不等式证明之放缩法
不等式证明之放缩法
不等式证明之放缩法放缩法是一种常用的不等式证明方法，它通过对不等式两边进行一系列放缩操作，从而逐步缩小不等式范围，最终达到证明不等式成立的目的。
本文将对放缩法的基本思想和几种常用的放缩方法进行详细介绍。
首先，我们来介绍放缩法的基本思想。
放缩法的核心思想是通过对不等式两边进行放缩操作，把原来的不等式转化为一个更容易证明的不等式。
在放缩过程中，我们可以利用不等式的性质、算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦茨不等式等数学工具，结合实际问题的特点，灵活选择适当的放缩方法，从而得到具有更强的推理力度的不等式，最终完成不等式的证明。
接下来，我们介绍几种常用的放缩方法。
1.替换法：通过替换变量，将原不等式中的复杂变量替换为新的变量，使得不等式形式变得更加简单，更易证明。
这个方法可以常常应用于含有多个变量的不等式中，通过替换变量后，使得原来复杂的不等式简化为只含有一个变量的不等式。
2.增量法：通过引入一个增量，将原不等式中的变量加上增量后，得到一个更容易证明的不等式。
这个方法常常适用于原不等式中含有与增量具有类似性质的变量，可以通过增量的引入，改变原不等式的结构，使得证明变得更加简单。
3.分割法：将整个证明过程分为若干个子证明，通过对每个子证明的分割和放缩操作，最终得到整个不等式的证明。
这个方法常常适用于原不等式较为复杂或不易直接证明的情况，通过将证明分割为若干个子证明，分别证明每个子证明的不等式，最后再将这些子证明的不等式组合起来，得到原不等式的证明。
4.对称法：通过对不等式的两边同时进行操作，得到具有对称性的不等式，从而实现原不等式的放缩。
这个方法常常适用于原不等式中含有对称性的项，通过对称性的放缩操作，不仅可以得到更容易证明的不等式，也可以将原不等式变得更加简洁明了。
以上只是常用的放缩方法中的一部分，实际应用中还有很多其他的放缩方法，需要根据具体问题的情况选择适当的方法。
无论使用哪种放缩方法，都需要注意选择合适的放缩范围，并保证放缩后的不等式在放缩范围内成立，才能保证最终得到的不等式是正确的。
放缩法证明不等式
高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ． 分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可． 证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
不等式放缩技巧十法
不等式放缩技巧十法一、Cauchy-Schwarz不等式：Cauchy-Schwarz不等式是不等式放缩的基础。
对于任意实数a1,a2, …, an和b1, b2, …, bn，有如下不等式成立：(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(b1^2 + b2^2 + … + bn^2) ≥ (a1b1+ a2b2 + … + anbn)^2Cauchy-Schwarz不等式可以解决很多不等式问题，如证明两个序列的和的平方大于等于两个序列平方的和。
二、Holder不等式：Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式。
对于任意实数a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn以及p, q满足1/p + 1/q = 1（其中p，q为正实数），有如下不等式成立：(，a1，^p + ，a2，^p + … + ，an，^p)^(1/p) * (，b1，^q + ，b2，^q + … + ，bn，^q)^(1/q) ≥ ，a1b1 + a2b2 + … + anbn Holder不等式是Cauchy-Schwarz不等式的推广形式，不仅适用于实数，也适用于复数，可以使用Holder不等式解决更多类型的不等式问题。
三、Schur不等式：Schur不等式是不等式放缩中的重要不等式。
对于任意非负实数a, b, c和非负实数r，有如下不等式成立：a^r(a-b)(a-c)+b^r(b-a)(b-c)+c^r(c-a)(c-b)≥0Schur不等式在证明其他不等式时经常被使用，尤其在三角形不等式的证明中发挥着重要作用。
四、AM-GM不等式：AM-GM不等式是代数平均-几何平均不等式的缩写，对于任意非负实数a1, a2, …, an，有如下不等式成立：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ (a1*a2*…*an)^(1/n)AM-GM不等式是解决不等式问题中常用的一种方法，可以将最大化或最小化转化为相加或相乘的形式。
不等式证明 之 放缩法
不等式证明 之 放缩法放缩法的定义所谓放缩法，即要证明不等式A<B 成立，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A<C ，后证C<B ，这种证法便称为放缩法。
使用放缩法的注意事项（1）放缩的方向要一致。
（2）放与缩要适度。
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）。
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象。
典例分析：例1、 设x>y>z ，n *N ∈，且z x n z y y x -≥-+-11恒成立，求n 的最大值.例2、 已知：x>0，y>0，z>0，求证：z y x z yz y y xy x ++>+++++2222.例3、 求证：n n n 21...31211112<++++<-+）（， n *N ∈.例4、 求证：21...31211222<++++n ，n *N ∈.变式：求证：471...31211222<++++n，n *N ∈.例5、 已知：)()1(...433221+∈+⨯++⨯+⨯+⨯=N n n n a n ，， 求证：2)2(2)1(+<<+n n a n n n .例6、{}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥（2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2) 13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈ 迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥ *111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111 (2222222)n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
例谈放缩法证明不等式的基本策略
03
放缩法证明不等式的案例分析
案例一：利用逐步调整法证明不等式
总结词
详细描述
逐步调整法是一种通过逐步调整不等 式的两边，以达到证明不等式目的的 方法。
逐步调整法通常需要找到一个可调整 的不等式，通过逐步调整该不等式的 两边，使不等式的左边逐渐增大，右 边逐渐减小，从而证明原不等式成立 。
实例
例如。要证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$。可以先从左边减去 $\frac{1}{n}$。再从右边加上 $\frac{1}{n}$
构造函数法
总结词
构造函数法是一种通过构造满足某种性质的函数或序列，从而证明不等式的方法。
详细描述
构造函数法的核心思想是，根据题目条件和目标形式构造一个满足特定性质的函数或序列。通过对这个函数或序列的分析 和计算，达到证明不等式的目的。构造函数法在函数不等式证明中较为常用。
示例
例如，在证明“当$x > 0$时，$e^{x} > x + 1$”时，可以使用构造函数法进行
• 示例：例如，在证明$\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{n}$时，可以通过逐步调整法进行调整 • 首先，我们将不等式的两边同时加上$1 - \sqrt{2}$，得到$1 - \sqrt{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})$。 • 然后，我们将左边的不等式两边平方，得到$(1 - \sqrt{2})^{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})^{2}$。 • 进一步展开$(1 - \sqrt{2})^{2}$，得到$3 - 2\sqrt{2} < \frac{3}{n} - 2\sqrt{2}$。 • 最后，我们将右边的不等式两边除以$n$，得到$\frac{3}{n} < \frac{3}{n} + \frac{2\sqrt{2}}{n}$。 • 整理后，得到$\frac{3}{n} < 3 + 2\sqrt{2}$，从而证明了原不等式。
用“放缩法”证明不等式的基本方法
用“放缩法”证明不等式的基本方法放缩法是一种常用的证明不等式的方法，其基本思想是通过对不等式的各项进行放缩来证明原不等式。
下面我将详细介绍放缩法的基本方法。
首先，我们需要明确放缩法的基本原则：不等式放缩法（缩放法）的基本思想是通过构造一个比原不等式更简单或更明显的不等式，然后再通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式成立。
放缩方法常常被用于求解带有未知参数的不等式。
下面，我将分为三个部分详细介绍放缩法的具体方法。
第一部分：确定放缩参数1.首先，我们需要确定一个或多个放缩参数，这些参数通常是未知数或表达式，我们需要通过合理地选择参数的取值范围来达到证明不等式的目的。
2.选择放缩参数时需要考虑以下因素：-参数的变化范围是否与不等式的条件相符。
例如，如果不等式的条件是x>0，那么我们需要选择的放缩参数在x>0的范围内变化。
-参数的取值是否能够使得不等式的其中一项更加简化，或者使得整个不等式更加明显。
第二部分：构造放缩不等式1.通过放缩参数我们可以构造一个新的不等式，这个不等式通常比原不等式更简单或更明显。
2.构造方法有多种，常见的有：- 使用平方差公式：对于任意实数a和b，有(a-b)^2>=0，可以得到a^2+b^2>=2ab。
这个放缩方法常用于证明关于平方的不等式，例如证明a^2+b^2>=2ab的形式不等式。
- 使用柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有(a1b1+a2b2+...+anbn)^2<=(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)。
这个放缩方法常用于证明关于多个变量的不等式，例如证明(x1^2+x2^2+...+xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)>=(x1y1+x2y2+...+xnyn)^2的形式不等式。
第三部分：选择放缩参数取值1.在得到放缩不等式之后，我们需要通过适当选择放缩参数的取值来证明原不等式。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式所谓放缩法，就是针对不等式的结构特征，运用不等式及有关的性质，对所证明的不等式的一边进行放大或缩小或两边放大缩小同时兼而进行，以达到证明结果的方法。
但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法则，保证放大还是缩小的连续性，不能牵强附会，须做到步步有据。
比如：证a ＜b ，可先证a ＜h 1，成立，而h 1＜b 又是可证的，故命题得证。
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点，解决这类问题常常用到放缩法。
“放缩法”可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。
因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。
利用放缩法证明不等式，既要掌握放缩法的基本方法和技巧，又须熟练不等式的性质和其他证法。
做到放大或缩小恰到好处，才有利于问题的解决。
一、用放缩法证明不等式的基本策略1、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的分式的放缩对于分子分母均取正值的分式，如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可．还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变大；假分数的分子和分母加上同一个正数，则分数值变小来进行放缩． 例1、若a ，b ，c ，d 是正数．求证：12a b c d a b ca b db c da c d<+++<++++++++证明：a b c d a b c a b db c d a c d+++++++++++1abc da b c d a b c d a b c d a b c d>+++=++++++++++++又2a b c d a b c da b c a b d b c d a c d a b a b c d c d+++<+++=++++++++++++ 或a b c d a b ca b d b c da c d +++++++++++2a bb ca cb d a bcd a b c da b c da b c d++++<+++=++++++++++++（利用(0)a a mm b b m+<>+） ∴12a bcda b ca b d b c d a c d <+++<++++++++例2、求证：213121112222<++++n证明：∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222111111*********232231nn nn++++<+-+-++-=-<-【变式】2222111171234n++++<∵nn n n n111)1(112--=-<∴2222211111111151171()()1232231424nn nn++++<++-++-=+-<-本题说明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即放不能太宽、缩不能太窄，真正做到恰到好处。
不等式放缩法
利用放缩法证明数列型不等式一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式问题。
裂项放缩法主要有两种类型：（1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。
例1设数列{}n a 的前n 项的和14122333n n n S a +=-⨯+，1,2,3,n =。
设2nn nT S =，1,2,3,n =，证明：132ni i T =<∑。
点评： 关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1112121n n +---，然后再求和，即可达到目标。
（2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。
例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的前n 和为n S ，2n n n T S S =-； （I ）求证：1n n T T +>； （II ）求证：当2n ≥时，2n S 71112n +≥。
点评：此题（II ）充分利用（I ）的结论，n T 递增，将2n S 裂成1122112222n n n n S S S S S S S ----+-++-+的和，从而找到了解题的突破口。
2、迭乘放缩法：放缩法与迭乘法的结合，用放缩法构造迭乘形式，相乘时消去中间项。
用于解决积式问题。
例3 已知数列{}n a 的首项为13,a =点()1,+n n a a 在直线)(03*N n y x ∈=-上。
若3*3log 2(),n n c a n N =-∈证明对任意的*n ∈N ，不等式12111(1)(1+)(1+)nc c c +⋅⋅>点评：此题是证明积式大于根式，由于左边没有根式，右边是三次根式，立方后比较更容易处理。
33131(1+)()32n n c n -=-可以看成是三个假分式的乘积，保持其中一项不变，另两项假分数分子分母同时加1，加2，则积变小，3313133131()323231332n n n n n n n n n n --++>⋅⋅=----，而通项式为31{}32n n +-的数列在迭乘时刚好相消，从而达到目标。
几种常见的放缩法证明不等式的方法
几种常见的放缩法证明不等式的方法一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1） 用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥*111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。
这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：22n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n∴=≤+++-+-++--712104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。
放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。
值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数()(0)b f x ax c a x=++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-（1）用a 表示出,b c（2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围 （3）证明：1111...ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ 解：（1）（2）略 （3）由（II ）知：当)1(ln )(,21≥≥≥x x x f a 有时 令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x xx x f a 有 且当.ln )1(21,1x xx x >->时 令)],111()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有 即.,,3,2,1),111(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得,)1(21)13121(21)1ln(++++++<+n n n 整理得 .)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。
放缩法证明不等式
放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。
本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。
例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。
例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。
我们可以利用这个观察来放缩不等式。
由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。
不等式放缩技巧十法
第六章 不等式第二节 不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题: 不等式的放缩技巧。
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一 利用重要不等式放缩1. 均值不等式法例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2)1(2)1(2+<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k=+=2121)1(+=++<+<k k k k k k ， )21(11∑∑==+<<∴nk n nk k S k ，即.2)1(22)1(2)1(2+<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2ba ab +≤，若放成1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(21+>++=+<∑=n n n k S nk n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里na a n a a a a a a nnnnn n22111111++≤++≤≤++其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例 2 已知函数bxa x f 211)(⋅+=，若54)1(=f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：.2121)()2()1(1-+>++++n n n f f f [简析] 411()11(0)141422x x x xf x x ==->-≠++∙ 1(1)()(1)22f f n ⇒++>-⨯211(1)(1)2222n+-++-⨯⨯ 1111111(1).42222n n n n -+=-+++=+- 例3 求证),1(221321N n n n C C C C n n nnnn∈>⋅>++++- .简析 不等式左边123nn n n n C C C C ++++=12222112-++++=-n nn n n 122221-⋅⋅⋅⋅⋅> =212-⋅n n ，故原结论成立.【例4】已知222121n a a a +++=，222121n x x x +++=，求证：n n x a x a x a +++ 2211≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为22(,)2x y xy x y R +≤∈，所以有22222211221122222n n n n a x a x a x a x a x a x ++++++≤+++2222221212111.2222nna a a x x x ++++++=+=+= 其实，上述证明完全可以改述成求n n x a x a x a +++ 2211的最大值。
不等式的放缩法
放缩法证明不等式放缩法：为放宽或缩小不等式的范围的方法。
常用在多项式中“舍掉一些正（负）项”而使不等式各项之和变小（大），或“在分式中放大或缩小分式的分子分母”，或“在乘积式中用较大（较小）因式代替”等效法，而达到其证题目的。
所谓放缩的技巧：即欲证B A ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使B C A ≤≤，由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”。
常用的放缩技巧还有：（1）若,A t A ,A t A ,0t <->+>（2）,n 1n <-n n 2>,1n 11n ,1n ->-+-+),0n (n n )1n (n 2>=>+<<+=+-2n 1)1n (n 11n 1n 1).1n n (2n1n n 21n n 2)n 1n (2),1n (n 11n 1)1n (n 1--<=+<++=-+>--=-（3）若,R m b a +∈、、则.b m a b a ,m b a b a +<+> （4）+++<++++221211!n 1!31!211 .211n -+ （5）.n 12)n 11n 1()3121()211(1n 131211222-=--++-+-+<++++ （6）11n n 1n 11n 11n 1n 212n 11n 1<+=++++++≤+++++ 或≥+++++n 212n 11n 1 .21n 2n n 21n 21n 21==++（7）nn n n 1n 1n 1n 131211==+++>++++ 等等。
用放缩法证明下列各题。
例1 求证：.133lg 3lg <⋅ 证明：因为,)2b a (ab 2+≤所以左边,)299lg ()233lg 3lg (22=+≤[因为99＜100（放大）]＜,1)2100lg (2=所以.133lg 3lg <⋅例2 （2000年海南理11）若,2n ,N n >∈求证：.1)1n (log )1n (log n n ≤+⋅- 证明：因为,11n ,2n >->所以,0)1n (log ,0)1n (log n n >+>-因为4)]1n ([log ]2)1n (log )1n (log [)1n (log )1n (log 22n 2n n n n -=++-≤+⋅-［因为22n 1n <-（放大），所以,n log )1n (log 2n 2n <-又,2n >所以x log n 是增函数］，所以14)n (log 4)]1n ([log 22n 22n =<-，所以.1)1n (log )1n (log n n <+⋅-例3 （2001年云南理1）求证：).N n ,1n )(2n (log )1n (log 1n n ∈>+>++证明：n log )2n (log )1n (log )2n (log 1n 1n n 1n +++⋅+=++=左边右边（因为1a log b log b a =⋅）21n 21n 1n ]2)2n (n log []2n log )2n (log [+=++≤+++［又因为2)1n ()2n (n +<+（放大）］，所以,1]2)1n (log []2)2n (n log [221n 21n =+<+++所以).2n (log )1n (log 1n n +>++例4 已知,0b a >>求证：.b a b a -<- 证明：因为⇒>>0b a.b a b a b a )b a (b a ),(b a b a ,0b a ,b a 2-<-⇒-<-⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+<->->两边同乘放大例5 求证：.2b a )2b a (222+≤+证明：因为4b ab 2a )2b a (222++=+（因为22b a ab 2+≤）4b b a a 2222+++≤（放大）.2b a 22+=所以.2b a )2b a (222+≤+例 6 （2000年湖南省会考）求证：当0a >时，函数c bx ax y 2++=的最小值是;a 4b ac 42-当0a <时，函数c bx ax y 2++=的最大值是.a 4b ac 42-证明：因为原函数配方得,a 4b ac 4)a 2b x (a y 22-++=又因为,0)a 2b x (a 0)a 2b x (,0a 22≥+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥+>所以a 4b ac 4a 4b ac 4)a 2b x (a y 222-≥-++=（缩小），所以函数y 的最小值是a 4b ac 42-。
用放缩法证明不等式时如何放缩
ｎ ＋ Ｃ 以 十Ｄ
又 因 为 ２ ＝（ １ ＋ １ ） ｃ ｎ ｏ ＋ ｃ ＋ｃ Ａ＋ｃ ＋ｃ １ ＋
十 八 槲１ ＞ ２ 川， 所 以 ｎ ） ＞ 者 。
３ “ 添舍” 放缩
＜ ２。
通过对 不等 式的一 边进行 添项 或减项 以达 到解题 目的 ， 这是常规思路 。
的氛 围 ， 为开展探究活 动做好思 想上 、 心理上 的准备。在探 究 解决 了学生 的学习态度 、 学习 习惯 问题 ， 使教 学质 量的提高和 过程 中 ， 教师 要通 过巡视 、 观察 、 参 与讨 论等方 式给 学生 以积 学生 学习能力 的发 展有了可靠保证 。 同时 ， 也 创设了富有生机
１ 分 式 放 缩
一
证明： 由题意 知 ， （ ， ｚ ） 一 ｎ 丁＝
＂ 十 ｌ
， ’ 十
Ｉ
一 ｎ 丁＝ （ １ 一
＂十 ｌ
， ＿ 十
ｌ
） 一
ｒ 一 ： ： 二 １ 丝 ± ２
３ ， 所 以只须证 ２ 一 ＞２ ｎ ＋１ ，
ｎ ＋ ｌ
ｎ ＋ ｌ ２ １ （ ｎ ＋ １ ） （ ２ １ ）’
个分式若 分子变大则 分式值变 大 ，若分 母变大 则分式
又因为 ｎ ＥＡ ｒ 且
值 变小 ， 一个真 分式 ， 分子、 分母 同时 加上 同一个 正数 则分式 值 变大 ， 利用这些 性质 ， 可达到证题 目的 。 例 １ ：已知 ａ 、 ｂ 、 ｃ为三 角 形 的三 边 ，求 证 ： １ ＜ Ｌ ＋
，
—
证明 ： 由题 设得 ａ ２ ＋ ａ ｂ ＋ ｂ ａ ＋ ｂ， 于是（ 口 ＋ ） ＞ａ ２ ＋ａ ｂ ＋ ＋— ＋ — ， 又 口 ， ｂ ， ｃ为三 角形 的 边 ， 故 ＋ ａ ＋ｂ ＋ｃ ’ａ ＋ｂ ＋ｃ 。 ａ＋ｂ ＋ｃ ’ ～ “’ ’ 。 — — ｎ 工’ 。 ｂ ２ ＝ａ ＋ ｂ ， 又ａ ＋ ｂ ＞０ ， 得 ｎ ＋ ＞ｌ ， 又 ＜ １（ 日 ＋ ６ ） ｉ ｌ ｉ ｉ （ 日 ＋ ６ ） ＝
例谈证明不等式的四种常用措施
=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
֍
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+
放缩法证明数列不等式经典例题
放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式放缩法是一种证明数学不等式的方法，它利用一些基本的放缩技巧来推导出更复杂的不等式。
下面介绍几种常用的放缩技巧：1.$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$证明：将右边的式子化简得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
2.$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$证明：将右边的式子平方得到$\frac{n}{n+1}<\frac{n}{n+1}<\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$，再将中间的式子平方根得到$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$。
3.$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n-1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$。
4.$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，再将右边的式子倒数得到$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$。
放缩法证明不等式例题
放缩法证明不等式一、放缩法原理为了证明不等式B A ≤，我们可以找一个或多个中间变量C 作比较，即若能判定B C ,C A ≤≤同时成立，那么B A ≤显然正确。
所谓“放”即把A 放大到C,再把C 放大到B ；反之，由B 缩小经过C 而变到A,则称为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
二、常见的放缩法技巧１、基本不等式、柯西不等式、排序不等式放缩 2、糖水不等式放缩：)b a ,0m (ma mb a b >≥++≤. 3、添（减）项放缩4、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）5、逐项放大或缩小：)1n (n 1n 1)1n (n 12-<<+ 21n 2)1n (n n +<+<)12)(32(1)12(12--<-n n n )12)(12(1)12(12+->-n n n )22(21)12(12+<+n n n三、例题讲解例1：设a 、b 、c 是三角形的边长，求证cb a cb ac b a c b a -++-++-+≥3例2：设a 、b 、c ≥0，且3=++c b a ，求证abc c b a 23222+++≥29例3：已知*21().n n a n N =-∈求证：*122311...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈例４：函数f （x ）=xx 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +)(2121*1N n n ∈-+.例5：已知a n =n ，求证：∑nk=1 ka 2k＜3．例6： 已知数列{}n a ，，132a =，113(2,*)21n n n na a n n N a n --=≥∈+-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对一切正整数n ，不等式123!n a a a a n λ⋅⋅<⋅恒成立，试求正整数的最小值。
数学所有不等式放缩技巧及证明方法
文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值； （2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％ 明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。
20181207放缩法证明不等式
（2）若 f (x) 在定义域内为增函数，求a 的取值范围；
（3）设 g(x) f (x) x2 1 ，当a 1 时，
求证：① g(x) 0在其定义域内恒成立；
求证：②
ln 22 ln 32 22 32
ln n2 n2
2n2 n 1
2n 1
。
例4. 证明： x2ex－lnx＞1 .
O
1
x
x 1
x 1
x
≤lnx≤ x ≤ 1
y x
y
2
y＝x－1
y＝lnx
y x1 x
O
1
x
x1 ≤
x 1 x≤lnx≤ x－1
x
2
(0＜x≤1)
6．（本小题满分 14 分）设函数 f (x) ln x x2 ax 。 （1）若 f (x) 在x 1 处取得极值，求a 的值；
O
1
x
方法三：
方法四：
又由
f '(x0)＝0
得：( x02
2 x0 ) ex0
1 x0
0
e x0
1 x02 ( x0
2)
x02 e x0
1 x0 2
f (x)≥ f (x0)＝
x02ex0 ln x0 ＝
1 x0 2 ln x0
构造函数 h(x)＝
1 ln x x2
,
x
放缩法证明不等式
放缩的方法
1。运用基本不等式和常见结论进行放缩 2。运用切线方程进行放缩 3。运用题目给出的不等式进行放缩。 4。运用参数范围进行放缩
切线放缩原理及常见的切线放缩
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所以三式相加得 x 2 xy y 2 y 2 yz z 2 z 2 zx x 2
y z x 3 ( x ) ( y ) (z ) ( x y z) 2 2 2 2
练习：设x＞0,y＞0,若 A x y ,B x y ,
反证法的思维方法：
正难则反
反证法的证明过程： • 否定结论——推出矛盾——肯定结论， • 即分三个步骤：反设—归谬—存真
反设－－假设命题的结论不成立， 即假设原结论的反面为真. 归谬－－从反设和已知条件出发， 经过一系列正确的逻辑推理， 得出矛盾结果. 存真－－由矛盾结果，断定反设不真， 从而肯定原结论成立.
a b a b am bm abm abm ab f (a b) abm c 又a b c , f (a b ) f ( c ) cm a b c am bm cm f (a ) f (b)
2.已 知 实 数 x , y, z不 全 为 零 ， 求 证： 3 x xy y y yz z z zx x ( x y z ) 2 y 2 3 2 y 2 2 2 证明： x xy y ( x ) y ( x ) 2 4 2 y y x x 2 2 z x 2 2 2 2 同理可得 y yz z y , z zx x z 2 2 由于x , y , z不全为零， 故上述三式中至少有一 式取不到等号，
法１：
ab 1 a b
a 1 a
b 1 b
1
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 a b 0 时，左边
1 1 ab ab
1 1 ab
b |a| 1 a b 1 a b 1 a b 1
a 1 a
b 1 b
把以上四个不等式相加 得 abcd a b c d abcd abd bca cbd d ac ab cd . 即 ab cd a b c d 1 2 abd bca cba d ac
例2已知a,b是实数，求证: a+b 1 a b a 1 a b 1 b .
放缩法
• 在证明不等式过程中，有时为了证明 的需要，可对有关式子适当进行放大或缩 小，实现证明。例如： 要证b<c,只须寻找b1使b<b1且b1≤c(放大) 要证b>a,只须寻找b2使b>b2且b2≥a(缩小) 这种证明方法,我们称之为放缩法。 放缩法的依据就是传递性。
• • • •
放缩法 1、一般从不等式的结构形式可观
a 2 (c ) 2
补充例题: 1.已 知ABC的 三 边 长 是 a , b, c , 且m为 正 数 , a b c 求 证: am bm cm
x m 证明 : 设函数f ( x ) 1 ( x 0, m 0), xm xm 易知f ( x )在( 0,)上是增函数.
例3 已 知a , b, c, d R , 求 证 a b c d 1 2 abd bca cd b d ac
证明 : a , b, c , d 0, a a a abcd abd a b b b b abcd bca a b c c c abcd cd b cd d d d abcd d ac c d
xy2 x2 y2
则A、B的大小关系为_______.
【解析】∵x＞0,y＞0, xy x y x y A ＜ B. xy2 xy2 xy2 x2 y2
答案：A＜B
练习：设 M 1 1 1 1 ， 则 210 210 1 210 2 211 1 ( ) (A)M=1 (B)M＞1 (C)M＜1 (D)M≥1
2.这两种基本证法的推证过程和特点：
综合法 :已知条件⇒ 分析法 : 结论 ⇒
由因导果 已知条件 执果索因
⇒ 结论
3、在实际解题时，两种方法如何运用？ 综合分析法 （1）通常用分析法提供思路，再由综合法写过程
（2）“两边凑”
反证法：
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 间接证明原命题成立,这样的的证明方法 叫反证法。
【解析】选C.
1 1 1 1 M 10 10 10 … 11 ＜ 2 2 1 2 2 2 1
1 1 1 2 10 … 10 10 1. 10 2 2 2 2
共 210 个
10
作业
P29 习题2.3 2
1 1 1 2 1 2 ＞ , ＜ , ＞ (k N*,k＞ 1) 2 k k k 1 k k k 1 k k k 1
特别注意：放大或缩小时注意要适当，必须目标明
确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小。
几个常用的一些放缩结论：
a am b bm ① , ( 0 a b .m 0 ) b bm a am n 1 n 2 n 3 ② n n 1 n 2 1 1 1 ③ 2 n( n 1) n n( n 1) ④ n n 1 2 n n n 1 2 1 2 2 ⑤ n n 1 n 2 n n n 1
.
法２：
ab
0 a b a b ,
a b 11
1 1 1 a b 1 a b 1 a b a b 1 1 1 a b 1 a | | b
a b b |a| . 1 a 1 b 1 a b 1 a b
不等式证明 -----放缩法
灵宝五高高二数学组
教学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ标
• 结合已经学过的数学实例，了解间接证明 的一种基本方法——放缩法；了解放缩法 的思考过程、特点. • 教学重点：会用放缩法证明问题；了解放 缩法的思考过程. • 教学难点：根据问题的特点，选择适当的 证明方法.
一.复习
1.直接证明的两种基本证法： 综合法和分析法
察出放缩的可能性。
2、放缩时应放缩适度
3、放缩的一般方法：
常用的方法
• • • • • • • • ①添加或舍去一些项 ②将分子或分母放大（或缩小） ③应用“糖水不等式” ④利用基本不等式 ⑤利用函数的单调性 ⑥利用函数的有界性 ⑦绝对值不等式 ⑧利用常用结论
(2)放缩法的注意事项
1 2 3 1 2 ①舍去或加上一些项，如: (a ) ＞(a ) ; 2 4 2 1 1 ＜ , 2 ②将分子或分母放大(缩小)，如: k k k 1
例4:巳知：a、b、c∈
2 2 2
R ，求证：
2
a ab b a ac c a b c
略 解
a ab b
2 2
a ac c
2
2
a 2 3 2 (b ) a 2 4
a 2 3 2 (c ) a 2 4
a 2 (b ) 2 abc
法３：函数的方法
例3:求证： 1 1 1 * 2（ n+1-1）<1+ ... 2 n (n n ) 2 3 n
1 2 2 2( k k 1), k N * k 2 k k k 1
1 1 1 1 2 3 n 2[( 1 0) ( 2 1) ( 3 2) ( n n 1)] 2 n.