标量场的方向导数和梯度概要
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工程数学 标量场及其梯度
CQU
（6）梯度运算的几个基本关系式 • 相对坐标标量函数 f (r−r′)
∇f = −∇ ′f
证明 ：在直角坐标系中f (r−r′) = f (x− x′，y− y′，z− z′ ) 上式重写为
∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f ex + ey + e z = −( ex + ey + ez ) ′ ′ ′ ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z ∂x
R = ( x − x ′) e x + ( y − y ′) e y + ( z − z ′) e z
R = [( x − x ′) 2 + ( y − y ′) 2 + ( z − z ′) 2 ]1/2
则
∂R 1 = [( x − x′) 2 + ( y − y′) 2 + ( z − z′) 2 ]−1/2 ∂x 2
∇f
P 1
= 4e 2-1-1 (2 e x − e y + e z ) = 4(2 e x − e y + e z )
R12 (−3 − 1) e x + (5 − 1) e y + (6 + 1) e z = = R12 [(−4) 2 + 4 2 + 7 2 ]1/2 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 81 = − 4 ex + 4 ey + 7 ez 9
1.2 标量场及其梯度
CQU
(2)方向导数与梯度的关系 偏导数
∂f ∂f ∂y ∂x 、
∂f 、 ∂z
分别叫做 ƒ 在x、y、z 方向
上的方向导数，用梯度表示为
∂f = (∇f ) x = ∇f e x ∂x ∂f = (∇f ) y = ∇f e y ∂y ∂f = (∇f ) z = ∇f e z ∂z
本科-工程电磁场03-标量场函数的梯度
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
10
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
当 l 与坐标轴方向一致（如 x 轴），
则
u l
G
ex
u x
（方向导数作为偏导数理解）
当 l 方向与 G 方向一致时，方向导数值达到最大，
最大的方向导数为 G 。 G 是矢量 G 的模
梯度定义：
在标量场中任一点 M 处，如果存在矢量 G ，
主讲人： 王泽忠
3） gradu v gradu gradv
4） graduv ugradv vgradu
5） grad( u ) 1 (vgradu ugradv) v v2
u u(M) u(M0 )
若当沿着 l , M M0 时，
比式 u u(M) u(M0 ) 的极限存在，怎么样？
l
l
2019/10/3
华北电力大学电气与电子工程学院
3
工程电磁场
就称此极限值为
主讲人： 王泽忠
函数 uM 在点 M0 处沿 l 方向的方向导数，
记作 du dl M0
9
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
根据矢量点积计算公式，可以看出
u l
u x
cos
u y
cos
u z
cos
Gຫໍສະໝຸດ el令 表示矢量 G 与单位矢量 el 之间的夹角，
根据矢量点积的计算式，得
u l
G
el
G cos
对给定函数和给定点，G 是固定值，
随着 l 方向改变， 变化，方向导数值随之变化
场波教案-1
Ψ = ∫ A dS
S
通量的性质: 通量的性质: 源:当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源; 当矢量穿出某个闭合面时,认为该闭合面中存在产生该矢量场的源 当矢量进入这个闭合面时, 洞:当矢量进入这个闭合面时,认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的 洞(或汇). 通常规定闭合的有向曲面的方向为闭合面的外法线方向. 通常规定闭合的有向曲面的方向为闭合面的外法线方向. 当闭合面中有源时,矢量通过该闭合面的通量一定为正; 当闭合面中有源 矢量通过该闭合面的通量一定为正 当闭合面中有洞 当闭合面中有洞时,矢量通过该闭合面的通量一定为负. 矢量通过该闭合面的通量一定为负 源称为正源,洞称为负源. 称为正源, 称为负源. 正源 负源 可见通量可为正,或为负,或为零 可见通量可为正,或为负,或为零.
∫
V
[Q ( × × P ) P ( × × Q ]dV = ∫ [ P × × Q Q × × P ] dS
S
此式称为矢量第二格林定理. 此式称为矢量第二格林定理. 矢量第二格林定理 无论何种格林定理,都是说明区域 中的场与边界 无论何种格林定理,都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 区域中场的求解问题转变为 关系.因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 关系.因此,利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题. 的求解问题. 此外,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系. 此外,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系. 两种标量场或矢量场之间应该满足的关系 因此,如果已知其中一种场的分布特性, 因此,如果已知其中一种场的分布特性,即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性(例如电场和磁场). 场的分布特性(例如电场和磁场). 格林定理广泛地用于电磁理论. 格林定理广泛地用于电磁理论.
方向导数和梯度
方向导数和梯度
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
本节的研究目的
研究标量场的变化率。最大变化率？
本节的研究内容
一、方向导数 二、梯度
一、方向导数
1. 方向导数的定义
l
P
P0
l
u lim u lim u(P) u(P0 )
l l PP0 P0
P P0
l
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
一、方向导数
方向导数：表示标量场中 u(P)在给定点处沿某一方
向 l 的变化率。
u u cos u cos u cos
l x
y
z
函数 u(P) 从给定点出发有无穷多个变化方向，其 中哪个方向的变化率最大？
最大变化率是多少？
一、方向导数
u u cos u cos u cos
l x
y
z
令：
g
u x
ex
u y
ey
u z
ez
el
ex
cos
ey
cos
ez
cos
u l
g
el
g el cos(g, el ) g cos(g, el )
cos(g, el ) 1
u g 方向导数取得最大值
l
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
1. 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐导数；
3. 梯度的方向为该点方向导数最大的方向；
二、梯度
gradu
u x
ex
u y
ey
u z
ez
梯度小结：
4. 梯度描述标量场中任一点函数值在该点附近增 减性质的量，沿着梯度的方向，函数值增加或 减小得最快；
标量场梯度的定义与计算
d/
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯
弟为最大的方向导数。
思考：什么情况下，方向导数为零呢？
sd 为零，即等值面上任意线段上
的方向导数为零。
b・梯度定义
定义：标量场中某点梯度的大小为该
点最大的方向导数，其方向为该点所
在等值面的法线方向。
d。
数学表达式:
grad^
=
八a dn n
C.梯度的计算:
挪 d，dn d， 八
梯度
al
u —=---- cos
解：根据梯度计算公式
疽卵—ax +云 ^^y az ox 8y 8z
=6 xyz & + 3x2 z z(ay + 9 x2
yz 位
, grad I 尹=12% + 3 句 + 18ciz
在不同的坐标系中，梯度的计算公式:
在直角坐标系中: 在柱坐标系中:
海八 海八 海八
v^=—a +—a y +—a ox Sy
W牛r or
Hale Waihona Puke Sz也"淨z在球坐标系中:
w=迎晶+
SR R
海a+
sin先 a
+普 +寿 在任意正交曲线坐标系中：坐标变量（"i，"2,"3），拉梅系数（如h2,h3） ou2 a 2 h ou3 a 3 h h Ou
小结：
1.标量场的等值面
2.标量场梯度的定义grad^ =翌％ dn
3. 标量场梯度的计算w=普&
+ + h % a 2 h m a 3
学a
， d l d n d / d n
在直d 角坐= 标gr系ad中，：- d挪l =g皿斜+灯
电动力学0.2-0.5 标量场的方向导数和梯度
个标量场来表示一个矢量场。 个标量场来表示一个矢量场。
v 在矢量场 F中，如果一条曲线在空间各点都始终与矢 v v 相切， 的方向， 量 F 相切，而曲线切线方向总取为矢量 F 的方向，则 v r 这条曲线称为矢量场 F 的矢量线
矢量线的密度与矢量场的模成正比， 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单 位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
§0.3 矢量场的通量和散度
1 矢量线
v v 一般是空间坐标和时间的函数， 矢量场 F 一般是空间坐标和时间的函数， 可表示为 F v v v v v v v v v F = F ( r , t ) = ex Fx ( r , t ) + ey Fy ( r , t ) + ez Fz ( r , t ) ，即可以用三
v v F (M ) < F ( P)
P
M r F ( P)
F(M)
C
矢量场的通量 2 矢量场的通量
v v 在矢量场 F 中，任取一面元矢量dS，定 v v 义矢量F 通过面元矢量dS 的通量为
r r dΦ = F ⋅ dS
r en r dS
θ
r F
通过曲面 S 的通量为 Φ = ∫S
r r F ⋅ dS
r en θ
r l
P2
P0
标量场 ϕ ( P ) 在某一方向上的方向导数等于梯度在该方向上的投
r 影，即 ∂ϕ = ∇ ϕ ⋅ e l . ∂l
证明： 证明： ∂ϕ = ∂ϕ cos α + ∂ϕ cos β + ∂ϕ cos γ
∂l ∂x ∂y ∂z v ∂ϕ v ∂ϕ v ∂ϕ v v v = ex + ey + ez ⋅ e x cos α + e y cos β + ez cos γ ∂x ∂y ∂z r = ∇ ϕ ⋅ el
方向导数及梯度参考资料
1.3 标量场的梯度（Gradient of a Scalar Field
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
4/8/2020
26
§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
4/8/2020
27
§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
4/8/2020
14
而 所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y
标量场和矢量场
确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了一个场。 ? 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
? 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 例如 ：流速场、重力场、电场、磁场等。
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§1.4 矢量的通量和散度
? 引入哈密顿算符 ? （矢性微分算符）
直角坐标内，
? ?e ? ?e ? ? ? e x ?x y ?y z ?z
则有: div ? ? ?
A
A
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§1.4 矢量的通量和散度
b.圆柱坐标
? ?A?
1?
? ??
(?A ? ) ?
1
?A? (
?r ?l
M
?
?r
? e?l
r 的梯度为
grad r
? ? r ? 1 (xe? ? ye? ? ze? )
rx
y
z
点M处的坐标为x=1, y=0, z=1, r ? x2 ? y2 ? z2 ? 2
所以r在M点处的梯度为
gradr ? ? r ?
1 e?x ? 2
1 2
e?z
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14
而 所以
RR
(2) ? ( 1 ) ? ? R ? ? e?R
R
R3
R2
(3) ? f (R) ? ?? ' f (R)
说明：
?? ?e? ?e ??e
?
' ? ?x?
x
e
??y?
y
电磁波与电磁场——第一章
• 令
为矢量G的三个坐标分量，即
• 矢量l的单位矢量 • 标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
• 矢量G称为标量场Φ的梯度
• • • •
标量场Φ的梯度是一个矢量场 由 可知，当 的方向与梯度方向 一致时，方向导数 取最大值。 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大 方向导数，梯度的方向为该点具有最大方 向导数的方向。
1-2 矢量的代数运算
• • • • 矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同时 矢量加法：平行四边形法则 矢量减法：三角形法则 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
• 矢量的加法运算，结合律和交换率 • 结合律：（A+B）+C=A+（B+C） • 交换律：A+B=B+A
1-3 矢量的标积和矢积
• 标积（点积或内积），以点号“•”表示
直角坐标系下散度表达式的推导
• 不失一般性，令包围P点的微体积V 为一 直平行六面体，如图所示。则
由此可知，穿出前、后两侧面
的净通量值为
• 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并 合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量 为
• 根据定义，则得到直角坐标系中的散 度 表式为
• 散度运算规则
例： 已知点电荷q所产生的电场强度
• 标量场的等值线（面）
• 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
• 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标 量场自该点沿某一方向上的变化率
• 例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导 数 定义为
——拉普拉斯算符
标量场函数的梯度
。
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
4
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
u lim u(M) u(M0 )
l M0
MMo
l
= lim u MMo l
du dl
M0
方向导数：标量场函数在一点M0 处 沿某一方向 l 对距离的变化率
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
工程电磁场
王泽 忠
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
1
工程电磁场
主讲人： 王泽 忠
1.3 标量场的方向导数和梯 度
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
2
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
1．方向导数的定义
要了解u M 沿任意方向的变化情况
需要计算u M 沿任意方向的导数
5
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠沿 l 方向是增加的
u 越大，增加得越快
l
u
当
l
Mo 0 ，沿 l 方向是减小的
u 越大，减小得越快 l
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
6
工程电磁场
主讲人： 王泽
忠
u u u u
偏导数 x , y , z 是 l 的特例：
当 l 指向 x 轴正方向时， u u
M0
cos u y
M0
cos u z
M0
1 8 ／4 ／ 25
华北电力大学电气与电子工程学
9
工程电磁场
主讲人： 王泽
《标量场的梯度》PPT课件
1.3 标量场的梯度
一、方向导数
1.方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值
u(r )
l
沿特定方向变化的规律。
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
方向导数的物理意义
M
M0 l
ul |M0是标量场u(M )在点M0处沿l 方向对距离的变化率
1) ul |M0 >0，标量场u在点M0沿l 方向是增加的；
l x y z
( x
ex
y
ey
z
ez
)
u ex u e y u ez u x y z u gradu
标量场u的梯度，
用 gradu 表示
u gradu el | gradu || el | cos | el |1 u | gradu | cos
l
l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，
r
从源点指向场点的矢量为
o
y
R r r
x
例3 求R,R, 1 , 1 ,f (R),f (R) RR
表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
R | r r | ( x x)2 ( y y)2 (z z)2
R R R
10
R ex x ey y ez z
R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2
设 l 方向的方向余弦是 cos, cos , cos ，即
x cos y cos z cos
l
l
l
则方向导数的计算公式为
u u cos u cos u cos
2
l x
y
z
一、方向导数
1.方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值
u(r )
l
沿特定方向变化的规律。
u lim u(M ) u(M0 )
l l0 M0
l
方向导数的物理意义
M
M0 l
ul |M0是标量场u(M )在点M0处沿l 方向对距离的变化率
1) ul |M0 >0，标量场u在点M0沿l 方向是增加的；
l x y z
( x
ex
y
ey
z
ez
)
u ex u e y u ez u x y z u gradu
标量场u的梯度，
用 gradu 表示
u gradu el | gradu || el | cos | el |1 u | gradu | cos
l
l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个，
r
从源点指向场点的矢量为
o
y
R r r
x
例3 求R,R, 1 , 1 ,f (R),f (R) RR
表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
R | r r | ( x x)2 ( y y)2 (z z)2
R R R
10
R ex x ey y ez z
R | r r | (x x)2 ( y y)2 (z z)2
设 l 方向的方向余弦是 cos, cos , cos ，即
x cos y cos z cos
l
l
l
则方向导数的计算公式为
u u cos u cos u cos
2
l x
y
z
二、标量场及其梯度
e12 =
于是， 处沿R 方向上的方向导数为： 于是，f 在P1 处沿 12 方向上的方向导数为：
f R12 == 4(2 e x e y + e z )
4e + 4e + 7e 9
x y
z
=
4 [2 × (4) + (1) × 4 + 1× 7] = 20 9 9
标量场(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度 在 点的梯度(gradient) 定义为： 定义为： 标量场 点的梯度
grad f = f = (
因此
f f f ex + e y + ez ) x y z
df = f d l
(2)方向导数与梯度的关系 (2)方向导数与梯度的关系 偏导数
f f f 分别叫做 方向上的方向导数， 、 、 分别叫做 在x、y、z方向上的方向导数，用梯度表示为 方向上的方向导数 x y z
V f (r) r o
f=2
标量场--等值线( 标量场--等值线(面)。 --等值线 其方程为
f = -1
f=0
f=3
f ( x , y , z ) = const
图1-9 标量场的一组等值线
作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。 作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。
即有
f f = x x′
f f = y y′ , f f = z z′
同理可得 证毕。 证毕。
相对位置矢量R 的模R 相对位置矢量 = rr′的模 = |rr′| 的模
R = R = eR R
e R 1 = 3 = R R R R2
在直角坐标中
R = ( x x ′) e x + ( y y ′) e y + ( z z ′) e z
标量场的方向导数和梯度
y
方向导数 4
4 标量场的梯度
由于从一点出发，有无穷多个方向， 即标量场 (P)在一点处的方向导数有无穷 多个，在这无穷多个方向中方向导数在什 么方向上最大？
4.1 梯度(gradient)的定义
c2 c1
r en
P1 r
l
P2
P0
lim ( p) ( p0 )
l l0 P0
l
标量场 (P)在点P0处的梯度是一个矢量，其方向 为函数 (P)在点P0处方向导数取得最大值的方向，其 模等于这个最大的方向导数，记作
rr
向外通过闭合曲面S 的通量为 ÑS F dS
➢
面元矢量
v dS
evn
dS
➢
v F
cos
dS
，以外法线方向为正
s
9
2 通量的物理意义
矢量场通过闭合曲面的通量的三种可能结果
0 正通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线穿出
0 负通量源
通过闭合曲面有 净的矢量线进入
0 无通量源
进入与穿出闭合曲 面的矢量线相等
Vi 0
Vi
12
Ñ 可得：
的矢量线
➢ 矢量线的密度与矢量场的模成正比，即单
位面积上矢量线的根数与矢量场的模对应
v F
M
Fv P
M
F P
P
F M
C
8
2 矢量场的通量
在矢量场
v F
中，任取一面元矢量dSv，定
F
义矢量Fv通过面元矢量dSv的通量为
en
d F dS
垂直通过某一面积的量
dS
rr
通过曲面S 的通量为 S F dS
闭合曲面的通量从的通量源的关系。 10
矢量分析与场论（节选）
⽮量分析与场论（节选）2.2 标量场的⽅向导数和梯度2.2.1 标量场的⽅向导数在标量场中，在 P 点沿 l ⽅向的变化率定义为该标量场在 P 点沿 l ⽅向的⽅向导数，记为∂u∂l P =lim Δl →0u (x +Δx ,y +Δy ,z +Δz )−u (x ,y ,z )Δl =∂u ∂x cos α+∂u ∂y cos β+∂u ∂z cos γ即需要两个东西：函数和⽅向→l =→e x cos α+→e y cos β+→e z cos γ当然，与普通函数的导数类似，⽅向导数也不是百分之百存在的，需要函数满⾜在某点处可微，才能计算出该函数在该点的⽅向导数。
⾄于其物理含义，这⾥采⽤最常⽤的下⼭图来表⽰。
简单将上图看作是⼀座⼭的模型，我们处在⼭上的某⼀点处，需要⾛到⼭下。
理论上来说，这座⼭的表⾯是可以通过⼀个函数的描述的（虽然想要找到这个函数可能很难），⽽这个函数可以在不同的⽅向上都确定出⼀个⽅向导数，这就好⽐于如果我们想下⼭，道路并不是唯⼀的，⽽是可以沿任何⽅向移动。
区别在于有些⽅向可以让我们下⼭速度更快，有些⽅向让我们下⼭速度更慢，有些⽅向甚⾄引导我们往⼭顶⾛（也可以理解为下⼭速度时负的）。
在这⾥，速度的值就是⽅向导数的直观理解。
2.2.2 标量场的梯度梯度与⽅向导数是有本质区别的，梯度其实是⼀个向量，其定义为：在空间⼀给定点，⽮量 A 的⼤⼩等于标量函数 u 在该点的最⼤⽅向的⽅向导数值，⽮量 A 的⽅向指向使标量函数 u 的值增加最快的⽅向。
这个⽮量 A 就被定义为标量场 u(x,y,z) 的梯度(gradient)，记为 gradu=AA 的具体表⽰可以参考"8 梯度的产⽣"梯度的基本公式：∇(au )=a ∇u ,a 为常数∇(u ±v )=∇u ±∇v∇(uv )=u ∇v +v ∇u∇uv =1v 2(v ∇u −u ∇v )很显然，算⼦ ∇同时具有类似于⽮量和微分的性质，所以常将其称作⽮量微分算⼦。
标量场及其梯度
推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l 方向的方向导数，则应表为
f (f )l f el l
式中，el 是l 的单位矢量。 （3）梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数；
• 梯度的大小为该点标量函数 f 的最大变化率，即该点最大方向导数； • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函
12标量场及其梯度方向导数表示场沿某方向的空间变化率cqu3梯度的物理意义梯度的方向为该点最大方向导数的方向即与等值线面相垂直的方向它指向函数的增加方向
第二节
1、标量场定义及图示
标量场及其梯度
V
对于区域V内的任意一点r，若有某种物理量的一个确定 的数值或标量ƒ(r)与之对应，我们就称这个标量函数ƒ(r)是定 义于V内的标量场。 标量场有两种： 与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r)表示； 与时间有关的时变标量场，用ƒ(r , t)表示。 形象描绘场分布的工具--场线
f=1
f (r) r
o
f=2
标量场--等值线(面)。 其方程为
f = -1
f=0
f=3
f ( x , y , z ) const
图1-9 标量场的一组等值线
作图原则：任意两相邻等值面间标量场的差值保持为一常数。
2、梯度 (1)梯度的导出
z
dl ƒ
ƒ+dƒ (x+dx , y+dy , z+dz)
e12
ห้องสมุดไป่ตู้
于是，f 在P1 处沿R12 方向上的方向导数为：
f R12 f
P1 P1
e
12
4(2 e x e y e z )
标量场的方向导数和梯度
l M x
y
z
3
1.2.2 标量场旳梯度
NM n
l
●P
在P点沿哪个方向变化率最快？
由方向导数旳定义可知：沿等值面 法线n旳方向导数最大。故定义梯度
grad
n
en
x
ex
y
ey
z
ez
其中， 称为哈密顿算子。
大小：最大变化率
方向：最大变化率旳方向即过该点旳等值面法线方向
梯度旳计算公式推导如下：
【例】求标量场 u x2 2 y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点 O(0, 0, 0) 与点 A(1,1,1)处梯度旳大小和方向余弦。在哪点上旳梯度 为0？
【解】：标量场旳梯度为：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
(2x y 3)ex (4 y x 2)ey (6z 6)ez
第一章 矢量分析
1.2 标量场旳方向导数和梯度
主要内容
❖ 方向导数 ❖ 梯度
学习目旳
❖ 掌握方向导数、梯度旳物理含义及计算措施 ❖ 掌握方向导数与梯度之间旳区别与联络
1.2.1 标量场旳方向导数
标量函数 在M0处沿l方向旳方向导
●
M0
●
l 数为
M
lim (M ) (M0 )
l M0
M M0
含义：表达标量场 在点M0处沿l方向旳变化规律。
h3u3
eu 3
q 对于距离矢量 R r r 有下列常用结论：
R
q'
r
r' O
总结：
(1)R
R R
Ro
eR
1 R Ro (2)
R R3 R2
标量场的基本定理
标量场的梯度1.方向导数：研究方向导数是为了研究在给定时刻标量场（标量函数）随空间坐标的变化情况。
标量函数),,(z y x u 在某点处的方向导数定义为：设有一个标量场),,(z y x u （标量函数），从场中某点M 位移l d到邻近的另一点时函数值从u 变为du u +，则比值dldu就是标量场函数在M 点处的方向导数，如图所示：在上图中，设u 和du u +是相差很小的两个等值面，且0>du 。
M 点位于u 等值面上，沿两个不同的路径位移到等值面上的P 点和Q 点。
其中，与等值面的法线方向n e平行。
很< ，所以，dl du dn du >。
若设方向MQ 的单位矢量为l e ，且n e 与l e之间夹角为θ，则有：l n e e dndu dn du dl dn dn du dl du⋅==⋅=θcos 2.定义矢量n e dndu gradu=为等值面u 在M 点处的梯度。
显然：等值面上M 点处，沿任意方向l a的方向导数θcos dn du dl du =，式中dndu 是该点处u 的梯度大小，或者说dn du 是M 点处dl du 的最大值，n e dndu gradu=的方向就是该点处u 变化最快的方向；等值面上M 点处，沿任意方向l e的方向导数l n e e dn du dl du ⋅=，式中dndu 是该点处u 的梯度大小，dl du 可以写成l e gradu dldu⋅=)(。
所以，标量场u 中某点处的梯度的“大小”就是在该点处沿各个方向的方向导数的最大值，而其“方向”与该点处等值面的法线方向平行，并指向函数u 值增大的方向。
3.梯度的计算公式：由l e gradu dldu⋅=)(可见，l d gradu du ⋅=)( 在直角坐标系中，注意到dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=，而dz e dy e dx e l d z y x++=，可以设计一个矢量算符grad ，使得ld gradu du⋅=)(du+0>du不难看出，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇z e y e xe z y x这个就是著名的哈密顿算符(Hamilton 算符)，读做[]del ，它兼有矢量运算与微分运算的双重作用，常被称为矢量微分算符。
22数量场的方向导数和梯度概论
2.2 标量场的方向导数和梯度
一、方向导数
1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应 用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的 情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
| lim u
u
l M l0 l
l M（r＋ΔL）
M（r）
二、标量场的梯度
1、定义：在场的某一点上，场沿不同方向上 变化率的大小（方向性导数）是不同的， 必然存在一个变化最大的方向。
场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其 数值为标量场的梯度值。
2、梯度的定义式：
gradu u nˆ u | l max
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
2）在柱面坐标系中：
u
u r
er
1 r
u
e
u z
ez
3）在球面坐标系中：
u
u rerຫໍສະໝຸດ ur e1
r sin
u
e
3、 梯度的性质
1） 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的 方向表示该点场变化最大（增大）的 方向，其数值表示变化最大方向上场的空 间变化率。
2） 标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
c 0
cuuvcuu v uv uv vu f u f ' uu
☻ 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，
这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研 究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。
一、方向导数
1、定义：在实际应用中不仅需要宏观上了解场在空间 的数值，还需要知道场在不同方向上场变化的情况。应 用方向性导数可以描述标量场在空间某个方向上变化的 情况。
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率。
| lim u
u
l M l0 l
l M（r＋ΔL）
M（r）
二、标量场的梯度
1、定义：在场的某一点上，场沿不同方向上 变化率的大小（方向性导数）是不同的， 必然存在一个变化最大的方向。
场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其 数值为标量场的梯度值。
2、梯度的定义式：
gradu u nˆ u | l max
3、梯度的运算
1）在直角坐标系中：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
2）在柱面坐标系中：
u
u r
er
1 r
u
e
u z
ez
3）在球面坐标系中：
u
u rerຫໍສະໝຸດ ur e1
r sin
u
e
3、 梯度的性质
1） 标量场的梯度是矢量场，它在空间某点
的 方向表示该点场变化最大（增大）的 方向，其数值表示变化最大方向上场的空 间变化率。
2） 标量场在某个方向上的方向导数，是梯
度在该方向上的投影。
3）标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
4、梯度运算的基本公式
c 0
cuuvcuu v uv uv vu f u f ' uu
☻ 标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，
这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研 究，或者说标量场可以通过矢量场的来研究。
1.4标量场的梯度
u=
所以
q 4πεr
q 1 q r q ∇u = ∇ ∇ = − = 3 4πε r 4πεr 4πε r
通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。 的等值面方程。 【例题3】求数量场 =(x+y)2-z 通过点 例题 】求数量场φ 的等值面方程 【解】点M的坐标是 x0=1, y0=0, z0=1，则该点的数量场值为 的坐标是 ， φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为 。
2 2
在点M处沿 方向的方向导数 在点 处沿l方向的方向导数 处沿
∂ϕ ∂l
M
1 2 2 2 2 = ⋅1 + ⋅1 − ⋅ = 3 3 3 4 3
是动点M(x, y, z)的矢量 的矢量r=xex+yey+zez 【例题5】设标量函数 是动点 例题 】设标量函数r是动点 的矢量 的模， 的模，即
u ( x, y , z ) = C
常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面， 常数 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形 取一系列不同的值 成等值面族，等值面族充满整个场空间， 成等值面族，等值面族充满整个场空间，且不同的等值面互不相 交。 二、方向导数
1、方向导数的定义 考虑标量场中两个等值面 u , u + ∆u 标量函数 u( x, y, z)沿给定方向 el 的变化率： 的变化率： u + ∆u
∂r ∂l
= ∇r ⋅ l °
M
而
l 1 2 2 l ° = = ex + e y + ez l 3 3 3
所以
∂r 1 1 0 2 1 2 1 = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∂l M 2 3 2 3 2 3 2
1.3 标量场的梯度
10
R | r r | ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2
R x x x R
R y y y R
R
R z z z R
R R R
R R
1 1 R r r 2 R 3 R R R | r r |3
u u u u e x ey ez x y z u gradu
u gradu e l | gradu || el | cos l
标量场u的梯度， 用 gradu表示
| el | 1
u | gradu | cos l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个， 其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
u 1 6)( ) 2 (vu uv) v v
3.梯度的重要性质
u 0
7
例1
三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的
等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变 化率；
指向地势升高的方向。
图1
三维高度场的梯度
8
例2
电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的
等位线垂直；
数值等于该点的最大方向导数；
1) ▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时 才代表一种运算。 u A A
2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。
4
u u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) l x y z ( ex ey ez ) x y z
指向电位增加的方向。
图2
电位场的梯度
9
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7
7
7
在点 A(1,1,1) 处方向余弦 cos 2 , cos 1 , cos 0
5
5
若令梯度等于0，即满足方程
所以
u (2x y 3)ex (4y x 2)ey (6z 6)ez 0
2x y 3 0 4y x2 0 6z 6 0
解得
x 2
y 1
z 1
故在点(2,1,1) 处梯度为0
推论：
（1）
0 l M0
表示沿l方向增加
（2） （3）
0 表示沿l方向减少
l M0
0 表示沿l方向不变
l M0
方向导数计算公式：
cos cos cos
l M0 x
y
z
【例】求函数 3x2 y y3z2 在点M（1，-2，-1）处沿
矢量 l yzex xzey xyez 方向的方向导数。
【解】：标量场的梯度为：
u
u x
ex
u y
ey
u z
ez
(2x y 3)ex (4 y x 2)ey (6z 6)ez
所以
u (0,0,0) 3ex 2ey 6ez
u (1,1,1) 6ex 3ey
在点 O(0,0,0)处方向余弦
cos 3 ,cos 2 ,cos 6
h3u3
eu 3
q 对于距离矢量 R r r 有以下常用结论：
R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱq'
r
r' O
总结：
(1)R
R R
Ro
eR
(2)
1 R
R R3
Ro R2
（1）为矢量，表示过某点的变化率最大，变化最快。 （2）方向垂直于过某点的等值面，即沿法线方向。
（3） 沿某方向l的方向导数为梯度在该方向l上的投影。
【例】求标量场 u x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z在点 O(0, 0, 0) 与点 A(1,1,1)处梯度的大小和方向余弦。在哪点上的梯度 为0？
l
故当G与l方向一致时方向导数最大即为梯度，且
G
x
ex
y
ey
z
ez
方向导数与梯度的关系：
lo
l
在不同的坐标系中，梯度的计算公式：
在直角坐标系中：
x
ex
y
ey
z
ez
在圆柱坐标系中：
r er
r
e
z
ez
在球坐标系中：
r
er
r
e
r sin
e
在任意正交曲线坐标系中：
h1u1
eu1
h2u2
eu 2
1 2
【解】 方法二：利用公式直接求解
r r cos r cos r cos
l M0 x
y
z
cos lx 1 , cos ly 2 , cos lz 2
l3
l3
l3
r x , r y , r z , r 2 x r y r z r
r x 1 y 2 z 2 1 ,
第一章 矢量分析
1.2 标量场的方向导数和梯度
主要内容
❖ 方向导数 ❖ 梯度
学习目的
❖ 掌握方向导数、梯度的物理含义及计算方法 ❖ 掌握方向导数与梯度之间的区别与联系
1.2.1 标量场的方向导数
标量函数 在M0处沿l方向的方向导
●
M0
●
l
M
数为
lim (M ) (M0)
l M0
M M0
含义：表示标量场 在点M0处沿l方向的变化规律。
l M r 3 r 3 r 3 M 2
总结
❖ 主要内容
方向导数 ①
cos cos cos
l M x
y
z
②
l
M
lo
(
x
ex
y
ey
z
ez ) (cos ex
cos ey
cos ez )
cos cos cos
x
y
z
方向导数与梯度 的关系
梯度（矢量）
grad
x
ex
y
ey
z
ez
作业：P20 1-5、1-6
令方向矢量
l xex yey zez
其单位矢量为
lo
l l
cos ex cos ey cos ez
令某一常矢量
G
x
ex
y
ey
z
ez
Glo
( x
ex
y
ey
z
ez ) (cos ex
cos ey
cos
ez )
又因为
cos cos cos
x
y
z
l
G lo G lo cos
【解】矢量l在点M处的值为
l M 2ex ey 2ez
其方向余弦为
cos lx 2 , cos ly 1 , cos lz 2
l3
l3
l3
6xy 12, 3x2 3y2z2 9
x M
M
y M
M
2y3z 16
z M
M
故 cos cos cos 17
l M x
y
z
3
1.2.2 标量场的梯度
NM n
l
●P
在P点沿哪个方向变化率最快？
由方向导数的定义可知：沿等值面 法线n的方向导数最大。故定义梯度
grad
n
en
x
ex
y
ey
z
ez
其中， 称为哈密顿算子。
大小：最大变化率
方向：最大变化率的方向即过该点的等值面法线方向
梯度的计算公式推导如下：
【例1-5】 求r在M（1,0,1）处沿l ex 2ey 2ez 方向的方向导数。 【解】 方法一：利用梯度间接求解
r r lo l M
r
ro
1 r
( xex
yey
zez )
M点处的梯度r M
12（ex ez）
lo
l l
1 3
(ex
2ey
2ez
)
r
l M
12（ex ez） 13 (ex 2ey 2ez )