高等数学第七章测试题答案(第7版)

第七章测试题答案

一、填空（20分）

1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程；

2、与积分方程⎰=x

x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0

x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不

是”）该微分方程的解；

4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，

21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的

解 （填“通解”或“解”）；

5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该

方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；

6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.

7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；

8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；

9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ；

10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x x

y y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式

)(11C xdx e e

y x dx x +⎰⎰=⎰-， x

C x C dx x x +=+=⎰2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .

解：0=+'xy y 分离变量x x y y

d d 1-=， 两边同时积分 C x y ln 2

ln 2

+-=，22e x C y -=， 又由2)0(=y ，得2=C ，故22

2x e y -=

四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。 解：x y 6=''得123C x y +='，213C x C x y ++=， 又由32)0(,2)0(='-=y y 知，2,3

221-==C C ， 故曲线方程为23

23-+=x x y 五、（15分）求齐次方程0)1(2)21(=-++dy y

x e dx e y x y x

的通解. 解：原方程可化为y x y x e y x e dy

dx 21)1(2+--=， 令y x u =，则yu x =，dy

du y u dy dx +=. 原方程变为：u u e u e dy du y u 21)1(2+--=+即u u e

u e dy du y 212++-=. 分离变量，得y dy du u

e e u u -=++212 两边积分得：C y u e u ln ln )2ln(+-=+ 即y

C u e u =+2.

以y

x 代入上式中的u ，化简得方程的通解为： C x ye y x =+2.

六、（15分）求解初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧='==+''==0,10

1311

x x y y y y . 解：设p y ='，则dy

dp p y =''，代入方程得： 013

=+dy dp p y ，分离变量并积分，得： C y p 2

1212122+=-，即C y p +±=-2. 当1=x 时，,1=y 0=p ，得1-=C . 则12-±==-y dx

dy p . 分离变量并积分，得：211y C x --=+± 由11==x y ，得11 =C . 则21)1(y x --=-± 即22x x y -±= .

七、（15分）求方程x y y y 2344-=+'+''的通解. 解：该方程对应的齐次方程的特征方程为

0452=++r r ，解得1,421-=-=r r

则x x e C e C Y --+=2

41. 由于0=λ不是特征根，所以设*y 为b ax y +=*， 代入原方程，得：8

11,21=-=b a .

所以8

1121*+-=x y . 该二阶常系数非齐次线性方程的通解为 8

1121241*+-+=+=--x e C e C y Y y x x .