c)
UG(3)
而x(x>c)是假命题。
*结论是错的，其原因是违背了（3），对2使用ES规
解： F（x）：x为学术会成员。G（x）：x是专家。
H（x）：x是工人。
R（x）：x是青年人。
前提：x (F(x) G(x) H(x)), x (F(x) R(x))
结论：x (F(x) R(x) G(x))
谓词演算的推理理论(牛连强)
2.5 谓词演算的推理理论1．推理定律谓词演算中也存在一些基本的等价与蕴含关系，参见表2-2。
我们以此作为推理的基础，即推理定律。
表2-2序号 等价或蕴含关系 含义E27 E28 ┐∀xA(x)⇔∃x┐A(x)┐∃xA(x)⇔∀x┐A(x) 量词否定等值式E29 E30∀x(A(x)∧B(x))⇔∀xA(x)∧∀xB(x)∃x(A(x)∨B(x))⇔∃xA(x)∨∃xB(x)量词分配等值式（量词分配律）E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43∀x(A(x)∨B)⇔∀xA(x)∨B∀x(A(x)∧B)⇔∀xA(x)∧B∃x(A(x)∨B)⇔∃xA(x)∨B∃x(A(x)∧B)⇔∃xA(x)∧B∀x(B∨A(x))⇔ B∨∀xA(x)∀x(B∧A(x))⇔ B∧∀xA(x)∃x(B∨A(x))⇔ B∨∃xA(x)∃x(B∧A(x))⇔ B∧∃xA(x)∃x(A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)∀x(A(x)→B)⇔∃xA(x)→B∃xA(x)→B⇔∀x(A(x)→B)A→∀xB(x)⇔∀x(A→B(x))A→∃xB(x)⇔∃x(A→B(x))量词作用域的扩张与收缩I21 I22∀xA(x)∨∀xB(x)⇒∀x(A(x)∨B(x))∃x(A(x)∧B(x))⇒∃xA(x)∧∃xB(x)I23 ∃xA(x)→∀xB(x)⇒∀x(A(x)→B(x))表2-2中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定律。
E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。
2．量词的消除与产生规则谓词推理可以看作是对命题推理的扩充。
除了原来的P规则（前提引入）、T规则（命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词填式命题。
如果仅由表2-2的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。
第二章 谓词逻辑
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
命题逻辑 ¬¬Ｐ⇔Ｐ Ｐ∨Ｐ⇔Ｐ
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体 定义》 变元指派E中的每一个客体所得命题的值均为真，则称A在 在 E中是永真的 中是永真的。若E为任意域则称A是永真的 是永真的。 中是永真的 是永真的
§5谓词演算的等价式与蕴含式 谓词演算的等价式与蕴含式
《定义》给定谓词公式A，E是A的个体域。若给A中客体变 定义》 元指派E中客体时在E中存在一些客体，使得指派后的真值为 “T”，则A称是可满足的 可满足的。 可满足的 《定义》若给A中客体变元指派个体域中任一客体名称，使 定义》 命题的值均为“F”，则称A是永假的 永假的。 永假的 1.不含量词的谓词公式的永真式 : 不含量词的谓词公式的永真式 只要用原子谓词公式 原子谓词公式去代永真命题公式中的原子命题变元 原子命题变元， 原子谓词公式 原子命题变元 则在第一章中永真蕴含式和等价公式均可变成谓词演算中的 永真式。
§1 谓词的概念与表示法
1.谓词： 谓词： 谓词 定义》 谓词。 《定义》：用以刻划客体的性质或关系的词即是谓词 谓词 我们可把陈述句分解为二部分： 主语（名词，代词）和谓语（动词）。 例：张华是学生，李明是学生。则可把它表示成： H:表示“是学生”，j:表示“张华”，m:表示“李 明”，则可用下列符号表示上述二个命题：H(j)，H(m)。 H作为“谓词”（或者谓词字母）用大写英文字母表示， j,m为主语，称为“客体”或称“个体”。
§4 变元的约束
（2）个体域不同，则表示同一命题的值也不同。Q(x): x<5 ）
∀xQ(x) ∃xQ(x)
{-1,0,3} T T
{-3,6,2} F T
谓词演算的推理理论
3出错的原因是y已在yF(x,y)中约束出现。
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2. ES规则(存在指定规则)
xA(x)A(c) ——如果个体域D中存在具有性质A的个体，
则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前
结论： D(a)
推理的形式结构：x( M(x)→D(x) )∧M(a)→D(a)
证明: (1) x( M(x)→D(x) ) 规则P
(2) M(a)→D(a)
(1)US规则，规则T
(3) M(a)
规则P
(4) D(a)
(2)(3)假言推理，规则T
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例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A，
则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，
A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。
注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个
（二）谓词逻辑中特有的推理规则
1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。
2. 量词的消去或添加规则
在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制， 为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加
量词的规则。
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消去规则(指定规则)
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1. US规则(全称指定规则)
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2. ES规则(存在指定规则)
xA(x)A(c) ——如果个体域D中存在具有性质A的个体，
则D中必有某一个个体c（个体常元）具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ x是A(x)中自由出现的个体变元。 ⑵ c是使A(c)为真的特定的个体常元，且此c在该推导前
结论： D(a)
推理的形式结构：x( M(x)→D(x) )∧M(a)→D(a)
证明: (1) x( M(x)→D(x) ) 规则P
(2) M(a)→D(a)
(1)US规则，规则T
(3) M(a)
规则P
(4) D(a)
(2)(3)假言推理，规则T
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例1-8-2 同事之间总是有工作矛盾的。
A(y) xA(x) ——如果个体域D中每一个个体都具有性质A，
则D中所有的个体都具有该性质A。
该式成立的条件是： ⑴ y是A(y)中自由个体变元，且y取个体域D中的任何值时，
A(y)均为真。 ⑵ 取代y的x不能是A(y)中的约束变元，否则也会产生错误。
注：使用本规则时，事先必须已经验证了对个体域中的每一个
（二）谓词逻辑中特有的推理规则
1. 谓词演算中与量词有关的基本的永真蕴含式和逻辑等价式。
2. 量词的消去或添加规则
在谓词演算的推理中，某些前提或结论会受到量词的限制， 为了使用命题演算中的等价式和蕴含式，必须有消去或添加
量词的规则。
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消去规则(指定规则)
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1. US规则(全称指定规则)
左孝凌离散数学课件2.6前束范式-2.7谓词演算的推理理论
2. 6前束范式
练习:求下列公式的前束析取范式和前束合取范式.
(1) ((x) F ( x, y) (y)G( y )) (x) H ( x, y) (2) (x){(y) A( x, y ) (x)(y)[B( x, y ) (y)( A( y, x) B( x, y))]}
9
第二章 谓词逻辑（Predicate Logic）
2. 6前束范式(Prenex normal form)
•
(6) (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[ B ( x, y ) (y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
(x ){(y ) A( x, y ) ( x )(y )[ B ( x, y ) (y )(A( y , x ) B ( x, y ))]} (x ){( y ) A( x, y ) (x )(y )[B ( x, y ) ( y )( A( y , x ) B ( x, y ))]}
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2. 6前束范式
前束析取范式
• 定义 : 任何一个谓词公式 A ，如果具有如下形式则称为 前束析取范式： (□x1) (□x2)…(□xn)[(A11∧A12∧…∧A1k1)∨ (A21∧A22∧…∧A2k2 )∨…∨(Am1∧Am2∧…∧Amkm)] 其中n大于等于1,Aij(j=1, …,ki ,i=1,2,3,…,m)为原子谓词公 式或其否定,□为量词或量词， xi（i=1，… n）为客 体变元. 例如： (x)(u )(z )((P (x ) Q (x , y )) (P (u ) Q ( y , z ))
离散数学(Discrete Mathematics)
1
四章节谓词演算推理理论
∃x(P(x) ∧ W(x) ) 结论的否定为：
∀ x( P(x) ∨ W(x))
(1) P(x1)W(x1) D(x1) (2) P(x2)D(x2) R(x2) (3) P(a) (4) R(a) (5) P(x)W(x) (6) W(a) D(a) (7) P(a)D(a) (8) P(a) D(a) (9) P(a) (10) 口
只要：
① 将A1，A2，…，An, B分别化为霍恩子句 集；
② 归结出空子句,即证明其不可满足。
第①步等价于将A1A2…AnB化为霍恩子句集
例 已知前提
(1) TOM在何处， MARY在何处 (2) MARY在何处，她的COMPUTER在何处 (3) TOM在图书馆 试证“MARY的COMPUTER是在图书馆？”
例 (p50-51) 已知知识： (1)桌子上的每一本书均是杰作； (2)写出杰作的人是天才； (3)某个不出名的人写了桌上某本书； 结论：某个不出名的人是天才。
(1) x(A(x)B(x))
(2) x ((P(x) y(B(y) W(x, y)))C(x)) (3) x (P(x) D(x) y(A(y) W(x，y)))
Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn
子句的类型
Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn P1，P2，…，Pn Q1，Q2，…，Qm 口
m≠0,n≠0 m＝0,n≠0 m≠0,n＝0 m=0, n ＝0
子句的归结
子句1 PR
P, QR P, QR P, QR P, QR
P
子句2 QP QP P,Q P,Q Q,R P
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.3谓词演算的归结推理系统
∀ x( P(x) ∨ W(x))
(1) P(x1)W(x1) D(x1) (2) P(x2)D(x2) R(x2) (3) P(a) (4) R(a) (5) P(x)W(x) (6) W(a) D(a) (7) P(a)D(a) (8) P(a) D(a) (9) P(a) (10) 口
只要：
① 将A1，A2，…，An, B分别化为霍恩子句 集；
② 归结出空子句,即证明其不可满足。
第①步等价于将A1A2…AnB化为霍恩子句集
例 已知前提
(1) TOM在何处， MARY在何处 (2) MARY在何处，她的COMPUTER在何处 (3) TOM在图书馆 试证“MARY的COMPUTER是在图书馆？”
例 (p50-51) 已知知识： (1)桌子上的每一本书均是杰作； (2)写出杰作的人是天才； (3)某个不出名的人写了桌上某本书； 结论：某个不出名的人是天才。
(1) x(A(x)B(x))
(2) x ((P(x) y(B(y) W(x, y)))C(x)) (3) x (P(x) D(x) y(A(y) W(x，y)))
Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn
子句的类型
Q1，Q2，…，Qm P1，P2，…，Pn P1，P2，…，Pn Q1，Q2，…，Qm 口
m≠0,n≠0 m＝0,n≠0 m≠0,n＝0 m=0, n ＝0
子句的归结
子句1 PR
P, QR P, QR P, QR P, QR
P
子句2 QP QP P,Q P,Q Q,R P
第四章 谓词演算的推理理论
4.1 谓词演算的永真推理系统 4.2谓词演算的假设推理系统 4.3谓词演算的归结推理系统
Chapter 1 谓词逻辑推理理论 5
由于谓词演算是在命题演算的基础上进一步加入了谓词与量词的功能因此容易想到命题演算中有关推理演绎的规则基本上适用于谓词演算即在命题逻辑中的各项推理规则在谓词逻辑推理中仍然适用当然也有些只适用于谓词演算的概念与规则
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论
在谓词逻辑中，由前提A1，A2，…，An推出结 论B的形式结构仍然是A1∧A2∧…∧An→B。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者
（1） xF（x）∧ yG（y） （2） x y（F（x）∧G（y）） （3） x y（F（x，y）→G（y））
解 （1） xF（x）∧ yG（y）
（F(a)∧F(b)∧F(c)）∧（F(a) ∨F(b)∨F（c））
（2） x y（F（x）∧G（y））
y(F(a)∧G(y))∧ y(F(c)∧G(y))
（1）每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 （2）没有一个数使0为它的后继数。 （3）每个不等于0的数都有唯一的一个数是它的 直接先行者。
分析 在符号化命题的过程中，设定谓词尽可能 少是一个原则。注意到"x是y的后继数"与"y是x的直接 先行者"含义相同，所以可用一个谓词表示。
解 设N（x）：x是自然数，F（x，y）：x 是y的后继数，G（x，y）：x=y，则 （1） x（N（x）→!y（N（y）∧F（y， x））） （2） x（N（x）∧F（0，x）） （3） x（（N（x）∧ ﹁ G（x，0））
（4） xF（x，c）
（3）UG
（5） yxF（x，y） （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由 x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为 “存在着最小实数”，是假命题，知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是第（3）步违反了 EI规则成立的条件（2）， 因为这里的t与c是 有关的。
谓词逻辑推理理论
谓词逻辑推理理论
在谓词逻辑中，由前提A1，A2，…，An推出结 论B的形式结构仍然是A1∧A2∧…∧An→B。如果此 式是永真式，则称由前提A1，A2，…，An推出结论B 的推理正确，记作 A1∧A2∧…∧An B或者
（1） xF（x）∧ yG（y） （2） x y（F（x）∧G（y）） （3） x y（F（x，y）→G（y））
解 （1） xF（x）∧ yG（y）
（F(a)∧F(b)∧F(c)）∧（F(a) ∨F(b)∨F（c））
（2） x y（F（x）∧G（y））
y(F(a)∧G(y))∧ y(F(c)∧G(y))
（1）每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 （2）没有一个数使0为它的后继数。 （3）每个不等于0的数都有唯一的一个数是它的 直接先行者。
分析 在符号化命题的过程中，设定谓词尽可能 少是一个原则。注意到"x是y的后继数"与"y是x的直接 先行者"含义相同，所以可用一个谓词表示。
解 设N（x）：x是自然数，F（x，y）：x 是y的后继数，G（x，y）：x=y，则 （1） x（N（x）→!y（N（y）∧F（y， x））） （2） x（N（x）∧F（0，x）） （3） x（（N（x）∧ ﹁ G（x，0））
（4） xF（x，c）
（3）UG
（5） yxF（x，y） （4）EG
解 x yF（x，y）y xF（x，y）的推 理并不正确。取与前面例题相同的解释，则由 x yF（x，y）为真，而y xF（x，y）意为 “存在着最小实数”，是假命题，知推理不正确。 之所以出现这样的错误，是第（3）步违反了 EI规则成立的条件（2）， 因为这里的t与c是 有关的。
第四章 谓词逻辑的推理理论
Discrete Mathematics
第一节 谓词逻辑的推理演算
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
A(c) x A( x)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
Discrete Mathematics
第一节 谓词逻辑的推理演算
进行翻译及判断真值。 记住16个基本的等价公式，并能熟练运用到公式
的转换中； 会利用真值表和公式的演算方法求一公式的主析
取范式和主合取范式，并能利用范式判断两公式 是否相等，是否为永真式、永假式、可满足式； 掌握并能熟练地应用推理的四种证明方法。
Discrete Mathematics
“数理逻辑”篇复习要点
Discrete Mathematics
第一节 谓词逻辑的推理演算
例3 构造下述推理证明
前提：x(F(x)G(x))，xF(x)
结论：xG(x)
证明：① xF(x)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(c)
①EI
④ F(c)G(c)
②UI
⑤ G(c)
③④假言推理
⑥ xG(x)
⑤EG
注意：必须先消存在量词
其中 A1,A2,…,Ak,B为一阶逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 否则称推理不正确. 判断方法:
真值表法, 等值演算法, 主析取范式法及构造证 明法. 前3种方法采用第一种形式结构, 构造证明 法采用第二种形式结构.
Discrete Mathematics
第一节 谓词逻辑的推理演算
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则A(c)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
第一节 谓词逻辑的推理演算
推理规则(续)
(14) 存在量词引入规则（简记为EG规则或EG）
A(c) x A( x)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定个体常项. 取代c的x不能在A(c)中出现过.
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第一节 谓词逻辑的推理演算
进行翻译及判断真值。 记住16个基本的等价公式，并能熟练运用到公式
的转换中； 会利用真值表和公式的演算方法求一公式的主析
取范式和主合取范式，并能利用范式判断两公式 是否相等，是否为永真式、永假式、可满足式； 掌握并能熟练地应用推理的四种证明方法。
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“数理逻辑”篇复习要点
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第一节 谓词逻辑的推理演算
例3 构造下述推理证明
前提：x(F(x)G(x))，xF(x)
结论：xG(x)
证明：① xF(x)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(c)
①EI
④ F(c)G(c)
②UI
⑤ G(c)
③④假言推理
⑥ xG(x)
⑤EG
注意：必须先消存在量词
其中 A1,A2,…,Ak,B为一阶逻辑公式. 若(*)为永真式, 则称推理正确, 否则称推理不正确. 判断方法:
真值表法, 等值演算法, 主析取范式法及构造证 明法. 前3种方法采用第一种形式结构, 构造证明 法采用第二种形式结构.
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第一节 谓词逻辑的推理演算
推理规则(续)
(15) 存在量词消去规则A(c)
该式成立的条件是： c是使A为真的特定的个体常项. c不在A(x)中出现. 若A(x)中除自由出现的x外，还有其他自由出现 的个体变项，此规则不能使用.
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例5 任何人违反了交通规则都要处以罚款，如 果没有罚款，就没有人违反交通规则。
解：S(x, y)：x违反了y（x的论域是人） Ｍ(y)：y是交通规则， P(z)：z是罚款 R(x, z)：x受到z 。
则问题符号化为： Ｈ：( x)((y)(S(x,y)∧M(y))→( z) (P(z) ∧ R(x,z)))
第6讲 §2—7 谓词演算的推理理论
要求：熟练掌握谓词的推理理论与推理方法， 会用谓词的推理理论与推理方法进行推理。 重点：应用谓词的推理理论与推理方法进行 推理。 难点：正确理解和运用有关量词规则。
谓词逻辑是命题逻辑的进一步深化和发展，谓 词演算的推理方法，可以看作是命题演算推理方法 的扩张。因此命题逻辑的推理理论在谓词逻辑中几 乎可以完全照搬，只不过这时涉及的公式是谓词逻 辑的公式罢了。
方法（２）：用CP规则
原题可转为： (x)(P(x)∨Q(x))┐(x)P(x)(x)Q(x)
(要证SRC ，也就是证明(S∧R)C。)
(1) ┐(x)P(x) (2) (x)┐P(x) (3) ┐P(c) (4) (x)(P(x)∨Q(x)) (5) P(c)∨Q(c) (6) Q(c)
(4) 全称量词产生规则(称为全称推广规则，简称UG规则) A(c)(y)A(y)
若能证明对论域中每一个客体c断言A(c)都成立，则全称推广 规则可得到结论(y)A(y)成立。
二、Lp中推理实例：
Lp的推理方法是Ls推理方法的扩展，因此在Lp中利用的推理 规则： （1）T规则、P规则和CP规则 （2）已知的等价式，蕴含式 （3）有关量词的消去和产生规则。
无论顺序如何，ＥＳ或ＵＳ后，常元必不同
例题3 证明 (x)(P(x)∨Q(x))(x)P(x)∨(x)Q(x) 方法（１）：用反证法（假定┐C为T，推出矛盾）
(1) ┐((x)P(x)∨(x)Q(x)) P(附加前提) (6) ┐Q(c)
US(4)
(2) (x)┐P(x)∧(x)┐Q(x) T(1)E
（举例说明）
(2) 存在量词消去规则(称为存在指定规则，简称ES规则) (x)A(x)A(c) ：
其中c为论域中的某些特定的个体常元，它不是任意的。 c不得在前提中或者居先推导公式中出现或自由出现。
（举例说明：存在一些人是男生，存在一些人是女生）
量词产生规则（证后加量词）： (3) 存在量词产生规则(称为存在推广规则，简称EG规则) A(c)(y)A(y) 其中c为论域中特定个体常元
(7) (x前提） T（1）E ES(2)
P
US(3) T(3)(5)I
EG(6)
CP
例题4 构造下面推理的证明： 每个学术会的成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以有些成员是
青年专家。
证明 设 P(x)： x是学术会的成员。 Q(x)： x是专家。
在谓词逻辑中，某些前提和结论可能受到量词 的约束，为确立前提和结论之间的内部联系，有必 要消去量词和添加量词，因此正确理解和运用有关 量词规则是谓词逻辑推理理论中十分重要的关键所 在。
一、有关量词消去和添加规则
量词消去规则（证前去量词）：
(1) 全称量词消去规则(称为全称指定规则，简称US规则) (x)A(x)A(c)： 其中c为论域中任意个体常元
s：苏格拉底。
故苏格拉底论证可符号化为：
(x)(H(x) →M(x)) ∧H(s)M(s)
证明
(1) (x)(H(x) →M(x))
P
(2) H(s)→M(s)
US(1)
(3) H(s) (4) M(s)
P T(2)(3)I
例题2 证明
(x)(C(x)→W(x)∧R(x))∧(x)(C(x)∧Q(x))(x)(Q(x)∧R(x))
R(x) ：x是工人。
则本题要证明：
S(x) ：x是青年人。
(x)(P(x)→Q(x)∧R(x))，(x)(P(x)∧S(x))(x)(P(x)∧Q(x)∧S(x)) 证明过程如下：
(1) (x)(P(x)∧S(x))
P
(6) P(a)→Q(a)∧R(a) US(5)
(2) P(a)∧S(a)
T(6)I
T(7)(8)I EG（9）
注意（3）（4）两条次序不能颠倒。
（1）原来的作用变元相同：
若先用ES后用US，可用同一常元也可用不同常元 （按需决定） ； 若先用US后用ES，必用不同常元; 若几个ES在一起，必用不同常元． 若几个US在一起，可用相同常元也可用不同常元 （按需决定）
（2）原来作用变元不同：
证明 (1) (x)(C(x)→W(x)∧R(x)) P
(2) (x)(C(x)∧Q(x))
P
(3) C(a)∧Q(a) (4) C(a)→W(a)∧R(a)
ES(2) US(1)
(5) C(a) (6) W(a)∧R(a)
T(3)I T(4)(5)I
(7) Q(a)
T(3)I
(8) R(a)
(9) Q(a)∧R(a) (10) (x)(Q(x)∧R(x))
ES(1)
(7) Q(a)∧R(a)
T(3)(6)I
(3) P(a)
T(2)I
(4) S(a)
T(2)I
(5) (x)(P(x)→Q(x)∧R(x)) P
(8) Q(a)
T(7)I
(9) P(a)∧Q(a)∧S(a) T(3)(4)(8)I
(10) (x)(P(x)∧Q(x)∧S(x)) EG(9)
(7) ┐P(c)∧┐Q(c) T(5)(6)I
(3) (x)┐P(x)
T(2)I
(8) ┐(P(c)∨Q(c)) T(7)E
(4) (x)┐Q(x)
T(2)I
(9) (x)(P(x)∨Q(x)) P
(5) ┐P(c)
ES(3)
(10) P(c)∨Q(c)
US(9)
(11) ┐(P(c)∨Q(c)) ∧(P(c)∨Q(c)) (矛盾)T(8)(10)I
使用的推理方法是：直接构造法和间接证法（不能用真值表）。
所有谓词的推理，均可先忽略量词，按命题逻辑中分析基本思 路及所用方法，然后再注意证前去量词，证后加量词，并注意 次序即可
例题1 证明苏格拉底论证： 所有的人都是要死的。 苏格拉底是人。 所以苏格拉底是要死的。
解 设 H(x)：x是一个人。
M(x)：x是要死的。