向量在轴上的投影与投影定理63855

为终点的向量，
过M1 , M2各作垂直于三个坐标轴的平面 ,
这六个平面围成一个以线段M1M 2 为对角线的
长方体.
机动 目录 上页 下页 返回 结束

以i
,
j,
k 分别表示沿x,
z
y,
za轴正a向xi的 单ay位j 向 a量zk.
R
向向 向

M2
量量 量
x
k M1
P
o
j
M1
P1P2 OP2 OP1
u2 u1,
o P1
M2
P2
u
au u2 u1 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
如果e 是与u 轴正向一致的单位向量，
由例1知
P1 P2

aue

(u2

u1 )e .
设a 是以M1( x1 , y1 , z1 )为起点、M2 ( x2 , y2 , z2 )
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 1 在u 轴上取定一点o 作为坐标原点．设A, B ,
是u 轴上坐标依次为u1 , u2 的两个点，e 是与u 轴
同方向的单位向量，证明AB (u2 u1 )e .
证
e
A
o
1 u1
B
u2
u
机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间两向量的夹角的概念：
一、向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段.
A
B
u
如果数 满足 AB，且当 AB 与 u 轴同 向时 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 是负的， 那末数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值，记作 AB，即 AB.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
j (az bz }

bz
)k;
a

(ax bx )i
{ax ,ay ,
(ay
az }

by
)
j
(az

bz
)k;
(ax )i (ay ) j (az )k.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例 2 设 A( x1 , y1 , z1 )和B( x2 , y2 , z2 ) 为两已知 点，而在 AB 直线上的点M 分有向线段 AB 为
特殊地：OM {x, y, z}
机动 目录 上页 下页 返回 结束
向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式
aab{ax{,aax
y,
az },
bx
,
a
y

b by ,
{bx ,
az

by , bz }
bz },

a

b
(ax {ax
bx )i (ay by ) bx ,ay by , az



M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k

在三个坐标轴上的分向量：axi , ay j , azk ,
向量的坐标： ax , a y
向量的坐标表达式：
, a
az
, {a
x
,
ay,
az }
M1M2 { x2 x1, y2 y1, z2 z1}
2
(2) , 投影为负；
2
(3) ,
2
投影为零；
c

a
b
u
(4) 相等向量在同一轴上投影相等；
机动 目录 上页 下页 返回 结束
投影定理（2）
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. （可推广到有限多个）
Pr j(a1 a2 ) Pr ja1 Pr ja2 .
A
u
平面，交点A 即为点 A 在轴u 上的投影.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间一向量在轴上的投影
B A
u
A
B
已知向量的起点A 和终点B 在
轴u上的投影分别为 A, B那
么轴u 上的有向线段AB 的
值，称为向量在轴u 上的投影.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
向量AB在轴u 上的投影记为 Pr ju AB AB.
两部分 AM 、 MB ，使它们的值的比等于某数
( 1)，即 AM ，求分点的坐标.
MB
z
解
B
A
M
o
y
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
M 为有向线段AB 的定比分点. M 为中点时，
x x1 x2 , 2
y y1 y2 , 2
z z1 z2 . 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束

向量aa与0,向量bb的0,夹角Leabharlann ba

(a,
b)

(b,
a)
(0 )
类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.
特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0与 之间任意取值.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
空间一点在轴上的投影
A
过点A 作轴u的垂直
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式
非零向量 a 的方向角：、 、
设 e 是与 u 轴同方向的单位向量，
AB ( AB)e.
e A o1
B
u
设 A, B,C 是 u 轴上任意三点，不论这三点 的相互位置如何，
AC AB BC, 即 ( AC)e ( AB)e (BC)e ( AB BC)e,
AC AB BC.
A a1 B a2
C
u
A
B
C
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、向量在坐标轴上的分向量与向量
的坐标
设 a M1M2 为一向量，u 为一条数轴． 点 M1, M2 在轴 u 上的投影分别为点P1, P2．
又设 P1, P2 在轴 u 上的坐标依次为 u1, u2．
Pr ju M1M2 au ,
投影定理(1)
向量AB 在轴u 上的投影等于向量的模乘以
轴与向量的夹角的余弦： Pr ju AB | AB | cos
证
B
A
B
A
B
Pr ju AB Pr ju AB
u u
| AB | cos
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1的说明：
(1) 0 , 投影为正；
i
Q
在
x
N
y
轴 上
的
ax x2 x1 投
在 y 轴 上 的 投
在z
轴 上 的 投
a y y2 y1 az z2 z1 影 影 影



M1M2 ( x2 x1 )i ( y2 y1 ) j (z2 z1 )k
机动 目录 上页 下页 返回 结束
按基本单位向量的坐标分解式：