sobolev空间的建立

Sobolev 空间的建立Sobolev 空间是以前苏联数学家Sobolev 的姓来命名的一类函数空间，这是因为他对Sobolev 空间的创立（20世纪30年代）做出了重要贡献.这类函数空间为微分方程特别是偏微分方程的理论研究提供了重要的工具.下文将详细介绍Sobolev 空间的一些主要内容.一、定义(一)弱导数的定义设()1,loc u v L ∈Ω，称v 是u 的关于i x 的弱导数（或广义导数），记为i v Du=，是指对任意()0C φ∞∈Ω，成立.iv dx udx x φφΩΩ∂=-∂⎰⎰ 对于多重指标()12,,,n αααα=，用记号12121,,nn ni x xx i αααααα==∂=∂∂∂∑称v 是u 的α阶弱导数（或广义导数），记为v D u α=，如果对任意()0C φ∞∈Ω，成立()1.v dx u dx ααφφΩΩ=-∂⎰⎰(二)Sobolev 空间的定义对1,p m ≥是非负整数，定义Sobolev 空间{}m L u D u L Wp p pm ≤Ω∈Ω=Ω∆||),(|)()(,αα{}m L u D L u u p p ≤Ω∈Ω∈=||),(),(|αα.在)(,Ωp m W 中引入范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα下面证明)(,Ωp m W 按范数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞<≤==Ω∞≤≤ΩΩ≤Ω∑⎰∑p u D p u D dx u D umm pp p p mp p m ,max 1,)()||(,||||1,1||,,αααααα是赋范空间. (i)非负性当∞<≤p 1时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0)||(||1,≥=⎰∑Ω≤mpppm dx u D uαα，且0,=pm u⇔0)||(||1=⎰∑Ω≤mppdx u D αα⇔0=u D α 对任意m ≤||α均成立⇔0=u ； 当∞=p 时，任意的)(,Ω∈p m W u ，则0max ||,≥=∞≤uD umpm αα，且0,=pm u⇔0max ||=≤u D mαα⇔0=u D α对任意m ≤||α均成立⇔0=u ； (ii)齐次性当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==⎰∑Ω≤mppdx u D u ||1)|)(|(ααββ=⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(ααβu β；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，K ∈β，有==≤)(max ||u D u mββαα=≤u D mααβ||max u β；(iii)三角不等式性当∞<≤p 1时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+⎰∑Ω≤mppdx v u D v u ||1)|)(|(αα⎰∑Ω≤+mpp pdx v D u D ||1)|||(|(ααα+≤⎰∑Ω≤mppdx u D ||1)||(αα=⎰∑Ω≤mppdx v D ||1)||(αα+u v ；当∞=p 时，任意)(,Ω∈p m W u ，)(,Ω∈p m W v ，有=+=+≤)(max ||v u D v u mαα≤+≤v D u D mααα||max +≤u D mαα||max =≤v D mαα||max +u v .所以，Sobolev 空间)(,Ωp m W 是一个赋范空间. 二、Sobolev 空间的主要性质 （一）完备性定理1 )(,Ωp m W 是Banach 空间.证明 只要证明)(,Ωp m W 是完备的. 任取)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列{}j f ，则),(0,∞→→-j k f f pm j k .而∑≤-=-mppLjkpmjk pffDff||1,))((αα∑≤-=mppLjk pfDfD||1))(ααα⇒),(0∞→→-jkfDfDpLjkαα.即{})|(|mfDj≤αα是)(ΩpL中的Cauchy列，由)(ΩpL的完备性知，存在)|)(|(mLg p≤Ω∈αα，使得∞→→jgfDpLj,αα.在弱收敛的意义下，ααgfDj→，即对任意)111)((=+Ω∈qpL pϕ，有⎰⎰ΩΩ∞→→)(jdxgdxfDjϕϕαα.特别对任意)(Ω∈∞Cϕ，有⎰⎰ΩΩ∞→→)(jdxgdxfDjϕϕαα.这是因为⎰⎰ΩΩ→||dxgdxfDjϕϕαα⎰Ω⋅-≤dxgfDj||||ϕαα→⋅-≤qp LLjgfDϕαα(应用Holder不等式）令0=α得⎰⎰⎰ΩΩ∆Ω=→dxfdxgdxfjϕϕϕ0.其中)(Ω∈∞Cϕ.在利用弱导数的定义得，对于任意∞→Ω∈∞jC),(ϕ时有⎰⎰ΩΩ⋅-=dx D f dx f D j j ϕϕααα)1(⎰⎰ΩΩ⋅=⋅-→dx f D dx D f ϕϕααα||)1(.即当∞→j 时，j f D α在)(Ωp L 内弱收敛于f D α，记成))((Ω−−−→−p j L f D f D αα弱收敛由极限的唯一性，得)(Ω∈=p L g f D αα )|(|m ≤α 且))((Ω→p j L f D f D αα )(∞→j .这就说明，若{}j f 是)(,Ωp m W 中的Cauchy 序列，则必存在)(,Ω∈p m W f ，使得))((,Ω→p m j W f f )(∞→j . 即，)(,Ωp m W 是完备的. 从而)(,Ωp m W 是Banach 空间. （二）可分性定理2 当∞<≤p 1时，)(,Ωp m W 是可分的.证明 只要证明当∞<≤p 1时，Q p L ))((Ω是可分的，也就是说Q p L ))((Ω中存在稠密的可列集.事实上，对每个正整数k ，作⎭⎬⎫⎩⎨⎧<>Ω∂Ω∈=Ωk x k x dist x x k ||,1),(,|.设P 表示所有有理数多项式全体，{}P f f P k k ∈=Ω|χ，k k P P ∞==1~ ，则P ~在)(Ωp L 中稠密. 事实上，对)(Ω∈p L f ，任意的0>ε，由)(0ΩC 在)(Ωp L 中稠密知，存在)(0Ω∈C g ，使得2)(ε<-ΩpL gf .另外容易看出，)()(010k k C C Ω=Ω∞= .故g 属于某个)(0m C Ω，利用Weierstrass 定理知，m P 在)(0m C Ω中稠密，也就是说，存在m P h ∈，使得pm h g 1||2||-Ω<-ε，m x Ω∈∀.因为m Ω有界，故有⎰ΩΩ-=-pp L h g h g p 1)()||(||||2)||(1ε<-=⎰Ωmpp h g故ε<-Ω)(||||p L h f .其中，k k P P h ∞==∈1~.这就说明P ~在)(Ωp L 中稠密，且P ~是一个可列集，因而P P P P Q ~~~~1⨯⨯⨯=∏ 是Q p L ))((Ω可列的稠密集，即)1())((∞<≤Ωp L Q p 是可分的，从而)(,Ωp m W 也是可分的. （三）自反性定理3 设∞<<p 1，则)(,Ωp m W 是自反空间. （四）(),0m p W Ω的等价范数定理4 设n R Ω∈是一个有界区域，或者Ω是夹在两个平行的超平面之间（称Ω为有限宽的），那么(),0m p W Ω中的半范数1,ppm pp m uD u αα*=⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∑成为一个范数，并且与通常范数,m p ⋅等价. （五）延拓定理定理5 设1,N p R ≤<∞Ω⊂是有界区域，,m C ∂Ω∈则对于任意0,k m ≤≤存在线性算子()(),,:,k p k p n k T W W R Ω→使得()(),,,,,..;,nK k k p R k p T u x u x a e x T uC uΩ=∈Ω≤其中(),,C C k p =Ω为常数. （六）Sobolev 不等式定理6 设()1,0p u W ∈Ω，则存在(),C C n p =，使得下列不等式成立,1,np p n puC Du p n -≤≤<和11sup ,.n pp u C Du p n -Ω≤Ω>定理7 设Ω为有界区域，1,1,C p n ∂Ω∈≤<则存在正常数(),,,C C n p =Ω使得对任意()1,,p u W ∈Ω成立,1,,.p p uC u*ΩΩ≤三、建立Sobolev 空间的意义随着科技的不断发展，在工程中提出了许多形式各样的偏微分方程，其中有相当一部分在古典理论上是不存在解的. 但实际背景表明，它们是存在唯一解的，这时，偏微分广义解的提出，很大程度上解决了这一数学与实际相冲突的问题. 广义解的另一优点是，它把偏微分方程的解的唯一性问题，分解成某个Sobolev空间中广义解的存在与广义解的正则性两个问题来研究，解决了一些新的偏微分方程定解问题，特别是在非线性偏微分方程中，由于直接寻找古典解是相当困难的，而寻找弱解则相对容易，进而确定弱解的正则性后就获得古典解.在偏微分方程的数值计算中，现在比较流行的方法，如有限元法和有限体积法，它们的理论基础就是广义函数与Sobolev空间. 它们都是利用守恒原理，在偏微分方程两边与某个区域进行积分，再进行一定的简化，将其等价的化为一个变分问题，再在某个Sobolev空间中求解这个变分问题，其实我们求出来的变分问题的解就是其对应的偏微分方程的古典解.综上所述，广义微商及Sobolev空间的建立，很大程度上促进了偏微分方程理论及其数值解理论的发展，在偏微分方程发展中揭开了新的一页.。