不等式证明的基本方法专题
不等式证明的基本方法
4． 放缩法是在证明不等式或变形中， 将条件或结论或变换中的 式子放大或缩小进行求证的方法．放缩时要看准目标，做到 有的放矢， 注意放缩适度． 放缩法是证明不等式的常用技巧， 有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，要控制难 度．
比较法
(2010 年高考江苏卷试题)设 a、b 是非负实数，求证：a3 ＋b3≥ ab(a2＋b2)． 【思路分析】 先作差，再用不等式的基本性质解答．
不等式证明的基本方法
1．比较法是证明不等式最常用最基本的方法，有两种： (1)求差法：a＞b⇔a－b＞0； a (2)求商法：a＞b＞0⇔b>1，(b>0)．
2．分析法、综合法是证明数学问题的两大最基本的方法． 综合法是以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直 到推出问题的结论为止，简而言之，就是“由因导果”． 分析法是从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐 步上溯，直到使结论成立的条件与已知条件或已知事实吻合 为止，简而言之，就是“执果索因”．
分析法与综合法
如果 a＞0，b＞0，求证：a3＋b3≥a2b＋ab2. 【证法一】 (用分析法) 要证 a3＋b3≥a2b＋ab2， 只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)≥ab(a＋b) ∵a＞0，b＞0，有 a＋b＞0，故只需证 a2－ab＋b2≥ab， 只需证(a－b)2≥0 显然(a－b)2≥0 成立，以上各步均可逆， ∴a3＋b3≥a2b＋ab2
1．设 a>0，a≠1,0<x<1.求证：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
证明：方法一：(平方后作差)
2 log2 (1 － x ) － log a a(1＋x)
＝[loga(1－x)＋loga(1＋x)]· [loga(1－x)－loga(1＋x)]＝ 1－x loga(1－x )· loga . 1＋x
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
证明基本不等式的方法
证明基本不等式的方法基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。
在证明基本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：1.数学归纳法：数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。
首先，我们需要证明当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。
接着，我们假设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。
最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
2.递推法：递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。
我们首先找到一个较小的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。
然后，我们假设当$n=k$时不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。
最后，根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。
3.反证法：反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。
我们首先假设不等式不成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。
接着，我们通过一系列的推导和推理，得出矛盾的结论。
这表明我们的假设是错误的，即不等式是成立的。
4.变量替换法：变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。
我们首先对不等式进行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。
然后，通过对这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。
5.辅助不等式法：辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。
我们首先找到一个与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。
然后，我们通过对这个辅助不等式的推导和推理，结合原不等式的特点，得出所需的结论。
无论采用哪种方法，证明基本不等式的关键在于用恰当的方法将其转化为另一个更简单或更容易证明的不等式。
此外，在证明过程中需要注意推导的合理性和严密性，关注每一步的符号变化和不等式的严格性，避免出现错误的结论。
在证明过程中，也可以适当地运用数学知识和技巧，如代数运算、函数性质和数列性质等，使证明更加简洁和高效。
证明不等式的八种方法
1 Math Part 比较法
证明：
∴a-1≥1，b-1≥1
ab-a-b =a(b-1)-b
∴(a-1)(b-1)≥1 例题：已知a≥2，b≥即2，(a求-1)证(b：-1)a-b1≥≥a0+b
6 Math Part 构造法
函数构造法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 要证明的不等式为： ab≥a+b 移项得 ab-a-b≥0 即(b-1)a-b≥0 构造函数 f(x)=(b-1)x-b (x≥2)
f(x)是关于x的一次函数 其中一次项系数b-1>0 ∴f(x)为定义域上的增函数 ∴对于任意的x∈[2,+∞)都有 f(x)≥f(2)=(b-1)×2-b=b-2≥0 ∴(b-1)a-b≥0 所以原命题成立 证毕
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
不等式的证明
不等式的证明最新考纲 通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．知 识 梳 理1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.2.不等式的证明方法(1)比较法①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a <b ；a －b ＝0⇔a ＝b . ②作商法(a >0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a <b ；a b＝1⇔a ＝b .(2)综合法与分析法①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.[微点提醒]1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( )(3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( )(4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用.( )解析(1)作商比较法是商与1的大小比较．(3)分析法是从结论出发，寻找结论成立的充分条件．(4)应用反证法时，“反设”可以作为推理的条件应用．答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(选修4－5P23习题2.1T1改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________.解析2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.答案M≥N3.(选修4－5P25T3改编)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则1a ＋1b＋1c的最小值为________.解析把a＋b＋c＝1代入1a ＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫ba＋ab＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时等号成立． 答案 94.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2(x >1)，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；因为ab ≠0，b a 与a b同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知，|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上①③④正确．答案 C5.(2017·全国Ⅱ卷)已知a >0，b >0，且a 3＋b 3＝2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4；(2)a ＋b ≤2.证明 (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 4＋b 4－2a 2b 2)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3(a＋b)24(a＋b)＝2＋3(a＋b)34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.考点一比较法证明不等式【例1】设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥ab(a＋b). 证明因为a2＋b2－ab(a＋b)＝(a2－a ab)＋(b2－b ab)＝a a(a－b)＋b b(b－a)＝(a－b)(a a－b b)＝(a 12－b12)(a32－b32).因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a 12－b12与a32－b32同号，所以(a 12－b12)(a32－b32)≥0，所以a2＋b2≥ab(a＋b).规律方法比较法证明不等式的方法与步骤1．作差比较法：作差、变形、判号、下结论．2．作商比较法：作商、变形、判断、下结论．提醒(1)当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法．(2)当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法．【训练1】(1)(2019·锦州模拟)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.①求集合M；②若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.(2)若a >b >1，证明：a ＋1a >b ＋1b. (1)解 ①由|2x －1|＜1得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1.所以M ＝{x |0＜x ＜1}.②由①和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b .(2)证明 a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a >b >1得ab >1，a －b >0，所以(a －b )(ab －1)ab>0. 即a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b >0， 所以a ＋1a >b ＋1b. 考点二 综合法证明不等式【例2】 (1)已知a ，b ，c ∈R，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2；(2)已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z. 证明 (1)∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.又∵a ，b ，c 互不相等，∴a 4＋b 4＋c 4>a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.(2)因为x ，y ，z 都为正数，所以x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z①，同理可得yxz＋zyx≥2x②，z xy ＋xyz≥2y③，当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立. 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得xyz ＋yzx＋zxy≥1x＋1y＋1z.规律方法 1.综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件．【训练2】已知实数a，b，c满足a>0，b>0，c>0，且abc＝1.(1)证明：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8；(2)证明：a＋b＋c≤1a＋1b＋1c.证明(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8.(2)1a ＋1b＋1c＝ab＋bc＋ac，ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2c，相加得a＋b＋c≤1a ＋1b＋1c.考点三分析法证明不等式【例3】已知函数f(x)＝|x－1|.(1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |<1，|b |<1，且a ≠0，求证：f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . (1)解 由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6，令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2<x <2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3；当－2<x <2时，4≥6不成立，此时无解；当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞).(2)证明 要证f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 只需证|ab －1|>|b －a |，只需证(ab －1)2>(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)(b 2－1)>0，从而原不等式成立. 规律方法 1.当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．2．分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为： Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→得到一个明显成立的条件【训练3】 已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a .证明 由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，知a >0，c <0. 要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2.∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2，只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0.∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0，∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立.[思维升华]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的根本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．[易错防范]在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.基础巩固题组(建议用时：60分钟)1.设a ，b >0且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252. 证明 因为(12＋12)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab 2≥25⎝⎛⎭⎪⎫因为ab ≤14. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2≥252.2.设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证1a ＋1b ＋1ab≥8. 证明 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ， 即ab ≤12，∴1ab≥4， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1ab ≥2ab ·21ab ＋1ab ≥4＋4＝8. 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立， ∴1a ＋1b ＋1ab≥8. 3.(2019·大理一模)已知函数f (x )＝|x |＋|x －3|.(1)解关于x 的不等式f (x )－5≥x .(2)设m ，n ∈{y |y ＝f (x )}，试比较mn ＋4与2(m ＋n )的大小.解 (1)f (x )＝|x |＋|x －3|＝⎩⎨⎧3－2x ，x <0，3，0≤x ≤3，2x －3，x >3.f (x )－5≥x ，即⎩⎨⎧x <0，3－2x ≥x ＋5或⎩⎨⎧0≤x ≤3，3≥x ＋5或⎩⎨⎧x >3，2x －3≥x ＋5，解得x ≤－23或x ∈∅或x ≥8. 所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[8，＋∞). (2)由(1)易知f (x )≥3，所以m ≥3，n ≥3.由于2(m ＋n )－(mn ＋4)＝2m －mn ＋2n －4＝(m －2)(2－n ).且m ≥3，n ≥3，所以m －2>0，2－n <0，即(m －2)(2－n )<0，所以2(m ＋n )<mn ＋4.4.(2019·郴州质量检测)已知a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)若f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≤10等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧－1<x <5，(x ＋1)－(x －5)≤10或⎩⎨⎧x ≥5，(x ＋1)＋(x －5)≤10，解得－3≤x ≤－1或－1<x <5或5≤x ≤7，∴不等式f (x )≤10的解集为{x |－3≤x ≤7}.(2)证明 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|≥|(x ＋1)－(x －5)|＝6，∴m ＝6，即a ＋b ＋c ＝6.∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，c 2＋b 2≥2cb ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋ac ＋bc )，∴3(a 2＋b 2＋c 2)≥a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 2≥12.当且仅当a ＝b ＝c ＝2时等号成立.5.(2019·沈阳模拟)设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c ). 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3.而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )，即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c时等号成立)证得.所以原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc. 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3.因此要证原不等式成立，只需证明1abc ≥a ＋b ＋c ， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2， b ac ≤ab ＋bc2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立. 所以原不等式成立.6.(2019·百校联盟联考)已知函数f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|的最小值为M .(1)若m ，n ∈[－M ，M ]，求证：2|m ＋n |≤|4＋mn |；(2)若a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋2b ＝M ，求2a ＋1b的最小值. (1)证明 ∵f (x )＝|2x －3|＋|2x －1|≥|2x －3－(2x －1)|＝2，∴M ＝2. 要证明2|m ＋n |≤|4＋mn |，只需证明4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，∵4(m ＋n )2－(4＋mn )2＝4(m 2＋2mn ＋n 2)－(16＋8mn ＋m 2n 2)＝(m 2－4)(4－n 2)， ∵m ，n ∈[－2，2]，∴m 2，n 2∈[0，4]，∴(m 2－4)(4－n 2)≤0，∴4(m ＋n )2－(4＋mn )2≤0，∴4(m ＋n )2≤(4＋mn )2，可得2|m ＋n |≤|4＋mn |.(2)解 由(1)得，a ＋2b ＝2，因为a ，b ∈(0，＋∞)，所以2a ＋1b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b ) ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2＋a b ＋4b a ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋2a b ·4b a ＝4， 当且仅当a ＝1，b ＝12时，等号成立. 所以2a ＋1b的最小值为4. 能力提升题组(建议用时：20分钟)7.已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1.(1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98. (1)解 根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎨⎧x ＋1＋3－x ≤6，－1≤x <3或⎩⎨⎧x ＋1＋(x －3)≤6，x ≥3， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}.(2)证明 函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎨⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8， 又a >0，b >0，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时取等号. 原不等式得证.8.(2015·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.证明 (1)∵a ，b ，c ，d 为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，欲证a ＋b >c ＋d ，只需证明(a ＋b )2>(c ＋d )2， 也就是证明a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ，只需证明ab >cd ，即证ab >cd .由于ab >cd ，因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， ∴a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .∵a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件.。
不等式的性质与证明方法总结
不等式的性质与证明方法总结在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。
不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。
本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、基本不等式性质1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。
这个性质是不等式推理的基础，可以用于简化证明过程。
2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。
这个性质表示在不等式两边同时加上一个相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。
这个性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。
4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。
这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。
二、常见不等式1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。
2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立：(a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p)其中p为大于0的实数。
均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... +bn^2)柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。
基本不等式的20种证明方法
基本不等式的20种证明方法
基本不等式“基本”在哪里？你认为怎样得引入最能体现他的本质？
（1）做差证明
（2）分析法证明
（3）综合法证明
（4）排序不等式
根据排序不等式所说的逆序和小于等于顺序和，便能得到
化简得
（5）函数证明
我们对原函数求导,并令导数等于零。
求的最小值
得出
（5）指数证明
首先这里要用到两个梯形的面积公式。
一个是大家小学都学过的
易得
进而有
进一步有
指取对有
（6）琴生不等式证明
取 y=lnx
由琴生不等式得到
进而有
（7）无字证明（Charles D. Gallant）
（8）无字证明（Doris Schattschneider）
（9）无字证明（Roland H. Eddy）
（10）无字证明（Ayoub B. Ayoub）
（11）无字证明（Sidney H. Kung）
（12）无字证明（Michael K. Brozinsky）
（13）无字证明（Edwin Beckenbach & RichardBellman）
（14）无字证明
（15）无字证明（RBN）
（16）无字证明
进而有
（17）无字证明
进而有
（18）无字证明
有
（19）构造函数证明
由
得
（20）构造期望方差证明
由
得
另外还有向量法，复数法，积分法等，均值定理在数学内外有广泛得运用，不仅可以推广，还可以联系多个领域，一个简单结论证明的背后往往可展示引人人胜的各种思路！。
基本不等式的证明
基本不等式的证明1.代数法定理1：如果,a b R ∈,那么222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
证明: ()2222a b ab a b +-=- 当a b ≠时()2a b ->0当a b =时()2a b -=0，所以 ()2a b -≥0，即 22a b +≥2ab.定理2：如果,0a b >，那么2a b +≥a b =时，等号成立。
证明： 22+≥∴ a b +≥即2a b +≥显然，当且仅当a b =时，2a b +这里,a b 均为正数，我们就称2a b +为,a b ,a b 的几何平均数，因而，这一定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数。
2.几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为。
这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。
由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有。
得到结论：如果，那么（当且仅当a b =时，等号成立） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当a b =时，等号成立）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当a b =时，等号成立）最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时。
其和有最 小值。
现给出这一定理的一种几何解释（图1）.以a b +长的线段为直径作圆，在直径AB 上取点C ，使AC=a ，CB=b .过点C 作垂直于直径AB 的弦'DD ，连接AD 、DB ，易证,那么即CD =这个圆的半径为2a b +，显然，它大于或等于CD ，即 2a b +≥ 其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立. 如果把2a b +看作是正数,a b,a b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.例1. 如果,a b R +∈，试比较2a b +211a b +的大小 解： ,a b R +∈， ∴b a 11+≥ab 12即211a b+≤又22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a =4222ab b a ++≤42222b a b a +++=222b a + ∴2a b +≤a b =时，等号成立而由定理2≤2a b +≥2a b +≥≥211a b+（当且仅当a b =时，等号成立）。
证明不等式的基本方法——比较法
证明不等式的基本方法——比较法不等式的基本方法之一是比较法（或称为递推法）。
该方法的主要思想是通过比较不等式两边的表达式来确定它们的大小关系。
在使用比较法证明不等式时，我们通常需要注意以下几点：1.明确不等式的目标：确定我们想要证明的具体不等式。
2.选择合适的比较对象：我们需要找到一个或多个合适的表达式作为比较对象，通常是在已知不等式中出现过的表达式。
3.建立递推关系：通过比较对象与目标表达式的大小关系，建立一种递推关系。
递推关系可以是通过改变不等式两边的表达式，或是通过引入新的变量来推导出来。
4.递归执行递推关系：通过递归执行建立好的递推关系，最终推导出目标不等式的结果。
下面将通过具体的例子来说明比较法的应用。
例1：证明对于任意正整数n，有$n^2>n$。
解：首先明确不等式的目标是$n^2>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$n^2>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$(n-1)^2=n^2-2n+1<n^2<n(n-1)$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$n^2>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$n^2>n$。
例2：证明对于任意正整数n，有$2^n>n$。
解：首先明确不等式的目标是$2^n>n$。
可以选择$n-1$作为比较对象，因为$2^n>n$与$n>n-1$是等价的。
建立递推关系：假设$n>1$，则有$2^{n-1} = \frac{1}{2^n} <\frac{n}{2}$。
递归执行递推关系，当$n=2$时，有$2^2=4>2$。
对于$n>2$，可以继续推导出$2^n>n$。
综上所述，对于任意正整数n，有$2^n>n$。
比较法是一种简单直观的证明不等式的方法。
通过找到合适的比较对象，建立递推关系，并递归执行递推关系，我们可以有效地证明不等式。
不等式证明的基本方法
绝对值的三角不等式；不等式证明的基本方法一、教学目的1、掌握绝对值的三角不等式；2、掌握不等式证明的基本方法二、知识分析定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立;几何说明：1当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与－b的距离等于它们到原点距离之和;2如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与－b的距离严格小于a与b到原点距离之和下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释;|a－b|表示a－b与原点的距离,也表示a到b之间的距离;定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立,即b落在a,c之间;推论1推论2不等式证明的基本方法1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的;比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负;比较法证不等式有作差商、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述;如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证;2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用;所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述;综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程．注意综合法与分析法的联合运用;3、反证法：从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法;4、放缩法：欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的．这种方法叫做放缩法;典型例题例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证：思路：本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明：证明：证法一：①当ab≤－1时,式①显然成立；当ab>－1时,式①②∵a≠b,∴式②成立;故原不等式成立;证法二：当a=－b时,原不等式显然成立；当a≠－b时,∴原不等式成立;点评：此题还可以用三角代换法,复数代换法、数形结合等证明,留给读者去思考;例2、设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|>m时,求证：;思路：本题的关键是对题设条件的理解和运用,|a|、|b|和1这三个数中哪一个最大如果两两比较大小,将十分复杂,但我们可以得到一个重要的信息：m≥|a|、m≥|b|、m≥1;证明：故原不等式成立;点评：将题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|、1中最大的一个”转化为符号的语言“m≥|a|、m≥|b|、m≥1”是证明本题的关键;例3、函数的定义域为0,1且;当∈0,1,时都有,求证：;证明：不妨设,以下分两种情形讨论;若则,若则综上所述点评：对于绝对值符号内的式子,采用加减某个式子后,重新组合,运用绝对值不等式的性质变形,是证明绝对值不等式的典型方法;例4、已知a>0,b>0,求证：;思路：如果用差值比较法,下一步将是变形,显然需要通分,是统一通分,还是局部通分从题目结构特点看,应采取局部通分的方法;证明：①②∴原不等式成立;点评：在上面得到①式后,其分子的符号可由题设条件作出判断,但它没有②明显,所以,变形越彻底,越有利于最后的判断,本题还可以用比值比较法证明,留给读者去完成;例5、设x>0,y>0,且x≠y,求证：思路：注意到x、y的对称性,可能会想到重要不等式,但后续思路不好展开,故我们可采用分析法,从消去分数指数幂入手;证明：∵x>0,y>0,且x≠y,点评：在不便运用比较法或综合法时,应考虑用分析法;应注意分析法表述方法,其中寻求充分条件的语句常用符号“”表述;本题应用了分析法,既找到了解题思路,又使问题完满地得到了解决,可谓一举两得;例6、已知a、b、c∈R+,求证：;思路：因不等式的左边的两个因式都可以进行因式分解;结合a、b、c∈R+的条件,运用重要不等式,采用综合法进行证明;解析：即点评：用重要不等式证明不等式,一要注意重要不等式适用的条件,二要为运用重要不等式创造条件;另外,同向不等式相加或相乘,在综合法中常用到;例7、证明：对于任意实数x、y,有思路：采取分析法和比较法二者并用的方法来处理;证明：用分析法不等式②显然成立,下面证明不等式①同号,即点评：上述证明中,前半部分用的是分析法,后半部分用的是比较法,两种方法结合使用,使问题较容易解决,这一点应加以注意;例8、1用反证法证明以下不等式：已知,求证p+q≤2;2试证：n≥2;思路：运用放缩法进行证明;证明：1设p+q>2,则p>2－q,这与=2矛盾,2,又;将上述各式两边分别相加得点评：用放缩法证明不等式过程中,往往采用添项或减项的“添舍”放缩,拆项对比的分项放缩,函数的单调性放缩,重要不等式放缩等;放缩时要注意适度,否则不能同向传递;模拟试题1、设a、b是满足ab<0的实数,那么A、B、C、D、2、设ab>0,下面四个不等式①|a+b|>|a|；②|a+b|<|b|；③|a+b|<|a－b|；④|a+b|>|a|－|b|中,正确的是A、①和②B、①和③C、①和④D、②和④3、下面四个式子①；②；③；④中,成立的有A、1个B、2个C、3个D、4个4、若a、b、c∈R,且,则下列不等式成立的是A、B、C、D、5、设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等,则不等式成立的一个充要条件是A、a、b、c全为正数B、a、b、c全为非负实数C、D、6、已知a<0,－1<b<0则A、B、C、D、7、设实数x、y满足,若对满足条件的x、y,x+y+c≥0恒成立,c 的取值范围是A、B、C、D、8、对于任意的实数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是_________;9、若a>c>b>0,则的值的符号为__________;10、设a、b、c∈R+,若,则__________;11、已知x,y∈R,且,则z的取值范围是__________;12、设,求证：;13、已知a、b是不等正数,且,求证：;14、已知,求证：中至少有一个不小于;15、设a、b为正数,求证：不等式①成立的充要条件是：对于任意实数x>1,有②试题答案1、B2、C3、C4、B5、C6、D7、A8、－∞,39、负10、911、12、证明：13、证明：a、b是不等正数,且而一定成立,故成立;14、证明：用反证法;假设都小于,则,而,相互矛盾,中至少有一个不小于;15、证明：设,那么不等式②对恒成立的充要条件是函数的最小值大于b;当且仅当,时,上式等号成立;故的最小值是;因此,不等式②对x>1恒成立的充要条件是>b;。
证明不等式的基本方法一比较法
证明不等式的基本方法一比较法不等式的基本方法一比较法是以较为常用和广泛的方法之一，用于证明不等式的真实性或者不真实性。
该方法基于两个原则：1.如果对于不等式两边的所有常数，左边的常数小于右边的常数，则不等式成立；2.如果不等式两边的所有元素中的其中一个元素，在一些范围内小于另一个元素，则不等式成立。
下面通过一些例子来详细介绍基本方法一比较法的具体步骤和应用。
例子1：证明对于所有的正整数n，都有n^2>n。
证明：根据不等式的基本方法一比较法，我们可以利用两个原则来进行证明。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，由于n^2是n的平方，而n的平方大于n，因此n^2>n成立。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2和n。
当n=1时，n^2=1，n=1，所以n^2>n成立。
对于n>1的情况，考虑到n^2是n的平方，而n的平方是n乘以n，所以n^2>n成立。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2>n成立。
例子2：证明对于所有的正整数n，都有n^2+n>2n。
证明：同样地，我们可以利用不等式的基本方法一比较法来证明该不等式。
首先，根据原则1，我们可以比较n^2+n和2n。
对于n=1的情况，n^2+n=1+1=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以将不等式简化为n^2>n，这是一个已经证明过的不等式。
其次，根据原则2，我们可以比较n^2+n和2n。
当n=1时，n^2+n=2，2n=2，所以n^2+n>2n成立。
对于n>1的情况，我们可以继续简化不等式为n^2>n，这同样是一个已经证明过的不等式。
综上所述，我们可以得出结论，对于所有的正整数n，n^2+n>2n成立。
通过上述例子，我们可以总结论证不等式的基本方法一比较法的步骤如下：1.确定要证明的不等式形式；2.根据不等式的特点，选择合适的比较方法，并根据比较原则进行证明；3.在证明过程中，可以使用数学推导、归纳法等数学方法来辅助证明；4.利用已经证明过的不等式和已知的数学定理等，简化和推导不等式；5.综合所有的证明过程，得出最终结论。
证明不等式的基本方法
恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”； 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常 数，求函数的最值”； 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图象”；
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，
即a的取值范围是________． [答案] a≤10
[点评与警示] 论证过程中，执果索因与由因导果总是不
断变化，交替出现．尤其综合题推理较盲目时，利用分析法从
要证的问题入手，逐步推求，再用综合法逐步完善，最后找到 起始条件为止．
(人教版选修 4—5 第 30 页第 1 题)已知 a， b， c∈(0,1)， 1 求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于4.
[证明]
(反证法)假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 都大于 ①
1 1 (1－b)c· (1－c)a>64 4，则(1－a)b· 1 即[a(1－a)· b(1－b)· c(1－c)]>64
a＋1－a 2 1 而 0<a(1－a)≤[ ]＝ ， 2 4
1 1 0<b(1－b)≤ ，0<c(1－c)≤ 4 4 1 ∴[a(1－a)][b(1－b)][c(1－c)]≤ 与①矛盾 64 1 ∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a 不同时大于 . 4
) B．a2＞b2 1a 1b D．(2) ＜(2)
1 2 ．若 a ＞ b ＞ 1 ， P ＝ lga· lgb ， Q ＝ (lga ＋ lgb) ， R ＝ 2 a＋b lg( )，则( 2 A．R＜P＜Q C．Q＜P＜R
[解析]
) B．P＜Q＜R
D．P＜R＜Q 1 ∵lga＞lgb＞0，∴ (lga＋lgb)＞ lga· lgb，即 Q 2
专题四 不等式证明的五大方法
2π -A)] 3
=2R(sin A+ c=2Rsin
3 1 π cos A+ sin A)=2 3 Rsin (A+ )≤2 3 R, 2 6 2
π = 3 R,所以 a+b≤2c. 3
数学
(2)已知a2+b2=1,x2+y2=4,求证:|ax+by|≤2. 思路点拨:(2)三角换元后,利用三角函数的有界性放缩.
数学
方法总结 使用不等式的性质放缩不等式中项,使之能够产生裂项相 消的部分是证明与正整数的和式有关的不等式的基本思考途径.
数学
方法四
反证法
1 【例 6】 已知 a,b,c∈(0,1).求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 . 4 1 思路点拨:不能同时大于 ,是以否定形式给出的命题,采取反证法. 4 1 1 1 1 证明:假设三式同时大于 ,即(1-a)b> ,(1-b)c> ,(1-c)a> , 4 4 4 4
三式同向相乘,得(1-a)a(1-b)b(1-c)c> 又(1-a)a≤(
1 .① 64
1 a a 2 1 1 1 ) = ,同理(1-b)b≤ ,(1-c)c≤ . 2 4 4 4
所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤
1 ,与①式矛盾,即假设不成立,故结论正确. 64
数学
方法总结 反证法对已知条件较少、结论情况较多,或者结论是否定 形式给出、结论是唯一性等命题的证明非常有效.
a c sin A sin B = , b sin A sin C
求证:a+b≤2c; 思路点拨:(1)使用正弦定理把求证目标化为三角函数的不等式; π a 2 b2 c 2 1 2 2 2 证明:(1)化简得 a +b -ab=c ,所以 cos C= = ,C= . 2 3 2ab
高三复习第二讲证明不等式的基本方法
高三复习第二讲证明不等式的基本方法选修4－5不等式选讲【考纲速读吧】1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合点必会技巧1．利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．2．常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式．项必须注意1．作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．2．放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的．3．利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件．【课前自主导学】011．三个正数的算术—几何平均不等式a＋b＋c（1）定理：如果a，b，c均为正数，那么________abc，当且仅当________时，等号成立，即3三个正数的算术平均数________它们的几何平均数．（2）基本不等式的推广a1＋a2＋…＋an对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均数________它们的几何平均数，即na1a2n，当且仅当________时，等号成立．21（1）已知某>0，则y＝某2＋________．（2）已知某>0，则y＝某的最小值为________．某某2．柯西不等式（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．bbb222（2）若ai，bi（i∈N某）为实数，则（∑a）（∑b）≥（∑ab），当且仅当＝＝…＝ai＝0时，iiiia1a2ani＝1i＝1i＝1约定bi＝0，i＝1,2，…，n）时等号成立．（3）柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α、β共线时等号成立．nnn（1）若某＋2y＋4z＝1，则某2＋y2＋z2的最小值是________．（2）某，y∈R，且某2＋y2＝10，则2某－y的取值范围为________．3．证明不等式的方法（1）比较法①求差比较法由a>ba－b>0，a<ba－b<0，因此要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．②求商比较法a由a>b>0>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商b比较法（2）分析法从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．（3）综合法从已知条件出发，利用不等式的性质（或已知证明过的不等式），推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．（4）反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式________的假设；第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．（5）放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？（1）要证明29＋31<25，可选择的方法最合理的是________．a3＋a6（2）等比数列{an}各项为正数，且q≠1，若PQ＝a4a5，则P与Q的大小关系________．2【自我校对】1．≥a＝b＝c不小于不小于≥a1＝a2＝…＝an31填一填：（1）3（2）34112．填一填：（1提示：∵1＝某＋2y＋4z≤某＋y＋z1＋4＋16，∴某2＋y2＋z2≥某2＋y2＋z2的最2121小值为．21（2）[－2，2]提示：∵（某2＋y2）[22＋（－1）2]≥（2某－y）2，∴－2≤2某－y≤52．a3．a－b>0证明的结论相反条件和假设放大或缩小b想一想：提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件，综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常用分析法探求解题思路，用综合法表达．填一填：（1）分析法（2）P≥Q提示：∵a3·a6＝a4·a5，∴a3＋a6≥23·a6＝2a4·a5，∴P≥Q．【核心要点研究】02【考点一】比较法证明不等式例1[2022·广州模拟]已知a>0，b>0，求证：（a）3＋b3≥ab＋ab2．【审题视点】本题主要考查不等式证明的方法，考查运算求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明．[证明]（a）3＋b3－（ab＋ab2）＝[（a）3－ab]＋[b3－ab2]＝a（a－b）－b2（a－b）＝（a－b）（a－b2a－b）[（a）2－b2]＝（a－b）2（a＋b）．因为a>0，b>0，所以a＋b>0，又（a－b）2≥0，所以（a－b）2a＋b）≥0a）3＋b3－（ab＋ab2）≥0，即（a）3＋b3≥ab＋2．【师说点拨】此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论．其中判断差的符号为目的，变形是关键．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．【变式探究】求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1证明：∵（a2＋b2）－（ab＋a＋b－1）＝a2＋b2－ab－a－b＋1＝2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2）211＝（a2－2ab＋b2）＋（a2－2a＋1）＋（b2－2b＋1）]（a－b）2＋（a－1）2＋（b－1）2]≥0，22∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1．【考点二】用分析法或综合法证明不等式1112例2已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋abc3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．【审题视点】3因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥3abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明．2[证明]因为a，b，c均为正数，所以a2＋b2＋c2≥3（abc），①3111211112＋≥9（abc）－．②＋≥3（abcabcabc33111222＋≥3（abc）＋9（abc故a2＋b2＋c2＋abc3322又3（abc）＋9（abc）－≥2＝6，③所以原不等式成立．33当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．221当且仅当3（abc9（abc）－时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝3 334111奇思妙想：例题中，不等式变为“abc3”，其余不变，该如何解答？abc111331113证明：∵a，b，c＋＋abc≥＋abc3，abcabcabcabcabc31∴原不等式成立，当a＝b＝c且abc时等号同时成立，即a＝b＝c＝3 abc6【师说点拨】1．分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件．2．综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”．它们是两种思路截然相反的证明方法．分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用．【变式探究】设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：证法一（综合法）∵a≥b>0，∴a2≥b2，则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0，即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0，则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2．故原不等式成立．证法二（分析法）要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0，也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(某)∵a≥b>0，∴a－b≥0.又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0.(某)式显然成立，故原不等式成立.【考点三】用柯西不等式证明不等式例3[2022·福建高考]已知函数f（某）＝m－|某－2|，m∈R，且f （某＋2）≥0的解集为[－1,1]．111（1）求m的值；（2）若a，b，c∈R＋，且＋＋m，求证：a＋2b＋3c≥9．a2b3c【审题视点】（1）根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；（2）结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式．[解]（1）因为（f某＋2）＝m－|某|，（f某＋2）≥0等价于|某|≤m，由|某|≤m有解，得m≥0，且其解集为{某|－m≤某≤m}．又f（某＋2）≥0的解集为[－1,1]，故m＝1．111＋（2）由（1）知＝1，又a，b，c∈R，由柯西不等式得a2b3c111111a＋2b＋3c＝（a＋2b＋3c）（）≥（a＋2b3c2＝9．所以不等式得证．a2b3ca2b3c【师说点拨】22222柯西不等式的一般结构为（a2（b21＋a2＋…＋an）1＋b2＋…＋bn）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn），在使用柯西不等式时，关键是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式子，为方便使用柯西不等式，有时常将a变形为1某a的形式．【变式探究】abcbca用柯西不等式证明：若a，b，c均为正数，＋）（）≥9．bcaabcabcbca证明：∵（＋（＋）≥（2＝9，bcaabcbacbacabcbca∴（）＋）≥9．bcaabc【经典演练提能】041．已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是()A．P≤QB．P<QC．P≥QD．P>Q答案：C解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2)∵a1≤a2，b1≤b2∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1．1112．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1＋＋的最小值为（）abcA．3B．6C．9D．12答案：Ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c111bacacb解析：把a＋b＋c＝1代入＋得到＝3＋（＋＋（＋（＋）≥3 abcabcabacbc＋2＋2＋2＝9，故选C．3.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值为()A.1B.2C.3D.2解析：abc）2＝（a＋b＋c）2≤（12＋12＋12）（a＋b＋c）＝3．当且仅当a＝b＝c＝abc）2≤3．故＋＋的最大值为．3某＋y某y4．设某>0，y>0，M＝N＝M、N的大小关系为________．2＋某＋y2＋某2＋y答案：M<N某＋y某y某y解析：N＝＋>M．2＋某2＋y2＋某＋y2＋某＋y2＋某＋y5．若a，b∈R，且a≠b，M答案：M>N＋ab＋，N＝a＋b，则M、N的大小关系为________．baabab解析：∵a≠bba，ab，baa＋b．baba（时间：45分钟分值：100分）一、选择题1．若|a－c|<|b|，则下列不等式中正确的是（）A．a<b＋cB．a>c－bC．|a|>|b|－|c|D．|a|<|b|＋|c|答案：D解析：|a|－|c|≤|a－c|<|b|，即|a|<|b|＋|c|．故选D．112．[2022·鸡西模拟]若实数某、y＋＝1，则某2＋2y2有（）某yA．最大值3＋22B．最小值3＋2C．最大值6D．最小值6答案：B 112y2某22222解析：由题意知，某＋2y＝（某＋2y）·（＋）＝3＋＋22，某y某y22某2y＝时，等号成立，故选B．y某1113．[2022·广东调研]已知a，b为实数，且a>0，b>0．则（a＋b＋（a2＋）abaA．7B．8C．9D．10答案：C13解析：因为a>0，b>0，所以a＋b＋≥3a某b＝3b>0，①aa113同理可证：a＋＋≥3．②23111321由①②及不等式的性质得（a＋b＋）（a≥3b某9．abab24．[2022·柳州模拟]已知关于某的不等式2某在某∈（a，＋∞）上恒成立，则实数a的最小值为（）某－a13A．B．1CD．222答案：C2223解析：2某＋2（某－a）＋2a≥22某－a2a＝2a＋4≥7，∴a2某－a某－a某－a＋5．[2022·金版原创]若q>0且q≠1，m，n∈N，则1＋qmn与qm＋qn 的大小关系是（）＋＋＋A．1＋qmn>qm＋qnB．1＋qmn<qm＋qnC．1＋qmn＝qm＋qnD．不能确定答案：A解析：1＋qmn－qm－qn＝qm（qn－1）－（qn－1）＝（qn－1）（qm－1），①当0<q<1时，qn<1，qm<1．②当q>1时，qn>1，qm>1．＋∴（qn－1）（qm－1）>0，∴1＋qmn>qm＋qn，故选A．6．[2022·湖北高考]设a，b，c，某，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，某2＋y2＋z2＝40，a某＋by＋cz＝20，则a＋b＋c＝（）某＋y＋z1113A．B．C．D．4324答案：C解析：由柯西不等式得（a2＋b2＋c2）（某2＋y2＋z2）≥（a某＋by＋cz）2，而由已知有abc（a2＋b2＋c2）（某2＋y2＋z2）＝10某40＝202＝（a某＋by＋cz）2，故＝＝k，代入得某yza＋b＋c11a2＋b2＋c2＝k2（某2＋y2＋z2）＝40k2＝10，解得k＝k＝．故选C．22某＋y＋z二、填空题7．函数y＝21－某＋2某＋1的最大值为________．答案：3解析：y22－2某＋2某＋1）2≤[（）2＋12][2－2某）22某＋1）2]＝3某3，∴y≤3．8．[2022·许昌模拟]对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为________．答案：611解析：因为|a－b|≤1，|2a－1|≤1，所以|3a－3b|≤3，|a22151515|4a－3b＋2|＝|（3a－3b）＋（a－|≤|3a－3b|＋|a－|＋≤3＋＋6，即|4a－3b＋2|的最大值为6．2222221119．已知某，y，z为正实数，且＋＝1，则某＋4y＋9z的最小值为________．某yz答案：36解析：解法一：由柯西不等式，得111某＋4y＋9z＝[某）2＋（y）2＋（3z）2]·[（）2＋（22]≥某yz111（某＋y3z）2＝36．当且仅当某＝2y＝3z时等号成立，此时某＝6，y＝3，z＝2．所以当某＝6，y＝3，z＝2时，某＋4y＋9z取得最小值36．111111解法二：∵＋＝1，∴某＋4y＋9z＝（某＋4y＋9z）（＋），某yz某yz4y9z某9z某4y4y某9z某9z4y即某＋4y＋9z＝14＋＋＋≥14＋＋22＝36．某某yyzz某y某zyz（当且仅当某＝2y＝3z时取“＝”），即某＝6，y＝3，z＝2时，（某＋4y＋9z）min＝36．故填36．三、解答题10．已知a>0，证明：a2＋2≥a2．aa1111解：要证a22≥a＋－2，只要证a2＋2≥a＋＋2，因为a>0，所以只要证aaaa1111（a2＋2）2≥（a＋2）2，即证a2＋4＋a2a2＋4＋2（a＋，故只需证aaaaaa1111112a2＋≥a＋，即证a2＋，而由基本不等式可知a2＋成立．故a2－2≥a＋2．211．[2022·正定模拟]设正有理数某是的一个近似值，令y＝1．1＋某（1）若某>3，求证：y3；（2）求证：y比某3．33＋某3某－3某－32证明：（1）y－3＝1＋3＝＝，1＋某1＋某1＋某∵某>3，∴某3>0，而13<0，∴y<3．3－13－2－某3某－（2）∵|y－3|－|某3|＝－|某－3|＝|某－3|（－1）＝|某－3|（，1＋某1＋某1＋某∵某>03－2<0，|某－3|>0，∴|y3|－|某3|<0，即|y－3|<|某3|．∴y比某更接近于3．12．[2022·南昌调研]已知某＋y>0，且某y≠0．某ym11（1）求证：某3＋y3≥某2y＋y2某；（2）如果＋（＋m的取值范围或值．y某2某y解：（1）∵某3＋y3－（某2y＋y2某）＝某2（某－y）－y2（某－y）＝（某＋y）（某－y）2，且某＋y>0，（某－y）2≥0，∴某3＋y3－（某2y＋y2某）≥0．∴某3＋y3≥某2y＋y2某．33某2－某y＋y2某ym11m某＋y（2）（ⅰ）若某y<0，则＋）等价于＝，y某2某y2某y某＋y某y某2－某y＋y2某＋y2－3某y－3某y某3＋y3又∵＝<3，即<－3，∴m>－6；某y某y某y某y某＋y3322某ym11m某＋y某－某y＋y（ⅱ）若某y>0，则≥（＋≤＝，y某2某y2某y某＋y某y某2－某y＋y22某y－某y某3＋y3又∵≥1，即，∴m≤2．某y某y某y某＋y综上所述，实数m的取值范围是（－6,2]．。
高中数学第二讲证明不等式的基本方法综合法与分析法
2。
2.1 综合法课堂导学三点剖析一，利用综合法证明不等式【例1】 (1）若a>0,b 〉0,求证:ab b a 22+≥a+b.思路分析:主要利用不等式2ba +≥ab 和a 2+b 2≥2ab。
证明:由a 2+b 2≥2ab，∴2（a 2+b 2）≥a 2+b 2+2ab,即2（a 2+b 2)≥(a+b)2。
∴ab b a 22+≥b a b a b a b a ++≥++222)()(2=a+b.（2)设a ，b ，c 都是正数,求证:2222222≥+++++a c c b b a (a+b+c ）.思路分析：主要利用不等式2)(2222y x y x +≥+。
证明：由不等式a 2+b 2≥2)(22222b a ab b a +=++. ∴22b a +≥2ba +. 同理，2,22222ac a c cb c b +≥++≥+2)222(2222222=+++++=+++++∴ca cb ba a c cb b a （a+b+c ）各个击破类题演练1已知a,b,c∈（0,+∞)，且a ，b ，c 成等比数列，求证:a 2+b 2+c 2≥(a—b+c)2。
证明:左边-右边=2（ab+bc-ac)。
∵a，b ，c 成等比数列，∴b 2=ac.又∵a,b,c∈（0,+∞)，∴0〈b=ac ≤2ca +〈a+c 。
∴a+c—b 〉0。
∴2（ab+bc —ac ）=2（ab+bc —b 2）=2b(a+c —b ）〉0,∴a 2+b 2+c 2>（a —b+c ）2.变式提升1若a,b,c 是正数,能确定b a c c a b c b a +++++222与2c b a ++的大小吗? 解析:∵cb a +24+（b+c ）≥4a, ac b +24+（c+a)≥4b, ba c +24+（a+b)≥4c , ∴c b a +24+a c b +24+ba c +24≥2（a+b+c ）, 即b a c a c b c b a +++++222≥2c b a ++. 二、用综合法证明条件不等式【例2】 已知a,b ，c 〉0，且abc=1，求证：c b a ++≤a 1+b 1+c 1。
基本不等式的证明方法
基本不等式的证明方法简介基本不等式是解决数学问题中经常用到的重要工具。
本文将介绍一些基本不等式的证明方法，帮助读者更好地理解和运用这些不等式。
方法一：数学归纳法证明数学归纳法是证明数学命题的一种常用方法。
在证明基本不等式时，我们可以运用数学归纳法来逐步推导不等式的成立。
首先，我们将基本不等式的初始条件表示为一个式子，通常为n = 1 或 n = 2。
然后，我们假设当 n = k 时不等式成立，即假设我们已经证明了 n = k 的情况。
接下来，我们需要证明当 n = k + 1 时，不等式仍然成立。
我们可以通过运用数学运算、代入等方法来完成这一步骤。
最后，通过证明初始条件成立，我们可以得出结论，即基本不等式对于所有的正整数 n 都成立。
方法二：几何证明法几何证明法是基于几何形状和图形的性质来证明数学命题的一种方法。
在证明基本不等式时，我们可以通过构建合适的几何形状和图形来解释不等式的成立原理。
举个例子，我们来证明三角形的三边关系，即 a + b > c，其中a、b、c 分别为三角形的三条边长。
我们可以通过构建一个合适的三角形，并进一步分析其边长关系来证明这个不等式的成立。
方法三：代数证明法代数证明法是通过代数运算和方程的性质来证明数学命题的一种方法。
在证明基本不等式时，我们可以使用代数法来进行求解和证明。
例如，要证明 (a + b)^2 >= 4ab，我们可以展开左边的平方项，并进行运算和化简，最终得到不等式成立的形式。
通过适当的代数变换和运算，我们可以证明这个基本不等式的成立。
方法四：数学逻辑证明法数学逻辑证明法是运用数学逻辑原理和推理规则来证明数学命题的一种方法。
在证明基本不等式时，我们可以运用逻辑原理和推理规则来推导不等式的成立。
通过运用严谨的数学推理，我们可以将基本不等式分解为一系列等价的数学命题，然后逐步推导得出不等式的成立。
这种证明方法需要严谨的逻辑思维和推理能力，但能够确保证明的准确性和合理性。
证明函数不等式的六种方法
证明函数不等式的六种方法在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。
证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。
下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。
1. 代数法这种方法是最常用的方法之一。
我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到：f(x) - g(x) = x + 1因此，f(x) > g(x) 当且仅当 x > -12. 消元法这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。
我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。
例如，我们要证明：f(x, y) > g(x, y)其中f(x, y) = x^2 + y^2g(x, y) = x^2 - y^2我们可以将y消去，得到：f(x, y) - g(x, y) = 2y^2因此，f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 03. 极限法这种方法通常适用于连续函数的不等式。
我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^2 + 2x + 1g(x) = x^2 + x我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到：lim (f(x)) = +∞x→+∞lim (g(x)) = +∞x→+∞因此，f(x) > g(x) 当 x → +∞4. 导数法这种方法通常适用于在区间内单调的函数不等式。
我们可以计算函数的导数，以确定函数的单调性和不等式的正确性。
例如，我们要证明：f(x) > g(x)其中f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1g(x) = x^2 + 2x + 1我们可以计算f(x)和g(x)的导数，得到：f'(x) = 3x^2 + 6x + 3g'(x) = 2x + 2由于f'(x) > g'(x) 在 [-1, +∞) 上成立，并且f(-1) > g(-1) ，因此，f(x) > g(x) 在 [-1, +∞) 上成立。
不等式的八种证明方法及一题多证
不等式的证明：一、比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法，它常用的证明方法有两种： 1．作差比较法方法：欲证A>B,只需要证A-B>0 步骤：“作差----变形----判断符号”。
使用此法作差后主要变形形式的处理：○将差变形为常数或一个常数与几个平方和的形式常用配方法或实数特征a2≥0判断差的符号。
○将差变形为几个因式的积的形式，常用因式分解法。
○若变形后得到二次三项式，常用判别式定符号。
总之，变形的目的是有利于判断式子的符号，而变形方法不限定，也就是说，关键是变形的目标。
2．作商比较法方法：要证A>B,常分以下三种情况：若B>0，只需证明1AB >； 若B=0，只需证明A>0； 若B<0，只需证明1AB<。
（3）步骤：“作商-----变形-----判断商数与1的大小” 例：已知a , b , m 都是正数，并且a < b ，求证：bam b m a >++解析：用作差比较法∵)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++ ∵a ,b ,m 都是正数，并且a <b ，∴b + m > 0 , b - a > 0 ∴0)()(>+-m b b a b m 即：b a m b m a >++ 例：已知a>b>0,求证：()2a ba ba b ab +>解析：用作商比较法∵()222222a b a b a b a b a b a b a b a b a ba ababb ab -++-----+⎛⎫=== ⎪⎝⎭又∵a>b>0,()221,012a b a ba ba ab a b b a b ab -+-⎛⎫∴>>∴> ⎪⎝⎭∴>例：已知0 < x < 1, 0 < a < 1，试比较|)1(log | |)1(log |x x a a +-和的大小。
高中数学证明不等式的九种常用方法
ab-a-b+1≥a+b-3 即ab≥a+b+(a+b-4) ∵a≥2，b≥2 ∴a+b-4≥0 ∴ab≥a+b 当且仅当a=b=2时等号成立 证毕
6 Math Part
构造法
6 Math Part 构造法
构造法：通过构造函数、图形、方程、数列、 向量等来证明不等式的方法。
本题我们使用构造函数和几何图形两种方法 来说明构造法的使用。
=a(b-1)-(b-1)-1
∴ab-a-b≥0
=(a-1)(b-1)-1
即ab≥a+b
∵a≥2，b≥2
证毕
2 Math Part
综合法
2 Math Part 综合法
综合法：综合法是从命题的已知条件出发， 利用公理、已知定义及定理，逐步推导，从 而最后推导出要证明的命题。
2 Math Part 综合法
4 Math Part 反证法
例题：已知a≥2，b≥2，求证：ab≥a+b
证明： 假设ab<a+b ab-a-b =a(b-1)-b =a(b-1)-(b-1)-1 =(a-1)(b-1)-1 ∵ab<a+b
∴(a-1)(b-1)<1
①
∵a≥2，b≥2
∴a-1≥1，b-1≥1
∴(a-1)(b-1)≥1
与①式矛盾
所以原命题成立
证毕
5 Math Part
公式法
5 Math Part 公式法
伯公努式利法不：等利式用：已有的不等式的定理、公式等 (1证+x明1)不(1等+x式2)…的(一1+种xn方) ≥法1。+x高1+中x2常…+见xn的公式有： 对基 栖于本 西任不不意等等1≤式式i,、、j≤绝加n都对权有值平x不均i>-等不1且式 等所、 式有均 、x值 切i与不 比x等雪j同式夫号、不
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不等式和绝对值不等式一、不等式1、不等式的基本性质：①、对称性： 传递性：_________ ②、 ，a+c ＞b+c③、a ＞b ， ， 那么ac ＞bc ； a ＞b ， ，那么ac ＜bc ④、a ＞b ＞0， 那么，ac ＞bd ⑤、a>b>0，那么a n >b n .（条件 ）⑥、 a ＞b ＞0 那么 （条件 ）2、基本不等式定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。
定理2（基本不等式） 如果a ，b>0，那么当且仅当a=b 时，等号成立。
即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均数。
结论：已知x, y 都是正数。
（1）如果积xy 是定值p ，那么当x=y 时，和x+y 有最小值；（2）如果和x+y 是定值s ，那么当x=y 时，积xy 有最大值小结：理解并熟练掌握基本不等式及其应用，特别要注意利用基本不等式求最值时， 一定要满足“一正二定三相等”的条件。
3、三个正数的算术-几何平均不等式a b b a <⇔>ca cb b a >⇒>>,Rc b a ∈>,0>c 0<c 0>>d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2a b+≥214s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果，那么当时，等号成立。
即：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形：对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均，即： 当且仅当a 时，等号成立。
二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离： 任意两个实数a,b 在数轴上的对应点分别为A 、B ，那么|a-b|的几何意义是A 、B 两点间 的距离。
定理1 如果a, b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab ≥0时，等号成立。
（绝对值三角不等式）如果a, b 是实数，那么 |a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b| 定理2 如果a, b, c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c| ， 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
2、绝对值不等式的解法（1）|ax+b|≤c 和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c 和|t|≥c 型不等式，然后再求x ，得原不等式的解 集。
②分段讨论法：不等式证明的基本方法知识点一：比较法比较法是证明不等式的最基本最常用的方法，可分为作差比较法和作商比较法。
1、作差比较法常用于多项式大小的比较，通过作差变形（分解因式、配方、拆、拼项等）判断符号（判断差与0的大小关系）得结论（确定被减式与减式的大小. 理论依据：①；②；③。
一般步骤： 第一步：作差；第二步：变形；常采用配方、因式分解等恒等变形手段；第三步：判断差的符号；就是确定差是大于零，还是等于零，小于零. 如果差的符号无法确定，应根据题目的要求分类讨论. 第四步：得出结论。
注意：其中判断差的符号是目的，变形是关键。
2、作商比较法常用于单项式大小的比较，当两式同为正时，通过作商变形（约分、化简）判断商与1的大小得结论（确定被除式与除式的大小）. 理论依据：00||(0)()ax b ax b ax b c c ax b c ax b c +≥+<⎧⎧+≤>⇔⎨⎨+≤-+≤⎩⎩或00||(0)()ax b ax b ax b c c ax b c ax b c+≥+<⎧⎧+≥>⇔⎨⎨+≥-+≥⎩⎩或若、，则有①；②；③.基本步骤:第一步：判定要比较两式子的符号第二步：作商第三步：变形；常采用约分、化简等变形手段；第四步：判定商式大于1或等于1或小于1。
如果商与1的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论.第五步：得出结论。
注意：作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。
知识点二：分析法分析法是从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立，或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种方法.思维过程：“执果索因”.证明格式：要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
适用题型：当所证的不等式的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明不等式。
知识点三：综合法综合法是从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理，逐步推导，从而最后导出要证明的命题。
思维过程：“执因索果”适用题型：当所证的不等式的条件形式或不等式两端的形式与不等式的性质、定理有直接联系时，常常采用综合法证明不等式.知识点四：反证法反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确。
适用题型：适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假。
注意：反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。
在否定结论时，其反面要找对、找全.知识点五：放缩法放缩法是指在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当的放大（或缩小），以此来简化不等式，达到证明的目的。
理论依据：不等式的传递性：a>b,b>c a>c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。
注意：应用放缩法时，放大（缩小）一定要适当。
规律方法指导1、不等式证明的常用方法：比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，换元法等。
2、反证法的证明步骤：①否定结论：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立；②推出矛盾：由结论反面成立出发，通过一系列正确的推理，导出矛盾；③否定假设：由正确的推导导出了矛盾，说明假设不成立；④肯定结论：原命题正确。
3、放缩法的常用技巧：①在恒等式中舍掉或者加进一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；例如：③应用函数的单调性、有界性等性质进行放缩；例如：f(x)为增函数，则f(x-1)<f(x)<f(x+1)④应用基本不等式进行放缩。
例如：若，则有；若，则有。
这两个结论是实现“累差法”、“累商法”、“降幂”等转化的重要手段经典例题透析类型一：比较法证明不等式1、用作差比较法证明下列不等式：（1）；（2）(a，b均为正数，且a≠b)思路点拨：（1）中不等号两边是关于a,b,c的多项式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab这样的结构，考虑配方来说明符号；（2）中作差后重新分组进行因式分解。
证明：（1）当且仅当a=b=c时等号成立，（当且仅当a=b=c取等号）.（2）∵a>0, b>0, a≠b,∴a+b>0, (a-b)2>0,∴，∴.总结升华：作差，变形（分解因式、配方等），判断差的符号，这是作差比较法证明不等式的常用方法。
举一反三：【变式1】证明下列不等式：(1)a2+b2+2≥2(a+b)(2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c)(3)a2+b2≥ab+a+b-1【答案】（1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）证法同（1）（3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=( a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1【变式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2【答案】ax2+by2-(ax+by)2=ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy=a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy=ab(x-y)2≥0∴ax2+by2≥(ax+by)22、用作商比较法证明下列不等式：（1）(a，b均为正实数，且a≠b)（2）（a，b，c∈，且a，b，c互不相等）证明：（1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b为不等正数，∴，∴∴（2）证明：不妨设a>b>c，则∴所以，总结升华：当不等号两边均是正数乘积或指数式时，常用这种方法，目的是约分化简. 作商比较法的基本步骤:判定式子的符号并作商变形判定商式大于1或等于1或小于1 结论。
举一反三：【变式1】已知a>2，b>2，求证：a+b<ab【答案】∵a>2，b>2∴∴∴【变式2】已知a，b均为正实数，求证：a a b b≥a b b a【答案】∵a>0, b>0, ∴a a b b与a b b a均为正，∴，分类讨论可知（分a>b>0, a=b>0, 0<a<b），当且仅当a=b等号成立，∴a a b b≥a b b a.类型二：综合法证明不等式3、a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc证明：法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc∵a,b,c不全相等，∴上述三个等号不同时成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正数，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均为正数，由三个数的平均不等式得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2)∴不等式成立.总结升华：综合法是由因导果，从已知出发，根据已有的定义、定理，逐步推出欲证的不等式成立。
举一反三：【变式1】a , b, m∈R+，且a<b，求证：.【答案】∵0<a<b, m>0, ∴am<bm,∴am+ab<bm+ab, 即a(b+m)<b(a+m),∵b+m>0, ∴.【变式2】求证lg9·lg11<1.【答案】∵lg9>0, lg11>0,∴,∴, ∴lg9·lg11<1.4、若a>b>0，求证：.思路点拨：不等号左边是一个各项皆正的“和的形式”，但左侧是两项而右侧都出现了特征数“3”.因此启发我们将左侧拆成3项的和利用平均值定理.证明：，∵a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ,∴,∴（当且仅当，即a=2，b=1的等号成立）举一反三：【变式】x, y,z∈R+, 求证：证明：∵x, y,z∈R+,∴,同理，∴,∴类型三：分析法证明不等式5、已知a,b>0，且2c>a+b，求证：证明：要证，只需证：即证：，a2-2ac+c2<c2-ab，即证a2+ab<2ac，∵a>0，只需证a+b<2c∵已知上式成立，∴原不等式成立。