不等式证明之放缩法

1 1 1 2 1 2 ＞ , ＜ , ＞ (k N*,k＞ 1) 2 k k k 1 k k k 1 k k k 1
特别注意：放大或缩小时注意要适当，必须目标明
确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小。
几个常用的一些放缩结论：
a am b bm ① , ( 0 a b .m 0 ) b bm a am n 1 n 2 n 3 ② n n 1 n 2 1 1 1 ③ 2 n( n 1) n n( n 1) ④ n n 1 2 n n n 1 2 1 2 2 ⑤ n n 1 n 2 n n n 1
把以上四个不等式相加 得 abcd a b c d abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac
例2已知a,b是实数，求证: a+b 1 a b a 1 a b 1 b .
放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
• • • •
放缩法 1、一般从不等式的结构形式可观
2 2 2 2 2 2
所以三式相加得 x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2
y z x 3 ( x ) ( y ) (z ) ( x y z) 2 2 2 2
练习：设x＞0,y＞0,若 A x y ,B x y ,
xy2 x2 y2
则A、B的大小关系为_______.
【解析】∵x＞0,y＞0, xy x y x y A ＜ B. xy2 xy2 xy2 x2 y2
答案：A＜B
练习：设 M 1 1 1 1 ， 则 210 210 1 210 2 211 1 ( ) (A)M=1 (B)M＞1 (C)M＜1 (D)M≥1
a b a b am bm abm abm ab f (a b) abm c 又a b c , f (a b ) f ( c ) cm a b c am bm cm f (a ) f (b)
2.已 知 实 数 x , y, z不 全 为 零 ， 求 证： 3 x xy y y yz z z zx x ( x y z ) 2 y 2 3 2 y 2 2 2 证明： x xy y ( x ) y ( x ) 2 4 2 y y x x 2 2 z x 2 2 2 2 同理可得 y yz z y , z zx x z 2 2 由于x , y , z不全为零， 故上述三式中至少有一 式取不到等号，
察出放缩的可能性。
2、放缩时应放缩适度
3、放缩的一般方法：
常用的方法
• • • • • • • • ①添加或舍去一些项 ②将分子或分母放大（或缩小） ③应用“糖水不等式” ④利用基本不等式 ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性 ⑦绝对值不等式 ⑧利用常用结论
(2)放缩法的注意事项
1 2 3 1 2 ①舍去或加上一些项，如: (a ) ＞(a ) ; 2 4 2 1 1 ＜ , 2 ②将分子或分母放大(缩小)，如: k k k 1
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 :已知条件⇒ 分析法 : 结论 ⇒
由因导果 已知条件 执果百度文库因
⇒ 结论
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 综合分析法 （1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
（2）“两边凑”
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 间接证明原命题成立,这样的的证明方法 叫反证法。
法３：函数的方法
例3:求证： 1 1 1 * 2（ n+1-1）<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.
不等式证明 -----放缩法
灵宝五高高二数学组
教学目标
• 结合已经学过的数学实例，了解间接证明 的一种基本方法——放缩法；了解放缩法 的思考过程、特点. • 教学重点：会用放缩法证明问题；了解放 缩法的思考过程. • 教学难点：根据问题的特点，选择适当的 证明方法.
一.复习
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
例4:巳知：a、b、c∈
2 2 2
R ，求证：
2
a ab b a ac c a b c
略 解
a ab b
2 2
a ac c
2
2

a 2 3 2 (b ) a 2 4
a 2 3 2 (c ) a 2 4
a 2 (b ) 2 abc
例3 已 知a , b, c, d R , 求 证 a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
证明 : a , b, c , d 0, a a a abcd abd a b b b b abcd bca a b c c c abcd cd b cd d d d abcd d ac c d
【解析】选C.
1 1 1 1 M 10 10 10 … 11 ＜ 2 2 1 2 2 2 1
1 1 1 2 10 … 10 10 1. 10 2 2 2 2
共 210 个
10
作业
P29 习题2.3 2
a 2 (c ) 2
补充例题: 1.已 知ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: am bm cm
x m 证明 : 设函数f ( x ) 1 ( x 0, m 0), xm xm 易知f ( x )在( 0,)上是增函数.
法１：
ab 1 a b

a 1 a

b 1 b
1
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 a b 0 时，左边
1 1 ab ab
1 1 ab
b |a| 1 a b 1 a b 1 a b 1

a 1 a

b 1 b
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的证明过程： • 否定结论——推出矛盾——肯定结论， • 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真. 归谬－－从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立.
.
法２：
ab
0 a b a b ,
a b 11
1 1 1 a b 1 a b 1 a b a b 1 1 1 a b 1 a | | b
a b b |a| . 1 a 1 b 1 a b 1 a b