sobolev空间的建立

Sobolev 空间的建立

Sobolev 空间是以前苏联数学家Sobolev 的姓来命名的一类函数空间，这是

因为他对Sobolev 空间的创立（20世纪30年代）做出了重要贡献.这类函数空间为微分方程特别是偏微分方程的理论研究提供了重要的工具.下文将详细介绍

Sobolev 空间的一些主要内容.

一、定义

(一)弱导数的定义

设()1,loc u v L ∈Ω，称v 是u 的关于i x 的弱导数（或广义导数），记为i v Du

=，是指对任意()0C φ∞

∈Ω，成立

.i

v dx u

dx x φ

φΩ

Ω

∂=-∂⎰

⎰ 对于多重指标()12,,

,n αααα=，用记号

1

2

12

1

,,n

n n

i x x

x i ααα

ααα==∂=∂∂∂∑

称v 是u 的α阶弱导数（或广义导数），记为v D u α=，如果对任意()0C φ∞

∈Ω，

成立

()

1.v dx u dx α

αφφΩ

Ω

=-∂⎰

⎰

(二)Sobolev 空间的定义

对1,p m ≥是非负整数，定义Sobolev 空间

{}

m L u D u L W

p p p

m ≤Ω∈Ω=Ω∆

||),(|)()(,αα

{}

m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα.

在)(,Ωp m W 中引入范数

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞

<≤==Ω∞≤≤Ω

Ω

≤Ω

∑⎰∑p u D p u D dx u D u

m

m p

p p p m

p p m ,max 1,)()||(,||||1

,1

||,,αααααα

下面证明)(,Ωp m W 按范数

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞

<≤==Ω∞≤≤Ω

Ω

≤Ω

∑⎰∑p u D p u D dx u D u

m

m p

p p p m

p p m ,max 1,)()||(,||||1

,1

||,,αααααα

是赋范空间. (i)非负性

当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则

0)||(||1,≥=⎰

∑Ω

≤m

p

p

p

m dx u D u

α

α，

且

0,=p

m u

⇔0)||(||1

=⎰

∑

Ω

≤m

p

p

dx u D αα⇔0=u D α 对任意m ≤||α均成立⇔0=u ； 当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则

0max ||,≥=∞

≤u

D u

m

p

m αα，

且

0,=p

m u

⇔0max ||=≤u D m

αα⇔0=u D α

对任意m ≤||α均成立⇔0=u ； (ii)齐次性

当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有

==⎰

∑Ω

≤m

p

p

dx u D u ||1)|)(|(α

αββ=⎰

∑Ω

≤m

p

p

dx u D ||1

)||(α

αβu β；

当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有

==≤)(max ||u D u m

ββαα=≤u D m

ααβ||max u β；

(iii)三角不等式性

当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有

=+=+⎰

∑Ω

≤m

p

p

dx v u D v u ||1)|)(|(α

α⎰

∑Ω

≤+m

p

p p

dx v D u D ||1)|||(|(α

αα

+≤⎰

∑Ω

≤m

p

p

dx u D ||1

)||(α

α=⎰

∑Ω

≤m

p

p

dx v D ||1

)||(α

α+u v ；

当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有

=+=+≤)(max ||v u D v u m

αα≤+≤v D u D m

ααα||max +≤u D m

αα||max =≤v D m

αα||max +u v .

所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质 （一）完备性

定理1 )(,Ωp m W 是Banach 空间.

证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f p

m j k .

而